第一次月考压轴题汇总（第11～12章平面直角坐标系、函数与一次函数）（压轴题专项训练）数学新教材沪科版八年级上册

**基本信息** 以解题通法为核心，系统整合坐标与函数综合题型，通过典例变式构建从基础到压轴的能力提升路径，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|12种通法|点与坐标互化、割补法求面积等|从坐标基础到函数应用，构建方法迁移框架| |题型归纳|9类题型（含典例+变式）|坐标规律探究、存在性问题解法等|按难度递进，覆盖月考高频考点与易错点| |压轴挑战|综合题组|新定义、动态问题分析策略|衔接中考命题趋势，提升创新意识与应用能力|

第一次月考压轴题汇总 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、坐标与几何图形综合（求点坐标、面积）【月考必考压轴小问】 题型二、点的平移与对称综合 题型三、坐标规律探究（周期动点）【填空压轴】 题型四、距离相等、到坐标轴距离 题型五、一次函数与坐标轴围成三角形面积【基础压轴第一问】 题型六、两直线相交综合（交点、面积、不等式解集）【高频月考】 题型七、一次函数背景下面积存在性问题【月考压轴第 2 问】 题型八、一次函数动点分段函数（运动过程函数图象） 题型九、一次函数新定义压轴 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 通法1 点与坐标互化。由点写坐标：过点向两轴作垂线，先读横坐标、后读纵坐标；由坐标找点：先在 x 轴上取横坐标作垂线，再在 y 轴上取纵坐标作垂线，两垂线交点即所求点。 通法2 用符号特征判断位置。“符号定象限，数值定距离”：横、纵坐标的正负组合唯一决定点所在象限（含是否在坐标轴上），距离由坐标的绝对值决定。 通法3 距离问题先取绝对值。凡问“到 x 轴（y 轴）的距离”，一律给对应坐标加绝对值；由距离反求坐标时，坐标可取正、负两个值，须按象限分类讨论。 通法4 平移口诀。“左减右加、下减上加”：平移只改变对应方向的坐标，另一坐标不变；图形平移就是每个点按同一规则变化。 通法5 割补法求面积。坐标平面内求三角形面积，优先找平行于坐标轴的边作底，用第三个顶点到该边所在直线的距离作高；不规则图形用“补形”（矩形或梯形减空白）或“分割”处理。 通法6 数形结合。把点、图形先画在坐标系中再观察，符号、距离、面积、位置关系一目了然；遇到含参数的点，先标出可能位置再讨论。 通法7 函数关系判断。抓“唯一对应”：给定 x 后 y 是否唯一确定；图像上可用“竖线检验法”——作平行于 y 轴的直线，与图像的交点最多一个才是函数图像。 通法8 自变量取值范围。“三看”：一看分母（≠0），二看偶次根号（被开方数 ≥0），三看实际意义；多个条件取交集。 通法9 由图像读信息。先认清横、纵轴表示的量与单位，再找起点、终点、转折点；交点通常表示“相等、相遇、达到同一水平”；水平段表示该量保持不变。 通法10 待定系数法。两个独立条件定两个参数：两对 x、y 值，或“一个点＋增减性”，或“一个点＋与已知直线平行”。 通法11 直线平移。“上加下减、左加右减”：y=kx+b 向上（下）平移 m 个单位 → y=kx+b±m；向左（右）平移 m 个单位 → y=k（x±m）+b。平移不改变 k。 通法12 交点与方程组。求两直线交点→联立解方程组；已知交点在某直线上→把交点坐标代入该直线解析式求参数。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、坐标与几何图形综合（求点坐标、面积）【月考必考压轴小问】 【典例1】．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，这是蜡烛的平面镜成像原理图，以水平面为轴，镜面侧面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．若某时刻火焰顶端S的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，求的值． 【典例2】．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，把平移得到，点平移后的对应点为． (1)画出； (2)写出点的坐标． 【变式1】．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点就是小正方形的格点，将向右平移2个单位长度再向下平移1个单位长度，得到． (1)请在方格纸中画出平移后的； (2)若以点为坐标原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为_____． (3)求平移过程中，线段扫过的面积． 【变式2】．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形的各顶点坐标分别为，，，． (1)将四边形沿x轴负方向平移2个单位长度，得到四边形，画出平移后的图形，并写出它各个顶点的坐标． (2)将四边形沿y轴正方向平移3个单位长度，得到四边形，画出平移后的图形，并写出它各个顶点的坐标． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，且点，在直线上．我们可以用面积法求点的坐标． 【问题探究】 （1）请阅读并填空： 过点作轴于点，我们可以由点，的坐标，直接得出三角形的面积为 ； 过点作轴于点，，． ， ∴可得关于的一元一次方程为，解这个方程，可得点的坐标为 ； 【问题迁移】 （2）请你仿照（1）中的方法，求点的纵坐标； 【问题拓展】 （3）若点在直线上，的面积等于，求点的坐标． 题型二、点的平移与对称综合 【典例3】．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、B、C的坐标分别为，，如果将先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，会得到点、、分别为点A、B、C移动后的对应点． (1)请直接写出点、、的坐标； (2)请在图中画出三角形，并直接写出的面积． 【典例4】．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)当时，点在第______象限； (2)将点向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到点，当点在第二象限时，求的取值范围． 【典例5】．（25-26八年级上·安徽宣城·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，点是的边上任意一点，经过平移后得到，点的对应点为． (1)在图中画出平移后的； (2)求的面积． 【变式1】．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）的位置如图所示，现将平移，使点移到点的位置． (1)请画出平移后的，并写出点的对应点的坐标______； (2)若内部一点的坐标为，则点的对应点的坐标是______． 【变式2】．（25-26八年级上·安徽滁州·阶段检测）与在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）分别写出下列各点的坐标：______，______； （2）是由经过怎样的平移得到的？ （3）求出的面积． 【变式3】．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)将平移，平移后点的对应点为，画出平移后的； (2)画出，关于轴对称的； (3)求的面积． 题型三、坐标规律探究（周期动点）【填空压轴】 【典例6】．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）在平面直角坐标系中，点经过变换得到点，该变换记为，其中，例如：． （1）_____． （2）若，则_____． 【典例7】．（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段检测）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入一个固定的循环圈，这就是“冰雹猜想”．例如，某点坐标为，经过1次运算后得到点，经过2次运算后得到点． （1）点经过3次运算后得到点_____． （2）已知点的坐标为，经过2025次运算后得到的点的坐标为________． 【典例8】．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，那么我们把点与点称为点的一对“和谐点”．例如，点的一对“和谐点”是点与点， （1）若点的一对“和谐点”重合，则的值为______ （2）若点的一个“和谐点”坐标为，则点的坐标为______． 【变式1】．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，按的方向运动，每运动1个单位长度会改变一次方向． (1)直接写出下列坐标：______，______，______； (2)点P第2000次运动的方向是______．（选填“向上”“向右”或“向下”） 【变式2】．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）在由边长为1的小正方形组成的网格中，建立如图所示平面直角坐标系，原点O、的顶点都在小正方形的顶点上． (1)将向右平移，得到，使得点的坐标为，在图中画出，并写出的面积：______． (2)将向右平移，得到，继续将向右平移，得到，……使得点，，……的坐标分别为，，……，则点的坐标为______． 【变式3】．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段检测）在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，速度为每秒1个单位长度，且点P只能向上或向右运动，请回答下列问题： (1)将表格填写完整： 点P出发时间 可得到整数点的坐标 可得到整数点的个数 1秒 ， 2 2秒 ，， 3 3秒 4 (2)当点P从点O出发11秒时，可得到的整数点的个数是 ． (3)当点P从点O出发 秒时，可得到整数点． 题型四、距离相等、到坐标轴距离 【典例9】．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知点，且点到轴、轴的距离相等，求点的坐标． 【典例10】．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上，求出点的坐标； (2)若第三象限的点到轴和轴的距离相等，求出点的坐标． 【典例11】．在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为． (1)若点Q的坐标为，且直线轴，求点P的坐标； (2)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a的值． 【变式1】．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)当轴时，求点A、点B的坐标； (2)当点C到y轴的距离为2时，求点C的坐标． 【变式2】．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点在轴上，求此时点的坐标； (2)若点到轴的距离与到轴的距离相等，求点的坐标． 【变式3】．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点的坐标为，且轴，求点的坐标． (2)若点到轴的距离为，求的值． 题型五、一次函数与坐标轴围成三角形面积【基础压轴第一问】 【典例12】．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式1】．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段检测）若一次函数与坐标轴围成的三角形面积为9，则这个一次函数的解析式为__________． 【变式2】．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）正比例函数的图象与一次函数的图象交于点 (1)求的值； (2)求正比例函数、一次函数的图象与轴围成的三角形的面积． 【变式3】．（25-26八年级上·安徽淮南·阶段检测）下表是一次函数（，为常数，）中与的两组对应值． 1 1 3 (1)求和的值； (2)求该一次函数的图象与轴、轴围成的三角形的面积． 题型六、两直线相交综合（交点、面积、不等式解集）【高频月考】 【典例13】．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与直线相交于点． (1)求的值； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【典例14】．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)直接写出不等式组的解集_____． 【变式1】．（24-25八年级·安徽阜阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)直接写出当时，的取值范围． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，直线经过和两点，直线与直线相交于点P，与y轴相交于点C． (1)求直线的解析式． (2)求时x的取值范围． 【变式3】．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与直线交于点，、分别与x轴交于点B、C，且的面积等于9． (1)求k，b，m的值； (2)当时，x的取值范围是 ． 题型七、一次函数背景下存在性问题【月考压轴第 2 问】 【典例15】．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且满足关系式． (1)求三点的坐标； (2)若在第四象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与直线交于点，与y轴交于点B． (1)___________；不等式的解集为___________． (2)y轴上是否存在一点P，使得的面积为6，若不存在请说明理由，若存在请求出P的坐标． (3)若点在线段上，点在直线上，求的最小值． 【变式2】．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，直线与直线交于点，与轴交于点． (1)_____，不等式的解集为_____； (2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． (3)在直线上是否存在一点，使得的面积为6，若不存在，请说明理由，若存在，请求出点的坐标． 【变式3】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知直线与直线交于点分别与轴和轴交于两点． (1)填空：关于的不等式的解集是_____； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，并求出点的坐标，若不存在，请说明你的理由． 题型八、一次函数动点分段函数（运动过程函数图象） 【典例16】．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）甲、乙两人登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的3倍，并先到达山顶．根据图象所提供的信息，下列说法正确的有（   ） ①甲登山的速度是每分钟米； ②乙在A地时距地面的高度为米； ③乙登山分钟时追上甲； ④登山时间为分钟，分钟或分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为米． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例17】．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）已知甲、乙两车分别从，两地同时出发，沿同一条公路相向而行，相遇时甲、乙所走路程的比为，甲、乙两车离，两地中点的路程（千米）与甲车出发时间（时）的关系图象如图所示.解答下列问题： （1），两地之间的距离为_____千米； （2）的值为_____． 【典例18】．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，慢车先出发，设先发车辆行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象解决以下问题： (1)慢车的速度为______，快车的速度为______； (2)解释图中点D的实际意义并求出点D的坐标； (3)求当x为多少时，两车之间的距离为． 【变式1】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）周末，小华骑自行车从家里出发到植物园游玩，从家出发0.5小时后，因自行车损坏修理了一段时间后，按原速前往植物园，小华离家1小时20分钟后，爸爸开车沿相同路线前往植物园，如图是他们离家的路程与小华离家时间的函数图象．已知爸爸开车的速度是小华骑车速度的3倍，若爸爸比小华早10分钟到达植物园，下列说法哪项是错误的是（   ） A．小华的速度是 B．爸爸离家的路程y与小华离家的时间x之间的函数表达式： C．爸爸在出发25分钟后与小华相遇 D．小华家到植物园的距离是 【变式2】．某景区的同一线路上依次有，，三个景点（如图1），小兴从景点出发，步行米去景点，共用时分钟；同时，桐桐以每分钟米的速度从景点出发，步行米到达景点，休息分钟后，桐桐改成骑电动车去景点，结果桐桐比小兴早分钟到达景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为（分），两人各自距景点的路程（米）与（分）之间的函数图象如图2所示． (1)________，并说出的实际意义________________； (2)求桐桐骑车时距景点的路程（米）与（分）之间的函数表达式（不必写出的取值范围）； (3)桐桐到达景点，休息分钟再次出发后，当________时，两人相距米． 【变式3】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）妈妈骑车从家出发到距家米的超市买菜，同时菲菲也放学从学校步行往家走（其中家、学校、超市在一条笔直的马路上，且学校在家和超市之间）．分钟后菲菲和妈妈相遇，随后两人继续按原速往各自的目的地前进，妈妈到达超市后花分钟买完菜，再按原路原速回家，不一会儿就追上了菲菲，妈妈到家分钟后菲菲才到家．如图是两人离家的距离y（米）与出发时间x（分）之间的函数图象，根据图象信息解答下列问题： (1)________；________； (2)请直接写出妈妈离家的距离y（米）与出发时间x（分）之间的函数关系式________； (3)求菲菲与妈妈恰好相距米时x的值． 题型九、一次函数新定义压轴 【典例19】．（2025八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）新定义：为一次函数（，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”为的一次函数是正比例函数，则点在第______象限． 【典例20】．新定义：为一次函数（a，b为常数，且）关联数．若关联数所对应的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为______． 【变式1】．新定义为一次函数（，a、b为实数）的“关联数”． (1)若“关联数”的一次函数为正比例函数，求k的值． (2)已知直角坐标系中点，点，求图象过A、B两点的一次函数的关联数． 【变式2】．（24-25八年级上·安徽六安·期中）新定义：关于x的一次函数，我们称函数为一次函数的“m变函数”（其中m为常数）． 例如：关于x的一次函数的“3变函数”为． 关于x的一次函数的“1变函数”为，关于x的一次函数的“m变函数”为，若函数和函数有且仅有两个交点，则m的取值范围是_______． 【变式3】．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）新定义：对于关于的一次函数，我们称函数为一次函数的变函数（其中为常数）． 例如：对于关于的一次函数的3变函数为． (1)关于的一次函数的2变函数为，则当时， ． (2)关于的一次函数的1变函数为，关于的一次函数的变函数为，求函数和函数的交点坐标； (3)关于的一次函数的1变函数为，关于的一次函数的变函数为． ①当时，函数的取值范围是 （直接写出答案）． ②若函数和函数有且仅有两个交点，则m的取值范围是 （直接写出答案）． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26八年级上·安徽宣城·期中）定义：在平面直角坐标系中，若点到轴、轴的距离和为1，则称点为“励志点”．例如：点到轴、轴距离和为1，则点是“励志点”，点，也是“励志点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“励志点”，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，内部有一点，若将先向右平移，再向下平移，平移后点对应点的坐标是．若点的坐标是，则平移后点对应的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·安徽六安·期末）一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为（单位：），两车之间的距离为（单位：）．图中的折线表示与之间的函数关系：下列结论： ①； ②当动车到达终点时，普通列车距离甲地； ③普通列车行驶时，到达终点甲地． 其中正确的是（　　）． A．①② B．①②③ C．①③ D．②③ 4．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）我们把平面上纵坐标是横坐标两倍的点称为“两倍点”，如：点，点．下列关于“两倍点”的说法中，错误的是（   ）． A．一次函数上有两倍点 B．所有的两倍点都在同一条直线上 C．第四象限中不存在两倍点 D．所有的一次函数上都有两倍点 5．（25-26八年级上·安徽·期末）如图①，在长方形中，点M从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿的方向运动到点D，的面积y与运动时间t的函数关系如图②所示，当的面积为3时，t的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段检测）将一次函数的图像位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，和一次函数图像位于轴及上方的部分组成“”型折线，过点作轴的平行线，直线交“”型折线于点；若线段，则的值是（ ） A．4 B．2 C．－2 D．8 7．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，已知函数图象与轴有且只有三个交点，分别是，，． ①当时，或；②当时，有最小值；③若点在函数图象上，则符合条件的的值有且只有3个；④将该函数图象向右平移1个或3个单位长度后得到的函数图象必经过原点．上述四个结论中正确的有（    ）    A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 8．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，已知直线与直线交于点，直线在轴上的截距为．过直线上一点作轴的垂线交直线于点，交直线于点．下列说法不正确的是（   ） A．， B．当时，或 C．当时， D．当时， 二、填空题 9．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）定义 “新运算问题”：对于有序数对定义如下的运算 “”：，对于点，若，则点在第______象限． 10．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知直线：经过，两点，直线． （1）若，则a的值为________； （2）当时，总有，则a的取值范围是________． 11．（24-25八年级·安徽淮南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，依次作正方形，正方形．正方形，使得点在直线上，点在轴的正半轴上，则点的坐标是___________． 12．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图所示，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示y与x之间的函数关系． （1）B点表示两车___________．（填“快车到达”或“慢车到达”或“相遇”） （2）点C的坐标为___________． 13．（25-26八年级上·安徽滁州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴的正半轴于两点，且． （1）的值为_____； （2）为第二象限内的一点，连接，交轴于点，连接，则的面积为_____（用含的式子表示）． 三、解答题 14．在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，给出如下定义：和两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k． (1)求点的“倾斜系数”k的值； (2)①若点的“倾斜系数”，请写出a和b的数量关系，并说明理由； ②若点的“倾斜系数”，且，求点P的坐标． 15．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，是由向右平移个单位长度得到的，且三个顶点，，的坐标分别为，，． (1)作出，并写出顶点的坐标 (2)求在整个平移的过程中，扫过的面积． 16．（25-26八年级上·安徽·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与y轴交于点B，与x轴交于点C，直线：与y轴交于点D，直线和直线相交于点A，已知A点纵坐标为2． (1)求点A的横坐标及k的值； (2)点M在直线上， 轴，交x轴于点N．若，求点M的坐标． 17．在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中作出了一次函数和的图象（如下图），两直线交于点，分别与轴交于两点．已知点，观察图象并回答下列问题： (1)关于的方程的解是____________；关于的不等式的解集是____________． (2)若点的坐标为，直接写出关于的不等式的解集并求出的面积． 18．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右、……的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标： （________，________）， （________，________）， （________，________）； (2)写出点的坐标（是正整数）； (3)指出蚂蚁从点到点的移动方向． 19．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）国庆假期，某出租车司机将3名游客从高铁站送往景点甲地，到达后立刻返回．出租车与高铁站的距离和所用时间之间的关系如图所示． (1)求出与之间的函数关系式； (2)求出租车出发4小时后距离景点甲地多远？ (3)在高铁站与景点甲地之间有一服务区乙地，出租车从去时途经乙地，到返回时再经过乙地，共用1小时50分钟，求高铁站与服务区乙地相距多远？ 20．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知直线，经过原点和点，直线经过点和点，求： (1)求和的函数关系式，并在同一坐标系中画出函数图象； (2)将和联立方程组，利用图象求方程组的解； (3)若两直线交于点，直线与轴交于点，试求的面积． 21．（25-26八年级上·安徽宣城·阶段检测）如图1，已知直线与轴分别交于点，直线与轴分别交于点，直线与交于点，已知的横坐标为． (1)求的值； (2)点在直线上，过点作直线平行于轴，交直线于点，若线段，求的值． (3)直线，在直线上分别取点，当时，恒成立，求的取值范围． 22．（25-26八年级上·安徽滁州·阶段检测）甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地．甲车出发小时后，乙车才沿相同的路线开始行驶，乙车先到达B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与甲车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇为止，两车之间的距离与乙车行驶时间的函数关系图象． (1)甲车的速度为_________，乙车的速度_________，A，B两地相距_________． (2)求a的值． (3)乙车从A地出发多久后第二次与甲车相遇？ (4)乙车从A地出发多久后两车相距？（直接写出答案） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次月考压轴题汇总 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、坐标与几何图形综合（求点坐标、面积）【月考必考压轴小问】 题型二、点的平移与对称综合 题型三、坐标规律探究（周期动点）【填空压轴】 题型四、距离相等、到坐标轴距离 题型五、一次函数与坐标轴围成三角形面积【基础压轴第一问】 题型六、两直线相交综合（交点、面积、不等式解集）【高频月考】 题型七、一次函数背景下面积存在性问题【月考压轴第 2 问】 题型八、一次函数动点分段函数（运动过程函数图象） 题型九、一次函数新定义压轴 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 通法1 点与坐标互化。由点写坐标：过点向两轴作垂线，先读横坐标、后读纵坐标；由坐标找点：先在 x 轴上取横坐标作垂线，再在 y 轴上取纵坐标作垂线，两垂线交点即所求点。 通法2 用符号特征判断位置。“符号定象限，数值定距离”：横、纵坐标的正负组合唯一决定点所在象限（含是否在坐标轴上），距离由坐标的绝对值决定。 通法3 距离问题先取绝对值。凡问“到 x 轴（y 轴）的距离”，一律给对应坐标加绝对值；由距离反求坐标时，坐标可取正、负两个值，须按象限分类讨论。 通法4 平移口诀。“左减右加、下减上加”：平移只改变对应方向的坐标，另一坐标不变；图形平移就是每个点按同一规则变化。 通法5 割补法求面积。坐标平面内求三角形面积，优先找平行于坐标轴的边作底，用第三个顶点到该边所在直线的距离作高；不规则图形用“补形”（矩形或梯形减空白）或“分割”处理。 通法6 数形结合。把点、图形先画在坐标系中再观察，符号、距离、面积、位置关系一目了然；遇到含参数的点，先标出可能位置再讨论。 通法7 函数关系判断。抓“唯一对应”：给定 x 后 y 是否唯一确定；图像上可用“竖线检验法”——作平行于 y 轴的直线，与图像的交点最多一个才是函数图像。 通法8 自变量取值范围。“三看”：一看分母（≠0），二看偶次根号（被开方数 ≥0），三看实际意义；多个条件取交集。 通法9 由图像读信息。先认清横、纵轴表示的量与单位，再找起点、终点、转折点；交点通常表示“相等、相遇、达到同一水平”；水平段表示该量保持不变。 通法10 待定系数法。两个独立条件定两个参数：两对 x、y 值，或“一个点＋增减性”，或“一个点＋与已知直线平行”。 通法11 直线平移。“上加下减、左加右减”：y=kx+b 向上（下）平移 m 个单位 → y=kx+b±m；向左（右）平移 m 个单位 → y=k（x±m）+b。平移不改变 k。 通法12 交点与方程组。求两直线交点→联立解方程组；已知交点在某直线上→把交点坐标代入该直线解析式求参数。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、坐标与几何图形综合（求点坐标、面积）【月考必考压轴小问】 【典例1】．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，这是蜡烛的平面镜成像原理图，以水平面为轴，镜面侧面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．若某时刻火焰顶端S的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，求的值． 【答案】1 【知识点】代入消元法、写出直角坐标系中点的坐标、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，解二元一次方程组，代数式求值， 根据题意可知两个点关于y轴对称，再根据关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相同得出方程组，求出方程组的解，再求出待求式的值即可． 【详解】解：与关于轴对称 ， 解得：， ． 【典例2】．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，把平移得到，点平移后的对应点为． (1)画出； (2)写出点的坐标． 【答案】(1) 平移后的图像如下： (2) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、平移(作图) 【分析】本题主要考查了网格中图形的平移，平移是坐标的变化规律，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）根据点的坐标变化，确定平移的路径，然后画出平移后的图形即可； （2）根据平移后的图形写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵点平移后的对应点为， ∴可以看作先向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度； （2）解：通过图形可得， ． 【变式1】．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点就是小正方形的格点，将向右平移2个单位长度再向下平移1个单位长度，得到． (1)请在方格纸中画出平移后的； (2)若以点为坐标原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为_____． (3)求平移过程中，线段扫过的面积． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) (3)6 【知识点】利用平移的性质求解、写出直角坐标系中点的坐标、平移(作图) 【分析】本题考查作图——平移变换，平移变换的性质，平面直角坐标系，解题的关键是掌握相关知识的应用． （1）利用平移变换的性质分别作出的对应点即可； （2）根据题意构建平面直角坐标系，写出的坐标即可； （3）线段扫过的面积即为两个平行四边形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：平面直角坐标系如图所示，． 故答案为：； （3）解：如图，平移过程中，线段扫过的面积． 【变式2】．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形的各顶点坐标分别为，，，． (1)将四边形沿x轴负方向平移2个单位长度，得到四边形，画出平移后的图形，并写出它各个顶点的坐标． (2)将四边形沿y轴正方向平移3个单位长度，得到四边形，画出平移后的图形，并写出它各个顶点的坐标． 【答案】(1) 解：所作四边形如图所示： ∴； (2) 解：所作四边形如图所示： ∴． 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、平移(作图) 【分析】本题主要考查图形的平移及坐标的平移，熟练掌握点的坐标平移是解题的关键； （1）根据平移方式确定各个点的坐标，然后作图即可； （2）根据平移方式确定各个点的坐标，然后作图即可． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，且点，在直线上．我们可以用面积法求点的坐标． 【问题探究】 （1）请阅读并填空： 过点作轴于点，我们可以由点，的坐标，直接得出三角形的面积为 ； 过点作轴于点，，． ， ∴可得关于的一元一次方程为，解这个方程，可得点的坐标为 ； 【问题迁移】 （2）请你仿照（1）中的方法，求点的纵坐标； 【问题拓展】 （3）若点在直线上，的面积等于，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）或 ． 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】（1）利用三角形面积公式，结合、坐标求面积；再依据列方程求，确定坐标． （2）用面积法（通过等面积关系）求纵坐标． （3）根据面积公式列方程求横坐标，再代入直线解析式求纵坐标，确定坐标． 本题考查平面直角坐标系中三角形面积计算、点坐标求解．关键是熟练运用三角形面积公式，结合点的坐标特征，通过“面积关系列方程”或“代入解析式”解题． 【详解】解：（1）∵ ∴， ∵， ∴． ∴． ∵，． ∴， 解得， ∴． （2）如图，过点作轴，轴，则， ，， ∴ 解得 ∴； （3）设，则为到轴距离， ∵， ∴． 由，，即， 解得或． 当时，如图过作轴，轴， ，， ∴， 解得． ∴． 当时，同理可得． ∴． 综上点的坐标为或． 题型二、点的平移与对称综合 【典例3】．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、B、C的坐标分别为，，如果将先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，会得到点、、分别为点A、B、C移动后的对应点． (1)请直接写出点、、的坐标； (2)请在图中画出三角形，并直接写出的面积． 【答案】(1)，、 (2)图见解析， 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标、平移(作图)、利用网格求三角形面积 【分析】（1）根据点的坐标的平移规律可得； （2）依据所得点的坐标，描点后首尾顺次连接即可得，再根据三角形的面积公式可得答案． 【详解】（1）解：根据题意知，点的坐标为）、的坐标为、的坐标为； （2）解：如图所示，即为所求， ． 【点睛】本题主要考查作图-平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质，并根据平移变换的定义和性质得出变换后的对应点位置． 【典例4】．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)当时，点在第______象限； (2)将点向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到点，当点在第二象限时，求的取值范围． 【答案】(1)四 (2) 【知识点】判断点所在的象限、已知点所在的象限求参数、求不等式组的解集、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的特点，不等式组解集，掌握平面直角坐标系是关键． （1）把代入得到，结合平面直角坐标系的特点即可求解； （2）根据点的平移得到，结合第二象限点的符号特点列式计算即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴点在第四象限， 故答案为：四； （2）解：由题意得点坐标为，即， ∵点在第二象限， ，解得， 的取值范围为． 【典例5】．（25-26八年级上·安徽宣城·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，点是的边上任意一点，经过平移后得到，点的对应点为． (1)在图中画出平移后的； (2)求的面积． 【答案】(1) 由于在平移后的对应点为，故平移方式为向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度， 作图如下： (2)7 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式、利用网格求三角形面积、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查坐标系中图形的平移，作差法求坐标系中图形的面积，根据点P的对应点坐标，找到平移方式是解题关键． （1）根据点的坐标，找到平移方式，再根据平移方式画出图形即可； （2）通过作差法，用大长方形面积减去三个小三角形的面积即可． 【详解】（1） 略 （2）由图可知，， 故的面积为7． 【变式1】．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）的位置如图所示，现将平移，使点移到点的位置． (1)请画出平移后的，并写出点的对应点的坐标______； (2)若内部一点的坐标为，则点的对应点的坐标是______． 【答案】(1) 如图所示： (2) 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查坐标系中图形的平移与坐标变化，熟练掌握坐标系中图形的平移规律是解题的关键， （1）根据点移到点，得到平移规律，从而得到答案； （2）根据（1）中的平移规律即可得到答案． 【详解】（1）解：由图可得：，，， ∵点移到点， ∴平移规律为：横坐标向左平移5个单位，纵坐标向下平移2个单位， ∴，， 依次连接，即可得到， 故答案为： （2）解：∵点为内部的点， ∴根据（1）中的平移规律可得：， 故答案为：． 【变式2】．（25-26八年级上·安徽滁州·阶段检测）与在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）分别写出下列各点的坐标：______，______； （2）是由经过怎样的平移得到的？ （3）求出的面积． 【答案】（1），（2）由经过向左平移个单位，向下平移个单位得到的（3） 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、利用网格求三角形面积、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查坐标与图形，坐标系下的图形平移，利用方格纸求面积，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）直接写出点的坐标即可； （2）观察图形可知，是由经过向左平移个单位，向下平移个单位得到的； （3）如图，将所求三角形面积组合为长方形面积减去其余三角形的面积即可求解． 【详解】解：（1）观察图形，则，； 故答案为：，； （2）是由经过向左平移个单位，向下平移个单位得到的； （3）． 故的面积为． 【变式3】．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)将平移，平移后点的对应点为，画出平移后的； (2)画出，关于轴对称的； (3)求的面积． 【答案】(1)如图，即为所求． (2) 如图，即为所求． (3) 2.5 【知识点】画轴对称图形、已知点平移前后的坐标，判断平移方式、平移(作图)、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查的是画平移图形，轴对称图形，坐标与图形面积； （1）先确定平移方式，再分别确定的对应点，再顺次连接即可； （2）分别确定关于轴对称的对称点，再顺次连接即可； （3）利用割补法由长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴平移方式为：向左平移3个单位，向上平移3个单位； （2）略 （3）解：的面积． 题型三、坐标规律探究（周期动点）【填空压轴】 【典例6】．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）在平面直角坐标系中，点经过变换得到点，该变换记为，其中，例如：． （1）_____． （2）若，则_____． 【答案】 1 【知识点】加减消元法、点坐标规律探索 【分析】本题考查新定义下的坐标变换，解二元一次方程组．掌握相关知识是解决问题的关键． （1）直接代入变换公式计算； （2）先求的表达式，再代入的变换公式，得到关于和的方程组，进而求解． 【详解】解：（1）由变换公式 ， ，代入 ， ： ， 故 ； 故答案为：； （2）设 ，则 ， ， ， 已知 ， ∴，解得：， ∵， ， ∴， 解得； ∴ ． 故答案为 1． 【典例7】．（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段检测）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入一个固定的循环圈，这就是“冰雹猜想”．例如，某点坐标为，经过1次运算后得到点，经过2次运算后得到点． （1）点经过3次运算后得到点_____． （2）已知点的坐标为，经过2025次运算后得到的点的坐标为________． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查坐标规律，理解题意，按照规则找出规律是解决问题的关键． （1）按照题目要求的规则计算即可得到答案； （2）按照题目要求的规则计算即可得到规律：每经过3次运算，点按照规则运算的结果又是，再由即可得到答案． 【详解】解：（1）点， 经过1次运算：； 经过2次运算：； 经过3次运算：； 故答案为：； （2）点， 经过1次运算：； 经过2次运算：； 经过3次运算：； 由上述运算过程可知，每经过3次运算，点按照规则运算的结果又是， ， 点的坐标为，经过2025次运算后得到的点的坐标为， 故答案为：． 【典例8】．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，那么我们把点与点称为点的一对“和谐点”．例如，点的一对“和谐点”是点与点， （1）若点的一对“和谐点”重合，则的值为______ （2）若点的一个“和谐点”坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 6 或 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题是新定义问题，考查了坐标与图形，关键是理解题中“和谐点”的含义． （1）根据“和谐点”的含义及两点重合即可完成； （2）设点C的坐标为，根据“和谐点”的含义分两种情况即可完成． 【详解】解：（1）由题意得：， 点的一对“和谐点”坐标是与， 又点的一对“和谐点”重合， ， ， 故答案为：6； （2）设点C的坐标为， 若点的一个“和谐点”坐标为， 则， ， ； 若点的另一个“和谐点”坐标为， 则， ， ； 综上所述，点C的坐标为或． 【变式1】．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，按的方向运动，每运动1个单位长度会改变一次方向． (1)直接写出下列坐标：______，______，______； (2)点P第2000次运动的方向是______．（选填“向上”“向右”或“向下”） 【答案】(1)，， (2)向上 【知识点】点坐标规律探索 【分析】此题主要考查了点的变化规律，有一定难度，仔细观察图形，确定出都在x轴上是解题的关键． （1）观察图形可知，，，……都在x轴上，根据，，……这一规律，进而可以利用规律写出，，的坐标； （2）由题意可知点P移动的方向按“向右、向下、向右、向下、向右，向上，向右、向上”这一规律，8次一个循环，根据，可知点P第2000次运动的方向与第8次的移动方向一致，即可得答案． 【详解】（1）解：由图可知，，，……都在x轴上， ，，……， 点P移动的方向按“向右、向下、向右、向下、向右，向上，向右、向上”这一规律，8次一个循环， ，，； 故答案为：，， ； （2）解：由题意可知点P移动的方向按“向右、向下、向右、向下、向右，向上，向右、向上”这一规律，8次一个循环， ， 点P第2000次运动的方向与第8次的移动方向一致，向上， 故答案为：向上． 【变式2】．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）在由边长为1的小正方形组成的网格中，建立如图所示平面直角坐标系，原点O、的顶点都在小正方形的顶点上． (1)将向右平移，得到，使得点的坐标为，在图中画出，并写出的面积：______． (2)将向右平移，得到，继续将向右平移，得到，……使得点，，……的坐标分别为，，……，则点的坐标为______． 【答案】(1) 如图，即为所求， 3 (2) 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式、平移(作图)、点坐标规律探索、利用网格求三角形面积 【分析】该题考查了平移作图，点坐标规律探究，三角形面积计算，解题的关键是找到点的规律 （1）根据平移的性质的画图即可得出，再根据围成的矩形的面积减去三个三角形的面积即可求出的面积． （2）根据题意得出，，根据规律解答即可． 【详解】（1）解：的面积． 故答案为：； （2）解：根据题意得出， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式3】．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段检测）在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，速度为每秒1个单位长度，且点P只能向上或向右运动，请回答下列问题： (1)将表格填写完整： 点P出发时间 可得到整数点的坐标 可得到整数点的个数 1秒 ， 2 2秒 ，， 3 3秒 4 (2)当点P从点O出发11秒时，可得到的整数点的个数是 ． (3)当点P从点O出发 秒时，可得到整数点． 【答案】(1)，，， (2)12 (3)36 【知识点】图形类规律探索、点坐标规律探索 【分析】此题考查了平面直角坐标系中的规律问题解决能力，关键是能根据题目要求确定符合条件的点的坐标，并归纳出相关规律． （1）根据点的运动规律求解； （2）根据题意归纳出当点从点出发秒，可得到的整数点的个数是个，据此可求解； （3）由题意可得当点从点出发秒，可得到的整数点都在直线上，将整数点代入计算即可． 【详解】（1）解：（1）∵点P从原点O出发，速度为每秒1个单位长度，且点P只能向上或向右运动， ∴点P从点出发1秒，整数点的坐标，， 点P从点出发2秒，整数点的坐标，，， ∴当点从点出发3秒，可得到的整数点为，，，， 故答案为：，，，； （2）解：由表可得：点P从点出发1秒，可得到整数点的个数为2个， 点P从点出发2秒，可得到整数点的个数为3个， 点P从点出发3秒，可得到整数点的个数为4个， … 点从点出发秒，可得到的整数点的个数是个， ∴当时，则， 当点从点出发11秒，可得到的整数点的个数是12， 故答案为：12； （3）解：点P从点出发1秒，整数点的坐标，，都要在直线上， 点P从点出发2秒，整数点的坐标，，，都要在直线上， 点P从点出发3秒，整数点的坐标，，，，都要在直线上， … 当点从点出发秒，可得到的整数点都在直线上， 把代入，得， 解得， 当点从点出发36秒时，可得到整数点， 故答案为：36． 题型四、距离相等、到坐标轴距离 【典例9】．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知点，且点到轴、轴的距离相等，求点的坐标． 【答案】点的坐标为或 【知识点】绝对值的其他应用、求点到坐标轴的距离 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，绝对值方程的计算，根据点到坐标轴的距离相等可得，，根据绝对值方程即可求解． 【详解】解：∵点到轴、轴的距离相等， ∴， ∴或， 解得或． 当时，，； 当时，，． ∴点的坐标为或． 【典例10】．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上，求出点的坐标； (2)若第三象限的点到轴和轴的距离相等，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知点所在的象限求参数、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，在x轴上的点的坐标特点，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据点P在x轴上，得到，解答即可； （2）根据点P到x轴和y轴的距离相等，得到，解答即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ， （2）解：由题意得，，且， 解得， 当时，，， 故此时． 【典例11】．在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为． (1)若点Q的坐标为，且直线轴，求点P的坐标； (2)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a的值． 【答案】(1)点P的坐标为 (2)a的值为 【知识点】已知点所在的象限求参数、写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点坐标的性质，根据不同的情形求解点的坐标是解题的关键． （1）根据轴的已知条件，利用平行时横坐标相同求出a的值，进而即可得到点P的坐标； （2）根据点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等的已知条件，列出方程求解a的值即可． 【详解】（1）解：∵直线轴，，， ∴解得， ∴， ∴点P的坐标为； （2）解：∵点P到x轴、y轴的距离相等， ∴， ∵点P在第二象限， ∴，， ∴， 解得， ∴a的值为． 【变式1】．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)当轴时，求点A、点B的坐标； (2)当点C到y轴的距离为2时，求点C的坐标． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为 (2)点C的坐标为或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】本题主要考查点的坐标与图形的性质，掌握点到坐标轴的距离，线段平行的性质是解题的关键． （1）根据平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等得到，解出a的值再代入，即可求解． （2）根据点到y轴的距离等于横坐标的绝对值列式，即可求解． 【详解】（1）解：轴， ，解得， ， 点A的坐标为，点B的坐标为． （2）∵点C到y轴的距离为2， ，解得或2， 点C的坐标为或． 【变式2】．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点在轴上，求此时点的坐标； (2)若点到轴的距离与到轴的距离相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了写出直角坐标系中点的坐标，求点到坐标轴的距离，其他问题(一元一次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据点在轴上，列出关于的方程求解，再求出点的坐标； （2）根据点到轴的距离与到轴的距离相等，列出关于的方程求解，再求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵点在轴上，， ∴， ∴， ∴， ∴此时点的坐标为； （2）∵点到轴的距离与到轴的距离相等，， ∴， 当时， 解得：， ∴，， ∴点的坐标为； 当时， 解得：， ∴ ， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【变式3】．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点的坐标为，且轴，求点的坐标． (2)若点到轴的距离为，求的值． 【答案】(1)； (2)或． 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了坐标与平面，点到坐标轴的距离等知识点，解题的关键是熟练掌握平行于轴的直线上点横坐标相同和点到轴的距离是纵坐标的绝对值． （）根据平行于轴的直线上点横坐标相同列方程求解，即可求出坐标； （）点到轴的距离是纵坐标的绝对值列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，且轴，点的坐标是， ∴，解得， ∴， ∴点的坐标是； （2）解：∵点到轴的距离为， ∴，即， ∴或． 题型五、一次函数与坐标轴围成三角形面积【基础压轴第一问】 【典例12】．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【知识点】求直线围成的图形面积 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，结合一次函数的图象求出图象与x轴的交点以及y轴的交点，可求得图象与坐标轴所围成的三角形面积，熟知一次函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【详解】解：∵在中，令，则， ， ， 令，则， ∴一次函数的图象与x轴的交点，与y轴的交点， ∴， 故选：A． 【变式1】．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段检测）若一次函数与坐标轴围成的三角形面积为9，则这个一次函数的解析式为__________． 【答案】或 【知识点】求直线围成的图形面积 【分析】先求出函数图象与两坐标轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式求解即可得出答案． 【详解】一次函数中 令，则 令，则 这个一次函数的解析式为或． 【点睛】本题考查了求直线围成的图形面积，解题的关键是求出交点坐标． 【变式2】．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）正比例函数的图象与一次函数的图象交于点 (1)求的值； (2)求正比例函数、一次函数的图象与轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，涉及图象上点的坐标特征，直线与x轴的交点问题，直线围成的三角形面积问题． （1）把点代入两个函数表达式中，即可求解的值； （2）先求出交点P，再求出直线与轴交点坐标，再由三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：把点代入两个函数表达式中， 得 解得； （2）解：由（1）得，所以， 所以围成的三角形的高就是2， 令， 解得， 即一次函数与轴的交点坐标为， 所以正比例函数、一次函数的图象与轴围成的三角形的面积为． 【变式3】．（25-26八年级上·安徽淮南·阶段检测）下表是一次函数（，为常数，）中与的两组对应值． 1 1 3 (1)求和的值； (2)求该一次函数的图象与轴、轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)， (2)2 【知识点】求一次函数解析式、求直线围成的图形面积 【分析】本题考查一次函数解析式、与坐标轴的三角形面积问题，熟练掌握利用待定系数法求解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出和的值即可； （2）由（1）可得一次函数，求出与轴、轴的交点坐标，进而得到该一次函数的图象与轴、轴围成的三角形的面积． 【详解】（1）解：将和代入一次函数得， ， 解得； （2）解：由（1）可得一次函数， 令得，，令得，即， 则该一次函数的图象与轴、轴的交点坐标分别为、， 该一次函数的图象与轴、轴围成的三角形的面积为：． 题型六、两直线相交综合（交点、面积、不等式解集）【高频月考】 【典例13】．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与直线相交于点． (1)求的值； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的交点问题，一次函数与不等式，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）把代入可求出的值，进而得到点的坐标，再把点的坐标代入可求出m的值； （2）结合函数图象，找出直线在直线的下方（含交点）所对应的自变量的范围即可； 【详解】（1）解：把代入，得 ， ∴, ∴， 把代入，得 ， ∴， （2）解：由函数图象可得，当时，， ∴不等式的解集为； 【典例14】．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)直接写出不等式组的解集_____． 【答案】(1)直线为，直线； (2)． 【知识点】求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式、两条直线相交或平行问题，解题时要能利用数形结合是关键． （1）先将点分别代入直线和直线，求出的值，再代入即可； （2）依据题意得，不等式组的解集是直线在直线的下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围，从而结合函数图象即可得解． 【详解】（1）解：∵直线和直线相交于点， ∴将代入直线中，得，即， 将代入直线中，得，即， ∴直线为，直线． （2）解：依据题意得，不等式组的解集是直线在直线下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围， ∵， ∴结合函数图象可得，． 【变式1】．（24-25八年级·安徽阜阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与不等式，求出交点坐标，并利用数形结合是解题的关键． （1）由直线求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）求得的坐标，当时，求的取值范围，即求的图象在轴及其上方，且在的图象下方时，对应的的取值范围． 【详解】（1）解：直线与直线交于点， ， ， 把代入， 得， 解得， 直线的解析式为． （2）解：令，则，解得， ， 由图象知，当时，即的图象在轴及其上方，且在的图象下方时，对应的的取值范围是． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，直线经过和两点，直线与直线相交于点P，与y轴相交于点C． (1)求直线的解析式． (2)求时x的取值范围． 【答案】(1)直线的解析式为 (2) 【知识点】求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式∶从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了待定系数法求一次函数解析式．利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）将点A和点B的坐标代入直线的解析式得到关于k、b的方程组，从而可求得k、b的值，于是可得到直线的解析式； （2）写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：把和代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：联立方程组， 解得， 则的取值范围为． 【变式3】．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与直线交于点，、分别与x轴交于点B、C，且的面积等于9． (1)求k，b，m的值； (2)当时，x的取值范围是 ． 【答案】(1)k，b，m的值分别为1，4， (2) 【知识点】求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形面积，一次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． （1）把点代入中，求得m的值，利用解析式求得C点的坐标，然后利用三角形面积公式求得B点的坐标，再将A，B两点坐标代入到中，求得k和b的值； （2）根据图象即可求得． 【详解】（1）∵直线交于点 ∴， ∴， ∴直线， 令，则，解得， ∴， ∵的面积等于9， ∴，即， ∴， ∴， 将A，B两点坐标代入到直线得， 解得， ∴k，b，m的值分别为1，4，； （2）观察图象，当时，x的取值范围是． 题型七、一次函数背景下存在性问题【月考压轴第 2 问】 【典例15】．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且满足关系式． (1)求三点的坐标； (2)若在第四象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； (2)； (3)存在，点的坐标为或． 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出的值，即可得出答案； （2）根据求解即可； （3）当时，，根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （2）解： ； （3）解：存在，设点的坐标为， 当时，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴点的坐标为或 【变式1】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与直线交于点，与y轴交于点B． (1)___________；不等式的解集为___________． (2)y轴上是否存在一点P，使得的面积为6，若不存在请说明理由，若存在请求出P的坐标． (3)若点在线段上，点在直线上，求的最小值． 【答案】(1)1， (2)存在，P坐标为或 (3) 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，一次函数与不等式组，一次函数的性质． （1）将点代入直线，即可求出k的值，从而得到直线的解析式，令，求出直线与x轴的交点，再根据数形结合思想求出不等式组的解集； （2）对于直线，令得，得到．设点P的坐标为，则，，根据的面积为6列出方程，求解即可； （3）根据题意得到，因此，根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：∵直线过点， 解得， ∴直线的解析式为， 令得，解得， ∴直线与x轴交点为， 不等式的解集为， 故答案为：1，； （2）解：存在，理由如下： 对于直线，令得， ∴． 设点P的坐标为，则， ∵， ∴当的面积为6时，， 解得或， ∴P坐标为或． （3）解：∵点在线段上，点在直线上， ， ， ， ∴当时，取得最小值，为． 【变式2】．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，直线与直线交于点，与轴交于点． (1)_____，不等式的解集为_____； (2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． (3)在直线上是否存在一点，使得的面积为6，若不存在，请说明理由，若存在，请求出点的坐标． 【答案】(1)1； (2) (3)存在；或 【知识点】求直线围成的图形面积、一次函数与几何综合、求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了一次函数的解析式求解、一次函数与不等式的关系、一次函数的最值问题以及三角形面积的计算，熟练掌握一次函数的图象与性质，结合数形结合思想和分类讨论思想解题是解题的关键． （1）将点代入直线的解析式求值；再结合函数图象，确定不等式的解集． （2）先根据点在线段上、点在直线上，分别写出和的表达式，再构造的函数，结合自变量的取值范围求最大值． （3）先求出点的坐标，设出点的坐标，分点在轴下方和上方两种情况，利用面积关系列方程求解． 【详解】（1）解：∵ 点在直线上， ∴ ， 解得 ， ∵ 不等式， ∴ 解得 ， 解得 ， ∴ 不等式的解集为； （2）解：由（1）知：点在线段上，点在直线上， ，， ， ，， 当时，有最大值， 的最大值为； （3）解：存在．直线，令得， ． 点在直线上，设点坐标为， ①当时，点在轴的下方, ， 解得，点坐标为， ②当时，点在轴的上方, ， 解得，此时点坐标为． 点的坐标为或． 【变式3】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知直线与直线交于点分别与轴和轴交于两点． (1)填空：关于的不等式的解集是_____； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，并求出点的坐标，若不存在，请说明你的理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【知识点】求直线围成的图形面积、求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，根据两条直线的交点坐标求出不等式的解集，根据轴对称求出线段和最小， 对于（1），根据直线在直线上方时，自变量的取值即可不等式的解集解答； 对于（2），先求出点，再求出直线的关系式，然后求出点最后根据面积公式可得答案； 对于（3），作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为所求的点，再求出直线的表达式，然后令，求得，可得答案． 【详解】（1）解：由图可知，当时，， ∴不等式的解集是． 故答案为：； （2）解：将点代入中，得：， ． 代入中， 得：， 解得：， ， 当时，， 当时，， ； （3）解：作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为所求的点， 设的表达式为，代入点、，得： ， 直线的表达式为． 令，求得， 点的坐标为． 题型八、一次函数动点分段函数（运动过程函数图象） 【典例16】．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）甲、乙两人登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的3倍，并先到达山顶．根据图象所提供的信息，下列说法正确的有（   ） ①甲登山的速度是每分钟米； ②乙在A地时距地面的高度为米； ③乙登山分钟时追上甲； ④登山时间为分钟，分钟或分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为米． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用；根据速度等于高度除以时间即可算出甲登山上升的速度；根据高度等于速度乘以时间即可算出乙在A地时距地面的高度b的值和t的值；找出甲登山全程中y关于x的函数关系式，令二者的差等于50即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：甲登山上升的速度是（米/分钟）， 乙提速后的速度为：（米/分钟）， ， ， 故①②正确； 设甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为， ∴，解得， ∴函数关系式为． 同理求得段对应的函数关系式为， 当时，解得：， ∴乙登山分钟时追上甲，故③错误； 当时，解得：； 当时，解得：； 当时，解得：． 故登山4分钟、9分钟或15分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．故④正确； 故选：C． 【典例17】．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）已知甲、乙两车分别从，两地同时出发，沿同一条公路相向而行，相遇时甲、乙所走路程的比为，甲、乙两车离，两地中点的路程（千米）与甲车出发时间（时）的关系图象如图所示.解答下列问题： （1），两地之间的距离为_____千米； （2）的值为_____． 【答案】 180 3.75 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，正确理解函数图象是解题的关键． （1）设相遇时甲车走了千米，则乙车走了千米，根据交点的意义可得，求解，即可求解，两地之间的距离； （2）先求出甲车3时走的路程，则即可求解甲车的速度，继而求解甲车到达中点时的时间． 【详解】（1）设相遇时甲车走了千米，则乙车走了千米， 因为交点的坐标为， 所以出发3时，两车相遇，此时乙车超过中点18千米，甲车还未到中点，距离中点18千米， 所以， 解得， 所以， 所以，两地之间的距离为180千米， 故答案为：； （2）因为甲车3小时走了72（千米）， 所以甲车的速度为（千米/时）， 所以甲车到达中点时的时间：（时），即的值为3.75． 故答案为：． 【典例18】．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，慢车先出发，设先发车辆行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象解决以下问题： (1)慢车的速度为______，快车的速度为______； (2)解释图中点D的实际意义并求出点D的坐标； (3)求当x为多少时，两车之间的距离为． 【答案】(1)80，120 (2) 点D的实际意义是快车出发了4小时，快车慢车相距时快车到达乙地； (3)或 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查从函数图象获取信息，待定系数法求解析式，一次函数的应用，读懂图象，获取信息是解题的关键． （1）根据图象可知先出发的车行驶小时，行驶，可得先出发的车的速度，根据两车相遇的时间可得后出发的车的速度，即可得答案； （2）点D表示快车到达乙地，求出快车走完全程所需时间即可得到点D的横坐标，再求出此时慢车所走过的路程即可得到点D的纵坐标，即可解答； （3）分相遇前和相遇后两种情况，采用待定系数法分别求出线段，线段的函数解析式，令，求出x的值，即可解答． 【详解】（1）解：由图象可知：先出发的车行驶小时，行驶距离为， ∴先出发的车的行驶速度为， ∵后出发的车行驶小时时两车相遇， ∴后出发的车的速度为， ∴先出发的车为慢车，速度为，后出发的车为快车，速度为． 故答案为：80，120； （2）解：点D表示快车到达乙地， ∵快车走完全程所需时间为， ∴点D的横坐标为， 此时慢车走过的路程为， ∴点D纵坐标为360， ∴点D的坐标为， （3）解：由题意，可知两车行驶的过程中有2次两车之间的距离为， 两车相遇前，设线段的函数解析式为， ∵该直线过点，， ∴，解得， ∴， 当时，， 解得， ∴当时，两车之间的距离为； 两车相遇后，设线段的函数解析式为， ∵该直线过点，， ∴，解得， ∴， 当时，， 解得， ∴当时，两车之间的距离为； 综上所述，当或时，两车之间的距离为． 【变式1】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）周末，小华骑自行车从家里出发到植物园游玩，从家出发0.5小时后，因自行车损坏修理了一段时间后，按原速前往植物园，小华离家1小时20分钟后，爸爸开车沿相同路线前往植物园，如图是他们离家的路程与小华离家时间的函数图象．已知爸爸开车的速度是小华骑车速度的3倍，若爸爸比小华早10分钟到达植物园，下列说法哪项是错误的是（   ） A．小华的速度是 B．爸爸离家的路程y与小华离家的时间x之间的函数表达式： C．爸爸在出发25分钟后与小华相遇 D．小华家到植物园的距离是 【答案】D 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用、函数图像，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据图象给出的信息逐项判断即可． 【详解】解：如图， A：由图象可知，小华走了， ∴小华的速度为，故该选项不合题意； B：由题意知，爸爸开车的速度是， 爸爸离家的路程与小华离家的时间之间的关系为：，故该选项不合题意； C：时，小华离家的路程与小华离家的时间之间的关系为：， 由图可知爸爸和小华在点处相遇， 当时， 解得， ， ∴爸爸在出发25分钟后与小华相遇，故该选项不合题意； D：设家到植物园的路程为，则有， 解得，故该选项符合题意． 故选：D． 【变式2】．某景区的同一线路上依次有，，三个景点（如图1），小兴从景点出发，步行米去景点，共用时分钟；同时，桐桐以每分钟米的速度从景点出发，步行米到达景点，休息分钟后，桐桐改成骑电动车去景点，结果桐桐比小兴早分钟到达景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为（分），两人各自距景点的路程（米）与（分）之间的函数图象如图2所示． (1)________，并说出的实际意义________________； (2)求桐桐骑车时距景点的路程（米）与（分）之间的函数表达式（不必写出的取值范围）； (3)桐桐到达景点，休息分钟再次出发后，当________时，两人相距米． 【答案】(1)，桐桐步行从景点到达景点所用的时间 (2) (3)或或 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键． （1）利用路程除以速度求出的值，根据点的位置，确定的实际意义即可； （2）设出解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）先求出小兴的函数解析式，再令两个函数解析式的差为，分桐桐到达A景点之前与之后两种情况，即可求解． 【详解】（1）解：桐桐以每分钟米的速度从景点出发，步行米到达景点， （分钟）， 的实际意义为桐桐步行从景点到达景点所用的时间， 故答案为：，桐桐步行从景点到达景点所用的时间； （2）桐桐开始骑车的时间为第（分钟）， 桐桐骑车到达景点的时间为第（分钟）， 设桐桐骑车时距景点的路程（米）与（分）之间的函数表达式为， 将，代入得， 解得， ； （3）设小兴距景点的路程（米）与（分）之间的函数解析式为，将代入得， 解得， ， 桐桐到达A景点之前，两人相距米， 则， 解得或， 即当或时，两人相距米； 桐桐到达A景点之后，两人相距米， 则， 解得：； 故答案为：或或． 【变式3】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）妈妈骑车从家出发到距家米的超市买菜，同时菲菲也放学从学校步行往家走（其中家、学校、超市在一条笔直的马路上，且学校在家和超市之间）．分钟后菲菲和妈妈相遇，随后两人继续按原速往各自的目的地前进，妈妈到达超市后花分钟买完菜，再按原路原速回家，不一会儿就追上了菲菲，妈妈到家分钟后菲菲才到家．如图是两人离家的距离y（米）与出发时间x（分）之间的函数图象，根据图象信息解答下列问题： (1)________；________； (2)请直接写出妈妈离家的距离y（米）与出发时间x（分）之间的函数关系式________； (3)求菲菲与妈妈恰好相距米时x的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)菲菲与妈妈恰好相距米时x的值为，，． 【知识点】求一次函数解析式、判断一次函数的图象、从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）由题意直接求出；先求出妈妈的速度，再求出妈妈到超市的时间，再加上购物时间即可求出； （2）分别求出当时， 当时， 当时妈妈离家的距离米与出发时间分之间的函数关系式即可求解； （3）用待定系数法求出菲菲离家的距离米与出发时间分之间的函数关系式，再根据菲菲与妈妈恰好相距米分段列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解： 由题意可知，； 妈妈的速度为：（米/分）， 妈妈到超市所用时间为：（分钟）， 妈妈到达超市后花分钟买菜， ， 故答案为：，； （2）当时，， 当时，， 当时，设y与x的解析式为， 把和代入解析式得：， 解得：， ， 综上所述，y与x的解析式为； （3）设菲菲离家的距离米与出发时间分之间的函数关系式为， 把和代入解析式得：， 解得：， 因此菲菲离家的距离米与出发时间分之间的函数关系式为； 妈妈在去往超市的过程中：， 解得：或； 妈妈在回家过程中：， 解得：或（不合题意，舍去）， 综上所述，菲菲与妈妈恰好相距米时x的值为，，． 【点睛】本题考查一次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式等知识点，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 题型九、一次函数新定义压轴 【典例19】．（2025八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）新定义：为一次函数（，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”为的一次函数是正比例函数，则点在第______象限． 【答案】二 【知识点】正比例函数的定义、判断点所在的象限、根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了一次函数的定义，判断点所在的象限．根据新定义，关联数对应一次函数的系数，正比例函数要求常数项为零，从而求出m的值，再代入点的坐标进行判断该点所在的象限，即可作答． 【详解】解：∵“关联数”为的一次函数是正比例函数， ∴是正比例函数， ∴， 解得， ∴ 则点坐标为， ∴点在第二象限． 故答案为：二 【典例20】．新定义：为一次函数（a，b为常数，且）关联数．若关联数所对应的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为______． 【答案】 【知识点】正比例函数的定义、求一次函数解析式、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】根据“关联数”的定义可得关联数所对应的一次函数是，再由该函数为正比例函数，可得，再代入，即可求解． 【详解】解：∵为一次函数（a，b为常数，且）关联数， ∴关联数所对应的一次函数是． 又∵该函数为正比例函数， ∴，解得． ∴方程可变形为：，解得：， ∴方程的解为． 故答案为∶ 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，解一元一次方程，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【变式1】．新定义为一次函数（，a、b为实数）的“关联数”． (1)若“关联数”的一次函数为正比例函数，求k的值． (2)已知直角坐标系中点，点，求图象过A、B两点的一次函数的关联数． 【答案】(1)3 (2) 【知识点】正比例函数的定义、求一次函数解析式 【分析】（1）根据“关联数”的概念和正比例函数的性质得到，进而求解即可； （2）利用待定系数法将，代入求出a，b的值，然后根据“关联数”的概念求解即可． 【详解】（1）∵“关联数”的一次函数为正比例函数， ∴ 解得； （2）∵将，代入 得， 解得 ∴图象过A、B两点的一次函数的关联数为． 【点睛】本题属于新定义和正比例函数的定义，待定系数法求一次函数解析式，解答的关键运用新定义和正比例函数的概念确定k的值． 【变式2】．（24-25八年级上·安徽六安·期中）新定义：关于x的一次函数，我们称函数为一次函数的“m变函数”（其中m为常数）． 例如：关于x的一次函数的“3变函数”为． 关于x的一次函数的“1变函数”为，关于x的一次函数的“m变函数”为，若函数和函数有且仅有两个交点，则m的取值范围是_______． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查一次函数的应用、两直线平行或相交等知识．利用方程组求出交点坐标即可解决问题； 【详解】解：由题意：，， 解得两个函数的交点为，或，， 观察图象可知：时，函数和函数有且仅有两个交点． 故答案为：． 【变式3】．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）新定义：对于关于的一次函数，我们称函数为一次函数的变函数（其中为常数）． 例如：对于关于的一次函数的3变函数为． (1)关于的一次函数的2变函数为，则当时， ． (2)关于的一次函数的1变函数为，关于的一次函数的变函数为，求函数和函数的交点坐标； (3)关于的一次函数的1变函数为，关于的一次函数的变函数为． ①当时，函数的取值范围是 （直接写出答案）． ②若函数和函数有且仅有两个交点，则m的取值范围是 （直接写出答案）． 【答案】(1)3 (2)和 (3)①；② 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】（1）根据变函数的定义即可解决问题； （2）转化为方程组解决问题即可； （3）①根据变函数的定义，求出特殊点的函数值即可解决问题；②利用方程组求出交点坐标即可解决问题； 【详解】（1）解：根据变函数定义，关于的一次函数的2变函数为： ， 时，， 故答案为：3； （2）解：根据定义得：，， 求交点坐标：①， 解得； ②， 解得； ①，无解； ②，无解； 综上所述函数和函数的交点坐标为和； （3）解：①由题意：， 时，，时，， 时，， 故答案为． ②由题意：，， 同理，解得两个函数的交点为，， 观察图象可知：时，函数和函数有且仅有两个交点． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的应用、两直线平行或相交等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程组确定两个函数的交点坐标． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26八年级上·安徽宣城·期中）定义：在平面直角坐标系中，若点到轴、轴的距离和为1，则称点为“励志点”．例如：点到轴、轴距离和为1，则点是“励志点”，点，也是“励志点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“励志点”，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质， 根据“励志点”的定义，点满足，构成一个正方形，一次函数经过点 ，且与正方形有交点，通过求直线经过正方形顶点时的k值，确定k的取值范围． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， 即． ∴直线方程为． 当直线经过点时， 代入得， 解得； 当直线经过点时， 代入得 ， 解得， ∴当时，直线与正方形有交点，即存在“励志点”． 故选：A． 2．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，内部有一点，若将先向右平移，再向下平移，平移后点对应点的坐标是．若点的坐标是，则平移后点对应的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与平移，根据点和它的对应点的坐标，得到平移规则，进而求出点的坐标即可． 【详解】解：∵点平移后的对应点的坐标是， ∴先向右平移2个单位，再向下平移4个单位， ∵点的坐标是， ∴平移后点对应的点的坐标是，即； 故选：C． 3．（25-26八年级上·安徽六安·期末）一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为（单位：），两车之间的距离为（单位：）．图中的折线表示与之间的函数关系：下列结论： ①； ②当动车到达终点时，普通列车距离甲地； ③普通列车行驶时，到达终点甲地． 其中正确的是（　　）． A．①② B．①②③ C．①③ D．②③ 【答案】A 【分析】①根据路程和速度和时间即可解答；②、③根据路程速度时间即可解答． 【详解】①、由图象可得，甲乙两地的距离为， 当，时，即代表普通列车和动车相遇， ∴两车的速度和为， ∴，故①正确，符合题意； ②、由函数图象可得，当时，动车到达终点， ∴动车的速度为，则普通列车的速度为， ∴普通列车距离甲地为，故②正确，符合题意； ③、已知普通列车的速度为，甲乙两地的距离为， ∴普通列车到达终点甲地的时间为，故③错误，不符合题意． 综上，符合题意的有①②． 4．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）我们把平面上纵坐标是横坐标两倍的点称为“两倍点”，如：点，点．下列关于“两倍点”的说法中，错误的是（   ）． A．一次函数上有两倍点 B．所有的两倍点都在同一条直线上 C．第四象限中不存在两倍点 D．所有的一次函数上都有两倍点 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，一次函数的图像，理解新定义的计算方法是关键． 根据“两倍点”的定义，得其解析式为，逐个判断即可得到答案． 【详解】解：根据“两倍点”的定义，得其解析式为， 对于A，一次函数上的点，符合“两倍点”的定义，故正确； 对于B，“两倍点”的解析式为，在一条直线上，故正确； 对于C，根据一次函数图像的特点，直线经过原点，第一象限和第三象限，不经过第四象限，故正确； 对于D，与平行的直线，如，不存在两倍点，故不是所有的一次函数上都有两倍点，故错误． 故选：D． 5．（25-26八年级上·安徽·期末）如图①，在长方形中，点M从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿的方向运动到点D，的面积y与运动时间t的函数关系如图②所示，当的面积为3时，t的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、动点问题，求得的面积y随t变化的函数解析式是解题的关键． 根据动点的变化，当点M在边上运动时，，求得；当点M在边上运动时，，，令求解即可． 【详解】解：根据图象可知，即， 当点M在边上运动时，， ∴，解得：， 当点M在边上运动时，， ∴， 令，解得：． 故选：C． 6．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段检测）将一次函数的图像位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，和一次函数图像位于轴及上方的部分组成“”型折线，过点作轴的平行线，直线交“”型折线于点；若线段，则的值是（ ） A．4 B．2 C．－2 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、翻折变换、一次函数与坐标轴交点等知识，结合折叠的性质确定直线的解析式是解题关键．首先确定点、坐标，设翻折后的直线与轴交于点，由折叠的性质可得，利用待定系数法解得直线的解析式，再将代入一次函数与，解得，，结合即可求得的值． 【详解】解：如下图， 对于一次函数， 令，，即， 令，可得，解得，即， 根据题意，将一次函数的图像位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上方， 设翻折后的直线与轴交于点，由折叠的性质可得， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， ∵直线交“”型折线于点，且， 可将代入一次函数，， 得，， ∴，即， 解得． 故选：D． 7．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，已知函数图象与轴有且只有三个交点，分别是，，． ①当时，或；②当时，有最小值；③若点在函数图象上，则符合条件的的值有且只有3个；④将该函数图象向右平移1个或3个单位长度后得到的函数图象必经过原点．上述四个结论中正确的有（    ）    A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了函数的图象与性质，一次函数图象，解题的关键是数形结合．结合函数图象逐个分析即可． 【详解】解：由函数图象可得：当时，或，故①正确； 当时，有最小值，故②正确； 如图，点在直线上，直线与函数图象有且只有1个交点，故③不正确；    将函数的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点，故④正确； 故正确的有①②④ 故选：B． 8．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，已知直线与直线交于点，直线在轴上的截距为．过直线上一点作轴的垂线交直线于点，交直线于点．下列说法不正确的是（   ） A．， B．当时，或 C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一元一次方程的应用，熟练掌握一次函数的性质，数形结合是解题的关键． 根据直线在y轴上的截距为，得出，将点代入，即可得出的值；根据题意，可表示，，由于，即可列出方程求解的值，还可根据，得出，，，当时，可列出方程求解即可，当时，解不等式可判断当时，． 【详解】解：直线在轴上的截距为， ， 将代入， 得：， 解得：， ，故A选项不符合题意， 由题意得：，， ， 或， 解得：或，故B选项不符合题意， ，， 当时， 即：或 解得：或， 故C选项符合题意， 当，即， 两边同时平方整理得：， 解得：或 当时，，故D选项不符合题意， 故选：C 二、填空题 9．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）定义 “新运算问题”：对于有序数对定义如下的运算 “”：，对于点，若，则点在第______象限． 【答案】一 【分析】本题考查了新定义运算，判断点所在的象限，读懂题目信息，理解“”的运算方法是解题的关键．根据新运算规则表示出，结合，得到和的值，从而确定点的坐标，并判断象限即可． 【详解】解：由运算定义，． ， ，， 点的坐标为， 点在第一象限． 故答案为：一． 10．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知直线：经过，两点，直线． （1）若，则a的值为________； （2）当时，总有，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数中两直线平行和相交的问题，熟练掌握一次函数与二元一次方程组的关系和一次函数的图像和系数的关系是解答本题的关键． （1）求出直线的解析式，再由可得；（2）先求出，时的值，根据当时，总有即可求解． 【详解】解：（1）∵直线经过，两点 ∴ 解得： ∴： ∵ ∴， 故答案为：； （2）联立， 解得， ∴直线与直线的交点坐标为, ∵当时，总有， ∴ 解得：． 故答案为：． 11．（24-25八年级·安徽淮南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，依次作正方形，正方形．正方形，使得点在直线上，点在轴的正半轴上，则点的坐标是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数图象上点的特征、正方形的性质等知识，学会从特殊到一般的探究方法是解题的关键．先求出、、的坐标，然后发现规律，运用规律即可解答． 【详解】解：与轴交于点， 点坐标， 四边形是正方形， 坐标， 轴，即：坐标， 四边形是正方形， 坐标， 轴， 坐标， 四边形是正方形， ， ， ．．．， 点的坐标为． 故答案为：． 12．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图所示，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示y与x之间的函数关系． （1）B点表示两车___________．（填“快车到达”或“慢车到达”或“相遇”） （2）点C的坐标为___________． 【答案】 相遇 【分析】题目主要考查根据函数图象获取相关信息，结合图象确定各分段代表的意义是解题关键． （1）由图象得，点表示经过4小时，两车之间的距离为0，即可求解； （2）段，两辆车之间的距离逐渐变大，表示快车到达目的地，只剩下慢车行驶，段为两车相向行驶，即可确定慢车行驶的时间为12小时，速度为：千米/小时，慢车行驶的时间为12小时，速度为：千米/小时，然后确定快车行驶的时间即可点C的横坐标，再求两车之间的距离即可． 【详解】解：（1）由图象得，点表示经过4小时，两车之间的距离为0，即两车相遇； 故答案为：相遇； （2）由图象得：段，两辆车之间的距离逐渐变大，表示快车到达目的地，只剩下慢车行驶， ∴慢车行驶的时间为12小时，速度为：千米/小时， ∵段为两车相向行驶， ∴快车的速度为：千米/小时， ∴快车行驶的时间为：小时， ∴点C的横坐标为6， 此时两车之间的距离为：， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·安徽滁州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴的正半轴于两点，且． （1）的值为_____； （2）为第二象限内的一点，连接，交轴于点，连接，则的面积为_____（用含的式子表示）． 【答案】 4 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）求出的坐标，根据面积公式，进行求解即可； （2）求出直线的解析式，进而求出点的坐标，分割法求出三角形的面积即可． 【详解】解：（1）∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴，解得（负值舍去）； 故答案为：4； （2）由（1）可知：， 设直线的解析式为，把，代入得，，解得， ∴， ∴当时，， ∴， ∴， ∴的面积； 故答案为：． 三、解答题 14．在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，给出如下定义：和两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k． (1)求点的“倾斜系数”k的值； (2)①若点的“倾斜系数”，请写出a和b的数量关系，并说明理由； ②若点的“倾斜系数”，且，求点P的坐标． 【答案】(1)3 (2) ①或，理由如下： ∵点的“倾斜系数”， ∴或， 即或， ∴a和b的数量关系为：或； ②或 【分析】本题主要考查点的坐标的特征，本题是新定义型题目，正确理解“倾斜系数”的定义是解题的关键． （1）根据“倾斜系数”k的定义直接计算即可； （2）①根据“倾斜系数”k的定义得或，进而得出结论即可； ②由①知，或，根据，分别求出a、b的值，即可求出P点坐标． 【详解】（1）解：由题意知，，或， 而， ∴点的“倾斜系数”k的值为3； （2）解：①略 ②由①知，或， ∵， ∴或， ∴或， ∴或． 15．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，是由向右平移个单位长度得到的，且三个顶点，，的坐标分别为，，． (1)作出，并写出顶点的坐标 (2)求在整个平移的过程中，扫过的面积． 【答案】(1) 如图，即为所求作， 顶点，，的坐标分别为，，； (2) 【分析】本题考查了坐标系内图形的平移，正确得出对应点的坐标是解答本题的关键． （1）根据是由向右平移个单位长度得到的，作图即可； （2）连接，，根据题意可得扫过的面积为平行四边形和三角形地面积和，进而求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，，如图， 由平移的性质，可知扫过的面积为平行四边形和三角形的面积和， ∴ ． 16．（25-26八年级上·安徽·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与y轴交于点B，与x轴交于点C，直线：与y轴交于点D，直线和直线相交于点A，已知A点纵坐标为2． (1)求点A的横坐标及k的值； (2)点M在直线上， 轴，交x轴于点N．若，求点M的坐标． 【答案】(1)点的横坐标为1， (2)或 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，正确求出一次函数解析式是关键． （1）根据直线和直线相交于点点纵坐标为2，求出点的横坐标，得到并代入，即可求出答案； （2）求出直线的函数表达式为，求出则．设，由轴，得，，解得或，即可求出答案． 【详解】（1）解：直线和直线相交于点点纵坐标为2， ， 解得， 点的横坐标为．将代入， 得， ； （2） 直线的函数表达式为． 在直线中，令，则，在直线中，令，则， ． 设，由轴，得， ，解得或， 或 17．在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中作出了一次函数和的图象（如下图），两直线交于点，分别与轴交于两点．已知点，观察图象并回答下列问题： (1)关于的方程的解是____________；关于的不等式的解集是____________． (2)若点的坐标为，直接写出关于的不等式的解集并求出的面积． 【答案】(1)， (2)不等式的解集是．的面积为 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式． （1）利用直线与轴交点即为时，对应的值，进而得出答案； （2）根据图象找到图象在图象上方所对应的x的范围，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：一次函数和的图象，分别与轴交于点， 关于的方程的解是， 关于的不等式的解集，为， 故答案为：，； （2）解：点的坐标为， 由图象可知，不等式的解集是． ，点， ， ． 18．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右、……的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标： （________，________）， （________，________）， （________，________）； (2)写出点的坐标（是正整数）； (3)指出蚂蚁从点到点的移动方向． 【答案】(1)2 ，0 ，4 ，0，6，0 (2)点的坐标为 (3)向上移动 【分析】本题主要考查了点的坐标规律、平面直角坐标系、动点问题等知识点，发现坐标规律是解题的关键． （1）直接从直角坐标系读出坐标即可； （2）根据（1）归纳点的坐标规律即可解答； （3）根据2024是4的倍数，分别写出点和的坐标，从而可得蚂蚁从点到点的移动方向． 【详解】（1）解：根据题意可直接写出， 故答案为2，0；4，0；6，0； （2）解：由题意可知：， ∴由点的坐标规律可知， ∴点的坐标为。 （3）解：∵， ∴，， ∴蚂蚁从点到点的移动方向是向上移动． 19．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）国庆假期，某出租车司机将3名游客从高铁站送往景点甲地，到达后立刻返回．出租车与高铁站的距离和所用时间之间的关系如图所示． (1)求出与之间的函数关系式； (2)求出租车出发4小时后距离景点甲地多远？ (3)在高铁站与景点甲地之间有一服务区乙地，出租车从去时途经乙地，到返回时再经过乙地，共用1小时50分钟，求高铁站与服务区乙地相距多远？ 【答案】(1) (2)出租车出发4小时后距离景点甲地60千米 (3)高铁站与服务区乙地相距100千米． 【分析】（1）根据题意分和两种情况，然后分别利用待定系数法求解即可； （2）首先求出出租车出发4小时后距离高铁站的距离，然后列式求解即可； （3）首先求出去时的速度为，返回时的速度为，设去时从乙地到景点的时间为x小时，则返回时从景点到乙地的时间为小时，然后根据去时和返回时乙地到景点的距离相等列出方程求出，然后列式求解即可． 【详解】（1）解：当时，设出租车与高铁站的距离和所用时间之间的关系式为 将代入得， 解得 ∴； 当时，设出租车与高铁站的距离和所用时间之间的关系式为 将，代入得， 解得 ∴ 综上所述，； （2）解：将代入 ∴（千米） ∴出租车出发4小时后距离景点甲地60千米； （3）解：1小时50分钟（分钟）（小时） ∵去时的速度为，返回时的速度为， ∴设去时从乙地到景点的时间为x小时，则返回时从景点到乙地的时间为小时 根据题意得， 解得 ∴（千米） ∴高铁站与服务区乙地相距100千米． 【点睛】此题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． 20．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知直线，经过原点和点，直线经过点和点，求： (1)求和的函数关系式，并在同一坐标系中画出函数图象； (2)将和联立方程组，利用图象求方程组的解； (3)若两直线交于点，直线与轴交于点，试求的面积． 【答案】(1)，； (2) (3)12 【分析】本题主要考查了两条直线相交或平行问题、一次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用待定系数法是关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）解两条直线组成的方程组，方程组的解中的值就是两直线交点的横坐标，的值就是交点的纵坐标； （3）在直线中令，即可求得直线与轴交点的横坐标，即可求得的坐标，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：过原点和点， ， 解得 ， ， 又过点和， ， 解得， （2）， 将①代入②得，解得， 将代入②，得 方程组的解是； （3）由（2）知， 当时， ，得， ， ． 21．（25-26八年级上·安徽宣城·阶段检测）如图1，已知直线与轴分别交于点，直线与轴分别交于点，直线与交于点，已知的横坐标为． (1)求的值； (2)点在直线上，过点作直线平行于轴，交直线于点，若线段，求的值． (3)直线，在直线上分别取点，当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题是一次函数综合题，考查了求一次函数解析式，一次函数的交点问题等，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）令，求出两条直线与轴的交点，，则，再结合，求出，进而得出，再代入直线，求出的值即可； （2）设，将点、分别代入直线，求得，再根据列方程求解即可； （3）根据题意可得，进而得到，则，当时，取得最小值为，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：直线与轴分别交于点， 当时，得：， ； 直线与轴分别交于点， 当时，得：， ， ， 的横坐标为， ， 解得， ， 当时，得：， ， ，解得：； （2）解：如图1，过点作直线平行于轴，交直线于点， 点在直线上， ， 设，将点代入直线得：， 解得， ， ， 解得：； （3）解：直线上分别取点， ， 当时，， ， ， ， 时成立，当时，取得最小值为， ． 22．（25-26八年级上·安徽滁州·阶段检测）甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地．甲车出发小时后，乙车才沿相同的路线开始行驶，乙车先到达B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与甲车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇为止，两车之间的距离与乙车行驶时间的函数关系图象． (1)甲车的速度为_________，乙车的速度_________，A，B两地相距_________． (2)求a的值． (3)乙车从A地出发多久后第二次与甲车相遇？ (4)乙车从A地出发多久后两车相距？（直接写出答案） 【答案】(1)60；120；420 (2) (3)乙车从A地出发后第二次与甲车相遇 (4)乙车从A地出发或或后两车相距． 【分析】本题考查从函数图象中获得信息，相遇问题． （1）直接根据函数图象解答即可； （2）直接根据函数图象解答即可； （3）直接根据函数图象解答即可； （4）分三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：甲车的速度为， 乙车的速度， ，A，B两地相距为． 故答案为：60；120；420 （2）解：根据题意得：； （3）解：根据题意得：， 解得：， 即乙车从A地出发后第二次与甲车相遇； （4）解：当乙车追上甲车前时，两车相距， 此时，解得：； 当乙车追上甲车后，未到达B地时，两车相距， 此时，解得：； 当乙车返回A地时，两车相距， ，解得：； 综上所述，乙车从A地出发或或后两车相距. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $