重难点专题03 二元一次方程组的应用（专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

重难点专题03 二元一次方程组的应用 重难点一、方案问题（二元一次方程组的应用） 解决二元一次方程组方案问题，先设未知数，根据题干两组等量关系列出方程组。求解后结合实际要求筛选整数解，物品数量、人数必须是非负整数。依次列举可行方案，再根据总价、成本对比选出最优方案。注意检验所有解是否符合现实条件，不要遗漏可行情况。 1．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期末）2026年5月1日晚，在鞍山市立山区南沙河举办了一场大型无人机灯光秀，这次灯光秀共有3000架无人机参加表演，这3000架无人机由外市用大型箱式半挂车通过高速公路运输到鞍山，然后用中型厢货车一次性转运到表演场地．参与转运的中型厢货车有A，B两种型号，每辆A型车运输240架无人机，每辆B型车运输120架无人机，且两种型号车均满载，A型车数量是B型车数量的2倍，求A型车和B型车各有多少辆？设A型车有辆，B型车有辆，则下列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·吉林长春·期中）某农场因紧急任务需租用无人机一次性配送种子和化肥等货物．已知1架型无人机和2架型无人机一次可配送货物220千克，2架型无人机和3架型无人机一次可配送货物380千克．求1架型无人机和1架型无人机一次分别可配送货物多少千克． 3．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）某校400名师生参加迎元旦环湖跑，学校计划租用大客车、小客车若干辆将师生送往活动地点．已知租用的大客车、小客车满员载客数量如下表格所示： 大客车（辆） 小客车（辆） 共计载客人数 1 3 105 3 2 175 (1)求每辆小客车与每辆大客车满员分别能坐的人数？ (2)若租用小客车辆，租用大客车辆，保证大小客车均要有且满员，同时将师生运送完毕，请设计出所有的租车方案． 4．（25-26八年级上·四川成都·期末）2025年世乒赛在成都举办，来自世界各地的乒乓球运动员与观众齐聚蓉城，体验“乒坛盛宴”与“天府文化”的融合魅力，组委会为感谢工作人员与志愿者，计划购买蜀绣纪念品与熊猫文创纪念品共件，其中蜀绣纪念品每件售价元，熊猫文创纪念品每件售价元． (1)如果购买蜀绣、熊猫文创两种纪念品一共花费了元，求购买这两种纪念品各是多少件？ (2)设购买蜀绣纪念品件，问组委会共有几种购买方案？哪一种方案总费用最低？则费用是多少元？ 5．（25-26八年级上·四川达州·期末）研学是一种很好的体验式学习方式，为拓宽学生视野，增强对自然与社会的认识，直观了解课本知识，学校组织八年级660名学生到郊外参加研学活动．已知用3辆小客车和2辆大客车每次可运送学生150人，用2辆小客车和1辆大客车每次可运送学生85人． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若计划租小客车辆，大客车辆，一次送完，恰好每辆车都坐满且两种车都要租，请你设计出所有的租车方案． (3)在第（2）问的条件下，若1辆小客车需租金120元/次，1辆大客车需租金220元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 6．（25-26八年级上·四川雅安·期末）某农场现有一批苹果要运往当地水果市场，农场准备租用汽车公司的甲乙两种货车，已知以往租用这两种货车的记录情况如表： 甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨） 第1次 3 2 13 第2次 4 5 22 (1)甲、乙两种货车每辆可装多少吨苹果？ (2)若农场共有18吨苹果，计划租用该公司的两种货车（两种车都租用，且每辆车都满载）正好把这批水果运完，则汽车公司有哪几种方案？ 7．（21-22七年级下·云南昆明·期中）某商场计划花9万元从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元． (1)若商场想同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你帮助该商场设计进货方案． (2)若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在（1）的条件下，为使销售时获利最多，应选择哪种进货方案？ 8．（25-26七年级下·河南周口·期末）我市某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一（2块A型、1块B型，剩余）或裁法二（1块A型、2块B型，剩余）裁下A型与B型两种板材．如图1，（单位：） (1)列出方程（组），求出图中与的值； (2)在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图2的竖式与横式两种礼品盒． ①两种裁法共产生A型板材____________张，B型板材____________张； ②已知①中的A型板材和B型板材恰好做成竖式有盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个，求、的值． 重难点二、行程问题（二元一次方程组的应用） 行程问题牢记基础公式：路程 = 速度 × 时间。相遇问题利用路程之和建立等式，追及问题依靠路程之差列式；航行题型区分顺水、逆水速度。找准两组路程等量关系设立未知数，列出方程组。审题分清方向，统一时间、长度单位，避免单位不统一造成计算错误。 1．（25-26七年级下·山西吕梁·期末）一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了．已知水流的速度是，求船在静水中的平均速度和甲、乙两地之间的距离．设船在静水中的平均速度是，甲、乙两地之间的距离是，则所列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）甲乙两人分别从相距的A、B两地同时出发，相向而行，小时相遇；若同向而行，甲9小时追上乙．则甲、乙速度(单位∶ ) 分别为（   ） A．12， 8 B．10， 10 C．14， 6 D．16， 4 3．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）线段图是解决行程问题的重要数学工具，如图所示的是甲、乙二人运动两次的情形．设甲的平均速度是，乙的平均速度是/，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·福建莆田·期末）李明和刘伟分别从两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发后两人相遇．相遇时李明比刘伟多行进，相遇后李明到达地． (1)两人每小时分别行进多少千米？ (2)相遇后经过多长时间刘伟到达地？ 5．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）甲、乙二人骑自行车同时从相距的两地相向而行，经过相遇．设甲的骑行速度为每小时，乙的骑行速度为每小时， (1)列出关于，的二元一次方程； (2)问题（1）中的方程的解不唯一，请你适当增加题目中的条件：_____，使，有唯一的解，并列出方程组解答你改编后的问题． 6．（2025·山西长治·二模）黄河一号旅游公路是山西省以“踏访黄河、文明探源”为主题的文化旅游公路，起点为忻州市偏关县老牛湾村，终点到运城垣曲西哄哄村，全长1200公里，连接起众多名胜古迹与自然景观．暑假小新和小韵沿着此公路自驾游，小新从老牛湾村出发，小韵从哄哄村出发，小新比小韵晚5小时出发，小新出发29小时后两人相遇，两人沿途游玩、休息等消耗的时间均为20小时，小新驾车行驶的速度比小韵慢20公里/时．请分别求出小新和小韵驾车行驶的速度． 7．（25-26七年级下·重庆·期中）某种自行车轮胎，若安装在前轮，行驶后报废；若安装在后轮，行驶后报废．小明新买了一辆自行车，同时安装了一对新轮胎（两个轮胎相同）． (1)如果小明在行驶一段路程后，将前、后轮胎交换位置，继续行驶直到两个轮胎同时报废．设交换前行驶了，交换后又行驶了．请根据题意，列出关于、的方程组． (2)计算和的值，并求出这辆自行车最多可以行驶多少千米． (3)如果小明希望在总行驶里程达到时恰好交换轮胎，并且交换后仍然继续行驶到两个轮胎同时报废．请问他的这个想法能否实现？请通过计算说明理由． 8．（25-26七年级下·山东日照·期中）骑自行车出行，已经成为了人们健康环保的出行方式，根据市场需求，某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划每天生产安装10辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车． (1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？ (2)如果工厂抽调名熟练工，招聘名新工人，既能使得工人们刚好能完成每日的安装任务，又能保证新工人和熟练工在工作上有照应，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为；如安装在后轮，安全行驶路程为，更换轮胎时，如果只更换前轮，骑行的舒适性会降低，如果同时更换前后轮胎，则维护成本会提高．为了解决这个问题，一般会有定期更换自行车前后轮胎的建议． ①设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则前轮每行驶的磨损量为___________，后轮每行驶的磨损量为___________； ②如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮，那么应在自行车行驶里程达到多少公里时交换前、后轮，能使自行车的两前、后轮同时报废？并求出前、后轮报废时自行车的行驶里程． 重难点三、工程问题（二元一次方程组的应用） 工程问题常设总工作量为 1，核心公式：工作量 = 效率 × 时间。梳理两类工作情景，找到两组等量关系构建方程组。分清单人效率、合作效率，注意分工、分段施工条件。列式完成后检验结果，结合实际判断工期合理性，避开效率相加常见思维误区。 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）抢修一段全长420m的供暖管线，甲、乙两个工程队同时施工，2.5天全部修完，修完时，甲工程队比乙工程队多修了70m．设甲、乙两个工程队的工作效率分别为x米/天和y米/天，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东德州·期末）现有一项工作，A、B、C、D四人都可做，下表显示了两人组合共同完成该项工作所需要的时间，要想只安排一个人去做该工作，并且要求在最短的时间内完成，应该安排的人是（   ） 组合 A与B B与C A与C B与D 所需时间 7天 9天 11天 14天 A．A B．B C．C D．D 3．（25-26七年级下·广东东莞·阶段检测）某地准备修建一条长为米的道路，由甲、乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天修路米，乙工程队每天修路米．如果两队同时施工，需要多少天能完成这条道路的修建？请列方程组求解． 4．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）某工程队在一次高速公路修建过程中，不下雨时每天修建，下雨时每天修建，他们连续天共修建了，求这天中有几天不下雨？有几天下雨？（用二元一次方程组解答） 5．（2025八年级上·全国·专题练习）甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建一条长的公路，甲队每天修建，乙队每天修建，一共用15天完成． (1)小红同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组请写出小红所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示________________，y表示________________．该方程组中□处的数应是________，△处的数应是________． (2)小芳同学的思路是想设甲队一共修建了公路，乙队一共修建了公路．下面请你按照小芳的设想列出方程组，并求出乙队修建的天数． 6．（24-25九年级下·吉林松原·期中）长白山是吉林省的著名旅游景点．为方便外地游客到长白山旅游，吉林省正在修建“沈阳-白山”的高铁线路，其中一个路段需要开凿一条全长千米的穿山隧道．为缩短工期，甲、乙两个工程小组分别从山体两侧同时施工．已知甲组比乙组平均每天多开凿2米，经过天施工，两组会合，完成了任务．求甲、乙两个小组平均每天各开凿多少米？ 7．（25-26六年级下·上海·期末）夏天来临，广大市民对空调的需求不断上涨．某空调公司现有300台已申请空调待装，此外每天另有新申请空调待装．设每天申请安装的空调数相同，如果安排3个安装小组，6天恰好完工；如果安排5个安装小组，2天恰好完工．问：每天新申请安装空调多少台？每个安装小组每天安装空调多少台？ 8．（2026·宁夏银川·二模）为打造“塞上湖城”生态名片，银川市对典农河的一段河道进行清淤美化．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天．求整治任务完成后，甲、乙两个工程队分别整治河道的长度． (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，m表示___________，n表示___________． 根据题意，得 请你补全小明、小华两位同学的解题思路； (2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从（1）中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 重难点四、数字问题（二元一次方程组的应用） 数字问题切勿直接设多位数为未知数，应设数位上的数字。例如两位数，设十位数字、个位数字。利用原数与新数大小关系、倍数关系寻找等量关系。数字调换位置后，及时正确表示出新数值。计算完成验证数字范围，每位数字取值 0~9，最高位不能为 0。 1．（25-26七年级下·浙江温州·期中）宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则的值是（　　） A． B．0 C．1 D．3 2．（25-26八年级上·陕西宝鸡·阶段检测）宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造，在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则的值分别是（    ） 3 2 A．，0 B．1， C．，1 D．1，0 3．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则（    ）． A．1 B．3 C．5 D．7 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 9：00 10：00 11：30 里程碑上的数 是一个两位数，它的两个数字之和为6 是一个两位数，它的十位与个位数字是9：00时所看到的两位数正好互换了 是一个三位数，它比9：00时看到的两位数中间多了个0 则10：00小明看到的两位数为（    ） A．21 B．32 C．42 D．51 5．（23-24七年级下·河北唐山·期中）一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大18，求这个两位数．若设十位数字为，个位数字为，则下列说法正确的是（   ） A．根据题意，列方程组得 B．根据题意，列方程组得 C．这个两位数是26 D．这个两位数是62 6．（25-26七年级下·山东临沂·期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则的值是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和是11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的两位数比原两位数大63，求原来两位数．（列方程组解答） 8．（25-26七年级下·广东东莞·阶段检测）一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好等于它的十位数字与个位数字对调后组成的两位数． (1)求这个两位数． (2)若将这个两位数的十位数字和个位数字对调后，得到一个新两位数，则新两位数比原两位数大多少？ (3)是否存在一个两位数，它的十位数字与个位数字的和是8，且对调后得到的新两位数恰好是原两位数的2倍？如果存在，请求出这个两位数；如果不存在，请说明理由． 重难点五、年龄问题（二元一次方程组的应用） 年龄问题核心规律：人与人年龄差值始终不变。随着年份变化，所有人年龄同步增减。设两人现在年龄为未知数，依据当下年龄关系、若干年后年龄倍数关系列出两组等式。列式时注意年份同步加减，不要只改动其中一人年龄，求出结果后带入题干验证逻辑。 1．（20-21七年级下·江苏南京·期末）小君问叔叔的年龄，叔叔说：“我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了．”小君和叔叔的年龄分别是（    ） A．8岁、20岁 B．16岁、28岁 C．15岁、27岁 D．9岁、21岁 2．（20-21八年级上·陕西榆林·期末）10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 3．（21-22七年级上·湖南株洲·期末）学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经36岁了，”那么老师和学生的年龄分别是（    ） A．24、12 B．24、11 C．25、11 D．26、10 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 5．（24-25七年级下·全国·期中）甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为___岁． 6．（25-26七年级上·全国·单元复习）已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，则甲、乙现在的年龄差为___________． 7．（22-23七年级上·全国·期末）小强问叔叔多少岁了．叔叔说：“我像你这么大时，你才 4 岁．你到我这么大时，我就 40 岁了．”问小强和叔叔今年各是多少岁？ 8．（25-26七年级下·吉林长春·期中）小明和小亮比年龄．小明说：“再过年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过年，我的年龄就是你现在年龄的倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄．（列二元一次方程组解应用题） 重难点六、分配问题（二元一次方程组的应用） 分配问题重点抓住总量不变，区分两种分配方案。读懂分配后的剩余、缺少条件，提取两组等量关系，设置未知数建立方程组。分清分配对象总数与物资总数，避免等量关系混淆。求解后核对物资数量与分配人数，确保答案契合题目给出的盈、亏条件。 1．（2026·河南三门峡·三模）某车间有80名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片300片或镜架60个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架，则可列方程组（     ） A． B． C． D． 2．（2026·内蒙古通辽·三模）我国清代康熙年间编撰的数学典籍《御制数理精蕴》中，记载了诸多“盈朒问题”（即有余、不足类应用题），其解题思路与现代方程思想一脉相承．结合内蒙古草原牧区生活实际，可衍生如下问题：牧民合伙分配一批驮银，若每人分8锭，还剩余5锭；若每人分10锭，则缺少7锭．若设参与分配的牧民有人，驮银有锭，可列方程组为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套？设生产螺栓x人，生产螺帽人，列方程组为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）某家具生产厂生产某种配套桌椅（1张桌子配4把椅子），已知每块板材可制作桌子1张或椅子3把，现计划用140块这种板材生产一批桌椅（不考虑板材的损耗），生产出来的桌椅刚好配套．设用块板材制作桌子，用块板材制作椅子，则________． 5．（25-26九年级上·吉林长春·期末）一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿能恰好配成方桌? 6．（25-26八年级上·江西鹰潭·阶段检测）某学校组织学生夏令营，需要安排宿舍．如果每间宿舍住3人，那么有12人无法住宿；如果每间宿舍住5人，那么就会空出2间宿舍．设宿舍有间，学生有人． (1)请根据题意，列出二元一次方程组； (2)宿舍有多少间？学生有多少人？ 7．（25-26六年级下·上海·期末）某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为小时；生产线共加工b吨原材料，加工时间为小时． (1)当时，A生产线的加工时间是 小时，B生产线的加工时间是 小时． (2)第一天，该企业把5吨原材料分配到，两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到两条生产线的原材料分别是多少吨？ (3)第二天开工前，该企业按第一天的分配方案分配了5吨原材料后，又给生产线分配了m吨原材料，给生产线分配了n吨原材料，若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则m和n有怎样的数量关系？若此时m与n的和为9吨，则m和n的值分别为多少？ 8．（21-22七年级下·江苏宿迁·阶段检测）某学校实践课准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子． (1)若学校现有库存A型板材50张，B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只． (2)若学校新购得n张规格为的C型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张A型板材和2张B型板材，余下板材分成两部分，一部分全部切割成A型板材，另一部分全部切割成B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，则n的最小值是多少？此时能制作横式箱子多少只？ 重难点七、销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 熟练运用公式：利润 = 售价−进价，总利润 = 单件利润 × 销量。理清进价、标价、折扣之间联系，折扣需要换算。寻找两组销售情景，列出方程组。审题区分单件成本与总成本，不要混淆标价和实际售价。算出结果后验算总收入与利润，规避经济类题型常见陷阱。 1．（24-25七年级下·河北唐山·阶段检测）根据以下对话，可以求得明明所买的笔和笔记本的价格分别是（     ） A．元/支，元/本 B．元/支，元/本 C．元/支，元/本 D．元/支，元/本 2．（2026·山西阳泉·模拟预测）山西博物院某文创商店热销两款经典文创产品：晋侯鸟尊钥匙扣与雁鱼铜灯书签．已知购买3个晋侯鸟尊钥匙扣和2个雁鱼铜灯书签共需159元；购买1个晋侯鸟尊钥匙扣和5个雁鱼铜灯书签共需144元．设1个晋侯鸟尊钥匙扣的价格为x元，1个雁鱼铜灯书签的价格为y元，根据题意，所列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·北京·期中）列二元一次方程组解应用题： 电影《哪吒之魔童闹海》受到广大青少年、小朋友的喜爱。据最新统计更新，《哪吒之魔童闹海》新增部分海外票房后，全球累计票房已达22.674亿美元！超过《泰坦尼克号》的22.648亿美元总票房，升至全球影史票房榜第4名！某电影院有两个不同规格的观影厅，星光厅每张票售价40元，银河厅每张票售价50元．某学校一个实践小组进行观影活动，需购买20张票，由于星光厅余票不足20张，所以购买了部分银河厅的票，一共用了950元．请问实践小组买了星光厅票和银河厅票各多少张？ 4．（2026·山西阳泉·三模）4月16日至24日，2026年山西省全民阅读大会暨全民阅读活动周在晋城举办．某校举办“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动，计划给图书馆添置书籍，已知购买4本《论语》和购买5本《诗经》的费用相同，购买2本《论语》比购买3本《诗经》少8元，求《论语》和《诗经》的单价分别是多少． 5．（25-26八年级下·重庆秀山·期末）某学校准备购买两种造型花卉来装扮校园，已知购买株种花卉和株种花卉共需元；购买株种花卉和株种花卉共需元． (1)求这两种花卉的单价； (2)在“五一”前夕，某花卉市场开展了促销活动，具体办法如下：种花卉按原价的七折销售，购买种花卉株以上，超出部分按原价的五折销售．设购买株种花卉需要元，购买株种花卉需要元，分别求出，关于的函数解析式． 6．（22-23九年级下·河南郑州·开学考试）小刚去文具店购买画笔，第一次用27元买了3支A型画笔和4支B型画笔，第二次用49元买了8支A型画笔和3支B型画笔． (1)求A型画笔和B型画笔的单价． (2)小刚使用两种画笔后，决定以后使用A型画笔，但感觉其价格稍贵，和文具店沟通后，文具店给出以下优惠方案：若一次购买A型画笔不超过24支，每支打九折；若一次购买A型画笔超过24支，则前24支不打折，超过的部分打七五折． 设小刚购买A型画笔支，购买费用为元，请写出关于的函数关系式． (3)在（2）的优惠方案下，若小刚计划用210元（全部花完）购买A型画笔，则能购买多少支A型画笔？ 7．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）【发现问题】 某商铺计划整体翻新装修，为兼顾工期、装修劳务费与营业收益，老板对比了甲、乙两支专业装修施工队．已知两队合作施工、单独分段施工的工期与付款金额如下： 【提出问题】 ①甲、乙两队同时开工，天能够全部完工，商店需要合计支付两队劳务费元； ②若先由甲队单独施工天，剩余工程交由乙队单独施工天，也可以完成全部装修，总共需要支付劳务费元． 【分析问题】 经测算：甲队独立完成全部工程需要天，乙队独立完成全部工程需要天．商铺正常营业每日净利润为元，停工装修期间没有营业收入． 请结合以上信息，完成以下实践分析： 【解决问题】 (1)设甲队工作天商店需付费元，乙队工作天商店需付费元，请列出二元一次方程组，并求解甲、乙两队每日劳务费用； (2)分别计算单独聘请甲队、单独聘请乙队完成装修的总花费，对比判断只单独雇佣一支队伍时，哪一个成本更低，并说明理由． 8．（2026·广东广州·二模）某班准备购买“国风书签”和“校徽钥匙扣”作为校园文化节奖品．已知购买1枚国风书签和2个校徽钥匙扣需要8元，购买2枚国风书签和3个校徽钥匙扣需要13元． (1)求每枚国风书签和每个校徽钥匙扣的价格； (2)班委准备用33元全部购买这两种奖品，每种奖品至少买一件． ①写出枚国风书签和个校徽钥匙扣的数量满足的等量关系，并直接写出可能购买方案的个数； ②若从所有可能的购买方案中随机选取一种，直接写出买到的校徽钥匙扣数量多于国风书签数量的概率． 重难点八、和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 和差倍分题型，抓住关键词转化文字语言。看见 “和、差、几倍、多、少” 直接翻译成等式。设两个基础量为未知数，整理两组独立等量关系列出方程组。答题重点区分 A 是 B 的几倍、A 比 B 多几倍两种表述，两者含义不同，审题仔细防止列式出错。 1．（25-26七年级下·浙江台州·期中）班级运动会购买矿泉水与运动饮料共花费520元买50瓶饮品，矿泉水每瓶4元，运动饮料每瓶12元．设矿泉水瓶，运动饮料瓶，正确方程组是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·吉林松原·期中）2026年春晚，银河通用“小盖”、魔法原子“送餐员”等智能机器人展现了强大的分拣与配送能力．某物流中心借鉴春晚技术，引入A、B两型智能分拣机器人来处理该物流中心包裹的分类．已知2台A型机器人每小时的总分拣量是3台B型机器人每小时的总分拣量，1台A型机器人和2台B型机器人每小时共分拣3500件包裹．求A、B两型机器人每小时分别分拣多少件包裹？ 3．（25-26七年级下·河南开封·期中）某港口码头使用，两种型号的机器人搬运货物，在内，3台型机器人和2台型机器人共搬运货物，且每台型机器人比型机器人多搬运货物． (1)每台型机器人和每台型机器人的搬运量分别是多少？ (2)若安排10台型机器人和12台型机器人，求这些机器人内的总搬运量是多少吨？ 4．（2022·吉林长春·三模）2022年第19届亚运会即将在我国杭州举行．如图是杭州市桐庐县瑶琳镇林场区块，从高处俯瞰，有一处白绿相间的“马”字形建筑分外引人注目，这里就是杭州亚运会马术项目比赛场馆桐庐马术中心，其总建筑面积约为5.4万平方米，包括各种功能区．其中主赛场和室内训练场总共占17000平方米，主赛场面积开阔，是室内训练场的2倍还多2000平方米．问主赛场的面积和室内训练场的面积各多少平方米？ 5．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）某校组织师生共380人去郊外参观学习，需租用甲、乙两种不同类型的客车共10辆，租用1辆甲型客车需租金600元，租用1辆乙型客车需租金500元，租车费用共5600元，已知一辆甲型客车比一辆乙型客车多5个座位，且租用的所有客车刚好满座． (1)求租用甲、乙两种类型的客车各多少辆．（要求：列二元一次方程组求解） (2)求甲、乙两种类型的客车一辆各有多少个座位． 6．（25-26七年级下·陕西延安·期末）某俱乐部的名成员相约周末去爬山，有徒步爬山和坐索道上山两种爬山方式，选择徒步爬山的成员数量比选择坐索道上山的成员数量的倍多人，求选择徒步爬山和坐索道上山的成员各有多少人？（请用二元一次方程组的知识解答） 7．（25-26七年级下·北京通州·期末）列方程组解应用题： 2026年5月11日凌晨，伦敦世乒赛落下帷幕，中国女队成功卫冕考比伦杯，实现世乒赛团体七连冠，男队成功卫冕斯韦思林杯，实现世乒赛团体十二连冠，两队共同捍卫了国乒荣耀．如图，斯韦思林杯每层底座高度都相等，底座下面的垫台高与一层底座高之比为，杯身高比6层底座高多，垫台高与杯身高之和是，求这届斯韦思林杯的总高度．    8．（2025八年级上·全国·专题练习）某校第二课堂开展后受到了学生的追捧，学期结束后对部分学生做了一次“我最喜爱的第二课堂”问卷调查（每名学生都填了调查表，且只选了一个项目）．据统计，主要有趣味数学、演讲与口才、信息技术、手工制作四个项目．其中选信息技术的人数比选手工制作的少8；选趣味数学的人不仅比选手工制作的人多，且为整数倍；选趣味数学与选手工制作的人数之和是选演讲与口才与选信息技术的人数之和的5倍；选趣味数学与选演讲与口才的人数之和比选信息技术与选手工制作的人数之和多24．参加调查问卷的学生有多少名？ 重难点九、几何问题（二元一次方程组的应用） 几何应用题结合图形性质寻找等量关系，常用周长、边长、角度、面积公式。根据图形标注信息设未知数，挖掘隐藏条件，如长方形对边相等、三角形内角和等。整理两组几何等量关系建立方程组，算出边长、角度后，确认数值符合几何常识。 1．（25-26七年级下·福建漳州·期中）将四个完全相同的直角三角形分别拼成如图1和如图2所示的正方形，边长分别为6和2．则一个直角三角形的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）如图，在周长为64的长方形中放入六个相同的小长方形，若，则图中阴影部分的面积S为（） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·安徽淮北·期末）如图，长方形中有6个形状、大小完全相同的小长方形，其余为阴影部分，根据图中所标尺寸，图中阴影部分的面积之和为（   ） A．12 B．18 C．20 D．24 4．（25-26七年级下·广东珠海·期末）如图，在长为的大长方形中，以水平或竖直的方式放入个形状、大小完全相同的小长方形，则下列说法正确的是（     ） ①②③若，则每个小长方形的面积均为；④若、、均为正整数，则只能是． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 5．（25-26七年级下·全国·单元测试）分别用8个大小一样的长方形拼图．如图①，小明拼成了一个大的长方形；如图②，小红拼成了一个大的正方形，但中间恰好空出一个边长为1 mm的小正方形．你能求出小长方形的长和宽吗？ 6．（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，每张标准卡纸可以剪裁成张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形．如图，可以用小长方形和小正方形制作竖式叠盖和横式叠盖纸盒，如图是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图． 现有张标准卡纸通过剪裁一共得到张小长方形和张小正方形，做成个竖式叠盖纸盒和个横式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． (1)若，求，，的值； (2)求的最大值． 7．（25-26七年级下·江苏南京·期末）某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：） (1)列出方程（组），求出图1中与的值． (2)在生产阶段，若将150张标准板材用裁法一裁剪，将得到的A型与B型板材做侧面和底面，请问能做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？ 8．（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，已知长方形，动点，同时从点出发，点按照方向运动，点按照方向运动．点运动的速度是点运动速度的倍，两点到各自终点后分别停止运动，并且，两点在点处首次相遇． (1)若长方形周长为，求和的长度； (2)当运动秒时，连接，线段所在的直线将长方形分成面积相等的两部分，请直接写出，两点从出发到首次相遇所用的时间． 重难点十、图表信息问题（二元一次方程组的应用） 图表信息题先认真读取表格、图像数据，横向纵向梳理已知条件。从图表中提取两组有效等量关系，设定未知数列出方程组。不要遗漏图表备注、限制条件。理清数据之间的运算逻辑，避免看错行列数值，计算完成对照图表信息复核答案。 1．（25-26七年级上·福建漳州·期中）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则ab2的值为（　　） A． B．6 C． D．36 2．（20-21八年级上·陕西咸阳·期末）在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3方格中填入了一些表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则x、y的值分别为（   ） x 8 1 y 6 A．、4 B．3、 C．3、4 D．、 3．（25-26七年级下·广东惠州·期中）为积极响应绿色低碳号召，扎实推进生态文明建设，博罗县某学校组织学生到郊外开展义务植树实践活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： 若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 4．（24-25七年级下·山东泰安·期中）水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫．某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准，收费为正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2025年两个月的收费表： 时间项目 用水量 费用（元） 1月 11 28 2月 15 44 (1)请问该城市居民标准内用水及超标部分用水的价格各是多少元？ (2)小明家三月份用水量是，他有50元钱，请问他的钱够交水费吗？如果不够，还差多少？ 5．（2022·河南开封·模拟预测）“六一”儿童节有一投球入盆的游戏，深受同学们的喜爱，游戏规则如下：如图，在一大盆里放一小茶盅（叫幸运区）和小茶盅外大盆内（环形区）分别得不同的分数，投到大盆外不得分；每人各投6个球，总得分不低于30分得奖券一张．现统计小刚、小明、小红三人的得分情况如下图： (1)每投中“幸运区”和“环形区”一次，分别得多少分？ (2)根据这种得分规则，小红能否得到一张奖券？请说明理由． 6．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）某地出租车的收费标准如下（设行驶里程为千米）： 收费项目 收费标准 起步价（当时） 元 里程费（当时） 的部分，2元/千米 的部分，3元/千米 等候费（按等时收费） 元/分钟（不足1分钟按1分钟计费） “等时”指出租车在计费过程中因拥堵、红灯、乘客临时要求停车等原因导致的非行驶状态时间．例如：“等时”表示等时为0小时4分39秒，此时等候费按5分钟计费． (1)若且等时0分钟，则车费为 元；（用含的代数式表示） (2)若且等时3分钟，则车费为 元；（用含、的代数式表示） (3)下图为某游客在当地乘坐出租车的两张发票，根据相关信息，求、的值． 重难点十一、古代问题（二元一次方程组的应用） 古文类应用题第一步先翻译题意，把文言描述转化为现代数学语句。圈出物品总量、盈亏条件，找到两组等量关系，设立未知数列出方程组。准确理解古文中 “余、不足、共、倍” 等词汇含义，防止翻译偏差导致列式错误，最后验证结果匹配原文情景。 1．（2026·江苏无锡·中考真题）《九章算术》中有如下问题：浓酒1斗值50钱，淡酒1斗值10钱．现有30钱，买酒2斗，问浓酒、淡酒各有多少？设浓酒斗，淡酒斗，则下列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，则可列二元一次方程组为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）我国古代九章算术里有这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是现有头牛、只羊，共值两金；头牛、只羊，共值两金．问：头牛值多少金？只羊值多少金？据此求牛和羊的价格．假设一头牛需要两金，一只羊需要两金．则可建立方程组为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·吉林长春·期末）古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；两人共车，九人步．问人与车各几何？”其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，则下面所列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·新疆·中考真题）我国古代数学名著《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长尺，绳子长尺，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·重庆荣昌·期末）我国古代《九章算术》被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记载这样一个问题：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？译文为：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、鸡价各多少？对于以下三位同学的解题方案，正确的个数是（     ） 小青：设人数有人，则； 小军：设鸡价有钱，则； 小萍：设人数有人，鸡价有钱，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．（25-26七年级下·辽宁大连·阶段检测）《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题，今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲大半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱，甲乙两人各带了多少钱？ 8．（2026·北京石景山·二模）《营造法式》是北宋官方颁布的建筑设计与施工规范，其创立的“材份制”规定所有建筑构件的尺寸均以“份”为基本单位，不同材等对应的份的实际长度（单位：寸）不同，具体如表： 材等 一等 二等 三等 四等 五等 六等 份实际长度（寸） 书中记载：栌斗的长度为份，高度为份；华栱的长度为份，高度为份；散斗的长度为份，高度为份．图为斗拱结构示意图，标注了栌斗、散斗、华栱等构件在整体斗拱结构中的具体位置与形态． 某考古队在一处建筑群遗址中，发现了两座采用不同材等建造的建筑遗存，出土了栌斗、华栱、散斗三种构件的完整标本．经精密测量，采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实际高度之和为寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比为．判断该建筑群所用的两种材等分别对应几等材，并说明理由．    重难点十二、其他问题（二元一次方程组的应用） 其余综合类应用题通用解题流程：审题找出两组等量关系，合理设定未知数，规范列出二元一次方程组。运用消元法求解，结合现实场景取舍答案，人数、物件数量通常取正整数。答题完整书写检验步骤，灵活迁移各类题型解题思路，冷静识别题目隐藏条件。 1．（25-26七年级下·广东珠海·期末）广东省城市篮球联赛（简称“粤”），是广东省篮球协会于年对广东省男子篮球联赛进行全面升级的城市篮球联赛．如下表所示，是常规赛第七轮结束后的部分球队积分榜信息，则胜一场的积分是（     ） 排名 球队 胜场 负场 积分 中山 … … … … … 珠海 … … … … … 江门 阳江 … … … … … A．1分 B．2分 C．3分 D．4分 2．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）“综合与实践”小组的学生利用课余时间对学校食堂窗口买饭排队等待时间问题进行了调查，在食堂窗口开放前，已经有n人在排队；窗口开始打饭时，前来打饭的人数按固定的速度增加，且每个窗口每分钟减少的排队人数也是固定的．当同时开放2个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；当同时开放3个窗口时，20分钟后恰好不会出现排队现象．为减少同学排队打饭时间，食堂承诺5分钟后不出现排队现象，则至少需要同时开放（     ） A．6个窗口 B．7个窗口 C．8个窗口 D．9个窗口 3．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）甲、乙二人骑自行车同时从相距的两地相向而行，经过相遇． (1)甲、乙两人的速度各是多少？请至少写出满足条件的两组解； (2)请你适当增加题目中的条件，使问题（1）有唯一解，并解答你改编后的问题． 4．（2026·广东肇庆·一模）中医药作为中华民族原创医药学体系，深深地融入了民众的生产生活实践中．某中药厂名熟练工和名新工人每天可生产盒中药制剂，名熟练工和名新工人每天可生产盒中药制剂，求每名熟练工和每名新工人每天分别可生产多少盒中药制剂． 5．（25-26七年级下·湖北孝感·期末）垃圾分类有助于环境保护、资源循环利用．某区域的环卫部门每天安排10台A型车和8台B型车用于垃圾清运，一台A型车比一台B型车每次多清运7吨垃圾，该区域每天需要清运垃圾428吨，每天每台车均需清运垃圾2次恰好能完成本区域当天的垃圾清运工作．一台A型车和一台B型车每次清运垃圾的吨数分别是多少？ 6．（2026·山西·三模）学校图书馆整理科技类图书和文学类图书共本，科技类图书每本需要贴个标签，文学类图书每本需要贴个标签，总共贴了个标签．求科技类图书和文学类图书各有多少本． 7．（25-26七年级下·吉林四平·期末）古人曰：“读万卷书，行万里路”经历是最好的学习，研学是最美的相遇．某中学七年级同学开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆．下面是王老师和小真、小萱同学有关租车问题的对话： 王老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，座客车每辆每天的租金比座的贵元．” 小真：“八年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到该博物馆参观，一天的租金共计元．” 小萱：“如果我们七年级租用座的客车辆，那么还有人没有座位；如果租用座的客车可少租辆，且正好坐满”． 根据以上对话，解答下列问题： (1)参加此次活动的七年级师生共有________人； (2)客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ 8．（25-26六年级下·上海·期末）篮球比赛中投进一个球，所得分值有3种：3分，2分和1分．一名篮球队员在一场比赛中15投10中得20分，投进两分球的个数是投进三分球个数的3倍．求投进三分球的个数． 9．（2022七年级下·甘肃武威·竞赛）长沙市某公园的门票价格如表所示： 购票人数 人 人 100人以上 票价 10元/人 8元/人 5元/人 某校九年级甲、乙两个班共100多人去该公园举行毕业联欢活动，其中甲班有50多人不到60人，乙班不足50人，如果以班为单位分别买门票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一个团体购票，一共要付515元，问甲，乙两班分别有多少人？ 10．（25-26七年级下·广东广州·期中）【问题情境】 我国新能源车发展迅速，由于电池重量，导致整车质量较大，新能源车轮胎的磨损普遍会比传统能源油车较大，且前期大多数新能源汽车是前轮驱动和转向的，所以前、后轮的磨损程度不一．从安全角度考虑，通常前后一起换新轮胎；从性价比考虑，可先进行前、后轮胎换位，使磨损程度均衡，从而延长使用寿命． 信息1：新能源汽车的轮胎，若只放置在前轮，一般行驶达到时报废，而放置在后轮，应在行驶达到时报废； 信息2：为了让轮胎均匀磨损并延长使用寿命，一般建议每行驶进行一次轮胎换位． 根据以上信息，在不考虑其他因素影响下，解决下列任务： (1)任务一： 可类比工程类问题，将每个新轮胎的总磨损量设为“单位1”或引入未知数． ①汽车前轮轮胎每千米的磨损量为________，后轮轮胎每千米的磨损量为________； ②若汽车没有按照建议，只在行驶了时进行了1次前、后轮胎换位，则该汽车第一次轮胎报废时，汽车行驶的总里程为________； (2)任务二： 如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，那么应在汽车行驶里程达到多少时交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？并求出轮胎报废时汽车的行驶里程． (3)任务三： 若按建议每更换前后轮胎一次，经过偶数次换位后至有轮胎报废时，汽车的行驶里程最高是多少？（精确到） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题03 二元一次方程组的应用 重难点一、方案问题（二元一次方程组的应用） 解决二元一次方程组方案问题，先设未知数，根据题干两组等量关系列出方程组。求解后结合实际要求筛选整数解，物品数量、人数必须是非负整数。依次列举可行方案，再根据总价、成本对比选出最优方案。注意检验所有解是否符合现实条件，不要遗漏可行情况。 1．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期末）2026年5月1日晚，在鞍山市立山区南沙河举办了一场大型无人机灯光秀，这次灯光秀共有3000架无人机参加表演，这3000架无人机由外市用大型箱式半挂车通过高速公路运输到鞍山，然后用中型厢货车一次性转运到表演场地．参与转运的中型厢货车有A，B两种型号，每辆A型车运输240架无人机，每辆B型车运输120架无人机，且两种型号车均满载，A型车数量是B型车数量的2倍，求A型车和B型车各有多少辆？设A型车有辆，B型车有辆，则下列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、根据实际问题列二元一次方程组 【分析】根据实际问题列二元一次方程组，只需从题干提取两个等量关系，分别列方程即可得到正确方程组． 【详解】设A型车有辆，B型车有辆，且A型车数量是B型车数量的倍， 可得第一个方程. 总共有架无人机，每辆A型车运架，每辆B型车运架，且两种车均满载， 运输无人机总数满足. 因此可得方程组． 2．（25-26九年级下·吉林长春·期中）某农场因紧急任务需租用无人机一次性配送种子和化肥等货物．已知1架型无人机和2架型无人机一次可配送货物220千克，2架型无人机和3架型无人机一次可配送货物380千克．求1架型无人机和1架型无人机一次分别可配送货物多少千克． 【答案】1架型无人机一次可配送货物100千克，1架型无人机一次可配送货物60千克 【难度】0.85 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设1架型无人机一次可配送货物千克，1架型无人机一次可配送货物千克，根据题意，得，解方程组即可； 【详解】解：设1架型无人机一次可配送货物千克，1架型无人机一次可配送货物千克，根据题意，得 解得 答：1架型无人机一次可配送货物100千克，1架型无人机一次可配送货物60千克． 3．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）某校400名师生参加迎元旦环湖跑，学校计划租用大客车、小客车若干辆将师生送往活动地点．已知租用的大客车、小客车满员载客数量如下表格所示： 大客车（辆） 小客车（辆） 共计载客人数 1 3 105 3 2 175 (1)求每辆小客车与每辆大客车满员分别能坐的人数？ (2)若租用小客车辆，租用大客车辆，保证大小客车均要有且满员，同时将师生运送完毕，请设计出所有的租车方案． 【答案】(1)每辆小客车满员能坐20人，每辆大客车满员能坐45人 (2)方案1：小客车11辆，大客车4辆；方案2：小客车2辆，大客车8辆 【难度】0.85 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）设每辆小客车满员乘坐人，每辆大客车满员乘坐人，根据表格中信息，列出方程组，解方程组即可； （2）根据每辆小客车满员乘坐20人，每辆大客车满员乘坐45人，师生共400人，列出二元一次方程，求出方程的正整数解即可． 【详解】（1）解：设每辆小客车满员能坐人，每辆大客车满员能坐人， 由题意得：， 解得： 答：每辆小客车满员能坐20人，每辆大客车满员能坐45人． （2）解：由题意得：， 整理可得：， 又因为均为正整数，于是b应该是4的正整数倍． 可得，， 方案1：小客车11辆，大客车4辆； 方案2：小客车2辆，大客车8辆． 4．（25-26八年级上·四川成都·期末）2025年世乒赛在成都举办，来自世界各地的乒乓球运动员与观众齐聚蓉城，体验“乒坛盛宴”与“天府文化”的融合魅力，组委会为感谢工作人员与志愿者，计划购买蜀绣纪念品与熊猫文创纪念品共件，其中蜀绣纪念品每件售价元，熊猫文创纪念品每件售价元． (1)如果购买蜀绣、熊猫文创两种纪念品一共花费了元，求购买这两种纪念品各是多少件？ (2)设购买蜀绣纪念品件，问组委会共有几种购买方案？哪一种方案总费用最低？则费用是多少元？ 【答案】(1)购买蜀绣纪念品件，购买熊猫文创纪念品件． (2)共有三种购买方案，购买蜀绣纪念品件，购买熊猫文创纪念品件时，总费用最低，为元． 【难度】0.85 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查二元一次方程组与实际问题： （1）题目中的等量关系为：蜀绣纪念品数量熊猫文创纪念品数量件，蜀绣纪念品总价熊猫文创纪念品总价元，据此列二元一次方程组即可； （2）根据题意可知，共有三种购买方案：购买蜀绣纪念品件，购买熊猫纪念品件；购买蜀绣纪念品件，购买熊猫纪念品件；购买蜀绣纪念品件，购买熊猫纪念品件． 【详解】（1）解：设购买蜀绣纪念品件，购买熊猫文创纪念品件． 根据题意，得 解得 所以，购买蜀绣纪念品件，购买熊猫文创纪念品件． （2）根据题意可知，共有三种购买方案： （Ⅰ）购买蜀绣纪念品件，购买熊猫文创纪念品件，可得 总费用（元） （Ⅱ）购买蜀绣纪念品件，购买熊猫文创纪念品件，可得 总费用（元） （Ⅲ）购买蜀绣纪念品件，购买熊猫文创纪念品件，可得 总费用（元） 综上所述，购买蜀绣纪念品件，购买熊猫文创纪念品件时，总费用最低，为元． 5．（25-26八年级上·四川达州·期末）研学是一种很好的体验式学习方式，为拓宽学生视野，增强对自然与社会的认识，直观了解课本知识，学校组织八年级660名学生到郊外参加研学活动．已知用3辆小客车和2辆大客车每次可运送学生150人，用2辆小客车和1辆大客车每次可运送学生85人． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若计划租小客车辆，大客车辆，一次送完，恰好每辆车都坐满且两种车都要租，请你设计出所有的租车方案． (3)在第（2）问的条件下，若1辆小客车需租金120元/次，1辆大客车需租金220元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生 (2)共有3种租车方案， 方案1：租用24辆小客车，4辆大客车； 方案2：租用15辆小客车，8辆大客车； 方案3：租用6辆小客车，12辆大客车 (3)最省钱的租车方案是方案三，即租用6辆小客车，12辆大客车，最少租车费为3360元 【难度】0.85 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、二元一次方程的解 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的运用，理解数量关系正确列式是关键． （1） 设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生，结合题意列二元一次方程组求解即可； （2）根据题意得：，由二元一次方程的解的方法求解即可； （3）根据（2）中的方法，结合题意分别算出各自的费用，再比较即可求解． 【详解】（1）解：设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生； （2）解：根据题意得：， ， 又，均为正整数， 或或， 共有3种租车方案， 方案1：租用24辆小客车，4辆大客车； 方案2：租用15辆小客车，8辆大客车； 方案3：租用6辆小客车，12辆大客车． （3）解：方案一所需租金为（元）； 方案二所需租金为（元）； 方案三所需租金为（元）； ， 最省钱的租车方案是方案三，即租用6辆小客车，12辆大客车，最少租车费为3360元． 6．（25-26八年级上·四川雅安·期末）某农场现有一批苹果要运往当地水果市场，农场准备租用汽车公司的甲乙两种货车，已知以往租用这两种货车的记录情况如表： 甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨） 第1次 3 2 13 第2次 4 5 22 (1)甲、乙两种货车每辆可装多少吨苹果？ (2)若农场共有18吨苹果，计划租用该公司的两种货车（两种车都租用，且每辆车都满载）正好把这批水果运完，则汽车公司有哪几种方案？ 【答案】(1)每辆甲种货车可装3吨苹果，每辆乙种货车可装2吨苹果 (2)农场有两种方案：租用2辆甲种货车和6辆乙种货车，或租用4辆甲种货车和3辆乙种货车 【难度】0.85 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、二元一次方程的解 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，正确理解题意列出方程组和方程是解题的关键． （1）根据表格中两次运输的车辆数与总吨数，设未知数列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设租用甲、乙两种货车的数量，根据总吨数列出方程，结合车辆数为正整数求解所有可能组合． 【详解】（1）解：设每辆甲种货车可装x吨苹果，每辆乙种货车可装y吨苹果， 依题意，得， 解得． 答：每辆甲种货车可装3吨苹果，每辆乙种货车可装2吨苹果； （2）解：设租用m辆甲种货车，n辆乙种货车， 依题意，得：， ∴． ∵m，n均为正整数， ∴当时，， 当时，， ∴农场有两种方案：租用2辆甲种货车和6辆乙种货车，或租用4辆甲种货车和3辆乙种货车； 答：农场有两种方案：租用2辆甲种货车和6辆乙种货车，或租用4辆甲种货车和3辆乙种货车． 7．（21-22七年级下·云南昆明·期中）某商场计划花9万元从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元． (1)若商场想同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你帮助该商场设计进货方案． (2)若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在（1）的条件下，为使销售时获利最多，应选择哪种进货方案？ 【答案】(1)共有2种进货方案．方案一：购进甲种电视机25台，乙种电视机25台．方案二：购进甲种电视机35台，丙种电视机15台． (2)应选择购进甲种电视机35台、丙种电视机15台的进货方案． 【难度】0.55 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】（1）根据等量关系“两种不同型号的电视机共50台”和“买两种电视花去的费用9万元”．然后分进的两种电视是甲乙，乙丙，甲丙三种情况分别列二元一次方程组求解即可； （2）根据（1）得出的方案，分别计算出各方案的利润，然后确定出获利最多的方案即可． 【详解】（1）解：①设购进甲种电视机x台，乙种电视机y台． 则有： ，解得：， 所以购进甲种电视机25台，乙种电视机25台． ②设购进乙种电视机a台，丙种电视机b台． 则有： ，解得：，（不符合题意舍去）． ③设购进甲种电视机c台，丙种电视机d台． 则有： ，解得：． 所以购进甲种电视机35台，丙种电视机15台． 综上，共有2种进货方案．方案一：购进甲种电视机25台，乙种电视机25台．方案二：购进甲种电视机35台，丙种电视机15台． （2）解：方案一获利为：（元）； 方案二获利为：（元）． 因为， 所以应选择购进甲种电视机35台、丙种电视机15台的进货方案，此时获利最多． 8．（25-26七年级下·河南周口·期末）我市某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一（2块A型、1块B型，剩余）或裁法二（1块A型、2块B型，剩余）裁下A型与B型两种板材．如图1，（单位：） (1)列出方程（组），求出图中与的值； (2)在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图2的竖式与横式两种礼品盒． ①两种裁法共产生A型板材____________张，B型板材____________张； ②已知①中的A型板材和B型板材恰好做成竖式有盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个，求、的值． 【答案】(1)；值为； (2)①64；38；② 【难度】0.57 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】1）由图示列出关于a、b的二元一次方程组求解． （2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数； ②根据竖式与横式礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于x、y的二元一次方程组，求解，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意列 解得 答：图1中a与b的值分别为：52、44； （2）解：①由图示裁法一产生A型板材为：， 裁法二产生A型板材为：，所以两种裁法共产生A型板材为（张）， 由图示裁法一产生B型板材为：， 裁法二产生B型板材为：，所以两种裁法共产生B型板材为（张） ②根据题意竖式有盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个，则A型板材需要个，B型板材需要个， 解得 答：竖式有盖礼品盒7个，横式无盖礼品盒12个． 重难点二、行程问题（二元一次方程组的应用） 行程问题牢记基础公式：路程 = 速度 × 时间。相遇问题利用路程之和建立等式，追及问题依靠路程之差列式；航行题型区分顺水、逆水速度。找准两组路程等量关系设立未知数，列出方程组。审题分清方向，统一时间、长度单位，避免单位不统一造成计算错误。 1．（25-26七年级下·山西吕梁·期末）一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了．已知水流的速度是，求船在静水中的平均速度和甲、乙两地之间的距离．设船在静水中的平均速度是，甲、乙两地之间的距离是，则所列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设船在静水中的平均速度是，甲、乙两地之间的距离是，则顺水速度为，行驶时间为，路程为，可得方程．逆水速度为，行驶时间为，路程为，可得方程，即可解答． 【详解】解：设船在静水中的平均速度是，甲、乙两地之间的距离是，根据题意，得 ． 2．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）甲乙两人分别从相距的A、B两地同时出发，相向而行，小时相遇；若同向而行，甲9小时追上乙．则甲、乙速度(单位∶ ) 分别为（   ） A．12， 8 B．10， 10 C．14， 6 D．16， 4 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设甲的速度是，乙的速度是，根据追及问题和相遇问题列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设甲的速度是，乙的速度是， 由题意可得：，解得：． ∴甲的速度是，乙的速度是，即A选项符合题意． 3．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）线段图是解决行程问题的重要数学工具，如图所示的是甲、乙二人运动两次的情形．设甲的平均速度是，乙的平均速度是/，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用——行程问题，关键是根据线段图准确分析两次行程中甲乙的行驶时间、路程与总路程的数量关系． 【详解】解：根据第一次行程的线段图可知，甲先行驶小时，再与乙共同行驶2小时，两人走完的路程， 甲的总路程为，乙的路程为，因此列方程为； 根据第二次行程的线段图可知，甲乙同时行驶1小时后，两人之间仍相距，总路程为， 因此甲乙1小时的路程和加上等于总路程，列方程为； 综上，可列方程组为， 故选：A． 4．（25-26七年级上·福建莆田·期末）李明和刘伟分别从两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发后两人相遇．相遇时李明比刘伟多行进，相遇后李明到达地． (1)两人每小时分别行进多少千米？ (2)相遇后经过多长时间刘伟到达地？ 【答案】(1)李明每小时行进16千米，刘伟每小时行进4千米 (2)相遇后经过刘伟到达A地 【难度】0.85 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用)、有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用． （1）设李明每小时行进a千米，刘伟每小时行进b千米，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）根据路程速度时间解答即可． 【详解】（1）解：设李明每小时行进a千米，刘伟每小时行进b千米，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 答：李明每小时行进16千米，刘伟每小时行进4千米； （2）解：， 答：相遇后经过刘伟到达A地． 5．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）甲、乙二人骑自行车同时从相距的两地相向而行，经过相遇．设甲的骑行速度为每小时，乙的骑行速度为每小时， (1)列出关于，的二元一次方程； (2)问题（1）中的方程的解不唯一，请你适当增加题目中的条件：_____，使，有唯一的解，并列出方程组解答你改编后的问题． 【答案】(1) (2) 解：增加条件：甲的速度比乙快，即， 则，解得； 答：甲，乙两人的速度分别为和． 【难度】0.85 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，正确的列出方程组是解题的关键： （1）根据路程等于速度乘以时间，列出方程即可； （2）添加甲的速度比乙快，求两人的速度，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，整理，得； （2）略 6．（2025·山西长治·二模）黄河一号旅游公路是山西省以“踏访黄河、文明探源”为主题的文化旅游公路，起点为忻州市偏关县老牛湾村，终点到运城垣曲西哄哄村，全长1200公里，连接起众多名胜古迹与自然景观．暑假小新和小韵沿着此公路自驾游，小新从老牛湾村出发，小韵从哄哄村出发，小新比小韵晚5小时出发，小新出发29小时后两人相遇，两人沿途游玩、休息等消耗的时间均为20小时，小新驾车行驶的速度比小韵慢20公里/时．请分别求出小新和小韵驾车行驶的速度． 【答案】小新驾车行驶的速度是40公里/时，小韵驾车行驶的速度是60公里/时 【难度】0.85 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，先设小新驾车行驶的速度是公里/时，小韵驾车行驶的速度是公里/时，结合小新比小韵晚5小时出发，小新出发29小时后两人相遇，两人沿途游玩、休息等消耗的时间均为20小时，小新驾车行驶的速度比小韵慢20公里/时，列出方程组，再解得，即可作答． 【详解】解：设小新驾车行驶的速度是公里/时，小韵驾车行驶的速度是公里/时， 根据题意，得， 解得， 答：小新驾车行驶的速度是40公里/时，小韵驾车行驶的速度是60公里/时． 7．（25-26七年级下·重庆·期中）某种自行车轮胎，若安装在前轮，行驶后报废；若安装在后轮，行驶后报废．小明新买了一辆自行车，同时安装了一对新轮胎（两个轮胎相同）． (1)如果小明在行驶一段路程后，将前、后轮胎交换位置，继续行驶直到两个轮胎同时报废．设交换前行驶了，交换后又行驶了．请根据题意，列出关于、的方程组． (2)计算和的值，并求出这辆自行车最多可以行驶多少千米． (3)如果小明希望在总行驶里程达到时恰好交换轮胎，并且交换后仍然继续行驶到两个轮胎同时报废．请问他的这个想法能否实现？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)，千米． (3)小明的这个想法不能实现，理由见解析 【难度】0.52 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设交换前行驶了，交换后又行驶了．根据题意列出方程组即可； （2）方程组变形后求出方程组的解即可； （3）设交换前行驶了千米，求出前轮磨损和后轮磨损即可作出判断． 【详解】（1）解：设交换前行驶了，交换后又行驶了．则； （2）解； 整理得到 解得 ∴， 即这辆自行车最多可以行驶千米． （3）小明的这个想法不能实现，理由如下： 设交换前行驶了千米，则前轮磨损为，后轮磨损为， ∵， ∴在行驶到千米之前，后轮轮胎就已经报废，所以小明无法在行驶千米时交换轮胎， ∴小明的这个想法不能实现． 8．（25-26七年级下·山东日照·期中）骑自行车出行，已经成为了人们健康环保的出行方式，根据市场需求，某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划每天生产安装10辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车． (1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？ (2)如果工厂抽调名熟练工，招聘名新工人，既能使得工人们刚好能完成每日的安装任务，又能保证新工人和熟练工在工作上有照应，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为；如安装在后轮，安全行驶路程为，更换轮胎时，如果只更换前轮，骑行的舒适性会降低，如果同时更换前后轮胎，则维护成本会提高．为了解决这个问题，一般会有定期更换自行车前后轮胎的建议． ①设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则前轮每行驶的磨损量为___________，后轮每行驶的磨损量为___________； ②如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮，那么应在自行车行驶里程达到多少公里时交换前、后轮，能使自行车的两前、后轮同时报废？并求出前、后轮报废时自行车的行驶里程． 【答案】(1)每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车 (2)共有2种新工人的招聘方案，即方案一：招聘3名新工人，抽调1名熟练工；方案二：招聘1名新工人，抽调2名熟练工； (3)①，；②应在自行车行驶里程达到公里时交换前、后轮，能使自行车的两前、后轮同时报废；前、后轮报废时自行车的行驶里程为公里 【难度】0.53 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、行程问题(二元一次方程组的应用)、二元一次方程的解 【分析】（1）设每名熟练工每日可以安装x辆自行车，每名新工人每日可以安装y辆自行车，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）由题意得，，则，再求出符合题意的整数解即可； （3）①根据“本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为；如安装在后轮，安全行驶路程为”即可求解每行驶的磨损量； ②设自行车行驶时交换前后轮，总行驶里程为，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：设每名熟练工每日可以安装x辆自行车，每名新工人每日可以安装y辆自行车， 由题意，可列方程组 解得 答：每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车； （2）解：由题意得，，则， ∵m，n均为非负整数，且“保证新工人和熟练工在工作上有照应”， ∴， ∴或 ∴共有2种新工人的招聘方案，即方案一：招聘3名新工人，抽调1名熟练工；方案二：招聘1名新工人，抽调2名熟练工； （3）解：①∵本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为；如安装在后轮，安全行驶路程为 ∴设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则前轮每行驶的磨损量为，后轮每行驶的磨损量为； ②设自行车行驶时交换前后轮，总行驶里程为， 由题意得， 解得， 答：应在自行车行驶里程达到公里时交换前、后轮，能使自行车的两前、后轮同时报废；前、后轮报废时自行车的行驶里程为公里． 重难点三、工程问题（二元一次方程组的应用） 工程问题常设总工作量为 1，核心公式：工作量 = 效率 × 时间。梳理两类工作情景，找到两组等量关系构建方程组。分清单人效率、合作效率，注意分工、分段施工条件。列式完成后检验结果，结合实际判断工期合理性，避开效率相加常见思维误区。 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）抢修一段全长420m的供暖管线，甲、乙两个工程队同时施工，2.5天全部修完，修完时，甲工程队比乙工程队多修了70m．设甲、乙两个工程队的工作效率分别为x米/天和y米/天，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用)、根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“甲、乙两个工程队同时施工，天修完的供暖管线，且修完时，甲工程队比乙工程队多修了”，即可得出关于，的二元一次方程组． 【详解】解：∵甲、乙两个工程队同时施工，天修完的供暖管线， ∴； ∵修完时，甲工程队比乙工程队多修了， ∴． ∴根据题意可列方程组 故选：B． 2．（24-25七年级下·山东德州·期末）现有一项工作，A、B、C、D四人都可做，下表显示了两人组合共同完成该项工作所需要的时间，要想只安排一个人去做该工作，并且要求在最短的时间内完成，应该安排的人是（   ） 组合 A与B B与C A与C B与D 所需时间 7天 9天 11天 14天 A．A B．B C．C D．D 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用；设A、B、C、D的工作效率分别为、、、，通过比较各组合的工作效率，确定每个人的工作效率高低，从而找出单独完成时间最短的人即可． 【详解】解：设A、B、C、D的工作效率分别为、、、（效率指每天完成的工作量）．根据组合时间可得： 1． 2． 3． 4． 解前三个方程： 联立方程1、2、3，得： ，，． 比较可知：． 由方程4得：（负数不合理，说明D效率极低）． 综上，B的效率最高，单独完成时间最短，应安排B． 故选：B． 3．（25-26七年级下·广东东莞·阶段检测）某地准备修建一条长为米的道路，由甲、乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天修路米，乙工程队每天修路米．如果两队同时施工，需要多少天能完成这条道路的修建？请列方程组求解． 【答案】两队同时施工，需要天才能完成 【难度】0.85 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设甲工程队施工天，乙工程队施工天，根据“两队同时施工”和“甲工程队的总工程量乙工程队的总工程量”列方程组求解即可． 【详解】解：设甲工程队施工天，乙工程队施工天， 根据题意得：， 解得． 答：两队同时施工，需要天才能完成． 4．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）某工程队在一次高速公路修建过程中，不下雨时每天修建，下雨时每天修建，他们连续天共修建了，求这天中有几天不下雨？有几天下雨？（用二元一次方程组解答） 【答案】天中有天不下雨，有天下雨 【难度】0.85 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组解实际问题，关键是找到相等关系列方程组； 根据天共修建了可列方程组求解即可． 【详解】解：设这天中有天不下雨，有天下雨， 根据题意，得 解得， 答：这天中有天不下雨，有天下雨． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建一条长的公路，甲队每天修建，乙队每天修建，一共用15天完成． (1)小红同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组请写出小红所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示________________，y表示________________．该方程组中□处的数应是________，△处的数应是________． (2)小芳同学的思路是想设甲队一共修建了公路，乙队一共修建了公路．下面请你按照小芳的设想列出方程组，并求出乙队修建的天数． 【答案】(1)甲队修路的天数，乙队修路的天数，15，335 (2)方程组为，7天 【难度】0.85 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）利用工作总量=工作效率×工作时间，结合题意列出方程组，即可解决问题； （2）利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合甲、乙两队完成米公路的修建任务，列出关于、二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：∵甲队每天修建，乙队每天修建，一共用天完成， 则小红所列方程组为 ∴小红所列方程中表示甲队修建公路的天数，表示乙队修建公路的天数，该方程组中□处的数应是，△处的数应是． 故答案为：甲队修路的天数，乙队修路的天数，，． （2）解：方程组为 解得 所以乙队修建了（天）． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系及小红所列的方程，找出小红所列方程中未知数，表示的意义；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 6．（24-25九年级下·吉林松原·期中）长白山是吉林省的著名旅游景点．为方便外地游客到长白山旅游，吉林省正在修建“沈阳-白山”的高铁线路，其中一个路段需要开凿一条全长千米的穿山隧道．为缩短工期，甲、乙两个工程小组分别从山体两侧同时施工．已知甲组比乙组平均每天多开凿2米，经过天施工，两组会合，完成了任务．求甲、乙两个小组平均每天各开凿多少米？ 【答案】甲组平均每天开凿米，乙组平均每天开凿米 【难度】0.85 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是准确出方程组求解． 设甲组平均每天开凿米，乙组平均每天开凿米，根据题意列出方程组求解． 【详解】解：设甲组平均每天开凿米，乙组平均每天开凿米． 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均每天开凿米，乙组平均每天开凿米． 7．（25-26六年级下·上海·期末）夏天来临，广大市民对空调的需求不断上涨．某空调公司现有300台已申请空调待装，此外每天另有新申请空调待装．设每天申请安装的空调数相同，如果安排3个安装小组，6天恰好完工；如果安排5个安装小组，2天恰好完工．问：每天新申请安装空调多少台？每个安装小组每天安装空调多少台？ 【答案】每天新申请安装空调100台，每个安装小组每天安装空调50台． 【难度】0.65 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设每天新申请安装空调x台，每个安装小组每天安装空调y台，然后根据每天安装的空调数乘以天数等于安装的总空调数，列出方程组即可解答． 【详解】解：设每天新申请安装空调x台，每个安装小组每天安装空调y台， 依题意得 解得 答：每天新申请安装空调100台，每个安装小组每天安装空调50台． 8．（2026·宁夏银川·二模）为打造“塞上湖城”生态名片，银川市对典农河的一段河道进行清淤美化．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天．求整治任务完成后，甲、乙两个工程队分别整治河道的长度． (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，m表示___________，n表示___________． 根据题意，得 请你补全小明、小华两位同学的解题思路； (2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从（1）中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 【答案】(1)，，甲工程队整治河道用的天数，乙工程队整治河道用的天数，，． (2)整治任务完成后甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 【难度】0.62 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）根据题意，结合方程组的意义，补充完善即可； （2）选择适当的方法解方程组即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握列方程组，解方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：小明，小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米， 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，表示甲工程队整治河道用的天数，表示乙工程队整治河道用的天数， 根据题意，得 （2）解：选小明同学所列方程组解答如下： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米， 根据题意，得 ②，得．③ ①，得．④ ③－④，得．把代入①，得． 答：整治任务完成后，甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 选小华同学所列方程组解答如下： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道用天，乙工程队整治河道用天，根据题意，得 ． ①，得．③ ②－③，得， ．把代入①，得， ，． 答：整治任务完成后甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 重难点四、数字问题（二元一次方程组的应用） 数字问题切勿直接设多位数为未知数，应设数位上的数字。例如两位数，设十位数字、个位数字。利用原数与新数大小关系、倍数关系寻找等量关系。数字调换位置后，及时正确表示出新数值。计算完成验证数字范围，每位数字取值 0~9，最高位不能为 0。 1．（25-26七年级下·浙江温州·期中）宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则的值是（　　） A． B．0 C．1 D．3 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用)、数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】首先根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等”列方程组求出，然后求出第一行三个数之和和中间的数，进而求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， ∴，， ∴的值是． 2．（25-26八年级上·陕西宝鸡·阶段检测）宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造，在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则的值分别是（    ） 3 2 A．，0 B．1， C．，1 D．1，0 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列方程组是解题的关键；根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等列方程组求解即可． 【详解】解：每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等， ， 整理得， 解得：， 的值分别是，1， 故选：． 3．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则（    ）． A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用)、数字类规律探索 【分析】本题考查了有理数加法，列代数式，以及二元一次方程组，解题的关键是根据表格，利用每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等列方程． 【详解】解：观察图3得， 解得， ． 故选：A． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 9：00 10：00 11：30 里程碑上的数 是一个两位数，它的两个数字之和为6 是一个两位数，它的十位与个位数字是9：00时所看到的两位数正好互换了 是一个三位数，它比9：00时看到的两位数中间多了个0 则10：00小明看到的两位数为（    ） A．21 B．32 C．42 D．51 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据表格中的内容，可用含的代数式表示出，及时看到里程表上的数，根据“时里程碑上的两个数字之和是，及行驶的路程与时间成正比”，可列出关于的二元一次方程组，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设：时里程碑上的这个两位数十位数字为，个位数字为， 根据题意得：时里程碑上的数字为； 时里程碑上的数字为； 时里程碑上的数字为； 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：时里程碑上的数为． 故选：D. 5．（23-24七年级下·河北唐山·期中）一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大18，求这个两位数．若设十位数字为，个位数字为，则下列说法正确的是（   ） A．根据题意，列方程组得 B．根据题意，列方程组得 C．这个两位数是26 D．这个两位数是62 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据“这个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大18”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意得：，即， 解得：， 则这个两位数是． 故选：A． 6．（25-26七年级下·山东临沂·期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】利用幻方的性质，即每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等进行分析即可． 【详解】解；如图： 则有，解得， 则有，解得， 则有，解得， 则有，解得， 7．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和是11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的两位数比原两位数大63，求原来两位数．（列方程组解答） 【答案】原来两位数为29． 【难度】0.65 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设个位上的数字为x，十位上的数字为y，根据题意列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设原来两位数个位上的数字为x，十位上的数字为y， 依题意有， 解得， 答：原来两位数为29． 8．（25-26七年级下·广东东莞·阶段检测）一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好等于它的十位数字与个位数字对调后组成的两位数． (1)求这个两位数． (2)若将这个两位数的十位数字和个位数字对调后，得到一个新两位数，则新两位数比原两位数大多少？ (3)是否存在一个两位数，它的十位数字与个位数字的和是8，且对调后得到的新两位数恰好是原两位数的2倍？如果存在，请求出这个两位数；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)35 (2)大18 (3)不存在，理由见解析 【难度】0.52 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解，然后进一步即可得出答案． （2）对调后的新两位数为53，然后和原数相减即可得出答案． （3）设该两位数的十位数字为a，个位数字为b，根据题意列出关于a，b的二元一次方程组，求解即可得出，由a、b均为0−9的整数，且，a必须是8的倍数，符合条件的a只有8，此时（不是个位数），不符合题意， 【详解】（1）解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y， 根据题意，得 解得， ∴这个两位数是． （2）解：对调后的新两位数为53， 答：新两位数比原两位数大18． （3）解：不存在 理由：设该两位数的十位数字为a，个位数字为b， 根据题意得 整理方程②： ，即 ． ∵ a、b均为0−9的整数，且，a必须是8的倍数，符合条件的a只有8， 此时（不是个位数），不符合题意， 故不存在这样的两位数． 以． 重难点五、年龄问题（二元一次方程组的应用） 年龄问题核心规律：人与人年龄差值始终不变。随着年份变化，所有人年龄同步增减。设两人现在年龄为未知数，依据当下年龄关系、若干年后年龄倍数关系列出两组等式。列式时注意年份同步加减，不要只改动其中一人年龄，求出结果后带入题干验证逻辑。 1．（20-21七年级下·江苏南京·期末）小君问叔叔的年龄，叔叔说：“我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了．”小君和叔叔的年龄分别是（    ） A．8岁、20岁 B．16岁、28岁 C．15岁、27岁 D．9岁、21岁 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解．设叔叔现在的年龄是岁，小君现在的年龄是岁，抓住年龄差不变，根据我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了，列方程组求解即可． 【详解】解：设叔叔现在的年龄是岁，小君现在的年龄是岁， 由题意可得：， 解得：． 故叔叔现在的年龄是28岁，小君现在的年龄是16岁． 故选：B． 2．（20-21八年级上·陕西榆林·期末）10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了列二元一次方程组，弄清题意，找准等量关系是解题的关键． 由“10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍”可知，由“10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍”可知，进而列方程组即可． 【详解】解：设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，由题意可得： 故选：B 3．（21-22七年级上·湖南株洲·期末）学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经36岁了，”那么老师和学生的年龄分别是（    ） A．24、12 B．24、11 C．25、11 D．26、10 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设老师现在的年龄是岁，学生现在的年龄是岁，抓住年龄差不变，根据此等量关系可列方程组求解． 【详解】解：设老师现在的年龄是岁，学生现在的年龄是岁， 由题意可得：， 解得：． 故老师现在的年龄是24岁，学生现在的年龄是12岁． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组实际应用，年龄问题，熟练掌握年龄差不变是解题的关键； 根据题目中的数量关系列出方程，进而求解哥哥和妹妹的年龄． 【详解】解：设妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁 由①得： 把③代入②，得 把代入③ 故方程组的解为 即妹妹的年龄为岁，哥哥的年龄为岁； 故选：B ． 5．（24-25七年级下·全国·期中）甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为___岁． 【答案】28 【难度】0.85 【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，根据我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半可得方程，根据当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁可得方程，据此建立方程组求解即可． 【详解】解：设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁， 由题意得，， 解得， ∴今年甲的年龄为28岁， 故答案为：28． 6．（25-26七年级上·全国·单元复习）已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，则甲、乙现在的年龄差为___________． 【答案】5 【难度】0.85 【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程组，是解题的关键．设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，根据甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，列出方程组，求出即可． 【详解】解：设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，由题意可得： ， 即由此可得： ， ∴，即甲比乙大5岁． 故答案为：5． 7．（22-23七年级上·全国·期末）小强问叔叔多少岁了．叔叔说：“我像你这么大时，你才 4 岁．你到我这么大时，我就 40 岁了．”问小强和叔叔今年各是多少岁？ 【答案】小强今年 16 岁，叔叔今年 28 岁 【难度】0.62 【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设小强今年 x 岁，叔叔今年 y 岁，根据小强和叔叔的年龄差不变，列出二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：设小强今年 x 岁，叔叔今年 y 岁，根据小强和叔叔的年龄差不变，可得 解得 答：小强今年 16 岁，叔叔今年 28 岁． 8．（25-26七年级下·吉林长春·期中）小明和小亮比年龄．小明说：“再过年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过年，我的年龄就是你现在年龄的倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄．（列二元一次方程组解应用题） 【答案】小明现在岁，小亮现在岁． 【难度】0.65 【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设小明现在岁，小亮现在岁，根据题意得，然后解方程组即可． 【详解】解：设小明现在岁，小亮现在岁， 根据题意得， 解得：， 答：小明现在岁，小亮现在岁． 重难点六、分配问题（二元一次方程组的应用） 分配问题重点抓住总量不变，区分两种分配方案。读懂分配后的剩余、缺少条件，提取两组等量关系，设置未知数建立方程组。分清分配对象总数与物资总数，避免等量关系混淆。求解后核对物资数量与分配人数，确保答案契合题目给出的盈、亏条件。 1．（2026·河南三门峡·三模）某车间有80名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片300片或镜架60个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架，则可列方程组（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.84 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】找出题目中的两个等量关系，一个是工人总人数，另一个是配套关系下镜片和镜架的数量关系，据此列出方程组即可． 【详解】解：设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架， ∵车间总共有名工人， ∴， ∵两个镜片和一个镜架配套，因此镜片总数量应为镜架总数量的倍，生产镜片总数量为，生产镜架总数量为， ∴， ∴可得方程组． 2．（2026·内蒙古通辽·三模）我国清代康熙年间编撰的数学典籍《御制数理精蕴》中，记载了诸多“盈朒问题”（即有余、不足类应用题），其解题思路与现代方程思想一脉相承．结合内蒙古草原牧区生活实际，可衍生如下问题：牧民合伙分配一批驮银，若每人分8锭，还剩余5锭；若每人分10锭，则缺少7锭．若设参与分配的牧民有人，驮银有锭，可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、分配问题(二元一次方程组的应用) 【详解】解：∵参与分配的牧民有人，驮银有锭， 则当每人分锭，剩余锭时，总驮银， 当每人分锭，缺少锭时，总驮银， 因此可得方程组． 3．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套？设生产螺栓x人，生产螺帽人，列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，难点在于理解第二个等量关系：若要保证配套，则生产的螺帽的数量是生产的螺栓数量的2倍，所以列方程的时候，应是螺栓数量的2倍=螺帽数量． 等量关系为：生产螺栓的工人数+生产螺帽的工人数=90；螺栓总数×2=螺帽总数，把相关数值代入即可． 【详解】解：设生产螺栓x人，生产螺帽人， 根据总人数可得方程； 根据生产的零件个数可得方程， 可得方程组：． 故选A． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）某家具生产厂生产某种配套桌椅（1张桌子配4把椅子），已知每块板材可制作桌子1张或椅子3把，现计划用140块这种板材生产一批桌椅（不考虑板材的损耗），生产出来的桌椅刚好配套．设用块板材制作桌子，用块板材制作椅子，则________． 【答案】60 【难度】0.85 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组在配套问题中的应用，掌握根据配套比例建立数量关系，结合总资源数列方程的方法是解题的关键． 根据总板材数和桌椅配套关系列出二元一次方程组，通过代入法求解． 【详解】解：设用块板材制作桌子，块板材制作椅子， 由总板材数可得． 生产桌子张，椅子把，由于配套要求为张桌子配把椅子，故椅子数量是桌子数量的倍，即． 联立方程得： 解得： 故答案为：． 5．（25-26九年级上·吉林长春·期末）一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿能恰好配成方桌? 【答案】用的木料做桌面，的木料做桌腿，恰好能配成方桌 【难度】0.85 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设用木料做桌面，用木料做桌腿，找出等量关系列出方程组，最终求解方程组即可得出结果． 【详解】解：设用木料做桌面，用木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好能配成方桌， 根据题意得，解得， 即用的木料做桌面，的木料做桌腿，恰好能配成方桌． 6．（25-26八年级上·江西鹰潭·阶段检测）某学校组织学生夏令营，需要安排宿舍．如果每间宿舍住3人，那么有12人无法住宿；如果每间宿舍住5人，那么就会空出2间宿舍．设宿舍有间，学生有人． (1)请根据题意，列出二元一次方程组； (2)宿舍有多少间？学生有多少人？ 【答案】(1) (2)宿舍有11间，学生有45人 【难度】0.85 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得到等量关系是解题的关键． （1）设宿舍有间，学生有人．根据题意，列出二元一次方程组，即可； （2）利用代入消元法解答即可． 【详解】（1）解：设宿舍有间，学生有人． 根据题意，列出二元一次方程组：； （2）解：由（1）得 把②代入①，可得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴二元一次方程组的解为， 答：宿舍有11间，学生有45人． 7．（25-26六年级下·上海·期末）某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为小时；生产线共加工b吨原材料，加工时间为小时． (1)当时，A生产线的加工时间是 小时，B生产线的加工时间是 小时． (2)第一天，该企业把5吨原材料分配到，两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到两条生产线的原材料分别是多少吨？ (3)第二天开工前，该企业按第一天的分配方案分配了5吨原材料后，又给生产线分配了m吨原材料，给生产线分配了n吨原材料，若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则m和n有怎样的数量关系？若此时m与n的和为9吨，则m和n的值分别为多少？ 【答案】(1)5，5 (2)分配到生产线2吨，则分配到生产线3吨 (3)m与n的关系为，当时，， 【难度】0.65 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）因为已知、的取值，所以直接将数值分别代入A、B生产线的加工时间公式计算即可； （2）首先设分配到A生产线吨，则分配到B生产线吨，根据总吨数5吨和两条生产线加工时间相同，可以列二元一次方程组求解； （3）先根据第一天的分配结果，写出第二天A、B生产线各自的总加工吨数；因为加工时间相同，所以令两者的加工时间表达式相等，整理即可得到和的数量关系；再结合的条件，联立两个方程求解、的值． 【详解】（1）解：当时，A生产线加工时间为（小时）； 当时，B生产线加工时间为（小时）． （2）解：设分配到A生产线吨，则分配到B生产线吨， 根据题意得：，解得 ， 答：分配到A生产线吨，则分配到B生产线吨． （3）解：由第（2）问可知第一天A分配了2吨、B分配了3吨，额外分配后A的总加工量为吨，B的总加工量为吨． 根据加工时间相同列等式： 展开化简：， 得，即， 当时，， 解得，则． 【点睛】本题考查了代数式求值、二元一次方程组实际应用以及二元一次方程组的求解，解题的关键是准确提取题干中的时间等量关系，根据两条生产线加工时间相同的核心条件建立对应的方程，结合实际问题的取值约束求解未知量． 8．（21-22七年级下·江苏宿迁·阶段检测）某学校实践课准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子． (1)若学校现有库存A型板材50张，B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只． (2)若学校新购得n张规格为的C型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张A型板材和2张B型板材，余下板材分成两部分，一部分全部切割成A型板材，另一部分全部切割成B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，则n的最小值是多少？此时能制作横式箱子多少只？ 【答案】(1)制作出竖式和横式的箱子分别为10只和20只 (2)n的最小值是35，此时能制作横式箱子5只 【难度】0.65 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设竖式做个，横式做个，根据现有库存A型板材50张，B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完，再建立方程组求解即可； （2）设制作横式箱子只，设余下的张C型中有张切割为A型，剩余张切割为B型（为非负整数），根据竖式箱子做20只，横式箱子做只，根据总板材需求列出方程，化简得出，再对k，n进行讨论，即可求得． 【详解】（1）解：由题意由题意由题意由题意可得：竖式纸盒做1个需要1张A，4张B，横式纸盒做1个需要2张A，3张B， 设竖式做个，横式做个， 则，解得：， 答：制作出竖式和横式的箱子分别为10只和20只； （2）解：∵1张的C型板材，全切割为A型可得9张A型，全切割为B型可得3张B型；其中1张已经切割为3张A型、2张B型， 设制作横式箱子只，设余下的张C型中有张切割为A型，剩余张切割为B型（为非负整数）， 已知竖式箱子做20只，总板材需求满足： A型总数：，整理得：，即； B型总数：，整理得：， 将代入，得：， 因为且为整数，所以为正偶数，得为最小奇数（时为负，舍去）； 代入得：，，是最小的正整数， 即的最小值为，此时能制作横式箱子只． 重难点七、销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 熟练运用公式：利润 = 售价−进价，总利润 = 单件利润 × 销量。理清进价、标价、折扣之间联系，折扣需要换算。寻找两组销售情景，列出方程组。审题区分单件成本与总成本，不要混淆标价和实际售价。算出结果后验算总收入与利润，规避经济类题型常见陷阱。 1．（24-25七年级下·河北唐山·阶段检测）根据以下对话，可以求得明明所买的笔和笔记本的价格分别是（     ） A．元/支，元/本 B．元/支，元/本 C．元/支，元/本 D．元/支，元/本 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】先理解题意，设笔的价格为x元/支，笔记本为y元/本，根据对话内容进行列方程组，再解得，即可作答． 【详解】解：设笔的价格为x元/支，笔记本为y元/本， 依题意，列方程组：， 解得， ∴笔的价格为元/支，笔记本为元/本， 2．（2026·山西阳泉·模拟预测）山西博物院某文创商店热销两款经典文创产品：晋侯鸟尊钥匙扣与雁鱼铜灯书签．已知购买3个晋侯鸟尊钥匙扣和2个雁鱼铜灯书签共需159元；购买1个晋侯鸟尊钥匙扣和5个雁鱼铜灯书签共需144元．设1个晋侯鸟尊钥匙扣的价格为x元，1个雁鱼铜灯书签的价格为y元，根据题意，所列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设1个晋侯鸟尊钥匙扣的价格为x元，1个雁鱼铜灯书签的价格为y元，根据“购买3个晋侯鸟尊钥匙扣和2个雁鱼铜灯书签共需159元；购买1个晋侯鸟尊钥匙扣和5个雁鱼铜灯书签共需144元”，列方程组求解即可； 【详解】解：设1个晋侯鸟尊钥匙扣的价格为x元，1个雁鱼铜灯书签的价格为y元， 根据题意可得：． 3．（25-26七年级下·北京·期中）列二元一次方程组解应用题： 电影《哪吒之魔童闹海》受到广大青少年、小朋友的喜爱。据最新统计更新，《哪吒之魔童闹海》新增部分海外票房后，全球累计票房已达22.674亿美元！超过《泰坦尼克号》的22.648亿美元总票房，升至全球影史票房榜第4名！某电影院有两个不同规格的观影厅，星光厅每张票售价40元，银河厅每张票售价50元．某学校一个实践小组进行观影活动，需购买20张票，由于星光厅余票不足20张，所以购买了部分银河厅的票，一共用了950元．请问实践小组买了星光厅票和银河厅票各多少张？ 【答案】实践小组买了星光厅票5张，银河厅票15张． 【难度】0.83 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题根据总票数和总花费两个等量关系，设两个未知数列出二元一次方程组，求解方程组即可得到结果． 【详解】解：设实践小组买了星光厅票张，银河厅票张， 根据题意可得， 解得， 即实践小组买了星光厅票5张，银河厅票15张． 4．（2026·山西阳泉·三模）4月16日至24日，2026年山西省全民阅读大会暨全民阅读活动周在晋城举办．某校举办“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动，计划给图书馆添置书籍，已知购买4本《论语》和购买5本《诗经》的费用相同，购买2本《论语》比购买3本《诗经》少8元，求《论语》和《诗经》的单价分别是多少． 【答案】《论语》的单价为20元，《诗经》的单价为16元 【难度】0.85 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设《论语》的单价为元，《诗经》的单价为元，根据“购买4本《论语》和购买5本《诗经》的费用相同，购买2本《论语》比购买3本《诗经》少8元”列二元一次方程组求解． 【详解】解：设《论语》的单价为元，《诗经》的单价为元． 根据题意，得 解得 答：《论语》的单价为20元，《诗经》的单价为16元． 5．（25-26八年级下·重庆秀山·期末）某学校准备购买两种造型花卉来装扮校园，已知购买株种花卉和株种花卉共需元；购买株种花卉和株种花卉共需元． (1)求这两种花卉的单价； (2)在“五一”前夕，某花卉市场开展了促销活动，具体办法如下：种花卉按原价的七折销售，购买种花卉株以上，超出部分按原价的五折销售．设购买株种花卉需要元，购买株种花卉需要元，分别求出，关于的函数解析式． 【答案】(1) 种花卉单价为元，种花卉单价为元 (2) （为非负整数） 【难度】0.65 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）设种花卉单价为元，种花卉单价为元，列二元一次方程组解题； （2）根据题意分别求出函数解析式即可． 【详解】（1）解：设种花卉单价为元，种花卉单价为元， 则有， 解得， ∴种花卉单价为元，种花卉单价为元； （2）解：由题意知，（为非负整数）； 当，且为整数时，， 当，且为整数时，； ∴（为非负整数）； ． 6．（22-23九年级下·河南郑州·开学考试）小刚去文具店购买画笔，第一次用27元买了3支A型画笔和4支B型画笔，第二次用49元买了8支A型画笔和3支B型画笔． (1)求A型画笔和B型画笔的单价． (2)小刚使用两种画笔后，决定以后使用A型画笔，但感觉其价格稍贵，和文具店沟通后，文具店给出以下优惠方案：若一次购买A型画笔不超过24支，每支打九折；若一次购买A型画笔超过24支，则前24支不打折，超过的部分打七五折． 设小刚购买A型画笔支，购买费用为元，请写出关于的函数关系式． (3)在（2）的优惠方案下，若小刚计划用210元（全部花完）购买A型画笔，则能购买多少支A型画笔？ 【答案】(1)A型画笔的单价为5元，B型画笔的单价为3元 (2)（其中x是自然数） (3)购买48支A型画笔 【难度】0.65 【知识点】求一次函数自变量或函数值、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、梯度计价问题 【分析】（1）设A型画笔的单价为元，B型画笔的单价为元．根据“27元买了3支A型画笔和4支B型画笔，49元买了8支A型画笔和3支B型画笔”列出二元一次方程组，求解即可； （2）分和两种情况列出函数关系式即可； （3）把代入（2）中的函数关系式，求解即可． 【详解】（1）解：设A型画笔的单价为元，B型画笔的单价为元．根据题意，得 ，解得． 答：A型画笔的单价为5元，B型画笔的单价为3元． （2）解：当时，． 当时，． 关于的函数关系式为（其中x是自然数）． （3）解：当，解得． ， ∴不合题意，舍去． 当，解得． ， 符合题意． 答：若小刚计划用210元（全部花完）购买A型画笔，则能购买48支A型画笔． 7．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）【发现问题】 某商铺计划整体翻新装修，为兼顾工期、装修劳务费与营业收益，老板对比了甲、乙两支专业装修施工队．已知两队合作施工、单独分段施工的工期与付款金额如下： 【提出问题】 ①甲、乙两队同时开工，天能够全部完工，商店需要合计支付两队劳务费元； ②若先由甲队单独施工天，剩余工程交由乙队单独施工天，也可以完成全部装修，总共需要支付劳务费元． 【分析问题】 经测算：甲队独立完成全部工程需要天，乙队独立完成全部工程需要天．商铺正常营业每日净利润为元，停工装修期间没有营业收入． 请结合以上信息，完成以下实践分析： 【解决问题】 (1)设甲队工作天商店需付费元，乙队工作天商店需付费元，请列出二元一次方程组，并求解甲、乙两队每日劳务费用； (2)分别计算单独聘请甲队、单独聘请乙队完成装修的总花费，对比判断只单独雇佣一支队伍时，哪一个成本更低，并说明理由． 【答案】(1)甲、乙两队每日劳务费用分别为元，元 (2)单独聘请甲队完成装修的总花费更低， 理由：单独聘请甲队完成装修的总花费（元）， 单独聘请乙队完成装修的总花费（元）， ，                        单独聘请甲队完成装修的总花费更低 【难度】0.62 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）根据两队同时施工天的总劳务费和甲单独施工天、乙单独施工天的总劳务费，列出二元一次方程组，解方程组即可得到两队每日劳务费用； （2）分别用“每日劳务费+每日净利润”乘以各自的独立工期，算出单独聘请甲、乙两队的总花费，再比较两个总花费的大小，即可判断哪个成本更低． 【详解】（1）解：由题意列方程组为： ， 解得 ， 答：甲、乙两队每日劳务费用分别为元，元． （2）略 8．（2026·广东广州·二模）某班准备购买“国风书签”和“校徽钥匙扣”作为校园文化节奖品．已知购买1枚国风书签和2个校徽钥匙扣需要8元，购买2枚国风书签和3个校徽钥匙扣需要13元． (1)求每枚国风书签和每个校徽钥匙扣的价格； (2)班委准备用33元全部购买这两种奖品，每种奖品至少买一件． ①写出枚国风书签和个校徽钥匙扣的数量满足的等量关系，并直接写出可能购买方案的个数； ②若从所有可能的购买方案中随机选取一种，直接写出买到的校徽钥匙扣数量多于国风书签数量的概率． 【答案】(1)每枚国风书签的价格为2元，每个校徽钥匙扣的价格为3元； (2)①，符合条件的方案有5个；②买到的校徽钥匙扣数量多于国风书签数量的概率为． 【难度】0.48 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设每枚国风书签的价格为x元，每个校徽钥匙扣的价格为y元，根据“购买1枚国风书签和2个校徽钥匙扣需要8元，购买2枚国风书签和3个校徽钥匙扣需要13元”列出方程组，解方程组即可； （2）①根据购买m枚国风书签和n个校徽钥匙扣的总费用列出m，n的数量关系，再根据m，n为正整数写出方案； ②根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：设每枚国风书签的价格为x元，每个校徽钥匙扣的价格为y元． 根据题意列方程组：， 解得， 答：每枚国风书签的价格为2元，每个校徽钥匙扣的价格为3元； （2）解：①由（1）可知，国风书签单价2元，校徽钥匙扣单价3元，总费用33元， 可得：， ∴， 因为m，n都是正整数， 所以必须是正偶数， ∴时，； 时，； 时，； 时，； 时，； 时，（舍去，因为每种奖品至少买一件）． 所以符合条件的方案有5个； ②校徽钥匙扣数量多于国风书签数量，即， ∴，和，， ∵满足条件的方案有2个，总方案数为5个， ∴概率为：． 重难点八、和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 和差倍分题型，抓住关键词转化文字语言。看见 “和、差、几倍、多、少” 直接翻译成等式。设两个基础量为未知数，整理两组独立等量关系列出方程组。答题重点区分 A 是 B 的几倍、A 比 B 多几倍两种表述，两者含义不同，审题仔细防止列式出错。 1．（25-26七年级下·浙江台州·期中）班级运动会购买矿泉水与运动饮料共花费520元买50瓶饮品，矿泉水每瓶4元，运动饮料每瓶12元．设矿泉水瓶，运动饮料瓶，正确方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据班级运动会购买矿泉水与运动饮料共花费520元买50瓶饮品，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：C． 2．（25-26九年级下·吉林松原·期中）2026年春晚，银河通用“小盖”、魔法原子“送餐员”等智能机器人展现了强大的分拣与配送能力．某物流中心借鉴春晚技术，引入A、B两型智能分拣机器人来处理该物流中心包裹的分类．已知2台A型机器人每小时的总分拣量是3台B型机器人每小时的总分拣量，1台A型机器人和2台B型机器人每小时共分拣3500件包裹．求A、B两型机器人每小时分别分拣多少件包裹？ 【答案】A型机器人每小时分拣1500件包裹，B型机器人每小时分拣1000件包裹 【难度】0.85 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】列二元一次方程组解决实际问题． 【详解】解：设A型机器人每小时分拣x件包裹，B型机器人每小时分拣y件包裹． 由题意列二元一次方程组，得， 解得， 答：A型机器人每小时分拣1500件包裹，B型机器人每小时分拣1000件包裹． 3．（25-26七年级下·河南开封·期中）某港口码头使用，两种型号的机器人搬运货物，在内，3台型机器人和2台型机器人共搬运货物，且每台型机器人比型机器人多搬运货物． (1)每台型机器人和每台型机器人的搬运量分别是多少？ (2)若安排10台型机器人和12台型机器人，求这些机器人内的总搬运量是多少吨？ 【答案】(1) 每台型机器人的搬运量是，每台型机器人的搬运量是 (2) 这些机器人内的总搬运量是 【难度】0.86 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）根据题意列方程组求解即可； （2）根据（1）中求出的结果计算即可． 【详解】（1）解：设每台型机器人的搬运量是，每台型机器人的搬运量是， 则有， 解得， 答：每台型机器人的搬运量是，每台型机器人的搬运量是； （2）解：， 答：这些机器人内的总搬运量是． 4．（2022·吉林长春·三模）2022年第19届亚运会即将在我国杭州举行．如图是杭州市桐庐县瑶琳镇林场区块，从高处俯瞰，有一处白绿相间的“马”字形建筑分外引人注目，这里就是杭州亚运会马术项目比赛场馆桐庐马术中心，其总建筑面积约为5.4万平方米，包括各种功能区．其中主赛场和室内训练场总共占17000平方米，主赛场面积开阔，是室内训练场的2倍还多2000平方米．问主赛场的面积和室内训练场的面积各多少平方米？ 【答案】主赛场的面积为12000平方米，室内训练场的面积为5000平方米 【难度】0.85 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设主赛场的面积为x平方米，室内训练场的面积为y平方米，根据其中主赛场和室内训练场总共占17000平方米，主赛场面积开阔，是室内训练场的2倍还多2000平方米，列出方程组进行求解即可. 【详解】解：设主赛场的面积为x平方米，室内训练场的面积为y平方米．             根据题意，得                 解得                 答：主赛场的面积为12000平方米，室内训练场的面积为5000平方米． 5．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）某校组织师生共380人去郊外参观学习，需租用甲、乙两种不同类型的客车共10辆，租用1辆甲型客车需租金600元，租用1辆乙型客车需租金500元，租车费用共5600元，已知一辆甲型客车比一辆乙型客车多5个座位，且租用的所有客车刚好满座． (1)求租用甲、乙两种类型的客车各多少辆．（要求：列二元一次方程组求解） (2)求甲、乙两种类型的客车一辆各有多少个座位． 【答案】(1)租用甲型客车6辆，乙型客车4辆 (2)一辆甲型客车有40个座位，一辆乙型客车有35个座位 【难度】0.85 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用)、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）设租用甲型客车辆，乙型客车辆，根据题意，列出方程组，进行求解即可； （2）设一辆乙型客车有个座位，根据一辆甲型客车比一辆乙型客车多5个座位，且租用的所有客车刚好满座，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设租用甲型客车辆，乙型客车辆，根据题意，得 解得； 答：租用甲型客车6辆，乙型客车4辆． （2）解：设一辆乙型客车有个座位，则一辆甲型客车有个座位，根据题意，得 解得， 答：一辆甲型客车有40个座位，一辆乙型客车有35个座位． 6．（25-26七年级下·陕西延安·期末）某俱乐部的名成员相约周末去爬山，有徒步爬山和坐索道上山两种爬山方式，选择徒步爬山的成员数量比选择坐索道上山的成员数量的倍多人，求选择徒步爬山和坐索道上山的成员各有多少人？（请用二元一次方程组的知识解答） 【答案】选择徒步爬山的成员有人，选择坐索道上山的成员有人 【难度】0.7 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设选择徒步爬山的成员有人，选择坐索道上山的成员有人，根据总人数为人，徒步爬山的成员数量比选择坐索道上山的成员数量的倍多人，列出方程组并解方程组，即可得到答案． 【详解】解：设选择徒步爬山的成员有人，选择坐索道上山的成员有人， 根据题意可列方程组：， 解得：， 答：选择徒步爬山的成员有人，选择坐索道上山的成员有人． 7．（25-26七年级下·北京通州·期末）列方程组解应用题： 2026年5月11日凌晨，伦敦世乒赛落下帷幕，中国女队成功卫冕考比伦杯，实现世乒赛团体七连冠，男队成功卫冕斯韦思林杯，实现世乒赛团体十二连冠，两队共同捍卫了国乒荣耀．如图，斯韦思林杯每层底座高度都相等，底座下面的垫台高与一层底座高之比为，杯身高比6层底座高多，垫台高与杯身高之和是，求这届斯韦思林杯的总高度．    【答案】 【难度】0.65 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设垫台高为，则一层底座高为，则6层底座高为，杯身高为，根据题意列出方程组并解方程组得到的值，即可求出斯韦思林杯的总高度． 【详解】解：设垫台高为，则每层底座高为，则6层底座高为，杯身高为， 根据题意可得， 解得， 则这届斯韦思林杯的总高度为． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）某校第二课堂开展后受到了学生的追捧，学期结束后对部分学生做了一次“我最喜爱的第二课堂”问卷调查（每名学生都填了调查表，且只选了一个项目）．据统计，主要有趣味数学、演讲与口才、信息技术、手工制作四个项目．其中选信息技术的人数比选手工制作的少8；选趣味数学的人不仅比选手工制作的人多，且为整数倍；选趣味数学与选手工制作的人数之和是选演讲与口才与选信息技术的人数之和的5倍；选趣味数学与选演讲与口才的人数之和比选信息技术与选手工制作的人数之和多24．参加调查问卷的学生有多少名？ 【答案】参加调查问卷的学生有48名 【难度】0.4 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】通过设未知数，根据数量关系列出方程组，求解出各项目的人数，进而得出参加调查问卷的学生总数． 【详解】解：设选信息技术的有人，选演讲与口才的有人，则选手工制作的有人，选趣味数学的有人． 根据题意，得 整理①，得．③ 整理②，得．④ ③④，得， 整理，得． ③④，得，即． ∵都是正整数， ∴或或或或或当或或或或时，都不是整数，不符合题意； 当时，． ∴选信息技术的有人，选演讲与口才的有人，选手工制作的有人，选趣味数学的有人．由于每名学生都填了调查表，且只选了一个项目，则（人）． 故答案为：参加调查问卷的学生有名． 【点睛】本题考查通过设定未知数建立方程组，解题关键是根据题目中的数量关系准确设出未知数，列出方程组，再结合正整数的条件进行求解． 重难点九、几何问题（二元一次方程组的应用） 几何应用题结合图形性质寻找等量关系，常用周长、边长、角度、面积公式。根据图形标注信息设未知数，挖掘隐藏条件，如长方形对边相等、三角形内角和等。整理两组几何等量关系建立方程组，算出边长、角度后，确认数值符合几何常识。 1．（25-26七年级下·福建漳州·期中）将四个完全相同的直角三角形分别拼成如图1和如图2所示的正方形，边长分别为6和2．则一个直角三角形的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、加减消元法 【分析】根据题意和图形，可以先设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，然后根据图1和图2可以列出相应的方程组，从而可以求得直角三角形的两条直角边的长． 【详解】解：设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b， ∴， 解得， ∴直角三角形的面积为：． 2．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）如图，在周长为64的长方形中放入六个相同的小长方形，若，则图中阴影部分的面积S为（） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设小长方形的长为x，宽为y，观察图形，根据图中各边之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用图中阴影部分的面积等于大长方形的面积减去6个小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】解：∵长方形的周长为64，， ∴． 设小长方形的长为x，宽为y，依题意得， ， 解得， ∴图中阴影部分面积． 故选：B． 3．（25-26七年级上·安徽淮北·期末）如图，长方形中有6个形状、大小完全相同的小长方形，其余为阴影部分，根据图中所标尺寸，图中阴影部分的面积之和为（   ） A．12 B．18 C．20 D．24 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用．设小长方形的长为，宽为，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，由题意得， ， 解得：， 所以图中阴影部分的面积之和为． 故选B． 4．（25-26七年级下·广东珠海·期末）如图，在长为的大长方形中，以水平或竖直的方式放入个形状、大小完全相同的小长方形，则下列说法正确的是（     ） ①②③若，则每个小长方形的面积均为；④若、、均为正整数，则只能是． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据图形，列出二元一次方程组，逐一进行判断即可. 【详解】解：由图可知，，故①正确； 解得，故②正确； 当时，， ∴每个小长方形的面积为；故③正确； 若、、均为正整数，则只能是．故④正确. 5．（25-26七年级下·全国·单元测试）分别用8个大小一样的长方形拼图．如图①，小明拼成了一个大的长方形；如图②，小红拼成了一个大的正方形，但中间恰好空出一个边长为1 mm的小正方形．你能求出小长方形的长和宽吗？ 【答案】小长方形的长为，宽为． 【难度】0.85 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，观察图①、图②，可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意，得 解得 答：小长方形的长为，宽为． 6．（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，每张标准卡纸可以剪裁成张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形．如图，可以用小长方形和小正方形制作竖式叠盖和横式叠盖纸盒，如图是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图． 现有张标准卡纸通过剪裁一共得到张小长方形和张小正方形，做成个竖式叠盖纸盒和个横式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． (1)若，求，，的值； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.55 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）先根据标准卡纸总数求出小正方形数量，再结合竖式、横式纸盒用料列出二元一次方程组，解方程组得到、的值； （2）根据剪裁总量建立小长方形、小正方形数量与纸盒个数的等式，整理得到关于的二元一次方程，求出所有非负整数解，通过计算各组解中的数值，确定最大值． 【详解】（1）解：由题意得，， ， 解得：； （2）解：由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要个小长方形， ， 整数解为：或或或， ， 的最大值为． 7．（25-26七年级下·江苏南京·期末）某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：） (1)列出方程（组），求出图1中与的值． (2)在生产阶段，若将150张标准板材用裁法一裁剪，将得到的A型与B型板材做侧面和底面，请问能做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？ 【答案】(1)， (2)做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个 【难度】0.65 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）根据图1的两种裁法，可得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个，根据将150张标准板材用裁法一裁剪，得到A型板材个，B型板材个，竖式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；横式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得：； （2）解：设做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个， 将150张标准板材用裁法一裁剪，得到A型板材（个），B型板材（个）， ∵竖式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；横式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材； ∴， 解得， ∴做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个． 8．（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，已知长方形，动点，同时从点出发，点按照方向运动，点按照方向运动．点运动的速度是点运动速度的倍，两点到各自终点后分别停止运动，并且，两点在点处首次相遇． (1)若长方形周长为，求和的长度； (2)当运动秒时，连接，线段所在的直线将长方形分成面积相等的两部分，请直接写出，两点从出发到首次相遇所用的时间． 【答案】(1)， (2)或． 【难度】0.35 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】（1）根据长方形周长以及，两点在点处首次相遇，可得，，再进一步求解即可； （2）由（1）得：，设，则，可得长方形周长为，设的速度为，则的速度为，再分两种情况讨论． 【详解】（1）解：∵长方形周长为， ∴，，，即， ∵点运动的速度是点运动速度的倍， ∴运动时间相同时点的运动路程是点P运动路程的倍， ∵，两点在点处首次相遇， ∴，即， ∴， 解得：，． （2）解：由（1）得：， 设，则， ∴长方形周长为， 设的速度为，则的速度为， 当运动秒时，的运动路程为，的运动路程为， 如图， ∵线段所在的直线将长方形分成面积相等的两部分，长方形是中心对称图形， ∴， ∴， 解得：， ∴，两点从出发到首次相遇所用的时间为， 如图， ∵，， 当运动到的时间为：， 此时的运动路程为， ∴已经停止运动， ∴当运动秒时，停止，与重合，此时线段所在的直线将长方形分成面积相等的两部分， ∵长方形是中心对称图形， 此时， ∴， ∴，两点从出发到首次相遇所用的时间为， 综上：，两点从出发到首次相遇所用的时间为或． 重难点十、图表信息问题（二元一次方程组的应用） 图表信息题先认真读取表格、图像数据，横向纵向梳理已知条件。从图表中提取两组有效等量关系，设定未知数列出方程组。不要遗漏图表备注、限制条件。理清数据之间的运算逻辑，避免看错行列数值，计算完成对照图表信息复核答案。 1．（25-26七年级上·福建漳州·期中）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则ab2的值为（　　） A． B．6 C． D．36 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． 根据三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得出关于、的方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意得，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，且都等于三阶幻方中心数的三倍， 则 解得， ，即， 解得， 因此， 故选：D． 2．（20-21八年级上·陕西咸阳·期末）在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3方格中填入了一些表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则x、y的值分别为（   ） x 8 1 y 6 A．、4 B．3、 C．3、4 D．、 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了图表信息题(二元一次方程组的应用)，解题关键是准确列出方程组． 根据表中数据，依据“各行、各列及对角线上的三个数之和都相等”，列出方程组求解． 【详解】解：∵各行、各列及对角线上的三个数之和都相等， ∴，解得：， 故选：C． 3．（25-26七年级下·广东惠州·期中）为积极响应绿色低碳号召，扎实推进生态文明建设，博罗县某学校组织学生到郊外开展义务植树实践活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： 若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 【答案】应选用A种食品3包，B种食品2包 【难度】0.85 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【详解】解：设应选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意得：， 解得：， 答：应选用A种食品3包，B种食品2包． 4．（24-25七年级下·山东泰安·期中）水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫．某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准，收费为正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2025年两个月的收费表： 时间项目 用水量 费用（元） 1月 11 28 2月 15 44 (1)请问该城市居民标准内用水及超标部分用水的价格各是多少元？ (2)小明家三月份用水量是，他有50元钱，请问他的钱够交水费吗？如果不够，还差多少？ 【答案】(1)正常收费标准为2元，超过部分4元 (2)不够交水费，还差30元 【难度】0.85 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用； （1）设正常收费标准为x元，超过部分y元，根据表格信息建立方程组解题即可； （2）先列式计算水费，再与50元比较即可； 【详解】（1）解：设正常收费标准为x元，超过部分y元， 由题意，得， 解得， 答：正常收费标准为2元，超过部分4元． （2）解：元， ， 不够， 元， 答：不够交水费，还差30元. 5．（2022·河南开封·模拟预测）“六一”儿童节有一投球入盆的游戏，深受同学们的喜爱，游戏规则如下：如图，在一大盆里放一小茶盅（叫幸运区）和小茶盅外大盆内（环形区）分别得不同的分数，投到大盆外不得分；每人各投6个球，总得分不低于30分得奖券一张．现统计小刚、小明、小红三人的得分情况如下图： (1)每投中“幸运区”和“环形区”一次，分别得多少分？ (2)根据这种得分规则，小红能否得到一张奖券？请说明理由． 【答案】(1)投中“幸运区”一次得10分，投中“环形区”一次得3分； (2)解：能得到一张奖券，理由如下： （分）， ∵， ∴根据这种得分规则，小红能得到一张奖券． 【难度】0.65 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设投中“幸运区”一次得x分，投中“环形区”一次得y分，根据小刚和小明的得分列二元一次方程组求解； （2）根据得分规则计算小红的得分，然后判断即可． 【详解】（1）解：设投中“幸运区”一次得x分，投中“环形区”一次得y分， 根据题意得：， 解得：， 答：投中“幸运区”一次得10分，投中“环形区”一次得3分； （2）略 6．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）某地出租车的收费标准如下（设行驶里程为千米）： 收费项目 收费标准 起步价（当时） 元 里程费（当时） 的部分，2元/千米 的部分，3元/千米 等候费（按等时收费） 元/分钟（不足1分钟按1分钟计费） “等时”指出租车在计费过程中因拥堵、红灯、乘客临时要求停车等原因导致的非行驶状态时间．例如：“等时”表示等时为0小时4分39秒，此时等候费按5分钟计费． (1)若且等时0分钟，则车费为 元；（用含的代数式表示） (2)若且等时3分钟，则车费为 元；（用含、的代数式表示） (3)下图为某游客在当地乘坐出租车的两张发票，根据相关信息，求、的值． 【答案】(1) (2) (3)、的值分别为8、0.32 【难度】0.65 【知识点】列代数式、图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）计算起步价与里程费用即可； （2）计算起步价，分两段计算里程费用，计算等时费，各项费用相加即可； （3）根据费用列出二元一次方程组并求解即可． 【详解】（1）解：元； （2）解：元； （3）解：由题意，得   解得， 即、的值分别为8、0.32． 重难点十一、古代问题（二元一次方程组的应用） 古文类应用题第一步先翻译题意，把文言描述转化为现代数学语句。圈出物品总量、盈亏条件，找到两组等量关系，设立未知数列出方程组。准确理解古文中 “余、不足、共、倍” 等词汇含义，防止翻译偏差导致列式错误，最后验证结果匹配原文情景。 1．（2026·江苏无锡·中考真题）《九章算术》中有如下问题：浓酒1斗值50钱，淡酒1斗值10钱．现有30钱，买酒2斗，问浓酒、淡酒各有多少？设浓酒斗，淡酒斗，则下列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设浓酒斗，淡酒斗，根据“买酒总斗数为2斗，总钱数为30钱”列出方程组即可． 【详解】解：设浓酒斗，淡酒斗，根据题意，得 ． 2．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，则可列二元一次方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】由共买得2斗酒，可得，由总钱数为30钱，醇酒1斗值50钱，行酒1斗值10钱， 可得，即可列出方程组． 【详解】解：设醇酒为斗，行酒为斗 由题意可列方程组为． 3．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）我国古代九章算术里有这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是现有头牛、只羊，共值两金；头牛、只羊，共值两金．问：头牛值多少金？只羊值多少金？据此求牛和羊的价格．假设一头牛需要两金，一只羊需要两金．则可建立方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据“头牛、只羊，共值两金；头牛、只羊，共值两金”，即可列出关于、y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：根据题意，可建立方程组为． 4．（25-26七年级下·吉林长春·期末）古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；两人共车，九人步．问人与车各几何？”其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，则下面所列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据题中两个乘车条件，分别找出总人数、车辆数之间的等量关系，列出方程，即可得到正确的方程组． 【详解】解：设有人，辆车，根据题意，得 ． 5．（2026·新疆·中考真题）我国古代数学名著《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长尺，绳子长尺，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【详解】解：设木长尺，绳长尺， 用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺， 绳长木长剩余绳长，即 将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺， 对折后绳长木长剩余木长，对折后绳长为，即； 综上可得方程组 6．（25-26七年级下·重庆荣昌·期末）我国古代《九章算术》被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记载这样一个问题：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？译文为：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、鸡价各多少？对于以下三位同学的解题方案，正确的个数是（     ） 小青：设人数有人，则； 小军：设鸡价有钱，则； 小萍：设人数有人，鸡价有钱，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)、古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】以鸡价不变、人数不变为等量关系，验证三人的解题方案是否正确． 【详解】解：设人数为x人，鸡价为y钱． 由每人出9钱多11钱，可得鸡价为钱，即； 由每人出6钱差16钱，可得鸡价为钱，即， 根据鸡价相等得到，故小青的方案正确； 也可得，故小萍的方案正确； 由每人出9钱多11钱，可得人数为， 由每人出6钱差16钱，可得人数为， 根据人数相等得到，与小军的式子不符，故小军的方案错误． 综上，正确的方案有2个． 7．（25-26七年级下·辽宁大连·阶段检测）《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题，今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲大半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱，甲乙两人各带了多少钱？ 【答案】甲带了钱，乙带了钱． 【难度】0.76 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设甲带了x钱，乙带了y钱，根据“如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱”列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设甲带了x钱，乙带了y钱， 根据题意得， 解得 ∴甲带了钱，乙带了钱． 8．（2026·北京石景山·二模）《营造法式》是北宋官方颁布的建筑设计与施工规范，其创立的“材份制”规定所有建筑构件的尺寸均以“份”为基本单位，不同材等对应的份的实际长度（单位：寸）不同，具体如表： 材等 一等 二等 三等 四等 五等 六等 份实际长度（寸） 书中记载：栌斗的长度为份，高度为份；华栱的长度为份，高度为份；散斗的长度为份，高度为份．图为斗拱结构示意图，标注了栌斗、散斗、华栱等构件在整体斗拱结构中的具体位置与形态． 某考古队在一处建筑群遗址中，发现了两座采用不同材等建造的建筑遗存，出土了栌斗、华栱、散斗三种构件的完整标本．经精密测量，采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实际高度之和为寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比为．判断该建筑群所用的两种材等分别对应几等材，并说明理由．    【答案】两种材等分别为三等材、六等材 【难度】0.54 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设第一种材等1份的实际长度为x寸，第二种材等1份的实际长度为寸，根据“采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实际高度之和为寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比为”列方程组求解即可． 【详解】解：设第一种材等1份的实际长度为x寸，第二种材等1份的实际长度为寸， 第一种材等栌斗实际长度 + 第二种材等华栱实际高度寸，栌斗长32份，华栱高21份，因此得； 第一种材等散斗实际高度：第二种材等散斗实际高度，散斗高都是10份，因此得， ∴， 解得 对照表格可知：1份实际长度0.5寸对应三等材，0.4寸对应六等材， 因此两种材等分别为三等材、六等材． 重难点十二、其他问题（二元一次方程组的应用） 其余综合类应用题通用解题流程：审题找出两组等量关系，合理设定未知数，规范列出二元一次方程组。运用消元法求解，结合现实场景取舍答案，人数、物件数量通常取正整数。答题完整书写检验步骤，灵活迁移各类题型解题思路，冷静识别题目隐藏条件。 1．（25-26七年级下·广东珠海·期末）广东省城市篮球联赛（简称“粤”），是广东省篮球协会于年对广东省男子篮球联赛进行全面升级的城市篮球联赛．如下表所示，是常规赛第七轮结束后的部分球队积分榜信息，则胜一场的积分是（     ） 排名 球队 胜场 负场 积分 中山 … … … … … 珠海 … … … … … 江门 阳江 … … … … … A．1分 B．2分 C．3分 D．4分 【答案】B 【难度】0.87 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设胜一场和负一场的积分分别为未知数，根据表格中球队的积分关系列出方程组，求解即可得到结果． 【详解】解：设胜一场积分，负一场积分 根据中山队和阳江队的胜负场与总积分，可得 由第一个方程得， 将代入第二个方程得 解得 验证可知符合所有球队积分数据 因此胜一场的积分是2分． 2．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）“综合与实践”小组的学生利用课余时间对学校食堂窗口买饭排队等待时间问题进行了调查，在食堂窗口开放前，已经有n人在排队；窗口开始打饭时，前来打饭的人数按固定的速度增加，且每个窗口每分钟减少的排队人数也是固定的．当同时开放2个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；当同时开放3个窗口时，20分钟后恰好不会出现排队现象．为减少同学排队打饭时间，食堂承诺5分钟后不出现排队现象，则至少需要同时开放（     ） A．6个窗口 B．7个窗口 C．8个窗口 D．9个窗口 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题是类似牛吃草的实际问题，通过设未知数表示每分钟新增人数和每个窗口每分钟处理人数，根据已知条件列等式推导各量关系，再计算5分钟不排队需要的最少窗口数． 【详解】解：设每分钟新增排队人数为人，每个窗口每分钟减少排队人数为人，设需要同时开放个窗口， 根据题意列方程组： 用第一个方程减去第二个方程，得，， 把代入第一个方程，得，， 若5分钟后不出现排队，则总人数不超过个窗口5分钟减少的排队人数，可得： 把，代入，得， ，两边同时除以，得， 至少需要同时开放9个窗口， 故选D． 3．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）甲、乙二人骑自行车同时从相距的两地相向而行，经过相遇． (1)甲、乙两人的速度各是多少？请至少写出满足条件的两组解； (2)请你适当增加题目中的条件，使问题（1）有唯一解，并解答你改编后的问题． 【答案】(1)甲的速度是，乙的速度是；甲的速度是，乙的速度是 (2) 增加条件：已知乙的速度是甲的速度的倍， 根据题意可得： ， 解得：， 答：甲的速度是，乙的速度是． 【难度】0.65 【知识点】开放型问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，二元一次方程组的应用．本题是一道开放型题，需要补充一个条件再解二元一次方程组． (1)设甲的速度是，乙的速度是，可列二元一次方程，求出两组满足二元一次方程的条件的解； (2)补充条件已知乙的速度是甲的速度的倍，列二元一次方程组求解． 【详解】（1）解：设甲的速度是，乙的速度是， ， 根据题意可得：， 当时，解得：， 当时，解得：， 甲的速度是，乙的速度是； 甲的速度是，乙的速度是； （2）略 4．（2026·广东肇庆·一模）中医药作为中华民族原创医药学体系，深深地融入了民众的生产生活实践中．某中药厂名熟练工和名新工人每天可生产盒中药制剂，名熟练工和名新工人每天可生产盒中药制剂，求每名熟练工和每名新工人每天分别可生产多少盒中药制剂． 【答案】每名熟练工每天可生产盒中药制剂，每名新工人每天可生产盒中药制剂 【难度】0.85 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【详解】解：设每名熟练工每天可生产盒中药制剂，每名新工人每天可生产盒中药制剂， 由题意得， 解得， 答：每名熟练工每天可生产盒中药制剂，每名新工人每天可生产盒中药制剂． 5．（25-26七年级下·湖北孝感·期末）垃圾分类有助于环境保护、资源循环利用．某区域的环卫部门每天安排10台A型车和8台B型车用于垃圾清运，一台A型车比一台B型车每次多清运7吨垃圾，该区域每天需要清运垃圾428吨，每天每台车均需清运垃圾2次恰好能完成本区域当天的垃圾清运工作．一台A型车和一台B型车每次清运垃圾的吨数分别是多少？ 【答案】一台A型车每次清运垃圾15吨，一台B型车每次清运垃圾8吨 【难度】0.85 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【详解】解：设一台A型车每次清运垃圾x吨，一台B型车每次清运垃圾y吨， 根据题意得，， 解得， 答：一台A型车每次清运垃圾15吨，一台B型车每次清运垃圾8吨． 6．（2026·山西·三模）学校图书馆整理科技类图书和文学类图书共本，科技类图书每本需要贴个标签，文学类图书每本需要贴个标签，总共贴了个标签．求科技类图书和文学类图书各有多少本． 【答案】科技类图书有本，文学类图书有本． 【难度】0.85 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设科技类图书有本，文学类图书有本，依题意得，然后解方程组即可． 【详解】解：设科技类图书有本，文学类图书有本， 依题意得，， 解得， 答：科技类图书有本，文学类图书有本． 7．（25-26七年级下·吉林四平·期末）古人曰：“读万卷书，行万里路”经历是最好的学习，研学是最美的相遇．某中学七年级同学开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆．下面是王老师和小真、小萱同学有关租车问题的对话： 王老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，座客车每辆每天的租金比座的贵元．” 小真：“八年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到该博物馆参观，一天的租金共计元．” 小萱：“如果我们七年级租用座的客车辆，那么还有人没有座位；如果租用座的客车可少租辆，且正好坐满”． 根据以上对话，解答下列问题： (1)参加此次活动的七年级师生共有________人； (2)客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ 【答案】(1) (2)座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元． 【难度】0.65 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”，可得出关于a的一元一次方程，解方程得到a的值，再将其代入中，即可解答； （2）设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元，根据“60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元，租用4辆60座和2辆45座的客车，一天的租金共计5100元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ， 参加此次活动的七年级师生共有420人． （2）解：设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：客运公司60座客车每辆每天的租金是900元，45座客车每辆每天的租金是750元． 8．（25-26六年级下·上海·期末）篮球比赛中投进一个球，所得分值有3种：3分，2分和1分．一名篮球队员在一场比赛中15投10中得20分，投进两分球的个数是投进三分球个数的3倍．求投进三分球的个数． 【答案】投进3分球2个 【难度】0.65 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【详解】解：设投进3分球x个，2分球个，1分球y个， ， 解得， 答：投进3分球2个． 9．（2022七年级下·甘肃武威·竞赛）长沙市某公园的门票价格如表所示： 购票人数 人 人 100人以上 票价 10元/人 8元/人 5元/人 某校九年级甲、乙两个班共100多人去该公园举行毕业联欢活动，其中甲班有50多人不到60人，乙班不足50人，如果以班为单位分别买门票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一个团体购票，一共要付515元，问甲，乙两班分别有多少人？ 【答案】甲班有55人，乙班有48人 【难度】0.65 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【详解】解：设甲班有x人，乙班有y人， 依题意，得：， 解得：． 答：甲班有55人，乙班有48人． 10．（25-26七年级下·广东广州·期中）【问题情境】 我国新能源车发展迅速，由于电池重量，导致整车质量较大，新能源车轮胎的磨损普遍会比传统能源油车较大，且前期大多数新能源汽车是前轮驱动和转向的，所以前、后轮的磨损程度不一．从安全角度考虑，通常前后一起换新轮胎；从性价比考虑，可先进行前、后轮胎换位，使磨损程度均衡，从而延长使用寿命． 信息1：新能源汽车的轮胎，若只放置在前轮，一般行驶达到时报废，而放置在后轮，应在行驶达到时报废； 信息2：为了让轮胎均匀磨损并延长使用寿命，一般建议每行驶进行一次轮胎换位． 根据以上信息，在不考虑其他因素影响下，解决下列任务： (1)任务一： 可类比工程类问题，将每个新轮胎的总磨损量设为“单位1”或引入未知数． ①汽车前轮轮胎每千米的磨损量为________，后轮轮胎每千米的磨损量为________； ②若汽车没有按照建议，只在行驶了时进行了1次前、后轮胎换位，则该汽车第一次轮胎报废时，汽车行驶的总里程为________； (2)任务二： 如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，那么应在汽车行驶里程达到多少时交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？并求出轮胎报废时汽车的行驶里程． (3)任务三： 若按建议每更换前后轮胎一次，经过偶数次换位后至有轮胎报废时，汽车的行驶里程最高是多少？（精确到） 【答案】(1)①，；②； (2)应在行驶时交换轮胎，报废时总行驶里程为； (3)最高行驶里程约为． 【难度】0.42 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、其他问题(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】（1）①根据信息1即可解答；②先求出行驶剩余磨损，即可求出换到后轮后还可行驶的路程，即可解答； （2）设行驶时交换前后轮，总行驶里程为时两对轮胎同时报废，由题意列出二元一次方程组求解即可； （3）设经过（为正整数）次换位，换位完成时已经行驶了，求出总磨损为，设换位后原前轮回到前轮，剩余磨损可继续行驶，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：① 设每个轮胎总磨损量为单位， 前轮报废，因此每千米磨损为；后轮报废，因此每千米磨损为； ② 行驶后，原前轮总磨损，剩余磨损， 换到后轮后还可行驶， 总里程为， （2）解：设行驶时交换前后轮，总行驶里程为时两对轮胎同时报废， 根据题意得 ， 解得， 则 答：应在行驶时交换轮胎，报废时总行驶里程为； （3）解：设经过（为正整数）次换位，换位完成时已经行驶了，每两次换位后，每个轮胎在前轮、后轮各行驶， 总磨损为， 设换位后原前轮回到前轮，剩余磨损可继续行驶， 则， 解得， 总里程为， ∵，即，为整数， ∴最大， 则， 答：最高行驶里程约为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $