专题09 一次函数图像与性质的六类培优综合题型（四川成都专用，压轴题专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建一次函数专项训练体系，通过“题型模版”提炼方法，覆盖从基础性质到综合应用的逻辑链条，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心解法|围绕增减性、图像与系数、几何最值展开，以性质应用为底线原则|从一次函数基本性质出发，构建应用框架| |题型归纳|6题型（每题型1典例+3变式）|增减性：k值范围定最值点；系数与图像：符号判断；几何最值：辅助线与三点共线；规律探究：坐标规律；含绝对值：几何意义；新定义：概念转化|从基础性质到几何应用、规律探究、新定义，层层递进| |压轴挑战|10题|综合应用前述方法，突破高难问题|整合多模块知识，提升综合解题能力|

专题09 一次函数图像与性质的六类培优综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、一次函数增减性与最值问题 题型二、一次函数的系数与图像关系问题 题型三、一次函数中的几何最值问题 题型四、一次函数中规律性探究问题 题型五、含绝对值的一次函数图形与性质问题 题型六、一次函数新定义问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一次函数图像与性质是初中代数运算应用基础，所有题型均围绕增减性与最值、图像与系数关系、几何最值展开，其中压轴题还涉及到含绝对值的一次函数图像与性质关系，解题贯穿基本底线原则：利用其性质解决问题。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、一次函数增减性与最值问题 典例 1已知为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型模版 1.特征：一次函数的图像与性质关系. 2.方法：解题突破点是结合的取值范围确定最小值对应的自变量取值. 变式1-1已知一次函数，其中为常数，且．当时，函数的最小值为，则的值为______． 变式1-2已知一次函数，当时，有最大值，则_______． 变式1-3已知一次函数，当时，，则a的值为______． 类型二、一次函数的系数与图像关系问题 典例2一次函数的图象经过第一、三象限，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：一次函数的系数与图像关系问题. 2.方法：根据一次函数图像与系数的关系判断两个函数的图像对应解析式中字母的符号求解即可. 变式2-1在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 变式2-2已知，且，则一次函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 变式2-3在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型三、一次函数中的几何最值问题 典例3如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为和，点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当的周长最小时，点C的坐标是（  ）． A． B． C． D． 题型模版 1.特征：一次函数中的几何最值问题. 2.方法：解题的关键在于添加适当的辅助线，利用三点共线求解即可. 变式3-1平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴、轴分别交于两点，点，点坐标分别为，则的最小值为______． 变式3-2如图，在中，，，点在边上，且，为的中点，为上的动点，当四边形周长最小时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 题型四、一次函数中的规律性探究问题 典例4如图，在平面直角坐标系中，函数和的图像分别为直线、，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…，依次进行下去，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：一次函数中的规律性探究问题. 2.方法：根据图像寻找点的横纵坐标之间规律即可. 变式4-1如图，在平面直角坐标系中，点，，，…在轴上且，，，，…，按此规律，过点，，，…作轴的垂线分别与直线交于点，，，，…，则的坐标是_______． 变式4-2如图，在平面直角坐标系中，点，，，…在直线上，点，，，…在x轴上，且，，，…均是等腰直角三角形，其中，，，…分别是它们的直角顶点，则点的纵坐标为________． 题型五、含绝对值的一次函数图形与性质问题 典例5定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个一次函数，将原函数中的自变量x替换为，从而形成一个新的函数，这个新函数叫做原函数的“镜像函数”．例如，函数的“镜像函数”是，请探究“镜像函数”的相关性质． (1)自变量x的取值范围是___________； (2)用描点法画出函数图象． x与y的几组对应值列表如下： x … 0 1 2 3 … y … m 0 2 4 2 n … 其中，___________，___________； 根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出函数图象． (3)请根据图象解决问题： ①当时，x的值是___________； ②当时，y随x的增大而___________； ③图象关于___________对称，函数有最___________值为___________． 题型模版 1.特征：含绝对值的一次函数图像与性质. 2.方法：理解一次函数图像与性质，结合绝对值几何意义即可求解. 变式5-1请结合已有的学习经验，画出函数的图象，并探究其性质． 列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 1 a 0 b … (1)填空：表中______，______； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)观察函数的图象，判断下列关于该函数性质的命题： ①当时，函数图象关于y轴对称； ②当时，函数有最小值，最小值为0； ③当时，函数y的值随x的增大而减小． 其中正确的是______．（请写出所有正确命题的序号） 变式5-2根据学习一次函数的经验，数学社团的同学对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是全体实数．如表是与的几组对应值： … 0 1 2 3 4 … … 2 0 0 1 2 3 4 … 其中______； (2)在图中的平面直角坐标系中，描出表格中各对对应值为坐标的点，并画出该函数图象； (3)判断函数有最大值还是最小值？并直接写出当为何值时，的最大值或最小值是多少？ (4)已知函数（其中），当自变量的取值范围是时，该函数的最大值为，求的值． 题型六、一次函数新定义问题 典例6定义：对于一次函数（k、b为常数，）如果当时，，且满足（q为常数）那么称此函数为“q级函数”．如：正比例函数，当时，，则，求得，所以函数为“3级函数”． (1)如果一次函数为“q级函数”，那么q的值是________； (2)如果一次函数为“5级函数”，求k的值； 题型模版 1.特征：一次函数新定义问题. 2.方法：理解一次函数图像与性质，结合新定义概念即可求解. 变式6-1在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点的横、纵坐标之和等于点的横、纵坐标之和，则称两点为同和点．下图中的两点即为同和点． (1)已知点的坐标为． ①在点中，为点的同和点的是_____． ②若点在轴上，且，两点为同和点，则点的坐标为_____． (2)直线与轴、轴分别交于点，点为线段上一点． ①若点与点为同和点，求点坐标； ②若存在点与点为同和点，直接写出的取值范围． 变式6-2定义：一次函数与为常数，且互为“异号函数”．如：与互为“异号函数” (1)已知点在的“异号函数”的图象上，求的值， (2)请直接写出一次函数的“异号函数”，并求当时该“异号函数”的最大函数值； (3)一次函数的图象如图所示，若一次函数在范围内的部分记为函数，一次函数的“异号函数”在范围内的部分记为函数，和组成新函数，当时，，则__________，__________． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．当时，一次函数最大值为6，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或 2．在同一平面直角坐标系中，函数的图象与函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线 与两坐标轴分别交于 两点，点 是 的中点， 分别是直线 ， 轴上的动点，则 周长的最小值是（　  　） A． B． C． D． 4．图象法是函数的表示方法之一，下面我们就一类特殊的函数图像展开探究． 画函数的图象，经历列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示： 探究发现：函数的图象是由向右平移个单位得到； 函数的图象是由向上平移个单位得到． （1）函数的最小值为______； （2）函数在中有最小值，则的值是______． 5．如图，在平面直角坐标系中，点，，都在轴上，点，，都在同一条直线上，，，，，都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是______． 6．当自变量时，函数（k为常数）的最小值为，则满足条件的k的值为_________． 7．运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究． 【初步感知】 (1)①列表填空： … 0 1 2 3 4 5 6 … … 0 1 2 … ②在下图所示的平面直角坐标系内描点，并画出函数的图象； 【深入探究】 (2)根据（1）②中作出的函数图象，写出函数的两条性质； 【类比应用】 (3)判断函数有最大值还是最小值？并直接写出当为何值时，的最大值或最小值是多少？ 8．让我们用由特殊到一般的数学方法，探究函数（为常数）图象及部分性质． 【特例研究】 当时，画函数的图象，经历分析表达式、列表、描点、连线的过程得到函数图象，如图： … … … … 我们发现：函数的图象是由两条射线组成的轴对称图形，具有如下性质：图象关于轴（直线）对称；当时，随增大而减小，当时，随增大而增大；当时，函数有最小值． 【类比发现】 (1)当时，即函数， ①在上图的平面直角坐标系中，画出函数的图象； ②观察函数图象，写出此函数的一条性质： ③根据函数的图象与性质，当时，求的取值范围是 ； 【深入探究】 (2)观察图象可知，函数的图象可由函数的图象平移得到；若，则函数图象可由函数的图象怎样平移得到呢？ (3)根据函数的图象与性质，当时，函数的最小值为，求的值． 9．已知一次函数（为常数） (1)当函数是正比例函数时，的值为___________． (2)当函数图象不经过第一象限时，的取值范围是___________． (3)当时，一次函数的最大值为，求的值． 10．已知一次函数过定点，另一个一次函数为． (1)请你判断是否过定点，并说明理由． (2)点和点分别在一次函数和的图象上，求证：． (3)设函数，当时，函数有最大值，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 一次函数图像与性质的六类培优综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、一次函数增减性与最值问题 题型二、一次函数的系数与图像关系问题 题型三、一次函数中的几何最值问题 题型四、一次函数中规律性探究问题 题型五、含绝对值的一次函数图形与性质问题 题型六、一次函数新定义问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一次函数图像与性质是初中代数运算应用基础，所有题型均围绕增减性与最值、图像与系数关系、几何最值展开，其中压轴题还涉及到含绝对值的一次函数图像与性质关系，解题贯穿基本底线原则：利用其性质解决问题。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、一次函数增减性与最值问题 典例 1已知为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性．根据一次函数的增减性，逐项分析判断即可解答． 【详解】解：∵直线中，，∴y随x增大而减小， ∵，∴， A、若，则，，对于，当时，，当时，，当时，，∴，，而的符号不能确定，∴不能判定，故A错误，不符合题意； B、若，则与同号，若同为负数时，∵，∴，，同理，，而的符号不能确定，∴不能判定， 若同为正数时，当时，可以取，此时，满足，但， 综上，B错误，不符合题意； C、若，则与异号，∵，∴，，同理，，而，∴，∴不能判定，故C错误，不符合题意； D、若，则与异号，∵，∴，，同理，，而，∴，∴能判定，故D正确，符合题意； 故选：D． 题型模版 1.特征：一次函数的图像与性质关系. 2.方法：解题突破点是结合的取值范围确定最小值对应的自变量取值. 变式1-1已知一次函数，其中为常数，且．当时，函数的最小值为，则的值为______． 【答案】或 【分析】根据一次项系数的符号分情况讨论函数的增减性，结合的取值范围确定最小值对应的自变量取值，代入一次函数解析式求解即可． 【详解】解：当，即时，随的增大而增大， 当时，取得最小值， 代入解析式得 ， 解得，符合； 当，即时，随的增大而减小， 当时，取得最小值， 代入解析式得 ， 解得，符合； 综上所述，的值为或 故答案为：或． 变式1-2已知一次函数，当时，有最大值，则_______． 【答案】或 【分析】本题根据一次函数的增减性，对一次项系数分大于0和小于0两种情况讨论，结合给定区间内y的最大值为5，分别计算得到k的值，排除一次项系数为0的不符合情况即可． 【详解】解：已知一次函数为，自变量范围为，y的最大值为． 当，即时，随的增大而增大， ∴时，取得最大值， 代入得，解得； 当，即时， 随的增大而减小， ∴时，取得最大值， 代入得，解得； 当，即时，， 不符合最大值为，舍去． 故的值为或． 变式1-3已知一次函数，当时，，则a的值为______． 【答案】 【分析】根据一次函数的性质可得y随x的增大而减小，即可求解． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵当时，， ∴当时，， 当时，， ∴． 类型二、一次函数的系数与图像关系问题 典例2一次函数的图象经过第一、三象限，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数的系数和图像性质的关系，熟练掌握性质是关键； 根据一次函数的图象经过第一、三象限，判断出，即或，再分别判断的图象即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三象限， ∴， ∴、同号，即或， 当时，的图象大致为； 当时，， ∴选项A符合题意， 故选：A． 题型模版 1.特征：一次函数的系数与图像关系问题. 2.方法：根据一次函数图像与系数的关系判断两个函数的图像对应解析式中字母的符号求解即可. 变式2-1在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图像与系数的关系，对于一次函数（k为常数，）图像与k、b的关系是解题的关键． 根据一次函数图像与系数的关系判断两个函数的图像对应解析式中m的符号，再看是否存在矛盾即可解答． 【详解】解：A．一次函数的图像经过第二、三、四象限，则；一次函数的图像经过第一、三、四象限，则，不存在矛盾，符合题意； B．一次函数的图像经过第一、二、四象限与矛盾，不符合题意； C．一次函数的图像经过第一、二、四象限与矛盾，不符合题意； D．一次函数的图像经过第一、三、四象限，则；一次函数的图像经过第二、三、四象限，则，二者存在矛盾，不符合题意． 故选：A． 变式2-2已知，且，则一次函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图像，理解一次函数图像、正比例函数图像与参数的关系是解题的关键． 根据，且，可知，或；由可判断A、B选项，再分和两种情况可判定B、D选项． 【详解】解：∵，且， ∴，或， ∵， ∴函数的图像过二、四象限，故A、B选项不符合题意； 当，一次函数的函数值y随x的增大而增大，且与y轴的交点在y轴的负半轴，即B、D选项都不符合题意； 当，一次函数的函数值y随x的增大而增大，且与y轴的交点在y轴的正半轴，即D选项都符合题意． 故选：D． 变式2-3在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于每个选项，先确定一个解析式所对应的图象，根据一次函数图象与系数的关系确定a、b的符号，然后根据此符号看另一个函数图象的位置是否正确. 【详解】解：A、若函数图象经过第一、三、四象限，则，，此时函数的图象应经过第一、二、三象限；若函数图象经过第一、二、四象限时，则，时，此时函数的图象应经过第二、三、四象限，故选项A错误，不符合题意； B、若函数图象经过第一、二、四象限时，则，时，此时函数的图象应经过第二、三、四象限，故选项B错误，不符合题意； C、若函数图象经过第一、二、三象限，则，，此时函数的图象应经过第一、二、四象限；若函数图象经过第二、三、四象限时，则，时，此时函数的图象应经过第一、三、四象限，故选项C错误，不符合题意； D、若函数图象经过第一、二、三象限，则，，此时函数的图象应经过第一、三、四象限；若函数图象经过第一、三、四象限时，则，时，此时函数的图象应经过第一、二、三象限，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一次函数的图象与性质，正确记忆一次函数图象经过象限与系数关系是解题关键. 题型三、一次函数中的几何最值问题 典例3如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为和，点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当的周长最小时，点C的坐标是（  ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称与最短路径问题，一次函数的概念与图象，熟练掌握轴对称的性质和线段的性质定理是解题关键． 在中，为定值，因此当最小时，的周长最小．作点B关于y轴的对称点，连接，，当点C 在上时，最小．利用待定系数法求出直线的解析式，然后求出点C的坐标． 【详解】解：∵点A、B的坐标分别为和， ∴为定值， ∴当最小时，的周长最小， 如图，作点B关于y轴的对称点，连接，， 由轴对称的性质可知，，点的坐标为， ∴， 当A、C、三点共线时，取最小值， 设直线的解析式， 将，；，代入得， ， 解得，， ∴直线的解析式， 当时，， ∴点的坐标为． 故选：D． 题型模版 1.特征：一次函数中的几何最值问题. 2.方法：解题的关键在于添加适当的辅助线，利用三点共线求解即可. 变式3-1平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴、轴分别交于两点，点，点坐标分别为，则的最小值为______． 【答案】 【分析】如图，取点，连接，，作，垂足为点，即，证明，则，由，可知当点三点共线时，有最小值，在中，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：当，当， ∴， 如图，取点，连接，，作，垂足为点，即， 在和中，∵， ∴， ， ， 当点三点共线时，有最小值， 在中，由勾股定理得，， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，一次函数等知识．解题的关键在于添加适当的辅助线． 变式3-2如图，在中，，，点在边上，且，为的中点，为上的动点，当四边形周长最小时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作交轴于，得出点 和点 关于直线 对称，连接交 于点 ，此时四边形 周长最小，通过求直线与 的交点坐标求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ，，， 设直线 解析式为 ，将代入得， 解得， ∴直线 解析式为 ， ， ， ， 为 中点， ， ∵四边形 周长 ，其中 为定值， ∴要使周长最小，需 最小 ， 过作交轴于， ∵， ∴， ∴，， ∴， 点 关于直线 的对称点为 ，连接 交 于点 ，此时 最小， 直线 为 ，设直线解析式为 ， 将 ，代入得 ，解得 ， 直线解析式为，联立 ，解得 ， 点的坐标为． 题型四、一次函数中的规律性探究问题 典例4如图，在平面直角坐标系中，函数和的图像分别为直线、，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…，依次进行下去，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点等的坐标，根据坐标的变化即可找出变化规律“，，，为自然数”，依此规律结合即可找出点的坐标． 【详解】解：当时，， 点的坐标为； 当时，， 点的坐标为； 同理可得：，，，，，，，， ，，，为自然数 ， 点的坐标为，即 ． 题型模版 1.特征：一次函数中的规律性探究问题. 2.方法：根据图像寻找点的横纵坐标之间规律即可. 变式4-1如图，在平面直角坐标系中，点，，，…在轴上且，，，，…，按此规律，过点，，，…作轴的垂线分别与直线交于点，，，，…，则的坐标是_______． 【答案】 【分析】根据已知先求出，，的长，再代入直线中，分别求出，，，，然后分别计算出，，，，推出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 把代入直线中可得：， ∴，则，即， 把代入直线中可得：， ∴，则，即， 把代入直线中可得：， ∴，则，即， 把代入直线中可得：， ∴，则，即， ， ∴， ∴． 变式4-2如图，在平面直角坐标系中，点，，，…在直线上，点，，，…在x轴上，且，，，…均是等腰直角三角形，其中，，，…分别是它们的直角顶点，则点的纵坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标规律，罗列纵坐标得出一般规律，再按照规律求出的纵坐标即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 则，， 设，则， 将代入直线，得， 解得， ∴点的纵坐标为． 设，则， 将代入直线，得， 解得， ∴点的纵坐标为． 同理可得点的纵坐标为，点的纵坐标为 则点的纵坐标为． 题型五、含绝对值的一次函数图形与性质问题 典例5定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个一次函数，将原函数中的自变量x替换为，从而形成一个新的函数，这个新函数叫做原函数的“镜像函数”．例如，函数的“镜像函数”是，请探究“镜像函数”的相关性质． (1)自变量x的取值范围是___________； (2)用描点法画出函数图象． x与y的几组对应值列表如下： x … 0 1 2 3 … y … m 0 2 4 2 n … 其中，___________，___________； 根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出函数图象． (3)请根据图象解决问题： ①当时，x的值是___________； ②当时，y随x的增大而___________； ③图象关于___________对称，函数有最___________值为___________． 【答案】(1)任意实数 (2)；； (3)①或；②减小；③轴；大，4 【分析】（1）根据题意即可得到自变量x的取值范围是任意实数； （2）补全表格，利用描点，连线，画出函数图象即可； （3）根据图象即可解答． 【详解】（1）解：自变量x的取值范围是任意实数； （2）解：当时，； 当时，； 描点，连线，函数图象如图： ； （3）解：根据图象得： ①当时，x的值是或； ②当时，y随x的增大而减小； ③图象关于轴对称，函数有最大值为4． 题型模版 1.特征：含绝对值的一次函数图像与性质. 2.方法：理解一次函数图像与性质，结合绝对值几何意义即可求解. 变式5-1请结合已有的学习经验，画出函数的图象，并探究其性质． 列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 1 a 0 b … (1)填空：表中______，______； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)观察函数的图象，判断下列关于该函数性质的命题： ①当时，函数图象关于y轴对称； ②当时，函数有最小值，最小值为0； ③当时，函数y的值随x的增大而减小． 其中正确的是______．（请写出所有正确命题的序号） 【答案】(1)，3 (2)如图，即为函数的图象， (3)②③ 【分析】本题考查了新函数的研究方法，掌握一次函数是解答本题的关键． （1）已知解析式，代入的值，即可算出对应的值，即可得出答案； （2）利用描点法求得函数图象； （3）结合图象即可分析函数的对称性、增减性、最值，进而可得答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 故答案为：，3； （2）略 （3）解：结合图象可得，当时，函数图象关于y轴不对称，故①错误； 结合图象可得，当时，函数有最小值，最小值为0，故②正确； 结合图象可得，当时，函数y的值随x的增大而减小，故③正确， 故答案为：②③． 变式5-2根据学习一次函数的经验，数学社团的同学对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是全体实数．如表是与的几组对应值： … 0 1 2 3 4 … … 2 0 0 1 2 3 4 … 其中______； (2)在图中的平面直角坐标系中，描出表格中各对对应值为坐标的点，并画出该函数图象； (3)判断函数有最大值还是最小值？并直接写出当为何值时，的最大值或最小值是多少？ (4)已知函数（其中），当自变量的取值范围是时，该函数的最大值为，求的值． 【答案】(1)1 (2)如图所示： (3)函数有最小值，当时，有最小值，最小值是 (4) 【分析】（1）把代入函数解析式，进行求解即可； （2）描点，连线，画出函数图象即可； （3）直接根据图象作答即可； （4）根据给定的函数解析式，推出当时，函数值最大，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，； （2）略 （3）略 （4）解：∵（其中）， ∴当时，函数有最小值为，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大， ∵， ∴ ∵， ∴到的距离小于3到的距离， ∴当时，函数值最大为， 解得. 题型六、一次函数新定义问题 典例6定义：对于一次函数（k、b为常数，）如果当时，，且满足（q为常数）那么称此函数为“q级函数”．如：正比例函数，当时，，则，求得，所以函数为“3级函数”． (1)如果一次函数为“q级函数”，那么q的值是________； (2)如果一次函数为“5级函数”，求k的值； 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了新定义“级函数”、一次函数的图像与性质、一次函数图像与坐标轴交点问题、解一元一次方程等知识，正确理解新定义“级函数”是解题关键． （1）根据“级函数”的定义求解即可； （2）①分和两种情况，根据“级函数”的定义建立关于的一元一次方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：一次函数， 当时，， 当时，， 则有，解得， ∴一次函数为“2级函数”，即的值是2． 故答案为：2； （2）①对于一次函数， 当时，， 当时，， 若，则随的增大而增大， 即当时，可有， 则有， 解得； 若，则随的增大而减小， 即当时，可有， 则有， 解得． 综上所述，或． 题型模版 1.特征：一次函数新定义问题. 2.方法：理解一次函数图像与性质，结合新定义概念即可求解. 变式6-1在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点的横、纵坐标之和等于点的横、纵坐标之和，则称两点为同和点．下图中的两点即为同和点． (1)已知点的坐标为． ①在点中，为点的同和点的是_____． ②若点在轴上，且，两点为同和点，则点的坐标为_____． (2)直线与轴、轴分别交于点，点为线段上一点． ①若点与点为同和点，求点坐标； ②若存在点与点为同和点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①R，T；② (2)①；② 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，理解“同和点”的定义并运用是解题的关键． （1）①由同和点的定义可求解；②由同和点的定义可求解； （2）①由同和点的定义，列出等式可求解；②由同和点的定义，列出等式可得，即可求解． 【详解】（1）解：①点的坐标为， ， 点，，， ，，， 点的同和点的是R，T， 故答案为：R，T； ②点在轴上，且，两点为同和点， 点， 故答案为：； （2）解：①直线与轴、轴分别交于点，， 当时，；当时，，解得， 点，点， 点与点为同和点， 设点， ， ， 点坐标为； ②设点坐标为， 点与点为同和点， ， ， 点为线段上一点， ， ， ． 变式6-2定义：一次函数与为常数，且互为“异号函数”．如：与互为“异号函数” (1)已知点在的“异号函数”的图象上，求的值， (2)请直接写出一次函数的“异号函数”，并求当时该“异号函数”的最大函数值； (3)一次函数的图象如图所示，若一次函数在范围内的部分记为函数，一次函数的“异号函数”在范围内的部分记为函数，和组成新函数，当时，，则__________，__________． 【答案】(1)2 (2)， (3)， 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质： （1）把点 代入的“异号函数”，即可求解； （2）根据题意可得一次函数的“异号函数”为，再根据一次函数的增减性解答即可； （3）根据题意画出新函数的图象，再结合一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：的“异号函数”为， ∵点在的“异号函数”的图象上， ∴，解得：； （2）解：一次函数的“异号函数”为， ∵， ∴函数的函数值y随x的增大而减小， ∴当时该“异号函数”的最大函数值为； （3）解：一次函数的“异号函数”为， 新函数的图象，如图： 对于一次函数，当时，y随x的增大而增大， 当时，，当时，， 对于一次函数，当时，y随x的增大而减小， 当时，，当时，， ∴当时，， ∵当时，， ∴． 故答案为：；2 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．当时，一次函数最大值为6，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或 【答案】A 【分析】根据一次项系数的正负判断函数在上的增减性，再结合最大值为，求解的值． 【详解】解：一次函数的斜率为，分两种情况讨论： ①当时： 函数在上随着的增大而增大，最大值出现在处． 代入得：． 由最大值为，得，解得． ②当时： 函数在上随着的增大而减小，最大值出现在处． 代入得：． 由最大值为，得，解得，但不满足，舍去． ③当时： 函数为常函数，最大值为，不符合最大值为，舍去． 综上所述，． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的单调性与最值，解题关键是分斜率正负讨论函数的增减性，再结合区间端点求最值． 2．在同一平面直角坐标系中，函数的图象与函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一次函数图象与正比例函数的图象，熟练掌握函数图象与系数的关系是解答本题的关键． 根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得k、b的符号，进而可得的符号，从而判断与的图象是否一致，进而比较可得答案． 【详解】解：A、由一次函数图象可知，即，由正比例函数的图象可知，故此选项不符合题意； B、由一次函数图象可知，即，由正比例函数的图象可知，故此选项不符合题意； C、由一次函数图象可知，即，由正比例函数的图象可知，故此选项符合题意； D、由一次函数图象可，即，由正比例函数的图象可知，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．如图，直线 与两坐标轴分别交于 两点，点 是 的中点， 分别是直线 ， 轴上的动点，则 周长的最小值是（　  　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据轴对称的性质可得，再根据三角形的周长公式、两点之间线段最短可得周长的最小值为的长，然后根据直线的解析式求出点B的坐标，从而可得点C、G的坐标，最后根据等腰直角三角形的判定与性质可得点F的坐标，据此利用两点之间的距离公式即可得出答案． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接、、， 由轴对称的性质得：， 周长为， 由两点之间线段最短得：当点在同一直线上时，取得最小值，最小值为的长， 对于一次函数， 当时，，解得，即， 当时，，即， ， 点为的中点， ，， 点为点关于的对称点， ， 又， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，，即轴， ， 则， 即周长的最小值是， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的几何应用、坐标与轴对称、等腰直角三角形的判定与性质、两点之间的距离公式等知识点，利用轴对称将周长转化为两定点间的折线段长，利用两点之间线段最短找出最小值是解题关键． 4．图象法是函数的表示方法之一，下面我们就一类特殊的函数图像展开探究． 画函数的图象，经历列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示： 探究发现：函数的图象是由向右平移个单位得到； 函数的图象是由向上平移个单位得到． （1）函数的最小值为______； （2）函数在中有最小值，则的值是______． 【答案】 或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质； （1）画出的图象，通过观察图象可得 （2）分三种情况讨论求得即可． 【详解】解：（1）如图所示，函数的图象是由向上平移3个单位得到． 根据函数图象可得函数的最小值为， 故答案为：． （2）若， 当时，有最小值， ， （舍），或 若， 当时，有最小值，不符合题意，舍去． 若， 当时，有最小值， ， （舍），或 综上所述，或． 故答案为：或． 5．如图，在平面直角坐标系中，点，，都在轴上，点，，都在同一条直线上，，，，，都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的几何应用，等腰直角三角形的性质，勾股定理，由等腰直角三角形的性质和勾股定理可得点的纵坐标为，再求出直线的解析式，可得点的横坐标为，即得点的坐标是，进而即可求解，找到点的坐标规律是解题的关键． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴点的纵坐标为， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴点的纵坐标为， 同理可得点的纵坐标为， ， ∴点的纵坐标为， 设直线的解析式为，把和代入得， ，解得， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标是， ∴点的坐标是， 故答案为：． 6．当自变量时，函数（k为常数）的最小值为，则满足条件的k的值为_________． 【答案】 【分析】分时，时，时三种情况讨论，即可求解． 【详解】解：①若时，则当时，有，故， 故当时，有最小值，此时函数， 由题意，， 解得：，满足，符合题意； ②若，则当时，， 故当时，有最小值，此时函数， 由题意，， 解得：，不满足，不符合题意； ③若时，则当时，有，故， 故当时，有最小值，此时函数， 由题意，，方程无解，此情况不存在， 综上，满足条件的k的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，绝对值的性质，分类讨论是解题的关键． 7．运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究． 【初步感知】 (1)①列表填空： … 0 1 2 3 4 5 6 … … 0 1 2 … ②在下图所示的平面直角坐标系内描点，并画出函数的图象； 【深入探究】 (2)根据（1）②中作出的函数图象，写出函数的两条性质； 【类比应用】 (3)判断函数有最大值还是最小值？并直接写出当为何值时，的最大值或最小值是多少？ 【答案】(1)①列表如下： … 0 1 2 3 4 5 6 … … 0 0 1 2 … ②如下图所示 (2)增减性：当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小； 对称性：函数图象关于直线对称； (3)函数有最大值；当时，函数有最大值，最大值为3． 【分析】（1）①分别将、、代入计算即可； ②根据表格描点连线即可； （2）根据函数图象作答即可； （3）将转化为，进而结合的性质作答即可． 【详解】（1）解：①当时，， 当时，， 当时，， 列表略； ②作图略； （2）略； （3）解：由图象可知：函数有最小值，且当时，函数有最小值，最小值为， ， ∴函数有最大值，当时，函数有最大值，最大值为3． 8．让我们用由特殊到一般的数学方法，探究函数（为常数）图象及部分性质． 【特例研究】 当时，画函数的图象，经历分析表达式、列表、描点、连线的过程得到函数图象，如图： … … … … 我们发现：函数的图象是由两条射线组成的轴对称图形，具有如下性质：图象关于轴（直线）对称；当时，随增大而减小，当时，随增大而增大；当时，函数有最小值． 【类比发现】 (1)当时，即函数， ①在上图的平面直角坐标系中，画出函数的图象； ②观察函数图象，写出此函数的一条性质： ③根据函数的图象与性质，当时，求的取值范围是 ； 【深入探究】 (2)观察图象可知，函数的图象可由函数的图象平移得到；若，则函数图象可由函数的图象怎样平移得到呢？ (3)根据函数的图象与性质，当时，函数的最小值为，求的值． 【答案】(1)①见解析；②此函数的对称轴为直线（符合要求的一条性质即可）；③ (2)若，函数图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到 (3)的值为或 【分析】（1）①列表，描点，连线画出函数图象；②根据图象写出一条性质即可；③直接通过图象即可得出结果； （2）根据平移规则即可得出结果； （3）分3种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：列表得， … … … … 描点连线得，如图即为的图象． ②由图可知：此函数的对称轴为直线；（符合要求的一条性质即可） ③由图可知：当时，的取值范围是； （2）解：若，函数图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到． （3）解：当时， 在对称轴右侧，随的增大而增大， ∴当时，有最小值， ∴， ∴． 当时， 在对称轴左侧，随的增大而减小， ∴当时，有最小值， ∴， ∴． 当时， 在对称轴最小值为，与题意不符，舍去． 综上所述，的值为或． 9．已知一次函数（为常数） (1)当函数是正比例函数时，的值为___________． (2)当函数图象不经过第一象限时，的取值范围是___________． (3)当时，一次函数的最大值为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）一次函数中，，时，函数是正比例函数，据此列方程求解； （2）一次函数中，，时，函数的图象不经过第一象限，据此列不等式组求解； （3）①一次函数中，时，随的增大而增大，则当时，最大值是，②函数中，时，随的增大而减小，则当时，最大值是，据此列方程求解． 【详解】（1）解：为正比例函数， ， ． （2）解：不经过第一象限， 可得，解得． （3）解：分两种情况讨论， 当，即，随的增大而增大，则当，， 可得， 解得； 当，即，随的增大而减小， 则当，， 可得， 解得； 综上或． 10．已知一次函数过定点，另一个一次函数为． (1)请你判断是否过定点，并说明理由． (2)点和点分别在一次函数和的图象上，求证：． (3)设函数，当时，函数有最大值，求的值． 【答案】(1)一次函数过定点，理由如下： 证明：因为一次函数过定点， 所以，； 当时，， 所以一次函数过定点． (2)证明：因为点和点分别在一次函数和的图象上， 所以，， 即； 因为， 所以； 因为， 所以， 即； (3)的值为或 【分析】本题考查了一次函数的性质． （1）根据题意得出，将代入，得出，即可求解； （2）将点和点分别代入一次函数和的解析式，得出，结合，即可得证． （3）先求得，根据当时，函数有最大值，分和，结合一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：略； （2）证明：略； （3）解：， ①若，随的增大而增大，当时，，解得； ②若，随的增大而减小，当时，，解得； 所以的值为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $