专题 3.9 相似三角形经典几何模型（旋转相似与十字架）（模型梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学讲义聚焦相似三角形的旋转相似与十字架模型，通过表格分类型梳理模型基本图形与结论，构建“模型解读-基础应用-综合提升”的知识框架，清晰呈现几何模型的内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题型如矩形十字架证明题夯实推理能力，提升题型如旋转相似动态探究题培养创新意识，同步检测覆盖选择填空解答题。通过例题变式衔接，助力不同层次学生提升，为教师实施精准教学提供系统支持。

专题 3.9 相似三角形经典几何模型（旋转相似与十字架）（模型梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.模型梳理与解读 1 【模型一】旋转相似模型 1 【模型二】十字架模型 2 二.题型精析（夯实基础） 1 【题型 1】“旋转相似”模型 2 【题型 2】“十字轲”模型 6 三.题型精析（巩固提升） 9 【题型 3】“旋转相似”模型 9 【题型 4】“十字架”模型 16 四.同步检测 26 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 26 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 42 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 51 一.模型梳理与解读 【模型一】旋转相似模型 基本图形 结论 【模型二】十字架模型 类型 基本图形 结论 正方形十字架模型 矩形十字架模型 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】“旋转相似”模型 【例题1】（24-25九年级上·山西阳泉·期中）如图，绕点按顺时针方向旋转一定的角度得到，点在边上，连接，求证：． 【答案】证明：根据旋转的性质，得， ， ， ． 由， 得， ． 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，相似三角形的判定，先由旋转得，进而得，，，即可证． 解：略 【变式1】（2025·山东淄博·一模）如图，四边形和四边形都是正方形，将正方形绕点旋转，连接BE，CF．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接AF，AC，根据正方形的性质可得，可证得△ABE∽△ACF，即可求解． 解：如图，连接AF，AC， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴AB=BC，AE=EF，∠BAC=∠EAF=45°，∠ABC=∠AEF=90°， ∴∠BAE=∠CAF， ∴， ∴， ∴△ABE∽△ACF， ∴． 故选：C 【点拨】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，熟练掌握正方形的性质，相似三角形的性质和判定是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·北京·期末）如图，在中，，，直角的顶点在上，、分别交、于点、，绕点任意旋转．当时，的值为________；当时，为________．（用含的式子表示） 【答案】 , 解：如图，过点O作OH⊥AC于H，OG⊥BC于G，由条件可以表示出HO、GO的值，通过证明△PHO∽△QGO由相似三角形的性质就可以求出结论． 解答： 解：过点O作OH⊥AC于H，OG⊥BC于G， ∴∠OHP=∠OGQ=90°． ∵∠ACB=90°， ∴四边形HCGO为矩形， ∴∠HOG=90°， ∴∠HOP=∠GOQ， ∴△PHO∽△QGO， ∴． ∵，设OA=x，则OB=2x，且∠ABC=30°， ∴AH=x，OG=x． 在Rt△AHO中，由勾股定理，得 OH=x， ∴， ∴=． 故答案为． 【变式3】（23-24九年级上·山西大同·期末）综合与实践-问题情境： 如图1，已知在中，分别是上的点，且． （1）操作发现：求证：． （2）深入探究：在图1的基础上，将绕着点逆时针旋转一个角度得到图2，连接，那么（1）中的结论是否仍然成立？请判断并说明理由． 拓展探究： （3）如图3，当旋转到点在一条直线上时，与交于点，若，，求的值． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． （2）解：成立，理由如下： 由旋转的性质得， ∴，即， 由（1）得， ∴， ∴， ∴（1）中的结论仍成立． （3） 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例的综合运用，掌握相似三角形的判定是解题的关键． （1）根据平行线的性质可证，由此即可求解； （2）根据旋转的性质可证，由此即可求解； （3）根据题意可得，，根据相似三角形的性质即可求解． 解：（1）略 （2）略 （3）解：由（2）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【题型 2】“十字轲”模型 【例题2】（24-25九年级上·四川攀枝花·期中）如图，在矩形中，点是边上的点，，垂足为．求证：． 【答案】证明：四边形是矩形， ． ． 又， ， ， ． 【分析】利用相似三角形的判定定理证得结论． 解： 略 【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定和矩形的性质，注意解题过程中“等角的余角相等”的应用． 【变式1】（2025·山东淄博·二模）如图矩形纸片ABCD中，，，若将矩形纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，则折痕EF的长为（    ） A． B．5cm C．4.8cm D． 【答案】D 【分析】过点E作EG⊥BC于G，根据四边形ABCD为矩形，得出∠D=∠DCB=90°，AB=CD=6cm，AD=BC=8cm，根据勾股定理AC=，可证四边形EGCD为矩形，然后再证△EFG∽△ACD，得出，即即可． 解：过点E作EG⊥BC于G， ∴∠EGF=∠EDC=90°， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠D=∠DCB=90°，AB=CD=6cm，AD=BC=8cm，AC=， ∴∠EDC=∠D=∠DCB=90°， ∴四边形EGCD为矩形， ∴EF=CD=6cm，∠AEG=∠DEG=90°， ∵折痕为EF， ∴EF⊥AC， ∴∠DAC+∠AEG=∠AEG+∠FEG=90°， ∴∠DAC=∠FEG， ∴△EFG∽△ACD， ∴，即， 解得cm． 故选D． 【点拨】本题考查矩形判定与性质，折叠性质，三角形相似判定与性质，掌握矩形判定与性质，折叠性质，三角形相似判定与性质是解题关键． 【变式2】（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，在矩形中，，是边的中点，连接，，如果，那么的长为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质、勾股定理等，证明，可得，据此即可求得答案． 解：根据题意可知，，， 设，则． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，矩形中，，，于点F，交于点E，求的长． 【答案】 【分析】先证明，推出，利用相似三角形的性质求得，再利用勾股定理即可求解． 解：矩形中， ∴，，， ∴， ∵于点F，∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，证明是解题的关键． 三.题型精析（综合提升） 【题型 3】“旋转相似”模型 【例题3】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中， ，，． 【问题探究】 （1）如图①，连接，在纸片绕点旋转过程中，求证：∽； 【问题解决】 （2）如图②，在纸片绕点旋转过程中，点恰好落在的高线的延长线上，连接，求的长； 【问题拓展】 （3）如图③，在纸片绕点旋转过程中，点恰好落在的中线的延长线上，连接，求的周长． 【答案】（1）证明：在中，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴． （2） （3）的周长为 【分析】（1）根据题意，运用两边对应成比例，两边夹角相等，两三角形相似的判定方法即可求证； （2）根据题意可证，得，再证，得，由此即可求解； （3）如图所示，设交于点，连接，可得，，可证，得，点为的中点，再证明四边形是矩形，得到，则，由此即可求解． 解：（1）略 （2）∵是边上的高，即，点恰好落在高线的延长线上， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 又， ∴； （3）如图所示，设交于点，连接， ∵旋转， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， ∴点为的中点， 又， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴的周长为． 【点拨】本题主要考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识的综合，掌握以上知识的综合运用是关键． 【变式1】（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）如图，在矩形中，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，点的对应点分别为点、，连接，若，则（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线构造相似三角形，灵活运用旋转的性质． 利用勾股定理计算出的长，再根据旋转的性质得到，，， 从而根据两条边对应成比例，且这两条边的夹角对应相等，证明，然后根据相似三角形的性质求解即可得解． 解：四边形为矩形， ， ∵在中，，， ， 将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，点，的对应点分别为点、， ，，， ， ， ． 故选：C． 【变式2】（2025·河北邯郸·三模）如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到．连接、，直线、交于点，连接． （1）与的等量关系是：___； （2）在旋转过程中，线段的最大值是___． 【答案】 【分析】（1）由旋转可知：，可证，即得，； （2）取的中点，连接，，设，交于点，由（1）知，得，可得，由是的中点，有，故当，，共线时，最大为． 解：（1），理由如下： 由旋转可知：， ，，， ，， ， ， ； 故答案为：； （2）取的中点，连接，，设，交于点，如图： 由（1）知， ， ， ， 是的中点， ， ， 当，，共线时，最大为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 【变式3】（25-26九年级上·河北保定·期末）综合与实践 【问题背景】 借助平行于三角形一边与其他两边相交的线段可构造一组相似三角形，若将它绕公共顶点旋转，对应点连线的长度存在特殊数量关系． 如图1，，，，过点D作交于点E． 【初步尝试】 （1）将绕点A按逆时针方向旋转至如图2所示的位置时，连接，，求证：． 【探索应用】 （2）若将旋转至如图3所示的位置，B，D，E三点在同一条直线上，求此时线段的长． 【答案】（1）证明：图1中，∵，， ∴， ∴． ∴． 图2中，由旋转可得， ∴， ∴． （2） 【分析】（1）首先证明出，得到，然后证明出，即可得到； （2）利用勾股定理求出，求出，由得到，求出，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 解：（1）略 （2）解：∵ ∴， ∴． ∵图1中， ∴，． ∵， ∴． 由（1）知，， ∵． ∵． ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点拨】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 【题型 4】“十字架”模型 【例题4】（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点、处，如图②，可证，可得． （1）在图①中添加辅助线，证明一般性的规律． 【模型应用】 （2）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则______．（直接写出结果）． 【拓广延伸】 （3）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，求的长度． 【答案】（1）证明：如图①，过点作，交于点，过点作，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，；，， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴，， ∴． （2）1；（3） 【分析】（1）过点作，交于点，过点作，交于点，先证出，根据相似三角形的性质可得，再证出四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，，由此即可得证； （2）先证出，根据全等三角形的性质可得，再利用勾股定理可得，由此即可得； （3）先利用勾股定理可得，再过点作于点，证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 解：（1） 略 （2）解：∵在正方形中，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：1． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 如图④，过点作于点， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得． 【点拨】本题考查了矩形的判定与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 【变式1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，，，点分别在边上，把矩形沿折叠，点的对应点分别为，连接并延长交边于点，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查翻折变换，矩形的性质和判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是综合运用以上知识证明；过点F作于点H，设与交于点O，由翻折变换可知，由矩形的性质可知，进而可证四边形是矩形，得到，再根据同角的余角相等得出，可证，再根据相似三角形的性质求解即可． 解：过点F作于点H，设与交于点O，如图所示，则， 把矩形沿折叠，点的对应点分别为， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【变式2】（24-25八年级下·北京·期中）已知点 E、H、F、G 分别在矩形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 上，EF，GH 交于点 O，∠FOH＝90°，EF＝4． （1）如图 1，矩形 ABCD 由 2 个全等的正方形组成，则 GH＝_____； （2）如图 2，矩形 ABCD 由 n 个全等的正方形组成，则 GH＝_______（用 n 的代数式表示）． 【答案】 8 【分析】（1）过点F作FM⊥AB于M，过点G作GN⊥BC于N，证明，利用相似三角形的性质进行求解即可； （2）过点F作FM⊥AB于M，过点G作GN⊥BC于N，证明，利用相似三角形的性质进行求解即可． 解：（1）如图，过点F作FM⊥AB于M，过点G作GN⊥BC于N， ， ， ， ， ， 矩形ABCD由2个全等的正方形组成， ， ； 故答案为： 8； （2）如图，过点F作FM⊥AB于M，过点G作GN⊥BC于N， ， ， ， ， 矩形ABCD由n个全等的正方形组成， ， ； 故答案为：． 【点拨】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出相似三角形是解题的关键，也是本题的难点． 【变式3】（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有 ． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点A、D处，如图②所示． （1）在图②所示的情况下，你能帮小组成员们证明一下他们的猜想吗？ （2）你能在图①中添加辅助线，并对辅助线进行描述，以方便小组成员继续证明一般性的规律吗？ 【模型应用】 （3）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则 ．（直接写出结果）． 【拓广延伸】 （4）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，则的长度为 ．（直接写出结果） 【答案】（1）能，过程如下： 如图所示： ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， （2）证明：分别过作，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）1 （4） 【分析】（1）结合矩形的性质，以及直角三角形两个锐角互余得，证明，把，代入，即可作答． （2）分别过作，结合矩形的性质证明四边形是矩形，四边形是矩形，再根据直角三角形两个锐角互余，证明，把，代入，即可作答． （3）先结合正方形的性质得，，再根据角的等量代换得，故证明，结合，则，运用勾股定理列式计算，即可作答． （4）先过点C作，延长，与交于一点，证明四边形是矩形，得，再证明四边形是矩形，运用两个对应角相等的三角形是相似三角形，得，再进行列式代入数值计算，得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 解：（1）略 （2）略 （3）如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：1 （4）过点C作，延长，与交于一点，如图所示： ∵在直角梯形中，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 过点N作， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 在中，， ∴． 故答案为： 【点拨】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的两个锐角互余，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·山东菏泽·二模）如图，在正方形ABCD中，顶点，，点F是BC的中点，CD与y轴交于点E，AF与BE交于点G，将正方形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点G的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质得到AB=BC=CD=10，∠C=∠ABF=90°，根据全等三角形的性质得到∠BAF=∠CBE，根据余角的性质得到∠BGF=90°，过G作GH⊥AB于H，根据相似三角形的性质得到BH=2，根据勾股定理得到HG=3，求得G（3，4），找出规律即可得到结论． 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=10，∠C=∠ABF=90°， ∵点F是BC的中点，CD与y轴交于点E， ∴CE=BF=5， ∴△ABF≌△BCE（SAS）， ∴∠BAF=∠CBE， ∵∠BAF+∠BFA=90°， ∴∠FBG+∠BFG=90°， ∴∠BGF=90°， ∴BE⊥AF， ∵ ， ∴ ， 过G作GH⊥AB于H， ∴∠BHG=∠AGB=90°， ∵∠HBG=∠ABG， ∴△ABG∽△GBH， ∴ ， ∴BG2=BH•AB， ∴ ， ∴G（3，4）， ∵将正方形ABCD绕点O顺时针每次旋转90°， ∴第一次旋转90°后对应的G点的坐标为（4，-3）， 第二次旋转90°后对应的G点的坐标为（-3，-4）， 第三次旋转90°后对应的G点的坐标为（-4，3）， 第四次旋转90°后对应的G点的坐标为（3，4）， …， ∵2022=4×505+2， ∴每4次一个循环，第2022次旋转结束时，相当于正方形ABCD绕点O顺时针旋转2次， ∴第2022次旋转结束时，点G的坐标为（-3，-4）． 故选：D． 【点拨】本题考查了正方形的性质，坐标与图形变换-旋转，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键． 2．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，木棍与在点O处连接，静止不动，从与夹角为的位置开始绕点O逆时针旋转，木棍上的点A与点B，点C与点D之间均由两根弹性皮筋连接，且这两根皮筋在木棍的旋转过程中始终保持拉直状态．设这两根弹性皮筋的长度分别为与，且，在木棍的旋转过程中（旋转角度小于），的值（    ） A．一直变大 B．始终不变 C．一直变小 D．先变大后变小 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，可证明得到，则，据此可得答案． 解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25九年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，等边的边长为2，点D在上，，连接，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接交于点G．则点G到的距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过D作于M，得到，根据等边三角形的性质得到，求得，，根据勾股定理得到，根据旋转的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 解：过D作于M，    ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵将绕点C按顺时针方向旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过G作于H， ∴， 故选：C． 【点拨】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，把绕点A旋转得到，当点D刚好落在上时，连接．设相交于点F，则图中相似三角形的对数是（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据旋转的性质得到，，利用三角形内角和得到，则可判断；根据相似的性质得，而，则可判断；由于，所以，于是可判断． 解：∵把绕点旋转得到， ， ， ． ， 故题图中共有对相似三角形． 故选：B． 5．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，已知在矩形中，M是边的中点，与垂直，交直线于点N，连接，则下列四个结论中：①；②；③；④．正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】通过证明，可得，可证；过作交于，可证四边形是平行四边形，可得，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可得；由平行线性质可得，，可证；通过证明，可得，可求，即可得，则可求解． 解：在矩形中， ， ， ， 是边的中点， ， ， ，故①正确； 如图，过作交于，    ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，且， 是的垂直平分线， ，故②正确； 四边形是矩形， ，，， ，， ，故④正确； ， ， ， ，且，， ，且， ， ， ， ， ， ∴，故③错误． 故选：B． 【点拨】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，斜边上的中线，中垂线的性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． 6．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，的对应边交边于点．连接，．若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握矩形的性质，勾股定理，旋转的性质是解题的关键． 如图，连接，，，构成直角三角形以及相似三角形，根据，可得，设，则，，根据勾股定理可得方程求出的长以及的长，即可得到所求的比值． 解：如图，连接，，， 由旋转可得，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∵中，， ∴， 解得（舍去）， ∴， ∴中，由勾股定理得， ∴． 故选：D． 7．（2025·江苏南通·三模）如图，等边的边长为6，点在上，，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接交于点，则点到的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，过作于，得到，根据等边三角形的性质得到，求得，，根据勾股定理得到，根据旋转的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论．熟练掌握各知识点是解题的关键． 解：如图，过作于， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， 将绕点按顺时针方向旋转得到， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 过作于， ， 故选：C． 8．（2026·海南·模拟预测）如图，在中，，绕点A顺时针方向旋转，到，连接，交于点P，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点．由勾股定理得，证明是等腰直角三角形，进而证明是等腰直角三角形，可得．然后证明，利用相似三角形的性质得，则可求出，再利用勾股定理即可求解． 解：如图，过点作于点． ， ． 将绕点顺时针方向旋转得到， ， 是等腰直角三角形， ； 又， 是等腰直角三角形， ． ， ， ，即， ∴． 又， ， ∴， ． 9．（2024·安徽·模拟预测）如图，和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把以A为中心顺时针旋转，点M为射线，CE的交点．若，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．当点E在的延长线上时， D．在旋转过程中，当线段最短时，的面积为 【答案】C 【分析】证明即可判断A，根据三角形的外角的性质得出B，证明得出，即可判断C；以为圆心，为半径画圆，当在的下方与相切时，的值最小，可得四边形是正方形，在中，然后根据三角形的面积公式即可判断D． 解：∵和是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，，故A说法正确； 设， ∴， ∴， ∴，故B说法正确； 当点在的延长线上时，如图所示    ∵，， ∴ ∴ ∵，． ∴， ∴ ∴，故C说法错误； 如图所示，以为圆心，为半径画圆，    ∵， ∴当在的下方与相切时，的值最小， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴取得最小值时， ∴ 故D说法正确， 故选：C． 【点拨】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质，勾股定理，切线的性质，垂线段最短，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 10．（2026八年级下·全国·专题练习）两块完全相同的含角的直角三角板和重合在一起，将三角板绕直角顶点按逆时针方向旋转（），如图所示．以下结论错误的是（    ） A．当时，与的交点恰好为中点． B．当时，恰好经过点． C．在旋转过程中，存在某一时刻，使得． D．在旋转过程中，始终存在． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质可得， ，再根据旋转角求出等边三角形，判断出正确，假设，则可推出 ，可得与已知矛盾，判断出错误，再根据四边形的内角和等于求出与 的夹角为，判断出正确． 解：∵直角三角板和重合在一起， ∴，， ：当时， ， 设与交点为，如图所示， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与的交点为的中点， 故正确； ：当时， ， ∵ ， ∴以点、、构成的三角形是等边三角形， ∴ ， ∵， ∴， ∴恰好经过， 故正确； 在旋转过程中， ， 又∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴ ，故错误； ：如图，设直线与直线交于， ∵ ，， ∴， 同理可得， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴在旋转过程中，始终存在，故正确． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·上海黄浦·期末）如图，在△ABC中，，将△ABC绕点A旋转，使点B落在AC边上的点D处，点C落在点E处，如果点E恰好在线段BD的延长线上，那么边BC的长等于_________ 【答案】 【分析】如图所示，连接CE，由旋转的性质可得：AD=AB=4，BC=DE，∠BCD=∠DEA，AE=AC=5，则CD=AC-AD=1，然后证明△BDC∽△ADE，得到，即，则，由此即可得到答案． 解：如图所示，连接CE， 由旋转的性质可得：AD=AB=4，BC=DE，∠BCD=∠DEA，AE=AC=5， ∴CD=AC-AD=1 又∵∠BDC=∠ADE， ∴△BDC∽△ADE， ∴，即， ∴， ∴（负值已经舍去）， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． 12．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）如图，四边形与四边形都是正方形，将正方形BEFG绕点按顺时针方向旋转，连接．在正方形BEFG绕点按顺时针方向旋转的过程中，的值为____________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造相似三角形是解决本题的关键． 根据角边角证明得出，连接，证明，得出，即可求解． 解：∵四边形与四边形都是正方形， ∴，，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， 连接，如图， ∵，， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 故答案为： ． 13．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，在矩形中，连接，点E在上，连接，交于点F，且． （1）与是否垂直？_____（填“是”或“否”）； （2）若，，则的值为 _____． 【答案】 是 【分析】（1）根据矩形的性质可得，已知即可证得． （2）根据矩形的性质可得，根据可得，在证明，根据相似比即可解得． 解：（1）∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：是； （2），，四边形为矩形， ∴， ， ∴， ∵， ∴ ， 即 ， ∴， ∵， ， ∴， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 【点拨】此题考查了矩形的性质、三角形相似，解题的关键是熟悉矩形的性质和三角形相似的性质和判定． 14．（24-25九年级上·湖北孝感·期中）如图中，，D是斜边的中点，将绕点A按顺时针方向旋转得到，点在的延长线上，若，，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理、旋转的性质、直角三角形斜边中线定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握勾股定理、直角三角形斜边中线定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，由旋转的性质可得，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 解：∵，D是斜边的中点，，， ∴，， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 15．（2025·江苏南京·二模）如图，在中，，，．将绕着点旋转得到，若点恰好落在上，则的长为_____． 【答案】 【分析】如图所示，过点A作交于点F，设，则，勾股定理求出，然后由旋转得到，由三线合一求出，然后证明出，得到，然后代数求解即可． 解：如图所示，过点A作交于点F ∵，， 设，则 ∴ ∴ 解得 ∴ ∵将绕着点旋转得到 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴，， ∴ ∴ ∴，即 ∴． 故答案为：． 【点拨】此题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 16．（24-25九年级上·广东清远·阶段检测）如图，在矩形中，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，点，的对应点分别为点、，连接、，若，，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线构造相似三角形，灵活运用旋转的性质．连接、， 利用勾股定理计算出的长，再根据旋转的性质得到，，， 从而根据两条边对应成比例，且这两条边的夹角对应相等，证明，然后根据相似三角形的性质求解即可得解． 解：如图，连接、， 四边形为矩形， ， ∵在中，，， ， 将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，点，的对应点分别为点、， ，，， ， ， ． 故答案为： ． 17．（25-26九年级上·河南南阳·期中）如图，在和中，，，，，．将绕点旋转，当、、点在同一直线上时，的长是______ 【答案】或 【分析】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．先根据等角的余角相等得出，根据相似三角形的判定和性质得出，，分为两种情况，结合直角三角形的两个锐角互余和锐角互余的三角形是直角三角形得出，分别结合勾股定理列出方程，解方程即可求解． 解：如图： ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 如图： ∵、、点在同一直线上， ∴； 在中，， ∵， ∴， 故． 设， ∵， 故， ∴， 在中，， 即， 解得或（舍去）． 故． 如图： ∵、、点在同一直线上， ∴； 在中，， ∵， ∴， 故． 设， ∵， 故， ∴， 在中，， 即， 解得或（舍去）． 故． 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 18．（25-26九年级·全国·一轮复习）如图，在中，，将绕着点旋转后与重合，连接，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质，根据旋转的性质可知，，又因为，可证，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得结果． 解：和绕着点旋转能够重合， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为α，BD、CE所在直线相交所成的锐角为β． （1）问题发现当α＝0°时，＝_____；β＝_____°． （2）拓展探究 试判断：当0°≤α＜360°时，和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）在△ADE旋转过程中，当DE∥AC时，直接写出此时△CBE的面积． 【答案】（1），45；（2）和β的大小无变化；（3）△BCE的面积为 或． 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质，线段的中点的定义即可判断． （2）结论：和β的大小无变化．如图2中，延长CE交AB于点O，交BD于K．证明△DAB∽△EAC，即可解决问题． （3）分两种情形：①当点E在线段AB上时，②当点E在线段BA的延长线上时，分别求解即可． （1）解：如图1中， ∵∠B＝90°，BA＝BC， ∴∠A＝45°，AC＝ =AB， ∵点D、E分别是边AB、AC的中点， ∴BD＝AB，EC＝AC， ∴＝，β＝45°； 故答案为，45． （2）解：结论：和β的大小无变化．理由如下： 如图2中，延长CE交AB于点O，交BD于K． 由（1）得：AE＝AD，AC＝AB，∠DAE＝∠BAC， ∴＝，∠DAB＝∠EAC， ∴， ∴△DAB∽△EAC， ∴＝＝，∠OBK＝∠OCA， ∵∠BOK＝∠COA， ∴∠BKO＝∠CAO＝45°，即β＝45°， ∴和β的大小无变化． （3）解：∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4， ∴， ∵点E分别是边AC的中点， ∴， 当点E在线段AB上时，， ∴S△BCE＝ =， 当点E在线段BA的延长线上时，， ∴S△BCE＝ =． 综上所述，△BCE的面积为 或． 【点拨】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·陕西延安·期末）如图，是绕点顺时针方向旋转后所得的图形，点C恰好在上． （1）求的度数； （2）交于点E，求证：． 【答案】（1）；（2）证明：由旋转可得∠D=∠B， ∵， ∴． ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质， 对于（1），根据旋转的性质得，，再根据等腰三角形的性质得出答案； 对于（2），根据旋转可得，即可得，然后根据相似三角形的对应边成比例得出答案. （1）解：∵是绕点顺时针方向旋转后所得的图形， ∴，， ∴； （2）略 21．（本小题满分10分）（25-26九年级下·湖北襄阳·阶段检测）矩形中，，是边上一点，以为边在矩形在内部构造矩形． （1）特例发现 如图，当时， ； （2）类比探究 如图，如图，将矩形绕点顺时针旋转度，连接，当时，求的值； （3）拓展运用 如图，矩形在旋转的过程中，落在边上时，若、、三点共线，时，当时，则的长为 ． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由正方形的性质可得，由矩形的性质可得，，由线段和差关系可求，即可求解； （2）通过证明，可得； （3）由相似三角形的性质可求，的长，由勾股定理可求的长，通过证明，可求解． （1）解：如图，延长交于，    ， ，， 矩形和矩形是正方形， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，连接，，      ， ，， 矩形和矩形是正方形， ，，， ，， ∴ ； （3）解：，， 设，，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，证明三角形相似是解题的关键． 22．（本小题满分10分）（2025·江苏镇江·二模）矩形纸片中，点，分别在边和上，点，分别在边和上． 【特例感知】 （1）如图1，当矩形纸片是正方形时，，则线段和的数量关系为__________； 【初步探究】 如图2，矩形纸片中，． （2）若，则线段和的数量关系为__________； （3）若，那么一定成立吗？如果不一定，请在图2中画出一个反例； （要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【拓展提升】 （4）如图3，若，点是边的中点，将矩形纸片折叠，使得点落处，则折痕落在纸片上的线段的长为__________；（用含的代数式表示） （5）已知点的位置如图4所示，求作一点，使得点一定分别在一个长宽比为2∶1的矩形的四条边上（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）；（2）；（3）不一定，作图如下：如图所示，，此时满足，但是不满足； （4）；（5）如图所示，点S即为所求； 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，垂线的尺规作图等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）过点E作于H，过点F作于G，设交于K，则四边形和四边形都是矩形，可得，导角证明，则可证明，得到； （2）过点E作于H，过点F作于G，设交于K，则四边形和四边形都是矩形，可得，导角证明，则可证明，利用相似三角形的性质即可得到答案； （3）如图所示，，此时满足，但是不满足； （4）设折痕为，由折叠的性质可得，由（2）可知；求出，则，可得，即； （5）如图所示，作线段的垂直平分线，交于H，过点P作垂直且使得，则点S即为所求． 解：（1）如图所示，过点E作于H，过点F作于G，设交于K， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图所示，过点E作于H，过点F作于G，设交于K， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）不一定成立，作图如下： 如图所示，， 此时满足，但是不满足； （4）如图所示，设折痕为， 由折叠的性质可得， ∴由（2）可知； 由矩形的性质可得， ∵F为的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴折痕落在纸片上的线段的长为； （5）如图所示，作线段的垂直平分线，交于H，过点P作垂直且使得，则点S即为所求； 此时，且，分别过作的平行线，再则点过作的平行线，则必在这个新作的长宽比为的矩形的边上. 23．（本小题满分10分）（24-25八年级下·江苏苏州·阶段检测）（1）【问题发现】如图①，正方形，将正方形绕点旋转，直线、交于点，请直接写出线段与之间的数量关系是___________，位置关系是___________． （2）【拓展探究】如图2，矩形，将矩形绕旋转；直线交于点，（1）中线段之间的关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段之间的关系； （3）【解决问题】若，矩形绕旋转过程中当点与点重合时，直接写出线段的长是___________． 【答案】（1），；（2）、的数量关系不成立，位置关系仍成立，、的数量关系为：；（3）或 【分析】本题综合考查了全等三角形及相似三角形的判定及性质，以及勾股定理的应用，根据题意画出符合题意的图形是解决本题的关键． （1）证明得到与的数量关系，通过角的等量代换，求得，得到和的位置关系； （2）可通过已知对应角，和对应边的比例关系，证明，求得和的数量关系；然后利用角的等量代换，求得，得到和的位置关系； （3）分情况讨论，①当点和点在边上方重合时，②当点和点在边下方重合时，分别求解． 解：（1），； ∵四边形，都是正方形， ∴，，． ∴， ∴． ∴． ∴，， ∵， ∴． ∴； （2）（1）中数量关系不成立，位置关系成立． ，． 理由如下：由题意知在矩形、中， ， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． 综上所述：，； （3）∵ ∴ 如解图①， ； 如解图2，连接，设，则，      ，， 在中，， ， ∴（舍去）． 综上所述，当点与点重合时，线段的长为或． 故答案为：或． 24．（本小题满分12分）（26-27九年级上·全国·期末）综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． （1）【数学思考】 如图1，在矩形中，，，，分别是，上的两点，连接，，于点，则________； （2）【深入探究】 如图2，在矩形中，，分别交，于点，，分别交，于点，．求证：； （3）【拓展延伸】 如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交于点．若，，请求出的长． 【答案】（1）；（2）证明：过点作于点，过点作于点，且交于点． ∵四边形是矩形， ， ． 同理，， ， ∵， ∴， ∵， ． ， ， ． （3） 【分析】（1）通过证明，由相似比即可求解； （2）构造出两个相似三角形，利用相似比及矩形对边相等的性质证明； （3）作平行线构造相似三角形，结合勾股定理解出线段长度，再由相似比即可求出的长． （1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵在矩形中，，， ∴； （2）略 （3）解：过点作，延长交于点． 在中，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴ 又， ， ， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.9 相似三角形经典几何模型（旋转相似与十字架）（模型梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.模型梳理与解读 1 【模型一】旋转相似模型 1 【模型二】十字架模型 2 二.题型精析（夯实基础） 2 【题型 1】“旋转相似”模型 2 【题型 2】“十字轲”模型 3 三.题型精析（巩固提升） 4 【题型 3】“旋转相似”模型 4 【题型 4】“十字架”模型 6 四.同步检测 8 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 8 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 13 一.模型梳理与解读 【模型一】旋转相似模型 基本图形 结论 【模型二】十字架模型 类型 基本图形 结论 正方形十字架模型 矩形十字架模型 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】“旋转相似”模型 【例题1】（24-25九年级上·山西阳泉·期中）如图，绕点按顺时针方向旋转一定的角度得到，点在边上，连接，求证：． 【变式1】（2025·山东淄博·一模）如图，四边形和四边形都是正方形，将正方形绕点旋转，连接BE，CF．则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·北京·期末）如图，在中，，，直角的顶点在上，、分别交、于点、，绕点任意旋转．当时，的值为________；当时，为________．（用含的式子表示） 【变式3】（23-24九年级上·山西大同·期末）综合与实践-问题情境： 如图1，已知在中，分别是上的点，且． （1）操作发现：求证：． （2）深入探究：在图1的基础上，将绕着点逆时针旋转一个角度得到图2，连接，那么（1）中的结论是否仍然成立？请判断并说明理由． 拓展探究： （3）如图3，当旋转到点在一条直线上时，与交于点，若，，求的值． 【题型 2】“十字轲”模型 【例题2】（24-25九年级上·四川攀枝花·期中）如图，在矩形中，点是边上的点，，垂足为．求证：． 【变式1】（2025·山东淄博·二模）如图矩形纸片ABCD中，，，若将矩形纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，则折痕EF的长为（    ） A． B．5cm C．4.8cm D． 【变式2】（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，在矩形中，，是边的中点，连接，，如果，那么的长为__________． 【变式3】（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，矩形中，，，于点F，交于点E，求的长． 三.题型精析（综合提升） 【题型 3】“旋转相似”模型 【例题3】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中， ，，． 【问题探究】 （1）如图①，连接，在纸片绕点旋转过程中，求证：∽； 【问题解决】 （2）如图②，在纸片绕点旋转过程中，点恰好落在的高线的延长线上，连接，求的长； 【问题拓展】 （3）如图③，在纸片绕点旋转过程中，点恰好落在的中线的延长线上，连接，求的周长． 【变式1】（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）如图，在矩形中，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，点的对应点分别为点、，连接，若，则（　　） A． B．2 C． D． 【变式2】（2025·河北邯郸·三模）如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到．连接、，直线、交于点，连接． （1）与的等量关系是：___； （2）在旋转过程中，线段的最大值是___． 【变式3】（25-26九年级上·河北保定·期末）综合与实践 【问题背景】 借助平行于三角形一边与其他两边相交的线段可构造一组相似三角形，若将它绕公共顶点旋转，对应点连线的长度存在特殊数量关系． 如图1，，，，过点D作交于点E． 【初步尝试】 （1）将绕点A按逆时针方向旋转至如图2所示的位置时，连接，，求证：． 【探索应用】 （2）若将旋转至如图3所示的位置，B，D，E三点在同一条直线上，求此时线段的长． 【题型 4】“十字架”模型 【例题4】（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点、处，如图②，可证，可得． （1）在图①中添加辅助线，证明一般性的规律． 【模型应用】 （2）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则______．（直接写出结果）． 【拓广延伸】 （3）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，求的长度． 【变式1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，，，点分别在边上，把矩形沿折叠，点的对应点分别为，连接并延长交边于点，则值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·北京·期中）已知点 E、H、F、G 分别在矩形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 上，EF，GH 交于点 O，∠FOH＝90°，EF＝4． （1）如图 1，矩形 ABCD 由 2 个全等的正方形组成，则 GH＝_____； （2）如图 2，矩形 ABCD 由 n 个全等的正方形组成，则 GH＝_______（用 n 的代数式表示）． 【变式3】（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有 ． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点A、D处，如图②所示． （1）在图②所示的情况下，你能帮小组成员们证明一下他们的猜想吗？ （2）你能在图①中添加辅助线，并对辅助线进行描述，以方便小组成员继续证明一般性的规律吗？ 【模型应用】 （3）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则 ．（直接写出结果）． 【拓广延伸】 （4）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，则的长度为 ．（直接写出结果） 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·山东菏泽·二模）如图，在正方形ABCD中，顶点，，点F是BC的中点，CD与y轴交于点E，AF与BE交于点G，将正方形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点G的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，木棍与在点O处连接，静止不动，从与夹角为的位置开始绕点O逆时针旋转，木棍上的点A与点B，点C与点D之间均由两根弹性皮筋连接，且这两根皮筋在木棍的旋转过程中始终保持拉直状态．设这两根弹性皮筋的长度分别为与，且，在木棍的旋转过程中（旋转角度小于），的值（    ） A．一直变大 B．始终不变 C．一直变小 D．先变大后变小 3．（24-25九年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，等边的边长为2，点D在上，，连接，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接交于点G．则点G到的距离为（   ）    A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，把绕点A旋转得到，当点D刚好落在上时，连接．设相交于点F，则图中相似三角形的对数是（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 5．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，已知在矩形中，M是边的中点，与垂直，交直线于点N，连接，则下列四个结论中：①；②；③；④．正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 6．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，的对应边交边于点．连接，．若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·江苏南通·三模）如图，等边的边长为6，点在上，，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接交于点，则点到的距离为（ ） A． B． C． D． 8．（2026·海南·模拟预测）如图，在中，，绕点A顺时针方向旋转，到，连接，交于点P，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·安徽·模拟预测）如图，和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把以A为中心顺时针旋转，点M为射线，CE的交点．若，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．当点E在的延长线上时， D．在旋转过程中，当线段最短时，的面积为 10．（2026八年级下·全国·专题练习）两块完全相同的含角的直角三角板和重合在一起，将三角板绕直角顶点按逆时针方向旋转（），如图所示．以下结论错误的是（    ） A．当时，与的交点恰好为中点． B．当时，恰好经过点． C．在旋转过程中，存在某一时刻，使得． D．在旋转过程中，始终存在． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·上海黄浦·期末）如图，在△ABC中，，将△ABC绕点A旋转，使点B落在AC边上的点D处，点C落在点E处，如果点E恰好在线段BD的延长线上，那么边BC的长等于_________ 12．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）如图，四边形与四边形都是正方形，将正方形BEFG绕点按顺时针方向旋转，连接．在正方形BEFG绕点按顺时针方向旋转的过程中，的值为____________． 13．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，在矩形中，连接，点E在上，连接，交于点F，且． （1）与是否垂直？_____（填“是”或“否”）； （2）若，，则的值为 _____． 14．（24-25九年级上·湖北孝感·期中）如图中，，D是斜边的中点，将绕点A按顺时针方向旋转得到，点在的延长线上，若，，则的长为___________． 15．（2025·江苏南京·二模）如图，在中，，，．将绕着点旋转得到，若点恰好落在上，则的长为_____． 16．（24-25九年级上·广东清远·阶段检测）如图，在矩形中，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，点，的对应点分别为点、，连接、，若，，则___________． 17．（25-26九年级上·河南南阳·期中）如图，在和中，，，，，．将绕点旋转，当、、点在同一直线上时，的长是______ 18．（25-26九年级·全国·一轮复习）如图，在中，，将绕着点旋转后与重合，连接，则的值为_______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为α，BD、CE所在直线相交所成的锐角为β． （1）问题发现当α＝0°时，＝_____；β＝_____°． （2）拓展探究 试判断：当0°≤α＜360°时，和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）在△ADE旋转过程中，当DE∥AC时，直接写出此时△CBE的面积． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·陕西延安·期末）如图，是绕点顺时针方向旋转后所得的图形，点C恰好在上． （1）求的度数； （2）交于点E，求证：． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级下·湖北襄阳·阶段检测）矩形中，，是边上一点，以为边在矩形在内部构造矩形． （1）特例发现 如图，当时， ； （2）类比探究 如图，如图，将矩形绕点顺时针旋转度，连接，当时，求的值； （3）拓展运用 如图，矩形在旋转的过程中，落在边上时，若、、三点共线，时，当时，则的长为 ． 22．（本小题满分10分）（2025·江苏镇江·二模）矩形纸片中，点，分别在边和上，点，分别在边和上． 【特例感知】 （1）如图1，当矩形纸片是正方形时，，则线段和的数量关系为__________； 【初步探究】 如图2，矩形纸片中，． （2）若，则线段和的数量关系为__________； （3）若，那么一定成立吗？如果不一定，请在图2中画出一个反例； （要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【拓展提升】 （4）如图3，若，点是边的中点，将矩形纸片折叠，使得点落处，则折痕落在纸片上的线段的长为__________；（用含的代数式表示） （5）已知点的位置如图4所示，求作一点，使得点一定分别在一个长宽比为2∶1的矩形的四条边上（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级下·江苏苏州·阶段检测）（1）【问题发现】如图①，正方形，将正方形绕点旋转，直线、交于点，请直接写出线段与之间的数量关系是___________，位置关系是___________． （2）【拓展探究】如图2，矩形，将矩形绕旋转；直线交于点，（1）中线段之间的关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段之间的关系； （3）【解决问题】若，矩形绕旋转过程中当点与点重合时，直接写出线段的长是___________． 24．（本小题满分12分）（26-27九年级上·全国·期末）综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． （1）【数学思考】 如图1，在矩形中，，，，分别是，上的两点，连接，，于点，则________； （2）【深入探究】 如图2，在矩形中，，分别交，于点，，分别交，于点，．求证：； （3）【拓展延伸】 如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交于点．若，，请求出的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $