专题13 二元一次方程与一次函数的三类培优综合题型（四川成都专用，压轴题专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建三阶训练体系，聚焦整数点、定值定点、几何交点三类核心问题，提炼换元法、联立方程等可迁移方法，强化二元一次方程与一次函数的内在逻辑，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1|构造方程组求解|二元一次方程与一次函数基础联系| |整数点问题|典例1+变式2|换元法发现方程组联系|整点坐标特征的代数转化| |定值定点问题|典例1+变式2|联立方程求公共点|定点问题的代数不变性推导| |几何交点问题|典例1+变式2|两直线交点与方程组解的关系|函数与几何图形交点的坐标计算| |压轴挑战|7题|综合运用三类通法|复杂情境中的模型构建与逻辑推理|

专题13 二元一次方程与一次函数的三类培优综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、整数点问题 题型二、定值定点问题 题型三、一次函数与几何交点问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 二元一次方程与一次函数是初中代数基础，所有题型均围绕整数点、定值定点、一次函数与几何交点问题展开，解题贯穿基本底线原则：构造方程组求解。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、整数点问题 典例 1如图，在平面直角坐标系中，已知点，． (1)求直线的函数解析式； (2)已知是直线l上的动点． ①当时，判断点P是否在直线上； ②嘉嘉说：“直线l与直线平行．”判断嘉嘉说得对吗？并说明理由； ③当取得最小值时，求a的值； ④直线沿y轴向下平移个单位长度后，与直线l在第四象限有交点，且交点是整点（横、纵坐标都是整数的点），直接写出满足条件的n的整数值的个数． 题型模版 1.特征：整数点问题. 2.方法：根据换元法，发现两个方程组之间的联系是解题关键. 变式1-1如图，已知直线：与直线：交于点，直线与轴交于点． (1)求的值和直线的表达式； (2)过轴上的点作轴的垂线分别交直线，直线于点，，若，求点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，我们将横，纵坐标都是整数的点叫做“整点”，已知直线：与直线，直线围成的图形内（不含边界）恰好有10个整点，求的取值范围． 变式1-2如图，在平面直角坐标系中，放置一平面镜，其中点，的坐标分别为，，从点发射光线，其图象对应的函数解析式为． (1)若光线恰好经过平面镜，的中点，求所在直线的解析式（不要求写出的取值范围）． (2)若入射光线与平面镜有公共点． 嘉嘉说：当入射光线与平面镜交于点时，的值最大； 淇淇说：不对，我认为交于点时，的值最大； 请问，嘉嘉和淇淇谁的说法正确，并求出的最大值． (3) 规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线经过镜面反射后，反射光线与轴相交于点，直接写出点是整点的个数． 类型二、定值定点问题 典例2在平面直角坐标系中，直线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，过点B作垂线交直线于点P．    (1)如图，当时，求点P的坐标； (2)点Q是y轴正半轴上一点，且，连接． ⅰ）当线段的长为8时，求a的值； ⅱ）试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 题型模版 1.特征：定值定点问题. 2.方法：先联立方程求出公共点坐标即可求解. 变式2-1直线：交轴于点，交轴于点，直线：交轴于点，交轴于点，的周长是，点是线段上一个动点，点在轴上．    (1)求直线的解析式． (2)如图，若的面积是，求点的坐标． (3)如图，过作轴的平行线交线段于点，垂直轴于点、连接，点是线段的中点，过点作，点在直线上，点运动过程中，判断线段的长度是否变化？证明你的结论． 变式2-2直线与轴，轴交于，两点，直线与轴，轴交于，两点． (1)直接写出点，，，的坐标； (2)如图（1），点在的延长线上，连接，，． ①若点的横坐标是2，求； ②若，直接写出点的横坐标． (4) 如图（2），已知点，分别在第一、第四象限内，直线，交轴于，两点．若，求证：直线过定点，并求该定点的坐标． 题型三、一次函数与几何交点问题 典例3如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，，与轴交于点，直线． (1)求直线的函数表达式； (2)若，将直线沿轴向上平移个单位长度，当平移后的直线经过点时，求的值； (3)无论的值怎样变化，直线都过定点________； 若当从开始逐渐增大时，函数的值比直线对应函数的值先到达，求的取值范围； (4)已知直线（直线上所有点的横坐标都为），若直线（且）直线与直线围成的三角形的面积是，直接写出的值． 题型模版 1.特征：一次函数与几何交点问题. 2.方法：熟练运用两直线的交点与二元一次方程组的解的关系即可. 变式3-1在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线（是常数）经过点，点在该直线上，其横坐标为（），设直线在、两点之间的部分（含、两点）为图像． (1)求该直线所对应的函数表达式； (2)当图像与轴有交点时，求的取值范围； (3)若图像的最高点与最低点的纵坐标之差为，求的值； (4)已知点的坐标为，以点为对角线交点构造正方形，使轴，当图像与正方形的边有且只有一个交点时，直接写出的取值范围． 变式3-2如图，直线与直线交于点，交x轴于点B，直线分别与x轴、y轴交于点C，，连接．点为线段上的一个动点，连接． (1)求直线的解析式； (2)若将的面积分为两部分，求点P的坐标； (3)点是点P关于y轴的对称点，当在内部时（不含边界），直接写出m的取值范围． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图1，A、B两点坐标分别为、． (1)求直线的解析式． (2)如图2，直线分别与y轴、交于点、，若，求的值； (3)如图3，平移直线，平移后的直线与x轴交于点，与轴交于点，分别延长、交于点，点坐标为，求与之间的函数关系式． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线分别对应二元一次方程组，中的方程． (1)解题中的二元一次方程组，并写出两条直线的交点的坐标． (2)若在直线对应的方程不变的情况下，将直线对应的方程改为，且交点仍在第一象限，求的取值范围． (3)已知直线对应的方程为，且直线与直线相交于点． ①求，之间的关系式； ②若，为正整数，求满足条件的，的值． 3．已知在平面直角坐标系中，直线（为常数，），其中为小于2的最大整数． (1)求的函数表达式及与轴，轴的交点坐标； (2)点在函数的图象上，过点作轴的平行线交函数的图象于点，过点作轴的平行线交函数的图象于点，设线段与线段长度之和为，点的横坐标为，求关于的函数表达式； (3)在（2）的条件下，若．设直线（为常数，），当直线的图象与函数的图象交点有2个时，请直接写出的取值范围． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线过点与，与x轴交于点C． (1)求直线的解析式； (2)点D为轴上一动点，连接，求的最小值； (3)将直线向下平移6个单位长度得到直线，点E为直线上的一动点，连接．若，请直接写出所有符合条件的点E的坐标，并写出求解点E的坐标的其中一种情况的过程． 5．在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点，直线，直线与交于点P． (1)求k的值； (2)已知当时，的最大值是其最小值的4倍，求t的值？ (3)若直线（m，n常数，）经过点P．试探究：是否存在一组常数m，n，使得无论t取何值，直线都经过x轴上的某一个定点？若存在，请求出m，n的值及该定点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．平面直角坐标系中，直线的解析式为：过定点，分别交轴、轴于点、． (1)直接写出定点的坐标________； (2)如图（1），当时，点在线段上，点在轴上，满足且，求点的坐标； (3)如图（2），平移直线交轴负半轴于点，交轴负半轴于点，使得，连接交于点，过点作于点，求的值． 7．定义：当，，，满足，且时，称点与点为一对“芙蓉点”．若某函数图象上至少存在一对“芙蓉点”，就称该函数为“芙蓉函数”．请你根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ①点与点___________是一对“芙蓉点”； ②判断：点的“芙蓉点”___________（选填“在”或“不在”）函数的图象上． (2)当点A在直线上运动时，求点A的“芙蓉点”B的横、纵坐标满足的数量关系． (3)若一次函数与（，都是常数，且）均是“芙蓉函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 二元一次方程与一次函数的三类培优综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、整数点问题 题型二、定值定点问题 题型三、一次函数与几何交点问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 二元一次方程与一次函数是初中代数基础，所有题型均围绕整数点、定值定点、一次函数与几何交点问题展开，解题贯穿基本底线原则：构造方程组求解。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、整数点问题 典例 1如图，在平面直角坐标系中，已知点，． (1)求直线的函数解析式； (2)已知是直线l上的动点． ①当时，判断点P是否在直线上； ②嘉嘉说：“直线l与直线平行．”判断嘉嘉说得对吗？并说明理由； ③当取得最小值时，求a的值； ④直线沿y轴向下平移个单位长度后，与直线l在第四象限有交点，且交点是整点（横、纵坐标都是整数的点），直接写出满足条件的n的整数值的个数． 【答案】(1) (2)①点P不在直线上； ②嘉嘉说得对． 理由：∵， ∴设，， ∴， ∴直线l与直线平行． ③； ④满足条件的n的整数值有6个 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）①当时，，再将代入，计算即可得出结果；②，，从而可得，即可得出结果；③结合图象可知直线与有交点，且交点在线段上，当点P是该交点时，取得最小值，由此计算即可得出结果；④直线向下平移n个单位长度后的直线的函数解析式为，求出直线l与x轴的交点为，从而可得当直线向下平移n个单位长度后，与直线l在第四象限有交点时，x的取值范围是．联立得，解得，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为． 将点，代入得， 解得， ∴直线的函数解析式为． （2）解：①∵， ∴． 将代入中，， ∴点P不在直线上． ②略； ③结合图象可知直线与有交点，且交点在线段上， 当点P是该交点时，取得最小值． 联立得， 解得， 即a的值为． ④直线向下平移n个单位长度后的直线的函数解析式为． 在中，当时，，即直线l与x轴的交点为． 当直线向下平移n个单位长度后，与直线l在第四象限有交点时，x的取值范围是． 联立得，解得， 当、4、6、8、10、12时，交点是整点，n的值是整数， 故此时n的整数值有6个． 题型模版 1.特征：整数点问题. 2.方法：根据换元法，发现两个方程组之间的联系是解题关键. 变式1-1如图，已知直线：与直线：交于点，直线与轴交于点． (1)求的值和直线的表达式； (2)过轴上的点作轴的垂线分别交直线，直线于点，，若，求点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，我们将横，纵坐标都是整数的点叫做“整点”，已知直线：与直线，直线围成的图形内（不含边界）恰好有10个整点，求的取值范围． 【答案】(1)3； (2)或 (3) 【分析】（1）把代入，得，把和代入，求解即可； （2）设，则，，分类求解即可； （3）根据题意，得，直线过定点，由题意得：当时，，求解即可； 【详解】（1）解：把代入，得，把和代入， ， 解得， ：． （2）解：设，则，， 当时，，， ， 解得， 即； 当时，，， ， 解得， 即； 当时，，， ， 解得（舍）， 综上：点C坐标为或． （3）解：， ∴直线过定点， 当直线经过点，前面有共有9个整点，正好不包含第10个整数点， 此时，，解得，， 当直线经过点，共有如下整点： ，正好包含第10个整数点，此时，，解得，， 故直线：与直线，直线围成的图形内（不含边界）恰好有10个整点的 的取值范围． 变式1-2如图，在平面直角坐标系中，放置一平面镜，其中点，的坐标分别为，，从点发射光线，其图象对应的函数解析式为． (1)若光线恰好经过平面镜，的中点，求所在直线的解析式（不要求写出的取值范围）． (2)若入射光线与平面镜有公共点． 嘉嘉说：当入射光线与平面镜交于点时，的值最大； 淇淇说：不对，我认为交于点时，的值最大； 请问，嘉嘉和淇淇谁的说法正确，并求出的最大值． (3)规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线经过镜面反射后，反射光线与轴相交于点，直接写出点是整点的个数． 【答案】(1)； (2)淇淇的说法正确，的最大值为； (3)个． 【分析】先求出的中点的坐标为，然后利用待定系数法即可求解； 分别求出当入射光线经过，时，当入射光线经过，时，的值即可求解； 作出点关于对称点，则，作直线，分别交轴于点，，分别求出直线的直线解析式为，直线的直线解析式为，然后通过一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵点，的坐标分别为，， ∴的中点的坐标为， 设解式为， 把，代入得， 解得， ∴的解析式为； （2）解：当入射光线经过，时， ，解得， 当入射光线经过，时， ，解得， ∵入射光线与平面镜有公共点， ∴的取值范围是， ∴淇淇的说法正确，的最大值为； （3）解：作出点关于直线对称点，即关于直线的对称点，作直线，分别交轴于点，，如图， 设直线的直线解析式为， ，解得， ∴直线的直线解析式为， 设直线的直线解析式为， ，解得， ∴直线的直线解析式为， ∵反射光线与轴相交于点， ∴点纵坐标的取值范围为， ∴点整点纵坐标有，共个，即整点的个数为． 类型二、定值定点问题 典例2在平面直角坐标系中，直线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，过点B作垂线交直线于点P．    (1)如图，当时，求点P的坐标； (2)点Q是y轴正半轴上一点，且，连接． ⅰ）当线段的长为8时，求a的值； ⅱ）试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)ⅰ）；ⅱ）直线经过定点． 【分析】（1）作于点C，证明，进而即可求得点P的坐标； （2）ⅰ）作于点C，证明，再利用勾股定理求得，利用线段和差关系列方程进而即可求得a的值； ⅱ）方法同上，求得点P的坐标，求出直线的表达式即可求出定点． 【详解】（1）解：作于点C，   ，点P在直线上， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点P的坐标为； （2）解：ⅰ）如图所示，    作于点N， ，点P在直线上， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点P的坐标为， 中，， ， ，即， ， 即a的值为； ⅱ）直线经过定点． 理由： 点P的坐标为，， 设直线为， 将，代入， 得， 解得， ，即， 当时，，， 此时无论a为何正数，直线必过点． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用-几何问题，涉及全等三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质，待定系数法，题目综合性比较强，有一定的难度． 题型模版 1.特征：定值定点问题. 2.方法：先联立方程求出公共点坐标即可求解. 变式2-1直线：交轴于点，交轴于点，直线：交轴于点，交轴于点，的周长是，点是线段上一个动点，点在轴上．    (1)求直线的解析式． (2)如图，若的面积是，求点的坐标． (3)如图，过作轴的平行线交线段于点，垂直轴于点、连接，点是线段的中点，过点作，点在直线上，点运动过程中，判断线段的长度是否变化？证明你的结论． 【答案】(1)； (2)或； (3) 解：线段的长度不变化； 证明：设，则， ， 为中点， ， ， 由（1）中待定系数法可得直线解析式为， ， ，将点坐标代入得直线解析式为，联立 ， 解得， ， 点、均为定点， 线段的长度为定值． 【分析】（1）先求出长度，易得，然后利用勾股定理建立方程求解即可； （2）先求出直线解析式，过作轴交延长线于点，设，则，可得长，再根据建立方程求解即可； （3）设，则，易得坐标，可求坐标，进而求出直线解析式，根据垂直可得直线解析式，可求出交点的坐标，进而得解． 【详解】（1）解：交轴于点， 令，得，即， ， 的周长是， ， ， 设，则， 在中，，即， 解得， ， 将，代入，得 , 解得， 直线的解析式为； （2）解：如图，过作轴交延长线于点，    对于，令，得， ， 设直线解析式为，则有 ， 解得， 直线解析式为， 设，则， ， ， ，解得或， 或； （3）略 【点睛】本题主要考查了勾股定理、待定系数求直线解析式、坐标与图形性质、直线交点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 变式2-2直线与轴，轴交于，两点，直线与轴，轴交于，两点． (1)直接写出点，，，的坐标； (2)如图（1），点在的延长线上，连接，，． ①若点的横坐标是2，求； ②若，直接写出点的横坐标． (3)如图（2），已知点，分别在第一、第四象限内，直线，交轴于，两点．若，求证：直线过定点，并求该定点的坐标． 【答案】(1)，，， (2)①7；②点的横坐标为 (3)证明：设直线解析式为，代入，， 得，解得， ∴直线解析式为， 同理，直线的解析式为， 直线解析式为． ，． ，， ， ， 将代入， 得， 当时，， 故直线经过定点，这个定点坐标为； 【分析】（1）当或时，得到直线与轴，轴交点坐标，据此求解即可； （2）①根据计算即可． ②设，则；过作轴交直线于，则，得到，最后根据列方程求解即可； （3）先求出直线解析式为，直线的解析式为，直线解析式为．即可得到，，根据得到，代入直线解析式计算即可； 【详解】（1）解：∵直线与轴，轴交于，两点， ∴当时，则； 当时，，解得，则； ∵直线与轴，轴交于，两点， ∴当时，则； 当时，，解得，则； （2）解：①∵，，， ，， ∴， ∵点的横坐标是2， ∴， ． ②∵点在的延长线上， ∴设， ∴； 过作轴交直线于，则，， ， ∵， ∴， 解得 即点的横坐标为． （3）略 题型三、一次函数与几何交点问题 典例3如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，，与轴交于点，直线． (1)求直线的函数表达式； (2)若，将直线沿轴向上平移个单位长度，当平移后的直线经过点时，求的值； (3)无论的值怎样变化，直线都过定点________； 若当从开始逐渐增大时，函数的值比直线对应函数的值先到达，求的取值范围； (4)已知直线（直线上所有点的横坐标都为），若直线（且）直线与直线围成的三角形的面积是，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)   (4)或 【分析】（1）根据待定系数法即可求解； （2）先求出点的坐标，再根据平移过程写出平移后的直线解析式，最后把点坐标代入即可求解； （3）根据函数表达式的特征即可求解； 根据“函数的值比直线对应函数的值先到达”列出一元一次不等式，解出的范围即可求解； （4）如图所示，根据题意表示出三条直线的交点坐标，再表示出三条直线围成的三角形的面积，令其等于，解绝对值方程即可． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 直线经过点，， ， 解得：， 直线的函数表达式为； （2）解：当时，， 点的坐标为， ， 直线的函数表达式为， 将直线沿轴向上平移个单位长度， 平移后的直线的函数表达式为， 平移后的直线经过点， 将代入中，得 ， 解得：； （3）解：无论的值怎样变化，直线都过定点， 故答案为：； 当时，， 解得：， 将代入中， 得， 函数的值比直线对应函数的值先到达， ， 解得：； （4）解：由，解得：， 即直线与直线交于点，如图所示， 把分别代入、得、， 即直线分别与、交于点、，如图所示， 则， 作于，则， 则， 又， ， 解得：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的平移规律、一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、两直线的交点与二元一次方程组的解的关系、解一元一次不等式等知识点，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． 题型模版 1.特征：一次函数与几何交点问题. 2.方法：熟练运用两直线的交点与二元一次方程组的解的关系即可. 变式3-1在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线（是常数）经过点，点在该直线上，其横坐标为（），设直线在、两点之间的部分（含、两点）为图像． (1)求该直线所对应的函数表达式； (2)当图像与轴有交点时，求的取值范围； (3)若图像的最高点与最低点的纵坐标之差为，求的值； (4)已知点的坐标为，以点为对角线交点构造正方形，使轴，当图像与正方形的边有且只有一个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）将点代入直线，利用待定系数法求解即可； （2）首先确定该函数图像随的增大而增大，且与轴的交点坐标为，结合函数图像即可获得答案； （3）结合点在该直线上，其横坐标为，可得其纵坐标为，根据“图像的最高点与最低点的纵坐标之差为”可得，求解即可获得答案； （4）由题意可知，点在直线上，根据题意可得，，然后分和两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：将点代入直线， 可得，解得， ∴该直线所对应的函数表达式为； （2）如下图， 对于直线， ∵， ∴随的增大而增大， 当时，可得，解得， 即直线与轴的交点坐标为， ∵点在该直线上，其横坐标为，且直线在、两点之间的部分（含、两点）为图像， ∴当图像与轴有交点时，可得； （3）∵点在该直线上，其横坐标为， ∴其纵坐标为， ∵图像的最高点与最低点的纵坐标之差为，即， 解得或， ∴的值为或； （4）由题意可知，点在直线上， ∵以点为对角线交点构造正方形，且轴， ∴点也在直线上，且， ∴， ∵点在直线上，其横坐标为， ∴， 分情况讨论： 情况1，如下图，当时，点在第四象限， ∵图像与正方形的边有且只有一个交点， 当点在点的下方时， 可得，无解； 当点在点的上方时， 可得，解得； 情况2，如下图，当时，点在第二象限， ∵图像与正方形的边有且只有一个交点， 当点在点的上方时， 可得，无解； 当点在点的下方时， 可得，解得． 综上所述，的取值范围是或． 变式3-2如图，直线与直线交于点，交x轴于点B，直线分别与x轴、y轴交于点C，，连接．点为线段上的一个动点，连接． (1)求直线的解析式； (2)若将的面积分为两部分，求点P的坐标； (3)点是点P关于y轴的对称点，当在内部时（不含边界），直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先将点代入，得出点的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得，再分两种情况讨论求解即可； （3）先求出，根据关于轴对称的点的性质得到，作点关于轴的对称点，则，连接，与交于点．利用待定系数法求出直线和直线的解析式，联立得到点的坐标，再根据点在线段之间（不含线段端点），即可求解． 【详解】（1）解：将点代入得， ，即． 将点，代入得， ， 解得：，． 直线的解析式为； （2）解：在中，令，则， ，． ， ． 点P是线段AC上的动点， ． ①当时，，解得． 点在直线上， ，符合题意， ． ②当时：解得． 点在直线上， ，符合题意， ． 综上，点P的坐标为或； （3）解：由（1）知直线的解析式为． 令，则，解得：， ． 是关于轴的对称点， ． 如图，作点关于轴的对称点，则，连接，与交于点． 设直线的解析式为， 把代入得，解得， 直线的解析式为； 设直线的解析式为，则有， ，． 直线的解析式为， 联立可得：，解得，． 点， 当在内部时（不含边界），点在线段之间（不含线段端点）， ． ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图1，A、B两点坐标分别为、． (1)求直线的解析式． (2)如图2，直线分别与y轴、交于点、，若，求的值； (3)如图3，平移直线，平移后的直线与x轴交于点，与轴交于点，分别延长、交于点，点坐标为，求与之间的函数关系式． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）利用待定系数法解答即可． （2）求出直线的交点坐标，根据得到，根据两点间距离公式求解即可． （3）设平移得到解析式为，求得对应直线的解析式，然后建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为：，且A、B两点坐标分别为、． 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为：； （2）解：直线分别与y轴、交于点、， 故， 根据题意，得， 解得， 故点， ， ， ， 整理，得或， 解得或， ， 舍去， 故； （3）解：设平移得到解析式为， 根据题意，得，， 设直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为：； 设直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为：； 根据题意，得， 解得， 故点， 点坐标为， ， 整理，得． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线分别对应二元一次方程组，中的方程． (1)解题中的二元一次方程组，并写出两条直线的交点的坐标． (2)若在直线对应的方程不变的情况下，将直线对应的方程改为，且交点仍在第一象限，求的取值范围． (3)已知直线对应的方程为，且直线与直线相交于点． ①求，之间的关系式； ②若，为正整数，求满足条件的，的值． 【答案】(1)交点的坐标为 (2) (3)；②， 【分析】（1）根据方程组求解即可； （2）根据方程组求解即可，得点的坐标为，再根据点在第一象限，建立不等式组，即可求解； （3）①直线和直线的交点是点，即点在直线：上，即可求解；②，且，，当时；当时分别代入即可. 【详解】（1）解：． 由②，得． 代入①，得， 解得． 将代入①，得． ∴交点的坐标为． （2）由题意，得新方程组 解得 ∴点的坐标为． ∵点在第一象限， 解得． 的取值范围为． （3）①∵直线和直线的交点是点，即点在直线：上， ． ②，为正整数， ，且，． 当时，，解得； 当时，，解得（舍去）． ，． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组）、待定系数法求一次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 3．已知在平面直角坐标系中，直线（为常数，），其中为小于2的最大整数． (1)求的函数表达式及与轴，轴的交点坐标； (2)点在函数的图象上，过点作轴的平行线交函数的图象于点，过点作轴的平行线交函数的图象于点，设线段与线段长度之和为，点的横坐标为，求关于的函数表达式； (3)在（2）的条件下，若．设直线（为常数，），当直线的图象与函数的图象交点有2个时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【分析】（1）由题意，，即可得出函数解析式，进而求出直线与坐标轴的交点即可； （2）根据平行于轴的直线上的点的横坐标相同，平行于轴的直线上的点的纵坐标相同，求出的坐标，进而求出线段与线段长度之和，列出函数关系式即可； （3）分和时，两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵为小于2的最大整数， ∴， ∴； 当时，；当时，； 故与轴，轴的交点坐标分别为， （2）解：由题意，， ∵过点作轴的平行线交函数的图象于点， ∴， ∵过点作轴的平行线交函数的图象于点， ∴点的纵坐标为， 当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：由（2）知：； ∵， ∴当时，， 当时，， 当时，． 画出函数图象如图： ∵， ∴当时，， ∴直线过定点， 当，直线过点时，则，解得， 此时直线的图象与函数的图象只有1个交点， ∴当时，直线的图象与函数的图象交点有2个； 当，直线过点时，则，解得， 此时直线的图象与函数的图象只有1个交点， ∴当时，直线的图象与函数的图象交点有2个； 综上：或. 4．如图，在平面直角坐标系中，直线过点与，与x轴交于点C． (1)求直线的解析式； (2)点D为轴上一动点，连接，求的最小值； (3)将直线向下平移6个单位长度得到直线，点E为直线上的一动点，连接．若，请直接写出所有符合条件的点E的坐标，并写出求解点E的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1)； (2)； (3)解：∵直线的解析式为， ∴， ∵， ∴同（1）法可得，直线的解析式为， 过点作的平行线，交直线于点，交轴于点， 则， 设直线的解析式为， 由（2）知：， ∴， ∴， ∴， ∴， 联立，解得， ∴； 将直线沿着轴翻折，交轴于点，则，， 同法可得，直线的解析式为， 联立，解得， ∴； 综上：或. 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点的坐标，作点关于轴的对称点，连接，当点在线段上时，的值最小为的长，勾股定理求出的长即可； （3）求出平移后的直线的解析式，过点作的平行线，交直线于点，交轴于点，此时，求出直线的解析式，联立直线与直线的解析式，求出点坐标，将沿着轴翻折，即可得出另一个符合题意的点的坐标. 【详解】（1）解：∵直线过点与， ∴，解得， ∴； （2）解：当时，， ∴， 作点关于轴的对称点，连接，则，， ∴， ∴当点在线段上时，的值最小为的长， 作轴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）略 5．在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点，直线，直线与交于点P． (1)求k的值； (2)已知当时，的最大值是其最小值的4倍，求t的值？ (3)若直线（m，n常数，）经过点P．试探究：是否存在一组常数m，n，使得无论t取何值，直线都经过x轴上的某一个定点？若存在，请求出m，n的值及该定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，，该定点坐标为 【分析】（1）将点代入解析式即可求解； （2）将代入解析式得到，根据函数的增减性即可得到最大值和最小值，根据条件列方程求解； （3）根据条件得到点的坐标，代入得到的关系，令得到关于的恒等式即可求解． 【详解】（1）解：将代入直线， 整理得：， 则， 解得： （2）解：将代入直线，， 得直线， 直线， 则 ∵， ∴随着的增大而减小， 当时， 当时，取得最大值：， 当时，取得最小值：， 根据题意得：， 解得： （3）解：联立和的解析式得：， 解得， 则点， 根据题意直线， 将点代入可得： ∴ ∴， ∴， ∵直线都经过x轴上的某一个定点， 将代入得 则， 对任意成立，因此， 将代入得， 解得：， 则， 将代入， 解得， 满足， 则存在常数，，定点为． 6．平面直角坐标系中，直线的解析式为：过定点，分别交轴、轴于点、． (1)直接写出定点的坐标________； (2)如图（1），当时，点在线段上，点在轴上，满足且，求点的坐标； (3)如图（2），平移直线交轴负半轴于点，交轴负半轴于点，使得，连接交于点，过点作于点，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据解析式过定点，即可求解； （2）证明得出，进而设，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解； （3）过作于点，先证，得到，可得解析，求出点坐标，进而求出解析式，、，再代入求证即可． 【详解】（1）解：∵过定点， ∴ （2）当时，， 当时，，当时，， ∴，， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴； （3）过作于点，则， ∵平移直线交轴负半轴于点，交轴负半轴于点， ∴， ∴， 又∵ ∴ ， ∴， ∴， ∵直线的解析式为：， ∴直线的解析式为， 当时，，则， 当时，，则， 设的解析式为，代入和得： 解得： ∴的解析式． 当时，，则， ∵，． ∴， ∴，． ∴． 【点睛】点睛片段本题考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，勾股定理，平移的性质，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 7．定义：当，，，满足，且时，称点与点为一对“芙蓉点”．若某函数图象上至少存在一对“芙蓉点”，就称该函数为“芙蓉函数”．请你根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ①点与点___________是一对“芙蓉点”； ②判断：点的“芙蓉点”___________（选填“在”或“不在”）函数的图象上． (2)当点A在直线上运动时，求点A的“芙蓉点”B的横、纵坐标满足的数量关系． (3)若一次函数与（，都是常数，且）均是“芙蓉函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和． 【答案】(1)①；②不在 (2) (3) 【分析】（1）①根据“芙蓉点”的定义，设出所求点的坐标，列出方程求解； ②先求出点的“芙蓉点”，再代入函数判断是否在其图象上； （2）设出点A和点B的坐标，根据“芙蓉点”的定义列出方程，进而得到点B的横、纵坐标满足的数量关系； （3）先根据“芙蓉函数”的定义求出两个一次函数的表达式，再分别求出它们与两坐标轴围成的平面图形的面积，最后求和． 【详解】（1）解：①根据题意可知，，， ∵点为， ∴，解得：；，解得：， ∴点与点是一对“芙蓉点”； ②设“芙蓉点”为，则，， ∴，， ∴点的“芙蓉点”为， 代入函数验证：当时，， ∴点的“芙蓉点”不在函数的图象上． （2）解：设点，点， ∵点A在直线上， ∴， 又∵点A与点B是一对“芙蓉点”， ∴，且， ∴， 将代入， 可得， ∴， 由可得， 将代入， 得， 即， ∴点A的“芙蓉点”B的横、纵坐标满足的数量关系为． （3）解：设一次函数上的一对“芙蓉点”为，， 则， ∴，即， ∵，在上， ∴， 将代入可得， 两式相减， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 对于，令，则；令，则， ∴它与两坐标轴围成的三角形面积为， 对于，令，则；令，则， ∴它与两坐标轴围成的三角形面积为， ∴， ∴这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $