26.4实际问题与二次函数 同步练习 2026--2027学年人教版九年级数学上册
|
2份
|
84页
|
180人阅读
|
3人下载
摘要：
**基本信息**
以10类生活情境为载体，通过基础理解、综合应用、拓展探究三层设计，构建从二次函数概念到建模应用的完整巩固路径，培养抽象能力与模型意识。
**分层设计**
|层次|知识覆盖|设计特色|
|----|----------|----------|
|基础理解|求解析式、代入求值|如投球问题直接求高度，强化函数基本运算|
|综合应用|最值分析、实际取值范围|如拱桥问题判断货船通过，提升数学思维|
|拓展探究|跨情境建模、方案设计|如喷泉安全通道设计，发展创新与应用意识|
内容正文：
26.4 实际问题与二次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
【题型1 投球问题】
1．投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度与距投掷点的水平距离之间的函数表达式为．
(1)当投掷的距离为时，求的值；
(2)当时，铅球处于下落状态，求的取值范围；
(3)当时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据可知当投掷的距离为时，铅球落地，即时，，然后将点代入二次函数解析式即可求出a的值．
（2）由题意可知抛物线对称轴直线在的左侧，且当时，，然后列出不等式组求解即可．
（3）根据函数图象，分三种情况求解，即对称轴在4的右侧；对称轴在2的左侧；对称轴在2和4之间，然后结合二次函数的图象和性质分别求出最大值和最小值，结合已知条件列出方程求解并进行取舍即可得出答案.
【详解】（1）解：由题意可知，当投掷的距离为时，铅球落地，即时，，
将点代入，得：
，
解得．
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴直线为，
∵当时，铅球处于下落状态，
∴抛物线的对称轴直线，且当时，，
解得：．
（3）解：，
∴抛物线的对称轴直线为，
分三种情况：
（1）当对称轴时，即，当时，y随着x的增大而增大，
即当时，，
当时，，
根据题意可知：，
解得，
（2）当对称轴时，即，在时，y随着x的增大而减小，
此时即当时，，
当时，，
根据题意可知：，
解得，（舍去）
（3）当时，即，
当时离对称轴直线较时离对称轴直线远时，
则当时，，
即当时，，
根据题意可知：，
解得(舍去)或．
当时离对称轴直线较时离对称轴直线近时，
则当时，
当时，，
根据题意可知：，
解得(舍)或（舍）．
综上：或．
2．如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分．
(1)求，的值．
(2)小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值．
【答案】(1)，
(2)的整数值为，
【分析】（1）待定系数法求出抛物线表达式即可求出的值，再利用，求出函数值即可求出的值．
（2）根据题意确定的坐标范围是，代入坐标求出的取值范围，根据为整数要求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得，
将代入抛物线，得
，
解得．
∴抛物线＋2，
∴时，，
∴．
（2）解：∵小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，
∴此时，点的坐标范围是．
当抛物线经过点时，
，
解得
当抛物线经过点时，
，
解得
∴
∵为整数，
∴符合条件的的整数值为，．
3．综合与实践——丢沙包中的数学
【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励．
小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动．
【活动过程】
活动1：发现模型
兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）．
活动2：应用模型
(1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心．
(2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面．
小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米．
【答案】(1)解：建立如图所示的平面直角坐标系：
由题意可知，抛物线的顶点坐标是，且经过点，
设抛物线的解析式为，其中，
将点代入得：，
解得，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
解得或（不符合题意，舍去），
∵，
∴沙包不能正好命中靶心．
(2)沙包达到最高点时距离地面米
【分析】（1）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线的顶点坐标是，且经过点，再求出抛物线的解析式，求出时，的值，由此即可得；
（2）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4，再求出抛物线的解析式，求出其最大值即可．
【详解】（1）略．
（2）解：建立如图所示的平面直角坐标系：
由题意可知，抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4，
设抛物线的解析式为，其中，
将点，代入得：，
解得，
∴抛物线的解析式为，
由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为，
即沙包达到最高点时距离地面米．
4．如图，嘉嘉同学投掷实心球，出手（点 处）的高度 是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．
(1)根据题意，请你建立合适的平面直角坐标系，并求出这段抛物线对应的函数解析式．
(2)若实心球落地点为，求的长．
【答案】(1)建立平面直角坐标系如图：；
抛物线解析式为：
(2)
【分析】（1）以点为坐标原点，射线方向为轴正半轴，射线方向为轴正半轴，建立平面直角坐标系，设抛物线为，把点，代入即可求出解析式；
（2）当时，求得的值，即的长．
【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图，
∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．
∴设抛物线解析式为：，
把点代入得：，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：当时，，
解得：（舍去），，
即的长为．
【题型2 拱桥问题】
5．某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，如图，已知这座桥的跨度米，拱高米，且设计方案为抛物线型，抛物线的解析式为．现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面米，此货船能否顺利通过这座桥？请说明理由．
【答案】货船不能顺利通过这座桥，理由如下：
当时，即，
解得，．
，且，
货船不能顺利通过该桥．
【分析】根据题意，当时，可得方程，再解方程，即可得出结论．
【详解】略
6．在蔬菜之乡寿光，高温蔬菜大棚（如图1）种植技术已十分成熟．付峰同学家建有一个长为160米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的透明墙体A处（墙体A的一面，面向正南），另一端固定在离地面高3米的墙体处（B处为厚实土墙），现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体A的水平距离（米）之间的关系满足，现测得两墙体之间的水平距离为12米．
(1)直接写出的值；
(2)求大棚的最高处到地面的距离；
(3)付峰同学的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？
【答案】(1)；
(2)大棚最高处到地面的距离为米；
(3)共需要（根）竹竿．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）将（1）中函数解析式化为顶点式，然后求解即可；
（3）根据题意得出，然后结合题意即可求解．
【详解】（1）解：由题意知点坐标为，点B坐标为
将、坐标代入得：
解得：；
（2）解：
当时，有最大值，即大棚最高处到地面的距离为米；
（3）解：当时，
解得，
∵，
∴大棚内可以搭建支架的土地的宽为（米），
又∵大棚的长为160米，
∴需要搭建支架部分的土地面积为（平方米）
∴共需要（根）竹竿．
7．如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是．经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图）．
(1)你选择的方案是______（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是______；
(2)求出你所选方案中的抛物线的解析式；
(3)因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少？
【答案】(1)方案一，；方案二，；方案三，
(2)方案一，；方案二；方案三，
(3)
【分析】（1）根据水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是，求出点坐标；
（2）三种方案中抛物线开口都向下，故抛物线解析式二次项系数为负，根据题意先求出顶点坐标，设解析式为顶点式，再代入（1）中点B坐标，即可求出抛物线解析式；
（3）任意选择三种方案中的一种，根据暴雨水位上升代入对应抛物线解析式，求解即可．
【详解】（1）解：分情况讨论：
选择方案一：
由题意得，;
选择方案二：
由题意得，;
选择方案三：
由对称性可知点与点关于轴对称，，，
又桥洞与水面的最大距离是，，
．
（2）解：分情况讨论：
选择方案一：由题意得抛物线顶点坐标为，
抛物线开口向下，故设抛物线解析式为，
代入，得，
解得，
抛物线解析式为;
选择方案二：由题意得抛物线顶点坐标为，
抛物线开口向下，故设抛物线解析式为，
代入，得，
解得，
抛物线解析式为;
选择方案三：由题意得抛物线顶点坐标为，
抛物线开口向下，故设抛物线解析式为，
代入，得，
解得，
抛物线解析式为．
（3）解：选择方案三中的解析式，
，
暴雨水位上升后，代入，得，
解得或，
水面宽为．
8．开封清明上河园中的虹桥是园区的核心地标，下面是虹桥及上方抛物线形框架结构的平面示意图，桥中间的大拱截面可视为抛物线的一部分，虹桥上悬挂两个灯笼．
现有以下三条素材：
素材1：整个图形是轴对称图形；
素材2：跨度米，竖直支撑米，最高点P到的距离为5米；
素材3：两灯笼，之间的水平距离为4米，点M、N均在抛物线上且关于抛物线的对称轴对称．
现以所在直线为x轴，的垂直平分线（直线）为y轴，建立平面直角坐标系．
(1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围）
(2)若米，求灯笼底端（点E或F）到的距离．
【答案】(1)
(2)米
【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）将代入抛物线的解析式，求出y的值，再根据求出结果即可．
【详解】（1）解：由题意可知，点D的坐标为，P的坐标为．
设虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为：，
将点代入得，，
解得，
∴虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为；
（2）解：由题意知，，M、N关于抛物线的对称轴对称，
∴点N的横坐标为2，
当时，，
，
∴灯笼底端（点E或F）到的距离为米．
【题型3 喷水问题】
9．大自然中有一种神奇的鱼——射水鱼，它能以极快的速度从口中射出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形．如图，以射水鱼所在的位置为原点O建立平面直角坐标系，设水柱距水面的高度为，与射水鱼的水平距离为，y与x的函数表达式为，水柱的最大高度为．一只昆虫位于点处，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动________的距离才能击中昆虫．
【答案】或
【分析】首先确定原始抛物线的解析式为，设需要水平向右游动的距离才能击中昆虫，得到平移后的抛物线解析式为，把代入解析式求解即可．
【详解】解：根据题意，得y与x的函数表达式为，水柱的最大高度为，
故抛物线的解析式为，
由抛物线经过原点，
，
解得，
故抛物线的解析式为．
当时，，
故点不在抛物线上，
设需要水平向右游动的距离才能击中昆虫，
故平移后的抛物线解析式为，
把代入解析式，得，
整理，得，
或，
解得或，
故需要水平向右游动或的距离才能击中昆虫．
10．某体育馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．喷泉的水流轨迹可以近似地看成抛物线．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压．将草坡截面抽象为直角三角形，如图，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．技术人员以为原点，水平向右为轴，竖直向上为轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表：
0
1
2
3
4
…
…
(1)根据表格数据，求出水流的函数解析式；
(2)若调试时，水流恰好经过树顶点，
①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树可达到的最大高度是多少？
②在灯光测试中，需要在右侧（靠近的一侧）再放置一棵与等高的小树（在坡面上，树干垂直），且水流也能刚好经过树顶．为保证两棵树不在同一地点，求第一棵树底的横坐标的取值范围．
【答案】(1)
(2)①2米；②
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①求出直线的函数解析式为；设，则，可求出，据此可得答案；②设第二棵树底横坐标为，同理可得，根据题意可得，，则可推出，再根据求出m的取值范围即可．
【详解】（1）解：设水流的函数解析式为，
由题意得
∴，
∴水流的函数解析式为；
（2）解：①∵米，米，
∴，
设直线的函数解析式为，
∴，
∴，
∴直线的函数解析式为；
设，则，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为2，
答：这棵小树可达到的最大高度是2米；
②设第二棵树底横坐标为，
同理可得，
∵两棵树等高，即，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
11．某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知，，从处喷出的水流高度与水平距离之间的关系为．
(1)求，的值；
(2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？
(3)点在点正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到米，则消防车从点沿方向应至少前进多少米？
【答案】(1)，
(2)水流高度能达到的最大高度是米
(3)消防车从点沿方向应至少前进米
【分析】（1）根据已知数据确定点、，再利用待定系数法求解即可；
（2）将抛物线表达式转化为顶点式，即可得到答案；
（3）先求出当时，，，再由平移即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
将和代入中，得，
解得；
（2）解：由（1）知抛物线的表达式为：，
将表达式转化为顶点式为：，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴水流高度能达到的最大高度是米；
（3）解：令，即，整理得：，
解得：，，
∵点在点正前方米处，
∴，
∴至少需前进（米），
∴消防车从点沿方向应至少前进米.
12．综合与实践
问题情境
喷泉集环境保护、娱乐休闲、小区美化与装饰艺术于一身，通常是城市的重要景观．为了解喷泉设计的奥秘，综合实践小组的同学对抛物线形喷泉展开探究．
资料收集
实践小组收集到某公园内一种喷泉的基本资料（由甲、乙两组喷泉组成），并进行组内交流：
小明：如图1，甲组喷泉喷水孔点O在水平地面上，喷出的水柱形状为抛物线形，其跨度（水流喷水孔点O与落地点M之间的水平距离）为，最高点距地面．
小亮：图2是乙组喷泉水柱形状的示意图，为喷水管，点A为喷水孔，此时B为水的落地点，记的长度为此时喷泉的跨度，两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为．
小颖：图3是甲、乙两组喷泉同时喷水时的示意图，公园要在两组喷泉之间设立安全通道，安全通道在线段上，要求在两组喷泉同时喷水时，水柱都不会进入上方的安全区域矩形内．
数学建模
如图3，以甲组喷泉喷水孔点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O竖直向上为y轴的正方向，建立平面直角坐标系．
问题解决
(1)求图3中甲组喷泉抛物线的函数表达式；
(2)若乙组喷泉跨度恰好为，求喷水管的高度；
(3)在（2）的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为，求此时安全通道的宽度．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由待定系数法求解即可；
（2）先求出乙组喷泉的抛物线的表达式，再令求解即可；
（3）对于两组抛物线，分别令求出值，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，抛物线顶点坐标为，
故设抛物线表达式为
代入可得，，
解得
∴抛物线表达式为
（2）解：由于两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为，
故设抛物线的表达式为，
代入可得，
解得或（舍去）
∴抛物线的表达式为
当时，
∴喷水管的高度为
（3）解：由题意得，
对于，当时，则，
解得；
对于，当时，则，
解得，
∴安全通道的宽度为．
【题型4 跳跃问题】
13．在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国运动员的精彩表现让人叹为观止，已知运动员从高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为，与跳台底部所在水平面的竖直高度为，y与x的函数关系式为，当她与跳台边缘的水平距离为________m时，竖直高度达到最大值．
【答案】8
【分析】根据二次函数的性质，当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值，利用顶点横坐标公式求解即可．
【详解】解：函数关系式为，
，，
∴对称轴
，
抛物线开口向下，有最大值
当时，竖直高度达到最大值
当她与跳台边缘的水平距离为时，竖直高度达到最大值．
14．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．比赛过程分为助滑阶段，起跳后的空中飞行阶段和落地滑行阶段，今天我们一起来运用数学知识解决最具观赏性的空中飞行阶段相关问题．为了获得数据，技术人员设置了固定点进行测量，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系．下表记录了某运动员起跳后的与的几组数据．
水平距离（单位：）
竖直高度（单位：）
请解决以下问题：
(1)在下面网格中，建立适当的平面直角坐标系，根据题中数据描点，并用平滑的曲线连接；
(2)请结合图象分析，当水平距离为________时，运动员在空中达到最高点．
(3)运动员水平位置为________时，运动员才能落地．
(4)根据训练需要，假设运动员的起跳速度和角度没有变化，现将起跳跳台（起跳点）抬高22米，运动员落地的水平距离如何变化？变化了多少？
【答案】(1)平面直角坐标系与曲线如图所示：
(2)
(3)
(4)运动员落地的水平距离增加了
【分析】（1）以左下格点作为原点建立平面直角坐标系，再使用描点法画函数图象即可；
（2）结合图象进行判断即可；
（3）使用待定系数法求出二次函数的解析式，再将代入，求解方程即可；
（4）先写出平移后的解析式，再将代入，求解方程并与第（3）问的结论对比即可．
【详解】（1）略
（2）解：由图象可知，当水平距离为时，运动员在空中达到最高点；
（3）解：由图象可知，该抛物线的顶点坐标为，
设二次函数的解析式为，
将点代入，得，
∴二次函数的解析式为，
将代入，得，
，
解得或（负值，舍去），
∴运动员水平位置为时，运动员才能落地；
（4）解：由题意可知，新抛物线由抛物线向上平移个单位长度得到，
∴，
将代入，得，
，
解得或（负值，舍去），
，
∴运动员落地的水平距离增加了．
15．水上乐园是主题公园的一种，多数娱乐设施与水有关，常见的设施有：水滑梯、造浪设备、漂流河、滑板等．如图1，是水滑梯项目中的一段滑道，滑道路线可以看作是抛物线的一部分，小强从这段滑道的最高处下滑，其路线如图2所示，当他在水平方向滑行了时，下滑到最低点C处，即点C的坐标为，由于惯性再滑动一段后到达点B，从点B处落入水中．若点B的坐标为，则小强下滑前的竖直高度（即的长）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出抛物线的解析式为：，然后把代入抛物线解析式，求出结果即可．
【详解】解：设抛物线的解析式为：，把代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
把代入得：，
∴．
16．无人机融合了航空动力学、导航控制、无线通信等技术，可航拍记录生活、助力行业作业、支援应急救援等，成为贴近日常的实用科技伙伴．数学小组运用信息技术模拟无人机飞行过程，如图，以无人机的地面起飞点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．无人机在起飞后沿直线上升，到达点后，此时距离地面0.1千米，保持高度不变，以20千米/小时的速度水平飞行0.04小时后到达点，此时，发现前方距离起点水平距离2千米处出现一障碍物高度为0.275千米，无人机随即开启紧急避障模式，飞行轨迹呈抛物线形状，越过障碍物后降落到地面点处．已知直线的表达式为，抛物线的表达式为．
(1)点的坐标为_________，点的坐标为_________；
(2)求抛物线的表达式；
(3)如图，若无人机在点发现障碍物后，可沿原水平方向继续飞行千米后再开启紧急避障模式，开启后飞行轨迹的形状不变，且飞行轨迹最高点的高度不变．为确保无人机飞行高度不低于障碍物高度，求的最大值．
【答案】(1);
(2)
(3)
【分析】（1）根据直线的表达式可知点的坐标，根据无人机的水平距离可知点的坐标；
（2）将点的坐标代入即可求解；
（3）根据平移的性质可知平移后的函数解析式，代入点的坐标即可求解范围．
【详解】（1）解：∵直线的表达式为，A的高度为：千米，
则得，
解得：，
∴
无人机的速度为20千米/小时的速度水平飞行0.04小时后到达点，
则水平距离为：（千米）
则点的横坐标为：，
则点；
（2）解：∵抛物线经过点,
则将点代入抛物线的表达式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（3）解：由题可知点,
由（2）可知抛物线的顶点坐标为：,
则平移后得顶点坐标为，
点平移后的坐标为：
则新抛物线的表达式为：，
∴抛物线的轨迹在点的上方，
将点的坐标代入可得，
解得：
则的最大值为：．
【题型5 销售问题】
17．某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．在市场调查中选取两类作品；原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）．
收集到如下信息：
信息1：制作一件A品比一件B品的成本高2元，用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等．
信息2：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件．
信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件．
(1)成本核算：分别求制作一件A品和一件B品的成本．
(2)建立模型，设计方案：设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件（，且为整数），若制作A品和B品的总成本不超过1400元，且为使总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案．
【答案】(1)制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元
(2)制作A品100件，B品200件时总利润最大
【分析】（1）设制作一件B品的成本为a元，则制作一件B品的成本为元，根据“用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等．”列出方程，即可求解；
（2）根据题意，列出w关于x的函数关系式，再求出x的取值范围，再根据二次函数的图象和性质求解即可．
【详解】（1）解：设制作一件B品的成本为a元，则制作一件A品的成本为元，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
此时，
答：制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元；
（2）解：根据题意得：A品的销量为：件，B品的销量为：件，
则，
∵制作A品和B品的总成本不超过1400元，
∴，
解得：，
∵且，
解得：，
∴，
∵，且，
∴当时，w随着x的增大而减小，
∴当时，w取得最大值，最大值为4800，
此时，
即制作A品100件，B品200件时总利润最大．
18．某商场销售一种成本为每件20元的商品，销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数：
(1)设商场销售该种商品每月获得利润为（元），写出与之间的函数关系式，并求出最大利润；
(2)为了保护环境，政府部门要求用更加环保的新产品替代该种商品，商场若销售新产品，每月销售量与销售价格之间的关系与原产品的销售情况相同，新产品成本为每件22元，同时对商场的销售量每月不小于150件的商场，政府部门给予每件3元的补贴，试求定价多少时，新产品每月可获得销售利润最大？并求最大利润．
【答案】(1)
函数关系式为，最大利润为元
(2)
定价为元时，新产品每月可获得最大销售利润，最大利润为元
【分析】（1）根据总利润=单件利润×数量，即可解答，然后根据二次函数的性质求解即可；
（2）分两种情形①当销售量每月不小于150件，政府部门给予每件3元的补贴，则利润=（定价-成本价+补贴）×销售量，从而列出关系式；运用二次函数性质求出结果．②当销售量每月小于150件，求出W的最大值，比较两种情形的最大值，即可判断．
【详解】（1）解：由题意，得：，
，
∴当时，有最大值为2250，
即与之间的函数关系式，最大利润为元；
（2）解：①当销售量每月不小于150件时，即，
解得：，
由题意，得：
∴当定价元时，新产品每月可获得销售利润最大值是元；
②销售量每月小于150件时，，
解得，
由题意
，
∵，
∴时，w的最大值为1960，
∵，
∴当定价元时，新产品每月可获得销售利润最大值是元．
19．清明节是我国的传统节日．这天人们都会以扫墓献花等方式来缅怀逝者．八年级小宇同学的爸爸是开花店的，于是他就想趁着清明假期赚点零花钱，他以8元束的价格从爸爸那里购入一批菊花，准备在清明节那天销售．开花店的爸爸告诉他前4天的这种菊花日销售量y（束）与销售单价x（元）的对应值表：
销售单价元
16
18
20
22
日销售量束
24
20
16
12
小宇马上判断出y与x是一次函数关系．请你根据以上信息，帮助小宇完成下列问题：
(1)y与x之间的函数关系式是：________．
(2)当销售单价为多少元时，日销售利润为182元？
(3)当销售单价为多少元时，小宇获得的日销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)销售单价为15元或21元
(3)当销售单价为18元时，日销售利润最大，最大利润为200元
【分析】（1）用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）根据单束花的利润与销售量的乘积等于利润列一元二次方程求解即可；
（3）设日销售利润为W元，列二次函数解析式，并根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
将，代入，得，
解得，
与x之间的函数关系式为．
（2）解：由题意列方程：，
解得，，
答：当销售单价为15元或21元时，日销售利润为182元．
（3）解：设日销售利润为W元，
则由题意知
，
，
抛物线开口向下
当时，W有最大值200，
答：当销售单价为18元时，日销售利润最大，最大利润为200元．
20．某养殖户饲养了，两种肉羊，根据往年的饲养经验，他发现：饲养种肉羊获得的利润（万元）与投资金额（万元）成一次函数关系，饲养种肉羊获得的利润（万元）与投资金额（万元）成二次函数关系．已知函数，图象的交点为，，函数的图象与轴正半轴交于点，如图所示．
(1)求函数，的解析式．
(2)观察图象，分析单独饲养A种肉羊与单独饲养B种肉羊所获得的利润的大小关系．
(3)该养殖户计划明年投资万元饲养，这两种肉羊，如何分配资金，可使得总利润最大？最大总利润是多少万元？
【答案】(1)；．
(2)当投资金额小于万元时，饲养种肉羊的利润较大；当投资金额等于万元时，饲养种肉羊，种肉羊的利润一样；当投资金额大于万元时，饲养种肉羊的利润较大．
(3)当种肉羊的投资金额为万元，种肉羊的投资金额为万元，可使得总利润最大，最大利润为万元
【分析】（1）设函数的解析式为：；把点代入，求出即可；设函数的解析式为：；把，，，代入函数解析式，求出，即可；
（2）根据函数图象，进行解答，即可；
（3）设养殖户明年饲养，两种肉羊获得的总利润为万元，其中饲养种肉羊的投资金额为万元，，饲养种肉羊的投资金额为万元，可得，根据二次函数的图象和性质，求出最大值即可．
【详解】（1）解：设函数的解析式为：；函数经过点，
∴，
∴，
∴；
设函数的解析式为：；函数经过点，，，
∴，
解得：，
∴．
（2）解：由函数图象可知；当投资金额小于万元时，饲养种肉羊的利润较大；当投资金额等于万元时，饲养种肉羊，种肉羊的利润一样；当投资金额大于万元时，饲养种肉羊的利润较大．
（3）解：设养殖户明年饲养，两种肉羊获得的总利润为万元，其中饲养种肉羊的投资金额为万元，饲养种肉羊的投资金额为万元，
∴，
整理得：，
配方可得：；
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；此时；
∴当种肉羊的投资金额为万元，种肉羊的投资金额为万元，可使得总利润最大，最大利润为万元．
【题型6 几何图形问题】
21．如图，用长的护栏全部用于建造一个靠墙（墙的长度不限）的长方形养牛场，已知此长方形养牛场的面积为，且与墙平行的边长为．
(1)求与之间的函数解析式；
(2)当边长为何值时，该长方形面积最大？并求出其最大值．
【答案】(1)；
(2)当时，面积取最大值为
【分析】（1）先用含的式子将与墙面垂直的边长表示出来，由矩形面积公式直接列出函数解析式即可；
（2）利用二次函数性质即可得到答案．
【详解】（1）解：根据已知条件，与墙平行的边长为，
则垂直于墙的边长为：，
∴．
（2）解：∵，
∴当时，面积取最大值为．
22．如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
【答案】(1)抛物线的函数表达式为
(2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为
【分析】（1）由点的坐标设抛物线的交点式，再把点D的坐标代入计算可得；
（2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可求得．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，
∵当时，，
∴点D的坐标为，
∴将点D坐标代入解析式得，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：由抛物线的对称性得，
∴，
当时，，
∴矩形的周长
，
∵，
∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为．
23．为构建“五育并举”的教育体系，培育德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，某学校在校园内开辟了一块矩形的劳动基地，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成．设矩形中垂直于墙的边的长为，矩形的面积为（如图）．
(1)求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(2)若矩形的面积为，求的值；
(3)当为何值时，矩形的面积最大？最大为多少？
【答案】(1)
(2)
(3)当时，矩形的面积最大，最大为
【分析】（）根据矩形的面积公式列出函数表达式，再根据题意求出的取值范围即可；
（）把代入（）所得的函数表达式解答即可求解；
（）利用二次函数的性质解答即可求解；
本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，，
∵，
∴，
∴与之间的函数表达式为；
（2）解：当时，，
解得，，
∵，
∴不符合题意，舍去，
∴；
（3）解：∵，
∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，且二次函数图象上的点离对称轴的距离越近函数值越大，
∵，
∴当，的值最大，，
答：当时，矩形的面积最大，最大为．
24．如图，一块三角形的铁皮，边为，边上的高为，要将它加工成矩形铁皮，使它的一边在上，其余两个顶点分别在上．
(1)若四边形是正方形，那么正方形边长是多少？
(2)在矩形中，设，．问取多少时，最大，最大值是多少？
【答案】(1)
(2)时，的最大值是
【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的判定、二次函数的应用，得出是解题关键．
（1）首先得出，进而利用相似三角形的性质求出即可；
（2）利用矩形的性质得出邻边关系进而得出，由根据二次函数的最值即可求．
【详解】（1）解：如图，设交于点N，
由题意知四边形是矩形，则，
设正方形的边长为，则
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
答：这个正方形的边长是；
（2）解：在矩形中，，，
由（1）可得：，
∴（）；
∴
，
∴时，的最大值是．
【题型7 图形运动问题】
25．矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边、边向终点运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．给出下面三个结论：
①当时，四边形是平行四边形；
②的最大面积为；
③当的面积为时，或．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】①利用三角形面积公式计算即可判断；②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式，再利用二次函数的性质即可判断；③同②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式计算即可判断．
【详解】解：①当时，如图2，
，，
∴，
∴，
∵矩形，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，①正确；
②当点在上，点在上，此时时，如图1，
，，
∴当时，的最大面积为；
当点在上，点在上，此时时，如图3，
，，，
∴当时，的最大面积为；
当点在上，点在上，此时时，如图4，
，，，，
∴
，
∵，当时，随的增大而减少，
∴不存在最大值，
综上，的最大面积为，②正确；
③当点在上，点在上，此时时，
又②可知：，，
由题意得，
∴（负值已舍）；
当点在上，点在上，此时时，
由②可知：，
由题意得，
∴（不符合题意，舍去）；
当点在上，点在上，此时时，
，
由题意得，
∴（不符合题意，舍去）或；
综上，当的面积为时，或，③正确．
26．如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)填空： ， ． （用含t的代数式表示）；
(2)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？
(3)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由．
(4)点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？
【答案】(1)；；
(2)1秒后
(3)解：不能，理由如下：
当的面积等于时，则，
整理，得，
∴，
∴方程没有实数根，
故的面积不能等于；
(4)当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为.
【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间以及线段的和差关系列出代数式即可；
（2）根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可；
（3）根据三角形的面积公式列出方程，求出判别式的符号，即可得出结果；
（4）将三角形的面积转化为二次函数求最值即可.
【详解】（1）解：由题意，得，
∴；
（2）解：∵，，，
∴的面积，
解得或，
当时，（不符合题意，舍去）；
∴，
答：1秒后，的面积等于；
（3）略
（4）解：当点运动到点时，秒；
由题意，，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随着的增大而增大，
∵，
∴当时，的值最大为；
故当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为.
27．如图所示，在中，，，点是边上一动点，沿的路径移动，过点作于点，设，的面积为S，则下列能大致反映S与m函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分两种情况分类讨论：当时，利用等腰直角三角形的性质得出与的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分；当时，利用三角形面积公式得出y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断．
【详解】解：∵在中，，，
∴，，
过点C作与点H，
∴，
当时，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴抛物线开口向上，
当时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴抛物线开口向下，
故选项B符合题意．
28．如图所示，直角三角形中，，且．设直线截此三角形所得的阴影部分面积为，则与之间的函数关系的图象为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设直线交于点，交于点，容易证明是等腰直角三角形，则，计算得，结合二次函数的图象与性质进行判断即可．
【详解】解：如图，设直线交于点，交于点，
∴点的坐标为，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴也是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴与之间是二次函数关系，且该二次函数的图象开口向下，只有选项C符合．
【题型8 拱门问题】
29．如图1是佛山市顺德区顺峰山公园景区的大门，是一座三跨式巨型中式牌坊，享有“中华第一牌坊”的美誉．已知中间主跨地面宽度为35米，实际结构可简化为图2所示的组合图形：上部为抛物线形，下部为矩形．某测量小组测得为3米，从A点出发，沿主跨地面向右侧走2米到达点E，测得E点处对应的高度（即点E上方到抛物线轮廓的竖直距离）为6.3米，请你结合数据，求出主跨的高度（即抛物线顶点到地面的距离）．（精确到）
【答案】主跨的高度约为．
【分析】以线段所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，由题意可得，，设该抛物线的表达式为，求出抛物线的解析式即可解答．
【详解】解：以线段所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如答图所示．
，
，，
，．
设该抛物线的表达式为，
将，代入，得，
解得，
该抛物线的表达式为．
当时，．
答：主跨的高度约为．
30．新区公园为迎接端午节，准备设计一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中．要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．如图所示：
方案一：如图1，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点G在x轴上，，．
方案二：如图2，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点G在x轴上，，．
方案一中，矩形框架的面积记为，点A，D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上．
根据以上提供的相关信息，下列选项中错误的是（ ）
A．图1解析式： B．图2解析式：
C． D．
【答案】C
【分析】运用待定系数法求解即可判断A，B选项，把分别代入两个解析式，进而求得的长，进而判断C，D选项，即可求解．
【详解】解：由题意得，，，
设解析式为：，
代入得：，
解得：，
∴方案一抛物线的函数表达式为：，故A正确，
由题意得，，，
设解析式为：，
代入得：，
解得：，
，故B正确，
把代入得：，
解得：，
∴，
∴，故C错误
把代入得：，
解得：，
∴
∴，故D正确
31．如图，某校为打造校园休闲走廊，准备修建一座抛物线形拱形花架走廊，供藤蔓花卉攀爬生长．该花架左右两侧设有竖直等高立柱，立柱顶端连接抛物线形拱形框架，整体结构稳固美观实用．若以左侧立柱底部为坐标原点，水平向右为x轴，竖直向上为y轴，建立平面直角坐标系（单位：米）．经测量，花架走廊净宽（两侧立柱水平间距）为6米，立柱高度为2米，最高点距地面高度为3米，且抛物线形拱形框架恰好经过两根立柱的顶端．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)若花架内垂直高度不低于2.5米的区域既方便行人通行，又适宜花卉生长．结合函数图象与性质，求出该区域对应的自变量x的取值范围；
(3)为提升夜间景观效果，现计划在花架内部悬挂两条相互平行的彩色灯带．灯带两端均固定在拱形框架上且保持水平绷直（即为一条线段）．设两条灯带所在直线分别为和，其中．若两条灯带的长度之和恰好等于花架的总水平跨度，且上方灯带长度是下方灯带长度的．请直接写出m和n的值．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用问题．
（1）先根据题意，得到抛物线顶点坐标，选择顶点式作为二次函数的表达式，代入已知点，即可求得二次函数表达式，最后将求出的顶点式整理为一般式即可；
（2）先令，求出相应方程的两个根，再根据题意结合函数图象性质，即可求得当
时，自变量x的取值范围；
（3）将代入，求出灯带的水平跨度为，同理求出下面这条灯带的水平跨度为，根据题意建立关于m，n的方程组，解方程组即可求出m，n的值．
【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线对应的函数表达式为：，
将立柱顶端点代入表达式：，
解得：，
即，
展开整理得：；
（2）解：令，得到，
整理得：，
解得：，，
∵花架内垂直高度不低于2.5米，
∴，
结合函数图象可知，此时对应的自变量x的取值范围为：；
（3）解：将代入，
∴，
整理得：，
解得：，，
∴该灯带的水平跨度为；
同理可得，另一条灯带的水平跨度为；
由题意可知：，
令，，
方程组化为：，
解得：，
即，
解得：，
∴，．
32．图1为苏州地标建筑“东方之门”，俗称“大秋裤”．如图2，门的内侧曲线为抛物线，以门的底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，门内侧曲线所在抛物线的函数表达式为，则下列说法错误的是（ ）
A．门的最大高度为
B．门的底部宽度为
C．离地面处的门的水平宽度为
D．当门的水平宽度为时，门的高度为
【答案】C
【分析】以抛物线的解析式为基础，通过代入或解方程，分别验证每个选项里门的高度和水平宽度是否符合计算结果，从而找出错误选项．
【详解】解：选项：当，，即门的最大高度为，正确；
选项：，令可得，解得或，即点的坐标为，点的坐标为，故，正确；
选项：，令可得，解得或，故离地面处的门的水平宽度为，错误；
选项：当门的水平宽度为，此时，当，，即门的高度为，正确．
【题型9 隧道问题】
33．河南某高速公路隧道截面轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽米，高米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔米（中心线宽度不计）．若宽米，高米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由．
【答案】(1)
(2)能安全通过，理由：如图，由题意得： （米）
∴点的横坐标为，
把代入，得，
，
∴能安全通过．
【分析】抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，利用待定系数法解答即可求解；
求出点的横坐标，然后求出点距离抛物线的距离，再减去车辆的高度，得到的差值与比较即可判断求解
【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为，即，
设抛物线的解析式为，
把点代入，得，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）略
34．如图1是某海洋馆时空隧道的截面图，图2是它的示意图，隧道截面可近似看作由抛物线和长方形构成．长方形的长是5米，宽是1米，小晨以为原点，建立如图2的平面直角坐标系．抛物线经过点．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)为保障观赏效果，工人师傅搭建一木板对玻璃隧道进行清洁，与的夹角为，已知工人师傅（身高忽略不计，视为点）能刷到的最大高度是站立位置上方铅直高度2.3米处．若工人师傅从点沿木板向上走4米到达点处，他能刷到正上方的玻璃隧道吗？请通过计算说明．
【答案】(1)
(2)
解：他能刷到正上方的玻璃隧道，理由如下：
如图，过点M作轴于点N，交抛物线于点E
根据题意得，，
∴
∴
∴将代入
∴
∴
∴他能刷到正上方的玻璃隧道．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）如图，过点M作轴于点N，交抛物线于点E，首先求出，，然后求出，得到，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得，，，
设抛物线解析式为，
∴
解得
∴抛物线的解析式为；
（2）略
35．广州永庆坊的月亮桥是荔枝湾涌上的一道亮丽风景，游客可乘坐小红船从桥拱下穿过，近距离感受岭南水乡风情．
现在需要对河道进行拓宽，并同步拓宽桥拱．数学兴趣小组对此开展了通航安全评估，以下为该小组评估报告中的部分记录，请认真阅读，解决问题．
永庆坊·月亮桥游船通航安全评估报告
素材1
图1是月亮桥截面示意图，它由圆心在点的劣弧和矩形构成．桥墩之间宽，桥墩高，拱桥顶端距离河床底面（即）．
素材2
拱桥拓宽后，中间设置宽为米的隔离带，两边为游船通道．如图2，拓宽后桥墩之间宽，桥墩高和拱桥顶端距离河床底面保持不变．
设计
设计1
拱桥上半部分劣弧改造成顶点为的抛物线一部分的形式．
设计2
拱桥上半部分劣弧改造后仍为劣弧的形式．
问题解决：
(1)任务1，按设计1：以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
(2)任务2 按设计2：求拱桥上半部分劣弧所在圆的半径．
(3)任务3 a的确定：当水面刚好淹没桥墩顶部时，要使有载满游客的小红船（长方体状）顺利通过月亮桥，此时船顶部距水面，小船宽度为，求出设计1改造方案下的最大值（，结果精确到米）．
【答案】(1)
(2)
(3)设计1改造方案下的最大值为
【分析】（1）根据题意得到，，设抛物线的解析式为，运用待定系数法即可求解；
（2）根据题意，，，设，则，在中由勾股定理列式求解即可；
（3）根据题意得到，代入抛物线计算得到小船刚好能过桥时的宽度，再结合小船的宽度，即可得到中间隔离带宽度的最大值．
【详解】（1）解：根据题意，改造后，，
∴，
以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线的顶点为点E，
∴，，
设抛物线的解析式为，把点代入得，，
解得，，
∴抛物线解析式为；
（2）解：改造后，，，，且，
∴，，
设，
∴，
在中，，
∴，
解得，，
∴拱桥上半部分劣弧所在圆的半径为；
（3）解：桥墩高，船顶部距水面，
∴，
∴，则，
∴，
解得，，，
∵小船宽度为，
∴
∴设计1改造方案下的最大值为．
36．【综合与实践】
主题：隧道安全警示的数学探究
如图1，在隧道通行安全中，涉水线和限高架的设置蕴含着丰富的数学知识．某数学兴趣小组对双向通行隧道进行考察，开展了以下探究：
素材1如图2为隧道及斜坡的侧面示意图，当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行．
素材2图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．隧道的最高点到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．
(1)【初步探究】如图2，过点作，已知斜坡的坡角，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米，，，）．
(2)【深入研究】如图3，请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式．
(3)【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．已知车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，限高架上标有警示语“车辆限高米”（即最大安全限高），求的值（精确到0.1米）．
【答案】(1)1.55米
(2)以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系：
(3)3.5米
【分析】（1）过点M作，代入数值得，进行计算，即可作答．
（2）先以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为()，再把代入进行计算，得，即可作答．
（3）认真研读题干，得出，再算出当时，，则，，即可得出（米)，即可作答．
【详解】（1）解：如图，过点M作，
∵斜坡的坡角α为，隧道内积水的水深为0.27米，
∴，
∵，
在中，，
∴，
∴（米）．
（2）解：如图所示：以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系：
依题意，设抛物线的解析式为()，
∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．
∴，
把代入，
得，
∴，
∴．
（3）解：如图所示：
∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．
∴，
∴当时，，
则，
∴，
∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），
∴（米)，
∵涉及安全问题，
∴（米）．
【题型10 表格问题】
37．综合与实践
【问题背景】
随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题．
【研究条件】
条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表：
1
2
3
4
5
50
100
150
200
250
条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足：
【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题：
(1)根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？
(2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式；
【模型应用】
(3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由．
【总结反思】
函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策．
【答案】(1)与的函数关系式为，当时，该充电站的收入为元
(2)的值为或，收入与的新关系式为
(3)，理由如下：
设净收益为W，
∴，
，
二次函数图象开口向下，
∴当时取得最大值，
由题意得，时净收益最大，
∴
解得．
【分析】（1）观察表格数据可判断是的正比例函数，用待定系数法求出解析式，再代入计算即可；
（2）根据收支平衡的定义列等式，整理为一元二次方程求解，再根据收入等于成本写出新关系式；
（3）设净收益为W，再写出净收益的二次函数表达式，根据开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，结合顶点横坐标为80即可求出的值．
【详解】（1）解：由表格数据可知与成正比例关系，设，
将，代入得，
∴与的函数关系式为，
当时，（元）；
（2）解：收支平衡满足，
∴
解得，，此时收支平衡时收入等于成本，
∴收入与的新关系式为；
（3）略
38．【问题提出】某班开展课外锻炼，有7位学生组队参加跳长绳运动，如何才能顺利开展活动呢？
【实践活动】在体育老师的指导下，队员们进行了以下实践：
步骤一：收集身高数据如下：
队员
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
身高
1.70
1.70
1.73
1.60
1.68
1.80
1.60
步骤二：为增加甩绳的稳定度，确定两位身高较高且相近的甲、乙队员甩绳，其余队员跳绳；
步骤三：所有队员站成一排，跳绳队员按照中高、两低的方式排列，同时7名队员每两人间的距离至少为才能保证安全；
步骤四，如图1，两位甩绳队员通过多次实践发现，当两人的水平距离，手离地面的高度，绳子最高点距离地面时，效果最佳；
根据以下素材，探索完成任务．
设计跳长绳方案
素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下：
（1）每班需要报名跳绳同学9人，摇绳同学2人；
（2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1．
素材2：某班进行赛前训练，发现：
（1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为，绳子最高点为，摇绳同学的出手高度均为，如图2：
（2）9名跳绳同学身高如表．
身高（）
人数
素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现：
（1）跳绳时，人的跳起高度在及以下较为舒服；
（2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的．
(1)任务1：确定长绳形状．请在图2中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式．
(2)任务2：确定排列方案，该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距，请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学．
【答案】(1)
(2)当绳子在最高点时，长绳不会触碰到最边侧的同学
【分析】（1）根据题意得到，运用待定系数法即可求解；
（2）根据题意确定最边侧同学的横坐标，纵坐标，代入计算函数值进行比较即可．
【详解】（1）解：如图所示，
∴，
设绳子摇至最高点时的抛物线为，把代入得，
，
解得，，
∴；
（2）解：9名同学中，身高最小的是，在最右（左）边，
∵将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距，
∴最右则同学的横坐标为，
∵当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，头顶到地面的高度是身高的，
∴此时，头顶到地面的高度是，
在抛物线中，
当时，，
∵，
∴当绳子在最高点时，长绳不会触碰到最边侧的同学．
39．根据以下素材，探索完成任务．
设计跳长绳方案
素材1：某校将组织跳长绳比赛，要求如下：
（1）每班男、女生组各需要报9名跳绳同学；
（2）每班另选2名摇绳同学；
（3）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1．
素材2：某班进行赛前训练，发现：
（1）如图2，在跳长绳时，绳子摇至最高处的形状可以近似地看作抛物线．甲、乙两名同学负责摇绳，当绳子摇至最高处时，最高点距离地面，摇绳位置之间的水平距离为，且摇绳位置，到地面的距离均为．以地面上的点为坐标原点，线段所在直线为轴，线段所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
（2）观察跳绳同学的姿态（如图3），当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的．
问题解决
(1)任务一确定长绳形状
根据素材，求出图2中长绳摇至最高处时抛物线对应的函数表达式．
(2)任务二探究站位碰绳问题
该班男生组选取9名代表身高见下表，若该班体育委员决定：以长绳的最高点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时人与人之间保持的间距．当长绳摇至最高处时，同学们正屈膝落地，长绳会触碰到最右侧的同学吗？为什么？
身高（）
人数
2
4
2
1
(3)任务三拟定位置方案
该班女生组挑选出身高都为的9名女生参加跳绳．跳绳时，同样采用一路纵队的方式安排选手位置，但人与人之间保持的间距．当9名女生正屈膝落地时，若要保证跳绳正常进行（绳子超过头顶），请求出左边第一位同学离点的水平距离的取值范围．
【答案】(1)
(2)不会，理由如下：
由（1）知，抛物线对应的函数表达式为，对称轴为直线．
由题意知，最右侧的同学身高为，且所站位置在直角坐标系中，对应的横坐标为．
将代入中得：，
当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的．
即为，
∵，
∴当绳子在最高点时，同学们正屈膝落地，长绳不会触碰到最右侧的同学；
(3)
【分析】（1）由题意知，点，，在抛物线上，点C为最高点，抛物线顶点的坐标为，设抛物线对应的函数表达式为，然后利用待定系数法代入求解即可；
（2）由题意知，最右侧的同学身高为，且所站位置在直角坐标系中，对应的横坐标为．将代入中得：，然后得出当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的．即为，进行比较即可求解；
（3）由（2）知，身高为的同学，此时头顶到地面的高度是，令，解出方程，然后列出不等式即可求解．
【详解】（1）解：由题意知，点，，在抛物线上，点C为最高点，
∴抛物线顶点的坐标为．
设抛物线对应的函数表达式为．
将代入，得，
解得．
∴长绳摇至最高处时抛物线对应的函数表达式为；
（2）略
（3）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，
由（2）知，身高为的同学，此时头顶到地面的高度是，
令，则，
解得：，．
由题意知，左边第一位同学离点O的水平距离d，
∴右边第一位同学离点O的水平距离为，
∵要保证跳绳正常进行（绳子超过头顶），
∴，
解得：，
∴左边第一位同学离点的水平距离的取值范围为：．
40．2026年山西省人民政府办公厅印发的《山西省加快能源绿色低碳转型发展实施方案》，文件明确提出：“立足就近接人、就近消纳，推动新能源与煤炭、交通、建筑、农业等多领域融合发展．有序推动风电、光伏发电项目改造升级，提升风光资源和土地利用效率．”
【数据收集】高平某农业园区积极响应政策，建成农光互补示范基地．以下是有关光伏板设置参数分析．
信息1：经实测，该地区大棚的每150平方米光伏板，在春秋两季，光伏板倾斜角x（单位：度）与日发电量y（单位：千瓦时）可近似满足下列函数关系：
x/度
18
22
24
28
30
32
36
42
y/千瓦时
70
80
83.5
87.5
88
87.5
83.5
70
信息2：受季节变化影响，在春秋两季日发电量y的基础上：
①夏季太阳高度角偏大，日发电量函数图象整体向左平移2个单位长度；
②冬季太阳高度角偏小，日发电量函数图象整体向右平移2个单位长度．
【模型建立】
(1)求春秋两季时，日发电量y关于光伏板倾斜角x的函数解析式，分析题意，直接写出该园区光伏板夏季发电量最大时光伏板的倾斜角．
(2)若园区预计升级新一代高效光伏组件，升级后的光伏板每150平方米的日发电量增加36千瓦时，直接写出该园区冬季升级后的光伏板日发电量与光伏板倾斜角x之间的函数解析式．
【问题解决】
(3)园区升级光伏板后，记夏季与冬季发电量差值为k，为保证全年发电量均衡，避免季节性发电波动明显．
①当发电量差值为0时，光伏板倾斜角x的度数为______；
②若要求每150平方米光伏板日发电量差值不超过5千瓦时，求光伏板倾斜角x的取值范围．
【答案】(1)春秋两季函数解析式为，夏季发电量最大时倾斜角为；
(2)
(3)①；②
【分析】（1）观察表格数据可知，y是关于x的二次函数，且顶点坐标为，利用待定系数法即可求出春秋两季函数解析式，再根据夏季太阳高度角偏大，日发电量函数图象整体向左平移2个单位长度，可得顶点坐标，即可得到夏季发电量最大时光伏板的倾斜角；
（2）根据题意，利用二次函数的平移规律即可解答；
（3）先求出，①令，求解即可得出结果；②令求解即可得出结果．
【详解】（1）解：观察表格数据可知，y是关于x的二次函数，且顶点坐标为，
设函数解析式为 ，
代入点得
解得
∴春秋两季函数解析式为，
夏季函数图象向左平移2个单位，顶点横坐标变为，
因此夏季发电量最大时倾斜角为；
（2）解：冬季太阳高度角偏小，日发电量函数图象整体向右平移2个单位长度，再整体增加发电量36千瓦时（向上平移36个单位），
∴；
（3）解：同理（2）得升级后夏季函数解析式为，
①当差值，即时，则，
化简得，
解得，
则光伏板倾斜角x的度数为；
②由题意得，则，
即，
解得，
即光伏板倾斜角的取值范围为．
试卷第1页（共3页）
试卷第1页（共3页）
学科网（北京）股份有限公司
$
26.4 实际问题与二次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
【题型1 投球问题】
1．投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度与距投掷点的水平距离之间的函数表达式为．
(1)当投掷的距离为时，求的值；
(2)当时，铅球处于下落状态，求的取值范围；
(3)当时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为，求的值．
2．如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分．
(1)求，的值．
(2)小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值．
3．综合与实践——丢沙包中的数学
【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励．
小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动．
【活动过程】
活动1：发现模型
兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）．
活动2：应用模型
(1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心．
(2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面．
小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米．
4．如图，嘉嘉同学投掷实心球，出手（点 处）的高度 是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．
(1)根据题意，请你建立合适的平面直角坐标系，并求出这段抛物线对应的函数解析式．
(2)若实心球落地点为，求的长．
【题型2 拱桥问题】
5．某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，如图，已知这座桥的跨度米，拱高米，且设计方案为抛物线型，抛物线的解析式为．现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面米，此货船能否顺利通过这座桥？请说明理由．
6．在蔬菜之乡寿光，高温蔬菜大棚（如图1）种植技术已十分成熟．付峰同学家建有一个长为160米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的透明墙体A处（墙体A的一面，面向正南），另一端固定在离地面高3米的墙体处（B处为厚实土墙），现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体A的水平距离（米）之间的关系满足，现测得两墙体之间的水平距离为12米．
(1)直接写出的值；
(2)求大棚的最高处到地面的距离；
(3)付峰同学的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？
7．如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是．经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图）．
(1)你选择的方案是______（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是______；
(2)求出你所选方案中的抛物线的解析式；
(3)因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少？
8．开封清明上河园中的虹桥是园区的核心地标，下面是虹桥及上方抛物线形框架结构的平面示意图，桥中间的大拱截面可视为抛物线的一部分，虹桥上悬挂两个灯笼．
现有以下三条素材：
素材1：整个图形是轴对称图形；
素材2：跨度米，竖直支撑米，最高点P到的距离为5米；
素材3：两灯笼，之间的水平距离为4米，点M、N均在抛物线上且关于抛物线的对称轴对称．
现以所在直线为x轴，的垂直平分线（直线）为y轴，建立平面直角坐标系．
(1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围）
(2)若米，求灯笼底端（点E或F）到的距离．
【题型3 喷水问题】
9．大自然中有一种神奇的鱼——射水鱼，它能以极快的速度从口中射出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形．如图，以射水鱼所在的位置为原点O建立平面直角坐标系，设水柱距水面的高度为，与射水鱼的水平距离为，y与x的函数表达式为，水柱的最大高度为．一只昆虫位于点处，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动________的距离才能击中昆虫．
10．某体育馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．喷泉的水流轨迹可以近似地看成抛物线．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压．将草坡截面抽象为直角三角形，如图，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．技术人员以为原点，水平向右为轴，竖直向上为轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表：
0
1
2
3
4
…
…
(1)根据表格数据，求出水流的函数解析式；
(2)若调试时，水流恰好经过树顶点，
①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树可达到的最大高度是多少？
②在灯光测试中，需要在右侧（靠近的一侧）再放置一棵与等高的小树（在坡面上，树干垂直），且水流也能刚好经过树顶．为保证两棵树不在同一地点，求第一棵树底的横坐标的取值范围．
11．某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知，，从处喷出的水流高度与水平距离之间的关系为．
(1)求，的值；
(2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？
(3)点在点正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到米，则消防车从点沿方向应至少前进多少米？
12．综合与实践
问题情境
喷泉集环境保护、娱乐休闲、小区美化与装饰艺术于一身，通常是城市的重要景观．为了解喷泉设计的奥秘，综合实践小组的同学对抛物线形喷泉展开探究．
资料收集
实践小组收集到某公园内一种喷泉的基本资料（由甲、乙两组喷泉组成），并进行组内交流：
小明：如图1，甲组喷泉喷水孔点O在水平地面上，喷出的水柱形状为抛物线形，其跨度（水流喷水孔点O与落地点M之间的水平距离）为，最高点距地面．
小亮：图2是乙组喷泉水柱形状的示意图，为喷水管，点A为喷水孔，此时B为水的落地点，记的长度为此时喷泉的跨度，两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为．
小颖：图3是甲、乙两组喷泉同时喷水时的示意图，公园要在两组喷泉之间设立安全通道，安全通道在线段上，要求在两组喷泉同时喷水时，水柱都不会进入上方的安全区域矩形内．
数学建模
如图3，以甲组喷泉喷水孔点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O竖直向上为y轴的正方向，建立平面直角坐标系．
问题解决
(1)求图3中甲组喷泉抛物线的函数表达式；
(2)若乙组喷泉跨度恰好为，求喷水管的高度；
(3)在（2）的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为，求此时安全通道的宽度．
【题型4 跳跃问题】
13．在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国运动员的精彩表现让人叹为观止，已知运动员从高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为，与跳台底部所在水平面的竖直高度为，y与x的函数关系式为，当她与跳台边缘的水平距离为________m时，竖直高度达到最大值．
14．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．比赛过程分为助滑阶段，起跳后的空中飞行阶段和落地滑行阶段，今天我们一起来运用数学知识解决最具观赏性的空中飞行阶段相关问题．为了获得数据，技术人员设置了固定点进行测量，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系．下表记录了某运动员起跳后的与的几组数据．
水平距离（单位：）
竖直高度（单位：）
请解决以下问题：
(1)在下面网格中，建立适当的平面直角坐标系，根据题中数据描点，并用平滑的曲线连接；
(2)请结合图象分析，当水平距离为________时，运动员在空中达到最高点．
(3)运动员水平位置为________时，运动员才能落地．
(4)根据训练需要，假设运动员的起跳速度和角度没有变化，现将起跳跳台（起跳点）抬高22米，运动员落地的水平距离如何变化？变化了多少？
15．水上乐园是主题公园的一种，多数娱乐设施与水有关，常见的设施有：水滑梯、造浪设备、漂流河、滑板等．如图1，是水滑梯项目中的一段滑道，滑道路线可以看作是抛物线的一部分，小强从这段滑道的最高处下滑，其路线如图2所示，当他在水平方向滑行了时，下滑到最低点C处，即点C的坐标为，由于惯性再滑动一段后到达点B，从点B处落入水中．若点B的坐标为，则小强下滑前的竖直高度（即的长）为（ ）
A． B． C． D．
16．无人机融合了航空动力学、导航控制、无线通信等技术，可航拍记录生活、助力行业作业、支援应急救援等，成为贴近日常的实用科技伙伴．数学小组运用信息技术模拟无人机飞行过程，如图，以无人机的地面起飞点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．无人机在起飞后沿直线上升，到达点后，此时距离地面0.1千米，保持高度不变，以20千米/小时的速度水平飞行0.04小时后到达点，此时，发现前方距离起点水平距离2千米处出现一障碍物高度为0.275千米，无人机随即开启紧急避障模式，飞行轨迹呈抛物线形状，越过障碍物后降落到地面点处．已知直线的表达式为，抛物线的表达式为．
(1)点的坐标为_________，点的坐标为_________；
(2)求抛物线的表达式；
(3)如图，若无人机在点发现障碍物后，可沿原水平方向继续飞行千米后再开启紧急避障模式，开启后飞行轨迹的形状不变，且飞行轨迹最高点的高度不变．为确保无人机飞行高度不低于障碍物高度，求的最大值．
【题型5 销售问题】
17．某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．在市场调查中选取两类作品；原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）．
收集到如下信息：
信息1：制作一件A品比一件B品的成本高2元，用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等．
信息2：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件．
信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件．
(1)成本核算：分别求制作一件A品和一件B品的成本．
(2)建立模型，设计方案：设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件（，且为整数），若制作A品和B品的总成本不超过1400元，且为使总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案．
18．某商场销售一种成本为每件20元的商品，销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数：
(1)设商场销售该种商品每月获得利润为（元），写出与之间的函数关系式，并求出最大利润；
(2)为了保护环境，政府部门要求用更加环保的新产品替代该种商品，商场若销售新产品，每月销售量与销售价格之间的关系与原产品的销售情况相同，新产品成本为每件22元，同时对商场的销售量每月不小于150件的商场，政府部门给予每件3元的补贴，试求定价多少时，新产品每月可获得销售利润最大？并求最大利润．
19．清明节是我国的传统节日．这天人们都会以扫墓献花等方式来缅怀逝者．八年级小宇同学的爸爸是开花店的，于是他就想趁着清明假期赚点零花钱，他以8元束的价格从爸爸那里购入一批菊花，准备在清明节那天销售．开花店的爸爸告诉他前4天的这种菊花日销售量y（束）与销售单价x（元）的对应值表：
销售单价元
16
18
20
22
日销售量束
24
20
16
12
小宇马上判断出y与x是一次函数关系．请你根据以上信息，帮助小宇完成下列问题：
(1)y与x之间的函数关系式是：________．
(2)当销售单价为多少元时，日销售利润为182元？
(3)当销售单价为多少元时，小宇获得的日销售利润最大？最大利润是多少？
20．某养殖户饲养了，两种肉羊，根据往年的饲养经验，他发现：饲养种肉羊获得的利润（万元）与投资金额（万元）成一次函数关系，饲养种肉羊获得的利润（万元）与投资金额（万元）成二次函数关系．已知函数，图象的交点为，，函数的图象与轴正半轴交于点，如图所示．
(1)求函数，的解析式．
(2)观察图象，分析单独饲养A种肉羊与单独饲养B种肉羊所获得的利润的大小关系．
(3)该养殖户计划明年投资万元饲养，这两种肉羊，如何分配资金，可使得总利润最大？最大总利润是多少万元？
【题型6 几何图形问题】
21．如图，用长的护栏全部用于建造一个靠墙（墙的长度不限）的长方形养牛场，已知此长方形养牛场的面积为，且与墙平行的边长为．
(1)求与之间的函数解析式；
(2)当边长为何值时，该长方形面积最大？并求出其最大值．
22．如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
23．为构建“五育并举”的教育体系，培育德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，某学校在校园内开辟了一块矩形的劳动基地，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成．设矩形中垂直于墙的边的长为，矩形的面积为（如图）．
(1)求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(2)若矩形的面积为，求的值；
(3)当为何值时，矩形的面积最大？最大为多少？
24．如图，一块三角形的铁皮，边为，边上的高为，要将它加工成矩形铁皮，使它的一边在上，其余两个顶点分别在上．
(1)若四边形是正方形，那么正方形边长是多少？
(2)在矩形中，设，．问取多少时，最大，最大值是多少？
【题型7 图形运动问题】
25．矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边、边向终点运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．给出下面三个结论：
①当时，四边形是平行四边形；
②的最大面积为；
③当的面积为时，或．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
26．如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)填空： ， ． （用含t的代数式表示）；
(2)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？
(3)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由．
(4)点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？
27．如图所示，在中，，，点是边上一动点，沿的路径移动，过点作于点，设，的面积为S，则下列能大致反映S与m函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
28．如图所示，直角三角形中，，且．设直线截此三角形所得的阴影部分面积为，则与之间的函数关系的图象为（ ）
A． B． C． D．
【题型8 拱门问题】
29．如图1是佛山市顺德区顺峰山公园景区的大门，是一座三跨式巨型中式牌坊，享有“中华第一牌坊”的美誉．已知中间主跨地面宽度为35米，实际结构可简化为图2所示的组合图形：上部为抛物线形，下部为矩形．某测量小组测得为3米，从A点出发，沿主跨地面向右侧走2米到达点E，测得E点处对应的高度（即点E上方到抛物线轮廓的竖直距离）为6.3米，请你结合数据，求出主跨的高度（即抛物线顶点到地面的距离）．（精确到）
30．新区公园为迎接端午节，准备设计一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中．要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．如图所示：
方案一：如图1，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点G在x轴上，，．
方案二：如图2，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点G在x轴上，，．
方案一中，矩形框架的面积记为，点A，D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上．
根据以上提供的相关信息，下列选项中错误的是（ ）
A．图1解析式： B．图2解析式：
C． D．
31．如图，某校为打造校园休闲走廊，准备修建一座抛物线形拱形花架走廊，供藤蔓花卉攀爬生长．该花架左右两侧设有竖直等高立柱，立柱顶端连接抛物线形拱形框架，整体结构稳固美观实用．若以左侧立柱底部为坐标原点，水平向右为x轴，竖直向上为y轴，建立平面直角坐标系（单位：米）．经测量，花架走廊净宽（两侧立柱水平间距）为6米，立柱高度为2米，最高点距地面高度为3米，且抛物线形拱形框架恰好经过两根立柱的顶端．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)若花架内垂直高度不低于2.5米的区域既方便行人通行，又适宜花卉生长．结合函数图象与性质，求出该区域对应的自变量x的取值范围；
(3)为提升夜间景观效果，现计划在花架内部悬挂两条相互平行的彩色灯带．灯带两端均固定在拱形框架上且保持水平绷直（即为一条线段）．设两条灯带所在直线分别为和，其中．若两条灯带的长度之和恰好等于花架的总水平跨度，且上方灯带长度是下方灯带长度的．请直接写出m和n的值．
32．图1为苏州地标建筑“东方之门”，俗称“大秋裤”．如图2，门的内侧曲线为抛物线，以门的底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，门内侧曲线所在抛物线的函数表达式为，则下列说法错误的是（ ）
A．门的最大高度为
B．门的底部宽度为
C．离地面处的门的水平宽度为
D．当门的水平宽度为时，门的高度为
【题型9 隧道问题】
33．河南某高速公路隧道截面轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽米，高米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔米（中心线宽度不计）．若宽米，高米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由．
34．如图1是某海洋馆时空隧道的截面图，图2是它的示意图，隧道截面可近似看作由抛物线和长方形构成．长方形的长是5米，宽是1米，小晨以为原点，建立如图2的平面直角坐标系．抛物线经过点．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)为保障观赏效果，工人师傅搭建一木板对玻璃隧道进行清洁，与的夹角为，已知工人师傅（身高忽略不计，视为点）能刷到的最大高度是站立位置上方铅直高度2.3米处．若工人师傅从点沿木板向上走4米到达点处，他能刷到正上方的玻璃隧道吗？请通过计算说明．
35．广州永庆坊的月亮桥是荔枝湾涌上的一道亮丽风景，游客可乘坐小红船从桥拱下穿过，近距离感受岭南水乡风情．
现在需要对河道进行拓宽，并同步拓宽桥拱．数学兴趣小组对此开展了通航安全评估，以下为该小组评估报告中的部分记录，请认真阅读，解决问题．
永庆坊·月亮桥游船通航安全评估报告
素材1
图1是月亮桥截面示意图，它由圆心在点的劣弧和矩形构成．桥墩之间宽，桥墩高，拱桥顶端距离河床底面（即）．
素材2
拱桥拓宽后，中间设置宽为米的隔离带，两边为游船通道．如图2，拓宽后桥墩之间宽，桥墩高和拱桥顶端距离河床底面保持不变．
设计
设计1
拱桥上半部分劣弧改造成顶点为的抛物线一部分的形式．
设计2
拱桥上半部分劣弧改造后仍为劣弧的形式．
问题解决：
(1)任务1，按设计1：以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
(2)任务2 按设计2：求拱桥上半部分劣弧所在圆的半径．
(3)任务3 a的确定：当水面刚好淹没桥墩顶部时，要使有载满游客的小红船（长方体状）顺利通过月亮桥，此时船顶部距水面，小船宽度为，求出设计1改造方案下的最大值（，结果精确到米）．
36．【综合与实践】
主题：隧道安全警示的数学探究
如图1，在隧道通行安全中，涉水线和限高架的设置蕴含着丰富的数学知识．某数学兴趣小组对双向通行隧道进行考察，开展了以下探究：
素材1如图2为隧道及斜坡的侧面示意图，当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行．
素材2图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．隧道的最高点到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．
(1)【初步探究】如图2，过点作，已知斜坡的坡角，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米，，，）．
(2)【深入研究】如图3，请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式．
(3)【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．已知车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，限高架上标有警示语“车辆限高米”（即最大安全限高），求的值（精确到0.1米）．
【题型10 表格问题】
37．综合与实践
【问题背景】
随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题．
【研究条件】
条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表：
1
2
3
4
5
50
100
150
200
250
条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足：
【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题：
(1)根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？
(2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式；
【模型应用】
(3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由．
【总结反思】
函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策．
38．【问题提出】某班开展课外锻炼，有7位学生组队参加跳长绳运动，如何才能顺利开展活动呢？
【实践活动】在体育老师的指导下，队员们进行了以下实践：
步骤一：收集身高数据如下：
队员
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
身高
1.70
1.70
1.73
1.60
1.68
1.80
1.60
步骤二：为增加甩绳的稳定度，确定两位身高较高且相近的甲、乙队员甩绳，其余队员跳绳；
步骤三：所有队员站成一排，跳绳队员按照中高、两低的方式排列，同时7名队员每两人间的距离至少为才能保证安全；
步骤四，如图1，两位甩绳队员通过多次实践发现，当两人的水平距离，手离地面的高度，绳子最高点距离地面时，效果最佳；
根据以下素材，探索完成任务．
设计跳长绳方案
素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下：
（1）每班需要报名跳绳同学9人，摇绳同学2人；
（2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1．
素材2：某班进行赛前训练，发现：
（1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为，绳子最高点为，摇绳同学的出手高度均为，如图2：
（2）9名跳绳同学身高如表．
身高（）
人数
素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现：
（1）跳绳时，人的跳起高度在及以下较为舒服；
（2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的．
(1)任务1：确定长绳形状．请在图2中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式．
(2)任务2：确定排列方案，该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距，请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学．
39．根据以下素材，探索完成任务．
设计跳长绳方案
素材1：某校将组织跳长绳比赛，要求如下：
（1）每班男、女生组各需要报9名跳绳同学；
（2）每班另选2名摇绳同学；
（3）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1．
素材2：某班进行赛前训练，发现：
（1）如图2，在跳长绳时，绳子摇至最高处的形状可以近似地看作抛物线．甲、乙两名同学负责摇绳，当绳子摇至最高处时，最高点距离地面，摇绳位置之间的水平距离为，且摇绳位置，到地面的距离均为．以地面上的点为坐标原点，线段所在直线为轴，线段所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
（2）观察跳绳同学的姿态（如图3），当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的．
问题解决
(1)任务一确定长绳形状
根据素材，求出图2中长绳摇至最高处时抛物线对应的函数表达式．
(2)任务二探究站位碰绳问题
该班男生组选取9名代表身高见下表，若该班体育委员决定：以长绳的最高点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时人与人之间保持的间距．当长绳摇至最高处时，同学们正屈膝落地，长绳会触碰到最右侧的同学吗？为什么？
身高（）
人数
2
4
2
1
(3)任务三拟定位置方案
该班女生组挑选出身高都为的9名女生参加跳绳．跳绳时，同样采用一路纵队的方式安排选手位置，但人与人之间保持的间距．当9名女生正屈膝落地时，若要保证跳绳正常进行（绳子超过头顶），请求出左边第一位同学离点的水平距离的取值范围．
40．2026年山西省人民政府办公厅印发的《山西省加快能源绿色低碳转型发展实施方案》，文件明确提出：“立足就近接人、就近消纳，推动新能源与煤炭、交通、建筑、农业等多领域融合发展．有序推动风电、光伏发电项目改造升级，提升风光资源和土地利用效率．”
【数据收集】高平某农业园区积极响应政策，建成农光互补示范基地．以下是有关光伏板设置参数分析．
信息1：经实测，该地区大棚的每150平方米光伏板，在春秋两季，光伏板倾斜角x（单位：度）与日发电量y（单位：千瓦时）可近似满足下列函数关系：
x/度
18
22
24
28
30
32
36
42
y/千瓦时
70
80
83.5
87.5
88
87.5
83.5
70
信息2：受季节变化影响，在春秋两季日发电量y的基础上：
①夏季太阳高度角偏大，日发电量函数图象整体向左平移2个单位长度；
②冬季太阳高度角偏小，日发电量函数图象整体向右平移2个单位长度．
【模型建立】
(1)求春秋两季时，日发电量y关于光伏板倾斜角x的函数解析式，分析题意，直接写出该园区光伏板夏季发电量最大时光伏板的倾斜角．
(2)若园区预计升级新一代高效光伏组件，升级后的光伏板每150平方米的日发电量增加36千瓦时，直接写出该园区冬季升级后的光伏板日发电量与光伏板倾斜角x之间的函数解析式．
【问题解决】
(3)园区升级光伏板后，记夏季与冬季发电量差值为k，为保证全年发电量均衡，避免季节性发电波动明显．
①当发电量差值为0时，光伏板倾斜角x的度数为______；
②若要求每150平方米光伏板日发电量差值不超过5千瓦时，求光伏板倾斜角x的取值范围．
试卷第1页（共3页）
试卷第1页（共3页）
学科网（北京）股份有限公司
$
资源预览图
