专题07 坐标系中点的坐标的四类培优综合题型（四川成都专用，压轴题专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 以坐标系点的坐标为核心，通过“通法+题型+挑战”三阶体系，系统提炼性质应用、规律探究、最值转化、新定义理解四大方法，培养抽象能力与推理意识，构建从基础到压轴的知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心通法|以点的性质为底线原则，贯穿所有题型|从坐标基本性质出发，奠定方法基础| |题型归纳|4题型（各1典例+多变式）|性质应用（方程求解+非负性）、规律探究（图形规律分析）、最值转化（辅助线化归线段最短）、新定义理解（概念迁移）|按“性质→规律→最值→新定义”递进，形成问题解决逻辑链| |压轴挑战|7道综合题|综合运用四大方法解决复杂情境问题|衔接中考高频考点，提升几何直观与模型意识|

专题07 坐标系中点的坐标的四类培优综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、坐标系中的点的性质 题型二、坐标系中的点规律性探究问题 题型三、坐标系中的最值问题 题型四、与点的坐标有关的新定义问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 坐标系中点的性质是初中代数运算应用基础，所有题型均围绕点的性质、规律性探究问题、最值问题展开，解题贯穿基本底线原则：利用其性质解决问题。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、坐标系中的点的性质 典例 1在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，轴，且点B的纵坐标为2m，则下列说法正确的是（     ） A．当点B在第三象限时，存在 B．当时，m的值为或 C．无论m取何值，点B不可能在y轴上 D．无论何时，m的值不可能是 【答案】B 【分析】先根据垂直关系确定点的坐标，再得到和的长度表达式，结合象限坐标特征解方程，逐个判断选项即可． 【详解】解：∵ 轴，，的纵坐标为， ∴ 的横坐标与相同，即， ∴，， 对选项A：若在第三象限，则，得， 若，则，时，，解得，不满足，不存在这样的，不符合题意； 对选项B：若，则，两边平方得：，整理得，因式分解得，解得或，符合题意； 对选项C：若在轴上，则横坐标，解得，存在这样的，可以在轴上，不符合题意； 对选项D：由选项C可知，可以取，不符合题意． 题型模版 1.特征：坐标系中点的性质. 2.方法：解题突破点是根据已知求出未知数的值，另外要注意算术平方根、绝对值具有非负性的知识点的运用. 变式1-1在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，，在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，则点的坐标为____________． 【答案】或 【分析】作轴于点，作轴于点，把四边形分成两个直角三角形和一个直角梯形，分别计算面积，相加得到四边形的面积，据此求出点的纵坐标． 【详解】解：如图，作轴于点，作轴于点，则四边形被分成了直角三角形，直角三角形，直角梯形， ， ， ， ， 或， 点的坐标为或． 变式1-2如图，在平面直角坐标系中，，在轴上，在轴上，，，点的坐标是，连接，． (1)直接写出顶点，，的坐标； (2)当时，求的面积； (3)是否存在点，使的面积等于的面积？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2) (3)或 【分析】（1）由结合坐标轴位置直接写出坐标，再利用算出长度，得到点坐标； （2）代入确定坐标，拆分为三个小三角形，分别计算面积再求和得到总面积； （3）先算出面积，对点分第四象限、第三象限两种情况，拆分构造面积方程求解，得到对应点坐标． 【详解】（1）解：，在轴上，在轴上， ， ， ，在轴正半轴上， ； （2）解：连接， ， ， ； （3）解：存在，或，理由如下： ， 当在第四象限时，连接， ， 解得：， ， 当在第三象限时，连接，如图， ， 即， 解得：， ， 的坐标为或． 类型二、坐标系中的点规律性探究问题 典例2如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标分别为整数的点，其排列顺序为图中“→”所指方向，如，，，，，，根据这个规律，第个点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为，纵坐标为右下角横坐标的偶数减的点结束，根据此规律解答即可． 【详解】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于轴上右下角的点的横坐标的平方， 例如：右下角的点的横坐标为，共有个，， 右下角的点的横坐标为时，共有个，， 右下角的点的横坐标为时，共有个，， 右下角的点的横坐标为时，共有个，， ， 右下角的点的横坐标为时，共有个， ，是奇数， 第个点是， 故选：B． 题型模版 1.特征：坐标系中点的规律性探究问题. 2.方法：观察图形规律，根据各点横纵坐标之间的规律求解即可. 变式2-1如图所示，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④，……，若连续作旋转变换，则第2025次旋转后的三角形的直角顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察不难发现，每三次旋转为一个循环组依次循环，并且每组的最后一个三角形的直角顶点是落在轴上的，求出一个循环组旋转过的距离，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， 由原图到图，相当于向右平移了个单位长度，三角形的直角顶点的坐标为， ∵每三次旋转为一个循环组依次循环， 又∵， ∴在第2025次旋转后正好是第组的最后一个三角形，即如图③的三角形的位置， ∵， ∴直角顶点的坐标为． 变式2-2在平面直角坐标系中，有一动点从处向上运动1个单位至，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处，如此继续运动下去．设，，2，3…，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图知从开始每经过4次变换回到第一象限，则落在第一象限，然后找到第一象限点坐标的规律，从而解决题目. 【详解】解：由图知从开始每经过4次变换回到第一象限， ， ∴落在第一象限； 由题意落在第一象限的点，，，， ∴， ∴． 变式2-3如图，在平面直角坐标系中，点，点第1次向上移动1个单位长度至点，紧接着第2次向右移动2个单位长度至点，第3次向上移动1个单位长度，第4次向左移动3个单位长度，第5次又向上移动1个单位长度，第6次向右移动4个单位长度，，按照此规律移动下去，点第2024次移动至点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设第n次跳动至点，根据部分点坐标的变化找出变化规律“，，，（n为自然数）”，依此规律结合即可得出点的坐标． 【详解】设第次移动至点，由图观察发现： ， 为自然数） ， 即． 题型三、坐标系中的最值问题 典例3 如图，在平面直角坐标系中，直线l是一、三象限的角平分线，点P是直线l上的一个动点，，是x轴上的两个点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查的是最短线路问题，勾股定理，根据图形特点作辅助线，将问题转化为两点之间线段最短是解答此题的关键．首先作出点A关于直线l的对称点，从而得到，故此，由两点之间线段最短可知即为所求． 【详解】解：取在y轴上点使，连接，    ∴点的坐标为． ∴点与点A关于直线l对称． ∴． ∴． 由两点之间线段最短可知：当点、P、B在一条直线上时，有最小值， 在中，， 故答案为：． 题型模版 1.特征：坐标系中的最值问题. 2.方法：根据图形特点作辅助线，将问题转化为两点之间线段最短是解答此题的关键. 变式3-1如图，点在坐标轴上，为线段上一动点，为线段上的一动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据题意，根据点到直线距离垂线段最段可知，的最小值为时，垂线段的长度，连接，如图所示，根据图形与坐标，数形结合得到相关线段长，再由等面积法列方程求解即可得到答案． 【详解】解：根据题意，根据点到直线距离垂线段最段可知，的最小值为时，垂线段的长度，连接，如图所示： ， ， 在中，，则， ， ， ，即，解得，则的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题-点到直线距离垂线段最短，涉及图形与坐标、勾股定理、等面积法求线段长等知识，数形结合求出线段长是解决问题的关键． 变式3-2如图，已知点，直线与两坐标轴分别交于，两点．点，分别是，上的动点，则周长的最小值是______． 【答案】 【分析】作点C关于的对称点H，点C关于x轴对称的点F，连接，则，求出点A和点B的坐标，进而可推出，由轴对称的性质可得，则可证明得到点H的坐标，可证明当H、E、D、F四点共线时，的周长有最小值，最小值为的长，利用两点间的距离公式求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，作点C关于的对称点H，点C关于x轴对称的点F，连接，则， 在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴； 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∵的周长， ∴当H、E、D、F四点共线时，的周长有最小值，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴的周长的最小值为． 变式3-3如图，在平面直角坐标系中，点在y轴正半轴上，点在x轴负半轴上，且，点M坐标为，N点为线段上一动点，P为线段上一动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】当，，三点共线且时，取得最小值，即为点到直线的距离，利用三角形面积公式建立等量关系求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点 ，由垂线段最短知，此时最小，最小值为线段的长，连接， 点，点，点， ，，， ， ，且， ， ， ，解得， 的最小值为． 题型四、与点的坐标有关的新定义问题 典例4在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别是，，． （1）点是三角形边上的动点，其纵坐标为，则的最大值是_______； （2）将三角形向上平移（）个单位长度得到三角形，点是三角形边上的动点，其纵坐标为．若满足的点恰有两个，则的取值范围是_________． 【答案】 3 【分析】本题考查平移，不等式组，掌握知识点是解题的关键． （1）由点是三角形边上的动点，其纵坐标为，可得，即可解答． （2）画出图形，确定顶点A平移后所在的位置，即可解答． 【详解】解：（1）∵点是三角形边上的动点，其纵坐标为． ∴， ∴，则的最大值是． 故答案为：3． （2）如图， ∵满足的点恰有两个， ∴将三角形的顶点A平移到线段之间（不包括端点）时，满足题意， 即将三角形向上平移的单位长度大于3，小于7， ∴． 故答案为：． 题型模版 1.特征：与点的坐标有关的新定义问题. 2.方法：理解并掌握绝坐标系的新定义概念是解题的关键 变式4-1在平面直角坐标系中，已知，，，以A、B、C三点为顶点作，是边上一动点，若的最大值不超过5，则t的取值范围是______． 【答案】 【分析】由题意可得点的纵坐标为，点的纵坐标为，点的纵坐标为，，令，则或，即可得出或，再分两种情况，计算即可得出结果． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，已知，，， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为，点的纵坐标为， 令，则或， ∴或， ∵以A、B、C三点为顶点作，是边上一动点， ∴， ∵的最大值不超过5， ∴当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，t的取值范围是． 变式4-2如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，连接，，为折线段上的动点（P不与点A，C重合），记，其中a为实数． （1）当时，t的最大值为______； （2）若t存在最大值，则a的取值范围为_________． 【答案】 2 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点与直线间的距离，以及绝对值的几何意义，理解并掌握绝对值的几何意义是解题的关键． （1）当时，，根据绝对值的几何意义，可知表示与直线之间的距离，当点在点时，距离最大，由此得解； （2）先求出当点A和到直线距离相等时，此时，有最大值，然后画图分析可知，当直线在直线上方时，点距离直线距离最大，由于点P不与点A重合，此时取不到最大值，当直线在直线下方时，当P与点B重合时可以取到最大值，由此得解． 【详解】解：（1）当时，，根据绝对值的意义，可知表示与直线之间的距离， 当点与点重合时，距离最大，此时． （2）如图，直线， 此时，折线段上，点、距离直线的距离最大，都是， 当时，，表示与直线之间的距离， 当点与点重合时，取得最大值， 如图：当直线，在直线上方，即，， 此时，折线段上，点距离直线距离最大， 若，，表示与直线之间的距离，由于P不与点A重合， 此时不存在最大值． 当直线，在直线下方，即，， 此时，折线段上，点距离直线距离最大， 若，，表示与直线之间的距离，此时存在最大值，即当在点处时取得最大值． 综上所述，，t存在最大值． 故答案为：①2；②． 变式4-3如图，在平面直角坐标系中，点，，，连接，，为折线段上的动点（不与点，重合），记，其中为实数． （1）当时，的最大值为______； （2）若存在最大值，则的最小值为______． 【答案】 3 2 【分析】（1）当时，表示折线段上的点到直线的距离，当点与点重合时，点到直线的距离最大，即可得的最大值； （2）点和点到直线的距离相等，且大于点到直线的距离，由不与点，重合，可得当时，无最大值，当点与点重合时，取最大值，即可得的最小值． 【详解】（1）解：当时，， 根据绝对值的意义可知，表示折线段上的点到直线的距离， ∴当点与点重合时，点到直线的距离最大， ∴当时，的最大值为， （2）解：∵，，， ∴点和点到直线的距离相等，且大于点到直线的距离， ∵为折线段上的动点，且不与点，重合， ∴当时，无最大值， 当时，的最大值为，此时，点与点重合， ∴若存在最大值，则的最小值为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，点的坐标为，，点的坐标为，点为斜边上的一个动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称最短路径问题，坐标与简单图形计算，直角三角形计算．作关于的对称点，连接交于，此时就是的最小值．通过直角三角形计算即可求出长度． 【详解】解：作关于的对称点，连接交于，连接，过作，点在上，连接交于．此时就是的最小值． ，点的坐标为， ，，， 和关于对称， ，， ， ， ， 由可得， ， ， ， ， ， ． 2．如图，三角形，三角形，三角形…，都是斜边在轴上，斜边长分别为，，，…的等腰直角三角形，且三角形的部分顶点坐标为，，则依图中所示规律，的坐标为______________． 【答案】 【分析】根据图形可知为第个等腰直角三角形的直角顶点，其横坐标的绝对值等于，符号由的奇偶性决定；纵坐标在和之间循环，由的奇偶性决定，确定对应的值即可求解． 【详解】解：观察图形可知，，，，……，分别为第，，，……，个等腰直角三角形的直角顶点， 第个等腰直角三角形的斜边长为， 该三角形斜边上的高为，即点的横坐标的绝对值为； 观察图形可知，当为奇数时，点在轴左边，横坐标为负；当为偶数时，点在轴右边，横坐标为正， ， 点是第个等腰直角三角形的直角顶点； 是奇数， 点的横坐标为； 点的纵坐标规律：第个三角形斜边为，，，中点纵坐标为，即纵坐标为； 第个三角形斜边为，，，中点纵坐标为，即纵坐标为； 第个三角形斜边为，，，中点纵坐标为，即纵坐标为； 第个三角形斜边为，，，中点纵坐标为，即纵坐标为； …… 由此可知，当为奇数时，点的纵坐标为；当为偶数时，点的纵坐标为； 是奇数， 点的纵坐标为； 综上所述，点的坐标为． 3．如图，、、，，、两点分别在线段、轴上，则的最小值为________． 【答案】12 【分析】连接，根据三角形三边不等关系可知：，当点P、N、M三点共线时，取得最小值，然后可得当时，有最小值，进而可得，则有，最后问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 根据三角形三边不等关系可知：，当点P、N、M三点共线时，取得最小值， ∵、两点分别在线段、轴上，， ∴当时，有最小值，如图， ∵、、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为12． 4．如图，在平面直角坐标系中，对于任意三点的“三分矩面积”给出如下定义：“水平底”a为任意两点横坐标差的最大值，“竖直高”为任意两点纵坐标差的最大值，则关于点的“三分矩面积”．若点的坐标为．点的坐标为，点在轴上，且关于点的“三分矩面积”，则点的坐标为______． 【答案】或 【分析】设，由题意，“水平底”，“竖直高”或或，分三种情况，根据关于点的“三分矩面积”求解即可． 【详解】解：设，又点的坐标为．点的坐标为， 由题意，“水平底”，“竖直高”或或， 当时，点的“三分矩面积”，不合题意，舍去； 当时，，则点的“三分矩面积”， 解得或（舍去）， ∴； 当时，，则点的“三分矩面积”， 解得或（舍去），∴, 综上，点的坐标为或． 5．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于点，轴于点，已知点，，其中，满足． (1)直接写出点的坐标； (2)如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向上运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线向上运动，当点运动到点时，两点同时停止运动．过点作轴于点．设运动时间为秒，当时，求的取值范围； (3)连接，如图，并平移线段，使点的对应点恰好落在轴负半轴上，点的对应点为，连接交轴于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用非负数的性质求出的值，得到点的坐标，进而即可求解； （2）设运动时间为秒， 则，，，即得，，再根据题意列出不等式解答即可； （3）易知四边形为平行四边形，所以为与的中点，设，又因为，因此的中点的坐标为，根据，分情况列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵轴于点，轴于点， ∴； （2）解：∵，， ∴，， 由题意可知，四边形是矩形， ∴，， ∵个单位，个单位， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得； （3）解：设， 连接，由平移可知四边形为平行四边形， ∴为与的中点，， 设，则， ①当点P在y轴正半轴，即时，如图， ， ，解得， ， ②当点P在y轴负半轴，即时，如图， ， ，解得， ， 综上所述，当时，点的坐标或． 【点睛】本题考查一次函数与几何综合，动点问题，平行四边形的性质，用中点坐标公式写出点P坐标是解题关键，列方程时要注意坐标中值的正负性． 6．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离中的较大值称为点的“长距”，当点的“长距”等于点的“长距”时，则称，两点为“等距点”．如图1，与两点的“长距”相等（均为3），故它们为一组“等距点”，请依据该定义解答下列问题： (1)如图2，已知点的坐标为，点的坐标为，且、两点为“等距点”，求的值． (2)若，两点为“等距点”，求的值． (3)如图3，三角形三个顶点的坐标分别为，，，点为线段上一个动点（可以与、重合）． ①则点的“长距”的最小值是_____； ②点为三角形内部一点（不含边界），且它的横、纵坐标均为整数，若，两点为“等距点”．则所有可能满足条件的点的个数是_____． 【答案】(1)6或 (2)1或2 (3)①3；②15个 【分析】（1）先计算点的长距，因为、是等距点，所以的长距等于的长距，据此列含绝对值的方程求解． （2）分别写出和的长距表达式，因为两点是等距点，所以二者长距相等，分情况讨论的长距是还是，列方程求解后验证是否符合长距定义． （3）①先求出线段的解析式，设的坐标，写出其长距的表达式，利用函数性质或绝对值不等式求最小值。②先确定的长距的取值范围，再根据在三角形内部、横纵坐标为整数且与等距的条件，逐个筛选符合条件的的坐标，统计个数． 【详解】（1）解：、两点为“等距点”， ， 解得或； （2）解：，两点为“等距点”， ①当时， 解得或， 在时，， 点的“长距”为4，点的“长距”为4，符合条件； 在时，， 点的“长距”为4，点的“长距”为31，不符合条件； ②当时， 可得或， 解得或， 在时，， 点的“长距”为5，点的“长距”为5，符合条件； 在时，， 点的“长距”为3，点的“长距”为4，不符合条件； 综上，或； （3）解：①根据图形可得当点在时，点的“长距”最小，“长距”为3； ②点的横、纵坐标均为整数，且，两点为“等距点”， 点的横、纵坐标均为整数， 当点的“长距”为6时，没有符合条件的点； 当点的“长距”为5时，符合条件的有点，共1个； 当点的“长距”为4时，符合条件的有点，，，，，共5个； 当点的“长距”为3时，符合条件的有点，，，，，，，，，共9个， 综上，所有可能满足条件的点的个数是个 7．在平面直角坐标系中，对于点，，将的值称为点与点的“折线距离”，记为，即．若点在线段上，将的最大值与最小值之差称为线段关于点的“幅差”，记为．已知点，． (1)点与点的“折线距离”的值为______； (2)已知点在轴上，线段关于点的“幅差”为4，则点的坐标为______； (3)若点与点的“折线距离”为4，则“幅差”的最小值为______． 【答案】(1)2 (2)或 (3)3 【分析】（1）直接根据“折线距离”的定义解答即可； （2）设点的坐标为，设点P的坐标为，然后分三种情况：若，若，若，求出的最大值与最小值，再根据“折线距离”的定义列出方程求解即可； （3）设点，根据“折线距离”的定义列出方程，然后分情况讨论去掉绝对值符号，得到不同情况下的直线方程，从而画出图形，即可． 【详解】（1）解：∵点，， ∴； （2）解：设点的坐标为， ∵点P在线段上， ∴可设点P的坐标为， 若， 当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为， ∵线段关于点的“幅差”为4， ∴， 解得：； 若， 当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为， ∵线段关于点的“幅差”为4， ∴， 解得：（舍去）； 若， 当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为， ∵线段关于点的“幅差”为4， ∴，解得：； 综上所述，点C的坐标为或； （3）解：设点，∵点与点的“折线距离”为4， ∴，即， 当，时，，即， 当，时，，即， 当，时，，即， 当，时，，即， ∴所有符合题意的点E组成的图形是以为顶点的正方形． 如图， 当点P与点E重合时，取得最大值，最大值为， 当点P与点O重合时，取得最小值，最小值为， ∴“幅差”的最小值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 坐标系中点的坐标的四类培优综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、坐标系中的点的性质 题型二、坐标系中的点规律性探究问题 题型三、坐标系中的最值问题 题型四、与点的坐标有关的新定义问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 坐标系中点的性质是初中代数运算应用基础，所有题型均围绕点的性质、规律性探究问题、最值问题展开，解题贯穿基本底线原则：利用其性质解决问题。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、坐标系中的点的性质 典例 1在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，轴，且点B的纵坐标为2m，则下列说法正确的是（     ） A．当点B在第三象限时，存在 B．当时，m的值为或 C．无论m取何值，点B不可能在y轴上 D．无论何时，m的值不可能是 题型模版 1.特征：坐标系中点的性质. 2.方法：解题突破点是根据已知求出未知数的值，另外要注意算术平方根、绝对值具有非负性的知识点的运用. 变式1-1在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，，在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，则点的坐标为____________． 变式1-2如图，在平面直角坐标系中，，在轴上，在轴上，，，点的坐标是，连接，． (1)直接写出顶点，，的坐标； (2)当时，求的面积； (3)是否存在点，使的面积等于的面积？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型二、坐标系中的点规律性探究问题 典例2如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标分别为整数的点，其排列顺序为图中“→”所指方向，如，，，，，，根据这个规律，第个点的坐标为（     ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：坐标系中点的规律性探究问题. 2.方法：观察图形规律，根据各点横纵坐标之间的规律求解即可. 变式2-1如图所示，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④，……，若连续作旋转变换，则第2025次旋转后的三角形的直角顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 变式2-2在平面直角坐标系中，有一动点从处向上运动1个单位至，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处，如此继续运动下去．设，，2，3…，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 变式2-3如图，在平面直角坐标系中，点，点第1次向上移动1个单位长度至点，紧接着第2次向右移动2个单位长度至点，第3次向上移动1个单位长度，第4次向左移动3个单位长度，第5次又向上移动1个单位长度，第6次向右移动4个单位长度，，按照此规律移动下去，点第2024次移动至点的坐标是（     ） A． B． C． D． 题型三、坐标系中的最值问题 典例3 如图，在平面直角坐标系中，直线l是一、三象限的角平分线，点P是直线l上的一个动点，，是x轴上的两个点，则的最小值为______． 题型模版 1.特征：坐标系中的最值问题. 2.方法：根据图形特点作辅助线，将问题转化为两点之间线段最短是解答此题的关键. 变式3-1如图，点在坐标轴上，为线段上一动点，为线段上的一动点，则的最小值为______． 变式3-2如图，已知点，直线与两坐标轴分别交于，两点．点，分别是，上的动点，则周长的最小值是______． 变式3-3如图，在平面直角坐标系中，点在y轴正半轴上，点在x轴负半轴上，且，点M坐标为，N点为线段上一动点，P为线段上一动点，则的最小值为______． 题型四、与点的坐标有关的新定义问题 典例4在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别是，，． （1）点是三角形边上的动点，其纵坐标为，则的最大值是_______； （2）将三角形向上平移（）个单位长度得到三角形，点是三角形边上的动点，其纵坐标为．若满足的点恰有两个，则的取值范围是_________． 题型模版 1.特征：与点的坐标有关的新定义问题. 2.方法：理解并掌握绝坐标系的新定义概念是解题的关键 变式4-1在平面直角坐标系中，已知，，，以A、B、C三点为顶点作，是边上一动点，若的最大值不超过5，则t的取值范围是______． 变式4-2如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，连接，，为折线段上的动点（P不与点A，C重合），记，其中a为实数． （1）当时，t的最大值为______； （2）若t存在最大值，则a的取值范围为_________． 变式4-3如图，在平面直角坐标系中，点，，，连接，，为折线段上的动点（不与点，重合），记，其中为实数． （1）当时，的最大值为______； （2）若存在最大值，则的最小值为______． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，点的坐标为，，点的坐标为，点为斜边上的一个动点，则的最小值为________． 2．如图，三角形，三角形，三角形…，都是斜边在轴上，斜边长分别为，，，…的等腰直角三角形，且三角形的部分顶点坐标为，，则依图中所示规律，的坐标为______________． 3．如图，、、，，、两点分别在线段、轴上，则的最小值为________． 4．如图，在平面直角坐标系中，对于任意三点的“三分矩面积”给出如下定义：“水平底”a为任意两点横坐标差的最大值，“竖直高”为任意两点纵坐标差的最大值，则关于点的“三分矩面积”．若点的坐标为．点的坐标为，点在轴上，且关于点的“三分矩面积”，则点的坐标为______． 5．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于点，轴于点，已知点，，其中，满足． (1)直接写出点的坐标； (2)如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向上运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线向上运动，当点运动到点时，两点同时停止运动．过点作轴于点．设运动时间为秒，当时，求的取值范围； (3)连接，如图，并平移线段，使点的对应点恰好落在轴负半轴上，点的对应点为，连接交轴于点，当时，求点的坐标． 6．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离中的较大值称为点的“长距”，当点的“长距”等于点的“长距”时，则称，两点为“等距点”．如图1，与两点的“长距”相等（均为3），故它们为一组“等距点”，请依据该定义解答下列问题： (1)如图2，已知点的坐标为，点的坐标为，且、两点为“等距点”，求的值． (2)若，两点为“等距点”，求的值． (3)如图3，三角形三个顶点的坐标分别为，，，点为线段上一个动点（可以与、重合）． ①则点的“长距”的最小值是_____； ②点为三角形内部一点（不含边界），且它的横、纵坐标均为整数，若，两点为“等距点”．则所有可能满足条件的点的个数是_____． 7．在平面直角坐标系中，对于点，，将的值称为点与点的“折线距离”，记为，即．若点在线段上，将的最大值与最小值之差称为线段关于点的“幅差”，记为．已知点，． (1)点与点的“折线距离”的值为______； (2)已知点在轴上，线段关于点的“幅差”为4，则点的坐标为______； (3)若点与点的“折线距离”为4，则“幅差”的最小值为______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $