专题 5.4 二次函数与一元二次方程（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦二次函数与一元二次方程核心关系，系统梳理交点个数与判别式的对应、图象求近似根方法、与不等式的联系、竖直上抛运动模型及高频易错点，构建从基础原理到实际应用的学习支架。 该资料亮点在于分层题型设计，夯实基础题型（如判断交点个数）与综合提升题型（如含参数交点讨论）结合，通过竖直上抛运动实例培养数学眼光中的抽象能力和模型意识，例题变式训练强化数学思维中的推理能力，同步检测助力课后查漏补缺，提升应用意识。

专题 5.4 二次函数与一元二次方程（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】二次函数与一元二次方程的核心关系 1 【知识点二】利用二次函数图象求方程近似根 2 【知识点三】二次函数与一元二次不等式 2 【知识点四】竖直上抛运动实际模型 3 【知识点五】高频易错点总结 3 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】判断抛物线与x轴的交点个数 3 【题型 2】根据交点个数求参数的值 6 【题型 3】利用图象求一元二次方程近似根 8 【题型 4】竖直上抛运动基础应用 10 三.题型精析（综合提升） 14 【题型 5】二次函数与一元二次不等式求解 14 【题型 6】抛物线与直线交点问题 18 【题型 7】含参数二次函数与x轴交点综合讨论 21 四.同步检测 26 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 26 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 32 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 37 一.知识梳理解读 【知识点一】二次函数与一元二次方程的核心关系 对于二次函数 y=ax²+bx+c(a≠0)，当函数值 y=0 时，对应的等式即为一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0)。 抛物线 y=ax²+bx+c 与 x 轴交点的横坐标，就是对应一元二次方程 ax²+bx+c=0 的实数根，二者一一对应。 通过根的判别式 Δ=b²-4ac，可判断抛物线与x轴交点个数及方程根的情况，具体对应关系如下： 判别式Δ=b²-4ac 抛物线与x轴交点个数 一元二次方程根的情况 Δ＞0 2个不重合交点 两个不相等的实数根 Δ=0 1个交点（顶点在x轴上） 两个相等的实数根（重根） Δ＜0 无交点 无实数根 补充：Δ=0时，抛物线顶点横坐标即为一元二次方程的重根。 【知识点二】利用二次函数图象求方程近似根 1. 核心原理：一元二次方程 ax²+bx+c=0 的根，是抛物线 y=ax²+bx+c 与x轴交点的横坐标。 2. 求解步骤： （1）绘制二次函数 y=ax²+bx+c 的完整图象； （2）确定图象与x轴交点所在的相邻整数区间； （3）在区间内取值计算对应函数值，缩小零点范围； （4）根据函数值正负交替规律，得到方程的近似实数根。 注意：图象法仅能求出近似根，精确根需通过求根公式计算。 【知识点三】二次函数与一元二次不等式 结合二次函数图象，可快速求解一元二次不等式解集，核心依据：图象在x轴上方对应y＞0，图象在x轴下方对应y＜0。默认a＞0（开口向上），设方程ax²+bx+c=0的两根为x₁、x₂（x₁＜x₂）。 1. Δ＞0，方程有两个不等实根： ax²+bx+c＞0 解集：x＜x₁ 或 x＞x₂； ax²+bx+c＜0 解集：x₁＜x＜x₂。 2. Δ=0，方程有两个相等实根： ax²+bx+c＞0 解集：x≠x₁； ax²+bx+c＜0 无解。 3. Δ＜0，方程无实数根： ax²+bx+c＞0 解集：全体实数； ax²+bx+c＜0 无解。 补充：若a＜0（开口向下），可先将二次项系数化为正数，再求解集，同时注意不等号方向改变。 【知识点四】竖直上抛运动实际模型 课本标准简化公式： 其中：v₀为抛出初速度，t为运动时间（单位：s），h为物体离地高度（单位：m）。 解题应用：令h=0，解方程可求出物体落地时间；结合二次函数最值，可求最大上升高度。 【知识点五】高频易错点总结 1. 抛物线与x轴交点对应方程的根，与y轴交点(0，c)不是方程的根； 2. 图象法求出的方程根为近似值，精确计算必须使用求根公式； 3. 解一元二次不等式时，必须结合抛物线开口方向判断解集，避免出错； 4. 抛物线与x轴有公共点的前提是Δ≥0，不可遗漏Δ=0的情况。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】判断抛物线与x轴的交点个数 【例题1】（24-25九年级上·浙江湖州·期中）已知抛物线经过点． （1）求该抛物线的解析式； （2）判断该抛物线与轴的交点个数，并说明理由． 【答案】（1）；（2）没有交点，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法确定抛物线解析式即可； （2）根据根的判别式符号来判断该抛物线与x轴的交点个数． （1）解：把代入二次函数， 得， 解得． ∴该抛物线的解析式为； （2）该抛物线与x轴没有交点，理由如下： ∵， ∴该抛物线与x轴没有交点． 【点拨】本题考查的是抛物线与x轴交点，二次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法确定函数解析式，二次函数的交点与一元二次方程根之间的关系．决定抛物线与x轴的交点个数． 【变式1】（25-26九年级上·广东中山·期中）抛物线的图象与x轴的交点个数是（    ） A．无交点 B．一个交点 C．两个交点 D．三个交点 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．令，根据判别式的符号求解即可． 解：令， 则， 故抛物线与x轴的交点个数为2， 故应选：C． 【变式2】（九年级数学期末考前必刷卷01-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版））抛物线与坐标轴的交点个数是___________． 【答案】1 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，当，求出的值即为抛物线与轴交点的纵坐标；当，求出关于的一元二次方程的根的判别式，从而确定该方程的根的个数，即抛物线与轴的交点个数． 解：当时，， 则与轴的交点坐标为， 当时，， ， 所以，该方程没有实数根，即抛物线与x轴没有交点． 故答案为：1． 【变式3】（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）已知抛物线的解析式为（为常数） （1）当时，求抛物线与轴的两个交点分别为和之间的距离； （2）求证：抛物线与轴必有两个交点． 【答案】（1）；（2）证明：令， 则：， ∵，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴抛物线与轴必有两个交点． 【分析】本题考查二次函数与轴的交点问题，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）当时，令，得，解方程即可得出抛物线与轴的两个交点和的横坐标，即可求解； （2）令，得，利用根的判别式判断一元二次方程根的情况即可得出抛物线与轴交点的情况． （1）解：∵， ∴， 令， 得：， 解得：，， ∴； （2）略 【题型 2】根据交点个数求参数的值 【例题2】（25-26九年级上·广西崇左·期中）已知二次函数． （1）当时，求函数图象与x轴的交点坐标． （2）若该函数图象与x轴没有交点，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2）这样的实数不存在，理由如下： 因为， 所以该函数图象与轴必有交点， 若使该函数图象与轴没有交点，这样的实数不存在． 【分析】本题考查了抛物线与x轴交点问题，解题关键是根据数形结合的方法，判断取值范围． （1）把代入，得二次函数，求出当时，x的值即可求出结论； （2）因为，所以该函数图象与轴必有交点，即可得出结论． （1）解：当时，二次函数， 当时，， 解得：， ∴函数图象与x轴的交点坐标； （2）解：略． 【变式1】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知二次函数与x轴无交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，根据一元二次方程根的情况求参数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据二次函数与x轴无交点，得出方程无实数根，再列出不等式求解． 解：∵二次函数与x轴无交点， ∴方程无实数根， ∴， 解得：， 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）已知二次函数的图象与轴有两个不同的交点，的取值范围是___________． 【答案】且 【分析】本题考查二次函数与轴的交点问题．熟记相关结论是解题关键．二次函数与轴有两个交点，则；与轴有一个交点，则；与轴没有交点，则．据此即可求解． 解：由题意得：且， 解得：且； 故答案为：且 【变式3】（25-26九年级上·北京石景山·期中）已知二次函数． （1）求此二次函数的对称轴  （用含的字母表示） （2）若二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，求的取值范围 （3）选取一个你喜欢的值，求此二次函数图象与轴的交点． 【答案】（1）直线；（2）；（3）和（答案不唯一） 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线，即可求解； （2）在，令，根据已知可得，解之即可求出的取值范围； （3）在（2）的的取值范围内，任选一个数值，解相应的一元二次方程即可． 解：（1）二次函数, 该二次函数的对称轴为直线， 故此二次函数的对称轴是直线； （2）二次函数的图象与x轴有两个不同的交点， 令，则， ， ， 故的取值范围是； （3）当时，， 令，则， ，． 故此二次函数图象与轴的交点是和（答案不唯一）． 【点拨】本题考查了抛物线与一元二次方程，熟练掌握抛物线与轴的交点的意义，根的判别式，解相应不等式和一元二次方程是解本题的关键． 【题型 3】利用图象求一元二次方程近似根 【例题3】（2025九年级上·北京·专题练习）利用函数图像求一元二次方程的近似解（精确到）． 【答案】或 【分析】本题考查了图像法求一元二次方程的近似根，解答此题的关键是准确画出函数的图像，体现了数形结合的思想方法． 方程的根是函数与x轴交点的横坐标．先作出二次函数的图像，观察图像可知方程有两个根，一个在0和之间，另一个在4和5之间．再根据精确度求出方程的解即可． 解：方程的根是函数与x轴交点的横坐标． 作出二次函数的图像，如图所示： 由图像可知，方程有两个根，一个在0和之间，另一个在4和5之间． 先求0和之间的根， 当时，；当时，， 因此，是方程的一个近似根， 同理，是方程的另一个近似根． 所以方程的两个近似根是：或． 【变式1】（2025九年级上·北京·专题练习）已知二次函数（，，，为常数）的与的部分对应值如表： 判断方程的一个解的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是图象法求一元二次方程的近似根，解题关键是正确理解二次函数图象和一元二次方程关系． 仔细看表，可发现的值和最接近，再看对应的的值即可得解． 解：由表可以看出，当取与之间的某个数时，， 即这个数是的一个根， 的一个解的取值范围为． 故选：． 【变式2】（25-26九年级上·山西吕梁·期末）小亮利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的实数根为________（结果保留小数点后一位）． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二次函数图象和一元二次方程的解． 由图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，再利用对称性即可求解． 解：函数图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，且对称轴为， 函数图象与轴的另一个公共点的横坐标大约是， 由此可以估计方程的实数根为，． 故答案为：，． 【变式3】（25-26九年级上·全国·单元测试）利用函数图象求出一元二次方程的近似根，也可以在同一平面直角坐标系中画出函数和的图象，根据两个图象交点的横坐标找出一元二次方程的近似根，请试一试． 【答案】，． 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．建立平面直角坐标系，根据网格结构作出函数和的图象，然后找出两函数图象的交点坐标，从而得解． 解：在同一平面直角坐标系中作出函数和的图象，如图所示： 由图可知，交点坐标为，， 所以一元二次方程的近似根为，． 【题型 4】竖直上抛运动基础应用 【例题4】（25-26九年级上·天津和平·阶段检测）掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着陆的过程中，水平距离x（单位：）近似满足函数关系，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/ 0 2 m 6 8 竖直距离y/ 1.67 2.63 2.95 2.63 n （1）填空：______，______； （2）填空：实心球竖直高度的最大值为______； （3）求出满足的函数关系． 【答案】（1）4，1.67；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据表格数据的特点，可求出抛物线的对称轴为直线，即，然后把，；，代入，可求出a、k的值，然后把，分别代入即可求出m、n的值； （2）根据（1）中函数解析式并结合二次函数的性质求解即可； （3）根据（1）中结论即可求解． （1）解：∵当和时，y的值都为2.63， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 把，；，代入， 得， 解得， ∴， ∴当时，， 解得， ∴， 当时，， 故答案为：4，1.67； （2）解：由（1）知：当时，y有最大值为2.95， ∴实心球竖直高度的最大值为； （3）解：由（1）知：． 【变式1】（2026·四川成都·二模）从地面竖直向上射出一小球，若小球离地面的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式为，则下列说法中，错误的是（   ） A．小球运动时间为时的高度是 B．小球运动时间为时的高度和时的高度相等 C．小球离地面的最大高度是 D．小球从射出到落地需要s 【答案】D 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用，通过代入计算，配方求最值，解方程求落地时间，即可判断各选项的正误． 解： 选项A，当时，代入得，∴A正确，不符合题意； 选项B，当时，，当时，，两者高度相等，∴B正确，不符合题意； 选项C，∵，二次函数开口向下，当时，取得最大值，即小球离地面最大高度为，∴C正确，不符合题意； 选项D，小球落地时，即，因式分解得，解得（初始射出时刻）或，∴小球从射出到落地需要，不是，∴D错误，符合题意． 【变式2】（24-25九年级上·贵州遵义·期中）根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10米/秒的速度竖直上抛（如图所示），那么物体离地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）的函数关系为：．根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间t为______秒． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，将代入求解即可． 解：当时，即 解得，（舍去） ∴该物体落回地面所需要的时间t为2秒． 故答案为：2． 【变式3】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）在体育课上，男生进行实心球投掷训练，实心球离手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，实心球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系： 水平距离x/m 0 2 3 4 5 竖直距离y/m （1）小强进行训练时，抛实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如上：根据上述数据，直接写出小强抛出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系 （2）小强改变了抛掷姿势，经多次训练后，实心球抛出的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．已知中考实心球的成绩满分标准是抛掷着陆时的水平距离至少为10米，若小强要获得满分，求a的取值范围． 【答案】（1）实心球竖直高度的最大值是，抛物线的函数解析式为；（2）抛掷着陆时的水平距离至少为10米，a的取值范围是 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确读懂表格，利用表格中的数据求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据表格中的数据求出顶点坐标为，则抛物线解析式为，再把代入抛物线解析式中计算求解出抛物线解析式，再根据，即可求出实心球的竖直高度的最大值； （2）先求出水平距离恰好为10米时a的值，再由水平距离越大，则开口越大，即a的值越大，由此可得答案． （1）解：由表格中的数据可知，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴在时，实心球的竖直高度最大，最大为； （2）解：当着陆时的水平距离为10米时，即时，， ∴， 解得， ∵抛掷着陆时的水平距离越大，说明抛物线开口越大， ∴抛掷着陆时的水平距离大于10米时，， ∴， ∴抛掷着陆时的水平距离至少为10米，a的取值范围是． 三.题型精析（综合提升） 【题型 5】二次函数与一元二次不等式求解 【例题5】（25-26九年级上·广西玉林·期中）已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）根据函数图象完成以下问题： ①当时，的取值范围为_____； ②当时，的取值范围为_____． 【答案】（1）；（2）①；②或 【分析】本题考查了将一般二次函数化为顶点式以及根据二次函数的图象求自变量或函数值的范围，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据配方法的步骤进行整理即可求解； （2）①根据图象找出当时，的最大值和最小值，即可求出的取值范围； ②根据图象找出当时，的取值范围即可． （1）解：； （2）解：①当时，的最小值为，的最大值为， 所以当时，的取值范围为， 故答案为：； ②令时，解得或， 所以当时，的取值范围为或， 故答案为：或． 【变式1】（2026·江苏苏州·三模）如图，反比例函数的图象和二次函数图象交于点，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由，当时整理得，结合函数图象即可求解． 解：当时，若，整理得， 由图象知，时，反比例函数的图象在二次函数的图象的下方， 当时，反比例函数的图象与二次函数的图象没有公共点， 则不等式的解集为． 【变式2】（2025九年级·江苏无锡·竞赛）如图，已知二次函数的图像与一次函数的图像相交于，两点，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 【分析】先由函数沿y轴翻折得到，根据，求出函数与函数交点，的坐标，再根据函数图象得到不等式的解集． 解：如图，将沿y轴翻折得到，与函数交于，， 函数关于y轴对称，且，， ，， 化简为， 根据函数图像，可知当时，二次函数的图像在一次函数的图像上方， ∴不等式的解集为． 【变式3】（2026·江苏南京·模拟预测）已知二次函数的图象为C． （1）图象C必过两定点，其坐标分别是______和______； （2）记一次函数的图象为D，证明：图象C与D有两个公共点； （3）在（2）的条件下，当时，比较与的大小，直接写出结果． 【答案】（1）；（2）证明：∵记一次函数的图象为D，且二次函数的图象为C， ∴， 整理得 ∴， ∴图象C与D有两个公共点； （3）当或时，；当时，；当或时， 【分析】本题考查了二次函数的其他应用，一次函数与二次函数的综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，整理，令，解得，，再算出对应的函数值，即可作答． （2）理解题意，建立，结，得出图象C与D有两个公共点； （3）运用数形结合思想进行分析，即可作答． （1）解：依题意，， 令，则， 解得，； 把代入得， 把代入得， 即图象C必过两定点，其坐标分别是和； （2）略 （3）解：由（2）得 则， ∴， ∵， 如图所示： ∴当或时，； 当时，； 当或时， 【题型 6】抛物线与直线交点问题 【例题6】（25-26九年级上·甘肃平凉·阶段检测）方程与不等式揭示了数学中最基本的数量关系，函数则研究变量间的关系，借助函数可以认识方程与不等式.观察表格： … 0 1 2 3 … … 1 4 7 10 … … 0 4 3 0 … （1）【数学观察】根据表中信息填空：______； （2）【实践操作】在如图所示的平面直角坐标系中（每个小正方形网格的边长为1），已经画出了一次函数的图象，请你在同一坐标系中画出二次函数的图象； （3）【独立思考】 ①二次函数与一次函数图象的交点坐标是______； ②方程的解为______； （4）【归纳总结】若二次函数的图象与一次函数的图象相交，则交点的______坐标可以看成关于的方程的解； （5）【巩固应用】若二次函数的图象与一次函数的图象只有一个交点，则关于的方程的解是______．（直接写出结果） 【答案】（1）；（2）解：根据表格数据描点连线绘制图象如下： （3）①或  ②或；（4）横；（5） 【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到一次函数和二次函数的图象和性质，熟悉函数和不等式的关系是解题的关键． （1）把代入求出值即可； （2）根据表格数据描点连线绘制图象即可； （3）①根据表格信息得到交点坐标即可； ②根据交点坐标得到方程的解即可； （4）由（3）知，若两个函数交点的横坐标为方程的解； （5）联立两个函数表达式得 ，即可得到，求出，即可求解． （1）解：当时，， 故答案为：； （2）略 （3）解：①二次函数 与一次函数 图象的交点坐标是或， 故答案为：或； ②方程 的解为：或， 故答案为：或； （4）解：由（3）知，若二次函数的图象与一次函数的图象相交，则交点的横坐标可以看成关于的方程的解， 故答案为：横； （5）解：联立两个函数表达式得：，整理得， 由题意得， 则， 故方程为：，则， 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）二次函数的图象与一次函数的图象在第一象限的交点坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与一次函数图象的交点问题，联立解析式进行求解即可． 解：联立，得：或； ∴在第一象限的交点坐标为； 故选A． 【变式2】（24-25九年级上·广东珠海·期中）一次函数与二次函数的图象的交点坐标是_______ 【答案】 【分析】联立直线方程与抛物线方程求解． 解：联立方程：， 解得， 直线与抛物线交点坐标为， 故答案为：． 【点拨】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握函数与方程的关系． 【变式3】（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数，一次函数 （1）求函数与的交点坐标； （2）自变量x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，函数值大小比较，不等式的求解，理解题意准确计算为解题关键． （1）联立两个函数的解析式，求解方程组得到交点的横、纵坐标即可； （2）通过联立函数解析式并移项，转化为不等式求解即可． （1）解：联立与， ， 整理可得：，解得：，， 当时，代入，可得， 当时，代入，可得， 函数与的交点坐标为和； （2）要使一次函数的值大于二次函数的值，即， 可得不等式， 整理得：， 可得， 解得：， 当时，一次函数的值大于二次函数的值． 【题型 7】含参数二次函数与x轴交点综合讨论 【例题7】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数（为常数）的图象与轴交于，两点，顶点为． （1）若把二次函数图象向下平移3个单位恰好过原点，求的值． （2）①若，在已知的二次函数图象上，比较，的大小； ②求的面积． 【答案】（1）；（2）①；②1． 【分析】（1）求出平移后抛物线解析式，由抛物线经过原点求解； （2）①由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据P，Q到对称轴的距离大小求解；②由抛物线解析式可得抛物线与x轴交点坐标及顶点坐标，进而求解． （1）解：二次函数图象向下平移3个单位后解析式为， 平移后图象过原点， ， 解得． （2）解：①， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 距离对称轴越远函数值越大， ，， 到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ． ②令，则， 解得，， ， ， 点C坐标为， ． 【变式1】（2026·贵州黔东南·一模）小明在学习二次函数知识的时候，发现二次函数图象和一次函数图像的交点个数有3种情况：有2个交点，有1个交点和没有交点，带着这样的结果，小明提问：若过定点的一次函数与二次函数的图象有2个交点，则的取值范围是（） A．，且 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，解题关键是理解方程组的解与函数交点的关系．一次函数图象与系数的关系；二次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征 解：一次函数的图象过定点， ， 把代入得： ， 整理得， 当时，两函数图象有一个交点， 即， 解得． 一次函数与二次函数的图象有2个交点，的取值范围是或． 故选：D 【变式2】（25-26九年级上·河北沧州·期末）若二次函数（m是常数）的图象与其向下平移个单位长度所得的图象都与x轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则n的值为________ 【答案】 【分析】当时，先解方程得抛物线与轴的交点坐标为，，则抛物线与轴的交点之间的距离为3，根据题意四个交点中每相邻两点间的距离都相等，即每相邻两点间的距离都为1，于是得到平移后的抛物线与轴的交点坐标为，，利用交点式写出平移后的抛物线解析式为，即，接着利用抛物线的平移规律得到的值． 解：当时，， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标为，， 如图， ∴抛物线与轴的交点之间的距离为， ∵二次函数（m是常数）的图象与其向下平移个单位长度所得的图象都与x轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等， ∴每相邻两点间的距离都为， ∴平移后的抛物线与轴的交点坐标为，，如图， ∴平移后的抛物线解析式为， 即， 原抛物线为， 由题抛物线向下平移个单位所得的抛物线解析式为， ∴平移距离． 【点拨】把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程． 【变式3】（2025·浙江丽水·模拟预测）在平面直角坐标系中，设二次函数，其中． （1）若函数的图象经过点，求函数的表达式； （2）若一次函数的图象与的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式； （3）已知点和在函数的图象上，若，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）或；（3）或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）先求出的图象与x轴的交点为和，再分两种情况计算即可得出结果； （3）先求出的对称轴为直线，再结合二次函数的性质分情况计算即可得出结果． （1）解：∵函数的图象经过点， ∴， 解得，， 当时，函数， 当时，函数， 综上所述，函数的表达式为； （2）解：在中，当时，， 解得，， ∴的图象与x轴的交点为和， ∵一次函数的图象与的图象经过x轴上同一点， ∴当一次函数的图象经过点时，，即； 当一次函数的图象经过点时，，即； 综上所述，实数a，b满足的关系式为或； （3）解：由（2）有的图象与x轴的交点为和， ∴的图象的对称轴为直线，且图象开口向上， 当点在对称轴的左侧（含顶点）时，随着的增大而减小， ∵关于对称轴对称的点为，且， ∴； 当点在对称轴的右侧时，随着的增大而增大， ∵， ∴， 综上所述，的取值范围为或． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·山东淄博·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的个数（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于利用判别式进行解答； 通过判断抛物线对应的一元二次方程根的情况，确定与轴交点的个数． 解：∵求抛物线与轴的交点，令， ∴得到方程，即， ∵，，， ∴， ∴该一元二次方程无实数根， ∴抛物线与轴交点的个数是0， 故选：D． 2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）抛物线与轴交点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线与轴交点的横坐标为，将代入抛物线解析式计算出的值，即可得到交点坐标． 解：当时， ， ∴抛物线与轴的交点坐标是． 3．（2026·安徽六安·二模）已知反比例函数与二次函数的图象交点的纵坐标为3，则的值为（    ） A．6 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先求出交点坐标，再代入计算即可． 解：当时， 解得， ∴交点坐标为或， ∵， ∴反比例函数经过一、三象限， ∴交点坐标为， 将代入得， 解得：． 4．（2026·江苏南京·二模）函数（m为常数）的图象与x轴公共点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】D 【分析】二次函数图象与x轴公共点的个数，等价于时对应一元二次方程的实数根个数，利用一元二次方程根的判别式即可判断公共点个数． 解：当函数图象与x轴相交时，，可得一元二次方程， ，，， ， 任意实数的平方都大于等于0， ， 当时，，方程有1个相等的实数根，图象与x轴有1个公共点； 当时，，方程有2个不相等的实数根，图象与x轴有2个公共点； 因此函数图象与x轴公共点的个数是1或2， 故选：D． 5．（2025九年级上·广西南宁·专题练习）已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 【答案】C 【分析】根据的图象与有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧可得出答案． 解：由函数图象可得：的图象与有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧， ∴关于x的方程即有两个同号不等实数根， 6．（25-26九年级上·广西南宁·期中）二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与不等式，利用图象法，找到抛物线在轴下方时的自变量的取值范围即可得出结果． 解：由图象可知，不等式的解集是； 故选C． 7．（25-26九年级上·天津武清·阶段检测）点都在抛物线上．若，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式． 根据列出关于m的不等式即可解得答案． 解：∵点在抛物线上， ∴，． ∵， ∴， 解得． 故m的取值范围为． 故选：B． 8．（2025·陕西西安·模拟预测）抛物线，顶点纵坐标为．若有且只有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】先根据题意画出的图象，即可得出有两个不相等的实数根时，m的取值范围． 解：由题意得，将此抛物线在x轴下方的部分沿x轴往上翻折，得到一个新的函数图象的顶点的纵坐标为5， ∴的图象是x轴上方部分（包含与x轴的两个交点）， 由图象可知，当时，有两个不相等的实数根，在x轴上方时，只有时，有两个不相等的实数根， ∴或． 9．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，抛物线的顶点的坐标为．现有下列结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据抛物线开口方向，对称轴公式、对称轴位置以及顶点坐标确定符号以及数量关系，即可判断①②；然后根据二次函数的性质判断③；再由一元二次方程的解与函数图象之间的关系判断④． 解：由图可知，抛物线开口向下，则； 抛物线的顶点的坐标为， 则对称轴为，得； 抛物线与轴交于正半轴，则； ，故①正确； 对称轴为， ，则， 抛物线与轴的一个交点位于0和1之间，且开口向下， 当时，， ∴， ∴，故②正确； 若抛物线经过点，，对称轴为， 则点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ，且抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴距离越远值越小， ，故③正确； 若关于的一元二次方程无实数根，则抛物线与直线无交点， 而抛物线开口向下，顶点坐标纵坐标为 ∴当时，抛物线与直线无交点，故④正确， 综上所述，正确的结论有①②③④，共4个． 10．（2026·山西阳泉·模拟预测）已知二次函数的自变量x与函数值y的几组对应值如下表： x 0 1 5 y 0 5 9 8 5 则下列关于该二次函数的说法正确的是（    ） A．图象开口向上 B．当时，y的取值范围为 C．一元二次方程有两个相等的实数根 D．图象的对称轴是直线 【答案】C 【分析】先利用表格中函数值相等的点得到对称点，求出对称轴，再代入点坐标求出二次函数解析式，最后逐一判断各选项正误． 解：∵时，时， ∴二次函数图象的对称轴为直线，故选项D错误． ∵时， ∴． 将，代入得， 又∵对称轴公式为直线， ∴． 联立方程得 解得， ∴二次函数解析式为． ∵， ∴图象开口向下，选项A错误． 当时，时取得最大值，端点时， ∴的取值范围是，选项B错误． ∵二次函数顶点坐标为， ∴直线与二次函数图象只有一个交点，即一元二次方程有两个相等的实数根，选项C正确． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·广东深圳·三模）已知二次函数（是常数）的图象与轴有两个不同的交点，则的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】二次函数图象与轴有两个不同交点，对应一元二次方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式大于零求出的取值范围，任取范围内一个值即可. 解：二次函数的图象与轴有两个不同交点 一元二次方程有两个不相等的实数根 ， 解得， 满足，（答案不唯一）． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的部分图象如图所示，顶点坐标为，由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是，______． 【答案】 【分析】由二次函数图象的顶点坐标为，可得对称轴为，所以， 然后把代入即可求解． 解：∵二次函数图象的顶点坐标为， ∴对称轴为， ∴， 又∵， ∴． 13．（2026年5月福建省漳州市龙海区浮宫中学九年级练习试卷），为方程的两个实数根，则k的取值范围为_____． 【答案】且 【分析】方程有两个实数根，说明该方程为一元二次方程，二次项系数不为，且根的判别式大于等于，再利用图象法解不等式即可． 解：，为方程的两个实数根， 该方程为一元二次方程，可得， 这里，，， ． 方程有两个实数根， ，即， 整理得，， 故令，其函数图象如下图所示： 当时，即， ，即，， 由图象可知，当时，即， 此时，， 综上，的取值范围是且． 14．（2026·上海黄浦·二模）已知抛物线，将其向右平移n个单位，使平移后所得的抛物线与坐标轴恰好只有两个公共点，那么n的值是______． 【答案】3 【分析】根据题意得出原点在平移后的抛物线上，将代入平移后的抛物线解析式求解即可； 解：， 原抛物线判别式， 令得， 则原抛物线与轴交点为， 左右平移不改变抛物线的判别式，因此平移后抛物线始终与轴有2个交点，且一定与轴有1个交点， ∵平移后所得的抛物线与坐标轴恰好只有两个公共点，平移后的抛物线与轴恒有两个不同交点，与轴恒有一个交点，要使总共只有两个公共点，则必然是其中一个轴交点与轴交点重合于原点， 即原点在平移后的抛物线上， 抛物线向右平移个单位，平移后解析式为：， 将代入得：， 解得：（舍去）， 因此的值为． 15．（2026·上海虹口·一模）对于某个函数，如果当时，函数值，那么我们称（）为此函数的“反点”．例如函数，因为当时，所以为此函数的“反点”．二次函数的“反点”是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数图象上的点的坐标特征，根据“反点”定义，令函数值等于自变量的相反数，建立方程求解即可． 解：设反点对应的自变量为，则函数值，代入函数解析式得： 整理得： 解得： ∴， ∴反点为． 故答案为：． 16．（2025·吉林长春·模拟预测）已知抛物线（a是常数，且）．当直线与抛物线有两个交点A、B，且时，则a的取值范围为______． 【答案】 【分析】先根据函数解析式求出图象的顶点坐标，根据二次函数的性质，得到抛物线与轴的坐标不在的下方，得，即可得到答案． 解：抛物线， 对称轴为直线，顶点为， 直线与抛物线有两个交点A、B， 抛物线开口向下，故， 对称轴为直线，， 抛物线与轴的交点不在的下方， 令，则， ， 解得， 的取值范围为． 17．（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，若，则点C的坐标是________ ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，正确利用根和系数的关系是解题关键． 设点A、B的横坐标分别为m、n， ，即可求解． 解：令， 设点A、B的横坐标分别为m、n， ∴，， 则， 解得：， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 18．（2026·四川广安·二模）如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点、，且点在轴上，点在轴上，则关于的不等式的解集为___． 【答案】或 【分析】先求得的坐标；根据图象，找到二次函数图象在一次函数图象上面部分的的取值范围． 解：令，可得， ， 令，可得，解得， ， 由图可得关于x的不等式即的解集为或． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2026·河南周口·一模）已知二次函数： （1）求证：该二次函数的图象与轴总有两个不同的交点； （2）若该二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且的面积为，求的值． 【答案】（1）证明：一元二次方程中，，， ， 该二次函数图象与轴总有两个不同交点； （2） 【分析】（1）先判断一元二次方程根的情况，再结合二次函数与一元二次方程的关系即可得证； （2）令，求出、两点的横坐标及；令，得与轴交点的纵坐标，即高，根据的面积为推得，求解即可． 解：（1）略 （2）解：令，解方程， ， 解得，， ， 令，得与轴交点的纵坐标为， 即高为， 三角形面积， ①时，； ②时，（无实数解）． 故． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·广东东莞·阶段检测）已知抛物线． （1）求出它的顶点坐标和对称轴； （2）若抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长． 【答案】（1），对称轴为x=1；（2） 【分析】（1）将解析式化为顶点式即可求解； （2）令，解方程得交点坐标，进而即可求解． （1）解： ∴顶点坐标为；对称轴为x=1； （2）解：令，即， 解得， ∴的长为． 【点拨】本题考查了二次函数的性质，抛物线与轴的截线的长，掌握二次函数的性质是解题的关键． 21．（本小题满分10分）（2026·广东清远·三模）某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． （1）求水柱所在抛物线的函数表达式； （2）求水柱落地点与雕塑的水平距离． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由题目所给条件可得点的坐标和抛物线顶点坐标，设出其顶点式，把点代入求解即可得到该抛物线的函数表达式； （2）题意为求点的坐标，令（1）中求得的函数表达式值为求解即可． （1）解：由题可得，点的坐标为，该抛物线的顶点为， 设该抛物线的顶点式为， 把点代入得，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：令得， 两边同时乘以得， 因式分解得， 解得，， 点的坐标为， 水柱落地点与雕塑的水平距离为． 22．（本小题满分10分）（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）抛物线 如图所示，回答下列问题 （1）方程的解是___________； （2）关于的不等式的解集是___________； （3）当时，y的取值范围是___________； （4）若关于的方程的两个实数根异号，则t的取值范围是___________． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】考查抛物线的对称性、二次方程的解与抛物线交点的关系、二次不等式的解集、二次函数的取值范围、根的符号与系数的关系．抓住抛物线的对称轴、顶点、特殊点（如）的特征是关键．易忽略抛物线的对称性；误判不等式的解集方向；计算端点y值时出错． （1）根据抛物线过及对称轴，找对称点得解； （2）由开口方向和交点，确定对应的x区间； （3）结合顶点（最小值）和时的y值（最大值）确定范围； （4）利用根异号时常数项小于0，结合抛物线最小值确定t的范围． （1）解：抛物线过点，且对称轴为，由对称性知另一交点为，故解为，． 故答案为：，． （2）解：抛物线开口向上，对应两点与之间的区域，故解集为． 故答案为：． （3）解：抛物线顶点为； 由对称性得，与对称，y值大于，∴当时，， ∵结合开口向上，时，由时得，顶点，，解得，故时．故取值范围为． 故答案为：． （4）解：方程即，根异号则常数项，且抛物线顶点，故，结合有实根需，最终范围为． 故答案为：． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示．根据图象填空： （1）该函数图象的对称轴是______； （2）二次函数图象与x轴的交点坐标为_______； （3）b_____0，c____0， ____0；（填>、<或=） （4）当时，x的取值范围是______ 【答案】（1）直线；（2）；（3），，；（4） 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与坐标轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据函数图象，得出对称轴是直线； （2）结合对称轴是直线，二次函数图象与x轴的一个交点坐标为得出该函数图象与x轴的另一个交点坐标为，即可作答． （3）观察函数图象，得出开口方向向上，对称轴为直线，则，把代入，得，即可作答． （4）观察函数图象，得出开口方向向上，由（2）得函数与x轴的交点坐标为，得当时，x的取值范围是，即可作答． （1）解：观察函数图象，得出该函数图象的对称轴是直线， 故答案为：直线； （2）解：观察函数图象，对称轴是直线，二次函数图象与x轴的一个交点坐标为 则 ∴得出该函数图象与x轴的另一个交点坐标为； 即二次函数图象与x轴的交点坐标为， 故答案为：； （3）解：观察函数图象，得出开口方向向上，对称轴为直线， ∴，， 即 观察函数图象，得出抛物线与轴的交点坐标在负半轴， 即； 把代入，得， 故答案为：，，； （4）解：观察函数图象，得出开口方向向上， 由（2）得函数与x轴的交点坐标为， ∴当时，x的取值范围是， 故答案为：． 24．（本小题满分12分）（24-25九年级下·山东日照·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为． （1）求抛物线解析式及点坐标； （2）若点为轴下方抛物线上一动点，连接、、，当点运动到某一位置时，四边形面积最大，求此时点的坐标及四边形的面积． 【答案】（1），；（2）当时，四边形面积最大，最大面积等于 【分析】（1）由直线求出点、坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点坐标； （2）过点作轴于点, 设，则，根据，列出关于的二次函数解析式，根据二次函数的性质解答即可． （1）解：直线，时，， ， 时，解得：， ， 抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为， 当时， 解得：，， ∴； （2）如图，过点作轴于点， ，，， ，， ， 点为轴下方抛物线上的点， 设， ， ， ， 当，即时，四边形面积最大，最大面积等于 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.4 二次函数与一元二次方程（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】二次函数与一元二次方程的核心关系 1 【知识点二】利用二次函数图象求方程近似根 2 【知识点三】二次函数与一元二次不等式 2 【知识点四】竖直上抛运动实际模型 3 【知识点五】高频易错点总结 3 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】判断抛物线与x轴的交点个数 3 【题型 2】根据交点个数求参数的值 4 【题型 3】利用图象求一元二次方程近似根 4 【题型 4】竖直上抛运动基础应用 5 三.题型精析（综合提升） 6 【题型 5】二次函数与一元二次不等式求解 6 【题型 6】抛物线与直线交点问题 8 【题型 7】含参数二次函数与x轴交点综合讨论 9 四.同步检测 9 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 10 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 13 一.知识梳理解读 【知识点一】二次函数与一元二次方程的核心关系 对于二次函数 y=ax²+bx+c(a≠0)，当函数值 y=0 时，对应的等式即为一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0)。 抛物线 y=ax²+bx+c 与 x 轴交点的横坐标，就是对应一元二次方程 ax²+bx+c=0 的实数根，二者一一对应。 通过根的判别式 Δ=b²-4ac，可判断抛物线与x轴交点个数及方程根的情况，具体对应关系如下： 判别式Δ=b²-4ac 抛物线与x轴交点个数 一元二次方程根的情况 Δ＞0 2个不重合交点 两个不相等的实数根 Δ=0 1个交点（顶点在x轴上） 两个相等的实数根（重根） Δ＜0 无交点 无实数根 补充：Δ=0时，抛物线顶点横坐标即为一元二次方程的重根。 【知识点二】利用二次函数图象求方程近似根 1. 核心原理：一元二次方程 ax²+bx+c=0 的根，是抛物线 y=ax²+bx+c 与x轴交点的横坐标。 2. 求解步骤： （1）绘制二次函数 y=ax²+bx+c 的完整图象； （2）确定图象与x轴交点所在的相邻整数区间； （3）在区间内取值计算对应函数值，缩小零点范围； （4）根据函数值正负交替规律，得到方程的近似实数根。 注意：图象法仅能求出近似根，精确根需通过求根公式计算。 【知识点三】二次函数与一元二次不等式 结合二次函数图象，可快速求解一元二次不等式解集，核心依据：图象在x轴上方对应y＞0，图象在x轴下方对应y＜0。默认a＞0（开口向上），设方程ax²+bx+c=0的两根为x₁、x₂（x₁＜x₂）。 1. Δ＞0，方程有两个不等实根： ax²+bx+c＞0 解集：x＜x₁ 或 x＞x₂； ax²+bx+c＜0 解集：x₁＜x＜x₂。 2. Δ=0，方程有两个相等实根： ax²+bx+c＞0 解集：x≠x₁； ax²+bx+c＜0 无解。 3. Δ＜0，方程无实数根： ax²+bx+c＞0 解集：全体实数； ax²+bx+c＜0 无解。 补充：若a＜0（开口向下），可先将二次项系数化为正数，再求解集，同时注意不等号方向改变。 【知识点四】竖直上抛运动实际模型 课本标准简化公式： 其中：v₀为抛出初速度，t为运动时间（单位：s），h为物体离地高度（单位：m）。 解题应用：令h=0，解方程可求出物体落地时间；结合二次函数最值，可求最大上升高度。 【知识点五】高频易错点总结 1. 抛物线与x轴交点对应方程的根，与y轴交点(0，c)不是方程的根； 2. 图象法求出的方程根为近似值，精确计算必须使用求根公式； 3. 解一元二次不等式时，必须结合抛物线开口方向判断解集，避免出错； 4. 抛物线与x轴有公共点的前提是Δ≥0，不可遗漏Δ=0的情况。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】判断抛物线与x轴的交点个数 【例题1】（24-25九年级上·浙江湖州·期中）已知抛物线经过点． （1）求该抛物线的解析式； （2）判断该抛物线与轴的交点个数，并说明理由． 【变式1】（25-26九年级上·广东中山·期中）抛物线的图象与x轴的交点个数是（    ） A．无交点 B．一个交点 C．两个交点 D．三个交点 【变式2】（九年级数学期末考前必刷卷01-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版））抛物线与坐标轴的交点个数是___________． 【变式3】（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）已知抛物线的解析式为（为常数） （1）当时，求抛物线与轴的两个交点分别为和之间的距离； （2）求证：抛物线与轴必有两个交点． 【题型 2】根据交点个数求参数的值 【例题2】（25-26九年级上·广西崇左·期中）已知二次函数． （1）当时，求函数图象与x轴的交点坐标． （2）若该函数图象与x轴没有交点，求实数a的取值范围． 【变式1】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知二次函数与x轴无交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）已知二次函数的图象与轴有两个不同的交点，的取值范围是___________． 【变式3】（25-26九年级上·北京石景山·期中）已知二次函数． （1）求此二次函数的对称轴  （用含的字母表示） （2）若二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，求的取值范围 （3）选取一个你喜欢的值，求此二次函数图象与轴的交点． 【题型 3】利用图象求一元二次方程近似根 【例题3】（2025九年级上·北京·专题练习）利用函数图像求一元二次方程的近似解（精确到）． 【变式1】（2025九年级上·北京·专题练习）已知二次函数（，，，为常数）的与的部分对应值如表： 判断方程的一个解的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·山西吕梁·期末）小亮利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的实数根为________（结果保留小数点后一位）． 【变式3】（25-26九年级上·全国·单元测试）利用函数图象求出一元二次方程的近似根，也可以在同一平面直角坐标系中画出函数和的图象，根据两个图象交点的横坐标找出一元二次方程的近似根，请试一试． 【题型 4】竖直上抛运动基础应用 【例题4】（25-26九年级上·天津和平·阶段检测）掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着陆的过程中，水平距离x（单位：）近似满足函数关系，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/ 0 2 m 6 8 竖直距离y/ 1.67 2.63 2.95 2.63 n （1）填空：______，______； （2）填空：实心球竖直高度的最大值为______； （3）求出满足的函数关系． 【变式1】（2026·四川成都·二模）从地面竖直向上射出一小球，若小球离地面的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式为，则下列说法中，错误的是（   ） A．小球运动时间为时的高度是 B．小球运动时间为时的高度和时的高度相等 C．小球离地面的最大高度是 D．小球从射出到落地需要s 【变式2】（24-25九年级上·贵州遵义·期中）根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10米/秒的速度竖直上抛（如图所示），那么物体离地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）的函数关系为：．根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间t为______秒． 【变式3】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）在体育课上，男生进行实心球投掷训练，实心球离手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，实心球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系： 水平距离x/m 0 2 3 4 5 竖直距离y/m （1）小强进行训练时，抛实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如上：根据上述数据，直接写出小强抛出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系 （2）小强改变了抛掷姿势，经多次训练后，实心球抛出的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．已知中考实心球的成绩满分标准是抛掷着陆时的水平距离至少为10米，若小强要获得满分，求a的取值范围． 三.题型精析（综合提升） 【题型 5】二次函数与一元二次不等式求解 【例题5】（25-26九年级上·广西玉林·期中）已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）根据函数图象完成以下问题： ①当时，的取值范围为_____； ②当时，的取值范围为_____． 【变式1】（2026·江苏苏州·三模）如图，反比例函数的图象和二次函数图象交于点，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 【变式2】（2025九年级·江苏无锡·竞赛）如图，已知二次函数的图像与一次函数的图像相交于，两点，则关于x的不等式的解集是______． 【变式3】（2026·江苏南京·模拟预测）已知二次函数的图象为C． （1）图象C必过两定点，其坐标分别是______和______； （2）记一次函数的图象为D，证明：图象C与D有两个公共点； （3）在（2）的条件下，当时，比较与的大小，直接写出结果． 【题型 6】抛物线与直线交点问题 【例题6】（25-26九年级上·甘肃平凉·阶段检测）方程与不等式揭示了数学中最基本的数量关系，函数则研究变量间的关系，借助函数可以认识方程与不等式.观察表格： … 0 1 2 3 … … 1 4 7 10 … … 0 4 3 0 … （1）【数学观察】根据表中信息填空：______； （2）【实践操作】在如图所示的平面直角坐标系中（每个小正方形网格的边长为1），已经画出了一次函数的图象，请你在同一坐标系中画出二次函数的图象； （3）【独立思考】 ①二次函数与一次函数图象的交点坐标是______； ②方程的解为______； （4）【归纳总结】若二次函数的图象与一次函数的图象相交，则交点的______坐标可以看成关于的方程的解； （5）【巩固应用】若二次函数的图象与一次函数的图象只有一个交点，则关于的方程的解是______．（直接写出结果） 【变式1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）二次函数的图象与一次函数的图象在第一象限的交点坐标为（    ） A． B． C． D．或 【变式2】（24-25九年级上·广东珠海·期中）一次函数与二次函数的图象的交点坐标是_______ 【变式3】（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数，一次函数 （1）求函数与的交点坐标； （2）自变量x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值． 【题型 7】含参数二次函数与x轴交点综合讨论 【例题7】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数（为常数）的图象与轴交于，两点，顶点为． （1）若把二次函数图象向下平移3个单位恰好过原点，求的值． （2）①若，在已知的二次函数图象上，比较，的大小； ②求的面积． 【变式1】（2026·贵州黔东南·一模）小明在学习二次函数知识的时候，发现二次函数图象和一次函数图像的交点个数有3种情况：有2个交点，有1个交点和没有交点，带着这样的结果，小明提问：若过定点的一次函数与二次函数的图象有2个交点，则的取值范围是（） A．，且 B． C． D．或 【变式2】（25-26九年级上·河北沧州·期末）若二次函数（m是常数）的图象与其向下平移个单位长度所得的图象都与x轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则n的值为________ 【变式3】（2025·浙江丽水·模拟预测）在平面直角坐标系中，设二次函数，其中． （1）若函数的图象经过点，求函数的表达式； （2）若一次函数的图象与的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式； （3）已知点和在函数的图象上，若，求的取值范围． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·山东淄博·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的个数（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）抛物线与轴交点坐标是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽六安·二模）已知反比例函数与二次函数的图象交点的纵坐标为3，则的值为（    ） A．6 B． C．2 D． 4．（2026·江苏南京·二模）函数（m为常数）的图象与x轴公共点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 5．（2025九年级上·广西南宁·专题练习）已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 6．（25-26九年级上·广西南宁·期中）二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 7．（25-26九年级上·天津武清·阶段检测）点都在抛物线上．若，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 8．（2025·陕西西安·模拟预测）抛物线，顶点纵坐标为．若有且只有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．或 9．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，抛物线的顶点的坐标为．现有下列结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数为（     ） A． B． C． D． 10．（2026·山西阳泉·模拟预测）已知二次函数的自变量x与函数值y的几组对应值如下表： x 0 1 5 y 0 5 9 8 5 则下列关于该二次函数的说法正确的是（    ） A．图象开口向上 B．当时，y的取值范围为 C．一元二次方程有两个相等的实数根 D．图象的对称轴是直线 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·广东深圳·三模）已知二次函数（是常数）的图象与轴有两个不同的交点，则的值可以是______．（写出一个即可） 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的部分图象如图所示，顶点坐标为，由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是，______． 13．（2026年5月福建省漳州市龙海区浮宫中学九年级练习试卷），为方程的两个实数根，则k的取值范围为_____． 14．（2026·上海黄浦·二模）已知抛物线，将其向右平移n个单位，使平移后所得的抛物线与坐标轴恰好只有两个公共点，那么n的值是______． 15．（2026·上海虹口·一模）对于某个函数，如果当时，函数值，那么我们称（）为此函数的“反点”．例如函数，因为当时，所以为此函数的“反点”．二次函数的“反点”是___________． 16．（2025·吉林长春·模拟预测）已知抛物线（a是常数，且）．当直线与抛物线有两个交点A、B，且时，则a的取值范围为______． 17．（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，若，则点C的坐标是________ ． 18．（2026·四川广安·二模）如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点、，且点在轴上，点在轴上，则关于的不等式的解集为___． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2026·河南周口·一模）已知二次函数： （1）求证：该二次函数的图象与轴总有两个不同的交点； （2）若该二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且的面积为，求的值． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·广东东莞·阶段检测）已知抛物线． （1）求出它的顶点坐标和对称轴； （2）若抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长． 21．（本小题满分10分）（2026·广东清远·三模）某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． （1）求水柱所在抛物线的函数表达式； （2）求水柱落地点与雕塑的水平距离． 22．（本小题满分10分）（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）抛物线 如图所示，回答下列问题 （1）方程的解是___________； （2）关于的不等式的解集是___________； （3）当时，y的取值范围是___________； （4）若关于的方程的两个实数根异号，则t的取值范围是___________． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示．根据图象填空： （1）该函数图象的对称轴是______； （2）二次函数图象与x轴的交点坐标为_______； （3）b_____0，c____0， ____0；（填>、<或=） （4）当时，x的取值范围是______ 24．（本小题满分12分）（24-25九年级下·山东日照·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为． （1）求抛物线解析式及点坐标； （2）若点为轴下方抛物线上一动点，连接、、，当点运动到某一位置时，四边形面积最大，求此时点的坐标及四边形的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $