专题 2.5 一元二次方程全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学一元二次方程复习讲义通过知识框架图系统梳理全章内容，涵盖基础概念、四大解法、根的判别式、韦达定理、实际应用及高频易错点六大知识点，以核心要点标注和内在逻辑关联呈现知识脉络，突出根的判别式、韦达定理等重难点。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础的方程定义与参数取值到中档的根的判别式含参问题，再到压轴的几何面积问题，如增长率模型应用题培养模型意识，韦达定理整体求值题发展推理能力。同步检测分选择、填空、解答题，适配不同层次学生自主复习，助力教师实施精准教学。

专题 2.5 一元二次方程全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】一元二次方程基础概念 1 【知识点二】一元二次方程四大解法 2 【知识点三】根的判别式（考点核心） 2 【知识点四】根与系数的关系（韦达定理） 3 【知识点五】一元二次方程实际应用（六大步骤） 3 【知识点六】全章高频易错汇总 3 二.题型精析 3 【题型 1】一元二次方程的定义与参数取值 4 【题型 2】选择合适方法解一元二次方程（基础必考） 5 【题型 3】用指定方法解一元二次方程（基础必考） 9 【题型 4】根的判别式含参问题（中档高频） 12 【题型 5】韦达定理整体求值（核心难点） 14 【题型 6】已知一根求参数与另一根 17 【题型 7】增长率问题（应用题必考） 20 【题型 8】销售利润综合问题 22 【题型 9】几何面积压轴题 25 三.同步检测 29 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 29 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 34 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 37 一.知识梳理解读 【知识点一】一元二次方程基础概念 1. 定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程。 三大判定条件：①整式方程；②只含一个未知数；③化简后二次项系数不为0。 2. 一般形式：，其中：二次项，：二次项系数；：一次项，：一次项系数；：常数项。 核心易错：必须先化为一般式，确定系数时包含正负号；是方程为一元二次方程的核心前提。 3. 方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的根（解）。将根代入方程，等式恒成立，可用于求参数、验证解的正确性。 【知识点二】一元二次方程四大解法 1. 直接开平方法（最简） 适用形式：，直接开平方得 。若，方程无实数根。 2. 因式分解法（最快，中考首选） 适用形式：方程可整理为 ，则 或 。 常用方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法。 解题步骤：移项（右边化为0）→因式分解→降次求解。 3. 配方法（基础工具） 核心目的：将 配方为完全平方式，是推导求根公式的基础。 步骤：化二次项系数为1→移常数项→两边加一次项系数一半的平方→配方开方求解。 4. 公式法（万能解法） 求根公式： 适用所有有实数根的一元二次方程，无特殊结构时优先使用。 【知识点三】根的判别式（考点核心） 记 ，仅适用于一元二次方程 ： 1. ：方程有两个不相等的实数根； 2. ：方程有两个相等的实数根； 3. ：方程无实数根。 必考陷阱：题目说明“有两个实数根”，需同时满足 且 。 【知识点四】根与系数的关系（韦达定理） 若 两根为 且 ，则： 二次项系数为1时：，。 高频变形：， 【知识点五】一元二次方程实际应用（六大步骤） 解题流程：审→设→列→解→验→答 四大必考模型： 1. 几何模型：面积、周长、勾股定理、动点面积； 2. 利润模型：总利润=单件利润×销量； 3. 增长率模型：； 4. 计数传播模型：握手、分支、病毒传播问题。 【知识点六】全章高频易错汇总 1. 忽略 ，误将二次项系数为0的方程判定为一元二次方程； 2. 判别式、韦达定理使用前不验证 ； 3. 韦达定理两根和遗漏负号，读取系数忽略正负； 4. 应用题不解方程直接作答、不检验实际意义，保留负数根； 5. 配方法忘记二次项系数化为1，配方时常数项计算错误。 二.题型精析 【题型 1】一元二次方程的定义与参数取值 【例题1】（25-26九年级下·北京·开学考试）已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】11 【分析】将代入方程中，得，再化简，得到，最后代入数值6，即可求解． 解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， ， ， ， ． 【变式1】（25-26八年级下·山东济南·期末）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 解：选项A：，是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为， 满足一元二次方程的所有条件，正确； 选项B：含有两个未知数，不满足定义，错误； 选项C：分母含有未知数，不是整式方程，不满足定义，错误； 选项D：未知数的最高次数为，不满足定义，错误. 【变式2】（25-26八年级下·安徽阜阳·阶段检测）若关于的方程是一元二次方程，则________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列方程与不等式求解即可． 解：∵关于的方程是一元二次方程 ∴ 由得：或 解得或 由，∴ ∴． 【变式3】（24-25八年级下·全国·单元测试）试说明：不论为何值，关于的方程总为一元二次方程． 【答案】见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，配方法的应用，由题意利用配方法把二次项系数变形，根据非负数的性质得到，再由一元二次方程的定义证明结论即可，掌握一元二次方程的定义、完全平方公式是解题的关键． 解：∵， ∴， ∴， ∴关于的方程总为一元二次方程． 【题型 2】选择合适方法解一元二次方程（基础必考） 【例题2】（23-24八年级下·广西·阶段检测）选择适当方法解下列方程： （1）x2+4x+3＝0； （2）2x2+3x﹣5＝0． 【答案】（1）x1＝﹣1，x2＝﹣3；（2）x1＝1，x2＝﹣2.5 【分析】（1）方程利用因式分解法求出解即可； （2）方程利用因式分解法求出解即可． （1）解：方程x2+4x+3＝0， 分解因式得：（x+1）（x+3）＝0， 所以x+1＝0或x+3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3； （2）解：2x2+3x﹣5＝0 分解因式得：（2x+5）（x﹣1）＝0， 所以2x+5＝0或x﹣1＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣2.5． 【点拨】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 【变式1】（24-25八年级下·北京西城·期中）用适当方法求解如下关于x的一元二次方程： （1）x2+2x+1＝4； （2）x2+10x+16＝0； （3）． 【答案】（1）x1=1，x2=-3；（2）x1=-2，x2=-8；（3）x1=，x2= 【分析】（1）方程利用因式分解法求解； （2）方程利用因式分解法求解； （3）方程利用公式法求解． 【小题1】解：， ∴， ∴， 解得：x1=1，x2=-3； 【小题2】， ∴， 解得：x1=-2，x2=-8； 【小题3】， ∴a=1，b=，c=， ∴， ∴x=， 解得：x1=，x2=． 【点拨】本题考查的是解一元二次方程，对本题的方程选择适当的解题方法． 【变式2】（25-26九年级上·北京东城·期中）用适当的方法解下列方程 （1） （2） （3）． 【答案】（1），；（2），；（3）， 【分析】（1）利用直接开方法求解即可； （2）利用求根公式法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可． （1）解：， ， ， ，； （2）解：， ， ， ，； （3）解： ， 移项，得， 对提取公因式，变形为， 提取公因式，得， 则或， 解得， 【变式3】（25-26八年级下·山东泰安·期末）用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1）；（2），；（3）；（4） 【分析】利用直接开平方法解答即可； 利用公式法解答即可； 把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； 把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可． （1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，，， ∵， ∴， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴或， ∴，； （4）解：方程整理成一般式为 ， ∴， ∴或， ∴． 【题型 3】用指定方法解一元二次方程（基础必考） 【例题3】（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）用指定的方法解下列方程： （1）（因式分解法） （2）（公式法） 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）根据题目要求用因式分解法解方程即可； （2）根据题目要求用公式法解方程即可． （1）解：， 二次项系数化为1，得， 因式分解，得， 解得：，； （2）解：， ∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根  ， ∴  ， 解得：，． 【变式1】（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）解方程 （1）；（配方法） （2）；（公式法） 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）把方程化为：，可得，再进一步解方程即可； （2）先求解，再利用公式法解方程即可． （1）解：， 移项得：， 配方得：，即， 开方得：， ∴，； （2）解：，即， ∴，，， ∴， ∴， 即，． 【变式2】（25-26八年级下·山东泰安·期末）解方程 （1）；（公式法） （2）．（配方法） 【答案】（1），．；（2），． （1）解： 整理得，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． （2）解： ， ， ， ， ∴，． 【变式3】（24-25九年级上·重庆南岸·开学考试）用指定方法解下列一元二次方程： （1）（配方法） （2）（公式法） （3）（因式分解法） （4）（十字相乘法） 【答案】（1），；（2），；（3），；（4），． 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，公式法，以及直接开方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． （1）把常数项4移项后，再在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方，再进行计算即可． （2）找出，，的值，计算出根的判别式大于0，代入求根公式即可求出解； （3）方程移项后，提取公因式，因式分解得到，然后解两个一元一次方程即可； （4）把方程左边进行因式分解得到，然后解两个一元一次方程即可． 解：（1）， ， ， ， ， ，； （2）， ，，，， ， ，； （3）， ， ， ， ， 或， ，； （4）． ， 或， ，． 【题型 4】根的判别式含参问题（中档高频） 【例题4】（25-26八年级下·安徽滁州·期末）设是实数，已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程的两根都大于，求的取值范围． 【答案】（1）证明：， 该方程总有两个实数根；（2） 【分析】（1）求出根的判别式即可证明结论成立； （2）先用因式分解法求出方程的根，再根据方程的两根都大于列不等式组求解即可． 解：（1）略； （2）解：由得， 或， ，． 方程的两根都大于， ， 解得， 的取值范围是． 【变式1】（25-26八年级下·广西百色·期末）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于一元二次方程 ，当 时，方程有两个不相等的实数根，分别计算各选项的判别式即可判断． 解：A 选项：对于方程 ，， 方程有两个相等的实数根，不符合要求； B 选项：对于方程 ，， 方程有两个不相等的实数根，符合要求； C 选项：对于方程 ，， 方程没有实数根，不符合要求； D 选项：对于方程 ，， 方程有两个相等的实数根，不符合要求． 【变式2】（2026·江苏盐城·模拟预测）二次函数的图象与一次函数的图象至少有一个交点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】将两个函数图象至少有一个交点的问题，转化为联立两个函数解析式得到的一元二次方程有实数根，利用一元二次方程根的判别式的性质求解即可. 解：联立两个函数的解析式得 ， 整理，得， ∵两个图象至少有一个交点， ∴该一元二次方程有实数根， ∴， 解得. 【变式3】（25-26八年级下·吉林·期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：该一元二次方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为，求的值及方程的另一个根． 【答案】（1）解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数满足 ，即 ， 且， 化简得， ∵， ∴， ∴该一元二次方程总有两个实数根； （2），方程的另一个根为 【分析】（1）首先明确一元二次方程的前提是二次项系数不为0，因为方程是一元二次方程，所以先确定k的取值限制，再计算根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况； （2）如果已知方程的一个根，那么把该根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解得到的值；再将代回原方程，可通过因式分解计算另一个根． 解：（1）见答案 （2）将已知根 代入原方程：， 化简得：， 解得 ， 将 代入原方程整理得： ， 解得，， ∴方程的另一个根为． 【题型 5】韦达定理整体求值（核心难点） 【例题5】（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等实数根，则判别式，代入系数解不等式得到的范围； （2）先由一元二次方程根与系数关系写出两根和、两根积，展开进行代换，得到关于的一元二次方程，求出解后结合第（1）问的取值范围舍去不符合的解． （1）解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； （2）解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 ，． ， ， 整理，得， 解得或． 又， ． 【变式1】（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（     ） A．14 B． C． D．10 【答案】A 解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，是方程的两根， ∴由根与系数的关系得， ∴原式． 【变式2】（25-26八年级下·北京·阶段检测）已知m、n是方程的两个根，代数式的值为________；的值为________． 【答案】 【分析】对于第一空 ，根据单项式乘以多项式的运算法则和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，根据方程的解的定义推出，再由可得答案；对于第二空，由根与系数的关系得到，再根据完全平方公式的变形求解即可． 解： ， ∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴； ∵m、n是方程的两个根， ∴， ∴ ． 【变式3】（25-26八年级下·山东威海·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）若该方程的一个实数根为1，求另一个实数根； （2）若，是该方程的两个根，且，求的值． 【答案】（1）另一个实数根为；（2）或 【分析】（1）设该方程的另一个实数根为m，由根与系数的关系得到，解方程组即可得到答案； （2）由根与系数的关系得到，根据完全平方公式的变形得到，即，解方程即可得到答案． （1）解：设该方程的另一个实数根为m， 由根与系数的关系得， 解得， ∴另一个实数根为； （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或； 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 综上所述，a的值为或． 【题型 6】已知一根求参数与另一根 【例题6】（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求a的取值范围． （2）若方程的一个根是另一个根的两倍，求a的值． 【答案】（1）且；（2） 【分析】（1）根据一元二次方程的定义及根的判别式列出不等式，求解即可； （2）设方程的两个不相等的实数根为，，则，，可求出，，根据列出关于a的方程，求解即可． （1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 且． （2）解：设方程的两个不相等的实数根为，， ∵方程的一个根是另一个根的两倍， ∴不妨设， ， ∴， ， ∴， ， ， 解得， 经检验，是该分式方程的解． 【变式1】（2026·河南三门峡·三模）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则方程的另一个根为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 解：设方程的另一个根为， ∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 解得：． 【变式2】（2026·河北·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． 【答案】 【分析】设方程的两根分别为和，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，先求解的值，再计算，最后验证原方程满足有两个实数根的条件即可． 解：设一元二次方程的两根分别为，． 根据根与系数的关系可得，． 整理得．变形得． 解得． 将代入得． 验证判别式：，符合题意． 【变式3】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程，有两个不相等的实数根分别为，． （1）求m的取值范围； （2）若方程的一个根，求m的值及方程的另一个根； （3）若满足，求m的值． 【答案】（1）且；（2），；（3） 【分析】（1）结合根的判别式计算即可； （2）根据根与系数的关系解题； （3）根据根与系数的关系解题． （1）解：由题意知，且， ∴且； 即且， 解得且； （2）解：方程的一个根为， 则， 解得， ∴原方程为， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ， ∵，， ∴， 解得：或， ∵且， ∴． 【题型 7】增长率问题（应用题必考） 【例题7】（25-26八年级下·江苏南通·期末）某商场响应国家消费品“以旧换新”的号召，开展了家电惠民补贴活动，4月份投入资金20万元，6月份投入资金万元． （1）求该商场投入资金的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计该商场7月份投入资金将达到多少万元？ 【答案】（1）该商场投入资金的月平均增长率为；（2）预计该商场7月份投入资金将达到万元 【分析】（1）先设该商场投入资金的月平均增长率为x，根据4月份和6月份的投入资金列出一元二次方程，舍去不符合实际的负根得到增长率； （2）利用增长率计算7月份的投入资金即可． （1）解：设该商场投入资金的月平均增长率为x， 依题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该商场投入资金的月平均增长率为； （2）解：由（1）得月平均增长率为， ∴7月份投入资金为：（万元）， 答：预计该商场7月份投入资金将达到万元． 【变式1】（25-26八年级下·山东济南·期末）随着环保意识的增强和技术的进步，某品牌的电动汽车逐渐成为消费者的新宠，某销售商的该品牌电动汽车今年月份的销量为辆，由于国补政策的连月升温，月份的销量比月份增加了辆．设每个月销量的平均增长率为，则下列方程正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平均增长率表示出月份的销量，结合题目中月份销量与月份销量的关系列出方程，即可得到正确选项． 解：设每个月销量的平均增长率为， 月份销量为辆， 月份销量为辆， 月份销量为辆， 又月份销量比月份增加辆，即月份销量为辆， 可得方程． 【变式2】（2026·吉林延边·二模）据统计延边州2023年国内游客数量为2646万人次，2025年国内游客数量7813万人次．设这两年延边州国内游客数量的平均增长率为，根据题意，可列方程为________． 【答案】 【分析】根据平均增长率的增长规律，结合已知两年的游客数量，列出对应方程即可． 解：设这两年延边州国内游客数量的平均增长率为， 由于2023年国内游客数量为万人次， 则2024年国内游客数量为万人次， 2025年国内游客数量为万人次， 因此，可列方程为：． 【变式3】（2026·湖南娄底·一模）2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国在机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元． （1）求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率； （2）该市2026年机器人产业总产值的目标是600亿元，若按照这个年平均增长率增长，该市能否实现目标？ 【答案】（1）这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为；（2）不能实现目标． 【分析】（1）设年平均增长率为x，根据2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元．列出方程求解，并取符合实际的值即可； （2）按照这个年平均增长率增长，即可求出该市2026年机器人产业总产值，比较即可解答． （1）解：设年平均增长率为x，根据题意得，， 解得或（舍去）， 答：这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为； （2）解：按照这个年平均增长率增长，该市2026年机器人产业总产值为（亿元）亿元， 答：不能实现目标． 【题型 8】销售利润综合问题 【例题8】（25-26八年级下·陕西西安·期末）西安市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． （1）该品牌头盔销售量的月增长率是______； （2）若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应上涨多少钱？ 【答案】（1）；（2）该品牌头盔每个售价应上涨10元 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润=（售价−进价）×销售量列出方程求解即可． （1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意得， 整理得， 解得，， 因为尽可能让顾客得到实惠， 所以不合题意，舍去． 所以，元． 答：该品牌头盔每个售价应上涨10元． 【变式1】（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）某商场销售一款上衣，每件上衣的进价为元，当售价为每件元时，平均每天可售出件．经调查发现，如果每件上衣降价元，平均每天可多售出件．如果商场平均每天想要盈利元，那么每件上衣的售价应为多少元？小安假设“每件上衣的售价为元”，小溪假设“每件上衣应降价元”，下列说法正确的是（   ）． A．按小安的设元方法，则该商场平均每天可售出件上衣 B．按小溪的设元方法，则该商场平均每天可售出件 C．按小安的设元方法，应列方程为 D．按小溪的设元方法，应列方程为 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的销售利润问题应用，解题关键是根据不同设元方法，结合题意表示出每件利润和总销量，再根据总盈利每件利润总销量，逐一判断选项． 解：选项A，按小安的设元方法，每件售价元，降价元，则该商场平均每天可售出件上衣，故选项A错误，不符合题意； 选项B，按小溪的设元方法，每件上衣应降价元，则该商场平均每天可售出件，故选项B错误，不符合题意； 选项C，按小安的设元方法，应列方程为，即，故选项C错误，不符合题意； 选项D，按小溪的设元方法，应列方程为，即，故选项D正确，符合题意． 【变式2】（2024·山东潍坊·三模）在过去的年，直播电商一词，我们并不陌生．原本以内容为主的视频平台在入局电商后，大力开拓直播带货模式，并实现高速增长．某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为__________元． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设售价应定为元，按每件元销售，每天可卖出件，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件列出等式解答即可． 解：设售价应定为元，则每件的利润为元，日销售量为件， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 故商家想尽快销售完该款商品，售价应定为元． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·重庆·期末）重庆市江津区有“中国花椒之乡”美誉，江津九叶青花椒为当地特色农产品． （1）某农户计划采摘120斤鲜花椒，实际每小时采摘量是原计划的1.2倍，并提前1小时完成采摘，求该农户原计划每小时采摘花椒多少斤？ （2）某加工厂加工销售精品干花椒，每斤成本为25元，当售价为每斤50元时，日均售出200斤；市场调研发现，售价每上涨1元，日均少卖5斤，若要每日获利5250元，且让销量更高，则花椒售价应每斤涨价多少元？ 【答案】（1）该农户原计划每小时采摘花椒斤；（2）花椒售价应每斤涨价元 【分析】（1）设该农户原计划每小时采摘花椒x斤，则实际每小时采摘花椒斤，根据题意列分式方程求解即可； （2）设花椒售价应每斤涨价y元，根据题意列一元二次方程求解即可． （1）解：设该农户原计划每小时采摘花椒x斤，则实际每小时采摘花椒斤， 根据题意，得 解得 经检验，是所列方程的解且符合题意， 答：该农户原计划每小时采摘花椒20斤； （2）解：设花椒售价应每斤涨价y元， 根据题意，得 解得，， ∵要让销量更高， ∴， 答：花椒售价应每斤涨价5元． 【题型 9】几何面积压轴题 【例题9】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）小西家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为米的门，门不消耗木栏，设长为米． （1）如图①，当时， ①___________米（用含的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为平方米，求的长． （2）如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到平方米？请说明理由． 【答案】（1）①；②米；（2）养蜂场的面积不能达到平方米．理由如下： 假设养蜂场的面积可以达到平方米， ∵长为米， ∴， 依题意，得：， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不正确，即养蜂场的面积不能达到平方米． 【分析】（1）①利用“的长的长木栏总长门的宽度的长”，可用含的代数式表示出的长； ②根据“围成的养蜂场面积为平方米”可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合，即可确定结论； （2）假设养蜂场的面积可以达到平方米，由长为米，可得出长为米，根据“围成的养蜂场面积为平方米”可列出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不正确． （1）解：①依题意，得：（米）； ②依题意，得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， ∴的长为米； （2）略． 【变式1】（2026·湖北武汉·中考真题）对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】仿照题中方法，构造一个面积为的正方形，向外构造四个面积为的矩形，得出四个小正方形的边长为，根据大正方形的面积为得出大正方形的边长为，进而求出方程的正数解即可． 解：如图2，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形， ∴四个小正方形的边长为， ∵大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴方程的正数解是． 【变式2】（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，若建成的饲养室面积为．求垂直于墙的一边长为多少？设垂直于墙的一边长为，可列方程为______． 【答案】或 【分析】设垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为，根据矩形的面积公式列出方程即可． 解：设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， ∵建成的饲养室面积为， ∴或． 【变式3】（25-26八年级下·安徽宣城·期末）五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．    问题解决： （1）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． （2）若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ （3）若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 【答案】（1）路面设置的宽度符合要求；（2）从购买草莓客户的角度应该降价元；（3）该合作社不能实现每月60万元的预期目标 【分析】（1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值，再对照的取值范围，即可得出结论； （2）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润=销售利润−承包费，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． （3）假设该专业合作社能实现每月总利润60万元的预期目标，根据（2）的总利润方程式得到，解方程即可． （1）解：根据题意得， 整理得， 解得， 当时，（不符合题意，舍去）， 故 ， 路面设置的宽度符合要求； （2）解：设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓， 根据题意得， 整理得， 解得，， 又 要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调元． （3）解：根据题意得， 整理得 则 ∴方程在实数范围内无解 该合作社不能实现每月60万元的预期目标． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·北京平谷·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将已知根代入方程求出的可能取值，再结合一元二次方程的定义，即二次项系数不为0，舍去不符合条件的解，得到的正确值． 解：∵是一元二次方程的根， ∴把代入方程得， 解得或， 又∵该方程是一元二次方程， ∴二次项系数满足，即， ∴． 2．（2026·河南平顶山·三模）下列方程中，无实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：A、∵，解得； B、，解得； C、，解得，； D、，，故方程无实数根． 3．（25-26八年级下·山东威海·期末）将一元二次方程配方后变形为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】D 解：∵方程两边同时加得， 整理为完全平方形式得， 对比，可得． 4．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，只需计算根的判别式的值与0的大小关系即可判断方程根的情况． 解：对于一元二次方程 可得 ，，， ， ∴ 方程有两个不相等的实数根 5．（25-26九年级下·江西九江·期中）已知一元二次方程有一个根是1，则另一个根是（   ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的根，根据方程根的定义，将已知根代入原方程求出的值，再将代回原方程求解，即可得到另一个根，解题需注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件. 解：∵一元二次方程有一个根是 ∴将代入原方程得， 化简得，即，解得. ∵原方程是一元二次方程， ∴二次项系数， 满足该条件，符合要求. 将代入原方程，得， 提取公因式得解得， ∴方程的另一个根是. 故选：D. 6．（25-26九年级上·河南开封·期末）方程的解为（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，掌握一元二次方程的解法是解题的关键．可通过因式分解法解方程，注意不能直接约去含未知数的因式，避免漏根． 解：， ， ， 或， ，． 7．（2026·河南平顶山·三模）定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的值不能是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】转化为一元二次方程，根据，求解即可； 解：∵，∴化为一般式为． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 8．（2026·河北邯郸·三模）关于的方程有实数根，则的取值范围为（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】分为和两类讨论，结合根的判别式求出的取值范围． 解：①当时，该方程为关于的一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴， 解得， ∴且； ②当时，该方程为关于的一元一次方程， 原方程为，有实数根，符合题意； 综上所述，的取值范围为． 9．（25-26八年级下·广西贺州·期末）某市古镇推广文旅活动，2024年接待游客10万人次，预计2026年接待游客12.1万人次，若这两年游客数量年平均增长率相同．设年平均增长率为x，列方程得（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据年均增长率的计算规则，结合经过的年数即可列出正确方程． 解：∵2024年接待游客10万人次，年平均增长率为， ∴2025年接待游客人次为， ∴2026年接待游客人次为， 又∵预计2026年接待游客12.1万人次， ∴可列方程为． 10．（25-26九年级下·河南南阳·开学考试）按照如图所示的计算程序，若，则关于x的方程的根的情况是（   ） A．方程有两个相等实数根 B．方程没有实数根 C．方程有两个不相等的实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】先根据如图所示的程序计算出时，输出的b值，再代入方程，然后根据根的判别式解答即可． 解：当时，， ∴， ∴方程为，即， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）请写出一个关于的一元二次方程，满足一根为2，另一根为，则这个方程可能是____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】已知一元二次方程的两个根，可利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再构造满足条件的一元二次方程即可． 解：设该一元二次方程的两根为，，取二次项系数为， 根据根与系数的关系可得： ，， ∴这个方程可能是，（答案不唯一，只要满足条件即可） 12．（25-26八年级下·山东淄博·期中）方程的较小实数根为_____． 【答案】/ 【分析】对方程两边开平方得到两个一元一次方程，求解得到方程的两个根，比较根的大小即可得到较小实数根． 解：对方程两边直接开平方，得 ， 即或， 解得，， ， 方程的较小实数根为． 13．（25-26九年级上·陕西·期末）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为_______． 【答案】14 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先利用配方法将一元二次方程化为，从而得到的值即可． 解：， ， ， ， ． 故答案为：． 14．（25-26八年级下·浙江台州·期末）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，结合一元二次方程根的判别式求解参数的值． 解：方程是关于的一元二次方程， ． 方程有两个相等的实数根， ， 变形得， 解得或， 又， ． 15．（25-26八年级下·北京·期末）若，是方程的两根，则的值为________． 【答案】 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到的值，再根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之积的值，最后代入所求代数式计算即可得到结果． 解：是方程的根， ， 整理得， 又，是方程的两根， 根据根与系数的关系可得， 将，代入代数式得． 16．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的方程的解都是整数，求整数的值为_____． 【答案】，，， 【分析】用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论求解． 解：当时，原方程为，解得，符合题意； 当时，原方程为，解得，符合题意； 当且时，原方程化为，解得，． 为整数，且，均为整数根， ，，，，得，，，，，，， 且，，，得，，，，． 综上所述，当的值为，，，时，原方程的根都为整数． 17．（25-26八年级下·浙江台州·期中）某手工制作的等腰直角三角形纸板，其斜边上的中线长为一元二次方程的根，且中线长大于2，则该纸板的直角边长为_______． 【答案】 【分析】先解给定的一元二次方程，根据中线长的条件确定斜边上中线的长度，再利用等腰直角三角形的性质得到斜边长度，最后结合勾股定理计算得到直角边长． 解：解一元二次方程， 因式分解得， 解得，， 由题意得中线长大于， 因此斜边上的中线长为， 根据等腰直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，可得斜边长为， 设该纸板的直角边长为， 根据勾股定理得， 整理得，即， 因为边长为正数， 所以． 18．（24-25九年级上·全国·随堂练习）观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：； 第2个方程：； 第3个方程：； 第4个方程：； …… 直接写出第n个方程为________，第n个方程的解为________． 【答案】 / ， 【分析】本题考查用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先观察给出的方程序列，总结规律写出第n个方程，再用因式分解法解一元二次方程即可． 解：由题意得，第n个方程为， ， ，或， ，， 故答案为：；，． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用配方法求解即可． （1）解：， 移项得：， 分解因式得：， 即或， ∴，． （2）解：原方程变形得：， 配方得：， 即， ∴， ∴，． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·河南周口·期末）解下列一元二次方程： （1）（配方法） （2）（公式法）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法和公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． （1）解：， ， ， ， ， ∴，； （2）解：， ，，， ， ， ∴，． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·山东济南·期末）关于的一元二次方程的两个实数根分别为． （1）求的取值范围； （2）若，求和的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系． （1）根据方程有两个实数根得到，再解不等式即可； （2）先将代入方程求解，一元二次方程根与系数的关系求解． （1）解：∵的两个实数根分别为， ， 即， ； （2）解：把代入方程得：， ， 由一元二次方程根与系数的关系得：， ， ． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为4，求的值以及另一个根． 【答案】（1）证明：∵， ∴ ∴ ， ∵， ∴， ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2），另一个根为 【分析】（1）先把原方程化为一般式，再利用判别式证明即可； （2）把代入到原方程中求出m的值，再解原方程求出另一个根即可． 解：（1）略 （2）解：∵该方程的一个根为4， ∴把代入得， 解得， ∴原方程为，即， ∴， ∴或， 解得或， ∴原方程的另一个根为． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，某草莓园购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏靠墙（墙长）围建一个中间带有铁栅栏的自由采摘区即矩形，且墙面． （1）若矩形自由采摘区面积为，请你求出和分别是多少？ （2）为了项目扩建发展，矩形自由采摘区的面积需改为，这一想法能实现吗？请说明理由． 【答案】（1）和分别为与；（2）不能实现， 理由：设，则， 由题意得：， 整理得：， ， 方程无实数解，所以想法不能实现． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据矩形的面积，列出方程，是解题的关键． （1）设，则，根据矩形自由采摘区面积为，列出方程，解方程即可； （2）设，则，矩形自由采摘区的面积需改为，列出方程，判断方程解的情况即可． （1）解：设，则， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 答：和分别为与． （2）略 24．（本小题满分12分）（2026·广东中山·模拟预测）项目化学习 项目主题：探究土地规划与销售利润问题． 项目背景：山西中药材资源得天独厚，素有“北药”之称，其中恒山黄芪更是中国国家地理标志产品．药农李伯新得一块土地，计划用来种植黄芪，某校学习小组以“探究土地规划与销售利润问题为主题开展项目学习． 驱动任务：按种植需求探索合理的土地规划方案；按预期利润制定合理售价． 收集数据： 素材1 如图，药农李伯有一块土地，若连接，则土地被分为矩形和菱形． 素材2 调查市场上与李伯所种植的同品相的黄芪，发现当黄芪售价为50元/斤时，每月能售出500斤，销售单价每上涨1元，月销售量就减少10斤，已知该品相黄芪的平均成本价为40元/斤． 解决问题： （1）因种植技术需要，李伯想用一条直线把这块土地分成面积相等的两部分，请你帮李伯进行土地规划，保留作图痕迹，不需要说明理由； （2）为维护市场，该品相黄芪的销售单价不得低于药商的收购价62元，若要使销售黄芪的月利润达到8000元，李伯应将销售单价定为多少元？ 【答案】（1）；（2）80元 【分析】（1）利用矩形和菱形均为中心对称图形的性质，过中心对称图形对称中心的任意直线都能将该图形面积平分，因此，分别找出矩形和菱形的对称中心（即对角线交点），连接这两点即可得到所求直线； （2）属于典型的利润问题，根据等量关系，“总利润＝单件利润×销售量”列出一元二次方程，求解后，需根据题目中“销售单价不得低于62元”这一限制条件对解进行检验和取舍． （1）解：作图思路： ∵矩形和菱形都是中心对称图形， ∴它们的对称中心分别是各自对角线的交点， ∵过中心对称图形对称中心的任意直线都能将该图形面积平分， ∴连接矩形和菱形的对角线交点即可得到所求直线， 作法： ①连接矩形的对角线、，交于点， ②连接菱形的对角线、，交于点， ③作直线， ④直线即为所求作的直线； （2）设黄芪的销售单价定为元，则每斤的销售利润为元，月销售量为斤， 根据题意列方程得： ， 整理得： ， 解得： ，， ∵销售单价不得低于62元， ∴不符合题意，舍去， ∴， 答，李伯应将销售单价定为80元． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.5 一元二次方程全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】一元二次方程基础概念 1 【知识点二】一元二次方程四大解法 2 【知识点三】根的判别式（考点核心） 2 【知识点四】根与系数的关系（韦达定理） 3 【知识点五】一元二次方程实际应用（六大步骤） 3 【知识点六】全章高频易错汇总 3 二.题型精析 3 【题型 1】一元二次方程的定义与参数取值 4 【题型 2】选择合适方法解一元二次方程（基础必考） 4 【题型 3】用指定方法解一元二次方程（基础必考） 4 【题型 4】根的判别式含参问题（中档高频） 5 【题型 5】韦达定理整体求值（核心难点） 5 【题型 6】已知一根求参数与另一根 6 【题型 7】增长率问题（应用题必考） 6 【题型 8】销售利润综合问题 7 【题型 9】几何面积压轴题 8 三.同步检测 10 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 10 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 12 一.知识梳理解读 【知识点一】一元二次方程基础概念 1. 定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程。 三大判定条件：①整式方程；②只含一个未知数；③化简后二次项系数不为0。 2. 一般形式：，其中：二次项，：二次项系数；：一次项，：一次项系数；：常数项。 核心易错：必须先化为一般式，确定系数时包含正负号；是方程为一元二次方程的核心前提。 3. 方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的根（解）。将根代入方程，等式恒成立，可用于求参数、验证解的正确性。 【知识点二】一元二次方程四大解法 1. 直接开平方法（最简） 适用形式：，直接开平方得 。若，方程无实数根。 2. 因式分解法（最快，中考首选） 适用形式：方程可整理为 ，则 或 。 常用方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法。 解题步骤：移项（右边化为0）→因式分解→降次求解。 3. 配方法（基础工具） 核心目的：将 配方为完全平方式，是推导求根公式的基础。 步骤：化二次项系数为1→移常数项→两边加一次项系数一半的平方→配方开方求解。 4. 公式法（万能解法） 求根公式： 适用所有有实数根的一元二次方程，无特殊结构时优先使用。 【知识点三】根的判别式（考点核心） 记 ，仅适用于一元二次方程 ： 1. ：方程有两个不相等的实数根； 2. ：方程有两个相等的实数根； 3. ：方程无实数根。 必考陷阱：题目说明“有两个实数根”，需同时满足 且 。 【知识点四】根与系数的关系（韦达定理） 若 两根为 且 ，则： 二次项系数为1时：，。 高频变形：， 【知识点五】一元二次方程实际应用（六大步骤） 解题流程：审→设→列→解→验→答 四大必考模型： 1. 几何模型：面积、周长、勾股定理、动点面积； 2. 利润模型：总利润=单件利润×销量； 3. 增长率模型：； 4. 计数传播模型：握手、分支、病毒传播问题。 【知识点六】全章高频易错汇总 1. 忽略 ，误将二次项系数为0的方程判定为一元二次方程； 2. 判别式、韦达定理使用前不验证 ； 3. 韦达定理两根和遗漏负号，读取系数忽略正负； 4. 应用题不解方程直接作答、不检验实际意义，保留负数根； 5. 配方法忘记二次项系数化为1，配方时常数项计算错误。 二.题型精析 【题型 1】一元二次方程的定义与参数取值 【例题1】（25-26九年级下·北京·开学考试）已知是方程的一个根，求代数式的值． 【变式1】（25-26八年级下·山东济南·期末）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·安徽阜阳·阶段检测）若关于的方程是一元二次方程，则________． 【变式3】（24-25八年级下·全国·单元测试）试说明：不论为何值，关于的方程总为一元二次方程． 【题型 2】选择合适方法解一元二次方程（基础必考） 【例题2】（23-24八年级下·广西·阶段检测）选择适当方法解下列方程： （1）x2+4x+3＝0； （2）2x2+3x﹣5＝0． 【变式1】（24-25八年级下·北京西城·期中）用适当方法求解如下关于x的一元二次方程： （1）x2+2x+1＝4； （2）x2+10x+16＝0； （3）． 【变式2】（25-26九年级上·北京东城·期中）用适当的方法解下列方程 （1） （2） （3）． 【变式3】（25-26八年级下·山东泰安·期末）用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4） 【题型 3】用指定方法解一元二次方程（基础必考） 【例题3】（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）用指定的方法解下列方程： （1）（因式分解法） （2）（公式法） 【变式1】（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）解方程 （1）；（配方法） （2）；（公式法） 【变式2】（25-26八年级下·山东泰安·期末）解方程 （1）；（公式法） （2）．（配方法） 【变式3】（24-25九年级上·重庆南岸·开学考试）用指定方法解下列一元二次方程： （1）（配方法） （2）（公式法） （3）（因式分解法） （4）（十字相乘法） 【题型 4】根的判别式含参问题（中档高频） 【例题4】（25-26八年级下·安徽滁州·期末）设是实数，已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程的两根都大于，求的取值范围． 【变式1】（25-26八年级下·广西百色·期末）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江苏盐城·模拟预测）二次函数的图象与一次函数的图象至少有一个交点，则实数的取值范围是________． 【变式3】（25-26八年级下·吉林·期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：该一元二次方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为，求的值及方程的另一个根． 【题型 5】韦达定理整体求值（核心难点） 【例题5】（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【变式1】（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（     ） A．14 B． C． D．10 【变式2】（25-26八年级下·北京·阶段检测）已知m、n是方程的两个根，代数式的值为________；的值为________． 【变式3】（25-26八年级下·山东威海·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）若该方程的一个实数根为1，求另一个实数根； （2）若，是该方程的两个根，且，求的值． 【题型 6】已知一根求参数与另一根 【例题6】（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求a的取值范围． （2）若方程的一个根是另一个根的两倍，求a的值． 【变式1】（2026·河南三门峡·三模）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则方程的另一个根为（    ） A．2 B． C．1 D． 【变式2】（2026·河北·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． 【变式3】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程，有两个不相等的实数根分别为，． （1）求m的取值范围； （2）若方程的一个根，求m的值及方程的另一个根； （3）若满足，求m的值． 【题型 7】增长率问题（应用题必考） 【例题7】（25-26八年级下·江苏南通·期末）某商场响应国家消费品“以旧换新”的号召，开展了家电惠民补贴活动，4月份投入资金20万元，6月份投入资金万元． （1）求该商场投入资金的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计该商场7月份投入资金将达到多少万元？ 【变式1】（25-26八年级下·山东济南·期末）随着环保意识的增强和技术的进步，某品牌的电动汽车逐渐成为消费者的新宠，某销售商的该品牌电动汽车今年月份的销量为辆，由于国补政策的连月升温，月份的销量比月份增加了辆．设每个月销量的平均增长率为，则下列方程正确的是（     ）． A． B． C． D． 【变式2】（2026·吉林延边·二模）据统计延边州2023年国内游客数量为2646万人次，2025年国内游客数量7813万人次．设这两年延边州国内游客数量的平均增长率为，根据题意，可列方程为________． 【变式3】（2026·湖南娄底·一模）2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国在机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元． （1）求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率； （2）该市2026年机器人产业总产值的目标是600亿元，若按照这个年平均增长率增长，该市能否实现目标？ 【题型 8】销售利润综合问题 【例题8】（25-26八年级下·陕西西安·期末）西安市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． （1）该品牌头盔销售量的月增长率是______； （2）若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应上涨多少钱？ 【变式1】（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）某商场销售一款上衣，每件上衣的进价为元，当售价为每件元时，平均每天可售出件．经调查发现，如果每件上衣降价元，平均每天可多售出件．如果商场平均每天想要盈利元，那么每件上衣的售价应为多少元？小安假设“每件上衣的售价为元”，小溪假设“每件上衣应降价元”，下列说法正确的是（   ）． A．按小安的设元方法，则该商场平均每天可售出件上衣 B．按小溪的设元方法，则该商场平均每天可售出件 C．按小安的设元方法，应列方程为 D．按小溪的设元方法，应列方程为 【变式2】（2024·山东潍坊·三模）在过去的年，直播电商一词，我们并不陌生．原本以内容为主的视频平台在入局电商后，大力开拓直播带货模式，并实现高速增长．某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为__________元． 【变式3】（25-26八年级下·重庆·期末）重庆市江津区有“中国花椒之乡”美誉，江津九叶青花椒为当地特色农产品． （1）某农户计划采摘120斤鲜花椒，实际每小时采摘量是原计划的1.2倍，并提前1小时完成采摘，求该农户原计划每小时采摘花椒多少斤？ （2）某加工厂加工销售精品干花椒，每斤成本为25元，当售价为每斤50元时，日均售出200斤；市场调研发现，售价每上涨1元，日均少卖5斤，若要每日获利5250元，且让销量更高，则花椒售价应每斤涨价多少元？ 【题型 9】几何面积压轴题 【例题9】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）小西家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为米的门，门不消耗木栏，设长为米． （1）如图①，当时， ①___________米（用含的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为平方米，求的长． （2）如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到平方米？请说明理由． 【变式1】（2026·湖北武汉·中考真题）对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，若建成的饲养室面积为．求垂直于墙的一边长为多少？设垂直于墙的一边长为，可列方程为______． 【变式3】（25-26八年级下·安徽宣城·期末）五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．    问题解决： （1）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． （2）若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ （3）若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·北京平谷·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（       ） A． B． C． D． 2．（2026·河南平顶山·三模）下列方程中，无实数根的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·山东威海·期末）将一元二次方程配方后变形为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 4．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 5．（25-26九年级下·江西九江·期中）已知一元二次方程有一个根是1，则另一个根是（   ） A． B．2 C．1 D．0 6．（25-26九年级上·河南开封·期末）方程的解为（   ） A． B．， C．， D．， 7．（2026·河南平顶山·三模）定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的值不能是（     ） A． B．0 C．1 D．2 8．（2026·河北邯郸·三模）关于的方程有实数根，则的取值范围为（     ） A． B． C．且 D．且 9．（25-26八年级下·广西贺州·期末）某市古镇推广文旅活动，2024年接待游客10万人次，预计2026年接待游客12.1万人次，若这两年游客数量年平均增长率相同．设年平均增长率为x，列方程得（     ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级下·河南南阳·开学考试）按照如图所示的计算程序，若，则关于x的方程的根的情况是（   ） A．方程有两个相等实数根 B．方程没有实数根 C．方程有两个不相等的实数根 D．无法判断 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）请写出一个关于的一元二次方程，满足一根为2，另一根为，则这个方程可能是____． 12．（25-26八年级下·山东淄博·期中）方程的较小实数根为_____． 13．（25-26九年级上·陕西·期末）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为_______． 14．（25-26八年级下·浙江台州·期末）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________________． 15．（25-26八年级下·北京·期末）若，是方程的两根，则的值为________． 16．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的方程的解都是整数，求整数的值为_____． 17．（25-26八年级下·浙江台州·期中）某手工制作的等腰直角三角形纸板，其斜边上的中线长为一元二次方程的根，且中线长大于2，则该纸板的直角边长为_______． 18．（24-25九年级上·全国·随堂练习）观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：； 第2个方程：； 第3个方程：； 第4个方程：； …… 直接写出第n个方程为________，第n个方程的解为________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）解方程： （1）； （2）． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·河南周口·期末）解下列一元二次方程： （1）（配方法） （2）（公式法）． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·山东济南·期末）关于的一元二次方程的两个实数根分别为． （1）求的取值范围； （2）若，求和的值． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为4，求的值以及另一个根． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，某草莓园购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏靠墙（墙长）围建一个中间带有铁栅栏的自由采摘区即矩形，且墙面． （1）若矩形自由采摘区面积为，请你求出和分别是多少？ （2）为了项目扩建发展，矩形自由采摘区的面积需改为，这一想法能实现吗？请说明理由． 24．（本小题满分12分）（2026·广东中山·模拟预测）项目化学习 项目主题：探究土地规划与销售利润问题． 项目背景：山西中药材资源得天独厚，素有“北药”之称，其中恒山黄芪更是中国国家地理标志产品．药农李伯新得一块土地，计划用来种植黄芪，某校学习小组以“探究土地规划与销售利润问题为主题开展项目学习． 驱动任务：按种植需求探索合理的土地规划方案；按预期利润制定合理售价． 收集数据： 素材1 如图，药农李伯有一块土地，若连接，则土地被分为矩形和菱形． 素材2 调查市场上与李伯所种植的同品相的黄芪，发现当黄芪售价为50元/斤时，每月能售出500斤，销售单价每上涨1元，月销售量就减少10斤，已知该品相黄芪的平均成本价为40元/斤． 解决问题： （1）因种植技术需要，李伯想用一条直线把这块土地分成面积相等的两部分，请你帮李伯进行土地规划，保留作图痕迹，不需要说明理由； （2）为维护市场，该品相黄芪的销售单价不得低于药商的收购价62元，若要使销售黄芪的月利润达到8000元，李伯应将销售单价定为多少元？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $