26.4实际问题与二次函数（分层作业，7大题型）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 分层清晰，A组聚焦基础应用，B组深化综合能力，构建从单一实际问题到动态复杂情境的二次函数应用巩固路径，培养模型意识与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组（理解层级）|几何图形、拱桥、投球、喷水等单一实际问题|以选择、填空为主，强化二次函数模型建立（如矩形面积、拱桥解析式），夯实运算能力| |B组（掌握层级）|动态图形、营销、增长率等综合应用|含动态变化（如动点问题）、跨情境综合（如利润与二次函数），提升推理与应用意识|

分层作业 26.4 实际问题与二次函数 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶 目 录 A组 巩固过关 题型01 几何图形与二次函数的综合 题型02 拱桥问题 题型03 投球问题 题型04 喷水问题 B组 能力进阶 题型01 动态图形与二次函数的综合 题型02 营销问题与二次函数 题型03 其它应用问题与二次函数的综合 几何图形与二次函数的综合题型01 1．用的绳子围成一个的矩形，则矩形面积与一边长为之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列二次函数关系式；根据题意求出矩形的另一边长，即可求解． 【详解】解：由题意得：矩形的另一边长， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级下·辽宁铁岭·月考）如图，一边靠墙（墙足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形花圃，这个花圃的最大面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确列出函数关系式是解答的关键．设，花圃面积为，根据题意得，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设，花圃面积为，则， 根据题意，， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为32， 故这个花圃的最大面积是， 故选：C． 3．已知二次函数y=﹣x2+x+6及一次函数y=﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），请你在图中画出这个新图象，当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（　　） A．﹣＜m＜3 B．﹣＜m＜2 C．﹣2＜m＜3 D．﹣6＜m＜﹣2 【答案】D 【分析】如图，解方程﹣x2+x+6=0得A（﹣2，0），B（3，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y=（x+2）（x﹣3），即y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），然后求出直线•y=﹣x+m经过点A（﹣2，0）时m的值和当直线y=﹣x+m与抛物线y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时m的值，从而得到当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围． 【详解】如图，当y=0时，﹣x2+x+6=0，解得x1=﹣2，x2=3，则A（﹣2，0），B（3，0）， 将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y=（x+2）（x﹣3）， 即y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）， 当直线y=﹣x+m经过点A（﹣2，0）时，2+m=0，解得m=﹣2； 当直线y=﹣x+m与抛物线y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程x2﹣x﹣6=﹣x+m有相等的实数解，解得m=﹣6， 所以当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为﹣6＜m＜﹣2， 故选D． 【点睛】本题考查了抛物线与几何变换，抛物线与x轴的交点等，把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解决此类问题常用的方法. 4．如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则x应为_____． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数的应用，先根据长方形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得修改后的花园面积， ∵， ∴当时，修改后的花园面积达到最大， 故答案为：2． 5．如图，用长为的篱笆，一边利用墙（墙足够长）围成一个长方形花园，设花园的宽为，围成的花园面积为，则y关于x的函数表达式为___________． 【答案】 【分析】由题意可知花圃的长为，再利用矩形面积公式即可求解． 【详解】解：由题意可知花圃的长为， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的应用．依据篱笆的总长表示出是解题的关键． 拱桥问题题型02 1．（24-25九年级上·江西南昌·月考）如图1是我国最大沙漠塔克拉玛干沙漠某处的抛物线型沙丘，以抛物线型沙丘最顶端为点，建立如图2所示的坐标系，若点A的坐标为，点是图1中沙丘两个端点，则的值为（    ） A．15 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式．根据题意，可设抛物线的解析式为，将点A坐标代入求出m的值即可得出其解析式，再求出时x的值即可得出答案． 【详解】解：根据题意，设抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， 则抛物线解析式为， 当时，， 解得：， ∵点B在第四象限， ． 故选：B． 2．某涵洞的截面是抛物线形状，如图所示的平面直角坐标系中，抛物线对应的函数解析式为，当涵洞水面宽为时，涵洞顶点至水面的距离为　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的对称性及解析式求解． 【详解】解：依题意，设点坐标为， 代入抛物线方程得：， 即水面到桥拱顶点的距离为16米． 故选：． 【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的解析式、图象与性质是解题关键． 3．如图，福州西湖公园上有一座造型为抛物线形状的拱桥，因其宛如玉带，从而被人称为玉带桥，经测量，玉带桥的拱顶离水面的平均高度为，若玉带桥所在的这条抛物线表示的二次函数为，则该抛物线所在的平面直角坐标系是如下的（   ） A．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴 B．以抛物线与水面的左交点为原点，以水面为轴 C．以水面为轴，以抛物线的对称轴为轴 D．以图中夕阳所在位置为原点，以抛物线的对称轴为轴 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的实际应用，涉及二次函数图象与性质，根据题意，结合二次函数图象与性质即可得到答案，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：由抛物线的图象与性质可知，二次函数为的对称轴为轴，顶点坐标为， 该抛物线所在的平面直角坐标系是以水面为轴，以抛物线的对称轴为轴， 故选：C． 4．（24-25九年级上·天津·期中）赵州桥的桥拱横截面是近似的抛物线形，其示意图如图所示，其解析式为．当水面离桥拱顶的高度为时，水面宽度为____． 【答案】20 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解答本题的关键．根据题意可得的纵坐标为，把代入解析式确定的坐标，进而求得的长即可解答． 【详解】解：根据题意的纵坐标为， 把代入，得， ，， ．即水面宽度为． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·期末）如图，某湖面上有一座抛物线型拱桥，以拱顶O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线的函数表达式为．某一时刻，桥下水面的宽度为16米，则此时拱顶O到水面的距离为__米． 【答案】4 【分析】本题主要考查二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意可得点的横坐标为8，把代入，进行计算，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，点的横坐标为， 当时，， ， 此时拱顶O到水面的距离为（米）． 故答案为：4． 投球问题题型03 1．（24-25九年级上·福建·月考）掷实心球是2025年体育中考的项目之一，小明发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度(米)与飞行的水平距离(米)之间具有函数关系则小明这次实心球训练的成绩为(   ) A． B．12 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，求小明这次实心球训练的成绩，即求时的值． 【详解】解：令，即 解得：或（舍去） 故选：D． 2．小明在一次训练中，掷出的实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系大致满足二次函数，则小明此次成绩为（    ） A．8米 B．10米 C．12米 D．14米 【答案】B 【分析】根据题意可知实心球落地时，即求的解即可． 【详解】当时，，即． 解得：（舍），． 则小明此次成绩时10米． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据题意取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键． 3．（25-26九年级上·浙江衢州·月考）如图，质量为的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的函数关系（可近似看作二次函数）如图所示．根据图象，下列说法正确的是（   ） A．小球从刚开始接触弹簧就开始减速 B．当小球的速度最大时，弹簧的长度是 C．若，则小球的最大速度为 D．当弹簧的长度为时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求函数解析式等内容，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．利用二次函数的图象和性质以及待定系数法逐项进行判断即可． 【详解】解：A、小球从刚开始接触弹簧速度并未开始减速，该选项错误，故不符合题意， B、由图象，可知当弹簧被压缩的长度为时，小球的速度最大，此时弹簧的长度为，故不符合题意； C、由图象，抛物线的对称轴为直线， ∴的对称点为， 假设抛物线的解析式为， 将代入解析式得，， 解得： ∴抛物线解析式为， 当时，函数值最大，最大值为， ∴在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为，该选项正确，符合题意； D、当弹簧的长度为时，被压缩了，即, 由图象可知，二次函数的对称轴是，则与对应的速度相等，所以时，小球的速度与小球刚接触弹簧时速度不等，该选项错误，故不符合题意． 故选：C． 4．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是，则小球从抛出到落地所用的时间是______ s． 【答案】6 【分析】小球落地，即小球的高度h=0，代入关系式，解方程即可得出结果． 【详解】小球落地，即h=0，所以， 解得或0， 时，即小球还未抛出的时刻， 故答案为6． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，正确理解小球抛出到落地时，满足高度为0这一条件是解题的关键． 5．（25-26九年级上·河北唐山·月考）某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度）与足球飞行的时间（单位：）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球到达最高点所需的时间是__． 【答案】0.8 【分析】本题考查二次函数的应用，设飞行的高度与足球飞行的时间之间的二次函数关系为，用待定系数法求出，根据二次函数的图象和性质即可得出答案． 【详解】解：设飞行的高度与足球飞行的时间之间的二次函数关系为， 将，代入，得 ， 解得， ， ∴， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线 足球到达最高点所需的时间是． 故答案为：0.8． 喷水问题题型04 1．（25-26九年级上·甘肃平凉·期末）某景点的“喷水巨龙”喷嘴处的水流呈抛物线状流出，该水流喷出的高度）与水平距离（单位：）之间的关系如图所示，为该水流的最高点， ，垂足为．已知，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．设抛物线解析式为，将点，代入求出、的值即可求解． 【详解】解：， ，， 根据题意，设抛物线解析式为， 将点，代入得， 解得， 抛物线解析式为， 当时，， 即， 故选：D． 2．广场上水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离（米）的函数解析式是，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（  ） A．1米 B．2米 C．5米 D．6米 【答案】B 【分析】先把函数关系式配方，即可求出函数取最大值时自变量的值． 【详解】解：∵y=-x2+6x=-（x2-4x）=-[（x-2）2-4]=-（x-2）2+6， ∴当x=2时，y有最大值， ∴水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，关键是把二次函数变形，求出当函数取最大值时自变量的值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 3．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度yx（m）之间的关系式是，则下列结论：（1）柱子OA的高度为3m；（2）喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是4m；（4）水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外.其中正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4 【答案】D 【分析】在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与x轴，y轴的交点，解答题目的问题即可． 【详解】解：当x=0时，y=3，故柱子OA的高度为3m；（1）正确； ∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴顶点是（1，4）， 故喷出的水流距柱子1m处达到最大高度，喷出的水流距水平面的最大高度是4米；故（2）（3）正确； 解方程-x2+2x+3=0， 得x1=-1，x2=3， 故水池的半径至少要3米，才能使喷出的水流不至于落在水池外，（4）正确． 故选D． 【点睛】本题考查了抛物线解析式的实际应用，掌握抛物线顶点坐标，与x轴交点，y轴交点的实际意义是解决问题的关键． 4．某幢建筑物，从米高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直，如图所示），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，则水流落地点B离墙的距离是__________．    【答案】米 【分析】由题意可以知道，用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当时就可以求出x的值，这样就可以求出的值． 【详解】解：解：设抛物线的解析式为， 把代入， 得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：， 当时，， 解得：，， 因为点B在x的正半轴，故， 所以水流落地点B离墙的距离是米， 故答案为：米 【点睛】本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题．设抛物线的顶点式求解析式是解题关键． 5．（25-26九年级上·广东潮州·期末）如图，广场有一喷水池，以出水点为原点，出水点与落水点所在直线为轴建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线的一部分，则水喷出后，离地面的最大高度是_____米． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题．根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线的顶点坐标的纵坐标，利用配方法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案． 【详解】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线， ∴水喷出后，离地面的最大高度是的顶点坐标的纵坐标， ∴， ∴顶点坐标为：， ∴水喷出后，离地面的最大高度是4米， 故答案为：4． 动态图形与二次函数的综合题型01 1．下面的三个问题中都有两个变量： ①新能源汽车电池充满电后，使用智能驾驶功能匀速耗电，电池剩余电量与使用时间； ②用固定长度的新型导热线型材料，制作矩形形状的芯片散热框架，矩形面积与一边长； ③点燃一根粗细均匀的蜡烛，蜡烛的剩余高度与燃烧时间． 其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象，①根据电池剩余电量y随使用时间x的增加而减小判断即可；②根据矩形的面积公式判断即可；③根据蜡烛的剩余高度y与随燃烧时间x的增加而减小判断即可． 【详解】解：①新能源汽车电池充满电后，使用智能驾驶功能匀速耗电，则电池剩余电量y随使用时间x的增加而减小，符合题意； ②用长度一定的绳子围成一个矩形，周长一定时，矩形面积是长x的二次函数，不符合题意； ③点燃一根粗细均匀的蜡烛，蜡烛的剩余高度y与随燃烧时间x的增加而减小，符合题意； 故选：C． 2．如图，等边的边长为，点P从点A出发，以的速度沿向点C运动，到达点C停止；同时点Q从点A出发，以的速度沿向点C运动，到达点C停止，设的面积为，运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据点Q的位置分类讨论，分别表示出的面积，再根据二次函数的性质进行判断即可． 【详解】由题意得，点Q移动的路程为，点P移动的路程为x， ∵为等边三角形， ∴， ①当点Q在线段上时，过点Q作于点D， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴当时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故选项A、B排除； ②当点Q在线段上时，过点Q作于点E， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴当时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分，故选项C排除； 故选：D． 3．如图，小明从离地面高度为的A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，在B处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．现在地上摆放一个底面半径为，高为的圆柱形水桶，水桶的最左端距离原点为s米，若要弹力球从B处弹起后落入水桶内，则s的值可能是（　　）       A．3.7 B．4.1 C．5.5 D．5 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握利用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键，根据点A的坐标求出第一次着地前的抛物线解析式，可得到点的坐标，再根据B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，可得到第二次着地前抛物线的解析式，再根据圆柱形的高为，可求出当弹力球恰好砸中筐的最左端、最右端时，s的值，进而得到s的取值范围，从而得到答案． 【详解】解：由题可知：弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，且过点，代入解析式中得：， ∴， ∴解析式为：， 当时，的最大值为， 令，则， 解得：或（舍去）， ∴， ∵B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的， ∴其最大高度为：， ∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线， 设B处着地后弹起的抛物线解析式为：， 将点代入该解析式得：， 解得：或（舍去）， ∴该抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点B的坐标为，则点的坐标为， ∵圆柱形的高为， 当时，则， 解得：或（舍去）， ∴当弹力球恰好砸中筐的最左端时，， ∵筐的底面半径为，直径为， ∴当弹力球恰好砸中筐的最右端时，， ∴， ∴选项B中的满足条件， 故选：B． 4．如图，在矩形中，，，点和点分别为边和边上的动点，且满足，则当的面积最大时，的值为______． 【答案】##4厘米 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意设，列出二次函数表达式并求出最大值时自变量取值即可． 【详解】解：设， ，， ， ， ， 当时，的面积最大， 即当的面积最大时，的值为， 故答案为：． 5．如图，把一块等腰直角三角板．现将沿方向平移到的位置，若平移距离为x（），与的重叠部分的面积y，则__________（用含x的代数式表示y）． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，等腰三角形的判定与性质．根据平移的性质，等腰三角形的性质与判定得出，进而求出即可． 【详解】解：如图，设交于点D，由题意可得：， ∵， ∴； 由平移性质知：， ∴， ∴， 故． 故答案为． 营销问题与二次函数题型02 1．某商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，价格只能，那么一周可获得最大利润是（    ） A．1554 B．1556 C．1558 D．1560 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用以及二次函数的性质，根据一周利润（元）与每件销售价（元）之间的关系满足可知，抛物线开口向下，且对称轴为，根据二次函数的性质结合价格只能，可得出当时，一周可获得最大利润． 【详解】解：一周利润（元）与每件销售价（元）之间的关系满足， ∵，抛物线开口向下，且对称轴为， ∴x的取值越接近20，所对应的值越大． ∵， ∴当时， 故选：B． 2．（25-26九年级上·辽宁盘锦·联考）《算法统宗》是明代数学家程大位的著作，其中有许多有趣的数学问题．今有一商贩售卖绸缎、若每匹绸缎售价为五十文钱时，每日可卖出三十匹；若每匹绸缎的售价每降低一文钱，每日的销售量就会增加一匹．已知每匹绸缎的成本为三十文钱，设每匹绸缎售价为x文钱，商贩每日的利润为y文钱，则y与x之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，找出等量关系是解题的关键．根据题意，每日利润等于每匹利润乘以日销售量，每匹利润为售价减成本，即文；日销售量为基础销售量30匹加上因降价增加的销售量，降价额为文，因此日销售量为匹，从而求得答案． 【详解】解：设每匹绸缎售价为x文钱，商贩每日的利润为y文钱，根据题意可知， ， 即， 故选：C． 3．某农户要改造部分农田种植蔬菜，经调查，平均每亩改造费用是900元，添加辅助设备费用（元）与改造面积（亩）的平方成正比，比例系数为18，每亩种植蔬菜还需种子、人工费用600元，若每亩蔬菜年销售额为7000元，设改造农田x亩，改造当年收益为y元，则y与x之间的数量关系可列式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设改造农田x亩，根据题意可求出改造的x亩农田的总成本和总销售额，再根据收益=总销售额-总成本，即可列出方程． 【详解】设改造农田x亩，则总成本为，总销售额为， ∴可列方程为． 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键． 4．出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出个，则当x=_________元，一天出售该种手工艺品的总利润y最大． 【答案】4 【详解】先根据题意得出总利润y与x的函数关系式，再根据二次函数的最值问题进行解答． 解：∵出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出（8-x）个， ∴y=（8-x）x，即y=-x2+8x， ∴当x=-=4时，y取得最大值． 故答案为4． 5．（25-26九年级上·河南周口·期末）某商品进价为每件40元，售价为每件50元时，每月可卖出210件；售价每上涨1元，每月销量就减少10件，设售价为每件x元，每月利润为y元，则y与x的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据利润等于每件利润乘以销量，可得到函数关系式． 【详解】解：根据题意得：． 即y与x的函数关系式为． 故答案为：． 其它应用问题与二次函数的综合题型03 1．（25-26九年级上·浙江杭州·联考）某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增长率为x，则该工厂3月份的产值y关于x的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．根据该工厂3月份的产值该工厂1月份的产值平均每月产值的增长率)，列出二次函数关系式即可得出答案． 【详解】解：某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增长率为，该工厂3月份的产值为， ， 故选：A． 2．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，轴，，最低点C在x轴上，高，则右轮廓所在抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据、关于y轴对称，得出点坐标为，再求出左边抛物线的顶点的坐标为，则右边抛物线的顶点的坐标为，设右边抛物线的解析式为，代入即可得出答案． 【详解】解：∵高，，、关于y轴对称， ∴点坐标为， ∵轴，，最低点在x轴上， ∴关于直线对称， ∴左边抛物线的顶点的坐标为， ∴右边抛物线的顶点的坐标为， 设右边抛物线的解析式为， 把代入得，解得， 故右边抛物线的解析式为， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的应用：关键是确定某些点的坐标，然后利用待定系数法确定抛物线的解析式，再利用抛物线的性质解决问题． 3．（24-25九年级上·吉林长春·期中）图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廓线为某抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深，如图2．将盛有部分水的水杯倾斜，水面正好经过点B）．小易在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在y轴上），对于下列结论，判断正确的是（   ） 结论I：玻璃水杯轮廓线所在抛物线的解析式为； 结论Ⅱ：图2中，点P到杯口的距离为5． A．I不对Ⅱ对 B．I对Ⅱ不对 C．I和II都对 D．I和II都不对 【答案】B 【分析】由题意得，，，，可求抛物线的解析式为，再求出直线的解析式，联立即可求出点坐标，继而可判断结论Ⅱ． 【详解】解：由题意得，，，， 设轮廓线，所在抛物线的解析式为，记与轴的交点为， 把、代入得 ，解得：， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ 设直线的解析式为 把、代入得： ，解得：， ∴直线： 由，解得，（舍） 当，， ∴， 此时点P到杯口的距离为， ∴I对Ⅱ不对， 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，涉及待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，等腰三角形的判定，直线与抛物线的交点问题，难度较大，正确求出抛物线的表达式是解题的关键． 4．（2025·上海·一模）某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是_____．（不写定义域） 【答案】 【分析】本题主要考查了平均增长率的问题．根据10月份的印数表示出12月份的印数即可表示出答案． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·浙江衢州·月考）小汽车刹车距离与速度之间的函数关系式为，一辆小汽车速度为，在前方处停放一辆故障车，此时刹车______有危险（填“会”或“不会”）． 【答案】会 【分析】此题主要考查二次函数在实际中的应用，熟练掌握把自变量v代入函数关系式，求得因变量从而作出比较是解题的关键. 把小汽车的速度代入函数关系式，求得小汽车的刹车距离，然后与作比较即可. 【详解】解：将代入， 得． ∴此时刹车会有危险． 故答案为：会． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 26.4 实际问题与二次函数 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶 目 录 A组 巩固过关 题型01 几何图形与二次函数的综合 题型02 拱桥问题 题型03 投球问题 题型04 喷水问题 B组 能力进阶 题型01 动态图形与二次函数的综合 题型02 营销问题与二次函数 题型03 其它应用问题与二次函数的综合 几何图形与二次函数的综合题型01 1．用的绳子围成一个的矩形，则矩形面积与一边长为之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·辽宁铁岭·月考）如图，一边靠墙（墙足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形花圃，这个花圃的最大面积是（    ） A． B． C． D． 3．已知二次函数y=﹣x2+x+6及一次函数y=﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），请你在图中画出这个新图象，当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（　　） A．﹣＜m＜3 B．﹣＜m＜2 C．﹣2＜m＜3 D．﹣6＜m＜﹣2 4．如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则x应为_____． 5．如图，用长为的篱笆，一边利用墙（墙足够长）围成一个长方形花园，设花园的宽为，围成的花园面积为，则y关于x的函数表达式为___________． 拱桥问题题型02 1．（24-25九年级上·江西南昌·月考）如图1是我国最大沙漠塔克拉玛干沙漠某处的抛物线型沙丘，以抛物线型沙丘最顶端为点，建立如图2所示的坐标系，若点A的坐标为，点是图1中沙丘两个端点，则的值为（    ） A．15 B．18 C．24 D．36 2．某涵洞的截面是抛物线形状，如图所示的平面直角坐标系中，抛物线对应的函数解析式为，当涵洞水面宽为时，涵洞顶点至水面的距离为　　 A． B． C． D． 3．如图，福州西湖公园上有一座造型为抛物线形状的拱桥，因其宛如玉带，从而被人称为玉带桥，经测量，玉带桥的拱顶离水面的平均高度为，若玉带桥所在的这条抛物线表示的二次函数为，则该抛物线所在的平面直角坐标系是如下的（   ） A．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴 B．以抛物线与水面的左交点为原点，以水面为轴 C．以水面为轴，以抛物线的对称轴为轴 D．以图中夕阳所在位置为原点，以抛物线的对称轴为轴 4．（24-25九年级上·天津·期中）赵州桥的桥拱横截面是近似的抛物线形，其示意图如图所示，其解析式为．当水面离桥拱顶的高度为时，水面宽度为____． 5．（25-26九年级上·期末）如图，某湖面上有一座抛物线型拱桥，以拱顶O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线的函数表达式为．某一时刻，桥下水面的宽度为16米，则此时拱顶O到水面的距离为__米． 投球问题题型03 1．（24-25九年级上·福建·月考）掷实心球是2025年体育中考的项目之一，小明发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度(米)与飞行的水平距离(米)之间具有函数关系则小明这次实心球训练的成绩为(   ) A． B．12 C．8 D．10 2．小明在一次训练中，掷出的实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系大致满足二次函数，则小明此次成绩为（    ） A．8米 B．10米 C．12米 D．14米 3．（25-26九年级上·浙江衢州·月考）如图，质量为的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的函数关系（可近似看作二次函数）如图所示．根据图象，下列说法正确的是（   ） A．小球从刚开始接触弹簧就开始减速 B．当小球的速度最大时，弹簧的长度是 C．若，则小球的最大速度为 D．当弹簧的长度为时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 4．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是，则小球从抛出到落地所用的时间是______ s． 5．（25-26九年级上·河北唐山·月考）某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度）与足球飞行的时间（单位：）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球到达最高点所需的时间是__． 喷水问题题型04 1．（25-26九年级上·甘肃平凉·期末）某景点的“喷水巨龙”喷嘴处的水流呈抛物线状流出，该水流喷出的高度）与水平距离（单位：）之间的关系如图所示，为该水流的最高点， ，垂足为．已知，，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．广场上水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离（米）的函数解析式是，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（  ） A．1米 B．2米 C．5米 D．6米 3．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度yx（m）之间的关系式是，则下列结论：（1）柱子OA的高度为3m；（2）喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是4m；（4）水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外.其中正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4 4．某幢建筑物，从米高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直，如图所示），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，则水流落地点B离墙的距离是__________．    5．（25-26九年级上·广东潮州·期末）如图，广场有一喷水池，以出水点为原点，出水点与落水点所在直线为轴建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线的一部分，则水喷出后，离地面的最大高度是_____米． 动态图形与二次函数的综合题型01 1．下面的三个问题中都有两个变量： ①新能源汽车电池充满电后，使用智能驾驶功能匀速耗电，电池剩余电量与使用时间； ②用固定长度的新型导热线型材料，制作矩形形状的芯片散热框架，矩形面积与一边长； ③点燃一根粗细均匀的蜡烛，蜡烛的剩余高度与燃烧时间． 其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 2．如图，等边的边长为，点P从点A出发，以的速度沿向点C运动，到达点C停止；同时点Q从点A出发，以的速度沿向点C运动，到达点C停止，设的面积为，运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 3．如图，小明从离地面高度为的A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，在B处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．现在地上摆放一个底面半径为，高为的圆柱形水桶，水桶的最左端距离原点为s米，若要弹力球从B处弹起后落入水桶内，则s的值可能是（　　）       A．3.7 B．4.1 C．5.5 D．5 4．如图，在矩形中，，，点和点分别为边和边上的动点，且满足，则当的面积最大时，的值为______． 5．如图，把一块等腰直角三角板．现将沿方向平移到的位置，若平移距离为x（），与的重叠部分的面积y，则__________（用含x的代数式表示y）． 营销问题与二次函数题型02 1．某商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，价格只能，那么一周可获得最大利润是（    ） A．1554 B．1556 C．1558 D．1560 2．（25-26九年级上·辽宁盘锦·联考）《算法统宗》是明代数学家程大位的著作，其中有许多有趣的数学问题．今有一商贩售卖绸缎、若每匹绸缎售价为五十文钱时，每日可卖出三十匹；若每匹绸缎的售价每降低一文钱，每日的销售量就会增加一匹．已知每匹绸缎的成本为三十文钱，设每匹绸缎售价为x文钱，商贩每日的利润为y文钱，则y与x之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 3．某农户要改造部分农田种植蔬菜，经调查，平均每亩改造费用是900元，添加辅助设备费用（元）与改造面积（亩）的平方成正比，比例系数为18，每亩种植蔬菜还需种子、人工费用600元，若每亩蔬菜年销售额为7000元，设改造农田x亩，改造当年收益为y元，则y与x之间的数量关系可列式为（    ） A． B． C． D． 4．出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出个，则当x=_________元，一天出售该种手工艺品的总利润y最大． 5．（25-26九年级上·河南周口·期末）某商品进价为每件40元，售价为每件50元时，每月可卖出210件；售价每上涨1元，每月销量就减少10件，设售价为每件x元，每月利润为y元，则y与x的函数关系式为______． 其它应用问题与二次函数的综合题型03 1．（25-26九年级上·浙江杭州·联考）某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增长率为x，则该工厂3月份的产值y关于x的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 2．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，轴，，最低点C在x轴上，高，则右轮廓所在抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·吉林长春·期中）图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廓线为某抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深，如图2．将盛有部分水的水杯倾斜，水面正好经过点B）．小易在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在y轴上），对于下列结论，判断正确的是（   ） 结论I：玻璃水杯轮廓线所在抛物线的解析式为； 结论Ⅱ：图2中，点P到杯口的距离为5． A．I不对Ⅱ对 B．I对Ⅱ不对 C．I和II都对 D．I和II都不对 4．（2025·上海·一模）某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是_____．（不写定义域） 5．（25-26九年级上·浙江衢州·月考）小汽车刹车距离与速度之间的函数关系式为，一辆小汽车速度为，在前方处停放一辆故障车，此时刹车______有危险（填“会”或“不会”）． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $