专题 2.3 一元二次方程的根与系数的关系（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），系统梳理定理定义、推导与逆向构造、使用前提（判别式验证、一般式整理、符号规则）、高频代数式变形及核心易错警示，构建从基础到应用的递进式学习支架。 资料以分层题型（基础入门到压轴拓展）为核心，结合中考真题与模拟题，通过几何综合等实例培养抽象能力、推理意识和应用意识。课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过同步检测查漏补缺，强化知识迁移与问题解决能力。

专题 2.3 一元二次方程的根与系数的关系（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】根与系数的关系（韦达定理） 1 【知识点二】定理推导与方程逆向构造 2 【知识点三】韦达定理使用前提（必考易错点） 2 【知识点四】中考高频代数式整体变形 2 【知识点五】核心易错警示 2 二.题型精析 2 【题型 1】直接求两根和、两根积（基础入门） 2 【题型 2】已知一根求另一根及参数（基础必考） 4 【题型 3】代数式整体变形求值（中档高频） 6 【题型 4】已知两根关系求参数（易错突破） 9 【题型 5】利用韦达定理与一元二次方程的根求值（拔高拓展） 11 【题型 6】韦达定理与几何综合（压轴拓展） 15 三.同步检测 17 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 17 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 22 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 25 一.知识梳理解读 【知识点一】根与系数的关系（韦达定理） 当一元二次方程 存在两个实数根 （满足）， 两根与方程系数存在固定数量关系，称为韦达定理： 特殊简化形式：当方程二次项系数为1，即 时： 【知识点二】定理推导与方程逆向构造 由一元二次方程因式分解等价式 ，展开右侧多项式，与左侧各项系数一一对应，即可推导出韦达定理。该定理最大优势为：不解方程，直接由系数求出两根和、两根积。 逆向构造方程：已知两数 ，可快速构造一元二次方程：。 【知识点三】韦达定理使用前提（必考易错点） 1. 形式前提：方程必须整理为 标准一般式； 2. 实根前提：必须验证 ，无实数根时，韦达定理不成立、不可使用； 3. 符号前提：两根之和 自带负号，是中考最高频失分点。 【知识点四】中考高频代数式整体变形 已知 为方程两根，无需单独求根，整体代入即可求值： 1. 平方和： 2. 倒数和： 3. 多项式展开： 4. 两根差绝对值： 【知识点五】核心易错警示 1. 忽略判别式验证，无实根强行使用韦达定理计算； 2. 读取 时遗漏正负号，导致结果全部出错； 3. 非一般式方程未整理，直接套用公式； 4. 记忆公式混淆，两根和漏负号、两根积多负号。 二.题型精析 【题型 1】直接求两根和、两根积（基础入门） 【例题1】（25-26九年级上·四川泸州·期中），是方程的两个根，请计算下列式子的值． （1）与的值是多少？ （2）值是多少？ 【答案】（1），；（2） 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系． （1）根据根与系数的关系作答即可； （2）将化为，进而计算即可． （1）解：对于，其中，， ， ； （2）解：． 【变式1】（25-26八年级下·浙江丽水·期末）已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】C 【分析】设矩形两条邻边长分别为，，由根与系数的关系可知，即可求解． 解：设矩形两条邻边长分别为，， ，是方程的两个根， 由根与系数的关系得． 矩形的周长为． 【变式2】（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知，是方程的两个根，则__________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出、，整体代入代数式求值． 解：，是方程的两个根， 则，， 故． 【变式3】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）已知、是一元二次方程的两个根，求的值． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系得到，代入所求代数式即可． 解：∵是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴. 【点拨】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时， ，．也考查了代数式的变形能力． 【题型 2】已知一根求另一根及参数（基础必考） 【例题2】（24-25九年级上·江西新余·阶段检测）已知关于的一元二次方程的一个根为，求其另一根． 【答案】2 【分析】本题考查了根与系数的关系，设该一元二次方程的另一根为，则根据根与系数的关系得到，由此易求的值． 解：设关于的一元二次方程的另一个根为，则， 解得， ∴另一个根是2． 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知关于x的一元二次方程的一个根为，则另一根为（ ） A．8 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根与系数关系，一元二次方程的解，解题的关键是理解题意，准确计算．利用两根之和等于求解即可． 解：设另一个根为t，则有， 故选：A 【变式2】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知关于的一元二次方程，若是方程的一个根，则方程的另一根是____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． 根据一元二次方程的根与系数的关系列式计算即可． 解：设方程的另一根为， 根据根与系数的关系得，， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·湖南郴州·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）若该方程的一个根为3，求m的值及该方程的另一根． 【答案】（1）m的取值范围是；（2）m的值为，该方程的另一根是． 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，，正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． （）计算一元二次方程根的判别式进而即可求解； （）设方程的两个实数根，，其中，利用根与系数的关系，，求解即可； （1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴m的取值范围是； （2）解：设方程的两个实数根，，其中， ∴，即， 解得：，， ∴m的值为，该方程的另一根是． 【题型 3】代数式整体变形求值（中档高频） 【例题3】（25-26九年级下·山东威海·期中）已知，是一元二次方程的两实数根，求下列代数式的值 （1） （2） 【答案】（1）9；（2） 【分析】（1）根据根与系数的关系得：、，再利用完全平方公式变形进行求值即可； （2）将多项式展开，利用、进行求解即可． （1）解：根据题意得：方程可以改写为， 根据根与系数的关系得：、， ； （2）解：由（1）知，、， ． 【变式1】（2024·四川眉山·模拟预测）若方程的两实根为，那么下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，再对各选项变形计算，即可找出错误选项. 解：∵方程的两实根为、， ∴，； 对选项A：，A正确； 对选项B：，B正确； 对选项C：，C正确； 对选项D：，D不正确. 【变式2】（2024·四川眉山·模拟预测）已知一元二次方程的两根为、，则_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）得到方程两根之和、两根之积的值，再代入算式化简计算即可． 解：∵一元二次方程的两根为、， ∴， ∴ = = = =． 【变式3】（24-25九年级上·四川达州·阶段检测）已知 x 满足一元二次方程，求下列各式的值： （1） （2） （3） 【答案】（1）0；（2）7；（3） 【分析】本题考查方程的解，根与系数的关系： （1）根据题意，得到，，整体代入计算即可； （2）根据根与系数的关系，得到方程的另一个根为，进而得到，利用完全平方公式进行计算即可； （3）结合（2）中的结论利用倒数法求值即可． （1）解：∵x 满足一元二次方程， ∴，， ∴ ； （2）∵x 满足一元二次方程， ∴方程的另一个根为：， ∴， ∴， ∴； （3）原式的倒数为：， 由（2）知：， ∴上式， ∴原式． 【题型 4】已知两根关系求参数（易错突破） 【例题4】（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． （1）求k的取值范围； （2）若，满足，求实数k的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据方程有两个实数根，得判别式，解不等式即可得到的取值范围； （2）先根据根与系数的关系用表示和，再代入已知等式得到关于的方程，结合（1）中的范围筛选出符合条件的值即可； （1）解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 即， 展开整理得， 解得； （2）解：由一元二次方程根与系数的关系可得，， ， 代入得， 整理得， 解得， ，， 不符合题意，舍去， ． 【变式1】（25-26九年级下·山东烟台·期末）若关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则k的值为（     ） A． B．2 C．2或 D．1 【答案】A 【分析】先根据两根互为倒数得到两根乘积为1，求出k的可能值，再利用判别式验证方程存在实根，舍去不符合的解得到结果． 解：设方程的两根为． ∵ 方程两根互为倒数， ∴ ． 又∵由根与系数的关系得． ∴ ，解得或． ∵ 一元二次方程有两个实数根， ∴． ∴． ∵ ，不符合要求舍去， ∴ ． 【变式2】（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知，分别是关于x的方程的两个根，且满足，则k的值为______． 【答案】 【分析】关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 解：∵，分别是关于x的方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·北京平谷·期末）已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求的值． 【答案】（1）；（2）5 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得，求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，结合求出k的值． （1）解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． （2）解：∵该方程的两个不相等的实数根分别为，， ∴，， ， ， ， ∴， 解得， ， ． 【题型 5】利用韦达定理与一元二次方程的根求值（拔高拓展） 【例题5】（25-26八年级下·安徽亳州·期末）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求的取值范围； （2）当时， ①求的值； ②求的值． 【答案】（1）且；（2）①；② 【分析】（1）由一元二次方程定义及根与判别式关系求解即可； （2）由一元二次方程根与系数关系及根的定义得到相关等式，对所求代数式恒等变形后整体代入计算即可． （1）解：是关于的一元二次方程， ，则， 关于的一元二次方程有两个实数根， ，解得， 综上所述，的取值范围是且； （2）解：当时，，整理得， ，是一元二次方程的两个实数根， ， ①； ②． 【变式1】（25-26八年级下·安徽淮北·期中）已知一元二次方程的两个根为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，分别求得和的值即可． 解：因为是一元二次方程的根，可得 ． 变形，得 ． 由一元二次方程根与系数的关系，得 ． 所以． 【变式2】（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为____________． 【答案】15 【分析】先利用根的定义对所求代数式降次，再根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入化简后的代数式计算即可． 解：是一元二次方程的两个根， 由一元二次方程根的定义得，即， 由根与系数的关系得，， 将代入所求代数式得： ． 【变式3】（25-26九年级上·福建漳州·期中） 阅读理解材料：已知实数m，n满足，，且．根据材料．求的值． 解：由题意，可得：m，n是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得：，， ∴． 解决以下问题： （1）若方程的两个实数根为，，则 ． （2）已知实数m，n满足，，且，求 的值． （3）已知实数p，q满足，，且，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）1 【分析】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是看懂材料，熟练掌握根与系数的关系． （1）根据根与系数得，，再将所求式子变形为，即可整体代入求值； （2）利用m、n满足的等式，可把m、n可看作方程的两个不相等的实数根，再利用根与系数的关系得到，，接着把利多项式乘多项式法则展开，然后利用整体代入的方法计算； （3）把整理后得到，整理后得到，则p、可看作方程的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系得到，，然后将所求式子变形为，利用整体代入的方法计算． （1）解：根据题意得：，， ∴， 故答案为：； （2）解： ，，且， 、可看作方程的两个不等的实数根，   ，， ； （3）解：，即， ， ∴方程两边除以得：， ，即，且， 、可看作方程的两个不等的实数根， ，， ． 【题型 6】韦达定理与几何综合（压轴拓展） 【例题6】（25-26九年级上·贵州黔西南·期末）已知关于x的一元二次方程：． （1）设，是方程的两个根，求（用含m的式子表示）； （2）当时，此方程的两个根分别是菱形两条对角线长，求菱形的面积． 【答案】（1）；（2）菱形的面积是3 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求菱形的面积，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及求菱形的面积的方法是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系， 可得，，再将变形为，即可求解； （2）当时，，即可代入菱形面积公式求解． （1）解：对于关于x的一元二次方程， ，，， ，， ； （2）解：当时，， 此时菱形的面积为． 【变式1】（2026·广东河源·二模）已知a，b，4分别是三角形三边的长，且a，b是一元二次方程的两个根，则该三角形的周长等于（     ） A．16 B．11 C．9 D．7 【答案】B 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出，，验证三边满足三角形三边关系后，即可计算出周长． 解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∵a，b，4分别是三角形三边的长， ∴，且， ∴三边满足三角形三边关系，能构成三角形， ∴ 三角形的周长为． 【变式2】（23-24八年级下·安徽亳州·期中）等腰三角形的一边为4，另两边恰好是关于的一元二次方程的两根，则的值是______． 【答案】6或 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式和三角形三边的关系．分4为底边和腰两种情况结合根的判别式和根与系数的关系求解即可． 解：当4为底边时，腰为两根，则方程有两个相等的实数根， ∴ 解得，， 又方程两根之和为正数， ∴， ∴； 当4为腰时，则底边为， ∴， ∴． 故答案为：6或． 【变式3】（24-25九年级上·广东佛山·期中）已知的两边的长是关于x的一元二次方程的两个根，第三边BC的长是13． （1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）当m为何值时，是以为斜边的直角三角形． 【答案】（1）证明见解析；（2）m的值为5 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，勾股定理． （1）根据题意直接列出根的判别式，即可证明； （2）根据根与系数的关系用m表示出，，再利用勾股定理，变式得到，代入即可得到关于m的方程，解之即可得到答案． 解：（1）证明：， ， 无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：是的两个根， ，， 是以为斜边的直角三角形， ， ， ， 即， 解得（，不合题意，舍去）， m的值为5． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·吉林长春·期末）若，是方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系求出的值，再根据可得答案． 解：∵，是方程的两个根， ∴， ∴． 2．（2026·天津南开·三模）若，是方程的两个根，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据根与系数的关系求得两根的和与积，再结合各选项即可解答． 解：∵，是方程的两个根， ∴，即选项D符合题意． 3．（2026·湖北孝感·二模）一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．两实数根之积为1 D．两实数根之和为 【答案】C 【分析】先利用判别式判断根的存在情况，再计算两根之和与两根之积，即可判断选项正误． 解：对于一元二次方程 ，可得 ，，， 计算根的判别式： ， ∴方程有两个不相等的实数根，选项A，B错误； 根据一元二次方程根与系数的关系： 两根之和 ，∴选项D错误； 两根之积 ，∴选项C正确． 4．（2026·河北石家庄·二模）已知、是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．-3 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根和与两根积，代入计算即可得到结果． 解：、是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴ ． 5．（2026·安徽芜湖·二模）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根和系数的关系解答即可求解． 解：∵一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∵， ∴， 解得． 6．（2026·河北廊坊·一模）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为a，b，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得a、b的值，再根据a、b的符号可得答案． 解：∵一元二次方程的两根之和与两根之积分别为a，b， ∴， ∴点，即点在平面直角坐标系中位于第一象限． 7．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）若m，n是方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A． B．2024 C．2026 D．2028 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，再结合一元二次方程两根之和的关系整体代入计算即可求解． 解：∵是方程的两个实数根， ∴由方程根的定义得， 由一元二次方程两根之和的关系得：， ∴， ∴ ． 8．（25-26八年级下·福建福州·期末）若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用两根之和与已知条件先求出方程的两个根，再通过两根之积计算的值． 解：∵ 方程的两根为、， ∴ 根据根与系数的关系可得 ， ， ∵ ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∴ ． 9．（25-26八年级下·福建福州·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若关于的方程是倍根方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据“倍根方程”的定义，设出方程的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系建立等式，化简即可求出的值． 解：设方程的两个根分别为和，且．根据一元二次方程根与系数的关系可得： 由①得：，即． 将代入②得： 化简得：． 两边同乘（）得：． 10．（25-26八年级下·江苏南通·期末）的面积是S，一直角边长是x，根据题意可列方程 若该方程的两根为 其中，，则另一直角边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先整理原方程，根据直角边长度为正确定的取值，再利用根与系数的关系得到m与两根a、b的关系，最后代入另一直角边的表达式即可求出结果． 解：， 整理得：， ∵直角边长度为正数，方程两根为， ∴，，， ∴，， 根据三角形面积公式得： （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·浙江舟山·期末）请写出一个一元二次方程，使得两个根分别是和，这个方程可以是__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，计算得到方程的系数，即可写出符合要求的方程． 解：∵两根分别为和， ∴两根之和为：， 两根之积为：， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系得：，， 代入得：，，即，， ∴这个方程可以是：． 12．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）若是一元二次方程的一个根，则另一个根为______． 【答案】 【分析】已知一元二次方程的一个根，利用根与系数的关系中两根乘积等于6，即可求出另一个根． 解：设方程的另一个根为，对于一元二次方程，根据根与系数的关系可得两根乘积为， ∵ 其中一个根为， ∴ ，解得 ，即另一个根为． 13．（2026·四川眉山·中考真题）若方程的两个根是，，则的值为________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，再将所求代数式因式分解，最后整体代入求值即可． 解：对于一元二次方程 ，两个根为， 根据根与系数的关系可得： ， ∵ ∴将，代入得：原式． 14．（2026·内蒙古通辽·二模）若，是一元二次方程的两根，则的值为________． 【答案】 【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得，，对代数式进行化简，然后代入求解即可． 解：由，是一元二次方程的两根可得，， ∴， 将，代入可得 原式． 15．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知a，b是方程的两个实数根，则的值是_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系得到，，代入计算即可． 解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 16．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）菱形的两条对角线的长是方程的两根，则菱形的面积是______． 【答案】3 【分析】利用根与系数的关系得到菱形两条对角线的乘积，结合菱形面积公式计算结果即可． 解：设方程的两个根为，， 由根与系数的关系得：， ∵菱形的两条对角线的长是该方程的两根， ∴菱形两条对角线的乘积为， ∵菱形的面积等于对角线乘积的， ∴菱形的面积为． 17．（2025·山东潍坊·模拟预测）已知关于x的方程的两实数根为，，若，则____________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到与，再由分式方程求解即可． 解：关于x的方程的两实数根为，， 则， ，， ． 即，解得． 经检验，是原方程的解． 18．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）若是倍根方程，则m的值为______； （2）若方程是倍根方程，且，则该方程较大的根为______． 【答案】 或 【分析】（1）由因式分解法解方程可得，，再根据倍根方程的定义求解即可； （2）设方程的两个根为、，根据一元二次方程根和系数的关系，得到，即可得解． 解：（1）， 或， 解得：，， 是倍根方程， 或， 或， 解得：或； （2）方程是倍根方程， 设方程的两个根为、， ， ， ， ， ，， 即该方程较大的根为． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·浙江金华·期中）已知关于x的方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）记该方程的两个实数根为，，求代数式． 【答案】（1）证明：由题意可得： ， ， ， ∴该方程总有两个实数根； （2） 【分析】（1）求出，即可得证； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，将所求代数式变形为，整体代入计算即可得出结果． 解：（1）略 （2）解：∵该方程的两个实数根为，， ∴，， ∴ ． 20．（本小题满分8分）（2026·江西九江·一模）若是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求出实数的取值范围； （2）若方程的两个实数根满足，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再结合题意即可求解． （1）解：由题意得， ， 解得； （2）解：由题意得，， ∵ ， 解得，符合题意． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·湖北武汉·期末）关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 【答案】；另一个根是0 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 将代入方程求出，再根据根与系数的关系求另一个根． 解：将代入方程可得：， 解得：  ， ∴该方程为； 设方程的另一个根为，由根与系数的关系得，， 解得：； 综上所述，  ，另一个根为0． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用构造不等式，并求解即可； （2）设方程的两根为、，且，由根与系数的关系可得，解得，，代入求出的值即可． （1）解：∵有两个不相等的实数根， ∴， 化简，得， 解得； （2）解：设方程的两根为、，且， ， 由根与系数的关系可得，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴，即，符合． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·江苏苏州·期末）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． （1）下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． （2）若是“美丽方程”，求的值． （3）若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①③；（2）或；（3），理由： 设方程（）的两个根为，， 方程为“美丽方程”， ， 两边平方得． 由一元二次方程根与系数的关系得：，． ， ， 整理得， 化简得，即，满足的数量关系为． 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义列方程求解； （3）设方程（）的两个根为，，利用两根差的条件结合根与系数的关系推导和的数量关系． （1）解：①解方程得，． ，符合“美丽方程”定义， ①是“美丽方程”； ②解方程得． ，不符合定义， ②不是“美丽方程”； ③解方程得，． ，符合定义， ③是“美丽方程”． 综上可知，是“美丽方程”的是①③． （2）解：解方程得，． 该方程是“美丽方程”， ，即， ∴或， 解得或． （3）略． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·江苏苏州·期末）我们在探究一元二次方程根与系数关系中发现： 关于的一元二次方程的两个根是，，那么可推出，．请运用这一结论，解决下列问题： 【问题提出】 （1）若，是方程的两根，则 ， ， ； 【问题探究】 （2）如果关于的一元二次方程的两个根是，，那么关于的一元二次方程是否有实数根，如果有实数根，请求出方程的解，如果没有，请说明理由； 【问题解决】 （3）若关于的方程的两根之和是，两根之积是，请求出关于的方程的两根之积的值（用字母，表示）． 【答案】（1），，；（2）有实数根，方程的解为，；（3） 【分析】（1）利用题干给出的一元二次方程根与系数关系求解即可； （2）设，则关于的方程可化为，再利用题干给出的一元二次方程根与系数关系求解即可； （3）设原方程两根为，得到，设关于的方程两根为，令，得到，进而进行求解即可． （1）解：∵，是方程的两根，，，． ∴根据根与系数关系，得 ∴； （2）解：设，则关于的方程可化为， ∵方程两根为， ∴， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴该方程有实数根，根为，． （3）解：设原方程两根为， 由题意，得， 设关于的方程两根为，令， 变形得，则 两根之积： ∴两根之积为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.3 一元二次方程的根与系数的关系（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】根与系数的关系（韦达定理） 1 【知识点二】定理推导与方程逆向构造 2 【知识点三】韦达定理使用前提（必考易错点） 2 【知识点四】中考高频代数式整体变形 2 【知识点五】核心易错警示 2 二.题型精析 2 【题型 1】直接求两根和、两根积（基础入门） 2 【题型 2】已知一根求另一根及参数（基础必考） 3 【题型 3】代数式整体变形求值（中档高频） 3 【题型 4】已知两根关系求参数（易错突破） 4 【题型 5】利用韦达定理与一元二次方程的根求值（拔高拓展） 5 【题型 6】韦达定理与几何综合（压轴拓展） 5 三.同步检测 6 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 6 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 7 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 8 一.知识梳理解读 【知识点一】根与系数的关系（韦达定理） 当一元二次方程 存在两个实数根 （满足）， 两根与方程系数存在固定数量关系，称为韦达定理： 特殊简化形式：当方程二次项系数为1，即 时： 【知识点二】定理推导与方程逆向构造 由一元二次方程因式分解等价式 ，展开右侧多项式，与左侧各项系数一一对应，即可推导出韦达定理。该定理最大优势为：不解方程，直接由系数求出两根和、两根积。 逆向构造方程：已知两数 ，可快速构造一元二次方程：。 【知识点三】韦达定理使用前提（必考易错点） 1. 形式前提：方程必须整理为 标准一般式； 2. 实根前提：必须验证 ，无实数根时，韦达定理不成立、不可使用； 3. 符号前提：两根之和 自带负号，是中考最高频失分点。 【知识点四】中考高频代数式整体变形 已知 为方程两根，无需单独求根，整体代入即可求值： 1. 平方和： 2. 倒数和： 3. 多项式展开： 4. 两根差绝对值： 【知识点五】核心易错警示 1. 忽略判别式验证，无实根强行使用韦达定理计算； 2. 读取 时遗漏正负号，导致结果全部出错； 3. 非一般式方程未整理，直接套用公式； 4. 记忆公式混淆，两根和漏负号、两根积多负号。 二.题型精析 【题型 1】直接求两根和、两根积（基础入门） 【例题1】（25-26九年级上·四川泸州·期中），是方程的两个根，请计算下列式子的值． （1）与的值是多少？ （2）值是多少？ 【变式1】（25-26八年级下·浙江丽水·期末）已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 【变式2】（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知，是方程的两个根，则__________． 【变式3】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）已知、是一元二次方程的两个根，求的值． 【题型 2】已知一根求另一根及参数（基础必考） 【例题2】（24-25九年级上·江西新余·阶段检测）已知关于的一元二次方程的一个根为，求其另一根． 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知关于x的一元二次方程的一个根为，则另一根为（ ） A．8 B．4 C． D． 【变式2】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知关于的一元二次方程，若是方程的一个根，则方程的另一根是____． 【变式3】（24-25九年级上·湖南郴州·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）若该方程的一个根为3，求m的值及该方程的另一根． 【题型 3】代数式整体变形求值（中档高频） 【例题3】（25-26九年级下·山东威海·期中）已知，是一元二次方程的两实数根，求下列代数式的值 （1） （2） 【变式1】（2024·四川眉山·模拟预测）若方程的两实根为，那么下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·四川眉山·模拟预测）已知一元二次方程的两根为、，则_____． 【变式3】（24-25九年级上·四川达州·阶段检测）已知 x 满足一元二次方程，求下列各式的值： （1） （2） （3） 【题型 4】已知两根关系求参数（易错突破） 【例题4】（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． （1）求k的取值范围； （2）若，满足，求实数k的值． 【变式1】（25-26九年级下·山东烟台·期末）若关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则k的值为（     ） A． B．2 C．2或 D．1 【变式2】（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知，分别是关于x的方程的两个根，且满足，则k的值为______． 【变式3】（25-26八年级下·北京平谷·期末）已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求的值． 【题型 5】利用韦达定理与一元二次方程的根求值（拔高拓展） 【例题5】（25-26八年级下·安徽亳州·期末）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求的取值范围； （2）当时， ①求的值； ②求的值． 【变式1】（25-26八年级下·安徽淮北·期中）已知一元二次方程的两个根为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为____________． 【变式3】（25-26九年级上·福建漳州·期中） 阅读理解材料：已知实数m，n满足，，且．根据材料．求的值． 解：由题意，可得：m，n是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得：，， ∴． 解决以下问题： （1）若方程的两个实数根为，，则 ． （2）已知实数m，n满足，，且，求 的值． （3）已知实数p，q满足，，且，求的值． 【题型 6】韦达定理与几何综合（压轴拓展） 【例题6】（25-26九年级上·贵州黔西南·期末）已知关于x的一元二次方程：． （1）设，是方程的两个根，求（用含m的式子表示）； （2）当时，此方程的两个根分别是菱形两条对角线长，求菱形的面积． 【变式1】（2026·广东河源·二模）已知a，b，4分别是三角形三边的长，且a，b是一元二次方程的两个根，则该三角形的周长等于（     ） A．16 B．11 C．9 D．7 【变式2】（23-24八年级下·安徽亳州·期中）等腰三角形的一边为4，另两边恰好是关于的一元二次方程的两根，则的值是______． 【变式3】（24-25九年级上·广东佛山·期中）已知的两边的长是关于x的一元二次方程的两个根，第三边BC的长是13． （1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）当m为何值时，是以为斜边的直角三角形． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·吉林长春·期末）若，是方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 2．（2026·天津南开·三模）若，是方程的两个根，则（     ）． A． B． C． D． 3．（2026·湖北孝感·二模）一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．两实数根之积为1 D．两实数根之和为 4．（2026·河北石家庄·二模）已知、是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．-3 B．1 C． D． 5．（2026·安徽芜湖·二模）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·河北廊坊·一模）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为a，b，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）若m，n是方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A． B．2024 C．2026 D．2028 8．（25-26八年级下·福建福州·期末）若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 9．（25-26八年级下·福建福州·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若关于的方程是倍根方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·江苏南通·期末）的面积是S，一直角边长是x，根据题意可列方程 若该方程的两根为 其中，，则另一直角边长是（     ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·浙江舟山·期末）请写出一个一元二次方程，使得两个根分别是和，这个方程可以是__________． 12．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）若是一元二次方程的一个根，则另一个根为______． 13．（2026·四川眉山·中考真题）若方程的两个根是，，则的值为________． 14．（2026·内蒙古通辽·二模）若，是一元二次方程的两根，则的值为________． 15．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知a，b是方程的两个实数根，则的值是_____． 16．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）菱形的两条对角线的长是方程的两根，则菱形的面积是______． 17．（2025·山东潍坊·模拟预测）已知关于x的方程的两实数根为，，若，则____________． 18．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）若是倍根方程，则m的值为______； （2）若方程是倍根方程，且，则该方程较大的根为______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·浙江金华·期中）已知关于x的方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）记该方程的两个实数根为，，求代数式． 20．（本小题满分8分）（2026·江西九江·一模）若是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求出实数的取值范围； （2）若方程的两个实数根满足，求的值． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·湖北武汉·期末）关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·江苏苏州·期末）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． （1）下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． （2）若是“美丽方程”，求的值． （3）若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·江苏苏州·期末）我们在探究一元二次方程根与系数关系中发现： 关于的一元二次方程的两个根是，，那么可推出，．请运用这一结论，解决下列问题： 【问题提出】 （1）若，是方程的两根，则 ， ， ； 【问题探究】 （2）如果关于的一元二次方程的两个根是，，那么关于的一元二次方程是否有实数根，如果有实数根，请求出方程的解，如果没有，请说明理由； 【问题解决】 （3）若关于的方程的两根之和是，两根之积是，请求出关于的方程的两根之积的值（用字母，表示）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $