第五章 二元一次方程组 单元复习题 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 本单元复习题通过基础巩固、能力进阶、拓展探究三层设计，覆盖二元一次方程组的概念、解法及应用，强化运算能力与模型意识，适配单元复习需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二元一次方程定义、解的验证、基本解法|选择题1-2、填空题6-7、解答题11，夯实概念与运算基础| |进阶层|含参数方程组、图像与方程组、同解问题|选择题3-4、填空题8-9、解答题12-14，提升推理与综合应用能力| |拓展层|实际应用、新定义运算、整体思想|选择题5、填空题10、解答题15-19，融入生活情境与创新探究，培养模型意识|

第五章《二元一次方程组》单元复习题 一、选择题 1.下列方程中，属于二元一次方程的是() A.x41=5 y B.y+5z=-4x C.3x-3x(x-y)=8 D.x+=2 x=5 2.y=3是下面哪个二元一次方程的解() A.2x-y=7B.y=-x+2 C.x=-y-2 D.2x-3y=-1 x+y=2 3.若方程组(k-)x+(k+)y=4的解x与y相等，则k的值为() A.1 B.0 C.2 D.4 x=-2 2x+3y=m 4.已知y=1是关于x,y的二元一次方程组nr-y=3的一组解，则m-2n的值为() A.3 B.-5 C.5 D.-3 5.规定bdad-bc, a c 2-3-5,兵时时满以月，用 ,如31 么x,y的值分别为() A.4,-5 B.-4,-5 C.4,5 D.5,4 二、填空题 6.已知2xr-3-1 5=0是关于x、y的二元一次方程，则m=一 7.已知：Br-y-13+(+y-3=0,则的值为 8.如图，直线”=与=x+b的图象交于点2)，则关于，y的二元一次方程组 y=k,x+b y=kx的解是 -2 y-k2x+b/ y=kxl ax+by=e x=3 a(x-l)+by+1)=2e 9.若关于x,y的方程组x+=∫的解是y=-2则关于x,y的方程组c(x-1)+d(y+)=2f 的解是 10.定义：在平面直角坐标系中，若m-m幸-2，称底叭与皮a-2m+2 互为友好点.若直线 1上存在友好点，且与x轴，y轴围成的三角形的面积是3，则直线1的表达式为 三、解答题 11.解方程组： (1)3x-4(x-2y)=5 ②青1 x-2y=1 3x-4y=2 x+3y=1 y-x=3a-2b 12.已知方程组x+y=4a-b和方程组2x-y=-5有相同的解，求a,b的值. 2x+y-6=0① 13.已知关于x,y的二元-次方程组2x-2y+my+8=0②. (1)若方程组的解满足x-y=0,求m的值； (2)无论数m取何值，方程2x-2y+mw+8=0总有一个固定的解，请求出这个解. 14.如图，在平面直角坐标系中，直线尔=与直线：y=mr+交于点1(2），直线与 交于点C(40) 直线：y=x+b 与y轴的交点为B. B (1)求直线2与的解析式： (2)求△ABC的面积. 15.茶叶促销活动前后，A,B两种茶叶的销量（单位：两）和销售额（单位：元）对比情况 如下表.已知促销时A茶叶是按原价的八折销售，其打折后的价格与B茶叶打折前的价格相 同. A茶叶销量 B茶叶销量 销售额 打折前 300 200 6900 打折后 500 400 9360 (1)每两A,B茶叶的原价分别是多少？ (2)B茶叶打几折销售？ (3)促销期间，王阿姨带了96元要买A茶叶和打折后为8元的C茶叶（两种茶叶的销量均为 正整数)，若所带的钱刚好用完，请通过计算说明她有几种购买方案， 16.阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知 数的一个代数式的值.如以下问题：已知实数x、y满足3x-y=5,2x+3y=7,求x-4y和 7x+5y 3x-y=52x+3y=7 的值.本题常规思路是将 ①， ②联立组成方程组，解得x、y的值再 代入欲求值的代数式得到答案，常规思路计算量比较大，其实本题还可以仔细观察两个方程 未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得x-4y=-2,由 ①+②×2可得7x+5y=19.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”. 解决问题： 2x+y=4 (1)已知二元一次方程组x+2y=5,则x-y=,x+y=; x+3y=4-a (2)试说明在关于x、y的方程组x-5y=3a中，不论a取什么实数，x+y的值始终不变； (3)某班级组织活动购买小奖品，买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元，买5支铅笔、 9块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本笔记本共需多少元？ 17.国产动画《哪吒》系列电影的卓越品质给无数观众留下了深刻的印象.某文创店老板打 算从批发商处购进“哪吒”“敖丙”和“太乙真人”三种手办，第一批只购进了“哪吒”和 “敖丙”两种手办进行试销.其进货单如图所示，其中部分数据被墨水覆盖，已知每套“敖 丙”手办的进价比每套“哪吒”手办贵5元. 进货单 ××× 序号 名称 规格 单位 进货 数量 进价/元金额/元售价/元 1 太乙真人手办 套 0 25 0 30 2 哪吒手办 套260 25 7900 3 敖丙手办 套200 35存 根 合计金额佰拾万仟：佰拾元角分￥ 主管 仓库 记帐 经手人 (1)求出每套“哪吒”手办和每套“敖丙”手办的进价； (2)受电影热度影响，第一批购进的两种手办全部售完，老板将第一批手办的销售额全部用于 购进第二批手办，已知三种手办都需要购进，且购进“哪吒”和“敖丙”手办的数量相等. 但每套“哪吒”手办的进价比原来提高20%，每套“敖丙”手办的进价比原来降低40%，每 套“太乙真人”手办的进价不变，若购进套“太乙真人”手办，b套“哪吒”手办. ①试推算a与b应满足的数量关系； ②若三种手办的售价不变，当“太乙真人”手办的数量不少于130套时，直接写出销售完第 二批手办可获得利润的最大值. 18.阅读下列材料： [2x+3y+2x-3y=7 4 3 小亮同学在学习二元一次方程组时遇到了这样的一个问题：解方程组 2x+3y+2x-3y=8' 3 2 小亮发现，如果把方程组中的 2x+3),(2x-3刃看成一个整体，通过换元，可以解决间题， 以下是他的解题过程： 解：令m=2x+3y,n=2x-3y. (m=7 43 原方程组化为 g+-8 解得[m=60 n=-24 m=60 2x+3y=60 x=9 把n=-24代入m=2x+3y,n=2x-3y,得2x-3y=-24,解得y=14 x=9 所以原方程组的解为y=14 x+y+x-y=-3 2 5 (1)运用上述方法解方程组2(x+y)-3(x-y)=26 x+68VD+13x=7 4 3 (2)直接写出方程组 x+68+D+13r=8的解为 3 2 @)在2)的条件下a=+,公=，求匠-舍 202 的值. ax+by=c 19.对于关于x,y的二元一次方程组a,x+by=c2(其中a,b,ca2,b2,C2是常数)，给出如 下定义：若该方程组的解满足：-川 ,则称这个方程组为“郡一”方程组. (1)下列方程组是“郡一”方程组的是 (只填写序号)； x+y=0x+y=1x-y=-1 ①2x-y=2②2x-y=2③3x+5y=7. [x-3y=a (2)若关于。y的方程组2x-4y=4a是“郡一”方程组，求a的值； [2amx+(b-1)y=m (3)若对于任意的无理数m,关于x,y的方程组x+2y=4 都是“郡一”方程组，求b 的值. 参考答案 一、选择题 1.D 解：A、方程中含有分式，不是整式方程，故此选项错误； B、方程中含有3个未知数，不符合题意，故此选项错误； C、含有2个未知数，整理后含未知数的次数的项的最高次数是2，不符合题意，故此选项错 误； D、符合二元一次方程定义，故此选项正确. 故选D. 2.A [x=5 解：A、把y=3代入方程2x-y=7,得左边=2×5-3=7=右边， x=5 ∴.y=3是方程2x-y=7的解； 「x=5 B、把y=3代入方程y=-x+2,得左边=3，右边=-5+2=-3，左边≠右边， x=5 ∴.y=3不是方程y=-x+2的解； x=5 C、把y=3代入方程x=-y-2,得左边=5，右边=-3-2=-5，左边≠右边， x=5 ∴.y=3不是方程x=-y-2的解； x=5 D、把y=3代入方程2x-3y=-1,得左边=2×5-3×3=1≠右边， x=5 .∴y=3不是方程2x-3y=-1的解. 故选：A. 3.C 〔x+y=2 解：：方程组(k-1)x+(k+1)y=4的解x与y相等， x+y=2 .x=y, x=1 解得：y=1, x=1 把y=1代入(k-)x+(k+1)y=4得： (k-1)+(k+1)=4 解得：k=2. 故选：C 4.A 「x=-2 2x+3y=m 解：：y=1是关于x,y的二元一次方程组x-y=3的一组解， :m=2x(-2)+3x1.-2n-1=3 ∴.m=-1,n=-2 ,m-2n=-1-2×(-2)=3 故选：A. 5.C 3x+y=17① 解：由新定义，得y-2x=-3② ①-②，得5x=20 解得：x=4 把r=4代入②，得y-2×4=-3 解得：y=5 x=4 ∴方程组的解为y=5 故选：C 二、填空题 6.-8 解：2x-31 5=0是关于y的二元一次方程， [n-3=1 2m+5=1, n=4 m=-2, ∴nm=4×(-2)=-8 故答案为：-8 7.1 解：Bx-y-13+(x+y-3}=0 3x-y-13=0 x=4 x+y-3=0,解得y=-1, =(0-1 故答案为：1. x=1 8.y=2 解：一次函数=与=x+ 的图象的交点坐标为 (1,2) y=k,x+b [x=1 关于，y的二元一次方程组y=kx的解是y=2, x=1 故答案为：y=2. x=7 9.y=-5 +'=e 解：原式变形可得 e+a'=f x-1 -=p 2 令1y+1=g’ 2 ap+bq=e 则化简为：cp+dg=∫， ax+by=e ap+bq=e 方程Cx+少=∫和cp+g=f为系数完全相同的二元一次方程组，即同解， p=3 ∴.9=-2 x-1=3 2 .y+1=-2 2 x=7 解得y=-5. 10.y=-x+6或y=-x-V6 设点血) 在直线上，其友好点-2m+2)也在直线7上， 设直线1的解折式为=红+6，将点和伽-2m+2)代入解析式得： n=km+b m+2=(n-2)k+b,解得k=-1, 直线1的表达式为y=-x+b, 当=0时，)=h,即直线1与y轴交点为Q), 当-0时，0=X+b,解得=b,即直线1与x轴交点为么0)， .S=×bxb=3, 2 .b=±6， ∴直线的表达式y=-x+6或y=-x-V6, 故答案为：y=-x+V6或y=-x-V6」 三、解答题 3x-4(-2）=50 11.(1)解：x-2y=1②， 将②代入①得，3x-4=5, 解得：x=3, 将x=3代入②得，3-2y=1, 解得：y=1, x=3 ∴原方程组的解为：y=1; [4x-3y=12① (2)解：原方程组可变形为3x-4y=2②， ①×4-②×3，m7x=42 得： 解得x=6, 将x=6代入①得y=4, [x=6 则该方程组的解为y=4. x+3y=1 x=-2 12.解：解方程组2x-y=-5,得y=1. 4a-b=x+y=-1 所以3a-2b=y-x=3, a=-1 解得：b=-3 13.(1)解：x-y=0, ∴.x=y 把x=y代入2x+y-6=0得： 3x-6=0 解得：x=2, .y=2 把x=y=2代入2x-2y+mw+8=0得： 4-4+2m+8=0 解得：m=4. (2)解：2x-2y+my+8=0, .ym+(2x-2y+8)=0 “无论数m取何值，方程 2x-2y+y+8=0 总有一个固定的解， y=0 [x=-4 2x-2y+8=0,解得：=0 x=-4 固定解为：y=0 14.(1)解：把 点C(40)代入直线：y=x+b,得0=4+b, 解得b=-4, 故直线y=x-4; 4m+n=0 把点A(2,2),C(4,0)分别代入12：y=mx+n,得2m+n=2, m=-1 解得n=4, 故2：y=-x+4 (2)解：由y=x-4,得B(0-), 由点1(22），C(40),得4C=(4-2+(0-2=8.4B2=(4-2+0-2=40 BC2=(4-0)2+(0+4)=32 故AC2+BC2=8+32=40=AB2, 故△ABC是直角三角形， C.BC=1x2/2x42=8 1 故△ABC的面积为：2 15.(1)解：设每两A茶叶的原价为x元，每两B茶叶的原价为'元， 300x+200y=6900, 由题意，得80%x=5, x=15, 解得y=12, 所以每两A茶叶的原价为15元，每两B茶叶的原价为12元. (2)解：设B茶叶打m折销售， 由题意，得15×80%x500+12×%×400=9360. 10 解得m=7, 所以B茶叶打七折销售. (3)解：设王阿姨购买A茶叶a两，C茶叶b两， 由题意，得15×80%a+8b=96, 24-2b 整理，得a= 3· 因为a,b均为正整数， a=6,a=4,a=2, 所以a,b可取b=3,b=6,b=9, 所以王阿姨共有三种购买方案，方案一：购买6两A茶叶和3两C茶叶；方案二：购买4两A 茶叶和6两C茶叶；方案三：购买2两A茶叶和9两C茶叶. 2x+y=4① 16.(1)解：x+2y=5②， ①-② x-y=-1 得： ①+②3x+3y=9 得： 则x+y=3; x+3y=4-a① (2)解：x-5y=3a②， ①×33x+9y=12-3a 得： ③， ∴.②+③得：4x+4y=12 x+y=3 故不论a取什么实数，x+y的值始终不变； (3)解：设购买1支铅笔为x元，1块橡皮为y元，1本笔记本为z元； [3x+5y+z=21① 则5x+9y+z=28② ①×2-②得： x+y+z=14 ∴.购买1支铅笔、1块橡皮、1本笔记本共需14元. 17.(1)解：设每套“哪吒”手办的进价为x元，每套“敖丙”手办的进价为y元， 260x+200y=7900 根据题意得： y-X=5 [x=15 解得y=20, 答：每套“哪吒”手办的进价为15元，每套“敖丙”手办的进价为20元； (2)解：①第一批手办的销售额为25×260+35×200=13500元， 15×(1+20%)=18 第二批每套“哪吒”手办的进价为 元， 20×(1-40%=12 第二批每套“敖丙”手办的进价为 元， 根据题意得：25a+18b+12b=13500, 整理可得：5a+6b=2700: ②设销售完第二批手办可获得的利润为m元， 则”-(30-25a+(25-18b+(35-1216=5+306 .25a+18b+12b=13500. ∴.30b=13500-25a, ∴.w=5a+30b=5a+13500-25a=-20a+13500, .-20<0, ∴.m随a的增大而减小， ,a与b均为正整数，5a+6b=2700,且a≥130， ∴.a的最小值为132， .当a=132时，w取得最大值，最大值为-20×132+13500=10860元， ∴.销售完第二批手办可获得利润的最大值为10860元. 18.(1)解：令S=x+yt=x-y, 原方程组可化为2s-31=26, [s=-2 解得t=-10, x+y=-2 .x-y=-10, x=-6 解得y=4; (2)解：令c=x+68,d=+13x [c+d=7 43 原方程组可化为 9+g-8 32 c=60 解得d=-24, x2+68=60 V+13x=-24, [x=-2 解得y=4; [x=-2 (3)解：：y=4, .a=x+y=2,b2=x2y=16. .b=±4， -份-=211支原-自=F-(-21=3 x+y=0 19.(1)解：①2x-y=2, [2 x= 解得 3 2 y= 3 时升引到 不是“郡一”方程组； x+y=1 ②2x-y=2, x=1 解得y=0, 此时x-=1-0=1 是“郡一”方程组； x-y=-1 ③3x+5y=7, 1 x= 4 解得5， y=4 此时 是“郡一”方程组； 故答案为：②③： x-3y=a① (2)2x-4y-4a②， ①×2，得2x-6y=2a③， ②-③，得2y=2a, 解得y=a, 把y=a代入①，得x=4a, x=4a 所以方程组的解是(y=a, x-3y=a :关于xy的方程组2x-4y=4a是“郡一”方程组， .x-y=1 即a-as1 1 1 解得a= 3或a= 3； 2amx+(b-1)y=m (3)若对于任意的无理数m,关于x,y的方程组x+2y=4 都是“郡一”方程组， 则-以1 x+2y=4 联立得：x-=1, 23 解得∫x=2或1 , y=1y=3 [x=2 把y=1代入2amx+(b-l)y=m中， 得4am+b-1=m, ∴.(4a-1)m+b-1=0 m为任意无理数， ∴.4a-1=0,b-1=0 解得：a子b1, ab=1 4； .2 x= 3 把5代入 中， y=3 2amx+(b-1)y=m 得号m+6-)=m, 4 -a-m6--0 :”"为任意无理数， ÷含a-1=036-)=0, 4 3 解得：a=46-=1, 3 ∴.ab= 4； 3 综上所述，ab的值为4或4：