专题01 集合与常用逻辑用语（期中真题汇编，河南专用）高一数学上学期

**基本信息** 汇集河南多地高一上期中真题，系统覆盖集合与常用逻辑用语5大高频考点，基础巩固与创新应用梯度分明。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择（含多选）|33题|集合运算（交并补、Venn图）、充分必要条件判断、量词命题否定|基础题考查集合概念，能力题结合方程不等式判断子集关系，创新题引入“递嬗和”“新定义集合运算”| |填空|10题|子集个数计算、集合关系参数求解|以简单问题巩固核心概念，如“方程解集子集个数”“集合包含关系求参数”| |解答|12题|集合运算综合、充要条件应用|综合题结合不等式考查集合关系，如“含参数集合交并补运算”“充要条件与集合包含关系转化”|

专题01 集合与常用逻辑用语 5大高频考点概览 考点01 集合的概念 考点02 集合间的基本关系 考点03 集合的基本运算 考点04 充分条件与必要条件 考点05 全称量词与存在量词 考点01 集合的概念 1．（25-26学年高一上·河南豫北民办高·期中）已知集合，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·河南洛阳·期中）已知集合，则用列举法表示（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·河南新未来多校·期中）（多选）已知集合满足，且，则的可能取值为（     ） A. 2 B. 0 C. -1 D. 1 4．（25-26学年高一上·河南月期中学·期中）若，则实数的取值集合为　　　　　　　　　　　． 考点02 集合间的基本关系 1．（25-26学年高一上·河南新乡·期中）已知集合，则集合的真子集个数为（     ） A. 32 B. 31 C. 16 D. 15 2．（25-26学年高一上·河南商丘·期中）已知集合，则的真子集的个数为（     ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 3．（25-26学年高一上·河南名校联考·期中）满足\left\{ 1 \right\}\subseteq A\underset{ e }{\mathop{\subset }}\,\left\{ 1,2,3 \right\}的集合A的个数为　　　　　　　　． 4．（25-26学年高一上·河南郑州·期中）方程的解集有且仅有两个子集，则实数的值为　　　　　　　　　　. 考点03 集合的基本运算 1．（25-26学年高一上·河南开封·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·河南豫北民办高·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·河南洛阳·期中）（多选）设A、B、I均为非空集合，且满足，则下列各式中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·河南郑州·期中）已知全集，则（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·河南信阳固始县·期中）已知集合，集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·河南联考·期中）若集合或，，则（     ） A.  B.  C. 或 D. 或 7．（25-26学年高一上·河南信阳罗山县·期中）已知，集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·河南新乡辉县·期中）已知集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·河南驻马店部分）已知集合，则（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·河南名校联考·期中）（多选）若某班45名学生中，有围棋爱好者22人，足球爱好者28人，则同时爱好这两项的人数可能有（       ） A. 22 B. 21 C. 5 D. 4 11．（25-26学年高一上·河南名校联考·期中）已知集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·河南部分普通高·期中）（多选）设全集，集合，，则下列正确的有（     ） A.  B.  C. 集合的子集个数为4 D.  13．（25-26学年高一上·河南新未来多校·期中）已知集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·河南周口·期中）已知集合，，则（       ）． A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）设全集，集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高一上·河南信阳固始县·期中）如图，已知矩形U表示全集，A、B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高一上·河南九师联盟·期中）已知全集，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高一上·河南商丘·期中）（多选）定义集合A与B的运算：，.已知，，则（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高一上·河南信阳罗山县·期中）（多选）对于集合，若存在集合的两两不同的子集满足，则称其构成集合的一条“链”，称为这条“链”的长度.当集合的元素个数为时，下列说法正确的是（       ） A. 当时，集合的最长“链”的长度为4 B. 如果一条“链”同时包含空集和全集，则这条链的长度至少为 C. 对于集合的任意两个不同子集和，若，则存在一条链同时包含和 D. 任何长度大于1的链都可以扩展为一条最长链（即从空集到全集的链） 20．（25-26学年高一上·河南郑州·期中）当一个含有非零实数的数集满足“如果，则”时，我们称就是一个数域.①0和1是任何数域的元素；②；③集合是一个数域；④有理数集是最小的数域（即对于任意的数域，都有）.以上关于数域的说法中不正确的是（       ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 21．（25-26学年高一上·河南部分学校·期中）已知集合． （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 22．（25-26学年高一上·河南月期中学·期中）已知 ，. （1）当 时，求 ; （2）若，求实数的取值范围. 23．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）某学校先后举办了多个学科的课余活动.已知高一（1）班全体同学中30名参加了数学活动，26名参加了物理活动，15名同时参加了数学､物理两个学科的活动，还有14名两个均未参加，则这个班有　　　　　　　　　　名同学. 24．（25-26学年高一上·河南信阳固始县·期中）集合，. （1）求； （2）求. 25．（25-26学年高一上·河南新乡·期中）设全集，，则使成立的集合B至多有　　　　　　　　个． 26．（25-26学年高一上·河南部分名校·期中）已知集合． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 27．（25-26学年高一上·河南豫北民办高·期中）设集合，集合． （1）若，求和 （2）设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 28．（25-26学年高一上·河南新未来多校·期中）已知集合，或. （1）当时，求和； （2）若，求实数的取值范围. 29．（25-26学年高一上·河南郑州·期中）已知集合，全集. （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 30．（25-26学年高一上·河南部分学校·期中）对集合及其每一个非空子集，定义一个唯一确定的“递嬗和”如下：将中的数按照递减的次序排列，然后第一个数减第二个数，再加上第三个数，再减去第四个数，…，减加交替所得的结果，例如的“递嬗和”是的“递嬗和”足的“递嬗和”是2．定义一个唯一确定的“递嬗积”如下：将中的数按照递减的次序排列，然后第一个数除以第二个数，再乘第三个数，再除以第四个数，…，除乘交替所得的结果，例如，的“递嬗积”是的“递嬗积”是的“递嬗积”是2． （1）①求所有非空子集的“递嬗和”的总和； ②求所有非空子集的“递嬗积”的总和． （2）集合． ①求集合所有非空子集的“递嬗和”的总和； ②求集合所有非空子集的“递嬗积”的总和． 31．（25-26学年高一上·河南联考·期中）已知集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 32．（25-26学年高一上·河南联考·期中）设集合 则中的元素个数为　　　　　　　　　　 考点04 充分条件与必要条件 1．（25-26学年高一上·河南信阳罗山县·期中）设是实数，则“且”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2．（25-26学年高一上·河南豫北民办高·期中）设，则“”关于的方程“有实数根”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3．（25-26学年高一上·河南部分学校·期中）使成立的一个充分不必要条件是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·河南联考·期中）“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5．（25-26学年高一上·河南驻马店部分）已知，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6．（25-26学年高一上·河南名校联考·期中）“”是“”的（     ） A. 必要且不充分条件 B. 充分且不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 7．（25-26学年高一上·河南新未来多校·期中）不等式的一个充分不必要条件是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·河南月期中学·期中）（多选）下列选项中，是的必要不充分条件的是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·河南周口·期中）设，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10．（25-26学年高一上·河南商丘·期中）“”是“”的（     ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充要条件 11．（25-26学年高一上·河南信阳固始县·期中）（多选）下面命题正确的是（       ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “且”是“”的充要条件 C. “”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 12．（25-26学年高一上·河南九师联盟·期中）“”是“”的（     ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 13．（25-26学年高一上·河南驻马店部分）已知集合． （1）若，求和； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 14．（25-26学年高一上·河南周口·期中）已知集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 15．（25-26学年高一上·河南信阳罗山县·期中）已知集合. （1）若，定义集合且，求； （2）给出以下两个条件：①；②“”是“”的充分不必要条件.在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若__________，求实数的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 16．（25-26学年高一上·河南新乡·期中）已知集合，． （1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 17．（25-26学年高一上·河南商丘·期中）已知全集，集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 18．（25-26学年高一上·河南部分普通高·期中）已知集合，集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题：；命题：，若是的充分条件，求实数的取值范围． 考点05 全称量词与存在量词 1．（25-26学年高一上·河南信阳罗山县·期中）命题“存在一个实数，使得”的否定是（       ） A. 对任意实数，都有 B. 存在一个实数，使得 C. 对任意实数，都有 D. 存在一个实数，使得 2．（25-26学年高一上·河南信阳固始县·期中）已知命题、，使得；命题，，则下列关于，真假叙述正确的是（       ） A. ，均为真 B. ，均为假 C. 真，假 D. 假，真 3．（25-26学年高一上·河南开封·期中）（多选）下列命题是真命题的是（       ） A. ， B. ， C. 当为整数时，是偶数 D. 抛物线上的点可用集合表示 4．（25-26学年高一上·河南新乡·期中）命题p：，，则p的否定是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5．（25-26学年高一上·河南部分名校·期中）命题“”的否定是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·河南新乡辉县·期中）已知命题，，则的否定为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7．（25-26学年高一上·河南豫北民办高·期中）（多选）下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（       ） A. 奇数都不能被2整除 B. 有的实数是无限不循环小数 C. 角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等 D. 对任意实数x，方程都有解 8．（25-26学年高一上·河南部分普通高·期中）命题“”的否定是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·河南新未来多校·期中）命题“，”的否定为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10．（25-26学年高一上·河南月期中学·期中）命题“，”的否定是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11．（25-26学年高一上·河南郑州·期中）命题“”的否定为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·河南信阳固始县·期中）命题“，”的否定是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 13．（25-26学年高一上·河南九师联盟·期中）命题“，”的否定是　　　. 14．（25-26学年高一上·河南洛阳·期中）已知命题. （1）若为真命题，求实数的取值所构成的集合； （2）设不等式的解集为，在（1）的条件下，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语 5大高频考点概览 考点01 集合的概念 考点02 集合间的基本关系 考点03 集合的基本运算 考点04 充分条件与必要条件 考点05 全称量词与存在量词 考点01 集合的概念 1．（25-26学年高一上·河南豫北民办高·期中）已知集合，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 直接由元素与集合的关系即可求解. 【详解】 由元素与集合的关系可知：若集合，则. 故选：B. 2．（25-26学年高一上·河南洛阳·期中）已知集合，则用列举法表示（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由题意可得可为、，计算即可得. 【详解】 由题意可得可为、， 即可为，即. 故选：B. 3．（25-26学年高一上·河南新未来多校·期中）（多选）已知集合满足，且，则的可能取值为（     ） A. 2 B. 0 C. -1 D. 1 【答案】AC 【分析】 由题意，按照和分类讨论，根据集合元素的性质求值即可. 【详解】 由题意可知，，. 当时，解得或； 当时，，与元素互异性矛盾，舍去； 当时，，满足题意； 当时，解得或， 当时，，满足题意； 当时，，与元素互异性矛盾，舍去. 综上，或. 故选：AC. 4．（25-26学年高一上·河南月期中学·期中）若，则实数的取值集合为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 分和两种情况讨论，求出的值，再检验是否满足集合元素的互异性. 【详解】 因为， 当时，则，不满足元素互异性，舍去； 当时，即，解得或或（舍去）， 当时，符合题意； 当时，符合题意； 故实数的取值集合为． 故答案为： 考点02 集合间的基本关系 1．（25-26学年高一上·河南新乡·期中）已知集合，则集合的真子集个数为（     ） A. 32 B. 31 C. 16 D. 15 【答案】B 【分析】 根据集合元素的约束条件先确定的所有可能的值，再依次代入不等式，确定的值，即得集合以及其真子集个数. 【详解】 因为，所以，又，所以， 结合，可得： 当时，；当时，；当时，； 所以， 即中有5个元素，则集合的真子集个数为． 故选：B． 2．（25-26学年高一上·河南商丘·期中）已知集合，则的真子集的个数为（     ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 【答案】A 【分析】 先用列举法得出集合，再应用子集个数公式计算求解. 【详解】 ，的真子集的个数为. 故选:A. 3．（25-26学年高一上·河南名校联考·期中）满足\left\{ 1 \right\}\subseteq A\underset{ e }{\mathop{\subset }}\,\left\{ 1,2,3 \right\}的集合A的个数为　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 根据条件可知一定含元素1，可能含元素2，3，从而可求出满足条件的的个数． 【详解】 解：\left\{ 1 \right\}\subseteq A\underset{ e }{\mathop{\subset }}\,\left\{ 1,2,3 \right\}， 是的元素，2，3可能是的元素，但不能同时存在. 集合的个数有个． 故答案为：3． 4．（25-26学年高一上·河南郑州·期中）方程的解集有且仅有两个子集，则实数的值为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据子集个数判断元素个数，利用判别式即可求解. 【详解】 因为方程的解集有且仅有两个子集， 所以方程有两个相等实数解， 所以，即，解得，即. 故答案为： 考点03 集合的基本运算 1．（25-26学年高一上·河南开封·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用自然数集的定义化简集合，再利用集合的交集运算即可得解. 【详解】 因为，又， 所以. 故选：A. 2．（25-26学年高一上·河南豫北民办高·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先求出集合，，再根据交集的定义求解即可. 【详解】 因为，， 所以. 故选：D. 3．（25-26学年高一上·河南洛阳·期中）（多选）设A、B、I均为非空集合，且满足，则下列各式中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ACD 【分析】 画出维恩图，再根据维恩图分析判断得解. 【详解】 、B、I满足，先画出维恩图，如下图： 根据维恩图可判断出A、C、D都是正确的； 而，故B错误； 故选：ACD. 【点睛】 本题主要考查集合的运算，意在考查学生对这些知识点的理解掌握水平. 4．（25-26学年高一上·河南郑州·期中）已知全集，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用列举法表示集合，再利用补集的意义求解. 【详解】 依题意，，而全集， 所以. 故选：A 5．（25-26学年高一上·河南信阳固始县·期中）已知集合，集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用交集的意义求解即可. 【详解】 因为，，所以. 故选：D. 6．（25-26学年高一上·河南联考·期中）若集合或，，则（     ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】D 【分析】 由交集定义计算即可得. 【详解】 由或，， 则或. 故选：D. 7．（25-26学年高一上·河南信阳罗山县·期中）已知，集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 化简集合，再根据集合的运算即集合间的关系判断. 【详解】 ，， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，集合没有包含关系，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B. 8．（25-26学年高一上·河南新乡辉县·期中）已知集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 解不等式可得集合B，再利用交集的概念计算即可. 【详解】 因为，， 所以. 故选：B 9．（25-26学年高一上·河南驻马店部分）已知集合，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由集合的交集运算求解． 【详解】 ， 则． 故选：B 10．（25-26学年高一上·河南名校联考·期中）（多选）若某班45名学生中，有围棋爱好者22人，足球爱好者28人，则同时爱好这两项的人数可能有（       ） A. 22 B. 21 C. 5 D. 4 【答案】ABC 【分析】 由已知确定围棋爱好者的集合与足球爱好者的集合的并集中的元素的个数范围，列不等式求出同时爱好这两项的人数的范围可得正确选项. 【详解】 由已知可得围棋与足球至少爱好一项的学生数的最小值为28，最大值为45，设同时爱好这两项的人数为，则只爱好围棋的学生数为，故围棋爱好者的集合与足球爱好者的集合的并集中的元素的个数为，所以，所以， 故选：ABC. 11．（25-26学年高一上·河南名校联考·期中）已知集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先求出集合,再根据交集的定义求解即可. 【详解】 因，， 故. 故选：D. 12．（25-26学年高一上·河南部分普通高·期中）（多选）设全集，集合，，则下列正确的有（     ） A.  B.  C. 集合的子集个数为4 D.  【答案】ABC 【分析】 根据集合的交集、并集和补集的概念即可求出. 【详解】 集合，，共同的元素为0和2，故，故A正确； ，故B正确； ，有4个子集，故C正确； 故，，故不成立，故D错误． 故选：ABC． 13．（25-26学年高一上·河南新未来多校·期中）已知集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 解不等式求解集合A，解方程求解集合B，然后利用交集运算求解即可. 【详解】 由，得，又因为，所以， 又，所以. 故选：C. 14．（25-26学年高一上·河南周口·期中）已知集合，，则（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 将A集合与B集合用列举法表示，再用交集求答案即可. 【详解】 由题知：集合； 集合， 即，所以. 故选：C. 15．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）设全集，集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据补集、交集的定义求解即可. 【详解】 由题可知，，又， 所以. 故选：B. 16．（25-26学年高一上·河南信阳固始县·期中）如图，已知矩形U表示全集，A、B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据阴影部分区域内元素且，进而求得结论． 【详解】 由题可得阴影部分区域内元素且， 所以阴影部分可表示为. 故选：D. 17．（25-26学年高一上·河南九师联盟·期中）已知全集，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据交集、补集的定义进行运算即可. 【详解】 因为， 所以. 因为，所以. 故选：A. 18．（25-26学年高一上·河南商丘·期中）（多选）定义集合A与B的运算：，.已知，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABD 【分析】 根据新定义，结合交并补概念逐个计算即可确定正确选项. 【详解】 ∵，， ∴， ∴，，选项A、B正确. ∵，∴， ∴，选项C错误. ∵，∴， ∴，选项D正确. 故选：ABD. 19．（25-26学年高一上·河南信阳罗山县·期中）（多选）对于集合，若存在集合的两两不同的子集满足，则称其构成集合的一条“链”，称为这条“链”的长度.当集合的元素个数为时，下列说法正确的是（       ） A. 当时，集合的最长“链”的长度为4 B. 如果一条“链”同时包含空集和全集，则这条链的长度至少为 C. 对于集合的任意两个不同子集和，若，则存在一条链同时包含和 D. 任何长度大于1的链都可以扩展为一条最长链（即从空集到全集的链） 【答案】ACD 【分析】 根据链的定义进行探索研究，可以判选项. 【详解】 由于两两不同，且， 则它们的元素个数各不相同且依次递增， 对于集合S=\{a & _{1},a_{2}\cdots a_{n}\}，从起，依次添加任意一个新元素构成新集合， 所得集合即可构成集合的一条“链”， 则一条最长链可为\varnothing \subseteq \{a_{1}\}\subseteq \{a_{1},a_{2}\}\subseteq \cdots \subseteq \{a & _{1},a_{2}\cdots a_{n}\}，长度为. A：当  时，其最长链的长度为 4，故A正确； B：链的长度不超过，故B错误； C：若  且 ，则可直接构造链 ，故C正确； D：对于集合的一条长度为2的链， 对于集合任取一条最长链， 对于集合且，依次添加其中的一个新元素到构成新集合，直至得到， 对于集合且，依次添加其中的一个新元素到，直至得到， 则此过程所得集合即可扩展为一条最长链, 则任何长度大于1的链都可以扩展为一条最长链. 故选：ACD. 20．（25-26学年高一上·河南郑州·期中）当一个含有非零实数的数集满足“如果，则”时，我们称就是一个数域.①0和1是任何数域的元素；②；③集合是一个数域；④有理数集是最小的数域（即对于任意的数域，都有）.以上关于数域的说法中不正确的是（       ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 【分析】 根据有理数的定义及数域的定义一一判断即可. 【详解】 由题意可知对任意数域，存在非零实数， 则由数域定义，所以和是任何数域的元素，故①正确； 由①知，所以，以此类推，所有的正整数均属于数域， 所以，故②正确； 集合，则，但，不满足数域的定义， 故集合不是一个数域，故③错误； 由①知所有正整数均属于数域，又， 以此类推，所有负整数均属于数域，所以所有的整数均属于数域， 所以对任意整数，有， 故对有理数集，有， 又对任意的，有， 所以有理数集是数域，且有理数集是最小的数域，故④正确. 故选：C 21．（25-26学年高一上·河南部分学校·期中）已知集合． （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1），或     （2）      【分析】 （1）先求出集合，代入值，利用交并补运算法则计算即得； （2）就集合分和两种情形考虑，依题列出不等式组，解之即得. (1) 小问详解： 由题意得，． 若，则， 故， 又， 则或． (2) 小问详解： 当时，，解得． 当时，由，得 ，解得． 综上，的取值范围是． 22．（25-26学年高一上·河南月期中学·期中）已知 ，. （1）当 时，求 ; （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）{或4}      【分析】 （1）时，可以求出集合，然后进行并集的运算即可； （2）求解，根据，列不等式即可得出实数的取值范围． (1) 小问详解： 解：当时 所以 (2) 小问详解： 解： ，. 或. ， 4， 故的取值范围为{或4} 23．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）某学校先后举办了多个学科的课余活动.已知高一（1）班全体同学中30名参加了数学活动，26名参加了物理活动，15名同时参加了数学､物理两个学科的活动，还有14名两个均未参加，则这个班有　　　　　　　　　　名同学. 【答案】55 【分析】 画出维恩图可解. 【详解】    由图可得这个班共有学生人. 故答案为：55. 24．（25-26学年高一上·河南信阳固始县·期中）集合，. （1）求； （2）求. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）求出集合，再利用集合的运算，即可求解； （2）利用集合的运算，即可求解. (1) 小问详解： 由，解得，所以， 又，所以. (2) 小问详解： 因为，则或， 又由（1）知，则. 25．（25-26学年高一上·河南新乡·期中）设全集，，则使成立的集合B至多有　　　　　　　　个． 【答案】8 【分析】 先求，再根据，列举分析即可． 【详解】 ，根据，可知，即， 所以共有8种， 所以集合B至多有8个． 故答案为：8． 26．（25-26学年高一上·河南部分名校·期中）已知集合． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1），     （2）或      【分析】 （1）先求出集合，再根据并集、补集、交集的定义求解即可； （2）由，得，进而结合包含关系分、两种情况讨论求解即可. (1) 小问详解： 由， 当时，，则或， 则，. (2) 小问详解： 由，得， 当时，，即； 当时，有 ，解得. 综上所述，的取值范围为或． 27．（25-26学年高一上·河南豫北民办高·期中）设集合，集合． （1）若，求和 （2）设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）当，所以，再求和即可求出答案. （2）因为是成立的必要不充分条件，所以⫋，分类讨论和，即可得出答案. (1) 小问详解： ，因为，所以， 所以，． (2) 小问详解： 因为是成立的必要不充分条件，所以⫋， 当时，，得 当时， ． 解得 ， 所以实数的取值范围是 28．（25-26学年高一上·河南新未来多校·期中）已知集合，或. （1）当时，求和； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或，     （2）      【分析】 （1）利用并集运算、交集运算和补集运算求解即可； （2）按照和分类讨论，根据集合关系列不等式组求解即可. (1) 小问详解： 当时，， 又因为或，则或； 又因为，所以； (2) 小问详解： 因为. 当时，，解得； 当时， 或 ，解得； 综上，实数的取值范围为. 29．（25-26学年高一上·河南郑州·期中）已知集合，全集. （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）先求集合及其补集，再求并集； （2）分为空集和非空集两种情况，结合子集关系列不等式求解. (1) 小问详解： 由，得，则或， 当时，，则； (2) 小问详解： 因为是的充分条件，所以， 当时，，解得，满足， 当时，，且需满足 ，解得， 综上，实数的取值范围是. 30．（25-26学年高一上·河南部分学校·期中）对集合及其每一个非空子集，定义一个唯一确定的“递嬗和”如下：将中的数按照递减的次序排列，然后第一个数减第二个数，再加上第三个数，再减去第四个数，…，减加交替所得的结果，例如的“递嬗和”是的“递嬗和”足的“递嬗和”是2．定义一个唯一确定的“递嬗积”如下：将中的数按照递减的次序排列，然后第一个数除以第二个数，再乘第三个数，再除以第四个数，…，除乘交替所得的结果，例如，的“递嬗积”是的“递嬗积”是的“递嬗积”是2． （1）①求所有非空子集的“递嬗和”的总和； ②求所有非空子集的“递嬗积”的总和． （2）集合． ①求集合所有非空子集的“递嬗和”的总和； ②求集合所有非空子集的“递嬗积”的总和． 【答案】（1）①12; ②-1     （2）①13184; ②-1      【分析】 （1）根据“递嬗和”和“递嬗积”的新定义，找出符合条件的元素，再求和即可. （2）根据“递嬗和”和“递嬗积”的新定义，结合集合子集概念和结论，运用组合一起求和即可. (1) 小问详解： ①的所有非空子集为， 其“递嬗和”分别是， 则所有非空子集的“递嬗和”的总和为． ②的所有非空子集为， ， 其“递嬗积”分别是， 则所有非空子集的“递嬗和”的总和为． (2) 小问详解： 因为， 所以集合． ① 集合的子集中，除去外还有个非空子集， 把这个非空子集两两组合后分别计算每一组中“递嬗和”的和， 组合原则是设，集合的元素为集合中去掉103的所有元素， 把和结合为一组，显然每组的“递嬗和”的和为103，共有组， 所以所有“递嬗和”的总和为． ② 集合的子集中，其中除去外还有个非空子集， 把这个非空子集两两组合后分别计算每一组中“递嬗积”的和， 组合原则是设，集合的元素为集合中去掉的所有元素， 把和结合为一组，显然每组的“递嬗积”的和为0，共有组， 所以所有“递嬗积”之和应该为． 31．（25-26学年高一上·河南联考·期中）已知集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）借助指数函数单调性计算出集合后，利用补集与交集定义即可得； （2）分及，结合集合包含定义讨论即可得. (1) 小问详解： 由，解得，则，则， 由，则， 故； (2) 小问详解： 当时，有，解得，此时； 当时，由，则 ，解得； 综上所述：. 32．（25-26学年高一上·河南联考·期中）设集合 则中的元素个数为　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 由题可得当时，，当时，，从而可得，两集合有个相同元素，再利用集合的并集运算即可求解. 【详解】 由题集合 则中有个不同的元素， 又，可得中也有个不同的元素， 当时，，当时，, 当时，，当时，， 所以集合与有个相同元素4,17,54， 则中的元素个数为. 故答案为：. 考点04 充分条件与必要条件 1．（25-26学年高一上·河南信阳罗山县·期中）设是实数，则“且”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 利用作差法来判断不等式的推出关系，从而可判断充要关系. 【详解】 由于， 当且，可得，此是“且”是“”的充分条件， 当，也可得且， 所以“且”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 2．（25-26学年高一上·河南豫北民办高·期中）设，则“”关于的方程“有实数根”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】以为条件，判断有实数根是否成立；以有实数根为条件，判断是否成立，即可选出正确答案. 【详解】解：当时， ，此时有实数根； 当有实数根时，，即. 故选:A. 【点睛】本题考查了命题的充分必要条件的判断.一般此类问题分为两步，若，则 是 的充分条件；若，则 是 的必要条件. 3．（25-26学年高一上·河南部分学校·期中）使成立的一个充分不必要条件是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据充分不必要条件的判定即可得到答案. 【详解】 设，则使成立的一个充分不必要条件是集合的真子集． 对照选项知只有B符合题意. 故选：B． 4．（25-26学年高一上·河南联考·期中）“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 解方程，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】 解方程可得或， ，因此，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5．（25-26学年高一上·河南驻马店部分）已知，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】 若，，满足，但不成立， 所以“”不是“”的充分条件； 若，则 ，则成立， 所以“”是“”的必要条件， 综上可得“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6．（25-26学年高一上·河南名校联考·期中）“”是“”的（     ） A. 必要且不充分条件 B. 充分且不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】 根据充分、必要条件的定义计算即可. 【详解】 显然由不能推出，此时可以为0，即不满足充分性； 而可以推出，满足必要性. 故选：A 7．（25-26学年高一上·河南新未来多校·期中）不等式的一个充分不必要条件是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据绝对值不等式的解法，结合充分不必要条件的定义进行求解即可． 【详解】 对于B：由得，解得，显然为充要条件，错误； 对于A：因为能推出，不能推出， 所以是不等式的充分不必要条件，正确； 对于C：因为不能推出，能推出， 所以是不等式的必要不充分条件，错误； 对于D：因为不能推出，不能推出， 所以是不等式的即不充分也不必要条件，错误. 故选：A. 8．（25-26学年高一上·河南月期中学·期中）（多选）下列选项中，是的必要不充分条件的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】AC 【分析】 根据各项条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即可得答案. 【详解】 A，因为能推出，而不能推出，所以是的必要不充分条件，正确； B，因为不能推出，如；同时不能推出，如，即充分性与必要性都不成立，所以是的既不充分也不必要条件，错误； C，因为不能推出，如，即充分性不成立；可以推出，即必要性成立，正确； D，因为等价于，所以是的充要条件，错误． 故选：AC 9．（25-26学年高一上·河南周口·期中）设，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 根据幂函数的单调性即可判断得出结论. 【详解】 因为函数在上单调递增， 在定义域内任取两实数，令， 则，因此充分性成立； 若，则， 因此“”是“”的充要条件. 故选：C 10．（25-26学年高一上·河南商丘·期中）“”是“”的（     ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充要条件 【答案】D 【分析】 先化简求出等价条件，再结合充分必要条件的定义判断求解. 【详解】 ， 所以“”是“”的充要条件. 故选:D. 11．（25-26学年高一上·河南信阳固始县·期中）（多选）下面命题正确的是（       ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “且”是“”的充要条件 C. “”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ACD 【分析】 解分式不等式可判断A正确，由不等式性质可判断B错误，D正确，利用二次方程根的个数与系数的关系可判断C正确. 【详解】 对于A，解不等式可得或， 显然是的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件，即A正确； 对于B，当时，满足，但此时“且”不成立，因此必要性不成立，即B错误； 对于C，由二次方程有一正根一负根可得 ； 解得，因此“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件，即C正确； 对于D，当时，不成立，因此充分性不成立， 当时，可得且，即必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，即D正确. 故选：ACD 12．（25-26学年高一上·河南九师联盟·期中）“”是“”的（     ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 先解方程，，再根据充分条件，必要条件的定义判断即可. 【详解】 由，即， 解得或或或， 由，得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 13．（25-26学年高一上·河南驻马店部分）已知集合． （1）若，求和； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）化简两个集合，即可根据交集以及并集，补集的定义求解， （2）将问题转化为真子集的关系，即可列不等式求解. (1) 小问详解： 由，即，解得， 所以， 由，解得，即， 若，则，所以，， 所以. (2) 小问详解： 若“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 由于恒成立，故， 所以 且等号不能同时成立，解得， 即的取值范围是. 14．（25-26学年高一上·河南周口·期中）已知集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）或     （2）      【分析】 (1)根据题意，由集合的运算代入计算，即可得到结果； (2)根据题意，将问题转化为是的真子集，然后分与讨论，列出不等式代入计算，即可得到结果. (1) 小问详解： 当时，，则或， 且，则或； (2) 小问详解： 由题可知“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集， 当时，，解得； 当时， ，解得； 综上所述，实数的取值范围是. 15．（25-26学年高一上·河南信阳罗山县·期中）已知集合. （1）若，定义集合且，求； （2）给出以下两个条件：①；②“”是“”的充分不必要条件.在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若__________，求实数的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据集合间运算的新定义直接得解； （2）根据集合间的关系及命题的充分必要性列不等式，解不等式即可. (1) 小问详解： 当时，，又， . (2) 小问详解： 若选① ，由，得， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，有 ，解得； 综上，实数的取值范围为； 若选② ，由“”是“”的充分不必要条件，则， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，有 ，解得，经验证， 综上，实数的取值范围为. 16．（25-26学年高一上·河南新乡·期中）已知集合，． （1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先解出分式不等式，得到集合．由是的充分不必要条件，可得集合是集合的真子集，则有 ，解此不等式组可得实数的取值范围． （2）由，得．按照和两种情况讨论求解.当时，则有 ，解此不等式，从而得到实数的取值范围． (1) 小问详解： ，即，即，即，等价于 ， 解得，所以． 由是的充分不必要条件，可得集合是集合的真子集， 则 ，解得， 故实数的取值范围是． (2) 小问详解： 由，得． 又，， ① 当时，，解得； ② 当时，则 ，解得， 综上，，所以实数的取值范围为． 17．（25-26学年高一上·河南商丘·期中）已知全集，集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）化简集合，根据补集和并集的概念计算即可； （2）由题意可知集合是集合的真子集，列不等式求解即可. (1) 小问详解： 由题意知， 若，则，所以， 所以； (2) 小问详解： 因为“”是“”的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集， 因为，所以， 所以 且等号不同时成立，解得， 当时，，满足题意， 当时，，满足题意， 所以实数的取值范围是. 18．（25-26学年高一上·河南部分普通高·期中）已知集合，集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题：；命题：，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求出集合，再利用列不等式组求出的取值范围； （2）先分析命题得出，再分和两种情况讨论得出的取值范围． (1) 小问详解： 或，， 又， ，解得． 实数a的取值范围是． (2) 小问详解： 是的充分条件，， 当时，需满足，无实数解； 当时，需满足，解得， ，或，或，解得或． 实数a的取值范围为． 考点05 全称量词与存在量词 1．（25-26学年高一上·河南信阳罗山县·期中）命题“存在一个实数，使得”的否定是（       ） A. 对任意实数，都有 B. 存在一个实数，使得 C. 对任意实数，都有 D. 存在一个实数，使得 【答案】C 【分析】 根据存在量词命题的否定是全称量词命题分析判断即可. 【详解】 命题“存在一个实数，使得”的否定是“对任意实数，都有”. 故选：C. 2．（25-26学年高一上·河南信阳固始县·期中）已知命题、，使得；命题，，则下列关于，真假叙述正确的是（       ） A. ，均为真 B. ，均为假 C. 真，假 D. 假，真 【答案】B 【分析】 由，则为偶数可判断；时可判断. 【详解】 若，则为偶数，则， 所以不存在，使，故为假命题， 若，则，所以，使，故为假命题， 所以，均为假命题. 故选：B. 3．（25-26学年高一上·河南开封·期中）（多选）下列命题是真命题的是（       ） A. ， B. ， C. 当为整数时，是偶数 D. 抛物线上的点可用集合表示 【答案】BC 【分析】 对于AB：举例说明即可；对于C：整理可得，进而分析奇偶性；对于D：根据集合的描述法分析判断，注意集合的元素. 【详解】 对于选项A：例如，则，故A错误； 对于选项B：例如，则，故B正确； 对于选项C：因为， 若为整数，则中必有一个为偶数，所以是偶数，故C正确； 对于选项D：抛物线上的点可用集合表示，故D错误； 故选：BC. 4．（25-26学年高一上·河南新乡·期中）命题p：，，则p的否定是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【分析】 根据特称量词的否定选出答案即可. 【详解】 命题p：，的否定是，， 故选：B． 5．（25-26学年高一上·河南部分名校·期中）命题“”的否定是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由存在量词命题的否定为全称量词命题即可求解. 【详解】 “”的否定是， 故选：C 6．（25-26学年高一上·河南新乡辉县·期中）已知命题，，则的否定为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【分析】 根据全称量词命题的否定为存在量词命题求解即可. 【详解】 根据全称量词命题的否定为存在量词命题知： 命题，的否定是，. 故选：C. 7．（25-26学年高一上·河南豫北民办高·期中）（多选）下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（       ） A. 奇数都不能被2整除 B. 有的实数是无限不循环小数 C. 角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等 D. 对任意实数x，方程都有解 【答案】AC 【分析】 根据全称量词的定义求解即可. 【详解】 选项A与C既是全称量词命题又是真命题，B项是存在量词命题，D项是假命题． 故选：AC 8．（25-26学年高一上·河南部分普通高·期中）命题“”的否定是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据特称量词命题的否定特点即可求出. 【详解】 原命题的否定要否量词和否结论， 根据题干该命题的否定为：，． 故选：C． 9．（25-26学年高一上·河南新未来多校·期中）命题“，”的否定为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【分析】 根据存在量词命题的否定为全称量词命题求解即可. 【详解】 根据存在量词命题的否定为全称量词命题知： 命题“，”的否定为：，. 故选：B. 10．（25-26学年高一上·河南月期中学·期中）命题“，”的否定是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【分析】 利用全称量词命题的否定即可求解. 【详解】 命题“，”为全称量词命题，则其否定为“，”，故B正确. 故选：B. 11．（25-26学年高一上·河南郑州·期中）命题“”的否定为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据全称命题的否定，将任意改为存在，并否定原结论，即可得. 【详解】 由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为. 故选：B 12．（25-26学年高一上·河南信阳固始县·期中）命题“，”的否定是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【分析】 根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得. 【详解】 命题“，”的否定是，. 故选：D. 13．（25-26学年高一上·河南九师联盟·期中）命题“，”的否定是　　　. 【答案】， 【分析】 根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即可得出答案. 【详解】 命题“”的否定为“”. 故答案为：. 14．（25-26学年高一上·河南洛阳·期中）已知命题. （1）若为真命题，求实数的取值所构成的集合； （2）设不等式的解集为，在（1）的条件下，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由即可求解； （2）由，通过和分别讨论即可. (1) 小问详解： 由题意知为真命题， ， . (2) 小问详解： ， ， 即. 是“”的必要条件， . 当时，， . 当时， . 综上可知，实数的取值范围为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语 考点01 集合的概念 考点02 集合间的基本关系 考点03 集合的基本运算 考点04 充分条件与必要条件 考点05 全称量词与存在量词 考点01 集合的概念 1．B 2．B 3．AC 4．【答案】 【分析】 分和两种情况讨论，求出的值，再检验是否满足集合元素的互异性. 【详解】 因为， 当时，则，不满足元素互异性，舍去； 当时，即，解得或或（舍去）， 当时，符合题意； 当时，符合题意； 故实数的取值集合为． 故答案为： 考点02 集合间的基本关系 1．B 2．A 3．【答案】3 【分析】 根据条件可知一定含元素1，可能含元素2，3，从而可求出满足条件的的个数． 【详解】 解：\left\{ 1 \right\}\subseteq A\underset{ e }{\mathop{\subset }}\,\left\{ 1,2,3 \right\}， 是的元素，2，3可能是的元素，但不能同时存在. 集合的个数有个． 故答案为：3． 4．【答案】 【分析】 根据子集个数判断元素个数，利用判别式即可求解. 【详解】 因为方程的解集有且仅有两个子集， 所以方程有两个相等实数解， 所以，即，解得，即. 故答案为： 考点03 集合的基本运算 1．A 2．D 3．ACD 4．A 5．D 6．D 7．B 8．B 9．B 10．ABC 11．D 12．ABC 13．C 14．C 15．B 16．D 17．A 18．ABD 19．ACD 20．C 21．【答案】（1），或     （2）      【分析】 （1）先求出集合，代入值，利用交并补运算法则计算即得； （2）就集合分和两种情形考虑，依题列出不等式组，解之即得. (1) 小问详解： 由题意得，． 若，则， 故， 又， 则或． (2) 小问详解： 当时，，解得． 当时，由，得 ，解得． 综上，的取值范围是． 22．【答案】（1）     （2）{或4}      【分析】 （1）时，可以求出集合，然后进行并集的运算即可； （2）求解，根据，列不等式即可得出实数的取值范围． (1) 小问详解： 解：当时 所以 (2) 小问详解： 解： ，. 或. ， 4， 故的取值范围为{或4} 23．【答案】55 【分析】 画出维恩图可解. 【详解】    由图可得这个班共有学生人. 故答案为：55. 24．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）求出集合，再利用集合的运算，即可求解； （2）利用集合的运算，即可求解. (1) 小问详解： 由，解得，所以， 又，所以. (2) 小问详解： 因为，则或， 又由（1）知，则. 25．【答案】8 【分析】 先求，再根据，列举分析即可． 【详解】 ，根据，可知，即， 所以共有8种， 所以集合B至多有8个． 故答案为：8． 26．【答案】（1），     （2）或      【分析】 （1）先求出集合，再根据并集、补集、交集的定义求解即可； （2）由，得，进而结合包含关系分、两种情况讨论求解即可. (1) 小问详解： 由， 当时，，则或， 则，. (2) 小问详解： 由，得， 当时，，即； 当时，有 ，解得. 综上所述，的取值范围为或． 27．【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）当，所以，再求和即可求出答案. （2）因为是成立的必要不充分条件，所以⫋，分类讨论和，即可得出答案. (1) 小问详解： ，因为，所以， 所以，． (2) 小问详解： 因为是成立的必要不充分条件，所以⫋， 当时，，得 当时， ． 解得 ， 所以实数的取值范围是 28．【答案】（1）或，     （2）      【分析】 （1）利用并集运算、交集运算和补集运算求解即可； （2）按照和分类讨论，根据集合关系列不等式组求解即可. (1) 小问详解： 当时，， 又因为或，则或； 又因为，所以； (2) 小问详解： 因为. 当时，，解得； 当时， 或 ，解得； 综上，实数的取值范围为. 29．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）先求集合及其补集，再求并集； （2）分为空集和非空集两种情况，结合子集关系列不等式求解. (1) 小问详解： 由，得，则或， 当时，，则； (2) 小问详解： 因为是的充分条件，所以， 当时，，解得，满足， 当时，，且需满足 ，解得， 综上，实数的取值范围是. 30．【答案】（1）①12; ②-1     （2）①13184; ②-1      【分析】 （1）根据“递嬗和”和“递嬗积”的新定义，找出符合条件的元素，再求和即可. （2）根据“递嬗和”和“递嬗积”的新定义，结合集合子集概念和结论，运用组合一起求和即可. (1) 小问详解： ①的所有非空子集为， 其“递嬗和”分别是， 则所有非空子集的“递嬗和”的总和为． ②的所有非空子集为， ， 其“递嬗积”分别是， 则所有非空子集的“递嬗和”的总和为． (2) 小问详解： 因为， 所以集合． ① 集合的子集中，除去外还有个非空子集， 把这个非空子集两两组合后分别计算每一组中“递嬗和”的和， 组合原则是设，集合的元素为集合中去掉103的所有元素， 把和结合为一组，显然每组的“递嬗和”的和为103，共有组， 所以所有“递嬗和”的总和为． ② 集合的子集中，其中除去外还有个非空子集， 把这个非空子集两两组合后分别计算每一组中“递嬗积”的和， 组合原则是设，集合的元素为集合中去掉的所有元素， 把和结合为一组，显然每组的“递嬗积”的和为0，共有组， 所以所有“递嬗积”之和应该为． 31．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）借助指数函数单调性计算出集合后，利用补集与交集定义即可得； （2）分及，结合集合包含定义讨论即可得. (1) 小问详解： 由，解得，则，则， 由，则， 故； (2) 小问详解： 当时，有，解得，此时； 当时，由，则 ，解得； 综上所述：. 32．【答案】 【分析】 由题可得当时，，当时，，从而可得，两集合有个相同元素，再利用集合的并集运算即可求解. 【详解】 由题集合 则中有个不同的元素， 又，可得中也有个不同的元素， 当时，，当时，, 当时，，当时，， 所以集合与有个相同元素4,17,54， 则中的元素个数为. 故答案为：. 考点04 充分条件与必要条件 1．A 2．A 3．B 4．A 5．B 6．A 7．A 8．AC 9．C 10．D 11．ACD 12．B 13．【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）化简两个集合，即可根据交集以及并集，补集的定义求解， （2）将问题转化为真子集的关系，即可列不等式求解. (1) 小问详解： 由，即，解得， 所以， 由，解得，即， 若，则，所以，， 所以. (2) 小问详解： 若“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 由于恒成立，故， 所以 且等号不能同时成立，解得， 即的取值范围是. 14．【答案】（1）或     （2）      【分析】 (1)根据题意，由集合的运算代入计算，即可得到结果； (2)根据题意，将问题转化为是的真子集，然后分与讨论，列出不等式代入计算，即可得到结果. (1) 小问详解： 当时，，则或， 且，则或； (2) 小问详解： 由题可知“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集， 当时，，解得； 当时， ，解得； 综上所述，实数的取值范围是. 15．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据集合间运算的新定义直接得解； （2）根据集合间的关系及命题的充分必要性列不等式，解不等式即可. (1) 小问详解： 当时，，又， . (2) 小问详解： 若选① ，由，得， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，有 ，解得； 综上，实数的取值范围为； 若选② ，由“”是“”的充分不必要条件，则， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，有 ，解得，经验证， 综上，实数的取值范围为. 16．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先解出分式不等式，得到集合．由是的充分不必要条件，可得集合是集合的真子集，则有 ，解此不等式组可得实数的取值范围． （2）由，得．按照和两种情况讨论求解.当时，则有 ，解此不等式，从而得到实数的取值范围． (1) 小问详解： ，即，即，即，等价于 ， 解得，所以． 由是的充分不必要条件，可得集合是集合的真子集， 则 ，解得， 故实数的取值范围是． (2) 小问详解： 由，得． 又，， ① 当时，，解得； ② 当时，则 ，解得， 综上，，所以实数的取值范围为． 17．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）化简集合，根据补集和并集的概念计算即可； （2）由题意可知集合是集合的真子集，列不等式求解即可. (1) 小问详解： 由题意知， 若，则，所以， 所以； (2) 小问详解： 因为“”是“”的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集， 因为，所以， 所以 且等号不同时成立，解得， 当时，，满足题意， 当时，，满足题意， 所以实数的取值范围是. 18．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求出集合，再利用列不等式组求出的取值范围； （2）先分析命题得出，再分和两种情况讨论得出的取值范围． (1) 小问详解： 或，， 又， ，解得． 实数a的取值范围是． (2) 小问详解： 是的充分条件，， 当时，需满足，无实数解； 当时，需满足，解得， ，或，或，解得或． 实数a的取值范围为． 考点05 全称量词与存在量词 1．C 2．B 3．BC 4．B 5．C 6．C 7．AC 8．C 9．B 10．B 11．B 12．D 13．【答案】， 【分析】 根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即可得出答案. 【详解】 命题“”的否定为“”. 故答案为：. 14．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由即可求解； （2）由，通过和分别讨论即可. (1) 小问详解： 由题意知为真命题， ， . (2) 小问详解： ， ， 即. 是“”的必要条件， . 当时，， . 当时， . 综上可知，实数的取值范围为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $