专题04 实数的四类培优综合题型（四川成都专用，压轴题专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 以实数性质为核心，通过“通法+题型+挑战”三阶体系，系统构建无理数估算、性质应用、数轴结合及大小比较的解题方法，培养抽象能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心解法|提炼“利用实数性质”基本底线原则|以实数性质为根基，统领各类题型| |题型归纳|4题型（典例4+变式11）|无理数估算（平方法/近似计算）、性质应用、数轴几何意义、大小比较（作差/平方法）|从概念到应用，形成“性质→估算→比较→数轴”逻辑链条| |压轴挑战|12题（选择3+填空4+解答5）|综合运用实数性质与几何直观解决复杂问题|衔接中考高频考点，提升运算能力与推理意识|

专题04 实数的四类培优综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、无理数估算大小问题 题型二、实数的性质 题型三、实数与数轴问题 题型四、实数大小比较问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 实数是初中代数运算应用基础，所有题型均围绕实数性质、大小比较及与数轴结合展开，解题贯穿基本底线原则：利用实数性质解决问题。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、无理数估算大小问题 典例 1若为正整数，且满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：无理数估算大小问题. 2.方法：利用实数性质求解. 变式1-1在直角中，，，，则与的长度最接近的整数是（     ） A． B． C． D． 变式1-2已知，且是整数，则所有值的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 变式1-3【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如表． 因为， 所以， 即 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 (1)请用①的形式求的近似值（结果保留2位小数）． (2)请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 类型二、实数性质 典例2已知，其中为有理数，则的值为（    ） A．5 B．0 C．1 D． 题型模版 1.特征：实数性质. 2.方法：利用其性质求解即可. 变式2-1若实数a，b同时满足，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 变式2-2已知实数满足，化简． 题型三、实数与数轴问题 典例3 如图，正方形的两个顶点在数轴上，分别表示数和，以表示数的顶点为圆心，以正方形的对角线为半径画弧，分别交数轴于点A，，设点A，表示的数分别为，，则下列说法不正确的是（   ） A．的值随着的变化而变化 B．线段的长始终不变 C．一定是无理数 D．的面积随着的变化而变化 题型模版 1.特征：数轴与实数问题. 2.方法：利用实数性质求解.. 变式3-1如图，数轴上点所表示的数为，点是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于点．点表示的数记为，点表示的数记为，则的值为_____． 变式3-2如图，数轴上点表示的数为1，点，，在的正方形网格的格点（网格线的交点）上．以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于，两点，则点表示的数为____________． 变式3-3如图，通过画边长为的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，则点表示的实数为_____．（结果保留根号） 题型四、实数比较大小问题 典例4比较大小：和． 题型模版 1.特征：实数比较大小问题. 2.方法：利用实数性质求解.. 变式4-1比较大小： (1)与； (2)与． 变式4-2比较大小： (1)与； (2)4，，． 变式4-3比较下列各组数的大小： (1)与－3.4． (2)与． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．满足的所有整数的和是（     ） A．0 B．2 C．3 D．5 2．实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若，且b是无理数，则b的值可以是（     ） A． B． C． D． 3．下列图形（甲和乙）中，不添加辅助线便可验证的是（   ） A．只有甲 B．只有乙 C．甲、乙均可 D．无法确定 二、填空题 4．若a为正整数，且满足，则______． 5．新考法如图1，在小正方形的边长为1的的网格中，，，，，各点都在格点上，如图2是一条数轴，其中点所表示的数可能是网格中线段____________的长度.（填“”“”“”或“”） 6．比较大小：______（填“”或“”或“<”） 7．如图，数轴上点所表示的数为，点、、是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于点，．点表示的数记为，点表示的数记为，则的值为________． 三、解答题 8．先化简再求值：，其中x，y满足． 9．比较下列各组数中两个数的大小： (1)与． (2)与． 10．比较下列各组数中两个数的大小： (1)和3． (2)与． 11．我们知道，实数和数轴上的点是一一对应的，因此，实数都可以在数轴上找到相应的位置． (1)如图①，一个直角三角形的直角边落在数轴上，点与数轴原点重合，，，，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是 ； (2)在图②中，作出实数所在的位置．（保留必要的作图痕迹） 12．解决下列问题： (1)写出两个无理数，使它们的差为，并写出具体算式； (2)如图2，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是 ； (3)有理数a、b、c在数轴上的位置如图1所示，试化简：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 实数的四类培优综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、无理数估算大小问题 题型二、实数的性质 题型三、实数与数轴问题 题型四、实数大小比较问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 实数是初中代数运算应用基础，所有题型均围绕实数性质、大小比较及与数轴结合展开，解题贯穿基本底线原则：利用实数性质解决问题。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、无理数估算大小问题 典例 1若为正整数，且满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找到与相邻的完全平方数，估算的取值范围，结合已知不等式确定的值． 【详解】解：∵，，且， ∴，即， ∵为正整数且， ∴． 题型模版 1.特征：无理数估算大小问题. 2.方法：利用实数性质求解. 变式1-1在直角中，，，，则与的长度最接近的整数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直角三角形勾股定理计算的长度，再估算无理数的大小，即可得到最接近的整数． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵，，与更接近， ∴最接近的整数是． 变式1-2已知，且是整数，则所有值的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是实数的性质，无理数的估算，由条件可得或，结合，，是整数，从而可得答案. 【详解】解：∵， ∴或， ∵，，是整数， ∴的值为，，，，，； ∴所有值的个数有个， 故选：B． 变式1-31【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如表． 因为， 所以， 即 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 (1)请用①的形式求的近似值（结果保留2位小数）． (2)请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据题目示例计算即可；（2）根据题目示例计算即可． 【详解】（1）因为，所以． 设，其中．所以，即． 因为比较小，将忽略不计，所以，即． 所以．所以． （2）根据题意可知，设，其中． 因为，所以，即 因为比较小，将忽略不计，所以，即， 所以．所以． 类型二、实数性质 典例2已知，其中为有理数，则的值为（    ） A．5 B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】考查了实数的性质，根据题意确定出与的值，代入计算即可求出的值． 【详解】解：∵，且、为有理数， 得到； ； 故选：A． 题型模版 1.特征：实数性质. 2.方法：利用其性质求解即可. 变式2-1若实数a，b同时满足，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的减法，整式的加减． 根据题意得出，因此题干条件可化为，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴ 即， 故选：B 变式2-2已知实数满足，化简． 【答案】 【分析】根据实数的性质，绝对值的性质，相反数的意义，判断出的符号，进而化简绝对值，再根据整式的加减进行化简即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴ ． 【点睛】本题考查了实数的性质，整式的加减，化简绝对值，判断出的符号是解题的关键． 题型三、实数与数轴问题 典例3 如图，正方形的两个顶点在数轴上，分别表示数和，以表示数的顶点为圆心，以正方形的对角线为半径画弧，分别交数轴于点A，，设点A，表示的数分别为，，则下列说法不正确的是（   ） A．的值随着的变化而变化 B．线段的长始终不变 C．一定是无理数 D．的面积随着的变化而变化 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，无理数，实数与数轴，关键是由勾股定理求出的长．求出，由勾股定理得到，因此，由三角形面积公式得到的面积，求出，由，得到． 【详解】解：、分别表示数和， ， 四边形是正方形， ，， ， ，故B不符合题意； 的面积， 故D符合题意； ，表示的数分别为，， ， ， 一定是无理数，故C不符合题意； ，，， ， ， 的值随的变化而变化， 故A不符合题意． 故选：D． 题型模版 1.特征：数轴与实数问题. 2.方法：利用实数性质求解.. 变式3-1如图，数轴上点所表示的数为，点是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于点．点表示的数记为，点表示的数记为，则的值为_____． 【答案】 【分析】由题意可知：，由勾股定理可得，则，然后由图象可得，即可得到答案． 【详解】解：∵以点为圆心，长为半径画圆交数轴于点， ∴， 由图象可知，， ∴由勾股定理可得：， ， ， ． 变式3-2如图，数轴上点表示的数为1，点，，在的正方形网格的格点（网格线的交点）上．以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于，两点，则点表示的数为____________． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，正确数形结合分析是解题关键． 直接利用勾股定理得出的长，再利用数轴得出答案． 【详解】解：， ， ， ，， ， ， ∴点所表示的数为：． 故答案为：． 变式3-3如图，通过画边长为的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，则点表示的实数为_____．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．根据勾股定理可得，经过逐步推理计算即可． 【详解】解：由题意可得，， 且右侧最近的整数点为， 表示的数是， ， 表示的数是． 且右侧最近的整数点为， 表示的数是， ， 表示的数是． 故答案为：． 题型四、实数比较大小问题 典例4比较大小：和． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的比较大小，熟练掌握二次根式比较大小的方法是解题的关键； 运用作差法，判断两数之差的结果是否大于0． 【详解】解：． ，，且， ， ， ． 题型模版 1.特征：实数比较大小问题. 2.方法：利用实数性质求解.. 变式4-1比较大小： (1)与； (2)与． 【答案】(1)．(2)． 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握作差法比较大小是解题的关键． （1）直接利用作差法比较大小即可； （2）将两数相减得到，接着比较与的大小，将、分别平方即可比较大小，由此可比较原数的大小． 【详解】（1）解： ， ， ，即， ． （2）解： ． ，， ， ， ， ． 变式4-2比较大小： (1)与； (2)4，，． 【答案】(1)． (2)． 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握分数比较可通分或平方；不同根号形式的数比较可通过乘方化为同次幂，或转化为同一种根号形式是解题的关键． （1）两个分数比较大小，可通过通分或平方的方法比较分子大小； （2）三个数比较大小，可通过乘方化为相同次数的幂，或转化为同一种根号形式来比较． 【详解】（1）解：通分，将分母统一为： 比较分子​与， 平方得： ， ， 故：​​ ． （2）解：比较与：， ， ， 即 比较4与：， ， 综上所述，． 变式4-3比较下列各组数的大小： (1)与－3.4． (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数比较大小，熟练掌握实数比较大小的方法是解题的关键； （1）根据“正数大的反而小”进行比较两个负数的大小； （2）利用作差法比较大小． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵， ． （2）解：∵，且， ， ， ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．满足的所有整数的和是（     ） A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数大小的估算，解题的关键是掌握算术平方根的定义．估算和的取值范围，确定符合条件的整数后求和． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴满足的整数为， ∴这些整数的和为． 2．实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若，且b是无理数，则b的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴得出，进而推出，再结合选项分析即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∵， ∴， A、，若，则，不符合题意； B、，若，则，不符合题意； C、，若，则，符合题意； D、，若，则，不符合题意． 3．下列图形（甲和乙）中，不添加辅助线便可验证的是（   ） A．只有甲 B．只有乙 C．甲、乙均可 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，垂线段最短和三角形的三边关系，熟练掌握垂线段最短是解决本题的关键． 根据勾股定理及其逆定理的应用以及垂线段最短分析甲图，根据三角形的三边关系分析乙图，从而做出判断． 【详解】解：图甲中，∵， ∴三角形是直角三角形 再根据垂线段最短，可知， ∴图甲可验证； 图乙中，根据三角形的两边之和大于第三边可得 ∴ ∴ 无法验证； 故选：A． 二、填空题 4．若a为正整数，且满足，则______． 【答案】 【分析】先估算出的范围，确定介于哪两个连续正整数之间，再结合已知不等式即可求出的值． 【详解】解：，，且， ，即， ，且为正整数， ． 5．新考法如图1，在小正方形的边长为1的的网格中，，，，，各点都在格点上，如图2是一条数轴，其中点所表示的数可能是网格中线段____________的长度.（填“”“”“”或“”） 【答案】 【分析】利用勾股定理分别求出，，，的长度，再根据数轴上点的位置确定其取值范围，通过比较算术平方根的大小即可求解； 【详解】解：由勾股定理得：，，，， 由图2可知，点在与之间，且靠近， ，， ， ∴其中点所表示的数可能是网格中线段的长度． 6．比较大小：______（填“”或“”或“<”） 【答案】< 【分析】先利用无理数的估算判断两个式子的正负性，再根据实数的大小比较方法判断大小即可． 解题的关键在于正确估算出与的正负． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据负数小于正数，可得． 7．如图，数轴上点所表示的数为，点、、是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于点，．点表示的数记为，点表示的数记为，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，整式的运算，正确数形结合分析是解题关键． 根据图形，由勾股定理得出的长度，再得出、的值，即可求出的值． 【详解】解：观察图像可得， ∴， 故，， ∵， ∵， ， ∴， 故答案为：． 三、解答题 8．先化简再求值：，其中x，y满足． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，实数的性质，先去括号，然后合并同类项化简整式，再由被开方数大于等于0求出x的值，进而求出y的值，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴原式． 9．比较下列各组数中两个数的大小： (1)与． (2)与． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握作差法比较实数大小的方法是解题的关键． （1）使用作差法，计算两数之差，通过判断差的正负来比较大小； （2）使用作差法，计算两数之差，若差为正，则被减数大于减数． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ． 10．比较下列各组数中两个数的大小： (1)和3． (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握平方法比较正数大小和负数比较大小的规则是解题的关键． （1） 两个正数比较大小，可通过平方法，平方值大的原数更大．分别计算两数的平方，比较平方结果即可； （2） 两个负数比较大小，先比较它们的绝对值，用平方法比较绝对值的大小，再根据负数比较规则判断原数大小． 【详解】（1）解：，，， ． （2）解：，，， ， ． 11．我们知道，实数和数轴上的点是一一对应的，因此，实数都可以在数轴上找到相应的位置． (1)如图①，一个直角三角形的直角边落在数轴上，点与数轴原点重合，，，，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是 ； (2)在图②中，作出实数所在的位置．（保留必要的作图痕迹） 【答案】(1) (2)如图，点表示的实数为． 构造直角如图所示，直角边落在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，，则，， 由勾股定理得， 以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则， ∴点表示的实数为． 【分析】（1）根据勾股定理求出，得到，即可解答； （2）以实数为圆心，半径长作弧与数轴的交点即为表示的实数为，通过构造直角三角形得到半径长即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 由作图，可知， ∵点与数轴原点重合， ∴点表示的实数是； （2）略 12．解决下列问题： (1)写出两个无理数，使它们的差为，并写出具体算式； (2)如图2，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是 ； (3)有理数a、b、c在数轴上的位置如图1所示，试化简：． 【答案】(1)两个无理数分别是和， (2) (3)0 【分析】（1）根据无理数的定义写出一个无理数，然后写出另一个无理数等于其加5的和即可； （2）先利用勾股定理求出正方形对角线长，再根据数轴上两点之间的距离求解即可． （3）根据数轴上各点的位置，可以判断出，，即，，，由此进行化简即可； 【详解】（1）解：两个无理数分别是和， ∴． （2）解：正方形的对角线长， ∵以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧， 且点A在原点的左侧， ∴点A表示的数为：． （3）解：根据数轴可知∶，， ∴，，， ∴ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $