专题11 一次函数的应用的四类培优综合题型（四川成都专用，压轴题专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型模版+压轴挑战”构建一次函数应用训练体系，聚焦分配方案等四类题型，提炼函数建模与性质应用方法，培养模型意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心解法|一次函数性质应用|从概念到应用的逻辑链条| |题型归纳|4题型各1典例+3变式|分配方案用函数与方程思想，最大利润列函数关系式，行程用待定系数法，分段计费分段建模|覆盖经济、行程等场景，变式拓展情境迁移| |压轴挑战|10综合题|综合运用函数建模与性质|整合四类题型，提升复杂问题解决能力|

专题11 一次函数的应用的四类培优综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、分配方案问题 题型二、最大利润问题 题型三、行程问题 题型四、分段计费问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一次函数的应用是初中函数基础，所有题型均围绕分配方案问题、最大利润问题、行程问题及分段计费问题展开，解题贯穿基本底线原则：根据题意运用一次函数性质求解。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、分配方案问题 典例 1已知深圳湾大酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天元，双人间为每人每天元．为吸引客源，促进旅游，在十一黄金周期间深圳湾大酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双人间客房． (1)若每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？ (2)设三人间共住了人，一天一共花去住宿费元，请写出与的函数关系式； (3)一天元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种入住的房间正好被住满的入住方案，使住宿费用最低，并求出最低的费用． 题型模版 1.特征：分配方案问题. 2.方法：解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和方程的思想解答. 变式1-1【素材呈现】 素材一：在对A城市交通工具的二氧化碳排放量所进行的一项调研中，我们发现：10辆燃油车与10辆电动汽车每公里共同排放的二氧化碳总量约为2600克，而5辆燃油车与6辆电动汽车每公里的总排放量则为1374克． 素材二：为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关换算标准，每棵成年的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收172千克二氧化碳，而每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收111千克的二氧化碳． 【问题解决】 (1)问题一：一辆燃油车和一辆电动汽车每公里分别产生的二氧化碳排放量是多少克？ (2)问题二：某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为千克． ①求与的函数关系式； ②杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树不超过20棵，请设计一个最优的采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 变式1-2项目式学习任务：校园机器人科普展奖品采购方案 某校开展“智能机器人进校园，科创筑梦向未来”主题科普展活动，计划采购A款智能机器人模型与B款科创笔记本共120件，已知A款机器人模型单价25元/件，B款科创笔记本单价20元/件．请以“活动采购规划小组”的身份，完成以下采购成本分析任务： 任务一：建立总费用函数模型 (1)设购买A款智能机器人模型的数量为件，购买两种奖品的总费用为元．请求出总费用与A款机器人模型数量之间的函数关系式． 任务二：实际采购费用核算 (2)若本次科普展计划购买件A款智能机器人模型，剩余奖品均为B款科创笔记本，请计算本次采购的总费用． 任务三：最优采购方案设计 (3)结合活动预算与奖品购置要求，规定A款智能机器人模型的购买数量不少于件且不多于件．请通过函数分析，设计出总费用最少的采购方案，并求出最少总费用． 变式1-3某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有甲、乙两家印刷社，制作此种宣传单的收费标准如下表所示： 甲印刷社收费y（元）与印制数x（张）的函数关系如下表： 甲 印 刷 社 0.15元/张 乙印刷社 500张以内（含500张） 0.20元/张 超过500张部分 0.10元/张 (1)若该小组在甲、乙两家印刷社共印制400张宣传单，用去65元，问甲、乙两家印刷社各印多少张？ (2)若印刷费用为y元，请直接写甲、乙两家印刷社费用与宣传单张数x之间的函数关系式，并说明选择哪家印刷社比较划算． 类型二、最大利润问题 典例2哈国客商准备在乌鲁木齐采购一批特色商品，经调查，A型商品的进价是160元/件，B型商品的进价是150元/件． (1)若该哈国客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件，已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润与之间的函数解析式，并写出的取值范围； (2)在（1）的条件下，哈国客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金元．求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益． 题型模版 1.特征：最大利润问题. 2.方法：根据题意，列出函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可. 变式2-1某经销商欲购进甲、乙两种水果．甲、乙两种水果的售价分别为12元和18元，甲种水果的进价为8元，乙种水果的进货总金额（单位：元）与乙种水果的进货量（单位：）之间的关系如图所示． (1)直接写出关于的函数解析式； (2)若该经销商购进甲、乙两种水果共，并能全部售出，其中乙种水果的进货量不低于，且不高于．设销售完这两种水果所获总利润为（单位：元）． ①求关于的函数解析式； ②请为该经销商设计出获得最大总利润的进货方案． 变式2-2随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，同学们的运动热情被充分激发．某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购个篮球，其中． 品名 厂家批发价（元/个） 商场零售价（元/个） 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式； (2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，求的值． 变式2-3 扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺，扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价类别 成本价（元/件） 销售价（元/件） 甲种布料 60 100 乙种布料 40 70 (1)该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ (2)因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件，且以相同的销售价全部售完这批布料，若此次购进甲种布料的数量不超过第一次乙种布料的数量，设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元，第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 题型三、行程问题 典例3一次趣味运动会的“背夹球竞走”项目中，甲，乙两组同学参加比赛．规则是：每组选出的男女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上侧身走完规定的路程，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续前行，用时少者胜．结果甲组在途中掉了球，乙组则顺利走完路程．两组同学距离出发点的距离与比赛时间的函数关系如图所示．根据题意解答下列问题： (1)写出比赛总路程． (2)求比赛途中两组同学第二次相遇的时间． (3)试探究，在甲组同学保持原有运动状况，乙组同学到距离出发点最远处后，返回的速度超过多少才能取胜？ 题型模版 1.特征：行程问题. 2.方法：利用待定系数法即可解答. 变式3-1一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地装货耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：    (1)A，B两地之间的距离是______千米，______，巡逻车的速度为____千米／时； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可） 变式3-2某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为了解它们的运动性能，该科技兴趣小组设计了5分钟定时直轨道跑测试．已知甲、乙同时同地出发，甲全程在它的“标准模式”下运动，乙开始时在“基础模式”下运动，1分钟后出现故障，此时运动距离为20米，经过1分钟紧急调试，乙恢复正常并切换到“全速模式”，已知“全速模式”的速度是“基础模式”速度的3倍，甲、乙两个机器人运动的路程，（米）与测试时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象回答下列问题： (1)求“全速模式”下乙的速度； (2)求图中m的值以及线段所在直线和线段所在直线的解析式； (3)两个机器人出发多少分钟时，它们离出发地相差30米？ 变式3-3绿道骑行与健步已成为我市市民的一种低碳生活新风尚，周末，甲、乙两人沿着相同的路线分别骑自行车和步行，两人同时从A地出发驶往B地，甲到达B地停留一段时间后沿原路返回A地，他们离A地的距离（）随时间（h）的变化关系如下图所示，且甲返回时在离B地处与乙相遇．请根据图中提供的信息，解决下列问题： (1)A，B两地相距__________，去B地时，甲的速度为__________，乙离A地的距离与时间的函数关系式为__________；（无需指出的取值范围） (2)求甲离A地的距离与时间的函数关系式，并指出对应的取值范围； (3)甲在往返过程中，当为何值时，甲，乙两人相距？（直接写出结果） 题型四、分段计费问题 典例4为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 （不超过300的部分） 2.73 第二档 （超过300，不超过600的部分） 3.28 第三档 （超过600的部分） 3.82 (1)写出用气费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用气量是，求该户这一年的用气费； (3)某户去年一年的用气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 题型模版 1.特征：分段计费问题. 2.方法：根据一次函数与坐标轴的交点的求解，勾股定理，全等三角形的性质即可. 变式4-1为鼓励市民节约用电，深圳市电力公司对居民用电实行阶梯电价收费．现提供小强家某月电费发票的部分信息如下表所示： 深圳市居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量（度） 电价（元/度） 第一档： 第二档： 第三档： 本月实用金额：167.5（元） （大写）壹佰陆拾柒元伍角 根据以上提供信息解答下列问题： (1)如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，当时，求出实付额元与月用电量度之间的函数关系式； (2)请通过计算判断小强家该月的用电量处于哪个计费档，并求出该月的实际用电量； (3)若小强家8月的实际用电量为420度，则他家8月实付电费为多少元？ 变式4-2某省居民生活用电阶梯式收费探索卡 素材1 能源有限，节约无限．为鼓励市民节约用电，某省电费采用“阶梯收费”的方式． 素材2 居民生活用电阶梯式价格计费方式如下： 第一档：月用电量不超过170度的部分，电价为元/度． 第二档：月用电量超过170度不超过260度的部分，电价为元/度． 第三档：月用电量超过260度的部分，电价为元/度． 问题解决 任务1 已知某户月用电量x度，写出电费y（单位：元）与x之间的关系式． 任务2 已知小迪同学家8月用电量180度，求小迪同学家8月的电费． 任务3 某户10月的电费是127元，求该户10月的用电量． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有甲、乙两家印刷社，制作此种宣传单的收费标准如下表．甲、乙印刷社收费（元）与印制数（张）的函数关系如下表： 甲印刷社 0.15元/张 乙印刷社 500张以内（含500张） 0.20元/张 超过500张部分 0.10元/张 (1)若该小组在甲、乙两家印刷社共印制400张宣传单，用去65元，问甲、乙两家印刷社各印多少张？ (2)若印刷费用为元，请直接写甲、乙两家印刷社费用与宣传单张数之间的函数关系式，并说明宣传单张数为600时选择哪家印刷社比较划算． 2．随着端午节的临近，，两家超市开展促销活动，各自推出不同购物优惠方案，如表： 超市 超市 优惠方案 所有商品按七五折出售 购物金额每满100元返40元 (1)当购物金额为90元时，选择______超市（填“”或“”）更省钱；当购物金额为120元时，选择______超市（填“”或“”）更省钱； (2)当购物金额为元时，请分别写出它们的实付金额（元）与购物金额（元）之间的函数表达式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？ 3．呼和浩特被誉为“中国乳都”，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业书写城市传奇、铸就辉煌．其中牛奶贝因其味道醇美且容易携带而深受外地游客欢迎．某特产店销售、两款牛奶贝，结合材料解决问题 内容 材料一 某特产店购进，两款牛奶贝进行销售，、两款牛奶贝的售价分别为32元/袋和25元/袋，款牛奶贝的进价为22元/袋，款牛奶贝的进货总金额y（单位：元）与款牛奶贝的进货量x（单位：袋）之间的关系如图所示． 材料二 为了满足市场需求，七月份该特产店计划采购这两款牛奶贝共1000袋，其中款牛奶贝的进货量不低于300袋，且不高于600袋． 任务： (1)求y关于x的函数解析式． (2)若采购的所有牛奶贝能全部售出，设销售完、两款牛奶贝获总利润为（单位：元），请求出关于x的函数解析式，并为该特产店设计出获得最大总利润的进货方案． 4．某全运会纪念品专卖店计划同时购进“喜洋洋”和“乐融融”两种毛绒玩具，据了解，只“喜洋洋”和只“乐融融”的进价共计元；只“喜洋洋”和只“乐融融”的进价共计元． (1)“喜洋洋”和“乐融融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元？ (2)若该专卖店计划恰好用元购进“喜洋洋”和“乐融融”两种毛绒玩具（两种均购买），专卖店共有几种采购方案？请写出具体的购买方案； (3)若“喜洋洋”和“乐融融”两种毛绒玩具每只的售价分别是元，元，则在（）的条件下，请选出利润最大的采购方案，并求出最大利润． 5．在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，乙车从A地出发，匀速驶往C地，同时甲车从B地出发，匀速驶往A地，到达A地后停留30分钟，再以原路原速途经B地驶往C地．结果两车同时到达C地．两车距B地的距离（单位：千米）与两车出发的时间（单位：小时）之间的函数图象如图所示．请结合图象信息回答下列问题： (1)甲车的速度为_____千米/小时，乙车的速度为_____千米/小时，A、C两地间的距离为_____千米： (2)求乙车从B地到C地的行驶过程中与的函数关系式（不需写自变量的取值范围）； (3)请直接写出两车出发多长时间，两车之间相距70千米． 6．某数学小组成员利用探测气球探究气温与海拔高度的关系．甲气球从海拔5米处出发，以1米/分钟的速度匀速上升；与此同时，乙气球从海拔15米处出发，以0.5米/分钟的速度匀速上升．飞行a分钟后，两个气球到达同一高度．从两气球首次同高的时刻起，又经过t分钟后，甲气球的海拔高度比乙气球高5米，此时甲气球出现故障，停止上升并在当前高度进行维修．甲气球停止上升10分钟后，乙气球恰好上升至甲气球的维修高度；随即甲气球维修完成，立即匀速下降，经过40分钟后降落到出发点（海拔5米处）．设甲、乙气球在整个飞行过程中的海拔高度分别为（米）、（米），飞行时间为x（分钟），其函数图象如图所示． (1)求出a和t的值； (2)求出线段对应的关于x的函数解析式； (3)从两气球出发，到甲气球返回出发点的整个时间段内，两气球高度之差S不超过2米的总时长是多少分钟？请直接写出结果． 7．游泳是不少同学喜欢的运动，游得快游泳馆推出了A，B，C三种年卡套餐的收费标准（如下表）． 套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 A B C 不限次 设年游泳次数为（单位：次），，根据表格回答： (1)请写出B种年卡套餐的费用（单位：元）关于游泳次数（单位：次）的函数解析式； (2)若，请给出游泳费用最省方案； (3)当游泳次数为时，A种年卡套餐和B种年卡套餐的费用相同，若的值存在两个，请直接写出的取值范围_______． 8．为响应“节能”“环保”“减排”号召，张明家购买了一台电动汽车，需要申请加装电表，有两种电表可供选择：一种是普通电表，一种是峰谷分时计费电表． 该市居民用电的收费标准（注：峰段8：00～22：00，谷段：22：00～次日8：00）： 计费档 户年用电量 普通电价/[元/] 峰谷电价/[元/] 峰段电价 谷段电价 第一档 0.53 0.56 0.28 第二档 0.58 0.61 0.33 第三档 0.83 0.86 0.58 (1)张明的朋友李斌家去年总用电量为，峰段用电量为，哪种计费方式电费较少？为什么？ (2)截至今年9月底，李斌家的用电量已经超过，已知李斌家10月共用电，峰段用电量为（单位：），写出峰谷计费方式的电费（单位：元）与之间的关系式？并计算李斌家10月峰段用电量为多少时，两种计费方式相同？ (3)张明通过调查发现：安装哪种电表，取决于峰段用电量占总用电量的比值，比值越大，越适合安装普通电表，否则，安装峰谷计费电表．若张明家年用电量为，峰段用电量与总用电量的比值为．请你直接写出张明安装电表的方案． 9．综合与实践：荔枝是广东特产水果之一，以其甜美的口感和独特的风味而闻名．请阅读以下材料，完成学习任务： 材料一：广州市内某批发市场计划运输40吨荔枝到距离本地500千米的甲地出售，为保证荔枝新鲜需用带冷柜的货车运输．现有A，B两种型号的冷柜车，已知A型车的平均速度为60千米/小时，B型车的平均速度为80千米/小时． 材料二：计划两种车型都租用，并要求把所有荔枝全部运完，B型车辆最多不超过5辆，且A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍，已知租用A型车每辆可运5吨，B型车每辆可运4吨． 材料三：冷柜车运输的相关收费如下表所示： 路费单价 冷柜使用单价 2元/千米·辆 A型冷柜车 B型冷柜车 84元/（小时·辆） 96元/（小时·辆） 参考公式：冷柜使用费冷柜使用单价使用时间车辆数目； 总费用路费冷柜使用费 (1)求该市场需要租用 辆冷柜车进行运输； (2)设租用A型冷柜车x辆，总费用为y元，请写出y与x的函数解析式，并求出自变量的取值范围； (3)请帮助该市场设计总费用最低的租车方案，并求出最低费用． 10．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电的状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘显示增加的电量（%）与充电时间（分钟）的关系，数据记录如表： 电池充电状态 充电时间（分钟） 增加的电量（%） 实验二：探究充满电的状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量（%）与行驶里程（千米）的关系，数据记录如表： 汽车行驶过程 行驶里程（千米） … 显示电量（%） … (1)充电状态下，充电1分钟，增加的电量________，汽车行驶过程中，行驶千米消耗电量________，该电动汽车的电量从到充满（），需要的充电时间约为________分钟； (2)在表中，如果显示电量与汽车行驶里程满足一次函数关系． ①求与满足的函数关系式； ②如果该汽车行驶到剩余电量为时会自动报警，那么汽车在充满电的情况下，行驶约多少千米会自动报警； (3)某电动汽车在充满电的状态下出发，前往距离出发点千米处的目的地，若电动汽车行驶千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，求电动汽车在服务区充电多长时间？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 一次函数的应用的四类培优综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、分配方案问题 题型二、最大利润问题 题型三、行程问题 题型四、分段计费问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一次函数的应用是初中函数基础，所有题型均围绕分配方案问题、最大利润问题、行程问题及分段计费问题展开，解题贯穿基本底线原则：根据题意运用一次函数性质求解。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、分配方案问题 典例 1已知深圳湾大酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天元，双人间为每人每天元．为吸引客源，促进旅游，在十一黄金周期间深圳湾大酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双人间客房． (1)若每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？ (2)设三人间共住了人，一天一共花去住宿费元，请写出与的函数关系式； (3)一天元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种入住的房间正好被住满的入住方案，使住宿费用最低，并求出最低的费用． 【答案】(1)三人间间；双人间间 (2) (3)人住三人间，人住双人间 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和方程的思想解答． （1）设三人间有间，双人间有间，注意凡团体入住一律五折优惠，根据客房人数；住宿费元列方程组求解； （2）根据题意，三人间住了人，则双人间住了人，住宿费三人间的人数双人间的人数； （3）根据的取值范围及实际情况，运用函数的性质解答． 【详解】（1）解：设三人间有间，双人间有间， 根据题意得：， 解得：， 答：租住三人间间，双人间间； （2）解：根据题意，三人间住了人，住宿费每人元，则双人间住了人，住宿费每人元， ； （3）解：因为，所以随着的增大而减小， 故当满足、为整数，且最大时， 即时，住宿费用最低，此时， 答：一天元的住宿费不是最低；若人入住三人间，则费用最低，为元． 所以住宿费用最低的设计方案为：人住三人间，人住双人间． 题型模版 1.特征：分配方案问题. 2.方法：解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和方程的思想解答. 变式1-1【素材呈现】 素材一：在对A城市交通工具的二氧化碳排放量所进行的一项调研中，我们发现：10辆燃油车与10辆电动汽车每公里共同排放的二氧化碳总量约为2600克，而5辆燃油车与6辆电动汽车每公里的总排放量则为1374克． 素材二：为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关换算标准，每棵成年的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收172千克二氧化碳，而每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收111千克的二氧化碳． 【问题解决】 (1)问题一：一辆燃油车和一辆电动汽车每公里分别产生的二氧化碳排放量是多少克？ (2)问题二：某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为千克． ①求与的函数关系式； ②杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树不超过20棵，请设计一个最优的采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 【答案】(1)一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是186克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是74克 (2)①（且a为整数）；②最优的采购方案是购买20棵杨树和80棵冷杉 【分析】（1）设一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是克，列二元一次方程组求解即可； （2）①设购买了棵杨树，则购买的冷杉树为棵，根据两种树吸收二氧化碳的数量列出与的函数关系式即可；②根据“采购杨树不超过20棵”列出不等式求出的范围，根据一次函数的性质可知随的增大而增大，从而确定采购方案． 【详解】（1）解：设一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是克， 依题意得：，解得． 答：一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是186克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是74克． （2）解：①设购买了棵杨树，则购买的冷杉树为棵， 根据题意得：， ∴与的函数关系式为：（且a为整数）． ②依题意得：， ∵，∴随着的增大而增大， ∴当时，的值最大， （棵）． ∴最优采购方案是购买20棵杨树和80棵冷杉． 变式1-2项目式学习任务：校园机器人科普展奖品采购方案 某校开展“智能机器人进校园，科创筑梦向未来”主题科普展活动，计划采购A款智能机器人模型与B款科创笔记本共120件，已知A款机器人模型单价25元/件，B款科创笔记本单价20元/件．请以“活动采购规划小组”的身份，完成以下采购成本分析任务： 任务一：建立总费用函数模型 (1)设购买A款智能机器人模型的数量为件，购买两种奖品的总费用为元．请求出总费用与A款机器人模型数量之间的函数关系式． 任务二：实际采购费用核算 (2)若本次科普展计划购买件A款智能机器人模型，剩余奖品均为B款科创笔记本，请计算本次采购的总费用． 任务三：最优采购方案设计 (3)结合活动预算与奖品购置要求，规定A款智能机器人模型的购买数量不少于件且不多于件．请通过函数分析，设计出总费用最少的采购方案，并求出最少总费用． 【答案】(1)（，且为整数） (2)当购买了件A款智能机器人模型时，总费用是元 (3)总费用最少的采购方案是A款智能机器人模型件，B款科创笔记本件，总费用最少是元 【分析】（1）根据两种奖品的单价和总数量，建立总费用与A款数量的一次函数关系； （2）直接将给定的A款机器人数量代入函数，计算总费用； （3）根据一次函数的增减性，在给定的取值范围内找到使总费用最小的采购方案． 【详解】（1）解：根据题意，得， 其中，且为整数， 故总费用（元）与机器人模型的数量（件）之间的关系式为（，且为整数）． （2）解：当时，． 故当购买了件A款智能机器人模型时，总费用是元． （3）解：由题意，得， 由（1）可知，， ，且， 随的增大而增大， ∴当时，的最小值为元， 款科创笔记本为（件）， 故总费用最少的采购方案是A款智能机器人模型件，B款科创笔记本件，总费用最少是元． 变式1-3某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有甲、乙两家印刷社，制作此种宣传单的收费标准如下表所示： 甲印刷社收费y（元）与印制数x（张）的函数关系如下表： 甲 印 刷 社 0.15元/张 乙印刷社 500张以内（含500张） 0.20元/张 超过500张部分 0.10元/张 (1)若该小组在甲、乙两家印刷社共印制400张宣传单，用去65元，问甲、乙两家印刷社各印多少张？ (2)若印刷费用为y元，请直接写甲、乙两家印刷社费用与宣传单张数x之间的函数关系式，并说明选择哪家印刷社比较划算． 【答案】(1)在甲印刷社印刷300张，在乙印刷社印刷100张 (2)甲印刷社：，乙印刷社：，时选择甲印刷社划算；，选择两家印刷社一样划算；，选择乙印刷社划算． 【分析】本题考查二元一次方程组与一次函数的实际应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，找出题目蕴含的数量关系解决问题． （1）通过设未知数，利用数量和费用关系列方程组求解； （2）先分别建立甲、乙的费用函数，再分区间比较函数值大小，确定最优选择． 【详解】（1）解：设甲、乙两家印刷各印了、张宣传单， ，解得， 答：在甲印刷社印刷300张，在乙印刷社印刷100张； （2）甲印刷社：， 乙印刷社：， 当时，，选择甲印刷社； 当时，若，得，即，选择甲印刷社划算； 若，得，即，选择两家印刷社一样划算； 若得，即，选择乙印刷社划算． 综上所述，时选择甲印刷社划算； ，选择两家印刷社一样划算； ，选择乙印刷社划算． 类型二、最大利润问题 典例2哈国客商准备在乌鲁木齐采购一批特色商品，经调查，A型商品的进价是160元/件，B型商品的进价是150元/件． (1)若该哈国客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件，已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润与之间的函数解析式，并写出的取值范围； (2)在（1）的条件下，哈国客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金元．求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益． 【答案】(1)，，m为正整数 (2)当时，最大收益为元；当时，最大收益为元；当时，最大收益为元 【分析】（1）根据总利润=两种商品的利润之和，列出解析式即可解决问题； （2）结合（1）可得，分三种情形讨论即可解决问题． 【详解】（1）解：因为客商购进A型商品m件，所以客商购进B型商品件， A型商品每件利润为（元），B型商品每件利润为（元）． 由题意：， ∴， ∵， ∴； ∴该客商销售这批商品的利润与m之间的函数解析式是： ，m为正整数． （2）解：由（1）得： ①当时，即时，随m的增大而增大，所以时，最大利润为元； ②当时，即时最大利润为17500元； ③当时，即时，随m的增大而减小， ∵， 所以时，最大利润为元． 题型模版 1.特征：最大利润问题. 2.方法：根据题意，列出函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可. 变式2-1某经销商欲购进甲、乙两种水果．甲、乙两种水果的售价分别为12元和18元，甲种水果的进价为8元，乙种水果的进货总金额（单位：元）与乙种水果的进货量（单位：）之间的关系如图所示． (1)直接写出关于的函数解析式； (2)若该经销商购进甲、乙两种水果共，并能全部售出，其中乙种水果的进货量不低于，且不高于．设销售完这两种水果所获总利润为（单位：元）． ①求关于的函数解析式； ②请为该经销商设计出获得最大总利润的进货方案． 【答案】(1)与之间的函数表达式为： (2)①与乙种产品进货量之间的函数表达式为：；②当购进甲产品千克，乙产品千克时，总利润最大为元． 【分析】（1）先根据图像特点判断函数类型，再利用待定系数法对两段一次函数分别求解即可．注意分段函数的书写格式． （2）依据‘利润售价成本’，根据乙种产品进货量的不同范围，分别求出总利润的函数表达式，并根据一次函数的增减性，结合取值范围，求最大总利润，即可得到获得最大总利润的进货方案． 【详解】（1）解：（1）当时，设，根据题意可得，， 解得：； ． 当时，设， 根据题意可得，，解得：， ． 与之间的函数表达式为：． （2）根据题意可知，购进甲种产品千克， ，解得． 当时，， ， 随值的增大而减小． 当时，的最大值为元； 当时，， ， 随值的增大而增大． 当时，的最大值为元， 综上，与乙种产品进货量之间的函数表达式为：， 当购进甲产品千克，乙产品千克时，总利润最大为元． 变式2-2随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，同学们的运动热情被充分激发．某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购个篮球，其中． 品名 厂家批发价（元/个） 商场零售价（元/个） 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式； (2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，求的值． 【答案】(1) (2)2300元 (3) 【分析】（1）根据题意列函数解析式即可； （2）设商场能获得的利润为w元，根据题意，列出函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可； （3）设利润为W元，根据题意，列出函数关系式，分三种情况，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 即该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式为； （2）解：设商场能获得的利润为w元，根据题意得： ， ∵， ∴w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为， 即商场能获得的最大利润为2300元； （3）解：设利润为W元，根据题意得： ， 当，即时，W随x的增大而增大， ∵， ∴当时，W取得最小值， ∵将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元， ∴， 解得：，不符合题意，舍去； 当，即时，，不符合题意，舍去； 当，即时，W随x的增大而减小， ∵， ∴当时，W取得最小值， ∵将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元， ∴， 解得：； 综上所述，m的值为． 变式2-3 扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺，扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价类别 成本价（元/件） 销售价（元/件） 甲种布料 60 100 乙种布料 40 70 (1)该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ (2)因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件，且以相同的销售价全部售完这批布料，若此次购进甲种布料的数量不超过第一次乙种布料的数量，设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元，第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)该扎染坊第一次购进甲种布料25件，购进乙种布料55件 (2)第二次购进甲种布料55件、乙种布料45件全部售完后获得的利润最大，最大利润是3550元 【分析】分别设该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料的件数分别为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； 根据题意，列关于m的一元一次不等式并求其解集，写出W关于m的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围， 确定当m取何值时W值最大，求出其最大值和此时的值即可． 本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键． 【详解】（1）解：设该扎染坊第一次购进甲种布料x件，购进乙种布料y件， 根据题意得：， 解得 答：该扎染坊第一次购进甲种布料25件，购进乙种布料55件． （2）解：设第二次购进甲种布料m件，则乙种布料件，根据题意得： ， 随m的增大而增大， ， 当时，W有最大值， 此时件 答：第二次购进甲种布料55件、乙种布料45件全部售完后获得的利润最大，最大利润是3550元． 题型三、行程问题 典例3一次趣味运动会的“背夹球竞走”项目中，甲，乙两组同学参加比赛．规则是：每组选出的男女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上侧身走完规定的路程，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续前行，用时少者胜．结果甲组在途中掉了球，乙组则顺利走完路程．两组同学距离出发点的距离与比赛时间的函数关系如图所示．根据题意解答下列问题： (1)写出比赛总路程． (2)求比赛途中两组同学第二次相遇的时间． (3)试探究，在甲组同学保持原有运动状况，乙组同学到距离出发点最远处后，返回的速度超过多少才能取胜？ 【答案】(1) (2)第二次相遇时间为 (3)乙组同学到距离出发点最远处后，返回的速度超过才能取胜 【分析】（1）最远距离的2倍即为比赛总路程； （2）第二次相遇是在到之间的两直线的交点处，利用待定系数法求出甲和乙的函数解析式，求出交点的横坐标即可； （3）乙组获胜需满足时间少于，用路程除以时间即可得到获胜的速度． 【详解】（1）解：比赛总路程为． （2）解：由图可知，第二次相遇是在到之间的两直线的交点处． 设， 把和代入中，得 ， 解得， ∴； 设， 把和代入中，得 ， 解得 ， 令， 解得． ∴第二次相遇时间为． （3）解：从函数关系图可知，乙比甲晚到：， 当乙组同学的速度为：时，两组同学同时到达． ∴乙组同学到距离出发点最远处后，返回的速度超过才能取胜． 题型模版 1.特征：行程问题. 2.方法：利用待定系数法即可解答. 变式3-1一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地装货耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：    (1)A，B两地之间的距离是______千米，______，巡逻车的速度为____千米／时； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可） 【答案】(1)60，1；25 (2) (3)小时或小时或小时 【分析】（1）根据货车从A地到B地花了小时结合路程速度时间即可求出A、B两地的距离；根据货车装货花了15分钟即可求出a的值； （2）利用待定系数法求解即可； （3）分两车从A前往B途中相遇前后和货车从B往A途中相遇前后，四种情况建立方程求解即可． 【详解】（1）解：千米， ∴A，B两地之间的距离是60千米， ∵货车到达B地装货耗时15分钟， ∴， 由题意得，巡逻车的速度为千米/小时； （2）解：设线段所在直线的解析式为 将，代入，得 解得， ∴线段所在直线的函数解析式为 （3）解：设货车出发x小时两车相距15千米， 当两车都在前往B地的途中且未相遇时两车相距15千米， 则， 解得（舍去）； 当两车都在前往B地的途中且相遇后两车相距15千米， 则， 解得； ∵， ∴货车装货过程中两车不可能相距15千米， 当货车从B地前往A地途中且两车未相遇时相距15千米， 则，解得； 当货车从B地前往A地途中且两车相遇后相距15千米，则，解得； 综上所述，当货车出发小时或小时或小时时，两车相距15千米． 变式3-2某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为了解它们的运动性能，该科技兴趣小组设计了5分钟定时直轨道跑测试．已知甲、乙同时同地出发，甲全程在它的“标准模式”下运动，乙开始时在“基础模式”下运动，1分钟后出现故障，此时运动距离为20米，经过1分钟紧急调试，乙恢复正常并切换到“全速模式”，已知“全速模式”的速度是“基础模式”速度的3倍，甲、乙两个机器人运动的路程，（米）与测试时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象回答下列问题： (1)求“全速模式”下乙的速度； (2)求图中m的值以及线段所在直线和线段所在直线的解析式； (3)两个机器人出发多少分钟时，它们离出发地相差30米？ 【答案】(1)60米/分钟 (2)；； (3)两个机器人出发分钟或分钟或分钟时，它们离出发地相差30米 【分析】（1）根据“全速模式”的速度是“基础模式”速度的3倍，即可解答； （2）利用待定系数法即可解答； （3）分三种情况，即乙在段，乙在段，乙在段，分别计算即可解答． 【详解】（1）解：∵“基础模式”下乙机器人运动1分钟的距离为20米， ∴“基础模式”下乙机器人的速度为20米/分钟， ∵“全速模式”下乙机器人的速度是“基础模式”下乙机器人的速度的3倍， ∴“全速模式”下乙的速度为（米/分钟）； （2）解：∵乙机器人5分钟运动的距离为（米）， ∴； 设线段所在直线的解析式为，将代入得，解得， ∴线段所在直线的解析式为； 由（1）知， ∴点， 设线段所在直线的解析式为，将点，点代入， 得， 解得， ∴线段所在直线的解析式为； （3）解：设线段所在直线的解析式为，将代入得， ∴线段所在直线的解析式为， 当时，由题意得，解得（舍）， 当时，由题意得，解得， 当时，由题意得， 解得或， 综上，两个机器人出发分钟或分钟或分钟时，它们离出发地相差30米． 变式3-3绿道骑行与健步已成为我市市民的一种低碳生活新风尚，周末，甲、乙两人沿着相同的路线分别骑自行车和步行，两人同时从A地出发驶往B地，甲到达B地停留一段时间后沿原路返回A地，他们离A地的距离（）随时间（h）的变化关系如下图所示，且甲返回时在离B地处与乙相遇．请根据图中提供的信息，解决下列问题： (1)A，B两地相距__________，去B地时，甲的速度为__________，乙离A地的距离与时间的函数关系式为__________；（无需指出的取值范围） (2)求甲离A地的距离与时间的函数关系式，并指出对应的取值范围； (3)甲在往返过程中，当为何值时，甲，乙两人相距？（直接写出结果） 【答案】(1)10，20， (2) (3)当为或或时，甲，乙两人相距． 【分析】（1）根据图象求解即可； （2）分三种情况求解即可； （3）根据题意列出方程解答即可． 【详解】（1）解：A、B两地相距，甲的速度为， ， ∴乙离A地的距离与时间的关系为； （2）解：甲离A地的距离与时间的关系： 去程：，； 停留：，； 返程：； 令， ， ∵直线过点和， 设解析式为， ∴，解得， 得， 令，得， 甲离地的距离与时间的函数关系式为： ∴； （3）解：甲、乙相距时： 由A去B： ， 解得； 由B返A： ， 解得或， 答：当为或或时，甲，乙两人相距． 题型四、分段计费问题 典例4为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 （不超过300的部分） 2.73 第二档 （超过300，不超过600的部分） 3.28 第三档 （超过600的部分） 3.82 (1)写出用气费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用气量是，求该户这一年的用气费； (3)某户去年一年的用气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 【答案】(1) (2)该户这一年的用气费为1147元 (3)该户去年一年的用气量为 【分析】本题考查了一次函数的应用，解答时求出函数的解析式是关键． （1）根据表格分段列出函数关系式即可； （2）将代入，求出值即可； （3）求出第一档和第二档的最高费用，可推出该户的年用气量属于第二档，所以，即可求解． 【详解】（1）解：由表格可知， 当时，； 当时，； 当时，． 所以y与x的函数关系式为； （2）解：当时，， 即该户这一年的用气费为1147元； （3）解：第一档的最高费用为（元）， 第二档的最高费用为（元）， 因为， 所以该户的年用气量属于第二档， 所以， 解得：． 答：该户去年一年的用气量为． 题型模版 1.特征：分段计费问题. 2.方法：根据一次函数与坐标轴的交点的求解，勾股定理，全等三角形的性质即可. 变式4-1为鼓励市民节约用电，深圳市电力公司对居民用电实行阶梯电价收费．现提供小强家某月电费发票的部分信息如下表所示： 深圳市居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量（度） 电价（元/度） 第一档： 第二档： 第三档： 本月实用金额：167.5（元） （大写）壹佰陆拾柒元伍角 根据以上提供信息解答下列问题： (1)如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，当时，求出实付额元与月用电量度之间的函数关系式； (2)请通过计算判断小强家该月的用电量处于哪个计费档，并求出该月的实际用电量； (3)若小强家8月的实际用电量为420度，则他家8月实付电费为多少元？ 【答案】(1) (2)小强家该月的用电量处于第二档，该月的实际用电量为250度． (3)元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、有理数混合运算的应用等知识点，根据用电量的多少分阶梯求出实付电费与用电量之间的函数关系是解题的关键． （1）当时成一次函数关系，实付金额等于200度内的用电付出金额与超出200度的用电付出金额的和，据此列出y与x的函数关系式即可； （2）先计算出用电量200度和400度支付金额，即可确定用电量处于那一档；然后把实付金额代入函数关系式进行计算即可解答． （3）根据题意列式，然后运用有理数混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：当时，则， 答：当时，y与x之间的函数关系式为． （2）解：∵200度电费为：，400度电费为：， ， ∴小强家该月的用电量处于第二档， 令，则，解得：． 答：小强家该月的用电量处于第二档，该月的实际用电量为250度． （3）解：∵， ∴小强家本月用电量属于第三档， ∴ 元． 答：小强家这一个月实付金额元． 变式4-2某省居民生活用电阶梯式收费探索卡 素材1 能源有限，节约无限．为鼓励市民节约用电，某省电费采用“阶梯收费”的方式． 素材2 居民生活用电阶梯式价格计费方式如下： 第一档：月用电量不超过170度的部分，电价为元/度． 第二档：月用电量超过170度不超过260度的部分，电价为元/度． 第三档：月用电量超过260度的部分，电价为元/度． 问题解决 任务1 已知某户月用电量x度，写出电费y（单位：元）与x之间的关系式． 任务2 已知小迪同学家8月用电量180度，求小迪同学家8月的电费． 任务3 某户10月的电费是127元，求该户10月的用电量． 【答案】任务1：；任务2：91元；任务3：240度； 【分析】本题考查了分段函数． 任务1：分情况列出关系式即可； 任务2：用电量180度，在第二档，将代入计算即可； 任务3：先求出用电量在第二档，进而根据列方程计算即可． 【详解】解：任务1：当时，， 当时，，即， 当时，，即， 任务2：， ∴当时，（元） 答：小迪同学家8月的电费91元． 任务3：当时，， 当时，， ， ． 当时，． ． 答：该户10月的用电量为240度． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有甲、乙两家印刷社，制作此种宣传单的收费标准如下表．甲、乙印刷社收费（元）与印制数（张）的函数关系如下表： 甲印刷社 0.15元/张 乙印刷社 500张以内（含500张） 0.20元/张 超过500张部分 0.10元/张 (1)若该小组在甲、乙两家印刷社共印制400张宣传单，用去65元，问甲、乙两家印刷社各印多少张？ (2)若印刷费用为元，请直接写甲、乙两家印刷社费用与宣传单张数之间的函数关系式，并说明宣传单张数为600时选择哪家印刷社比较划算． 【答案】(1)在甲印刷社印刷300张，在乙印刷社印刷100张 (2)，，选择甲印刷社划算 【分析】本题考查二元一次方程组与一次函数的实际应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，找出题目蕴含的数量关系解决问题． （1）通过设未知数，利用数量和费用关系列方程组求解； （2）先分别建立甲、乙的费用函数，然后将分别代入求解比较即可．． 【详解】（1）解：设甲、乙两家印刷各印了、张宣传单， ， 解得， 答：在甲印刷社印刷300张，在乙印刷社印刷100张； （2）根据题意得，， 当时， 当时， ∴， 当时， ∵ ∴选择甲印刷社划算． 2．随着端午节的临近，，两家超市开展促销活动，各自推出不同购物优惠方案，如表： 超市 超市 优惠方案 所有商品按七五折出售 购物金额每满100元返40元 (1)当购物金额为90元时，选择______超市（填“”或“”）更省钱；当购物金额为120元时，选择______超市（填“”或“”）更省钱； (2)当购物金额为元时，请分别写出它们的实付金额（元）与购物金额（元）之间的函数表达式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？ 【答案】(1) (2)当或时，选择A超市更省钱；当时，两家超市实付金额相同；，当时，选择B超市更省钱 【分析】本题考查了一次函数的实际应用及方案选择问题，解题的关键是根据两家超市的优惠方案列出实付金额的函数表达式，通过比较函数值的大小确定最省钱的购物方案． （1）分别计算购物金额为元和元时在A、B超市的实付金额，比较后得出更省钱的超市； （2）分情况列出A、B超市实付金额与购物金额的函数表达式超市为一次函数，B超市分和两段）；通过解方程和不等式比较函数值大小，确定不同购物金额范围内的最优选择． 【详解】（1）解：当购物金额为元时， A超市实付金额：元； B超市实付金额：元（不满元不返现）． ∵，∴选择A超市更省钱． 当购物金额为元时， A超市实付金额：元； B超市实付金额：元（满元返元）． ∵， ∴选择B超市更省钱． （2）解：A超市实付金额函数表达式：． B超市实付金额函数表达式： 当时，不返现，； 当时，满元返元，． 比较省钱方案： 当时，，选择A超市更省钱； 当时，令，解得． 当时，，选择B超市更省钱； 当时，，两家超市实付金额相同； 当时，，选择A超市更省钱． 答：当或时，选择A超市更省钱；当时，两家超市实付金额相同；，当时，选择B超市更省钱． 3．呼和浩特被誉为“中国乳都”，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业书写城市传奇、铸就辉煌．其中牛奶贝因其味道醇美且容易携带而深受外地游客欢迎．某特产店销售、两款牛奶贝，结合材料解决问题 内容 材料一 某特产店购进，两款牛奶贝进行销售，、两款牛奶贝的售价分别为32元/袋和25元/袋，款牛奶贝的进价为22元/袋，款牛奶贝的进货总金额y（单位：元）与款牛奶贝的进货量x（单位：袋）之间的关系如图所示． 材料二 为了满足市场需求，七月份该特产店计划采购这两款牛奶贝共1000袋，其中款牛奶贝的进货量不低于300袋，且不高于600袋． 任务： (1)求y关于x的函数解析式． (2)若采购的所有牛奶贝能全部售出，设销售完、两款牛奶贝获总利润为（单位：元），请求出关于x的函数解析式，并为该特产店设计出获得最大总利润的进货方案． 【答案】(1) (2)，进款牛奶贝300袋，款牛奶贝700袋，该特产店能获得最大利润 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）根据题意得款牛奶贝的进货量为袋，根据题意列出w与x之间的函数关系式，根据一次函数的性质求最大值即可． 【详解】（1）解：设函数解析式为， 由图可知直线穿过原点，当时，， 可得， 解得， 所以y关于x的函数解析式为； （2）解：由材料2可得， ， 化简得， ∵， ∴随增大而减小， ∴当时，有最大值为8500， 答：进款牛奶贝300袋，款牛奶贝700袋，该特产店能获得最大利润． 4．某全运会纪念品专卖店计划同时购进“喜洋洋”和“乐融融”两种毛绒玩具，据了解，只“喜洋洋”和只“乐融融”的进价共计元；只“喜洋洋”和只“乐融融”的进价共计元． (1)“喜洋洋”和“乐融融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元？ (2)若该专卖店计划恰好用元购进“喜洋洋”和“乐融融”两种毛绒玩具（两种均购买），专卖店共有几种采购方案？请写出具体的购买方案； (3)若“喜洋洋”和“乐融融”两种毛绒玩具每只的售价分别是元，元，则在（）的条件下，请选出利润最大的采购方案，并求出最大利润． 【答案】(1)“喜洋洋”毛绒玩具每只进价是元，“乐融融”毛绒玩具每只进价是元 (2)共有种采购方案；方案：购进只“喜洋洋”毛绒玩具，只“乐融融”毛绒玩具；方案：购进只“喜洋洋”毛绒玩具，只“乐融融”毛绒玩具 (3)当购进只“喜洋洋”毛绒玩具，只“乐融融”毛绒玩具时，销售利润最大，最大利润是元 【分析】本题主要考查了二元一次方程和二元一次方程组的实际应用、有理数的四则混合运算的应用，正确理解题意找到等量关系列出对应的方程和方程组是解题的关键． ()设“喜洋洋”毛绒玩具每只进价是元，“乐融融”毛绒玩具每只进价是元，利用总价单价数量，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； ()设该专卖店购进只“喜洋洋”毛绒玩具，只“乐融融”毛绒玩具，利用总价单价数量，可列出关于的二元一次方程，结合均为正整数，即可得出各购买方案； ()利用总利润每只的销售利润x销售数量，可求出选择各方案可获得的总利润，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设“喜洋洋”毛绒玩具每只进价是元，“乐融融”毛绒玩具每只进价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：“喜洋洋”毛绒玩具每只进价是元，“乐融融”毛绒玩具每只进价是元； （2）解：设该专卖店购进只“喜洋洋”毛绒玩具，只“乐融融”毛绒玩具， 根据题意得：， ． 又，均为正整数， 或， 该专卖店共有种采购方案， 方案：购进只“喜洋洋”毛绒玩具，只“乐融融”毛绒玩具； 方案：购进只“喜洋洋”毛绒玩具，只“乐融融”毛绒玩具； （3）解：选择方案可获得的总利润为（元）； 选择方案可获得的总利润为（元）； ， 当购进只“喜洋洋”毛绒玩具，只“乐融融”毛绒玩具时，销售利润最大，最大利润是元． 5．在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，乙车从A地出发，匀速驶往C地，同时甲车从B地出发，匀速驶往A地，到达A地后停留30分钟，再以原路原速途经B地驶往C地．结果两车同时到达C地．两车距B地的距离（单位：千米）与两车出发的时间（单位：小时）之间的函数图象如图所示．请结合图象信息回答下列问题： (1)甲车的速度为_____千米/小时，乙车的速度为_____千米/小时，A、C两地间的距离为_____千米： (2)求乙车从B地到C地的行驶过程中与的函数关系式（不需写自变量的取值范围）； (3)请直接写出两车出发多长时间，两车之间相距70千米． 【答案】(1)80，60，360 (2) (3)小时或小时或小时或小时 【分析】（1）由图可知甲车从A地到B地，停留半小时后返回到B地一共需要需要小时，然后根据速度=路程÷时间即可求出甲车的速度，进而求出A、B两地的距离，则可求出A、C两地的距离，再根据速度=路程÷时间即可求出乙车的速度即可； （2）由（1）可求D，G两点的坐标，设乙车从B地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式为，用待定系数法即可求得答案； （3）由题意知，，，，待定系数法求出乙车从A地到B地的行驶过程中y与x的函数关系式为，甲车从A地到B地的行驶过程中y与x的函数关系式为，甲车从B地返回到A地的行驶过程中y与x的函数关系式为，甲车从B地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式为；然后分①当时；②当时；③当时；④当时；⑤当时五种情况分别列方程，求出两车之间相距70千米时的时间节点，即得答案． 【详解】（1）解：由图知：甲车从B地驶往A地，共需1小时，到达A地后停留0.5小时，B、C两地间的距离为千米； 甲车从A地返回到B地也需要1小时， 甲车的速度为千米小时， 两地相距千米， A、C两地间的距离为千米；， 乙车的速度为千米小时； （2）解：如图， 由（1）可知，乙车到达B地时，， ， 由图知：， 设乙车从B地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式为， 则， 解得， 所以乙车从B地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式为； （3）解：由题意知，，，， 设乙车从A地到B地的行驶过程中y与x的函数关系式为， 则， 解得， 所以乙车从A地到B地的行驶过程中y与x的函数关系式为， 同理可求甲车从A地到B地的行驶过程中y与x的函数关系式为， 甲车从B地返回到A地的行驶过程中y与x的函数关系式为， 甲车从B地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式为； 由图可知两车之间相距70千米的情况有五种： ①当时， 根据题意，得， 解得或（不符合题意，舍去）； ②当时， ， 解得； ③当时， ， 解得（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）； ④当时， ， 解得或（不符合题意，舍去）； ⑤当时， ， 解得或（不符合题意，舍去）； 综上所述，两车出发小时或小时或小时或小时，两车之间相距70千米． 6．某数学小组成员利用探测气球探究气温与海拔高度的关系．甲气球从海拔5米处出发，以1米/分钟的速度匀速上升；与此同时，乙气球从海拔15米处出发，以0.5米/分钟的速度匀速上升．飞行a分钟后，两个气球到达同一高度．从两气球首次同高的时刻起，又经过t分钟后，甲气球的海拔高度比乙气球高5米，此时甲气球出现故障，停止上升并在当前高度进行维修．甲气球停止上升10分钟后，乙气球恰好上升至甲气球的维修高度；随即甲气球维修完成，立即匀速下降，经过40分钟后降落到出发点（海拔5米处）．设甲、乙气球在整个飞行过程中的海拔高度分别为（米）、（米），飞行时间为x（分钟），其函数图象如图所示． (1)求出a和t的值； (2)求出线段对应的关于x的函数解析式； (3)从两气球出发，到甲气球返回出发点的整个时间段内，两气球高度之差S不超过2米的总时长是多少分钟？请直接写出结果． 【答案】(1)，； (2)； (3)分钟 【分析】（1）根据题意求出两个气球到达同一高度时的时间，即可求出a的值； （2）求出点D的坐标，点E的坐标为，再利用待定系数法求出的解析式即可； （3）根据题意求出两个气球高度之差s不超过2米时x的取值，即可求出总时长． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 由题意得， 解得； （2）解：当时，， ∴点D的坐标为， 根据题意得点E的坐标为， 设对应的解析式为， ， 解得， ∴对应的解析式为； （3）解：两气球高度之差是2米时，满足，，，， 即，； ，； ，； ，； 两个气球高度之差s不超过2米时的总时长为分． 7．游泳是不少同学喜欢的运动，游得快游泳馆推出了A，B，C三种年卡套餐的收费标准（如下表）． 套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 A B C 不限次 设年游泳次数为（单位：次），，根据表格回答： (1)请写出B种年卡套餐的费用（单位：元）关于游泳次数（单位：次）的函数解析式； (2)若，请给出游泳费用最省方案； (3)当游泳次数为时，A种年卡套餐和B种年卡套餐的费用相同，若的值存在两个，请直接写出的取值范围_______． 【答案】(1)， (2)当时，选套餐最省钱；当时，选套餐和套餐费用相同，一样省钱；当时，选套餐最省钱；当时，选套餐和套餐费用相同，一样省钱；当时，选套餐最省钱 (3) 【分析】（1）根据B种年卡套餐的收费方式列函数关系式即可； （2）利用A、B、C种年卡套餐的收费方式得出解析式，再分类讨论即可． （3）当游泳次数为时，A种年卡套餐和B种年卡套餐的费用相同， 的值存在两个，可得两个函数图象有两个交点，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：B种年卡套餐的费用（单位：元）关于游泳次数（单位：次）的函数解析式为： 当时，， ． （2）解：当时， A种年卡套餐的费用（单位：元）关于游泳次数（单位：次）的函数解析式为： 当时，， ， ∵B种年卡套餐的费用为， C种年卡套餐的费用为， ∴当时，此时A种年卡套餐的费用最低， 当，解得：， ∴当时，此时A种年卡套餐的费用最低， 当时，选套餐和套餐费用相同，一样省钱； 当，解得：， ∴当时，选套餐最省钱； 当时，选套餐和套餐费用相同，一样省钱； 当时，选套餐最省钱． （3）解：∵A种年卡套餐的费用（单位：元）为： 当时，， ， B种年卡套餐的费用为， 当游泳次数为时，A种年卡套餐和B种年卡套餐的费用相同， 的值存在两个， ∴两个函数图象有两个交点， ∴当函数的图象与函数中的图象平行时只有一个交点， 此时， 当函数的图象过时，两函数图象只有一个交点， 此时， 解得：， ∴游泳次数为时，A种年卡套餐和B种年卡套餐的费用相同，的值存在两个，的取值范围为：． 8．为响应“节能”“环保”“减排”号召，张明家购买了一台电动汽车，需要申请加装电表，有两种电表可供选择：一种是普通电表，一种是峰谷分时计费电表． 该市居民用电的收费标准（注：峰段8：00～22：00，谷段：22：00～次日8：00）： 计费档 户年用电量 普通电价/[元/] 峰谷电价/[元/] 峰段电价 谷段电价 第一档 0.53 0.56 0.28 第二档 0.58 0.61 0.33 第三档 0.83 0.86 0.58 (1)张明的朋友李斌家去年总用电量为，峰段用电量为，哪种计费方式电费较少？为什么？ (2)截至今年9月底，李斌家的用电量已经超过，已知李斌家10月共用电，峰段用电量为（单位：），写出峰谷计费方式的电费（单位：元）与之间的关系式？并计算李斌家10月峰段用电量为多少时，两种计费方式相同？ (3)张明通过调查发现：安装哪种电表，取决于峰段用电量占总用电量的比值，比值越大，越适合安装普通电表，否则，安装峰谷计费电表．若张明家年用电量为，峰段用电量与总用电量的比值为．请你直接写出张明安装电表的方案． 【答案】(1) 选择普通电表电费较少， 理由：普通电表：（元）， 峰谷计费：（元）， ， 因此，选择普通电表电费较少． (2)，用电量为时，两种计费方式相同； (3)当时，选择安装普通计费电表；当时，两种电表的费用相同；当时，选择安装峰谷计费电表． 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据计价表可直接进行求解； （2）由题意易得，然后可得，进而问题可求解； （3）设峰段电量为，谷段为，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 解得， 因此，小明家月峰段用电量为时，两种计费方式相同． （3）解：设峰段电量为，谷段为， 分档讨论： ①第一档（）：普通电费， 峰谷电费， 令相等得， 解得：， 当时，选普通电表； 当时，选峰谷电表； ②第二档（）：普通电费， 峰谷电费， 令相等得， 解得：， 当时，选普通电表； 当时，选峰谷电表； ③第三档（）：普通电费， 峰谷电费， 令相等得， 解得：， 当时，选普通电表； 当时，选峰谷电表， 综上，当时，选择安装普通计费电表；当时，两种电表的费用相同；当时，选择安装峰谷计费电表． 9．综合与实践：荔枝是广东特产水果之一，以其甜美的口感和独特的风味而闻名．请阅读以下材料，完成学习任务： 材料一：广州市内某批发市场计划运输40吨荔枝到距离本地500千米的甲地出售，为保证荔枝新鲜需用带冷柜的货车运输．现有A，B两种型号的冷柜车，已知A型车的平均速度为60千米/小时，B型车的平均速度为80千米/小时． 材料二：计划两种车型都租用，并要求把所有荔枝全部运完，B型车辆最多不超过5辆，且A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍，已知租用A型车每辆可运5吨，B型车每辆可运4吨． 材料三：冷柜车运输的相关收费如下表所示： 路费单价 冷柜使用单价 2元/千米·辆 A型冷柜车 B型冷柜车 84元/（小时·辆） 96元/（小时·辆） 参考公式：冷柜使用费冷柜使用单价使用时间车辆数目； 总费用路费冷柜使用费 (1)求该市场需要租用 辆冷柜车进行运输； (2)设租用A型冷柜车x辆，总费用为y元，请写出y与x的函数解析式，并求出自变量的取值范围； (3)请帮助该市场设计总费用最低的租车方案，并求出最低费用． 【答案】(1) (2)（，且x为整数） (3)总费用最低的租车方案为租用A型冷柜车4辆，B型冷柜车5辆，最低费用是14800元． 【分析】（1）由题意可知，B型车辆可以为1辆，2辆，3辆，4辆，5辆，依次算出型冷柜车的数量，判断是否满足题意即可； （2）根据（1）所求结合总费用的计算公式列式求解即可； （3）根据（2）所求利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵两种车型都租用，B型车辆最多不超过5辆， ∴B型车辆可以为1辆，2辆，3辆，4辆，5辆， ∵要求把40吨荔枝全部运完，已知租用A型车每辆可运5吨，B型车每辆可运4吨， ∴当B型车辆为5辆时，，那么型冷柜车需要4辆，符合A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍，此时共需9辆冷柜车； 当B型车辆为4辆时，，那么型冷柜车需要5辆，符合A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍，此时共需9辆冷柜车； 当B型车辆为3辆时，，那么型冷柜车需要6辆，符合A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍，此时共需9辆冷柜车； 当B型车辆为2辆时，，那么型冷柜车需要7辆，不符合A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍； 当B型车辆为1辆时，，那么型冷柜车需要8辆，不符合A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍； 综上，共需9辆货柜车； （2）解：由题意得， （，且x为整数）； （3）解：∵在中，， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y有最小值，最小值为，此时， 答：总费用最低的租车方案为租用A型冷柜车4辆，B型冷柜车5辆，最低费用是14800元． 10．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电的状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘显示增加的电量（%）与充电时间（分钟）的关系，数据记录如表： 电池充电状态 充电时间（分钟） 增加的电量（%） 实验二：探究充满电的状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量（%）与行驶里程（千米）的关系，数据记录如表： 汽车行驶过程 行驶里程（千米） … 显示电量（%） … (1)充电状态下，充电1分钟，增加的电量________，汽车行驶过程中，行驶千米消耗电量________，该电动汽车的电量从到充满（），需要的充电时间约为________分钟； (2)在表中，如果显示电量与汽车行驶里程满足一次函数关系． ①求与满足的函数关系式； ②如果该汽车行驶到剩余电量为时会自动报警，那么汽车在充满电的情况下，行驶约多少千米会自动报警； (3)某电动汽车在充满电的状态下出发，前往距离出发点千米处的目的地，若电动汽车行驶千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，求电动汽车在服务区充电多长时间？ 【答案】(1)，， (2)①；②行驶约千米会自动报警 (3)充电时间为25分钟 【分析】（1）根据题意可直接列式进行求解； （2）①由题意可设函数关系式为，然后根据待定系数法进行求解即可； ②由题意可把代入①中函数解析式进行求解即可； （3）设充电分钟，据题意可得，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： 充电状态下，充电1分钟，增加的电量；汽车行驶过程中，行驶千米消耗电量；该电动汽车的电量从到充满（），需要的充电时间约为分钟； （2）解：①由表格可知当时，，设函数关系式为， 时，， ， ， ∴函数关系式为； ②由题意可把代入①中函数解析式，得：， 解得：， 答：行驶约千米会自动报警 （3）解：设充电分钟，据题意可得： 解得； 答：充电时间为25分钟． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $