第3章 位置与坐标分层 特训 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 《第3章位置与坐标分层特训》通过“基础达标”与“思维达标”双层设计，实现从单一坐标概念到综合应用的进阶，适配单元复习中基础巩固与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|有序数对、点到坐标轴距离、对称点坐标|选择填空结合生活情境（如阅兵队形），夯实概念理解| |思维达标|坐标系综合应用、新定义“禾距”、动态几何|解答题融合推理与创新（如五子棋坐标、“河南点”定义），发展空间观念与模型意识|

第3章位置与坐标分层特训01 基础达标 1．如果用表示七年级一班，那么八年级五班可表示成（    ） A． B． C． D． 2．点到x轴的距离为（   ） A． B． C．3 D．2 3．若点与点关于轴对称，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知，，则点关于直线对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．已知两点，若，则点和（    ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．以上结论都不对 6．2025年9月，中国以一场盛大阅兵，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，阅兵式中多架飞机以轴对称的方式列阵长空（图一）象征着在民族复兴征程上夺取新的伟大胜利．如图二是现场飞机队形简略图，以飞机、所在的直线为轴，过点且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，若飞机的坐标为，则飞机的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．在“探索与发现展厅”有一个雷达探测器，如图，雷达探测器测得六个目标点，，，，，按照规定的目标表示方法，目标点，的位置分别表示为，，按照此方法在表示目标，，，的位置时，其中表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 8．如图1，在中，，，将放置在平面直角坐标系中，使点A与原点重合，点C在x轴正半轴上．将按如图2方式顺时针滚动（无滑动），则滚动2025次后，点B的横坐标为（    ） A． B． C． D． 9．已知点在第二象限，则 a 的取值范围是 ______． 10．在平面直角坐标系中，点，点，若直线垂直于y轴，则点P的坐标为_________． 11．已知点与关于轴对称，则__________． 12．2025年9月3日，中国战略反击体系中的重要组成——东风-5C液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会阅兵式，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象．如图，这是东风-5C洲际导弹的示意图，点与点关于轴对称．若点的坐标为，则点的坐标为________． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线l过点A且平行于x轴，交y轴于点，关于直线l对称，点B的坐标为，则点C的坐标为_____． 14．已知当，都是实数，且满足时，称为“河南点”．请任意写出一个“河南点”：______；若点是“河南点”，则点在第_____象限． 15．在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点的纵坐标比横坐标大3，求的值； (2)若点在轴上，求的值． 16．如图，的顶点分别为，，． (1)作出关于轴对称的图形； (2)写出点，，的坐标； (3)在轴上找一点并写出坐标，使得最小（画出图形，标出点的位置）． 17．如图是两人玩的一盘五子棋，已知白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为． (1)请你根据题意，补充原点O和y轴； (2)写出黑棋③和白棋④的坐标； (3)五子棋的比赛规则是：两人各执一种颜色的棋子，每人每次在棋盘网格的格点处下一子，轮流下，最先在棋盘横向、竖向、斜向形成连续的相同色五个棋子的一方为胜．现轮到黑棋下，要使黑棋这一步下完后胜出，请直接写出这一步黑棋的坐标． 01 思维达标 18．如图，在平面直角坐标系中，且a，b满足， (1)求A，B两点的坐标； (2)如图1，点C在第二象限，且，．求点C的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，的平分线分别交y轴、射线于点E、P，连接．已知．①试求点E的坐标；②试求点P的坐标． 19．在平面直角坐标系中，对于点，，将的值叫做点与点的“禾距”，记为，即．若点在线段上，将的最大值与最小值之差称为线段关于点的“围差”，记为．如图1，已知点，． (1)点与点的“禾距”的值为______； (2)已知点在轴上，线段关于点的“围差”为，则点的坐标为______． (3)若点与点的“禾距”为． ①请在图中画出所有符合题意的点组成的图形： ②的最小值为_______． 20．阅读理解，自主探究：在初中几何学习中，当图形中出现多个直角且存在相等的线段时，可结合全等三角形的判定与性质来分析线段之间的关系，这是解决这类几何问题的常用思路． 【问题解决】 (1)如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是__________； 【问题探究】 (2)如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； 【拓展延伸】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第3章位置与坐标分层特训-2026-2027学年数学八年级上册北师大版（新教材）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C D C A B C D 1．C 【分析】本题考查了有序数对，解题的关键是根据题意确定有序数对的含义． 根据有序数对的第一个数表示年级，第二个数表示班级解答． 【详解】解：∵表示七年级一班， ∴八年级五班可表示成 故选：C． 2．C 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，掌握知识点是解题的关键． 点到x轴的距离是其纵坐标的绝对值，即可解答． 【详解】解：点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值，即为． 故选C． 3．D 【分析】本题考查关于y轴对称的点的坐标特征，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等，列出方程求解m和n，再求它们的和. 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，且， ∴， ∴. 故选：D． 4．C 【分析】本题考查了关于某条直线对称点的坐标，根据题意可知点C到直线的距离为3，则点到直线的距离也是3，即可求解. 【详解】解：∵点是关于直线的对称点，，， ∴， 故选：C. 5．A 【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 先判断出两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，再根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴点和的横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴点和关于x轴对称， 故选：A． 6．B 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标规律，根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解，解题的关键是熟记，关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】解：由题知，点B和点C关于y轴对称， 因为， 所以飞机的坐标为， 故选：B． 7．C 【分析】本题考查新定义下的位置表示，方向角的识别，理解位置表示规则是解题关键． 根据题意提炼表示规则，对选项依次判断即可． 【详解】解：根据题意可知雷达目标的位置表示规则是：第一个数为距离中心的圈数，第二个数为方向角． 选项：错误，应表示为； 选项：错误，应表示为； 选项：表示正确； 选项：错误，应表示为． 故选：． 8．D 【分析】本题考查坐标系下点的规律探究，通过图形正确的抽象概括出数字规律是解题的关键．根据三角形滚动规律得出每3次一循环，由已知可得三角形三边长的和为，进而可得滚动2025次后，点B的横坐标． 【详解】解：根据三角形滚动规律得出每3次一循环，即每滚动3次，点的横坐标的值就增加1个的周长， ∴， ∵， ∴， ∴三角形三边长的和为：， 则滚动2025次后，点B的横坐标为：． 故选：D． 9．a < / 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，由点P的纵坐标已满足大于零，只需横坐标小于零，列出不等式求解． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴横坐标， 解得， 故答案为：． 10． 【分析】本题主要考查平面直角坐标系，熟练掌握点的坐标是解题的关键； 由直线轴可知点P、Q的纵坐标相等，即，然后问题可求解． 【详解】解：∵直线轴，点，点， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为：， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查坐标与轴对称，代数式求值，根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：∵点与关于轴对称， ∴，， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标特征，掌握知识点是解题的关键． 根据关于轴对称的点的坐标特征，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴点的横坐标与相同，为；纵坐标与的纵坐标互为相反数，为， ∴点的坐标为． 故答案为． 13． 【分析】本题考查了轴对称的性质，中点坐标公式，掌握对称的性质是关键；由题意得B、C关于直线l对称，则得的中点的坐标为，由中点公式即可求解． 【详解】解：由题意得B、C关于直线l对称， ∵直线l过点A且平行于x轴，交y轴于点，， ∴线段的中点的坐标为， 则点C的横坐标为，点C的纵坐标为， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 14． （答案不唯一） 一 【分析】本题考查了点的坐标，解一元一次方程，新定义，对于任意“河南点”，可令，代入求，从而得到点坐标；对于点，根据“河南点”定义列出方程，解出，再求点坐标并判断象限即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：取，由得，解得，则“河南点”坐标为， 若点是“河南点”， 则存在实数，满足，，且， 由，得， 由 得，解得， 代入，得，即，解得， 则点坐标为，即， 由于且，则点在第一象限， 故答案为：（答案不唯一），一． 15．(1) (2) 【分析】（1）根据“点的纵坐标比横坐标大3”列方程求解即可； （2）根据“点在轴上”得到纵坐标为0，列方程求解即可． 【详解】（1）解：点的纵坐标比横坐标大3， ， 解得． （2）解：点在轴上， ， 解得． 16．(1) 如图，即为所求； (2)，， (3)， 如图，点P为所求． 【分析】（1）作出各顶点关于轴的对称点，再顺次连接即可； （2）根据，，在平面直角坐标系中的位置确定坐标即可； （3），因此连接交于x轴的点即为点． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，，，； （3）略 17．(1) 解：建立如图所示的平面直角坐标系： (2)黑③坐标为，白④坐标为 (3)或 【分析】（1）根据白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为即可建立坐标系； （2）由坐标系直接得出坐标； （3）根据比赛规则，只要连续的同色5个先成一条直线就算胜，即可找出黑棋要放置的位置坐标． 【详解】（1）略 （2）结合（1），可知黑③坐标为，白④坐标为； （3）要使黑棋这一步要赢，这一步黑棋的坐标为或． 【点睛】本题考查了坐标系的建立，利用坐标确定位置，确定坐标轴的位置是解题的关键． 18．(1) (2) (3)①，② 【分析】本题考查了绝对值的非负性，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理及一次函数与几何综合． （1）先将化为，根据平方和绝对值的非负性得到或，求得a，b的值，随即求得点A，B的坐标； （2）过点C作轴于点M，轴于点N，证明四边形是正方形，求出，可得结论； （3）①过点E作于点F，证明， ，设，利用勾股定理列方程得，求得x的值，可得结论； ②分别求出直线和的解析式，构建方程组求解． 【详解】（1）解：∵a，b满足， ∴， 即或， 解得，， ∴． （2）解：如图，过点C作轴于点M，轴于点N， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：①如图，过点E作于点F， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴； ②设直线的解析式为， 则有， ∴， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， ∵，， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 由，解得， ∴． 19．(1) (2)或 (3) ①所有符合题意的点组成的图形是以，，，为顶点的正方形． ② 【分析】（1）直接将，代入“禾距”公式进行计算即可； （2）先设，然后分情况讨论点在线段上时的最大值与最小值，再根据“围差”的定义列出方程求解即可． （3）①设，根据“禾距”公式列出方程，然后分情况讨论去掉绝对值符号，得到不同情况下的直线方程，从而画出图形． ②先分析的最大值与最小值的情况，然后找出的最小值． 【详解】（1）解：根据题意得． 故答案为：． （2）解：设，点在线段上，设 ①时， 当时，， 当时，， 线段关于点的“围差”为， ， ． ②时， 当时，， 当时，， 线段关于点的“围差”为， ， （舍去）． ③时， 当时，， 当时，， 线段关于点的“围差”为， ∴， 解得， 综上，点的坐标为或． 故答案为：或． （3）解：①设， 点与点的“禾距”为， ，即， 当，时，，即； 当，时，，即； 当，时，，即； 当，时，，即． ∴所有符合题意的点组成的图形是以，，，为顶点的正方形． ②点在线段上， 当点与点重合时，， 当点与点重合时，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点与坐标，含绝对值的方程等知识，有一定的难度，关键是理解题目中“禾距”及“围差”的意义． 20．(1) (2) (3)存在；点的坐标为：，，． 【分析】（1）利用证明，即可得到； （2）利用证明，再利用全等三角形的性质运算即可； （3）分类讨论点的位置，结合全等三角形的性质运算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）解：存在，理由如下： ①：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示： ∵，， ∴，， 由（1）同理可证， ∴，， ∴点的横坐标，点的纵坐标， ∴； ②：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示： ∵，， ∴，， 由（1）同理可证， ∴，， ∴点的横坐标，点的纵坐标， ∴； ③：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示： 设， ∵，， ∴，，，， 由（1）同理可证， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 综上，点的坐标为：，，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $