专题 5.2 二次函数的图象（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦二次函数的图象这一核心知识点，系统梳理最简二次函数y=ax²的图象与性质、平移规律、顶点式y=a(x-h)²+k的性质及一般式与顶点式互化，形成从基础到进阶的学习支架，助力学生构建完整知识体系。 资料通过夯实基础与综合提升分层题型设计，结合多地区阶段检测题，培养学生推理能力与运算能力。同步检测涵盖选择、填空、解答题，帮助学生查漏补缺，体现应用意识，课中辅助教师高效教学，课后助力学生强化练习，巩固知识盲点。

专题 5.2 二次函数的图象（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】最简二次函数 y=ax²(a≠0) 的图象与性质 1 【知识点二】二次函数图象平移规律 2 【知识点三】顶点式 y=a(x-h)²+k(a≠0) 图象与性质 3 【知识点四】一般式与顶点式互化（配方法） 3 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】最简二次函数 y=ax² 性质判断 3 【题型 2】抛物线平移解析式求解 6 【题型 3】顶点式函数参数与增减性分析 8 【题型 4】一般式配方化为顶点式 11 三.题型精析（综合提升） 13 【题型 5】利用二次函数定义求参数 13 【题型 6】平移逆向求解原解析式 15 【题型 7】一般式、顶点式、交点式综合应用 17 【题型 8】利用抛物线对称性求点坐标 21 四.同步检测 24 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 25 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 31 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 35 一.知识梳理解读 【知识点一】最简二次函数 y=ax²(a≠0) 的图象与性质 1. 图象特征 函数的图象是一条顶点在坐标原点、关于轴对称的抛物线。 2. 分类性质（按的正负划分） 性质 a > 0（开口向上） a < 0（开口向下） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线（即轴） 直线（即轴） 顶点坐标 最值 顶点为最低点，当时，，无最大值 顶点为最高点，当时，，无最小值 增减性 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小 【知识点二】二次函数图象平移规律 1. 上下平移：y=ax²+k(a≠0) 由抛物线 y=ax² 整体上下平移得到，对称轴不变（直线x=0），顶点坐标为(0，k)。 （1）k＞0：图象向上平移k个单位； （2）k＜0：图象向下平移|k|个单位。 2. 左右平移：y=a(x-h)²(a≠0) 由抛物线 y=ax² 整体左右平移得到，对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h，0)。 （1）h＞0：图象向右平移h个单位； （2）h＜0：图象向左平移|h|个单位。 3. 平移通用口诀 左加右减（针对自变量x），上加下减（针对函数整体） 【知识点三】顶点式 y=a(x-h)²+k(a≠0) 图象与性质 函数 性质 （开口向上） （开口向下） 开口 方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点 坐标 最值 时， 时， 增减性 1.对称轴左侧：，随增大而减小2.对称轴右侧：，随增大而增大 1.对称轴左侧：，随增大而增大2.对称轴右侧：，随增大而减小 平移 规律 由 先左右平移个单位，再上下平移个单位 由 先左右平移个单位，再上下平移个单位 【知识点四】一般式与顶点式互化（配方法） 二次函数一般式： 通过配方可化为顶点式： 对称轴公式： ； 顶点坐标公式：。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】最简二次函数 y=ax² 性质判断 【例题1】（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，二次函数的图象经过点，过点作轴的平行线交该二次函数的图象于两点． （1）求二次函数的解析式； （2）为平面内一点，当是等边三角形时，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解、函数与直线的交点坐标计算，以及等边三角形的性质，熟练结合函数与几何图形的性质是解题关键． （1）利用二次函数图象上点的坐标特征，代入已知点坐标求出函数解析式； （2）先结合直线方程与二次函数解析式求出交点坐标，再根据等边三角形的中线、高的性质，计算出顶点的坐标． （1）解：二次函数的图象经过点， ， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）解：将代入， 解得：，， 点、的坐标分别为，， ，， 是等边三角形， 易得点在轴上，且， 轴， ， ， 点的坐标为， 点的坐标为或． 【变式1】（24-25九年级上·广东湛江·阶段检测）已知抛物线，则以下说法中，错误的是（  ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．当时，y有最大值为0 【答案】D 【分析】本题考查了基本二次函数的性质，根据抛物线的开口方向，顶点坐标，结合图象进行判断． 解：由抛物线可知， A.，抛物线开口向上，故选项A正确，不符合题意； B.顶点坐标为，故选项B正确，不符合题意； C.对称轴为直线，故选项C正确，不符合题意； D.当时，y有最小值0，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·新疆巴州·阶段检测）函数的图象开口方向是_______，顶点坐标是__________，对称轴是__________，图象有__________（填“最高”或“最低”）点，函数有最______值，当时，y随x的增大而__________． 【答案】 向上 直线 最低 小 增大 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质进行求解即可． 解：函数的图象开口方向向上，顶点坐标是，对称轴是直线，图象有最低点，函数有最小值，当时，y随x的增大而增大， 故答案为：向上，，直线，最低，小，增大． 【变式3】（2025九年级·全国·专题练习）二次函数的图象是由二次函数的图象经过平移得到的． （1）指出a的值和平移方法． （2）二次函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？ （3）分析函数的增减性． 【答案】（1）；平移方法：把二次函数的图象先向右平移3个单位，再向上平移4个单位；（2）图象的开口方向向下，对称轴是直线，顶点坐标是；（3）当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小 【分析】本题考查的是二次函数的知识，熟练掌握二次函数的平移规律与图象性质是解题的关键． （1）由题意可得出，抛物线平移前后的值不变，抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到； （2）根据二次函数的性质确定开口方向，对称轴和顶点坐标， （3）直接利用二次函数的性质解答即可． （1）解：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，即； 二次函数的顶点坐标为，二次函数的顶点坐标为， 顶点先向右平移3个单位，再向上平移4个单位， 故平移方法为：把二次函数的图象先向右平移3个单位，再向上平移4个单位． （2）解：由（1）可知，，二次函数的解析式为， 故图象的开口方向向下，对称轴是直线，顶点坐标是． （3）解：由（2）可知，图象的开口方向向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 【题型 2】抛物线平移解析式求解 【例题2】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3单位，试确定平移后的抛物线的表达式，并写出其对称轴和顶点坐标． 【答案】，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】根据二次函数“左加右减，上加下减”的平移规律先得到平移后的解析式，再根据二次函数的性质求解即可． 解：将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3单位后得到的抛物线解析式为，即， ∴平移后的抛物线对称轴为直线，顶点坐标为． 【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象的平移，正确根据平移方式求出平移后的解析式是解题的关键． 【变式1】（25-26八年级下·北京·期末）将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．向左平移3个单位，向上平移5个单位 B．向右平移3个单位，向上平移5个单位 C．向左平移5个单位，向下平移3个单位 D．向右平移5个单位，向上平移3个单位 【答案】A 解：∵的顶点坐标为，的顶点坐标为， ∴顶点从平移到，需要先向左平移3个单位，再向上平移5个单位． 【变式2】（2026·甘肃嘉峪关·二模）将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． 【答案】 【分析】原抛物线已经是顶点式，直接根据二次函数平移的“左加右减，上加下减”规律计算即可． 解：根据抛物线平移规律：左加右减自变量，上加下减常数项． ∵原抛物线解析式为， ∴向左平移1个单位，对自变量加1，得， 再向上平移2个单位，对整体加2，得， ∴最后得到的新抛物线解析式为：． 【变式3】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）抛物线 是由抛物线如何平移得到的，并说明： （1）开口方向、顶点坐标、对称轴； （2）y随x的变化情况； （3）函数的最大值或最小值． 【答案】（1）抛物线 是由抛物线向左平移3个单位长度，开口向上，，；（2）当时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大；（3）当时，y有最小值0 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的平移性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据进行分析，即可作答． （2）由（1）得抛物线的开口向上，顶点坐标是，对称轴是直线，进行分析，即可作答． （3）由（1）得抛物线的开口向上，顶点坐标是，对称轴是直线，得出当时，y有最小值0，即可作答． （1）解：依题意，抛物线 是由抛物线向左平移3个单位长度得到的， ∵抛物线， ∴开口向上，顶点坐标是，对称轴是直线， （2）解：由（1）得抛物线的开口向上，顶点坐标是，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大； （3）解：由（1）得抛物线的开口向上，顶点坐标是， ∴当时，y有最小值0． 易错警示：左右平移仅对自变量x变形，不可直接对x²进行平移运算。 【题型 3】顶点式函数参数与增减性分析 【例题3】（24-25九年级上·湖北咸宁·阶段检测）已知二次函数． （1）写出开口方向_______及顶点坐标_______，当x满足______时，y随x增大而减小； （2）当时，函数y的取值范围是______； （3）当时，自变量x的取值范围是______． 【答案】（1）向上；，；（2）；（3）或 【分析】（1）根据顶点式，可以得到抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴， （2）根据二次函数的性质求得最小值与最大值； （3）先求得二次函数与的交点，根据图象开口向上，即可求解． （1）解：二次函数，，开口向上，顶点坐标为，对称轴为， ∴时，y随x增大而减小； 故答案为：向上；， （2）由（1）可得时，取得最小值为， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴当时，函数y的取值范围是， 故答案为：； （3）令，得， 解得， ∵抛物线开口向上， ∴当时，自变量x的取值范围是或, 故答案为：或． 【点拨】本题考查了二次函数图象的性质，求二次函数的最值，根据交点求不等式的解集，掌握二次函数的图象的性质是解题的关键． 【变式1】（25-26九年级上·全国·期末）若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键．先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线，则当时，的值随值的增大而减小，由于时，的值随值的增大而减小，于是得到． 解：抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线开口向上， 当时，的值随值的增大而减小， 而时，的值随值的增大而减小， ， 故选：． 【变式2】（25-26九年级上·广西柳州·阶段检测）已知二次函数，当时，则x的取值范围______________． 【答案】 【分析】此题考查二次函数的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．由题意可直接得出，再分别令，求出x的值，再结合函数图象即可解答． 解：∵二次函数解析式为，且， ∴抛物线开口向下，且当时，y有最大值，且． 当时，， 解得：，， ∵函数图象开口向下，对称轴为直线，在对称轴左侧y随着x的增大而增大， 在对称轴右侧y随着x的增大而减小， ∴当时，结合函数图象可得出x的取值范围是． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）画出二次函数的图象并完成填空. x y （1）函数y 随x 增大而增大的自变量取值范围是 （2）当x 满足条件 时，. 【答案】（1）该二次函数的图象如下：    ；（2）或 【分析】（1）完成表格和画出图象，然后问题可求解； （2）根据图象可进行求解． （1）解：列表如下： x ….. 0 1 2 3 ….. y ….. 3 0 0 3 ….. ∴由图象可知：函数y 随x 增大而增大的自变量取值范围是； 故答案为； （2）解：由（1）中图象可知：当或时，； 故答案为或． 【点拨】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象的画法是解题的关键． 【题型 4】一般式配方化为顶点式 【例题4】（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）用配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴． 【答案】抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 【分析】本题考查将二次函数一般式化为顶点式，二次函数的图象和性质． 按照配方的基本步骤进行即可，注意二次项系数要先提取后化为1，再配一次项系数的一半的平方． 解： ， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 【变式1】（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）关于二次函数的图象，下列结论正确的是（    ） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴是直线 C．其最小值为 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】将二次函数一般式化为顶点式，再根据二次函数的性质逐一判断选项即可． 解：把化为顶点式：， ∵， ∴图象开口向上，A错误； 该函数的对称轴为直线，B错误； ∵开口向上，顶点坐标为， ∴函数的最小值为，C错误； ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小． 【变式2】（25-26九年级下·黑龙江·期中）将二次函数化为的形式，结果为_____． 【答案】 【分析】先提取二次项系数，再利用完全平方公式配方即可得到结果. 解： ， 即. 【变式3】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）已知二次函数的图像经过点． （1）求的值； （2）将化成的形式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元一次方程，将二次函数解析式化为顶点式，正确配方是解题的关键． （1）把代入即可求解； （2）利用配方法即可把一般式转化为顶点式． （1）解：将点代入，得：， 解得：； （2）解：． 三.题型精析（综合提升） 【题型 5】利用二次函数定义求参数 【例题5】（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）已知函数 （为常数）． （1）求当为何值时是的二次函数？ （2）在（）的条件下，点在此函数图象上，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（）根据二次函数的定义即可求解； （）根据（）得出二次函数的解析式，再把点代入计算即可求解； 本题考查了二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的定义是解题的关键． （1）解：由题意得，且， 解得， ∴当时是的二次函数； （2）解：∵， ∴， ∵点在此函数图象上， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）若是二次函数，且开口向上，则的值为（   ） A．3 B．-1 C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的定义和解一元二次方程，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 首先根据二次函数的定义，得到x的指数必须为2，且开口向上时二次项系数大于0，进而得到m的值即可． 解：∵是二次函数， ∴，即， 解得：或， ∵二次函数开口向上， ∴， ∴， ∴m的值为， 故选：B． 【变式2】（阶段综合测试卷（二）（第一章~第二章）-【千里马�单元测试卷】-2024~2025学年-九年级全一册数学（北师大版））若二次函数有最小值，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．首先根据二次函数有最小值可得抛物线开口向上，可以得到且，由可得，再根据可得． 解：二次函数有最小值， 抛物线开口向上，二次项系数为正数， ， 解得：， 故答案为： ． 【变式3】（25-26九年级上·安徽淮北·阶段检测）已知函数． （1）若这个函数是关于的一次函数，求的值． （2）若这个函数是关于的二次函数，求的取值范围． 【答案】（1）当时，这个函数是关于的一次函数；（2）当且时，这个函数是关于的二次函数 【分析】（1）根据一次函数的定义即可解决问题； （2）根据二次函数的定义即可解决问题． （1）解：依题意，得，解得， ∴当时，这个函数是关于的一次函数． （2）解：依题意，得，解得且， ∴当且时，这个函数是关于的二次函数． 【点拨】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型． 【题型 6】平移逆向求解原解析式 【例题6】（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）把抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线． （1）试确定a，h，k的值； （2）若以x轴为对称轴，将原抛物线翻折，求所得抛物线的函数表达式． 【答案】（1），，；（2） 【分析】本题考查抛物线的平移与翻折，掌握平移与翻折规律是解题的关键． （1）根据抛物线平移规律，向左平移3个单位则x替换为，向上平移4个单位则函数值加4，比较平移后的抛物线方程可得a，h，k的值； （2）求出原抛物线顶点关于x轴的对称点，沿x轴翻折后所得新抛物线的形状不变，开口方向与原抛物线相反，由此可解． （1）解：由题意知，抛物线向下平移4个单位，再向右平移3个单位，可得， 抛物线为：， ，，； （2）解：抛物线的顶点坐标为， 点关于x轴的对称点为，沿x轴翻折后所得新抛物线的形状不变，开口方向与原抛物线相反， 所得抛物线的函数表达式为． 【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）将抛物线（a、b、c为常数，）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于y轴对称，则b、c的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先求出抛物线关于轴对称的抛物线解析式，再根据抛物线平移规律得到原抛物线向下平移2个单位后的解析式，对比对应系数即可求出和的值． 解：∵抛物线关于轴对称时，只需将原解析式中的替换为， ∴抛物线关于轴对称的抛物线为： ， ∵抛物线向下平移2个单位， ∴平移后解析式为， 又∵平移后抛物线与上述关于轴对称的抛物线是同一个，对应系数相等， ∴，， 解得， 【变式2】（2025九年级·全国·专题练习）将某二次函数的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，得到新的二次函数的图象，则原二次函数的表达式是_________________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，掌握函数图象平移的逆过程，通过顶点坐标的逆向平移确定原函数表达式是解题的关键． 根据函数图象平移的规律，将新函数的顶点坐标逆向平移即可得到原函数的顶点坐标，从而确定原函数的表达式． 解：新函数的顶点坐标为， 由于图象是由原函数向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到， 因此将新函数的顶点先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度， 得到原函数的顶点坐标为， 故原二次函数的表达式为． 故答案为：． 【变式3】（第18讲二次函数的解析式的确定-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（沪教版，上海专用））把抛物线向右平移4个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的解析式为，求原来抛物线的解析式． 【答案】 【分析】根据平移法则“左加右减，上加下减”求解即可． 解：设原抛物线， ∵把抛物线向右平移4个单位，再向下平移6个单位， ∴平移后抛物线解析式为， 又∵平移后抛物线的解析式为， ∴，，， ∴，， ∴原抛物线为 故答案为：． 【点拨】主要考查二次函数图象的平移，注意看清楚谁是由谁平移的．熟练掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 【题型 7】一般式、顶点式、交点式综合应用 【例题7】（2026·天津和平·一模）已知抛物线（a，b，c是常数，），顶点为P． （1）当，，时， ①求顶点P的坐标； ②填空：将抛物线向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度，所得抛物线解析式为 ； （2）抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 … … 3 0 m 0 … ①填空：当时，则x的值为 ； ②填空：顶点P的坐标为 ． 【答案】（1）①；②；（2）①或；② 【分析】（1）配方即可求解顶点坐标；再根据“左加右减，上加下减”求解平移后的函数解析式即可； （2）利用待定系数法求解函数解析式，然后当解方程即可求解值，再配方即可求解顶点坐标． （1）解：①当，，时，抛物线为， 配方得，， ∴顶点P的坐标为； ②向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度，所得抛物线解析式为，即； （2）解：由表格可得，；； 代入，则， 解得 ∴抛物线表达式为 ①当时，则，解得或； ②， ∴顶点为． 【变式1】（25-26九年级上·云南玉溪·期中）小明在平面直角坐标系中画了一个二次函数的图像，该图像经过，，三点，若用顶点式表示这个二次函数，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求二次函数解析式；由于二次函数经过点，，可设函数为，再代入点求出，得到一般式后通过配方化为顶点式． 解：∵图像经过，，∴设二次函数为． 代入点得， 解得：． ∴． 配方：． ∴顶点式为， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于，两点，点P是抛物线的顶点，连接、，则的面积为_________． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，将二次函数解析式化为顶点式，三角形面积公式，先求出二次函数的解析式为，再将其化为顶点式得出点的坐标为，最后由三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴，， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴点的坐标为， ∴的面积为， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·吉林·期中）如图，已知抛物线的图像与轴相交于、两点，顶点为，对称轴与轴交于点，点在线段上（不与、重合），过点作轴的平行线交对称轴左侧的抛物线于点． （1）求抛物线的解析式及顶点 C的坐标； （2）若是以为底的等腰三角形，直接写出点 E 的坐标． 【答案】（1）；；（2） 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据抛物线的对称轴为直线，得出，根据等腰三角形的性质得出，从而得出，把代入得：，求出或，即可得出点E的坐标． （1）解：∵抛物线经过点A和点B， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为：， 当时，， ∴顶点C的坐标为； （2）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵轴， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：或， ∵点E在抛物线对称轴的左侧， ∴． 【题型 8】利用抛物线对称性求点坐标 【例题8】（2025·浙江温州·二模）已知抛物线的顶点坐标为． （1）求b，c的值，并写出函数表达式； （2），在该抛物线上： ①当点M关于抛物线对称轴的对称点为N时，求M的坐标； ②若，当时，该二次函数的最大值是最小值的2倍，求m的值． 【答案】（1），，；（2）①；②或 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称性质及二次函数的最值，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用顶点坐标公式代入求解即可； （2）①利用对称性质求解即可；②先求出．   再分为（ⅰ）当时， （ⅱ）当时，两种情况进行求解，进而解决问题． （1）解：由题意得，，， ∴ ∴二次函数为或． （2）解：①由题意得，解得． ∴， ∴． ②∵， ∴， ∴．    （ⅰ）当时，当时函数取到最大值，最小值是9， ∴， 得， （ⅱ）当时，当时函数取到最大值，时函数取到最小值， ∴， ∴， ∴ 综上所述，m的值为或． 【变式1】（25-26九年级上·河北保定·期末）抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x y 由表可知，抛物线与轴的一个交点是，则与轴另一个交点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查抛物线的对称性，解题关键是找到对称轴并应用对称性求点． 根据表中数据，抛物线上的点具有对称性，对称轴为直线 ，利用对称性求另一个交点． 解：∵点与关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线． 设另一个交点的横坐标为m， ∵抛物线与x轴的一个交点为，且两个交点关于对称轴对称， ∴则， 解得， ∴另一个交点为． 故选：C． 【变式2】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，该抛物线与x轴的一个交点为P（4，0），则它与x轴的另一个交点Q的坐标是___，4a﹣2b+c的值为___． 【答案】 （﹣2，0）， 0． 【分析】根据抛物线的对称性和P（4，0）为x轴上的点，即可求出另一个点的交点坐标，代入解析式计算即可． 解：由于函数对称轴为x＝1，而P（4，0）位于x轴上， 则设与x轴另一交点坐标为（m，0）， 根据题意得：＝1， 解得m＝﹣2， 则抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0）， 把（﹣2，0）代入解析式得：0＝4a﹣2b+c， ∴4a﹣2b+c＝0， 故答案是：（﹣2，0），0． 【点拨】本题考查了抛物线的对称性，知道与x轴的一个交点和对称轴，能够表示出与x轴的另一个交点，求得另一个交点坐标是本题的关键． 【变式3】（2026·安徽六安·一模）如图，二次函数与一次函数的图象交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上，一次函数的图象与二次函数的对称轴交于点P． （1）求点P的坐标； （2）当时，二次函数的最大值是15，求a的值； （3）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，点C的坐标为，，求当取何值时，的值最小，最小值是多少？ 【答案】（1）；（2）；（3）， 【分析】（1）根据已知条件得到直线，把代入即可得到结论； （2）根据二次函数的性质得到二次函数的最大值是15，解方程即可得到结论； （3）根据在抛物线上，求得，根据勾股定理和二次函数的性质即可得到结论． 解：（1）二次函数的对称轴为直线， 把代入得， 点的坐标为， 故答案为：； （2）∵二次函数的对称轴为，在对称轴左侧二次函数y的值随x的增大而减小 ∴二次函数 的最大值是15，即 解得， ∵， ∴， ∴； （3）∵在抛物线上， ∵， 当 时，m的值最小，最小值是 ． 【点拨】本题主要考查二次函数的综合题，一次函数和二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式即二次函数的性质是解题的关键． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026九年级上·广西南宁·专题练习）二次函数的对称轴，顶点坐标分别是（     ） A．直线， B．直线， C．直线， D．直线， 【答案】B 解：二次函数，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于二次函数， ∵， ∴二次函数的图像开口向上， ∵，， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为． 2．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）小凯在画一个开口向上的二次函数图象时，列出如下表格：发现有一对对应值计算有误，则错误的那一对对应值所对的坐标是（　　） x … 0 1 2 … y … 4 2 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据列表法画二次函数图象要列出顶点坐标，然后分别讨论四个点错误的情形，即可得到答案． 解： 如图所示，四个点在坐标系中的分布， ∵用列表法画二次函数图象时要列出顶点坐标， ∴若错，则二次函数对称轴在直线和直线之间， ∴表中的描点没有顶点坐标，故是正确的； 若错，则二次函数对称轴为直线， ∵二次函数开口向上， ∴当时的函数值最小，这与时，函数值为4不是最小矛盾， ∴是正确的， 若错，由于，此时函数开口方向不可能向上， ∴正确； 若错，此时抛物线对称轴为， ∴当时，y随x增大而增大，满足题意， 综上所述，只有是错误的， 故选B． 【点拨】本题主要考查了描点法画二次函数，熟知描点法画二次函数图象是解题的关键． 3．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）已知抛物线，当为（   ），y值最大 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的最值，灵活运用二次函数的性质及顶点横坐标公式是解题的关键，根据判断出抛物线开口向下，进而利用求出使式子取得最大值时的值． 解：抛物线解析式为，其中，， ， 抛物线开口向下，在顶点处值取得最大值， 根据二次函数顶点横坐标公式， ， 即当时，值最大． 故选：． 4．（2026·广东惠州·二模）二次函数开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴左侧，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据二次函数的基本性质，由开口方向与的关系确定a的正负，对称轴位置与的关系确定b的正负，与轴交点的位置与的关系确定c的正负，逐一判断选项，即可得到正确结论． 解： 二次函数 开口向上， ，选项A错误； 对称轴在轴左侧，二次函数对称轴为 ， ， 又， ，选项B错误； 二次函数与轴交于负半轴，且当时，， ，选项C错误； 由， 得， ∴， ∵， ∴，选项D正确． 5．（25-26九年级上·江西宜春·期末）二次函数与反比例函数的图象在如图所示的同一坐标系中，若时，则的取值范围（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数和反比例函数的综合，根据函数图象得出当或时，二次函数图象在反比例函数的上面，即可得出当时，的取值范围． 解：根据函数图象可得：二次函数与反比例函数的图象交点坐标为，， 当或时，二次函数图象在反比例函数的上面，因此时，则的取值范围或． 故选：A． 6．（2026·陕西榆林·二模）已知二次函数（a、b为常数，），若其图象上有两点，，则m的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】A、 B两点的纵坐标相等，因此两点关于二次函数的对称轴对称，先求出二次函数的对称轴，再利用对称轴等于两点横坐标的中点，计算得到m的值． 解：由题意得，二次函数的对称轴为直线 ， ∵二次函数的图象上有两点，， ∴点A和点B关于对称轴对称， ∴， ∴． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）抛物线与x轴交于B，C两点，顶点为A，则的周长为（     ） A． B． C．12 D． 【答案】B 【分析】先求出，，，再求出，，即可得出答案． 解：令， 解得：， ∵抛物线与轴交于两点，顶点为， ，，， ，， 周长． 8．（2026·安徽芜湖·三模）已知二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题干分析出、、的符号，再判断各选项即可． 解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于负半轴， ∴， ∴，故A错误； 对于B与D，由已知条件无法判断代数式的符号； ∵，， ∴，故C正确． 9．（24-25九年级上·浙江温州·阶段检测）已知二次函数的图象如图．其中b，c的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的对称轴位置判断b的符号，根据图象与y轴的交点位置判断c的符号，从而确定选项． 解：∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴当时，， 观察各选项，只有C选项满足条件． 10．（2026·广东深圳·三模）新定义：是关于的函数，当时，的最大值为，最小值为，此时令，则称当时，为关于的型函数．在下列函数中，当时，为关于的2型函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新定义，已知，可得，要求，即需要函数在该区间内的最大值与最小值满足，依次计算各选项的即可判断． 解：由题意得 ，，， ， ， 在中，， 随的增大而增大， 当时，最小值；当时，最大值， ，A选项不符合要求； 在中，， 随的增大而减小， 当时，最大值；当时，最小值， ，满足，B选项符合要求； 在中，， 在每个象限内，随的增大而减小， 当时，最大值；当时，最小值， ，C选项不符合要求； ， 开口向上，对称轴为，距离对称轴越远，函数值越大， 当时，最小值，离对称轴更远，时取得最大值， ，D选项不符合要求 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025·江苏无锡·模拟预测）若二次函数的图象开口向上，则直线不经过第______ 象限． 【答案】四 【分析】先根据二次函数的开口方向确定a的取值范围，再利用一次函数的图象与性质判断直线经过的象限，即可得到答案． 解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∴直线经过第一、二、三象限，即不经过第四象限． 12．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）抛物线经过点，则________． 【答案】/ 【分析】将已知点的坐标代入抛物线解析式，通过整理变形即可求出所求代数式的值． 解：把点代入得： ， 整理得， 移项得， 等式两边同时除以，得． 13．（25-26九年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，若某抛物线形沙丘满足的函数表达式为，则最低点到最高点O的垂直高度为______． 【答案】144 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解题关键．根据函数表达式求出点的坐标，即可得解． 解：当时，， 则最低点， 那么最低点到最高点O的垂直高度为144， 故答案为：144． 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数（）中，当x分别取，（）时，它们对应的函数值相等，则当x取时，函数的值为________． 【答案】c 【分析】二次函数的对称轴为，函数值相等的两个不同点关于对称轴对称，据此求出的值，再代入计算函数值． 解：∵二次函数的对称轴为直线， 当，（）时对应的函数值相等， ∴点与点关于对称轴对称， ∴，即， 将代入得． 15．（2026·吉林长春·模拟预测）已知、是抛物线上的两点．若且，则________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】根据点在抛物线上得到与的表达式，对和作差，结合已知条件和判断差的符号，即可比较和的大小． 解：∵，是抛物线上的两点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 16．（2025·江苏扬州·模拟预测）已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系为________．（用连接） 【答案】 【分析】先求出抛物线对称轴，根据开口向下的抛物线的性质：点到对称轴的距离越大，函数值越小，计算各点到对称轴的距离即可比较大小． 解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为，抛物线开口向下，且点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小， ∵到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，且， ∴． 17．（2026·江苏徐州·二模）如图为二次函数的图象，其与轴交于和两点．①；②；③对称轴为直线；④：上述结论正确的有________（填序号）． 【答案】③④ 【分析】对于①，由图可知，，，，则；对于②，结合图可知，当时，，则；对于③，利用对称轴公式进行计算即可；对于④，由和可得，则． 解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线过点和， ∴对称轴为直线，故③正确， ∴，即， ∵抛物线交轴于负半轴， ∴， ∴，故①错误， 由图可知，当时，， ∴，故②错误， ∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，故④正确， 综上，正确的结论为③④． 18．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 【答案】5 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出，然后代入抛物线的表达式解方程即可． 解：， ∴顶点为， ∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 将点代入，则， 整理得，， 解得，（舍）， ∴． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·北京·开学考试）若抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式． （2）写出它的顶点坐标和开口方向． 【答案】（1）；（2）抛物线开口向下． 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，掌握相关知识是解题的关键． （1）先确定顶点坐标，再设顶点式然后把A点坐标代入求出a即可； （2）利用二次函数的性质解决问题． （1）解：∵抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线 ∴抛物线的顶点坐标为 设抛物线解析式为 把代入得 解得： ∴抛物线解析式为：； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为 ∵， ∴抛物线开口向下． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）把二次函数的图像先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图像． （1）试确定、、的值； （2）指出二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】（1），，；（2）开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】本题考查了二次函数的几何变换，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． （1）根据平移规律，可得答案； （2）根据二次函数的图像性质，可得答案． （1）解：二次函数的图像的顶点坐标为， 把点先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为， 所以原二次函数的解析式为， 所以，，； （2）二次函数，即的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·陕西商洛·期末）二次函数中的自变量x和函数值y满足下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 0 0 m 8 … （1）这个二次函数的对称轴是直线 ； （2）m的值为 ； （3）当时，则y的取值范围为 ． 【答案】（1）；（2）3；（3） 【分析】此题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解决问题的关键． （1）根据表中x、y的对应值可知，当与时y的值相等，所以此两点关于抛物线的对称轴对称，由中点坐标公式即可得出对称轴的直线方程； （2）根据抛物线的对称性求得即可； （3）根据表格中数据即可得出结论． （1）解：∵由表中x、y的对应值可知，当与时y的值相等 ∴对称轴是直线 故答案为：； （2）解：∵点关于直线的对称点为 ∴， 故答案为：3； （3）解：由表格数据可知，y随x的增大先减小后增大， ∴抛物线开口向上， 又对称轴是直线 ∴当时， 故答案为：． 22．（本小题满分10分）（2026·云南昆明·模拟预测）已知抛物线（a为常数，），设． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若抛物线有最小值，求T的值． 【答案】（1）直线；（2） 【分析】（1）利用抛物线的对称轴公式，代入系数即可求出对称轴； （2）先根据抛物线有最小值确定，再将顶点纵坐标用表示，结合最小值为得到的关系式，再通过整式变形化简，即可求出的值． （1）解：由抛物线为， 抛物线对称轴为直线； （2）解：∵抛物线有最小值， ∴抛物线开口向上，即，抛物线的最小值为顶点纵坐标，顶点横坐标为， 将代入解析式得： ， 由最小值为得， ， 整理得， ∵， ， ， 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C的横坐标为1． （1）求直线l的表达式； （2）点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求的最大值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）分别求出，，设：，将，代入求解即可； （2）设，，求出的函数解析式，根据二次函数的性质作答即可． （1）解：令，， 解得，， ， 将代入得， ， 设：， 将，代入， 解得， ：； （2）解：设，， ， ∴当时，有最大值． 24．（本小题满分12分）（2026年5月福建省漳州市龙海区浮宫中学九年级练习试卷）已知正数x、y满足． （1）当时，求x、y的值． （2）当时，我们可以将上述等式化为．我们不妨将其看作：在平面直角坐标系中有一点满足其到点的距离恒为3．请结合上述内容，画图回答下列问题： ①求x、y的取值范围． ②请直接写出当x、y满足什么条件时，y随x的增大而增大． 【答案】（1）3，4；（2）①，；②且，且． 【分析】（1）根据题意，得，整理得，，配方，得，根据非负性解答即可． （2）①分，分别求解即可． ②根据图象求解即可． （1）解：根据题意，得， 整理得，， 配方，得， ， 解得； （2）①根据题意，画图如下： 当时，，解得，， 故x的取值范围为． 当时，，解得，， 故y的取值范围为． ②解：根据题意，得且，且时，y随x的增大而增大． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.2 二次函数的图象（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】最简二次函数 y=ax²(a≠0) 的图象与性质 1 【知识点二】二次函数图象平移规律 2 【知识点三】顶点式 y=a(x-h)²+k(a≠0) 图象与性质 3 【知识点四】一般式与顶点式互化（配方法） 3 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】最简二次函数 y=ax² 性质判断 3 【题型 2】抛物线平移解析式求解 4 【题型 3】顶点式函数参数与增减性分析 5 【题型 4】一般式配方化为顶点式 5 三.题型精析（综合提升） 6 【题型 5】利用二次函数定义求参数 6 【题型 6】平移逆向求解原解析式 6 【题型 7】一般式、顶点式、交点式综合应用 7 【题型 8】利用抛物线对称性求点坐标 8 四.同步检测 9 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 9 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 12 一.知识梳理解读 【知识点一】最简二次函数 y=ax²(a≠0) 的图象与性质 1. 图象特征 函数的图象是一条顶点在坐标原点、关于轴对称的抛物线。 2. 分类性质（按的正负划分） 性质 a > 0（开口向上） a < 0（开口向下） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线（即轴） 直线（即轴） 顶点坐标 最值 顶点为最低点，当时，，无最大值 顶点为最高点，当时，，无最小值 增减性 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小 【知识点二】二次函数图象平移规律 1. 上下平移：y=ax²+k(a≠0) 由抛物线 y=ax² 整体上下平移得到，对称轴不变（直线x=0），顶点坐标为(0，k)。 （1）k＞0：图象向上平移k个单位； （2）k＜0：图象向下平移|k|个单位。 2. 左右平移：y=a(x-h)²(a≠0) 由抛物线 y=ax² 整体左右平移得到，对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h，0)。 （1）h＞0：图象向右平移h个单位； （2）h＜0：图象向左平移|h|个单位。 3. 平移通用口诀 左加右减（针对自变量x），上加下减（针对函数整体） 【知识点三】顶点式 y=a(x-h)²+k(a≠0) 图象与性质 函数 性质 （开口向上） （开口向下） 开口 方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点 坐标 最值 时， 时， 增减性 1.对称轴左侧：，随增大而减小2.对称轴右侧：，随增大而增大 1.对称轴左侧：，随增大而增大2.对称轴右侧：，随增大而减小 平移 规律 由 先左右平移个单位，再上下平移个单位 由 先左右平移个单位，再上下平移个单位 【知识点四】一般式与顶点式互化（配方法） 二次函数一般式： 通过配方可化为顶点式： 对称轴公式： ； 顶点坐标公式：。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】最简二次函数 y=ax² 性质判断 【例题1】（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，二次函数的图象经过点，过点作轴的平行线交该二次函数的图象于两点． （1）求二次函数的解析式； （2）为平面内一点，当是等边三角形时，求点的坐标． 【变式1】（24-25九年级上·广东湛江·阶段检测）已知抛物线，则以下说法中，错误的是（  ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．当时，y有最大值为0 【变式2】（25-26九年级上·新疆巴州·阶段检测）函数的图象开口方向是_______，顶点坐标是__________，对称轴是__________，图象有__________（填“最高”或“最低”）点，函数有最______值，当时，y随x的增大而__________． 【变式3】（2025九年级·全国·专题练习）二次函数的图象是由二次函数的图象经过平移得到的． （1）指出a的值和平移方法． （2）二次函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？ （3）分析函数的增减性． 【题型 2】抛物线平移解析式求解 【例题2】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3单位，试确定平移后的抛物线的表达式，并写出其对称轴和顶点坐标． 【变式1】（25-26八年级下·北京·期末）将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．向左平移3个单位，向上平移5个单位 B．向右平移3个单位，向上平移5个单位 C．向左平移5个单位，向下平移3个单位 D．向右平移5个单位，向上平移3个单位 【变式2】（2026·甘肃嘉峪关·二模）将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． 【变式3】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）抛物线 是由抛物线如何平移得到的，并说明： （1）开口方向、顶点坐标、对称轴； （2）y随x的变化情况； （3）函数的最大值或最小值． 易错警示：左右平移仅对自变量x变形，不可直接对x²进行平移运算。 【题型 3】顶点式函数参数与增减性分析 【例题3】（24-25九年级上·湖北咸宁·阶段检测）已知二次函数． （1）写出开口方向_______及顶点坐标_______，当x满足______时，y随x增大而减小； （2）当时，函数y的取值范围是______； （3）当时，自变量x的取值范围是______． 【变式1】（25-26九年级上·全国·期末）若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·广西柳州·阶段检测）已知二次函数，当时，则x的取值范围______________． 【变式3】（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）画出二次函数的图象并完成填空. x y （1）函数y 随x 增大而增大的自变量取值范围是 （2）当x 满足条件 时，. 【题型 4】一般式配方化为顶点式 【例题4】（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）用配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴． 【变式1】（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）关于二次函数的图象，下列结论正确的是（    ） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴是直线 C．其最小值为 D．当时，随的增大而减小 【变式2】（25-26九年级下·黑龙江·期中）将二次函数化为的形式，结果为_____． 【变式3】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）已知二次函数的图像经过点． （1）求的值； （2）将化成的形式． 三.题型精析（综合提升） 【题型 5】利用二次函数定义求参数 【例题5】（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）已知函数 （为常数）． （1）求当为何值时是的二次函数？ （2）在（）的条件下，点在此函数图象上，求的值． 【变式1】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）若是二次函数，且开口向上，则的值为（   ） A．3 B．-1 C． D．4 【变式2】（阶段综合测试卷（二）（第一章~第二章）-【千里马�单元测试卷】-2024~2025学年-九年级全一册数学（北师大版））若二次函数有最小值，则的值是______． 【变式3】（25-26九年级上·安徽淮北·阶段检测）已知函数． （1）若这个函数是关于的一次函数，求的值． （2）若这个函数是关于的二次函数，求的取值范围． 【题型 6】平移逆向求解原解析式 【例题6】（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）把抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线． （1）试确定a，h，k的值； （2）若以x轴为对称轴，将原抛物线翻折，求所得抛物线的函数表达式． 【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）将抛物线（a、b、c为常数，）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于y轴对称，则b、c的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（2025九年级·全国·专题练习）将某二次函数的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，得到新的二次函数的图象，则原二次函数的表达式是_________________． 【变式3】（第18讲二次函数的解析式的确定-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（沪教版，上海专用））把抛物线向右平移4个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的解析式为，求原来抛物线的解析式． 【题型 7】一般式、顶点式、交点式综合应用 【例题7】（2026·天津和平·一模）已知抛物线（a，b，c是常数，），顶点为P． （1）当，，时， ①求顶点P的坐标； ②填空：将抛物线向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度，所得抛物线解析式为 ； （2）抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 … … 3 0 m 0 … ①填空：当时，则x的值为 ； ②填空：顶点P的坐标为 ． 【变式1】（25-26九年级上·云南玉溪·期中）小明在平面直角坐标系中画了一个二次函数的图像，该图像经过，，三点，若用顶点式表示这个二次函数，正确的是（） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于，两点，点P是抛物线的顶点，连接、，则的面积为_________． 【变式3】（24-25九年级上·吉林·期中）如图，已知抛物线的图像与轴相交于、两点，顶点为，对称轴与轴交于点，点在线段上（不与、重合），过点作轴的平行线交对称轴左侧的抛物线于点． （1）求抛物线的解析式及顶点 C的坐标； （2）若是以为底的等腰三角形，直接写出点 E 的坐标． 【题型 8】利用抛物线对称性求点坐标 【例题8】（2025·浙江温州·二模）已知抛物线的顶点坐标为． （1）求b，c的值，并写出函数表达式； （2），在该抛物线上： ①当点M关于抛物线对称轴的对称点为N时，求M的坐标； ②若，当时，该二次函数的最大值是最小值的2倍，求m的值． 【变式1】（25-26九年级上·河北保定·期末）抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x y 由表可知，抛物线与轴的一个交点是，则与轴另一个交点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，该抛物线与x轴的一个交点为P（4，0），则它与x轴的另一个交点Q的坐标是___，4a﹣2b+c的值为___． 【变式3】（2026·安徽六安·一模）如图，二次函数与一次函数的图象交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上，一次函数的图象与二次函数的对称轴交于点P． （1）求点P的坐标； （2）当时，二次函数的最大值是15，求a的值； （3）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，点C的坐标为，，求当取何值时，的值最小，最小值是多少？ 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026九年级上·广西南宁·专题练习）二次函数的对称轴，顶点坐标分别是（     ） A．直线， B．直线， C．直线， D．直线， 2．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）小凯在画一个开口向上的二次函数图象时，列出如下表格：发现有一对对应值计算有误，则错误的那一对对应值所对的坐标是（　　） x … 0 1 2 … y … 4 2 … A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）已知抛物线，当为（   ），y值最大 A． B． C． D． 4．（2026·广东惠州·二模）二次函数开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴左侧，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·江西宜春·期末）二次函数与反比例函数的图象在如图所示的同一坐标系中，若时，则的取值范围（    ） A．或 B． C． D．或 6．（2026·陕西榆林·二模）已知二次函数（a、b为常数，），若其图象上有两点，，则m的值为（   ） A． B． C．3 D． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）抛物线与x轴交于B，C两点，顶点为A，则的周长为（     ） A． B． C．12 D． 8．（2026·安徽芜湖·三模）已知二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·浙江温州·阶段检测）已知二次函数的图象如图．其中b，c的值可能是（     ） A． B． C． D． 10．（2026·广东深圳·三模）新定义：是关于的函数，当时，的最大值为，最小值为，此时令，则称当时，为关于的型函数．在下列函数中，当时，为关于的2型函数的是（     ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025·江苏无锡·模拟预测）若二次函数的图象开口向上，则直线不经过第______ 象限． 12．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）抛物线经过点，则________． 13．（25-26九年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，若某抛物线形沙丘满足的函数表达式为，则最低点到最高点O的垂直高度为______． 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数（）中，当x分别取，（）时，它们对应的函数值相等，则当x取时，函数的值为________． 15．（2026·吉林长春·模拟预测）已知、是抛物线上的两点．若且，则________．（填“”、“”或“”） 16．（2025·江苏扬州·模拟预测）已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系为________．（用连接） 17．（2026·江苏徐州·二模）如图为二次函数的图象，其与轴交于和两点．①；②；③对称轴为直线；④：上述结论正确的有________（填序号）． 18．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·北京·开学考试）若抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式． （2）写出它的顶点坐标和开口方向． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）把二次函数的图像先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图像． （1）试确定、、的值； （2）指出二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·陕西商洛·期末）二次函数中的自变量x和函数值y满足下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 0 0 m 8 … （1）这个二次函数的对称轴是直线 ； （2）m的值为 ； （3）当时，则y的取值范围为 ． 22．（本小题满分10分）（2026·云南昆明·模拟预测）已知抛物线（a为常数，），设． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若抛物线有最小值，求T的值． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C的横坐标为1． （1）求直线l的表达式； （2）点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求的最大值． 24．（本小题满分12分）（2026年5月福建省漳州市龙海区浮宫中学九年级练习试卷）已知正数x、y满足． （1）当时，求x、y的值． （2）当时，我们可以将上述等式化为．我们不妨将其看作：在平面直角坐标系中有一点满足其到点的距离恒为3．请结合上述内容，画图回答下列问题： ①求x、y的取值范围． ②请直接写出当x、y满足什么条件时，y随x的增大而增大． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $