专题12 二元一次方程组特殊解法的四类培优综合题型（四川成都专用，压轴题专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 聚焦二元一次方程组特殊解法，构建“通法+题型+挑战”三阶训练体系，提炼整体代换、参数求解等核心方法，强化知识迁移与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1模块|构造方程组求解|以基本解法为底线，奠定特殊题型基础| |题型归纳|4类题型（各1典例+3变式）|整体代换用换元法/相同解先求公共解/整数解验证法/新定义转化法|从具体题型到方法迁移，培养抽象能力与模型意识| |压轴挑战|10题|综合应用四类方法|提升复杂问题解决能力，渗透推理意识|

专题12 二元一次方程组特殊解法的四类培优综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、整体代换法解方程组 题型二、错解复原问题 题型三、方程组的整数解问题 题型四、新定义问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 二元一次方程组特殊解法是初中函数基础，所有题型均围绕整体代换、相同解问题、方程组的整数解问题及新定义问题展开，解题贯穿基本底线原则：构造方程组求解。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、整体代换解方程组 典例 1已知关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用整体换元的思想，将待解方程组变形为与已知方程组结构相同的形式，再利用已知方程组的解得到新的方程，即可求解. 【详解】解：首先整理待解方程组：，将方程组变形得：， ∵已知原方程组的解是 ∴可得，解第一个方程得，即，解第二个方程得， ∴待解方程组的解为，对应选项C． 题型模版 1.特征：整体代换解方程组. 2.方法：根据换元法，发现两个方程组之间的联系是解题关键. 变式1-1若关于、的二元一次方程组的解为，则方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用整体换元思想，将待求解方程组变形为与已知方程组结构一致的形式，再结合已知解计算即可． 【详解】解：对方程组变形得： ， 方程组的解为， ， 解得：， 方程组的解是． 变式1-2已知关于x，y的方程组的解是，又有关于x，y的方程组，则这个方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组．对比求解方程和已知方程，可以发现把括号内看作一个整体，它们的系数一一对应相同，由此得出，解方程组即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解是， ∴方程组的解为， 解得：； 故选C． 变式1-3已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于m，n的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察两个方程组，根据已知方程组的解可得，由此即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，正确发现两个方程组之间的联系是解题关键． 类型二、相同解问题 典例2已知方程组和方程组有相同的解，则，的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两个方程组有相同的解，说明该解同时满足所有方程，因此先联立不含参数的方程求出公共解，再将公共解代入含参数的方程，得到关于的方程组即可求解． 【详解】解：根据题意，联立不含参数的方程得， ①+②得，解得， 把代入①得 ，解得， 把代入和得：， 将代入得，解得 把代入得 ， 所以，即选项A符合题意． 题型模版 1.特征：相同解问题. 2.方法：先联立不含参数的方程求出公共解，再将公共解代入含参数的方程，得到关于参数的方程组即可求解. 变式2-1关于x，y的二元一次方程组与有相同的解，则mn＝_________ ． 【答案】 【分析】本题考查方程组解的意义以及解二元一次方程组，利用两个方程组的解相同联立方程组，进一步利用方程组解决问题是关键． 先联立两个不含参数的方程求得方程的相同解，再代入含参数m、n的方程解出m和 n的值，最后计算即可． 【详解】解：由题意，解方程组 ， 解得， 代入 和 得 ， 解得， ∴． 故答案为：． 变式2-2关于，的方程组与方程组的解相同，则_____ 【答案】1 【分析】由于两个方程组解相同，因此先联立不含、的二元一次方程组求出、的值，再代入含、的方程组求出、的值，最后代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵两个方程组的解相同， ∴先解，得， 把代入，得， 解得: ， ∴． 变式2-3已知方程组和方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程组的解法，掌握先求解公共未知数的方程组得到公共解，再代入含参数的方程求解参数是解题的关键． 由于两个方程组的解相同，先联立两个方程组中只含的方程，解出公共解；再将公共解代入含的方程，得到关于的方程组并求解；最后把的值代入，计算出结果． 【详解】解：两个方程组的解相同，根据题意得 解得 解得 ． 题型三、方程组的整数解问题 典例3已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则符合条件的整数n的值为____________． 【答案】0或或 【分析】先求出方程组的解，再结合已知条件得到，然后根据a，b均为正整数最后得出答案即可． 【详解】解方程组得： ∵方程组的解满足 ∴， ∴， ∵ ∴ 整理得，， ∴， ∵a，b均为正整数 ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； ∴n的值为0，，． 题型模版 1.特征：方程组的整数解问题. 2.方法：将方程组求解，验证是否为整数即可. 变式3-1已知关于，的方程组的解是整数，且是正整数，则________． 【答案】或或 【分析】先解方程组，根据方程组的解是整数，且是正整数，可得可能取值为，再将的值代入中验证是否为整数，即可得解． 【详解】解：解方程组 ，得， 解得，代入①，得 ， 解得， ∵是整数，且是正整数， ∴是的正因数， ∵的正因数有， 又∵是正整数， ∴， ∴可能取值为， 当时，，此时，，均为整数，符合要求； 当时，，此时，，均为整数，符合要求； 当时，此时，，均为整数，均为整数，符合要求； 综上，的值为或或． 变式3-2已知关于x，y的方程组的解是整数，且a是正整数，则______． 【答案】1或4 【分析】先解方程组得，根据方程组的解是整数，且a是正整数，可得或4，再将a的值代入中验证是否为整数，即可得解． 【详解】解：解方程组，得 ， ∵a是正整数， ∴， ∴， 又∵是整数， ∴是6的因数， ∴或6， ∴或4， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上，或4． 变式3-3为正整数，已知二元一次方程组有整数解，则为______． 【答案】 【分析】利用加减消元法易得、的解，由、均为整数可解得的值． 【详解】解：解方程组，可得， 方程组有整数解， 或， 解得或或， 又为正整数， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟悉相关解法是解题的关键． 题型四、新定义问题 典例4对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与_______（填“具有”或“不具有”）“友好关系”； (2)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为，的方程组，其中与，都是正整数，是否存在满足条件的正整数，使该方程组的解与具有“友好关系”？如果存在，请求出的值及此时方程组的解；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)具有 (2)或 (3)时，方程组的解为，此时方程组的解具有“友好关系” 【分析】（1）先解二元一次方程组求出、的值，再代入验证，判断是否具有友好关系． （2）先通过方程组消元，用含的代数式表示，再根据友好关系的定义列方程求解的值． （3）先通过加减消元法用含的代数式表示，结合、、为正整数的条件，分情况讨论的取值，再验证是否满足，判断是否具有友好关系． 【详解】（1）解：具有“友好关系”，理由如下： ， ①-②得， 解得， 将代入②得， 解得， ∴方程组的解为， ∴， ∴方程组的解与具有“友好关系”， 故答案为：具有； （2）解：， ②-①得， ∴ ∵方程组的解与具有“友好关系”， ∴， 解得或， ∴的值为或； （3）解： ， 得，， 解得， 与，都是正整数， 当时，， 则， 此时方程组的解具有“友好关系”； 当时，， 则， 此时方程组的解不具有“友好关系”； 当时，（不合，舍去）； 当时，（不合，舍去）； 综上，时，方程组的解为，此时方程组的解具有“友好关系”． 题型模版 1.特征：新定义问题. 2.方法：根据新概念的定义及其性质，求解即可. 变式4-1定义：我们把关于，的二元一次方程叫做有序数对的特征方程（其中，为常数，且）．如：叫做有序数对的特征方程． (1)若的特征方程的一个解是，求的值． (2)若无论取何值，有序数对的特征方程总有一个固定不变的解，求出这个解． (3)已知是的特征方程的一个解，且是的特征方程的一个解（，），求的最小整数值，并写出此时和的值． 【答案】(1) (2) (3)的最小整数值为，， 【分析】（1）根据题意得，据此求解即可； （2）根据题意得，根据方程总有一个固定不变的解得到，据此求解即可； （3）根据题意得，得到，即可得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意：， ； （2）解：由题意：， ， ， ∵无论取何值，方程总有一个固定不变的解， ， ； （3）解：由题意：， ， ， ， ， 的最小整数值为， 即， ∴，此时， ∴，． 变式4-2给出定义：已知关于x，y的二元一次方程（a，b，c为常数，，且），若将该方程中y的系数b与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“组本方程”，例如方程的“组本方程”为． (1)写出的“组本方程”是______，由该方程和其“组本方程”组成的方程组的解是______； (2)若关于x，y的二元一次方程（a，b，c为常数，，且）的系数满足． ①求该方程与其“组本方程”组成的方程组的解； ②若①中方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】(1)；；(2)①；②2027 【分析】（1）根据“组本方程”定义写出对应方程，再用加减消元法解方程组； （2）①利用加减消元法结合的条件推导方程组的解； ②将方程组的解代入方程得到m与n的数量关系，整体代入代数式求值． 【详解】（1）解：∵原方程为， 根据“组本方程”定义，互换y的系数与常数项， ∴组本方程为； 联立得方程组，解得：． （2）解：①原方程与其组本方程组成的方程组为， 由得：， ∵， ∴， ∴， 将代入①，得，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴方程组的解为； ②将代入，得，即， ∴， ∵， ∴， ∴原式． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知和是方程的两个不同的解，则代数式的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程解的定义列出二元一次方程组，根据加减消元法求出，将其代入求出，结合题意推得的值是正数，即可求解． 【详解】解：根据题意可得， ，得， 整理得， ∴， ， ； ∵和是方程的两个不同的解， 故， ， 故； ， 即的值是正数，只有B选项的数是正数，故选B． 2．已知关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程组的解的定义去构造方程组，解答即可． 本题考查了方程组的解，正确理解定义是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴是方程组的解， ∵的解是， ∴ ∴， 故的解为， 故选C． 3．已知关于，的方程组，有下列结论：①当时，则；②当时，方程组的解也是的解；③当时，；④不论取什么数，，都不可能互为相反数．其中你认为正确的有________．（把正确的序号填在横线上） 【答案】①③④ 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组，得到，关于的表达式，再逐个验证每个结论即可． 【详解】解： 由①②得：， 解得， 把代入②得：， 即方程组的解为， ①当时，，， 则，故①正确． ②当时，，， ，， ，故②错误． ③若，则， 整理得，解得，故③正确， ④若，互为相反数，则， 因为，故不论取何值，，都不可能互为相反数，故④正确． 则①③④正确． 4．小明在解方程组时由于看错，解得，而正确解为，则________． 【答案】24 【分析】看错系数得到的解满足第一个方程，正确解满足方程组的两个方程，将对应解分别代入得到关于，，的方程，求解得到三个未知数的值，再计算即可． 【详解】解：由题意可知，满足方程， 代入得，； 将正确解代入，得； 联立得方程组，解得 将正确解代入，得， 解得， ∴． 5．已知关于、的二元一次方程组，解均为正整数，且为整数，则______． 【答案】或4 【详解】解：解方程组，得，， 因为x、y均为正整数，且k为整数，所以必须是22和33的正公因数， 22 的正因数：1，2，11，22， 33 的正因数：1，3，11，33， 两者的正公因数是：1，11， 当时，解得，此时，，均为正整数； 当时，解得，此时，，均为正整数； 综上，或4． 6．若方程组的解是正整数，则整数______________． 【答案】或或 【分析】求得方程组的解，再根据解为正整数，求解即可． 【详解】解： 由可得 将代入可得 解得 ∵，为正整数 ∴能被整除， 则或或 解得或或 故答案为：或或 【点睛】此题考查了已知二元一方程组的解的情况求参数，解题的关键是正确求得． 7．已知，是有理数，且，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的平方根，已知字母的值，求代数式的值，构造二元一次方程组求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据题意列出关于m、n的方程组求解，再代入中，求出的值，再求出的平方根． 【详解】解：∵，是有理数，且， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是． 8．在解方程组时，由于粗心，小马看错了方程①中的系数，得出解为；小虎看错了方程②中的系数而得解为．请你根据上述条件，求出原方程组的解． 【答案】 【分析】根据题意，将方程组的解代入正确的方程中解得，，然后代入原方程求解即可． 【详解】解：小马看错①中，解满足②：， 解得 小虎看错②中，解满足①：， 解得， 原方程组为， 由代入， 解得： ． 9．已知关于x、y的方程组：，求出所有整数a，使得方程组有整数解（即x、y都是整数），并求出所有的整数解． 【答案】 【分析】本题考查了含有参数的二元一次方程组特殊解法．先解方程组，求出用a表示的x、y的值，由题意，可以整除，根据整除关系得到的因数为,，再尝试求得整数a，使x、y都是整数． 【详解】解：解原方程组得，， 由于 则可以整除，即可以整除， 故可知，， 则的因数为, 当时，舍去， 当时，舍去， 当时，舍去， 当时，， 把代入解得， ∴原方程组的整数解为． 10．定义：关于的二元一次方程（其中互不相等）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． (1)方程的“变更方程”为_____； (2)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为_____； (3)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于、的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“变更方程”的定义可得方程即可； （2）联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：方程的“变更方程”为， 故答案为：； （2）解：， ①②得：， 解得， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 方程与它的“变更方程”组成的方程组为， 解得， ∴把代入可得， 即， ∴ ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 二元一次方程组特殊解法的四类培优综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、整体代换法解方程组 题型二、错解复原问题 题型三、方程组的整数解问题 题型四、新定义问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 二元一次方程组特殊解法是初中函数基础，所有题型均围绕整体代换、相同解问题、方程组的整数解问题及新定义问题展开，解题贯穿基本底线原则：构造方程组求解。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、整体代换解方程组 典例 1已知关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：整体代换解方程组. 2.方法：根据换元法，发现两个方程组之间的联系是解题关键. 变式1-1若关于、的二元一次方程组的解为，则方程组的解是（     ） A． B． C． D． 变式1-2已知关于x，y的方程组的解是，又有关于x，y的方程组，则这个方程组的解是（     ） A． B． C． D． 变式1-3已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于m，n的方程组的解是（    ） A． B． C． D． B． 类型二、相同解问题 典例2已知方程组和方程组有相同的解，则，的值分别为（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：相同解问题. 2.方法：先联立不含参数的方程求出公共解，再将公共解代入含参数的方程，得到关于参数的方程组即可求解. 变式2-1关于x，y的二元一次方程组与有相同的解，则mn＝_________ ． 变式2-2关于，的方程组与方程组的解相同，则_____ 变式2-3已知方程组和方程组的解相同，求的值． 题型三、方程组的整数解问题 典例3已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则符合条件的整数n的值为____________． 题型模版 1.特征：方程组的整数解问题. 2.方法：将方程组求解，验证是否为整数即可. 变式3-1已知关于，的方程组的解是整数，且是正整数，则________． 变式3-2已知关于x，y的方程组的解是整数，且a是正整数，则______． 变式3-3为正整数，已知二元一次方程组有整数解，则为______． 题型四、新定义问题 典例4对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与_______（填“具有”或“不具有”）“友好关系”； (2)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为，的方程组，其中与，都是正整数，是否存在满足条件的正整数，使该方程组的解与具有“友好关系”？如果存在，请求出的值及此时方程组的解；如果不存在，请说明理由． 题型模版 1.特征：新定义问题. 2.方法：根据新概念的定义及其性质，求解即可. 变式4-1定义：我们把关于，的二元一次方程叫做有序数对的特征方程（其中，为常数，且）．如：叫做有序数对的特征方程． (1)若的特征方程的一个解是，求的值． (2)若无论取何值，有序数对的特征方程总有一个固定不变的解，求出这个解． (3)已知是的特征方程的一个解，且是的特征方程的一个解（，），求的最小整数值，并写出此时和的值． 变式4-2给出定义：已知关于x，y的二元一次方程（a，b，c为常数，，且），若将该方程中y的系数b与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“组本方程”，例如方程的“组本方程”为． (1)写出的“组本方程”是______，由该方程和其“组本方程”组成的方程组的解是______； (2)若关于x，y的二元一次方程（a，b，c为常数，，且）的系数满足． ①求该方程与其“组本方程”组成的方程组的解； ②若①中方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知和是方程的两个不同的解，则代数式的值可以是（     ） A． B． C． D． 2．已知关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（ ） A． B． C． D． 3．已知关于，的方程组，有下列结论：①当时，则；②当时，方程组的解也是的解；③当时，；④不论取什么数，，都不可能互为相反数．其中你认为正确的有________．（把正确的序号填在横线上） 4．小明在解方程组时由于看错，解得，而正确解为，则________． 5．已知关于、的二元一次方程组，解均为正整数，且为整数，则______． 6．若方程组的解是正整数，则整数______________． 7．已知，是有理数，且，求的平方根． 8．在解方程组时，由于粗心，小马看错了方程①中的系数，得出解为；小虎看错了方程②中的系数而得解为．请你根据上述条件，求出原方程组的解． 9．已知关于x、y的方程组：，求出所有整数a，使得方程组有整数解（即x、y都是整数），并求出所有的整数解． 10．定义：关于的二元一次方程（其中互不相等）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． (1)方程的“变更方程”为_____； (2)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为_____； (3)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于、的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $