6.4 平行线 题型专练 2026--2027学年苏科版数学七年级上册

**基本信息** 以“典例引领+分层训练”构建平行线知识体系，从概念理解到综合应用，梯度推进，培养几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|平行线定义、识别、画图|选择/填空题，结合生活实例（斑马线、铁轨），强化抽象能力| |技能应用|角的识别（同位角等）、判定与性质|操作步骤题、几何语言表述题，训练空间观念与推理意识| |综合拓展|角度计算、证明及实际应用|道闸模型、楼梯等情境题，提升应用意识与创新思维|

苏科版（2024）七年级上册 6.4 平行线 题型专练 【题型1】平行线的定义与识别 【典例】下列四边形中，AB不平行于CD的是(　　) A.    B. C.    D. 【举一反三1】a，b，c，d为互不重合的四条直线，则下列推理中正确的是 A.因为a∥b，b∥c，所以d∥c B.因为a∥d，b∥c，所以d∥c C.因为a∥d，b∥d，所以a∥b D.因为a∥d，a∥b，所以c∥d 【举一反三2】小明列举生活中几个例子，你认为是平行线的是     （填序号）． ①马路上斑马线；②火车铁轨；③直跑道线；④长方形门框上下边． 【举一反三3】观察如图所示的长方体． （）用符号表示下列两棱的位置关系：      ，      ，      ，      ； （）与所在的直线是两条不相交的直线，它们      平行线（填“是”或“不是”），由此可知      内，不相交的两条直线才能叫做平行线． 【举一反三4】在如图的长方体中，与棱AB平行的棱有                             ；与棱AA′平行的棱有                              ． 【题型2】画平行线 【典例】如图，过C点作线段AB的平行线，说法正确的是 A.不能作 B.只能作一条 C.能作两条 D.能作无数条 【举一反三1】已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是(    ) A. B. C. D. 【举一反三2】如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是：      ．(填序号)    【举一反三3】如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，为格点三角形．    (1)过点画的平行线； (2)过点画的垂线； (3)的面积为_________． 【题型3】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【典例】下列说法不正确的是(      ) A.过任意一点可作已知直线的一条平行线 B.同一平面内两条不相交的直线是平行线 C.在同一平面内，过一点只能画一条直线与已知直线垂直 D.在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【举一反三1】下列说法正确的有(　　) ①在同一平面内，不相交的两条直线是平行线；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④相等的角是对顶角；⑤P是直线a外一点，A，B，C分别是直线a上的三点，PA=1，PB=2，PC=3，则点P到直线a的距离一定是1. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三2】在同一平面内的三条直线，它们的交点个数可能是　　　　. 【举一反三3】如图是利用直尺移动三角板过直线外一点作直线的平行线的方法，小明经过多次实践后发现只能作一条平行线，这反映了       ．    【题型4】同位角的识别 【典例】如图，下列图形中的∠1和∠2不是同位角的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】下列图形中，∠1和∠2不是同位角的是(　　) A.    B. C.    D. 【举一反三2】下列图形中∠1和∠2是同位角的是　　　　.(填序号) 【举一反三3】图中的同位角是 　　　　　　． 【题型5】内错角的识别 【典例】如图，直线a，b被直线c所截，图中与∠1是一对内错角的是（　　） A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5 【举一反三1】如图，已知a∥b，则图中共有内错角的对数是（　　） A.4对 B.8对 C.12对 D.16对 【举一反三2】如图，直线AB与直线CD交于点M，与直线EF交于点N，根据图形可知，∠ANF的内错角是 　　　　． 【举一反三3】如图，与∠1成同位角的角的个数为a，与∠1成内错角的角的个数为b，则a与b的大小关系是　　　　． 【题型6】同旁内角的识别 【典例】下列手势中，两只手的大拇指和食指所成的角为同旁内角的是(　　) A.    B. C.    D. 【举一反三1】下列图形中，∠1和∠2是同旁内角的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，与∠B构成同旁内角的角有　　　　个. 【举一反三3】如图，直线AB，CD被直线EF所截，因为∠1与∠2在直线AB，CD　　　　，在直线EF的　　　　，所以∠1与∠2是　　　　角；因为∠1与∠3在直线AB，CD　　　　，在直线EF的　　　　，所以∠1与∠3是　　　　角.   【举一反三4】如图，找出标注角中的同位角、内错角和同旁内角． 【举一反三5】如图，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变． （1）请指出∠1的同旁内角与∠2的内错角； （2）若测得∠AOE＝65°，∠BOM＝145°，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯了多少度？请说明理由． 【题型7】同位角相等两直线平行 【典例】如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c，这个推理的依据是（　　） A.等量代换 B.平行线的定义 C.两直线平行，内错角相等 D.垂直于同一直线的两条直线平行 【举一反三1】如图，已知∠B＝∠AEF，则（　　） A.EF∥BC B.AD∥EF C.AD∥BC D.AB∥CD 【举一反三2】三个完全相同的含30°角的三角板如图摆放，可以判断AB与EC平行的理由是 　　　　　　　　　　　　． 【举一反三3】如图，把三角尺的直角顶点放在直线b上．若∠1＝50°，则当∠2＝　　时，a∥b． 【举一反三4】如图，当BE⊥MN于点B，DF⊥MN于点D，且∠1=∠2时，AB与CD平行吗？请说明理由. 【举一反三5】如图，已知直线AB，CD被直线EF所截，点H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2＝30°，∠1＝60°.求证：AB∥CD. 【题型8】内错角相等两直线平行 【典例】下列各图中，能画出AB∥CD的是（　　） A.①②③ B.①②④ C.③④ D.①②③④ 【举一反三1】如图所示，下列条件中，能判断AB∥CD的是（　　） A.∠BAD＝∠BCD B.∠1＝∠2 C.∠BAC＝∠ACD D.∠3＝∠4 【举一反三2】如图，点E是AD延长线上一点，∠B＝30°，∠C＝120°.如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为　　　　　.(只填一个即可) 【举一反三3】将下列证明过程补充完整： 如图，已知点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1=∠2.试说明：AB∥CD. 解：因为CE平分∠ACD(已知)， 所以∠2=∠　　　　(　　　　).  因为∠1=∠2(已知)， 所以∠1=∠　　　　(　　　　).  所以AB∥CD(　　　　).  【举一反三4】如图，点B在DC上，BE平分∠ABD，∠DBE＝∠A，你能判断BE与AC的位置关系吗？请说明理由． 【题型9】同旁内角互补两直线平行 【典例】如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是 (　　) A.∠1=∠3 B.∠2+∠4=180° C.∠4=∠5 D.∠2=∠3 【举一反三1】如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（　　） A.∠1+∠3＝180° B.∠2＝∠3 C.∠4＝∠5 D.∠4＝∠6 【举一反三2】如图，若∠1=100°，∠4=80°，则　　　　∥　　　　，理由是　　　　　；  若∠3=70°，则当∠2=　　　　°时，可推出AB∥CD.   【举一反三3】如图直线AB，CD被直线EF所截，与AB，CD分别交于点E，F，下列描述：①∠1和∠2互为同位角；②∠3和∠4互为内错角；③∠1=∠4；④∠4+∠5=180°，其中，正确的是　　　　.  【举一反三4】如图，射线BC平分∠ABD，且∠1+∠2=180°.求证：AB∥CD. 【举一反三5】如图，已知AC，BC分别平分∠QAB，∠ABN，∠1＋∠2＝90°.判断PQ和MN的位置关系，并说明理由. 【题型10】同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行 【典例】如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c，这个推理的依据是（　　） A.等量代换 B.平行线的定义 C.两直线平行，内错角相等 D.垂直于同一直线的两条直线平行 【举一反三1】是直线，下列说法正确的是(　　) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 【举一反三2】木工师傅用角尺画出工件边缘的两条垂线，就可以再找出两条平行线，如图所示， ，这是依据                  的道理．由此得出推论：在同一平面内，                 ．如图，几何语言表述为：   ∴        ． 【举一反三3】在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是      ．（填“平行”或“垂直”） 【题型11】两直线平行同位角相等 【典例】几个小朋友在玩“摸瞎子”游戏，其中一人蒙着眼睛去抓其他人．天天正在蒙着眼睛抓人，他先朝着正东方向走，经过两次拐弯后，仍朝着正东方向继续前进，则两次拐弯的角度可能是（   ） A.第一次左转，第二次右转 B.第一次左转，第二次右转 C.第一次右转，第二次左转 D.第一次右转，第二次左转 【举一反三1】如图，直线，，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，把一块三角板的角的顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是      ． 【举一反三3】如图，已知AE∥BC，∠BAC＝100°，∠DAE＝50°，则∠C＝　　　　. 【举一反三4】如图，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1＝∠2，∠3＝∠4.∠1与∠3的大小有什么关系？∠2与∠4 呢？ 【举一反三5】如图，已知直线与、都相交，且，说明的理由． 理由：∵与相交（已知）， ∴（　 　）， ∵（已知）， ∴（　 　）， ∴（　 　）. 【题型12】两直线平行内错角相等 【典例】如图所示，直线a，b被直线c所截.若a∥b，∠1＝91°，则(　　) A.∠2＝91°    B.∠3＝91° C.∠4＝91°    D.∠5＝91° 【举一反三1】已知：如图，，则图中与相等的角（除外）共有（    ）．    A.6个 B.5个 C.4个 D.3个 【举一反三2】如图，AB∥CD∥EF.若∠A=30°，∠AFC=15°，则∠C的度数为　　　　　. 【举一反三3】如图，AB∥CD， ∠A=∠D，判断AF与ED的位置关系，并说明理由. 【题型13】两直线平行同旁内角互补 【典例】如图，直线l1∥l2，给出下列结论：①∠1=∠3；②∠2=∠3；③∠4=∠5；④∠2+∠4=180°. 其中正确的有 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三1】如图，这是生活中常用的楼梯，其梯子的平面图如图所示，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【举一反三2】如图，这是电子屏幕上显示的数字“9”，其中，若，则的度数是(    )    A. B. C. D. 【举一反三3】如图是小张在操作剪刀时的平面示意图，剪刀所在直线AC经过点O，DE是经过剪刀手柄D的直线.若∠AOB＝56°，AC∥DE，则∠ODE的度数是　　　　　　. 【举一反三4】如图，直线EF分别交直线AB，CD于点G，H，AB∥CD，MG⊥EF，垂足为G，HN平分∠CHE，∠NHC=32°，则∠AGM=　　　　.  【举一反三5】如图，AB∥CD，BE和DF相交于点E． (1)若∠B＝120°，∠D＝145°，求∠BEF的度数； (2)猜想∠B，∠D，∠BEF之间的关系，并说明理由． 【题型14】根据平行线的判定与性质求角度 【典例】如图是某小区车库门口的曲臂直杆道闸模型.已知AB垂直于水平地面AE.当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升(即CD与AE始终平行)，在该运动过程中∠ABC＋∠BCD的度数始终等于(　　) A.360°    B.180° C.250°    D.270° 【举一反三1】如图，l1∥l2，l2∥l3，若∠1＝59°，则∠2的度数为 A.118° B.120° C.121° D.131° 【举一反三2】如图，把一个长方形纸条ABCD沿AF折叠，已知∠ADB＝26°，AE∥BD，则∠BAF＝　　　　　. 【举一反三3】将一副三角板按如图所示摆放在一组平行线内，∠1＝25°，则∠2的度数为　　　　　°. 【举一反三4】如图，已知AD⊥BC，∠1＝∠B，∠2＋∠3＝180°，试说明：EF⊥BC. 【题型15】根据平行线的判定与性质证明 【典例】将一副三角板按如图放置，则下列结论①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°则有AC∥DE；③如果∠2＝30°，则有BC∥AD；④如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C，其中正确的有（　　） A.①②③ B.①②④ C.③④ D.①②③④ 【举一反三1】如图，已知BC∥DE，BF平分∠ABC，DC平分∠ADE，则下列结论：①∠ACB＝∠E；②BF∥CD；③∠ABF＝∠BCD；④DF平分∠ADC，其中正确的有（　　） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【举一反三2】如图，在同一平面内，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，连接AD，DE平分∠ADC交BC于点E，点F为CD延长线上一点，连接AF，∠BAF＝∠EDF，下列结论：①∠BAD＝∠ADF；②AF∥ED；③∠ADC＝2∠F；④∠CED∠ADC＝90°；⑤若∠ADE∠BAD，则∠AFD+∠BED＝160°，正确的有 　      　． 【举一反三3】如图，点E在CA延长线上，DE，AB交于点F，且∠BDE＝∠AEF，∠B＝∠C，∠EFA比∠FDC的余角大30°，P为线段DC上一动点，Q为PC上一点，且满足∠FQP＝∠QFP，FM为∠EFP的平分线．下列结论：①CE∥BD；②AB∥CD；③FQ平分∠AFP；④∠B+∠E＝120°；⑤∠QFM＝30°．其中结论正确的序号是 　    　． 【举一反三4】如图，已知∠ABE+∠DEB＝180°，∠1＝∠2，求证：∠F＝∠G． 【举一反三5】填空，完成下列证明过程，并在括号中注明理由． 如图，点E在AB上，点F在CD上，已知∠FHD+∠EGH＝180°，∠B＝∠C，求证：AB∥CD． 证明：∵∠FHD＝　   　①（ 　   　②）， 且∠FHD+∠EGH＝180°（已知）， ∴　   　③+∠EGH＝180°， ∴　  　④∥BF（ 　                   　⑤）， ∴∠C＝　   　⑥（ 　                                　⑦）， ∵∠B＝∠C（已知）， ∴∠B＝　  　⑧， ∴AB∥CD． 苏科版（2024）七年级上册 6.4 平行线 题型专练（参考答案） 【题型1】平行线的定义与识别 【典例】下列四边形中，AB不平行于CD的是(　　) A.    B. C.    D. 【答案】D 【举一反三1】a，b，c，d为互不重合的四条直线，则下列推理中正确的是 A.因为a∥b，b∥c，所以d∥c B.因为a∥d，b∥c，所以d∥c C.因为a∥d，b∥d，所以a∥b D.因为a∥d，a∥b，所以c∥d 【答案】C 【举一反三2】小明列举生活中几个例子，你认为是平行线的是     （填序号）． ①马路上斑马线；②火车铁轨；③直跑道线；④长方形门框上下边． 【答案】①②③④ 【解析】是平行线的是①②③④. 故答案为①②③④ 【举一反三3】观察如图所示的长方体． （）用符号表示下列两棱的位置关系：      ，      ，      ，      ； （）与所在的直线是两条不相交的直线，它们      平行线（填“是”或“不是”），由此可知      内，不相交的两条直线才能叫做平行线． 【答案】（）； ；； （）不是；同一平面 【解析】（）∵该图是长方体， ∴，，，， 故答案为：；；；； （）∵与所在的直线是两条不相交的直线，与不在同一平面内， ∴它们不是平行线， ∴同一平面内，两条不相交的直线才能叫做平行线． 故答案为：不是；同一平面． 【举一反三4】在如图的长方体中，与棱AB平行的棱有                             ；与棱AA′平行的棱有                              ． 【答案】CD，A′B′，C′D′； DD′，BB′，CC′. 【解析】由图可知,和棱AB平行的棱有CD，A′B′，C′D′； 与棱AA′平行的棱有DD′，BB′，CC′. 故答案为CD，A′B′，C′D′；DD′，BB′，CC′. 【题型2】画平行线 【典例】如图，过C点作线段AB的平行线，说法正确的是 A.不能作 B.只能作一条 C.能作两条 D.能作无数条 【答案】B 【举一反三1】已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】过AC的中点D作AB的平行线， 正确的图形是选项B， 故选：B． 【举一反三2】如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是：      ．(填序号)    【答案】④②①③ 【解析】正确的步骤是： ④用三角尺的一边贴住直线a； ②用直尺紧靠三角尺的另一边； ①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P； ③沿三角尺的边作出直线b； 故答案为：④②①③. 【举一反三3】如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，为格点三角形．    (1)过点画的平行线； (2)过点画的垂线； (3)的面积为_________． 【答案】解：（1）如图，直线即为所求， （2）如图，直线即为所求，    （3）． 【题型3】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【典例】下列说法不正确的是(      ) A.过任意一点可作已知直线的一条平行线 B.同一平面内两条不相交的直线是平行线 C.在同一平面内，过一点只能画一条直线与已知直线垂直 D.在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【解析】A中，若点在直线上，则不可以作出已知直线的平行线，而是与已知直线重合，错误. B、C、D是公理，正确. 故选A. 【举一反三1】下列说法正确的有(　　) ①在同一平面内，不相交的两条直线是平行线；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④相等的角是对顶角；⑤P是直线a外一点，A，B，C分别是直线a上的三点，PA=1，PB=2，PC=3，则点P到直线a的距离一定是1. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【解析】①在同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故说法正确； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故说法正确； ③在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故说法错误； ④相等的角不一定是对顶角，故说法错误； ⑤P是直线a外一点，A，B，C分别是直线a上的三点，PA=1，PB=2，PC=3，则点P到直线a的距离可能是1，故说法错误. 【举一反三2】在同一平面内的三条直线，它们的交点个数可能是　　　　. 【答案】0或1或2或3 【解析】如图， 由图可知，同一平面内的三条直线，其交点个数为0，1，2，3. 【举一反三3】如图是利用直尺移动三角板过直线外一点作直线的平行线的方法，小明经过多次实践后发现只能作一条平行线，这反映了       ．    【答案】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【解析】由图可得，过直线外一点，能且只能画出一条平行线， 这反映了：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【题型4】同位角的识别 【典例】如图，下列图形中的∠1和∠2不是同位角的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选项A中的∠1与∠2，是直线AB、BC被直线EF所截的同位角，因此选项A不符合题意； 选项B中的∠1与∠2，是直线AB、MG被直线EM所截的同位角，因此选项B不符合题意； 选项C中的∠1与∠2，没有公共的截线，因此不是同位角，所以选项C符合题意； 选项D中的∠1与∠2，是直线CD、EF被直线AB所截的同位角，因此选项D不符合题意； 故选：C． 【举一反三1】下列图形中，∠1和∠2不是同位角的是(　　) A.    B. C.    D. 【答案】C 【解析】选项C中，∠1与∠2没有公共直线，不是同位角. 【举一反三2】下列图形中∠1和∠2是同位角的是　　　　.(填序号) 【答案】①②③ 【举一反三3】图中的同位角是 　　　　　　． 【答案】∠BAC与∠DEC 【解析】∠BAC与∠DEC是BF和DE被AC所截而成的同位角， 故答案为：∠BAC与∠DEC． 【题型5】内错角的识别 【典例】如图，直线a，b被直线c所截，图中与∠1是一对内错角的是（　　） A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5 【答案】C 【解析】图中与∠1是内错角的是∠4， 故选：C． 【举一反三1】如图，已知a∥b，则图中共有内错角的对数是（　　） A.4对 B.8对 C.12对 D.16对 【答案】D 【解析】如图所示： 内错角有：∠1与∠4，∠1与∠5，∠7与∠13，∠12与∠4，∠6与∠7，∠6与∠8， ∠16与∠2，∠16与∠9，∠15与∠8，∠12与∠3，∠14与∠5，∠13与∠17， ∠11与∠8，∠10与∠5，∠16与∠17，∠16与∠3，共有16对． 故选：D． 【举一反三2】如图，直线AB与直线CD交于点M，与直线EF交于点N，根据图形可知，∠ANF的内错角是 　　　　． 【答案】∠CMB 【解析】由内错角的定义可知，∠ANF的内错角是∠CMB， 故答案为：∠CMB． 【举一反三3】如图，与∠1成同位角的角的个数为a，与∠1成内错角的角的个数为b，则a与b的大小关系是　　　　． 【答案】a＜b 【解析】与∠1成同位角的角是∠E，则a＝1， 与∠1成内错角的角是∠FBD和∠ABD，则b＝2， 故a＜b， 故答案为：a＜b． 【题型6】同旁内角的识别 【典例】下列手势中，两只手的大拇指和食指所成的角为同旁内角的是(　　) A.    B. C.    D. 【答案】C 【解析】A选项，图中两个角不是同旁内角，故A不符合题意； B选项，图中两个角是同位角，故B不符合题意； C选项，图中两个角是同旁内角，故C符合题意； D选项，图中两个角是内错角，故D不符合题意. 【举一反三1】下列图形中，∠1和∠2是同旁内角的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A．∠1与∠2是同位角，故此选项不符合题意； B．∠1与∠2不是两条直线被第三条直线所截形成的角，故此选项不符合题意； C．∠1与∠2是内错角角，故此选项不符合题意； D．∠1与∠2是同旁内角，故此选项符合题意． 故选：D． 【举一反三2】如图，与∠B构成同旁内角的角有　　　　个. 【答案】3 【解析】能与∠B构成同旁内角的角有∠C，∠BDE，∠A，共3个. 【举一反三3】如图，直线AB，CD被直线EF所截，因为∠1与∠2在直线AB，CD　　　　，在直线EF的　　　　，所以∠1与∠2是　　　　角；因为∠1与∠3在直线AB，CD　　　　，在直线EF的　　　　，所以∠1与∠3是　　　　角.   【答案】之间　两侧　内错　之间　同侧　同旁内 【举一反三4】如图，找出标注角中的同位角、内错角和同旁内角． 【答案】解　同位角有∠4与∠8、∠4与∠7、∠2与∠3； 内错角有∠1与∠3、∠7与∠6、∠6与∠8； 同旁内角有∠1与∠4、∠3与∠8，∠1与∠7． 【举一反三5】如图，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变． （1）请指出∠1的同旁内角与∠2的内错角； （2）若测得∠AOE＝65°，∠BOM＝145°，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯了多少度？请说明理由． 【答案】解　（1）∠1的同旁内角是∠MOE，∠AOE，∠ADE，∠2的内错角是∠MOE，∠AOE； （2）∵∠BOM＝145°， ∴∠AOM＝180°﹣∠BOM＝35°， ∴∠MOE＝∠AOE﹣∠AOM＝65°﹣35°＝30°， ∴水下部分向上折弯了30度． 【题型7】同位角相等两直线平行 【典例】如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c，这个推理的依据是（　　） A.等量代换 B.平行线的定义 C.两直线平行，内错角相等 D.垂直于同一直线的两条直线平行 【答案】D 【解析】∵a⊥b，b⊥c， ∴a∥c（垂直于同一直线的两条直线平行）， 故选：D． 【举一反三1】如图，已知∠B＝∠AEF，则（　　） A.EF∥BC B.AD∥EF C.AD∥BC D.AB∥CD 【答案】A 【解析】∵∠B＝∠AEF， ∴EF∥BC，故选项A正确， 无法判断AD∥EF、AD∥BC、AB∥CD． 故选：A． 【举一反三2】三个完全相同的含30°角的三角板如图摆放，可以判断AB与EC平行的理由是 　　　　　　　　　　　　． 【答案】同位角相等，两直线平行（答案不唯一） 【解析】∵∠ACB＝60°，∠ACE＝90°，∠ECD＝30°， ∴∠ACB+∠ACE+∠ECD＝180°， ∴B、C、D在一条直线上， ∵∠B＝30°＝∠ECD， ∴AB∥EC（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：同位角相等，两直线平行（答案不唯一）． 【举一反三3】如图，把三角尺的直角顶点放在直线b上．若∠1＝50°，则当∠2＝　　时，a∥b． 【答案】40° 【解析】当∠2＝40°时，a∥b；理由如下： 如图所示： ∵∠1＝50°， ∴∠3＝180°﹣90°﹣50°＝40°， 当∠2＝40°时，∠2＝∠3， ∴a∥b． 故答案为：40°． 【举一反三4】如图，当BE⊥MN于点B，DF⊥MN于点D，且∠1=∠2时，AB与CD平行吗？请说明理由. 【答案】解　AB∥CD. 理由如下： 因为BE⊥MN于点B，DF⊥MN于点D， 所以∠EBN=∠FDN=90°， 又因为∠1=∠2， 所以∠ABN=∠CDN， 所以AB∥CD. 【举一反三5】如图，已知直线AB，CD被直线EF所截，点H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2＝30°，∠1＝60°.求证：AB∥CD. 【答案】证明　因为GH⊥CD(已知)， 所以∠CHG＝90°(垂直的定义)， 又因为∠2＝30°(已知)， 所以∠3＝60°， 所以∠4＝60°(对顶角相等)， 又因为∠1＝60°(已知)， 所以∠1＝∠4(等量代换)， 所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行). 【题型8】内错角相等两直线平行 【典例】下列各图中，能画出AB∥CD的是（　　） A.①②③ B.①②④ C.③④ D.①②③④ 【答案】D 【解析】由同位角相等两直线平行可知：①正确；由垂直于同一条直线的两条直线平行可知②、③正确；根据内错角相等两直线平行线可知④正确． 故选：D． 【举一反三1】如图所示，下列条件中，能判断AB∥CD的是（　　） A.∠BAD＝∠BCD B.∠1＝∠2 C.∠BAC＝∠ACD D.∠3＝∠4 【答案】C 【解析】A．根据∠BAD＝∠BCD，不能判断AB∥CD； B．根据∠1＝∠2，只能判断AD∥BC； C．根据∠BAC＝∠ACD，能判断AB∥CD； D．根据∠3＝∠4，不能判断AB∥CD； 故选：C． 【举一反三2】如图，点E是AD延长线上一点，∠B＝30°，∠C＝120°.如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为　　　　　.(只填一个即可) 【答案】∠1＝30°(答案不唯一) 【解析】添加条件不唯一，只要符合平行线的判定，如∠1＝30°或∠2＝120°等. 【举一反三3】将下列证明过程补充完整： 如图，已知点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1=∠2.试说明：AB∥CD. 解：因为CE平分∠ACD(已知)， 所以∠2=∠　　　　(　　　　).  因为∠1=∠2(已知)， 所以∠1=∠　　　　(　　　　).  所以AB∥CD(　　　　).  【答案】ECD　角平分线的性质　ECD　等量代换　内错角相等，两直线平行 【举一反三4】如图，点B在DC上，BE平分∠ABD，∠DBE＝∠A，你能判断BE与AC的位置关系吗？请说明理由． 【答案】解　BE∥AC．理由： ∵BE平分∠ABD， ∴∠DBE＝∠ABE； ∵∠DBE＝∠A， ∴∠ABE＝∠A， ∴BE∥AC． 【题型9】同旁内角互补两直线平行 【典例】如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是 (　　) A.∠1=∠3 B.∠2+∠4=180° C.∠4=∠5 D.∠2=∠3 【答案】D 【解析】因为∠1=∠3， 所以a∥b(内错角相等，两直线平行)，故A选项不符合题意； 因为∠2+∠4=180°， 所以a∥b(同旁内角互补，两直线平行)，故B选项不符合题意； 因为∠4=∠5， 所以a∥b(同位角相等，两直线平行)，故C选项不符合题意； ∠2=∠3，无法判定直线a∥b，故D选项符合题意. 【举一反三1】如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（　　） A.∠1+∠3＝180° B.∠2＝∠3 C.∠4＝∠5 D.∠4＝∠6 【答案】C 【解析】A．由∠1+∠3＝180°，∠1+∠2＝180°，可得∠2＝∠3，故能判断直线a∥b； B．由∠2＝∠3，能直接判断直线a∥b； C．由∠4＝∠5，不能直接判断直线a∥b； D．由∠4＝∠6，能直接判断直线a∥b； 故选：C． 【举一反三2】如图，若∠1=100°，∠4=80°，则　　　　∥　　　　，理由是　　　　　；  若∠3=70°，则当∠2=　　　　°时，可推出AB∥CD.   【答案】AB　CD　同旁内角互补，两直线平行　110 【举一反三3】如图直线AB，CD被直线EF所截，与AB，CD分别交于点E，F，下列描述：①∠1和∠2互为同位角；②∠3和∠4互为内错角；③∠1=∠4；④∠4+∠5=180°，其中，正确的是　　　　.  【答案】②③ 【举一反三4】如图，射线BC平分∠ABD，且∠1+∠2=180°.求证：AB∥CD. 【答案】证明　因为BC平分∠ABD(已知)， 所以∠2=∠ABC(角平分线的定义)， 因为∠1=∠BCE(对顶角相等)， 又因为∠1+∠2=180°(已知)， 所以∠BCE+∠ABC=180°(等量代换)， 所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行). 【举一反三5】如图，已知AC，BC分别平分∠QAB，∠ABN，∠1＋∠2＝90°.判断PQ和MN的位置关系，并说明理由. 【答案】解　PQ∥MN. 理由：因为AC，BC分别平分∠QAB，∠ABN， 所以∠QAB＝2∠1，∠ABN＝2∠2(角平分线的定义). 所以∠QAB＋∠ABN＝2(∠1＋∠2)＝180°. 所以PQ∥MN(同旁内角互补，两直线平行). 【题型10】同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行 【典例】如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c，这个推理的依据是（　　） A.等量代换 B.平行线的定义 C.两直线平行，内错角相等 D.垂直于同一直线的两条直线平行 【答案】D 【解析】∵a⊥b，b⊥c， ∴a∥c（垂直于同一直线的两条直线平行）， 故选：D． 【举一反三1】是直线，下列说法正确的是(　　) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 【答案】D 【解析】A．在同一平面内，若，则，原说法错误，不符合题意； B．在同一平面内，若，则，原说法错误，不符合题意； C．在同一平面内，若，则，原说法错误，不符合题意； D．若，则，正确，符合题意． 故选：D. 【举一反三2】木工师傅用角尺画出工件边缘的两条垂线，就可以再找出两条平行线，如图所示， ，这是依据                  的道理．由此得出推论：在同一平面内，                 ．如图，几何语言表述为：   ∴        ． 【答案】同位角相等，两直线平行；垂直于同一直线的两条直线互相平行； 【解析】 ， ，（同位角相等，两直线平行） 由此得出推论： 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行， 几何语言表述为： ， ∴， 故答案为：同位角相等，两直线平行；垂直于同一直线的两条直线互相平行； 【举一反三3】在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是      ．（填“平行”或“垂直”） 【答案】平行 【解析】∵， ，，… ∴，，…， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶平行． 【题型11】两直线平行同位角相等 【典例】几个小朋友在玩“摸瞎子”游戏，其中一人蒙着眼睛去抓其他人．天天正在蒙着眼睛抓人，他先朝着正东方向走，经过两次拐弯后，仍朝着正东方向继续前进，则两次拐弯的角度可能是（   ） A.第一次左转，第二次右转 B.第一次左转，第二次右转 C.第一次右转，第二次左转 D.第一次右转，第二次左转 【答案】B 【解析】如图，    两次拐弯后，仍在原来的方向上平行行驶，即转弯前与转弯后的道路是平行的， 因为两直线平行，同位角相等， ∴左转的角与右转的角应相等， 观察四个选项，选项B满足“左转的角与右转的角应相等”． 故选：B． 【举一反三1】如图，直线，，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】直线，， ， ， 故选：D． 【举一反三2】如图，把一块三角板的角的顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是      ． 【答案】 【解析】如图， ，， ， 直尺的两边平行， ， 故答案为：． 【举一反三3】如图，已知AE∥BC，∠BAC＝100°，∠DAE＝50°，则∠C＝　　　　. 【答案】30° 【解析】∵AE∥BC， ∴∠B＝∠DAE＝50°， ∴∠C＝180°－∠B－∠BAC＝180°－50°－100°＝30°. 【举一反三4】如图，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1＝∠2，∠3＝∠4.∠1与∠3的大小有什么关系？∠2与∠4 呢？ 【答案】解　∠1＝∠3，∠2＝∠4. 理由：因为AB∥DE(已知)， 所以∠1＝∠3(两直线平行，同位角相等)， 而∠1 ＝∠2，∠3 ＝∠4， 所以 ∠2＝∠4. 【举一反三5】如图，已知直线与、都相交，且，说明的理由． 理由：∵与相交（已知）， ∴（　 　）， ∵（已知）， ∴（　 　）， ∴（　 　）. 【答案】解　理由：∵与相交（已知）， ∴（对顶角相等）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）， 故答案为：对顶角相等；两直线平行，同位角相等；等量代换． 【题型12】两直线平行内错角相等 【典例】如图所示，直线a，b被直线c所截.若a∥b，∠1＝91°，则(　　) A.∠2＝91°    B.∠3＝91° C.∠4＝91°    D.∠5＝91° 【答案】B 【解析】因为a∥b，所以∠3＝∠1＝91°， 由邻补角互补得∠4＝180°－∠3＝89°， 由对顶角相等得∠5＝∠4＝89°， 由邻补角互补得∠2＝180°－∠1＝89°， 故正确的是B选项. 【举一反三1】已知：如图，，则图中与相等的角（除外）共有（    ）．    A.6个 B.5个 C.4个 D.3个 【答案】B 【解析】依据得到，，再由，即可得到． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴图中与相等的角（除外）有，共5个， 故选：B． 【举一反三2】如图，AB∥CD∥EF.若∠A=30°，∠AFC=15°，则∠C的度数为　　　　　. 【答案】15° 【举一反三3】如图，AB∥CD， ∠A=∠D，判断AF与ED的位置关系，并说明理由. 【答案】解　AF∥ED. 因为 AB∥CD(已知)， 所以∠D=∠BED(两直线平行，内错角相等)， 又因为∠A=∠D(已知)， 所以∠A=∠BED(等量代换)， 所以AF∥ED(同位角相等，两直线平行). 【题型13】两直线平行同旁内角互补 【典例】如图，直线l1∥l2，给出下列结论：①∠1=∠3；②∠2=∠3；③∠4=∠5；④∠2+∠4=180°. 其中正确的有 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【举一反三1】如图，这是生活中常用的楼梯，其梯子的平面图如图所示，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【举一反三2】如图，这是电子屏幕上显示的数字“9”，其中，若，则的度数是(    )    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【举一反三3】如图是小张在操作剪刀时的平面示意图，剪刀所在直线AC经过点O，DE是经过剪刀手柄D的直线.若∠AOB＝56°，AC∥DE，则∠ODE的度数是　　　　　　. 【答案】124° 【解析】∵AC∥DE， ∴∠ODE＋∠COD＝180°， ∵∠COD＝∠AOB＝56°， ∴∠ODE＝124°. 【举一反三4】如图，直线EF分别交直线AB，CD于点G，H，AB∥CD，MG⊥EF，垂足为G，HN平分∠CHE，∠NHC=32°，则∠AGM=　　　　.  【答案】26° 【举一反三5】如图，AB∥CD，BE和DF相交于点E． (1)若∠B＝120°，∠D＝145°，求∠BEF的度数； (2)猜想∠B，∠D，∠BEF之间的关系，并说明理由． 【答案】解　(1)如图1，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； (2) 如图2，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【题型14】根据平行线的判定与性质求角度 【典例】如图是某小区车库门口的曲臂直杆道闸模型.已知AB垂直于水平地面AE.当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升(即CD与AE始终平行)，在该运动过程中∠ABC＋∠BCD的度数始终等于(　　) A.360°    B.180° C.250°    D.270° 【答案】D 【解析】如图，过点B作BG∥AE， 因为AE∥CD， 所以AE∥CD∥BG， 所以∠BCD＋∠CBG＝180°，∠BAE＋∠ABG＝180°， 所以∠BAE＋∠ABG＋∠CBG＋∠BCD＝360°， 所以∠BCD＋∠BAE＋∠ABC＝360°. 因为BA⊥AE， 所以∠BAE＝90°， 所以∠ABC＋∠BCD＝360°－∠BAE＝360°－90°＝270°. 【举一反三1】如图，l1∥l2，l2∥l3，若∠1＝59°，则∠2的度数为 A.118° B.120° C.121° D.131° 【答案】C 【解析】∵l1∥l2，l2∥l3， ∴l1∥l3， ∴∠1＋∠2＝180°， ∵∠1＝59°， ∴∠2＝180°－59°＝121°. 【举一反三2】如图，把一个长方形纸条ABCD沿AF折叠，已知∠ADB＝26°，AE∥BD，则∠BAF＝　　　　　. 【答案】58° 【解析】∵四边形ABCD是长方形， ∵∠BAD＝90°. ∵∠ADB＝26°， ∴∠ABD＝90°－26°＝64°. ∵AE∥BD， ∴∠BAE＝180°－64°＝116°， ∴∠BAF＝∠BAE＝58°. 【举一反三3】将一副三角板按如图所示摆放在一组平行线内，∠1＝25°，则∠2的度数为　　　　　°. 【答案】70 【解析】如图， 由题意得∠ABC＝90°，∠BCD＝45°， ∵∠1＝25°， ∴∠CBE＝∠ABC＋∠1＝115°， ∵BE∥CF， ∴∠BCF＝∠CBE＝115°， ∴∠2＝∠BCF－∠BCD＝70°. 【举一反三4】如图，已知AD⊥BC，∠1＝∠B，∠2＋∠3＝180°，试说明：EF⊥BC. 【答案】解　∵∠1＝∠B， ∴GD∥AB(同位角相等，两直线平行)， ∴∠DAB＝∠2(两直线平行，内错角相等)， ∵∠2＋∠3＝180°， ∴∠DAB＋∠3＝180°， ∴AD∥EF(同旁内角互补，两直线平行)， ∵AD⊥BC，即∠ADB＝90°， ∴∠EFB＝∠ADB＝90°， ∴EF⊥BC. 【题型15】根据平行线的判定与性质证明 【典例】将一副三角板按如图放置，则下列结论①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°则有AC∥DE；③如果∠2＝30°，则有BC∥AD；④如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C，其中正确的有（　　） A.①②③ B.①②④ C.③④ D.①②③④ 【答案】B 【解析】∵∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°， ∴∠1＝∠3，①正确； ∵∠2＝30°， ∴∠1＝60°， 又∵∠E＝60°， ∴∠1＝∠E， ∴AC∥DE，②正确； ∵∠2＝30°， ∴∠1+∠2+∠3＝150°， 又∵∠C＝45°， ∴BC与AD不平行，③错误； ∵∠2＝30° ∴AC∥DE， ∴∠4＝∠C，④正确． 故选：B． 【举一反三1】如图，已知BC∥DE，BF平分∠ABC，DC平分∠ADE，则下列结论：①∠ACB＝∠E；②BF∥CD；③∠ABF＝∠BCD；④DF平分∠ADC，其中正确的有（　　） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】B 【解析】∵BC∥DE， ∴∠ACB＝∠E， 故①正确，符合题意； ∵BC∥DE， ∴∠ABC＝∠ADE， ∵BF平分∠ABC，DC平分∠ADE， ∴∠ABF＝∠CBF∠ABC，∠ADC＝∠EDC∠ADE， ∴∠ABF＝∠CBF＝∠ADC＝∠EDC， ∴BF∥CD， 故②正确，符合题意； ∵BC∥DE， ∴∠BCD＝∠EDC， ∵∠ABF＝∠EDC， ∴∠ABF＝∠BCD， 故③正确，符合题意； 根据已知不能求出∠ADF＝∠CDF， 即不能得出DF平分∠ADC， 故④错误，不符合题意； 即正确的有3个， 故选：B． 【举一反三2】如图，在同一平面内，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，连接AD，DE平分∠ADC交BC于点E，点F为CD延长线上一点，连接AF，∠BAF＝∠EDF，下列结论：①∠BAD＝∠ADF；②AF∥ED；③∠ADC＝2∠F；④∠CED∠ADC＝90°；⑤若∠ADE∠BAD，则∠AFD+∠BED＝160°，正确的有 　      　． 【答案】①②③④ 【解析】∵AB⊥BC，DC⊥BC， ∴AB∥CD， ∴∠BAD＝∠ADF， 故①正确，符合题意； ∵∠BAF＝∠EDF，∠BAD＝∠ADF， ∴∠EDA＝∠DAF， ∴AF∥ED， 故②正确，符合题意； ∵AF∥ED， ∴∠CDE＝∠F， ∵DE平分∠ADC， ∴∠CDE＝∠ADE， ∴∠ADE＝∠F， ∵∠EDA＝∠DAF， ∴∠F＝∠DAF， ∴∠ADC＝∠F+∠DAF＝2∠F， 故③正确，符合题意； ∵DC⊥BC， ∴∠CED+∠CDE＝90°， ∵DE平分∠ADC， ∴∠CDE∠ADC， ∴∠CED∠ADC＝90°， 故④正确，符合题意； ∵AB⊥BC，DC⊥BC， ∴∠BAD+∠CDA＝180°， ∵∠ADE∠BAD，DE平分∠ADC， ∴∠ADC∠BAD， ∴∠BAD∠BAD＝180°， ∴∠BAD＝108°， ∴∠ADC＝72°， ∵∠ADC＝2∠F＝2∠ADE， ∴∠ADE＝∠F＝36°， ∴∠BED＝360°﹣90°﹣108°﹣36°＝126°， ∴∠AFD+∠BED＝162°， 故⑤错误，不符合题意； 故答案为：①②③④． 【举一反三3】如图，点E在CA延长线上，DE，AB交于点F，且∠BDE＝∠AEF，∠B＝∠C，∠EFA比∠FDC的余角大30°，P为线段DC上一动点，Q为PC上一点，且满足∠FQP＝∠QFP，FM为∠EFP的平分线．下列结论：①CE∥BD；②AB∥CD；③FQ平分∠AFP；④∠B+∠E＝120°；⑤∠QFM＝30°．其中结论正确的序号是 　    　． 【答案】①②③④⑤ 【解析】①∵∠BDE＝∠AEF， ∴CE∥BD，结论①正确； ②∵CE∥BD， ∴∠B＝∠EAF． ∵∠B＝∠C， ∴∠EAF＝∠C， ∴AB∥CD，结论②正确； ③∵AB∥CD， ∴∠AFQ＝∠FQP． ∵∠FQP＝∠QFP， ∴∠AFQ＝∠QFP， ∴FQ平分∠AFP，结论③正确； ④∵AB∥CD， ∴∠EFA＝∠FDC． ∵∠EFA比∠FDC的余角大30°， ∴∠EFA＝60°． ∵∠B＝∠EAF，∠EAF+∠E+∠EFA＝180°， ∴∠B+∠E＝180°﹣∠EFA＝120°，结论④正确； ⑤∵FM为∠EFP的平分线， ∴． ∵∠AFQ＝∠QFP，， ∴，结论⑤正确． 故答案为：①②③④⑤． 【举一反三4】如图，已知∠ABE+∠DEB＝180°，∠1＝∠2，求证：∠F＝∠G． 【答案】证明　∵∠ABE+∠DEB＝180°， ∴AC∥DE， ∴∠CBE＝∠DEB， ∵∠1＝∠2， ∴∠FBE＝∠GEB， ∴BF∥GE， ∴∠F＝∠G． 【举一反三5】填空，完成下列证明过程，并在括号中注明理由． 如图，点E在AB上，点F在CD上，已知∠FHD+∠EGH＝180°，∠B＝∠C，求证：AB∥CD． 证明：∵∠FHD＝　   　①（ 　   　②）， 且∠FHD+∠EGH＝180°（已知）， ∴　   　③+∠EGH＝180°， ∴　  　④∥BF（ 　                   　⑤）， ∴∠C＝　   　⑥（ 　                                　⑦）， ∵∠B＝∠C（已知）， ∴∠B＝　  　⑧， ∴AB∥CD． 【答案】证明　∵∠FHD＝∠BHA （对顶角相等）， 且∠FHD+∠EGH＝180°（已知）， ∴∠BHA+∠EGH＝180°， ∴CE∥BF（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠C＝∠BFD（两直线平行，同位角相等）， ∵∠B＝∠C（已知）， ∴∠B＝∠BFD． ∴AB∥CD， 故答案为：①∠BHA；②对顶角相等；③∠BHA；④CE；⑤同旁内角互补，两直线平行；⑥∠BFD；⑦两直线平行，同位角相等；⑧∠BFD． 学科网（北京）股份有限公司 $