专题03 实数及其相关性质与运算（高效培优专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 以实数性质为核心，通过7类题型构建从概念理解到实际应用再到规律探究的完整训练体系，强化抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |实数的性质|6题|判断相反数、倒数等基本性质|概念辨析→夯实基础| |实数与数轴|6题|结合数轴比较大小、确定位置|几何直观→数形结合| |无理数估算与大小比较|6题|估算无理数范围、比较实数大小|数感培养→运算技能| |实数与程序运算|8题|按程序流程进行实数运算|逻辑推理→应用能力| |算术平方根非负性的应用|6题|利用非负性求代数式值|性质应用→方程思想| |平方根与立方根的应用|6题|解决体积、面积等实际问题|实际建模→应用意识| |规律探究|8题|探究平方根、立方根的数字规律|归纳推理→创新意识|

专题03 实数及其相关性质与运算 题型1 实数的性质 题型2 实数与数轴 题型3 无理数的估算与大小比较 题型4 实数与程序运算 题型5 算术平方根非负性的应用 题型6 平方根与立方根的应用 题型7 与平方根、立方根有关的规律探究 题型1 实数的性质 1．下列关于的说法错误的是（     ） A．的绝对值是 B．的相反数是 C．的倒数是 D．是有理数 【答案】D 【详解】解：∵ 负数的绝对值是它的相反数，，A选项说法正确； ∵ 只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是，B选项说法正确； ∵ 乘积为的两个数互为倒数，，的倒数是，C选项说法正确； ∵ 是开方开不尽的数，属于无理数，是无理数，不是有理数，D选项说法错误. 2．下列说法中，正确的是（    ） A．任何实数都有倒数 B．任何实数不是有理数就是无理数 C．任何实数都有平方根 D．任何实数不是正实数就是负实数 【答案】B 【详解】解：A、0没有倒数，故A错误； B、实数由有理数和无理数组成，故B正确； C、负数没有平方根，故C错误； D、0既不是正实数也不是负实数，故D错误， 故选：B． 3．下列说法正确的是（   ） A．实数是负数 B．实数的相反数是a C．实数的绝对值是a D．一定是正数 【答案】B 【详解】解：A. 当时，实数是正数，原说法错误； B. 实数的相反数是a，说法正确； C. 当时，实数的绝对值是，原说法错误； D. 一定是非负数，原说法错误； 故选：B． 4．下列说法正确的是（    ） A．绝对值是的数是5 B．的相反数是 C．的绝对值是 D．的相反数是 【答案】C 【详解】解：A、绝对值是的数是，故说法错误； B、的相反数是，故说法错误； C、的绝对值是，故说法正确； D、的相反数是，故说法错误； 故选：C． 5．已知实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为，求的值． 【答案】 【分析】 【详解】解：∵实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为， ∴， ∴， ∴． 6．下列实数：0，，，3，其中最小的是（   ） A．0 B． C． D．3 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 题型2 实数与数轴 7．如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段的中点，则点A表示的数（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵数轴上表示2，的点分别为点C，点B， ∴， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴点A表示的数为． 8．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由数轴得，， ∴，，，， 故选项A、B、C正确，不符合题意，选项D错误，符合题意． 9．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据数轴上点的位置可知，则， ∴，则B正确． 10．实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若，且b是无理数，则b的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∵， ∴， A、，若，则，不符合题意； B、，若，则，不符合题意； C、，若，则，符合题意； D、，若，则，不符合题意． 11．我们知道“实数与数轴上的点是一一对应的”．张华同学作了如下操作：以单位长度为边长画一个正方形（如图），以数字所在点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴的正半轴交于点A，则点A表示的实数为______． 【答案】 【详解】解： 正方形的边长为1， 对角线长， 圆心表示的数为，半径为，且点在圆心的右侧， 点表示的实数为，即． 12．如图，数轴上A，B两点表示的数分别是1和，点A关于点B的对称点是点C，则点C所表示的数是什么？ 【答案】 【详解】解：设点C表示的数为x， ∵点关于点的对称点是点， ∴， ∵数轴上，两点表示的数分别是和，点C表示的数为x， ∴， ∴， ∴点所表示的数是． 题型3 无理数的估算与大小比较 13．在实数，，，3中，最小的数是（     ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】解：3是正数，，，均为负数， ∵正数大于负数， ∴3是最大的数； ，，的绝对值分别为，，，且，，， ∵， ∴， ∵ 两个负数比较大小，绝对值大的数反而小， ∴， 故是最小的． 14．实数更接近下列哪个整数（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∵，且， ∴ ∴ ∴更接近整数10. 15．若，则整数n的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵已知，且为整数， ∴． 16．估计的值应在（     ）． A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【详解】∵，，， 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴的值在和之间． 17．读了《曹冲称象》的故事后，亮亮深受启发，他利用排水法测出了正方体物块的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（     ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【详解】解：由题意，得：正方体的棱长为， ∵， ∴； 故选：B． 18．已知（为整数），则的值是__________． 【答案】 【详解】解：，，且， ，即， 又，为整数， ． 题型4 实数与程序运算 19．如图，小辰用计算机设计了一个数值转换器，当输入为64时，输出是（  ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：当时，的立方根为，4的算术平方根为，是有理数； 2的算术平方根为， 故选：B． 20．按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为7，则输出的值为________． 【答案】 【详解】解：把代入运算程序得：． 故答案为：． 21．按如图所示的流程操作，当输入时，输出的值是______；当输出的值等于4时，输入的负数是______． 【答案】 8 【详解】解：当输入时，， ， ； 当输出的值等于4时，， 输入的负数是， 故答案为：8，． 22．如图，从“输入一个实数”到“结果是否大于”为一次程序操作，如果结果得到的数小于或等于，则用得到的这个数进行下一次操作，若输入后程序操作进行一次就停止了，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故选：． 23．如图，是一个数值转换器示意图，根据图示工作原理解决：当为时，的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当为时，，， ∵不是无理数， ∴输入，， ∵的算术平方根是，是无理数， ∴的值是， 故选：． 24．同学在信息技术课上设计了一个程序：当输入实数对时，会得到一个新的实数，例如输入时，就会得到实数（即）．若输入实数对时得到实数3，则___________． 【答案】或 【详解】解：当输入实数对时，会得到一个新的实数， 由输入实数对时得到实数3，可得， 即， 解得或， 故答案为：或． 25．下面是嘉嘉设计的运算程序． (1)若输入的值为，则输出的值为________； (2)若输入的值后，经过两次取立方根运算后，输出的值为，求输入的值． 【答案】(1) (2)27 【分析】 【详解】（1）解：输入的值为，是无理数，则输出的值为； 故答案为： （2）解：∵经过两次取立方根运算后，输出的值为， ∴第二次取立方根前的数是， ∴第一次取立方根前的数为，即输入x的值是27． 题型5 算术平方根非负性的应用 26．已知，则（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 27．关于代数式的值说法正确的是（     ） A．时最小 B．时最大 C．时最大 D．时最小 【答案】B 【详解】解：∵算术平方根的值为非负数， ∴， ∵代数式中，被减数固定，越小，代数式的值越大， ∴当取最小值时，代数式取得最大值，令， 解得，又不存在最大值，因此代数式不存在最小值， 故时，代数式的值最大． 28．若，则 的值为（     ） A． B．1 C．5 D． 【答案】A 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 29．若，则的值是（     ） A．5 B．3 C．1 D． 【答案】A 【详解】解：∵，，， ∴， 解得，， ∴． 30．代数式的最大值为 __． 【答案】2 【详解】解：， 当时，代数式有最大值，最大值为2． 31．若与互为相反数，求的值． 【答案】 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， 解得：，， ∴． 题型6 平方根与立方根的应用 32．已知某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（      ） A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍 【答案】D 【详解】解：设原正方体棱长为，改造后正方体棱长为． ∵正方体体积， 当时，； 当时，； ∴ ． 故改造后正方体的棱长是原来棱长的倍． 33．一条直线型的步道两边缘互相平行，步道的宽度为，甲和乙分别沿着步道的两边缘同时同向奔跑，出发时两人之间的距离为．在跑步过程中，两人之间的距离先变小后变大．当一个人先到达终点线时，两人之间的距离仍为．已知乙全程匀速跑，下列说法正确的是（   ）． A．跑步过程中，两人之间的距离可能为 B．跑步过程中，两人之间的距离可能为 C．若出发时乙在前，则甲不可能为匀速跑 D．若出发时甲在前，则甲的速度可能先慢后快 【答案】D 【详解】解：设两人沿步道前进方向的水平距离为，步道垂直距离恒为6，则两人实际直线距离， 最小距离：当水平距离时，m； 距离取值范围：， 两人之间的距离不可能为，A错误； 由两人之间的距离先变小后变大，到达终点线时，两人之间的距离仍为，则，两人之间的距离不可能为，B错误； 若出发时乙在前，初始乙领先沿步道8m，要让横向距离先缩小到0再拉回到8m，意味着甲需要先追上乙、再反超乙8m，总相对位移16m，若甲匀速、乙匀速，甲速度恒定大于乙，全程持续拉大差距，横向距离会先减小再增大，因此甲可能匀速，C错误； 若出发时甲在前，初始甲领先沿步道8m，要让横向距离先缩小到0再回到8m，需要乙先追上甲、再反超甲8m，乙全程匀速，若甲速度先慢后快：前期甲慢，乙快速拉近差距至相遇（，距离最小），后期甲加速，若甲加速后速度仍小于乙，乙会继续拉开差距至8m，满足距离先变小后变大、终点距离10m，这种运动情况成立．D正确． 34．已知一个体积为的正方体，则这个正方体的棱长为_____． 【答案】/分米 【详解】解：设正方体的棱长为， 由题意得：， ， 答：正方体的棱长为． 35．一个正方形的面积是，其边长是______；另一个正方形的面积是这个正方形面积的3倍，那么它的边长是______． 【答案】 【详解】解：设正方形的边长为，正方形面积满足，且边长， 对于第一个正方形，已知面积， ，， ； 对于第二个正方形，已知它的面积是第一个正方形面积的倍， ， ，， . 36．电流通过导线时，会产生热量，满足，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A，且），R为导线电阻（单位：），t为通电时间（单位：s）．当导线电阻为，通电时间为时，所产生的热量是，这时的电流是______A． 【答案】 【详解】解：把，，代入公式，得， 整理得，即， ∵， ∴. 37．如图，在方格中每个小正方形的边长都为1，把图中阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长为________． 【答案】 【详解】解：观察图形可知，阴影部分由上方的矩形和下方的梯形组成， 上方长方形长为2，宽为2， ∴上方长方形面积为， 下方梯形上底为2，下底为4，高为2， ∴下方梯形面积为， ∴阴影部分总面积为， 设新拼成的正方形边长为， ∵新正方形面积等于阴影部分面积 ， ∴， ∵， ∴， 新正方形的边长为． 题型7 与平方根、立方根有关的规律探究 38．图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形(如图2所示)演化而成的．如果图2中，那么的长为(    ) A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】解：∵， ∴由勾股定理可得， ， …… ， ∴． 39．已知；；；；；按此规律，若（，为正整数），则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：观察已知等式可得规律：对于正整数，有， 对比，可得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 40．根据下面表格中的数据规律，填空： x … 0.2026 2.026 20.26 202.6 2026 … … 0.4501 1.423 4.501 14.23 45.01 … … 0.5873 1.265 2.726 5.873 12.65 … 若，，则_______． 【答案】 【详解】解：由表格可得，被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动一位；被开方数的小数点向右或者向左移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动一位， ∴，， ∴． 41．小明发现，，，…，根据小明的发现解决问题：已知，，则的值为__________． 【答案】 【详解】解：由题可得被开方数的小数点每向左移动位，算术平方根的小数点向左移动位， ，是将的小数点向左移动位得到， 是将的小数点向左移动位，即． 42．如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第8行第6个数是_________． 【答案】 【详解】解：由数阵可得，整个数阵从每一行左起第一个数开始，从左到右，从上到下，是连续的正整数的算术平方根， 且第1行的第1个数是1的算术平方根，而， 第2行的第1个数是3的算术平方根，而， 第3行的第1个数是7的算术平方根，而， 第4行的第1个数是13的算术平方根，而， …… 第8行的第1个数是的算术平方根，即， 第6个数是的算术平方根，即． 43．小明在学完立方根后，不知道如何在不使用计算器的情况下求出的立方根．同桌小华提醒他可以按照教材上数学家华罗庚的方法口算立方根，于是他们进行了下面的探究： ①首先进行估算：因为，，，所以，所以能确定是两位数． ②其次观察立方数：，，，，，，，，．由的个位上的数是，，确定的个位上的数是． ③接着划去后面的三位得到数，而，，，所以，所以，所以的十位上的数是，于是得到，即的立方根是． 请你根据小明和小华探究的方法完成下列问题： (1)填空：的立方根是一个______位数，其个位上的数是_______； (2)根据上面的步骤，请计算的立方根，并书写详细过程． 【答案】(1)两， (2)解：． 详细过程如下： ，，， ， 的立方根是一个两位数， 由的个位上的数是，，可得的个位数为， 接着划去后面的三位得到数，而，，则， ， ， ， 的十位上的数是，结合其个位上的数是，于是得到， 即的立方根是． 【分析】 【详解】（1）解：，，， ， 的立方根是一个两位数， 由的个位上的数是，，可得的个位数为； （2）略 44．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求24389的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ 下面是小超的探究过程，请补充完整： (1)已知是一个整数的立方，求； ①由，，可以确定是________位数； ②由24389的个位上的数字是9，可以确定的个位上的数字是________； ③如果划去24389后面的三位389得到数24，而，，可以确定的十位上的数字是________；由此求得________ (2)已知592704也是一个整数的立方，用类似的方法可以求的值． 【答案】(1)两；；， (2) 【详解】（1）， ， 是两位数； 的个位数字是，中只有数字的立方的个位数字是， 的个位数字是； ， 的十位数字是， ； （2）， ， 是两位数， 的个位数字是，中只有数字的立方的个位数字是， 的个位数字是，划去后三位，得到数， ， 十位数的数是， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 实数及其相关性质与运算 题型1 实数的性质 题型2 实数与数轴 题型3 无理数的估算与大小比较 题型4 实数与程序运算 题型5 算术平方根非负性的应用 题型6 平方根与立方根的应用 题型7 与平方根、立方根有关的规律探究 题型1 实数的性质 1．【答案】D 【详解】解：∵ 负数的绝对值是它的相反数，，A选项说法正确； ∵ 只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是，B选项说法正确； ∵ 乘积为的两个数互为倒数，，的倒数是，C选项说法正确； ∵ 是开方开不尽的数，属于无理数，是无理数，不是有理数，D选项说法错误. 2．【答案】B 【详解】解：A、0没有倒数，故A错误； B、实数由有理数和无理数组成，故B正确； C、负数没有平方根，故C错误； D、0既不是正实数也不是负实数，故D错误， 故选：B． 3．【答案】B 【详解】解：A. 当时，实数是正数，原说法错误； B. 实数的相反数是a，说法正确； C. 当时，实数的绝对值是，原说法错误； D. 一定是非负数，原说法错误； 故选：B． 4．【答案】C 【详解】解：A、绝对值是的数是，故说法错误； B、的相反数是，故说法错误； C、的绝对值是，故说法正确； D、的相反数是，故说法错误； 故选：C． 5．【答案】 【分析】 【详解】解：∵实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为， ∴， ∴， ∴． 6．【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 题型2 实数与数轴 7．【答案】D 【详解】解：∵数轴上表示2，的点分别为点C，点B， ∴， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴点A表示的数为． 8．【答案】D 【详解】解：由数轴得，， ∴，，，， 故选项A、B、C正确，不符合题意，选项D错误，符合题意． 9．【答案】B 【详解】解：根据数轴上点的位置可知，则， ∴，则B正确． 10．【答案】C 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∵， ∴， A、，若，则，不符合题意； B、，若，则，不符合题意； C、，若，则，符合题意； D、，若，则，不符合题意． 11．【答案】 【详解】解： 正方形的边长为1， 对角线长， 圆心表示的数为，半径为，且点在圆心的右侧， 点表示的实数为，即． 12．【答案】 【详解】解：设点C表示的数为x， ∵点关于点的对称点是点， ∴， ∵数轴上，两点表示的数分别是和，点C表示的数为x， ∴， ∴， ∴点所表示的数是． 题型3 无理数的估算与大小比较 13．【答案】A 【详解】解：3是正数，，，均为负数， ∵正数大于负数， ∴3是最大的数； ，，的绝对值分别为，，，且，，， ∵， ∴， ∵ 两个负数比较大小，绝对值大的数反而小， ∴， 故是最小的． 14．【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∵，且， ∴ ∴ ∴更接近整数10. 15．【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵已知，且为整数， ∴． 16．【答案】B 【详解】∵，，， 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴的值在和之间． 17．【答案】B 【详解】解：由题意，得：正方体的棱长为， ∵， ∴； 故选：B． 18．【答案】 【详解】解：，，且， ，即， 又，为整数， ． 题型4 实数与程序运算 19．【答案】B 【分析】 【详解】解：当时，的立方根为，4的算术平方根为，是有理数； 2的算术平方根为， 故选：B． 20．【答案】 【详解】解：把代入运算程序得：． 故答案为：． 21．【答案】 8 【详解】解：当输入时，， ， ； 当输出的值等于4时，， 输入的负数是， 故答案为：8，． 22．【答案】B 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故选：． 23．【答案】A 【详解】解：当为时，，， ∵不是无理数， ∴输入，， ∵的算术平方根是，是无理数， ∴的值是， 故选：． 24．【答案】或 【详解】解：当输入实数对时，会得到一个新的实数， 由输入实数对时得到实数3，可得， 即， 解得或， 故答案为：或． 25．【答案】(1) (2)27 【分析】 【详解】（1）解：输入的值为，是无理数，则输出的值为； 故答案为： （2）解：∵经过两次取立方根运算后，输出的值为， ∴第二次取立方根前的数是， ∴第一次取立方根前的数为，即输入x的值是27． 题型5 算术平方根非负性的应用 26．【答案】B 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 27．【答案】B 【详解】解：∵算术平方根的值为非负数， ∴， ∵代数式中，被减数固定，越小，代数式的值越大， ∴当取最小值时，代数式取得最大值，令， 解得，又不存在最大值，因此代数式不存在最小值， 故时，代数式的值最大． 28．【答案】A 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 29．【答案】A 【详解】解：∵，，， ∴， 解得，， ∴． 30．【答案】2 【详解】解：， 当时，代数式有最大值，最大值为2． 31．【答案】 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， 解得：，， ∴． 题型6 平方根与立方根的应用 32．【答案】D 【详解】解：设原正方体棱长为，改造后正方体棱长为． ∵正方体体积， 当时，； 当时，； ∴ ． 故改造后正方体的棱长是原来棱长的倍． 33．【答案】D 【详解】解：设两人沿步道前进方向的水平距离为，步道垂直距离恒为6，则两人实际直线距离， 最小距离：当水平距离时，m； 距离取值范围：， 两人之间的距离不可能为，A错误； 由两人之间的距离先变小后变大，到达终点线时，两人之间的距离仍为，则，两人之间的距离不可能为，B错误； 若出发时乙在前，初始乙领先沿步道8m，要让横向距离先缩小到0再拉回到8m，意味着甲需要先追上乙、再反超乙8m，总相对位移16m，若甲匀速、乙匀速，甲速度恒定大于乙，全程持续拉大差距，横向距离会先减小再增大，因此甲可能匀速，C错误； 若出发时甲在前，初始甲领先沿步道8m，要让横向距离先缩小到0再回到8m，需要乙先追上甲、再反超甲8m，乙全程匀速，若甲速度先慢后快：前期甲慢，乙快速拉近差距至相遇（，距离最小），后期甲加速，若甲加速后速度仍小于乙，乙会继续拉开差距至8m，满足距离先变小后变大、终点距离10m，这种运动情况成立．D正确． 34．【答案】/分米 【详解】解：设正方体的棱长为， 由题意得：， ， 答：正方体的棱长为． 35．【答案】 【详解】解：设正方形的边长为，正方形面积满足，且边长， 对于第一个正方形，已知面积， ，， ； 对于第二个正方形，已知它的面积是第一个正方形面积的倍， ， ，， . 36．【答案】 【详解】解：把，，代入公式，得， 整理得，即， ∵， ∴. 37．【答案】 【详解】解：观察图形可知，阴影部分由上方的矩形和下方的梯形组成， 上方长方形长为2，宽为2， ∴上方长方形面积为， 下方梯形上底为2，下底为4，高为2， ∴下方梯形面积为， ∴阴影部分总面积为， 设新拼成的正方形边长为， ∵新正方形面积等于阴影部分面积 ， ∴， ∵， ∴， 新正方形的边长为． 题型7 与平方根、立方根有关的规律探究 38．【答案】C 【详解】解：∵， ∴由勾股定理可得， ， …… ， ∴． 39．【答案】A 【详解】解：观察已知等式可得规律：对于正整数，有， 对比，可得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 40． 【答案】 【详解】解：由表格可得，被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动一位；被开方数的小数点向右或者向左移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动一位， ∴，， ∴． 41．【答案】 【详解】解：由题可得被开方数的小数点每向左移动位，算术平方根的小数点向左移动位， ，是将的小数点向左移动位得到， 是将的小数点向左移动位，即． 42．【答案】 【详解】解：由数阵可得，整个数阵从每一行左起第一个数开始，从左到右，从上到下，是连续的正整数的算术平方根， 且第1行的第1个数是1的算术平方根，而， 第2行的第1个数是3的算术平方根，而， 第3行的第1个数是7的算术平方根，而， 第4行的第1个数是13的算术平方根，而， …… 第8行的第1个数是的算术平方根，即， 第6个数是的算术平方根，即． 43．【答案】(1)两， (2)解：． 详细过程如下： ，，， ， 的立方根是一个两位数， 由的个位上的数是，，可得的个位数为， 接着划去后面的三位得到数，而，，则， ， ， ， 的十位上的数是，结合其个位上的数是，于是得到， 即的立方根是． 【分析】 【详解】（1）解：，，， ， 的立方根是一个两位数， 由的个位上的数是，，可得的个位数为； （2）略 44．【答案】(1)两；；， (2) 【详解】（1）， ， 是两位数； 的个位数字是，中只有数字的立方的个位数字是， 的个位数字是； ， 的十位数字是， ； （2）， ， 是两位数， 的个位数字是，中只有数字的立方的个位数字是， 的个位数字是，划去后三位，得到数， ， 十位数的数是， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 实数及其相关性质与运算 题型1 实数的性质 题型2 实数与数轴 题型3 无理数的估算与大小比较 题型4 实数与程序运算 题型5 算术平方根非负性的应用 题型6 平方根与立方根的应用 题型7 与平方根、立方根有关的规律探究 题型1 实数的性质 1．下列关于的说法错误的是（     ） A．的绝对值是 B．的相反数是 C．的倒数是 D．是有理数 2．下列说法中，正确的是（    ） A．任何实数都有倒数 B．任何实数不是有理数就是无理数 C．任何实数都有平方根 D．任何实数不是正实数就是负实数 3．下列说法正确的是（   ） A．实数是负数 B．实数的相反数是a C．实数的绝对值是a D．一定是正数 4．下列说法正确的是（    ） A．绝对值是的数是5 B．的相反数是 C．的绝对值是 D．的相反数是 5．已知实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为，求的值． 6．下列实数：0，，，3，其中最小的是（   ） A．0 B． C． D．3 题型2 实数与数轴 7．如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段的中点，则点A表示的数（     ） A． B． C． D． 8．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 9．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 10．实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若，且b是无理数，则b的值可以是（     ） A． B． C． D． 11．我们知道“实数与数轴上的点是一一对应的”．张华同学作了如下操作：以单位长度为边长画一个正方形（如图），以数字所在点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴的正半轴交于点A，则点A表示的实数为______． 12．如图，数轴上A，B两点表示的数分别是1和，点A关于点B的对称点是点C，则点C所表示的数是什么？ 题型3 无理数的估算与大小比较 13．在实数，，，3中，最小的数是（     ） A． B． C． D．3 14．实数更接近下列哪个整数（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 15．若，则整数n的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 16．估计的值应在（     ）． A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 17．读了《曹冲称象》的故事后，亮亮深受启发，他利用排水法测出了正方体物块的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（     ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 18．已知（为整数），则的值是__________． 题型4 实数与程序运算 19．如图，小辰用计算机设计了一个数值转换器，当输入为64时，输出是（  ） A． B． C．2 D． 20．按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为7，则输出的值为________． 21．按如图所示的流程操作，当输入时，输出的值是______；当输出的值等于4时，输入的负数是______． 22．如图，从“输入一个实数”到“结果是否大于”为一次程序操作，如果结果得到的数小于或等于，则用得到的这个数进行下一次操作，若输入后程序操作进行一次就停止了，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 23．如图，是一个数值转换器示意图，根据图示工作原理解决：当为时，的值是（    ） A． B． C． D． 24．同学在信息技术课上设计了一个程序：当输入实数对时，会得到一个新的实数，例如输入时，就会得到实数（即）．若输入实数对时得到实数3，则___________． 25．下面是嘉嘉设计的运算程序． (1)若输入的值为，则输出的值为________； (2)若输入的值后，经过两次取立方根运算后，输出的值为，求输入的值． 题型5 算术平方根非负性的应用 26．已知，则（     ） A．1 B． C．2 D． 27．关于代数式的值说法正确的是（     ） A．时最小 B．时最大 C．时最大 D．时最小 28．若，则 的值为（     ） A． B．1 C．5 D． 29．若，则的值是（     ） A．5 B．3 C．1 D． 30．代数式的最大值为 __． 31．若与互为相反数，求的值． 题型6 平方根与立方根的应用 32．已知某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（      ） A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍 33．一条直线型的步道两边缘互相平行，步道的宽度为，甲和乙分别沿着步道的两边缘同时同向奔跑，出发时两人之间的距离为．在跑步过程中，两人之间的距离先变小后变大．当一个人先到达终点线时，两人之间的距离仍为．已知乙全程匀速跑，下列说法正确的是（   ）． A．跑步过程中，两人之间的距离可能为 B．跑步过程中，两人之间的距离可能为 C．若出发时乙在前，则甲不可能为匀速跑 D．若出发时甲在前，则甲的速度可能先慢后快 34．已知一个体积为的正方体，则这个正方体的棱长为_____． 35．一个正方形的面积是，其边长是______；另一个正方形的面积是这个正方形面积的3倍，那么它的边长是______． 36．电流通过导线时，会产生热量，满足，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A，且），R为导线电阻（单位：），t为通电时间（单位：s）．当导线电阻为，通电时间为时，所产生的热量是，这时的电流是______A． 37．如图，在方格中每个小正方形的边长都为1，把图中阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长为________． 题型7 与平方根、立方根有关的规律探究 38．图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形(如图2所示)演化而成的．如果图2中，那么的长为(    ) A． B． C． D．3 39．已知；；；；；按此规律，若（，为正整数），则的值为（     ） A． B． C． D． 40．根据下面表格中的数据规律，填空： x … 0.2026 2.026 20.26 202.6 2026 … … 0.4501 1.423 4.501 14.23 45.01 … … 0.5873 1.265 2.726 5.873 12.65 … 若，，则_______． 41．小明发现，，，…，根据小明的发现解决问题：已知，，则的值为__________． 42．如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第8行第6个数是_________． 43．小明在学完立方根后，不知道如何在不使用计算器的情况下求出的立方根．同桌小华提醒他可以按照教材上数学家华罗庚的方法口算立方根，于是他们进行了下面的探究： ①首先进行估算：因为，，，所以，所以能确定是两位数． ②其次观察立方数：，，，，，，，，．由的个位上的数是，，确定的个位上的数是． ③接着划去后面的三位得到数，而，，，所以，所以，所以的十位上的数是，于是得到，即的立方根是． 请你根据小明和小华探究的方法完成下列问题： (1)填空：的立方根是一个______位数，其个位上的数是_______； (2)根据上面的步骤，请计算的立方根，并书写详细过程． 44．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求24389的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ 下面是小超的探究过程，请补充完整： (1)已知是一个整数的立方，求； ①由，，可以确定是________位数； ②由24389的个位上的数字是9，可以确定的个位上的数字是________； ③如果划去24389后面的三位389得到数24，而，，可以确定的十位上的数字是________；由此求得________ (2)已知592704也是一个整数的立方，用类似的方法可以求的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $