专题04 二次根式的性质、运算与综合应用（高效培优专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 覆盖二次根式全维度考法，从概念理解到创新探究形成递进训练体系，培养抽象能力、运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |字母参数问题|6题|考查最简二次根式概念及合并条件|基于二次根式定义，构建概念理解基础| |性质化简|6题|结合数轴与绝对值考查√a²=|a|应用|衔接概念与性质，强化符号意识| |四则运算|6题|涵盖加减乘除及混合运算|夯实运算能力，为综合应用奠基| |化简求值|6题|涉及整体代入与平方差技巧|综合运算与代数变形的结合| |实际应用|6题|包含面积、物理公式等模型|体现数学语言描述现实世界的应用意识| |新定义运算|6题|需阅读理解并迁移知识|培养创新思维与知识迁移能力| |规律探究|6题|通过归纳推理发现运算规律|发展推理意识，深化数学思维|

专题04 二次根式的性质、运算与综合应用 题型1 二次根式中的字母参数问题 题型2 利用二次根式的性质进行化简 题型3 二次根式的四则运算 题型4 二次根式的化简求值问题 题型5 二次根式的实际应用问题 题型6 新定义运算下的二次根式计算 题型7 二次根式相关的规律探究问题 题型1 二次根式中的字母参数问题 1．若是一个整数，则正整数m的最小值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．最简二次根式和可以合并，那么（     ） A．2 B． C．3 D． 3．若最简二次根式与能合并，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．若最简二次根式与相等，则_______． 5．当__________时，二次根式的值为0． 6．若最简二次根式与可以合并，则______________． 题型2 利用二次根式的性质进行化简 7．化简：________． 8．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 9．实数a在数轴上的位置如图所示，化简（     ） A． B．1 C． D． 10．实数 ， 在数轴上对应，点的位置如图所示，则化简代数式的结果是（     ） A． B． C． D． 11．若，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 12．把中根号外的移入根号内得________． 题型3 二次根式的四则运算 13．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 14．计算的结果为__________． 15．已知，求的值； 16．计算： (1)； (2)． 17．计算 (1) (2)； 18．计算： (1)； (2)． 题型4 二次根式的化简求值问题 19．已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 20．已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 21．已知，，则的值为__________． 22．已知，则的值为_________． 23．解答 (1)已知，，求的值． (2)若，求的值． 24．已知． (1)求和的值； (2)利用（1）的结论求的值． 题型5 二次根式的实际应用问题 25．口袋公园是指面向公众开放、规模较小、具有一定游憩功能的公园绿化活动场地．为了满足市民对“推窗见绿、出门入园”美好生活的向往，青阳县园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形口袋公园．已知正方形和正方形的面积分别为，，则该口袋公园的总面积为（     ） A． B． C． D． 26．高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，物体自由下落的高度与所需的时间满足关系式，如果1个鸡蛋从离地面的高空落下，则鸡蛋落到地面所用的时间是_________． 27．电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得就越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广．已知电视塔高与电视节目的信号传播半径之间满足，其中．若一个电视塔的高度为，求该电视塔发射节目信号的传播半径． 28．某小区计划修建一个正方形健身活动区，并在活动区中心设置一个矩形休息平台，其余区域铺设塑胶地面．已知正方形健身区的边长为米，矩形休息平台的长为米，宽为米，求铺设塑胶地面的面积． 29．动物在跳跃的过程中，起跳后身体重心升高的高度与其起跳时的竖直速度之间满足关系式（其中为重力加速度，取近似值）．若某只兔子起跳后重心升高了，求这只兔子起跳时的竖直速度．（结果化为最简二次根式） 30．“欲穷千里目，更上一层楼”说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，通常取． (1)小王站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度为，他观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔，这座山顶部到海边的最短距离约为，天气晴朗时站在山顶部（人的身高忽略不计）能否看到大海？请说明理由． 题型6 新定义运算下的二次根式计算 31．对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算：（），如，则_________． 32．我们发现：，，，…，，一般地，对于正整数a、b，如果满足，那么称为一组“完美方根数对”．如上面是一组“完美方根数对”．下面3个结论： ①是“完美方根数对”； ②数对不可能是“完美方根数对”； ③若，且是“完美方根数对”，则满足条件的共有30组；其中正确的结论有（     ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 33．定义一种新运算：，则_______． 34．符号“＊”表示一种新的运算，规定，则的值为______． 35．【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如： ，等． (1)【猜想】___________，并证明你的猜想； (2)【推理证明】请你用一个正整数（为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明． (3)【创新应用】按此规律，若（，为正整数），求的平方根. 36．【阅读理解】我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数为“完美组合数”． (1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由． (2)若三个数，a，是“完美组合数”且其中两个数乘积的算术平方根为10，求a的值． 题型7 二次根式相关的规律探究问题 37．设，，，…，，则的值为（   ） A． B． C． D． 38．已知按照一定规律排成的一列实数：，…按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是_________． 39．解答下列各题： (1)发现，①；②；③；写出：④______． (2)归纳猜想：若为正整数且，用含的式子表示这个运算规律______． (3)请证明你猜想的规律． 40．学习完《二次根式》后，聪聪发现了下面这类有趣味的试题，请你根据他的探索过程，解答下列问题： 具体运算，发现规律 (1)，，，计算：________ 观察归纳，写出结论 (2)________（n为正整数） 灵活运用，提升能力（备注：，） (3)请利用你所发现的规律，计算的值． 41．观察下列各式． (1)根据以上规律猜想，a为正整数，则______． (2)你从以上各式发现什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来．并注明n的取值范围． (3)证明你在（2）中写出的等式是正确的． 42．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04二次根式的性质、运算与综合应用 题型归纳 题型1二次根式中的字母参数问题 题型2利用二次根式的性质进行化简 题型3二次根式的四则运算 题型4二次根式的化简求值问题 题型5二次根式的实际应用问题 题型6新定义运算下的二次根式计算 题型7二次根式相关的规律探究问题 题型专练 题型1二次根式中的字母参数问题 1.【答案】C 【详解】解：V12m=√4×3m=23m, 又V12m是整数， ∴.√3m是整数，即3m为完全平方数， 要找最小的正整数m, ∴.满足条件的最小正整数m=3 2.【答案】A 【详解】，最简二次根式2W4m-1和√2m+3可以合并， .4m-1=2m+3, 解得：m=2. 3.【答案】A 【详解】解：V27=35, :最简二次根式√5-2a与V27能合并， 1/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “.最简二次根式V5-2a与3W3是同类二次根式， .5-2a=3, 解得a=1, 故选：A. 4.【答案】2 【详解】解：，最简二次根式W2a+5与√4a+3b相等， a+1=2,2a+5=4a+3b, 解得a=1,b=1, ∴.a+b=1+1=2 5.【答案】2 【详解】解：根据题意可得：x-2=0,解得：x=2. 故答案为：2 6.【答案】1 【详解】解：先化简V32, 得V32=4v2 :最简二次根式Vm+1与V32可以合并， ∴.二者为同类二次根式，最简形式下被开方数相等. 即m+1=2. 解得m=1。 题型2利用二次根式的性质进行化简 7.【答案】13 【详解】解： V-13y=V132=13」 8.【答案】D 【详解】解：V(-2)?×8×3=V4×8×3=√96=√16×6=4v6」 9.【答案】B 【详解】解：由图知l<a<2, ∴.a-1>0,a-2<0 ∴.la-1+V(a-2) 2/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =la-1+la-2 =(a-1)+(2-a) =a-1+2-a =1. 10.【答案】B 【详解】解：由数轴可得b<a<0, a+b<0, ..la+bl-Va =-(a+b)-(-a) =-a-b+a =-b 11.【答案】C 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得-xy≥0， x<0, x3<0, .-x3>0, .y≥0 :x<0,y≥0」 .-xy≥0 xy== :x<0 :F=以=-x, .原式=-xVy 12.【答案】 --a 【详解】解：：二次根式的被开方数为非负数，且分母不为0， 0 ->0 a-1<0,即l-a>0, 3/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 - -Va-o I-a =-V1-a 题型3二次根式的四则运算 13.【答案】D 【详解】解：V-22=V4=2,A错误： :32-V2=2V2,B错误： V54÷6=V54÷6=V9=3,∴C错误： 6-6--2,D正 14.【答案】23 【详解】解：(27+5)(2万-√5) =(2-(5 =28-5 =23 15【路灯 【详解1解：x=5,5,y=546 2 2 x+y-5,5,5+5-5.-5,55+5- 2 2 22 .x2-y+y2 =(x+y)}-3xy =(5-3x对 4/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16. 【答案】四8-2 (21+V5 【详解】解：)5x反-+( =6-5+2 2 8② 2· 2-2)+(6-2(6+2+2-5 -1+[6-2]+5-2 =1+6-4+V5-2 =1+5, 17.【答案】(1) -5 (2) -6 2x6-5+1 【详解】（山）解：原式=-3+ =-3+2-5+1 =-5 (②)解：原式=(2-(32) =12-18 =-6 18.【答案】(1) 3W2 10 (2) 4+√6 【详解】(4)解：22x55N5 5/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 45x ÷5√2 4 =3÷5√2 35 10: a解压+5-+网 =v48=3-2×12+26 =4-6+2√6 =4+6. 题型4二次根式的化简求值问题 19.【答案】A 【详解】解：x=2+V3 (2-5)x=(2-5)2+5)=4-3=1, ·7-4w3=22-2x2×V3+5=(2-, .原式=(2-5)2x2+(2-5)x+3 =[2-5)x了+(2-5)x+5 =12+1+V5 =2+V5 20.【答案】C 【详解】解：“x+=V万， 5 1 x2+ -2 （x=5-2=3, 6/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x-1=t5 21.【答案】4V5 【详解】解：由平方差公式可得x-y=(c-y)(x+y) :x=V5+1,y=V5-1, x+y=(5+1+5-)=25 x-y=(5+1-(5-1)=2 x2-y2=(x-y)(x+y)=2×2W5=45. 22.【答案】26 1 【详解】解：√c+ =5 x4+2=25, x4=23 x2+1=23x:代入+3x+1得， 1 23x+3x26· 23.【答案】（①）4V2 (②)V5+6 【分析】 【#1山解55万s-阿-. ⑧+7(（W8+7)8-78-7 灰=8-=8-7=8-7， -8a可 ；(8+万列( 7/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F=⑧+=⑧+列=⑧+万， G+=(⑧-7)+(8+万)=2⑧=2x22=42 xy+2+ x+y vx+y E+5=4w5 5+2（5+2-5+2, (2)解：a=5-2(5-25+2)5-4 移项得a-2=V5, 两边平方得a2-4a+4=5, a2-4a=1, ∴.a2=1+4a, a4-4a3-3a+3 =a2(a2-4a）-3a+3 =a2.1-3a+3 =a2-3a+3 =(1+4a)-3a+3 =a+4 =V5+2+4 =√5+6. 24.【答案】()46,1 (2)98 【分析】 【详解】(1)解：依题意，a-b=(2+-(2-V3 [(2+5)+(2-小x[（2+5)-(2-5] =(2+3+2-5)x(2+5-2+) =2V2×2V5 =46 则ab=(2+5'×(2-5 8/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [【（2+52-)订 [-] =(2-3 =(-1 =1. (2)解：由(1)得a-b=4V6,ab=1, .a2+b2=(a-b)}+2ab=(4V6+2×1=16x6+2=98 题型5二次根式的实际应用问题 25.【答案】B 【详解】解：，正方形ABFE和正方形GFCH的面积分别为250m2,90m2, .'EF =250m=5v10m,GH=GF=90m=3v10m, .'GE =EF-GF=2v10m. ∴矩形DEGH的面积为GE.GH=2V0×310=60(m2). ∴该口袋公园的总面积为250+90+60=400(m2） 26.【答案】2V3 h 【详解】解：把h=60代入t-V5,得1= 60-2=25, ∴如果1个鸡蛋从离地面60m的高空落下，则鸡蛋落到地面所用的时间是2√③s 27.【答案】该电视塔发射节目信号的传播半径为80m, 【详解】解：：r=√2Rh,R=6400km,h=0.5km, r=√2×6400×0.5=√6400=80(km) 答：该电视塔发射节目信号的传播半径为80km, 28.【答案】铺设塑胶地面的面积为(26+20W5)平方米 【详解】解：(25+5)-(25+125-1 =12+20W3+25-(12-1) =12+20W3+25-11 9/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =(26+20W5(平方米)， :铺设塑胶地面的面积为(26+20√5)平方米。 5V2 29.【答案】 m/s 2 5v2 【详解】解：由条件可得82×10， 25 即v2- 2. 由题意可得v>0, 255V2 v=2(m) 2 答：这只兔子起跳时的竖直速度是2 m/s, 30.【答案】(1)16 (②)解：天气晴朗时站在山顶部（人的身高忽略不计）能看到大海，理由如下： 当h=320m=0.32km时， d≈V2×0.32×6400=64. :64>60. .天气晴朗时站在山顶部（人的身高忽略不计）能看到大海， 【分析】 【详解】(1)解：由题意得，d≈V2×0.02×6400=16: (2)略 题型6新定义运算下的二次根式计算 1 31. 【答案】4-0.25 【详解】解：由题意可得，（←2）☆6=V2+6-1 -2-64 32.【答案】D 【详解】解：根据定义，若(a,b)是“完美方根数对”，则vQ+b=b(a,b为正整数)，两边平方得： a+b=b2,即a=b2-b ①验证(12,4)：b=4,b2-b=16-4=12=a, 10116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (12,4)是“完美方根数对”，①正确： ②验证(28，m):若(28，m)是“完美方根数对”， 则m2-m=28,即m2-m-28=0, 该方程无正整数解，因此(28，m)不可能是“完美方根数对”，②正确； ③若x+y<1000,(x,y)是“完美方根数对”：x=y2-y, ∴.x+y=y2<1000. 又x是正整数， “x=y2-y>0,y为正整数，得y≥2， 312=961<1000,322=1024>1000, ·y可取2,3…，31，共31-2+1=30组，③正确： 综上，三个结论都正确，正确结论个数为3. 33.【答案】9-4V51-45+9 【详解】解：1<8， 1⑧8=1×8=8=2， V5>2, 5⑧2=(5-2=(5-2×2×5+22=5-45+4=9-4W5, .V5⑧1⑧8)=9-45 34.【答案】2 【详解】解：由题意得：8*2=8×反-=4-2=2 35.【答案】(1)解： 5 5 V5454 证明如下： .5 524 24×5+5 52×5 5 24 =24=5 n n (2)解： 证明如下： 11/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 n n'-n+nn2.nn ( 为正整数)： (3)±7W2 【分析】 【详解】(1)略 (2)略 9 (3)解：a+ b a=9 ∴根据(2)规律可得： a2-1=b a=9 解得：1b=80 ∴.2a+b=98」 .±2a+b=±98=±72. 36.【答案】（山-25，-9，-4这三个数是“完美组合数”，理由如下： :V-25)×(-9)=15,V-25)×(-4)=10 V(-9)×(4)=6,其结果15,10,6都是整数， .-25,-9,-4这三个互不相等的负整数是“完美组合数”. (2)a=-20 【分析】 【详解】(1)解：略。 (2)解：①当V-80)a=10时，-80a=100, 5 解得a=一4不符合题意，舍去： ②当V(-5)a=10时，-5a=100, 解得a=-20, 此时V-80)×(-20)=40,V-80)×(-5)=20, 且结果10,40,20都是整数，-80，-20，-5这三个数是“完美组合数”，符合题意. 综上所述，a=-20 题型7二次根式相关的规律探究问题 12116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 37.【答案】C 【1解=1-月 。。。。。 S=1+1+ n(n+1)+12 n(n+1) .+2+...+Sxs 23 35×36+1)2 2×3 35×36 1x2+1+2x3+1+.+ 35×36+1 1×2 2×3 35×36 11 1 1 +1+ +…+1+ 1×2 2×3 35×36 =1+1-1+ 11 11 +…+1+ 223 3536 =35+1-1 36 35435 36 3535 36· 38. 【答案】-V2026 【详解】解：由已知条件可得，数列中各项的被开方数是从1开始的连续自然数，每3个数为一组，分组规律 为：每组第一个为负平方根，第二个为正平方根，第三个为正立方根，且每个数的被开方数等于该项的项 数 2026÷3=675…1. ∴.第2026个数是第676组的第1个数，为负平方根，被开方数为2026，即-√2026. 39.【答案】(1) 11√4 V525=5 (2) 13116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11√n-1 Vn nn (3) 见解析 【分析】 11-2-1_1 【详解】()解：观察已知式子：n=2时：交=22 113-12 n=3时：5京=3=3， 11√4-15 n=4时：V4=4=4， 11√4 因此第④个式子对应n=5”可得525=5： (2)解：根据上述规律， 11Vn-1 直接得出。、 ≥2（n为正整数)时的运算规律为：疗= n n: (3)证明： ,n≥2， =n, ,-n 11-n-1 即n n 1 40.【答案】(020 n2+n+1 (②nn+) 690 【分析】 V+家++=2头 11 【详解】(1)解：由题意得， 4×520 14/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11 13 (2)解： 1+京+2=1+ 1x22 1,1 1+2+ 1+17 2×36 11 113 1++ =1+ 3×412 ”, 411 以此类推可知， =1+ 1n2+n+1 Yn2(+1yn(n+)n(n+): 11 1,1 1+、 1 1 -+1+ -+1+ 1×22×33×4 +…+1+ 9×10 ,1,11,11,,11) =912234 +…+。 910 90 9 =9+ 10 9 =9 10 41.【答案】(1)24 n n ②n+mn≥2为整数) (3) n 证明： n2-1 n(n2-1)+n n2-1 n-ntn n2-1 Vn2-1 n =√（n≥2且n为整数) 15116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】 5 【详解】（山）解：根据前3个式子，可得+24=5 故a为24 n n (2)解：①由前面式子得出： +=√n-（n≥2且为整数) (3)略 42. 【答案】((i+3(厅-3+5=7 (2 猜想：第n个等式为(V2n+1+V2n-12n+1-√2n-)+n=n+2, 证明：左边=(N2n+1+2n-可√2n+1-V2n-)）+n=2n+1-(2n-1)+n=n+2, 又，右边=n+2 左边=右边， ∴原等式成立 【分析】 【详解】（山）解：观察规律可得，第5个等式为(+3（而-3）+5=7： (2)略 16116 专题04 二次根式的性质、运算与综合应用 题型1 二次根式中的字母参数问题 题型2 利用二次根式的性质进行化简 题型3 二次根式的四则运算 题型4 二次根式的化简求值问题 题型5 二次根式的实际应用问题 题型6 新定义运算下的二次根式计算 题型7 二次根式相关的规律探究问题 题型1 二次根式中的字母参数问题 1．若是一个整数，则正整数m的最小值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：， 又是整数， 是整数，即为完全平方数， 要找最小的正整数， 满足条件的最小正整数 2．最简二次根式和可以合并，那么（     ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】∵最简二次根式和可以合并， ∴， 解得：. 3．若最简二次根式与能合并，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：， ∵最简二次根式与能合并， ∴最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故选：A． 4．若最简二次根式与相等，则_______． 【答案】2 【详解】解：∵最简二次根式与相等， ∴， 解得， ∴． 5．当__________时，二次根式的值为0． 【答案】2 【详解】解：根据题意可得：，解得：． 故答案为：2． 6．若最简二次根式与可以合并，则______________． 【答案】1 【详解】解：先化简， 得． ∵最简二次根式与可以合并， ∴二者为同类二次根式，最简形式下被开方数相等． 即． 解得． 题型2 利用二次根式的性质进行化简 7．化简：________． 【答案】 【详解】解：． 8．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 9．实数a在数轴上的位置如图所示，化简（     ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】解：由图知， ∴，， ∴ ． 10．实数 ， 在数轴上对应，点的位置如图所示，则化简代数式的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴ ． 11．若，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 原式． 12．把中根号外的移入根号内得________． 【答案】 【详解】解：∵ 二次根式的被开方数为非负数，且分母不为0， ∴， ∴，即， ∴原式 ． 题型3 二次根式的四则运算 13．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴A错误； ∵，∴B错误； ∵，∴C错误； ∵，∴D正确． 14．计算的结果为__________． 【答案】 【详解】解： . 15．已知，求的值； 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 16．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1） ． （2） ． 17．计算 (1) (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 . 18．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型4 二次根式的化简求值问题 19．已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， ， 原式 20．已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴ ， ∴． 21．已知，，则的值为__________． 【答案】 【详解】解：由平方差公式可得 ∵，， ∴． ∴． ∴． 22．已知，则的值为_________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，代入得， ． 23．解答 (1)已知，，求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ． （2）解：， 移项得， 两边平方得， ， ， ． 24．已知． (1)求和的值； (2)利用（1）的结论求的值． 【答案】(1)4，1 (2)98 【分析】 【详解】（1）解：依题意， ． 则 ． （2）解：由（1）得， 题型5 二次根式的实际应用问题 25．口袋公园是指面向公众开放、规模较小、具有一定游憩功能的公园绿化活动场地．为了满足市民对“推窗见绿、出门入园”美好生活的向往，青阳县园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形口袋公园．已知正方形和正方形的面积分别为，，则该口袋公园的总面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别为，， ∴，， ∴， ∴矩形的面积为， ∴该口袋公园的总面积为． 26．高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，物体自由下落的高度与所需的时间满足关系式，如果1个鸡蛋从离地面的高空落下，则鸡蛋落到地面所用的时间是_________． 【答案】 【详解】解：把代入，得， ∴如果1个鸡蛋从离地面的高空落下，则鸡蛋落到地面所用的时间是． 27．电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得就越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广．已知电视塔高与电视节目的信号传播半径之间满足，其中．若一个电视塔的高度为，求该电视塔发射节目信号的传播半径． 【答案】该电视塔发射节目信号的传播半径为． 【详解】解：∵ ，，， ． 答：该电视塔发射节目信号的传播半径为． 28．某小区计划修建一个正方形健身活动区，并在活动区中心设置一个矩形休息平台，其余区域铺设塑胶地面．已知正方形健身区的边长为米，矩形休息平台的长为米，宽为米，求铺设塑胶地面的面积． 【答案】铺设塑胶地面的面积为平方米 【详解】解：              （平方米）， 铺设塑胶地面的面积为平方米． 29．动物在跳跃的过程中，起跳后身体重心升高的高度与其起跳时的竖直速度之间满足关系式（其中为重力加速度，取近似值）．若某只兔子起跳后重心升高了，求这只兔子起跳时的竖直速度．（结果化为最简二次根式） 【答案】 【详解】解：由条件可得， 即． 由题意可得， ． 答：这只兔子起跳时的竖直速度是． 30．“欲穷千里目，更上一层楼”说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，通常取． (1)小王站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度为，他观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔，这座山顶部到海边的最短距离约为，天气晴朗时站在山顶部（人的身高忽略不计）能否看到大海？请说明理由． 【答案】(1) (2)解：天气晴朗时站在山顶部（人的身高忽略不计）能看到大海，理由如下： 当时， ， ∵， ∴天气晴朗时站在山顶部（人的身高忽略不计）能看到大海． 【分析】 【详解】（1）解：由题意得，； （2）略 题型6 新定义运算下的二次根式计算 31．对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算：（），如，则_________． 【答案】/ 【详解】解：由题意可得，． 32．我们发现：，，，…，，一般地，对于正整数a、b，如果满足，那么称为一组“完美方根数对”．如上面是一组“完美方根数对”．下面3个结论： ①是“完美方根数对”； ②数对不可能是“完美方根数对”； ③若，且是“完美方根数对”，则满足条件的共有30组；其中正确的结论有（     ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：根据定义，若是“完美方根数对”，则（为正整数），两边平方得： ，即， ①验证： ，， 是“完美方根数对”，①正确； ②验证： 若是“完美方根数对”， 则，即， 该方程无正整数解，因此不可能是“完美方根数对”，②正确； ③若，是“完美方根数对”： ， ， 又是正整数， ，为正整数，得， ，， 可取，共组，③正确； 综上，三个结论都正确，正确结论个数为． 33．定义一种新运算：，则_______． 【答案】/ 【详解】解：， ， ， ， ． 34．符号“＊”表示一种新的运算，规定，则的值为______． 【答案】 【详解】解：由题意得：． 35．【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如： ，等． (1)【猜想】___________，并证明你的猜想； (2)【推理证明】请你用一个正整数（为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明． (3)【创新应用】按此规律，若（，为正整数），求的平方根. 【答案】(1)解：， 证明如下： . (2)解：， 证明如下： （，为正整数）； (3) 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵ ∴根据（2）规律可得：， 解得：， ∴， ∴． 36．【阅读理解】我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数为“完美组合数”． (1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由． (2)若三个数，a，是“完美组合数”且其中两个数乘积的算术平方根为10，求a的值． 【答案】(1)，，这三个数是“完美组合数”，理由如下： ，， ，其结果15，10，6都是整数， ，，这三个互不相等的负整数是“完美组合数”． (2) 【分析】 【详解】（1）解：略． （2）解：①当时，， 解得不符合题意，舍去； ②当时，， 解得， 此时，， 且结果10，40，20都是整数，，，这三个数是“完美组合数”，符合题意． 综上所述，． 题型7 二次根式相关的规律探究问题 37．设，，，…，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， …… ∴， ∴ ． 38．已知按照一定规律排成的一列实数：，…按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是_________． 【答案】 【详解】解：由已知条件可得，数列中各项的被开方数是从开始的连续自然数，每个数为一组，分组规律为：每组第一个为负平方根，第二个为正平方根，第三个为正立方根，且每个数的被开方数等于该项的项数． ， 第个数是第组的第个数，为负平方根，被开方数为，即． 39．解答下列各题： (1)发现，①；②；③；写出：④______． (2)归纳猜想：若为正整数且，用含的式子表示这个运算规律______． (3)请证明你猜想的规律． 【答案】(1) (2) (3) 见解析 【分析】 【详解】（1）解：观察已知式子：时： 时：， 时：， 因此第④个式子对应，可得； （2） 解：根据上述规律， 直接得出（为正整数）时的运算规律为：； （3）证明：， ∵， ∴， ∴， 即． 40．学习完《二次根式》后，聪聪发现了下面这类有趣味的试题，请你根据他的探索过程，解答下列问题： 具体运算，发现规律 (1)，，，计算：________ 观察归纳，写出结论 (2)________（n为正整数） 灵活运用，提升能力（备注：，） (3)请利用你所发现的规律，计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：， ， ， ……， 以此类推可知，； （3）解： ． 41．观察下列各式． (1)根据以上规律猜想，a为正整数，则______． (2)你从以上各式发现什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来．并注明n的取值范围． (3)证明你在（2）中写出的等式是正确的． 【答案】(1)24 (2)（，n为整数） (3) 证明： （，且n为整数）． 【分析】 【详解】（1）解：根据前3个式子，可得： 故a为24． （2）解：①由前面式子得出：（，且n为整数）． （3）略 42．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2) 猜想：第个等式为， 证明：∵左边， 又∵右边． ∴左边=右边， ∴原等式成立． 【分析】 【详解】（1）解：观察规律可得，第5个等式为； （2）略 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $