专题03 函数的概念与性质（期中真题汇编，河南专用）高一数学上学期

**基本信息** 聚焦函数核心素养，汇编河南多地期中真题，覆盖概念、性质、幂函数及应用四大高频考点，梯度设计兼顾基础巩固与创新应用，适配高一上学期期中复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |选择（含多选）|约60题|函数定义域、奇偶性、单调性、幂函数定义|结合图像辨析、分段函数求值等基础题型，融入“隐对称点”“倒函数”等创新概念| |填空|约20题|定义域求解、函数值计算、单调性区间|注重基础公式应用，如复合函数定义域、函数值域求解| |解答|约20题|奇偶性证明、单调性证明、实际应用建模|以通信套餐、蔬菜大棚利润等现实情境为载体，考查数学建模与逻辑推理能力|

专题03 函数的概念与性质 考点01 函数的概念及其表示 考点02 函数的基本性质 考点03 幂函数 考点04 函数的应用（一） 考点01 函数的概念及其表示 1．C 2．B 3．AD 4．ABD 5．A 6．A 7．B 8．AC 9．B 10．C 11．BC 12．C 13．D 14．A 15．D 16．C 17．B 18．C 19．D 20．C 21．D 22．C 23．D 24．BC 25．AC 26．ACD 27．ABC 28．【答案】 【分析】 令，解得，代入即可得结果. 【详解】 令，解得， 所以. 故答案为：. 29．【答案】 【分析】 令求出的值，再代入计算可得. 【详解】 因为， 令，解得， 所以. 故答案为： 30．【答案】 【分析】 由题可得，运算得解. 【详解】 由的定义域为，则函数需满足， 解得，即的定义域为. 故答案为：. 31．【答案】 【分析】 令，得，代入解析式运算. 【详解】 令，得，故. 故答案为：. 32．【答案】42 【分析】 根据题设要求列式计算即可. 【详解】 由题意，该用户应缴的话费为元． 故答案为：42. 33．【答案】 【分析】 由题得到 求解即可. 【详解】 由 ，得：且， 所以函数的定义域是， 故答案为： 34．【答案】 【分析】 根据根号下的部分非负，以及分式分母不为零，列出不等式求解即可. 【详解】 要使函数有意义，        则 ， 所以的定义域为. 故答案为：. 35．【答案】 【分析】 根据解析式计算得出函数值, 【详解】 ，. 故答案为： 36．【答案】 【分析】 采用分离常数的方法，结合反比例函数的值域可求得结果. 【详解】 ，因为，所以， 所以，所以， 所以，即， 所以的值域为. 故答案为：. 37．【答案】 【分析】 将式子中的所有换成，即可得到与的方程组，解得即可. 【详解】 因为， 所以， 即 ，解得. 故答案为： 38．【答案】 【分析】 解一元二次不等式求解集合A，然后根据交集可得 ，则，进而根据二次函数性质求解范围即可. 【详解】 ，因为， 又因为， 所以关于的方程有两个实数根，，且，， 所以有 ，得 ，所以，解得. 又因为，， 令，，对称轴为， 所以函数在上单调递增，所以函数， 即的取值范围为. 故答案为： 考点02 函数的基本性质 1．B 2．C 3．ACD 4．D 5．B 6．B 7．D 8．B 9．C 10．B 11．A 12．AC 13．D 14．D 15．A 16．B 17．BCD 18．ACD 19．B 20．A 21．A 22．BC 23．A 24．B 25．AC 26．ACD 27．C 28．D 29．C 30．B 31．D 32．A 33．B 34．B 35．AD 36．BD 37．ACD 38．ACD 39．ABD 40．D 41．D 42．D 43．ACD 44．D 45．ACD 46．A 47．A 48．AC 49．【答案】 【分析】 利用奇函数的性质计算可求得的值. 【详解】 因为，，所以， 又因为是定义在上的奇函数，所以， 又，所以，解得. 故答案为：. 50．【答案】（1）是奇函数，证明如下： 由，得的定义域为. 对于，都有， 且， 所以是奇函数.     （2）证明：任取，，且， 则 ， 因为，所以，，，， 因此，即， 所以函数在区间上单调递减.      【分析】 （1）利用奇偶性的定义证明即可； （2）令，，且，做差判断的正负来确定函数单调性. (1) 小问详解： 是奇函数，证明略； (2) 小问详解： 略. 51．【答案】 【分析】 利用分段函数的单调性和在间断点处的连续性可解. 【详解】 是上的单调增函数， 所以 . 故答案为：. 52．【答案】 【分析】 化简函数为 ，结合其单调性可得相应不等式，即可求得答案. 【详解】 由题意可得 ， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 故要使函数在区间上是增函数， 需满足，则， 即实数a的取值范围是， 故答案为： 53．【答案】（1） 函数，任取， ， 由，，，，即， 所以函数在上单调递增.     （2）      【分析】 （1）由定义法证明函数的单调性； （2）通过单调性比较函数值的大小. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，则，当且仅当，即时等号成立， ， 由，有，则，， 函数在上单调递增，所以. 54．【答案】 【分析】 先设，则，应用函数的解析式计算结合奇函数的性质即可求出解析式. 【详解】 当时，，则，所以． 故答案为：. 55．【答案】 【分析】 先求函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解. 【详解】 令，解得或， 又在上单调递减，在上单调递增， 且在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减． 故答案为：. 56．【答案】（1）     （2） 【分析】 （1）设，根据条件建立方程组 ，即可求解； （2）由（1）可得，，对分类讨论，利用二次函数的性质，即可求解. (1) 小问详解： 设， 因为 ， 所以 ，解得 ，所以. (2) 小问详解： ，. 当时，在上单调递增，； 当时，； 当时，在上单调递减，. 综上， . 57．【答案】（1）2     （2）存在，此时实数对为      【分析】 （1）分析可知在上单调递增，结合等域函数的定义运算求解即可； （2）分和两种情况讨论，可知在上单调递增，结合等域函数的定义运算求解即可. (1) 小问详解： 因为的图象开口向上，且对称轴为， 可知在上单调递增， 若为区间上的等域函数， 则 ，解得或， 由区间可知，所以实数的值为2. (2) 小问详解： 因为，， 若，可知在上单调递增； 若，则，可知在上单调递增； 综上所述：在上单调递增. 若函数为区间上的等域函数， 则 ，解得 ， 所以存在，此时实数对为. 58．【答案】（1）1     （2） 因为的定义域为，， 令，得，即， 所以函数为偶函数.     （3）      【分析】 （1）令，求得，再令，求得； （2）令，根据偶函数定义证明； （3）利用偶函数性质将不等式变形为，再根据单调性求解. (1) 小问详解： 由，令，得，得， 令，得，解得. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 不等式，即， ， 由为偶函数，得， 又是区间上的递增函数， ，解得或， 所以不等式的解集为. 59．【答案】（1），     （2） 在上单调递增． 证明如下：设且，则 ， 又，所以，，， 所以，即，所以在上单调递增．     （3）．      【分析】 （1）根据奇函数和即可求得和的值； （2）根据函数单调性的定义即可证明函数单调性； （3）运用函数的单调性和奇函数的性质，结合常变量分离法、换元法、构造函数法进行求解即可. (1) 小问详解： 由题意知是定义在上的奇函数，所以， 解得， 当时，，所以， 所以是奇函数，满足题意． 又，即，解得（舍去）或． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 若对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令， 令，由（2）可知为增函数，又， 所以，所以，所以， 所以， 解得，即的取值范围是． 60．【答案】（1）     （2） 【分析】 （1）根据偶函数的定义求解即可； （2）根据的单调性，按的不同取值分类讨论即可. (1) 小问详解： 因为为偶函数，当时，， 当，有，则， 所以 ． (2) 小问详解： 当时，．因为的图象是开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递减，在上单调递增． 当时，，在上单调递减， 则； 当时，则，所以在上单调递减，在上单调递增，则； 当时，在上单调递增，则． 综上， ． 61．【答案】（1）     （2） 函数在上单调递减，证明如下： 由（1）知，， 任取，且， 则， 因为，则，即， 所以，即， 所以函数在上单调递减.     （3）      【分析】 （1）根据奇函数的定义，列式计算即可求解； （2）根据函数单调性的定义证明即可； （3）根据函数为奇函数及函数在上单调递减，结合题设将问题转化为在上有解，令，可得，进而求解即可. (1) 小问详解： 由题意，函数为定义在上的奇函数，则， 即，则， 即，故. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）知，函数在上单调递减，且为奇函数， 由，， 则， 所以，则， 当时，不等式为，显然不成立，则， 则在上有解， 而， 令，则， 因为函数在上单调递增， 则时，取得最小值0， 所以，即，则的取值范围为． 62．【答案】（1） 在上单调递增. 证明如下： 不妨设，且， 则，           易知，， 所以，即， 所以在上单调递增.     （2）      【分析】 （1）利用单调性的定义证明即可； （2）利用单调性将已知不等式转化为，即，解得，然后利用指数函数单调性解不等式即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）得在上单调递增，且， 所以，即，           因为， 所以，即， 解得，则， 所以实数的取值范围是. 63．【答案】（1）     （2）     （3）或.      【分析】 （1）根据奇函数中求解，再检验即可； （2）求出函数的最大值，转化为解不等式即可； （3）令，换元后转化为关于分段函数，根据二次函数对称轴分类讨论求最小值，建立方程求解即可. (1) 小问详解： 由题可知的定义域为， 因为为奇函数， 所以，解得.           所以. 经检验，时，为奇函数，符合题意，故. (2) 小问详解： 易知，           是增函数，且，           所以，即， 解得，即实数的取值范围是. (3) 小问详解： 令，则， 函数转化为          因为抛物线的对称轴为，抛物线的对称轴为，且均开口向上. ① 若， 当时，， 当时，单调递减，所以， 所以，解得.           ② 若， 当时，； 当时，， 因为，所以，，不可能有.           ③ 若， 当时，； 当时，单调递增，所以， 所以，解得. 综上，的值为或. 64．【答案】 【分析】 根据分段函数单调性的性质，分别分析每一段函数的单调性，再结合函数在分段点处的取值情况列出不等式组，进而求解的取值范围. 【详解】 因为函数 在上单调递减， 所以 解得， 即a的取值范围是. 故答案为：. 65．【答案】（1），     （2） 在上单调递增．证明如下： 任取，且， 所以 ． 因为，且，所以且， 所以，即， 因此在上单调递增．     （3）      【分析】 （1）因为函数是奇函数，所以定义域关于原点对称，求出的值，再由求出，检验时，是奇函数； （2）用单调性的定义证明即可； （3）因为为奇函数，所以原不等式化为，再利用单调性可解. (1) 小问详解： 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，解得， 又， 当时，，，满足题意． 故， (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为为奇函数，在上单调递增，所以在上单调递增， 由，可得，即， 所以 解得， 即关于的不等式的解集为． 66．【答案】1 【分析】 根据已知条件进行变形得到，并结合赋值法得到式子并相加即可求出. 【详解】 因为， 所以，， 因为，所以， 所以， 所以，所以，即. 可得，，，，， 把上式相加得，又，所以. 故答案为：1. 67．【答案】（1）     （2）证明：任取，且，则， 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以在上为增函数；     （3）      【分析】 （1）根据奇函数的定义求得，由求得，即可求解解析式； （2）根据单调性定义，按照步骤证明即可； （3）由奇函数、单调性解不等式得 ，求解即可. (1) 小问详解： 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得，此时， 又，所以，解得， 所以； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为函数是定义在上的奇函数， 所以由，得， 又因为在上为增函数，所以 ，解得. 所以原不等式的解集为. 68．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）首先设，得到，再代入解析式结合奇函数的性质求解即可。 （2）画出函数图象求解不等式即可。 (1) 小问详解： 因为函数是定义域为的奇函数，当时，， 当时，，， 所以，即 。 (2) 小问详解： 函数的图象， ，由图知：或。 则的取值集合 69．【答案】（1）     （2） 既不是奇函数也不是偶函数． 理由：函数的定义域为关于原点对称， ，同时， 既不是奇函数也不是偶函数     （3） 在上单调递增． 证明：任取，且， 则 由于，且 ， 所以，故在上单调递增      【分析】 （1）由定义域的概念即可求解； （2）由函数奇偶性的定义即可判断； （3）由函数单调性的定义即可求证. (1) 小问详解： 由分式分母不为0，可得函数的定义域为 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 70．【答案】（1），     （2）     （3）.      【分析】 （1）利用特殊值法，令，可得，令，可得 （2）根据奇函数的定义可求得； （3）由（2）知，则有，则在和上均单调递增.将在区间上的值域为转化为是方程的两个实根，从而得解. (1) 小问详解： 令，得， 即. 因为，所以. 令，得，所以， 因为，所以. (2) 小问详解： 若）是奇函数，则， 因为仅有一个零点，且由（1）知. 所以. 当时，因为， 所以，即是奇函数. 综上，. (3) 小问详解： 由（2）知，所以， 所以，则在和上均单调递增. 则 所以是方程的两个实根， 所以方程在上有两个不相等的实根. 设，则 解得， 故实数的取值范围是. 71．【答案】（1）     （2） 任取，， 则有， 若，则有，则，，，， 所以，即，所以函数在上单调递增； 若，则有，则，，，， 所以，即，所以函数在上单调递增； 又因为函数是偶函数，所以函数在对称区间单调性相反，所以函数在和上均单调递减. 故函数的单调递减区间为：，；单调递增区间为：，.     （3）0      【分析】 （1）根据函数为偶函数，，可得的值，再根据，可求的值，即可明确函数的解析式. （2）利用单调性的定义证明函数在区间和上的单调性，再结合函数的奇偶性，判断函数在，上的单调性. （3）先研究函数性质，得到，再结合函数奇偶性得到，进而可求所给式子的值. (1) 小问详解： 因为函数是偶函数， 所以，即，所以，即， 又因为，所以， 所以. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为，则，即， 又因为函数是偶函数，即，所以， 所以 . 72．【答案】（1）     （2） 在上单调递增，证明如下： 不妨设且， 则， 因为且， 所以，则，， 所以，即 所以在上单调递增．     （3）；      【分析】 （1）将点代入即可求得的值，从而得到的解析式； （2）利用函数单调性的定义，结合作差法即可得解； （3）结合（2）中结论，利用函数的单调性即可求得的最值. (1) 小问详解： 因为函数，且此函数图象过点． 所以，解得， 所以. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）易知，在上单调递增， 所以. 73．【答案】或 【分析】 由分段函数为单调递减函数得到不等式组，解不等式组可得. 【详解】 由题意可得 ，解得. 故答案为：或. 74．【答案】（1）；     （2） 在上单调递减.证明过程如下： 证明：任取， 则 ， 因为单调递增，所以， 所以，所以， 即在上单调递减.     （3）.      【分析】 （1）根据得到方程，求出； （2）定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论； （3）由函数表达式可知，在上恒有，在上有，不等式转化为，从而得到不等式组，求出答案. (1) 小问详解： 因为函数是奇函数，所以， 则，解得：. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ，则， 因为函数是奇函数，在上单调递减，且在上恒有， 所以在上有. 由可知，不等式可化为. 由在上单调递减，可得：， 由得或，由得， 故或. 所以原不等式的解集为. 75．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）利用换元法可求复合函数在给定区间上的值域； （2）利用换元法，将求函数的最小值问题转化为求含参二次函数在给定区间上的最值问题，通过讨论对称轴与给定区间的关系可得； （3）分离参数，利用换元法构造新函数，根据新函数的单调性，求的取值范围，从而求得b的取值范围. (1) 小问详解： 当时，， 令，则，则在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，取得最小值，最小值为；当时最大值为9，故函数的值域为. (2) 小问详解： 令，则，对称轴为. 当时，，则在上单增，所以函数的最小值为； 当时，，则在上单减，在上单增，所以函数的最小值为； 当时，有，则在上单减，所以函数的最小值为. 综上所述， . (3) 小问详解： 由有. 即，所以. 因为，所以. 令当且仅当，即时，等号成立； 因为所以. 令，则是增函数， 所以，所以， 即实数的取值范围为. 76．【答案】 【分析】 根据二次函数、一次函数、分段函数的单调性列不等式，解不等式即可. 【详解】 由二次函数、一次函数、分段函数的单调性可知 ，解得， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 77．【答案】（1），     （2） 由（1）得，在上单调递减，证明如下： ，，， . ∵，∴， ∴， 在上单调递减.      【分析】 （1）根据，可求. （2）利用单调性的定义可判断的单调性. (1) 小问详解： ∵，，∴，. ∴，. (2) 小问详解： 在上单调递减，证明略》 78．【答案】或 【分析】 根据给定条件，分离参数并利用基本不等式求出最小值，再解不等式即得. 【详解】 当时，不等式 当时，，当且仅当时取等号， 由存在，使得成立，得， 即，解得或， 所以实数的取值范围为或. 故答案为：或 79．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据给定条件，利用分解因式的方法求解不等式. （2）先证明，再说明时条件满足，即可得到的最小值是. (1) 小问详解： 由， 可知不等式等价于. 由，得，所以原不等式的解集为． (2) 小问详解： 在条件中取，可得，从而，即. 而当时，对任意，有，满足条件. 所以的最小值为. 80．【答案】（1），     （2） 任取且， 则， 因为且，所以，所以，则， 所以，即，所以函数在上是减函数．     （3）      【分析】 （1）通过给赋值可得结果. （2）利用定义法可证明函数在上是减函数. （3）通过题目条件把不等式转化为，利用函数定义域和单调性可得，分离参数即可得到的取值范围. (1) 小问详解： 令，有，得． 令，有，又，所以． 令，得， 令，得． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（1）知，则． 因为函数的定义域为，且在上是减函数， 所以由，得，则． 对勾函数在上单调递增，所以， 所以，即的取值范围是． 81．【答案】 【分析】 构造函数，根据单调性即可解出不等式. 【详解】 不妨设，由条件可得， 即，令， 则，所以在上单调递增， 又因为，所以由得，所以. 故答案为：. 82．【答案】（1）是奇函数，理由如下： 由题意可知，， 因为的定义域为，且， 所以是奇函数.     （2）在上是单调递增函数. 证明如下： 任取，设，则 . 因为，所以， 又因为，所以， 所以，即， 所以在上是单调递增函数.     （3）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.      【分析】 （1）利用函数奇偶性的定义求解； （2）利用函数的单调性定义求解； （3）利用函数的单调性和奇偶性，将转化为求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（1）（2）知是上单调递增的奇函数， 所以在上单调递增， 所以， 可以转化为， 可化为， 即， ① 当时，不等式为，这时解集为； ② 当时，解不等式得到； ③ 当时，解不等式得到. 综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 83．【答案】1 【分析】 首先求出，然后由的单调性即可得出答案. 【详解】 若，即，则， 所以 ， 当时，； 当时，， 所以的最大值为1. 故答案为：1 84．【答案】 【分析】 通过分析的函数特征，结合已知条件，对参数进行分类讨论并结合图象即可求解. 【详解】 因为是开口方向向下，对称轴为直线的二次函数， 由 ，可得， 当，即时，由二次函数对称性知：必存在，使得； 当，即时，若存在，使得， 则函数图象需满足下图所示： 则，解得，所以， 综上，实数的取值集合为. 故答案为：. 85．【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 （1）根据幂函数的单调性结合，即可得到答案； （2）① 对不等式进行分离参数得到，令，求的值域进而得到的取值范围； ② 根据是奇函数，求出，再根据不等式恒成立问题转化为，求的值域，进而求出的取值范围. 【详解】 （1）由题可知，解得， 又，所以． （2）① 由题意， 不等式可化为，即当时，能成立． 令，令，则在上单调递增， 所以单调递增． 又，当时，，所以在上的值域是． 所以k的取值范围为． ② 因为，，定义域为，则． 因为是奇函数，所以，即，所以， 解得，所以． 又在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增． 若对任意的时，不等式恒成立， 则有， 当时，，所以，所以． 所以，所以恒成立． 当时，有，化简得，解得或； 当时，有，化简得，解得或． 综上，实数a的取值范围是． 86．【答案】（1）     （2）函数在上的单调递减     （3）      【分析】 （1）通过对已知函数关系式进行合理赋值来求解； （2）利用函数单调性的定义，设出，通过已知条件判断的正负即可； （3）先根据已知条件将不等式进行转化，再利用函数单调性进行求解. (1) 小问详解： 函数满足对任意实数，，都有成立， 令，可得，即， 令，可得，又，即， 令，可得，又，即， (2) 小问详解： 设，则，令，又，， 又当时，，，， 当时，， 任取且，则，， 则 ，即， 因此，函数在上的单调递减. (3) 小问详解： ， 令，由，得，即，解得， ，，不等式等价于， 由（2）可知，函数在上的单调递减， ， 对于不等式，即，显然成立； 不等式，即，解得， 因此原不等式的解集为. 87．【答案】 【分析】 由题意计算可得函数在上的单调性，再利用为偶函数可得性质，再将及化为形式后，利用单调性及对称性计算即可得. 【详解】 由，得， 即， 令，则当且时，有， 故在上单调递增. 因为是定义在上的偶函数，则， 所以也是定义在上的偶函数， 因为，所以， 又因为， 则可化为， 化简得，即， 所以，即有，解得， 所以实数m的取值范围为. 故答案为：. 88．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）需要先对函数进行变形，再根据已知性质求值域； （2）要根据条件得出两个函数值域的包含关系，进而求出的取值范围； （3）通过换元法将不等式转化为关于新变量的不等式，再利用函数性质求解的取值范围. (1) 小问详解： ，令， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 当时，，当时，，所以， 所以函数的值域是． (2) 小问详解： 由题意知在上单调递减，在上单调递增，所以， 又，所以，所以的值域为． 在上单调递增，所以， 所以的值域为， 若对任意，总存在，使得成立， 所以的值域是的值域的子集，所以 ， 解得，即的取值范围是． (3) 小问详解： 令，由题知在上单调递减，在上单调递增，所以， 则， 所以 ，解得，即的取值范围是． 89．【答案】（1）     （2）     （3）0      【分析】 （1）利用待定系数法即可求解； （2）由，恒成立得到，则根据题目条件得，再结合基本不等式即可求解； （3）对分类讨论求出的解析式，再分段求出的取值范围，即可求解. (1) 小问详解： 设， 所以， 所以 ，解得 ，所以， 又，解得，所以. (2) 小问详解： 若，恒成立， 即，恒成立， 当，不等式显然成立； 当，则，则 ，解得. 若，恒成立，即，， 当时，得，解得与对任意的恒成立矛盾，不符合题意； 当时，又，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的取值范围是. (3) 小问详解： 由题意可知 ， 当时，根据二次函数的性质，可知函数在上单调递减， 在上单调递增，所以函数的最小值为； 当时，根据二次函数的性质，可知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的最小值为； 当时，根据二次函数的性质，可知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的最小值为. 综上可得 ， 当时，此时；当时，此时；当时，此时. 综上，的最小值为. 90．【答案】 【分析】 由隐对称点的定义可知函数图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义将问题转化为方程的零点问题，再结合基本不等式即可得出实数的取值范围. 【详解】 由隐对称点的定义可知函数图象上存在关于原点对称的点， 设的图象与函数的图象关于原点对称， 令，则，， 所以， 因为 ，又， 由题意得与在上有交点，即方程在上有根， 则， 又因为，当且仅当， 即时，等号成立， 所以，即． 故答案为：. 91．【答案】（1），偶函数，证明如下： 令得， 所以函数为偶函数．     （2） 函数在上单调递减．证明如下： 因为，所以， 因为， 所以， 得， 因为当时，， 所以，得， 则， 所以， 故函数在上单调递减．     （3） 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为或．      【分析】 （1）令和即可求解，令即可证偶函数； （2）由函数的单调性定义即可求解； （3）由函数单调性和奇偶性得到，再通过讨论的大小求解即可. (1) 小问详解： 令，得，故． 令，得，得． 为偶函数．证明略. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递增， 又因为， ， 所以，得， 即， 当时，，解得； 当时，解得或； 当时，解得或， 综上，当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为或． 92．【答案】（1）     （2）① ；②      【分析】 （1）利用偶函数的定义和性质求出的关系，从而求解； （2）利用二次函数的图像和性质，结合已知条件分情况讨论函数单调性，得出实数的取值范围． (1) 小问详解： 为偶函数，定义域为R， ， ， ，即， ． (2) 小问详解： ① 当时，，函数图像开口向上，对称轴为， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，令，则在上单调递增， 且，当且仅当，即时取等号，，， 当时，， 若在上不单调，则，解得； 当时，，若在上不单调，则，此时a无解． 实数a的取值范围为． ② 若，，使得，即， 设在上的值域为A，的值域为B，则． 当时，，，； 当时，，，， 当时，，抛物线开口向上，对称轴为直线， ，，， 当时，在上单调递增，， ，， ，由得，故无解； 当时，在上的最小值为，最大值为， ，，， ，由得，故无解； 当时，在上的最小值为，最大值为， ，，， ，解得； 当，在上单调递减，， ， ，故无解． 综上可得：． 的取值范围为． 93．【答案】（1）     （2） 由（1）知，在上单调递增. 证明：，且， ， 在上单调递增，， 又， ，即， 在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）由求得，并验证即可； （2）由单调性的定义即可求证； （3）由函数单调性得到，，再结合讨论二次函数单调性求最值即可求解. (1) 小问详解： 因为函数为奇函数，且定义域为， ， ， 当时，，满足，故. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）知在上单调递增， ，即， 设，则由题意知时，. 当，即时，在上单调递增， ， 由得， . 当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， ， 由得， . 当，即时，在上单调递减， ， 由得， . 综上,的取值范围为. 94．【答案】（1）0     （2）     （3）      【分析】 （1）根据条件，通过赋值，即可求解； （2）根据条件，令，得到，再利用是偶函数，即可求解； （3）根据题设条件，判断的奇偶性和单调性，再利用奇偶性和单调性的性质得在上恒成立，即可求解. (1) 小问详解： 令，，解得. (2) 小问详解： 令，得，因为，所以， 又因为函数是偶函数，所以，即， 所以. (3) 小问详解： 因为时，，又因为，所以当时，， 由（2）可知，，所以有， 即，所以函数为奇函数， 因为，所以，又因为， 所以有，即. 任取， 则， 因为，所以，所以，即，所以， 所以函数在上单调递增； 又因为，且函数为奇函数， 所以， 又因为函数在上单调递增，所以， 即在上恒成立， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 95．【答案】（1） 证明：因为为奇函数，并且定义域为R， 所以，所以，则， 而，则， 所以，所以， 因为，所以， 综上，若函数为奇函数，则实数d和f为定值，均为0．     （2）（ⅰ）；（ⅱ）      【分析】 （1）根据奇函数的定义，求证即可； （2）（ⅰ）法一：设函数图象的对称中心为，设，根据（1）的结论即可求得，，进而得解；法二：设，通过计算可得，根据为奇函数即可求解；（ⅱ）根据与关于对称即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （ⅰ）（法一）因为，，，， 所以， 设函数图象的对称中心为， 设，由题可知函数为奇函数， 因为 ， 若为奇函数，由（1）可得 ，解得，， 则函数图象的对称中心为． （法二）因为，，，，所以， 设， 所以 ， 因为的定义域为R，并且， 所以为奇函数，根据题可得函数的图象关于中心对称． （ⅱ）因为， 所以与关于对称， 所以． 96．【答案】（1）     （2）函数的图象不是关于原点的弱中心对称图形，理由：函数的图象不是关于原点的弱中心对称图形． 理由如下：假设，使得，解得，与矛盾， 所以函数的图象不是关于原点的弱中心对称图形；     （3）      【分析】 （1）根据题意“中心对称图形”的定义分析判断即可； （2）根据反证法，以及“弱对称中心图形”定义即可证明； （3）根据“弱对称中心图形”定义，代入解出表达式，讨论取值范围，再利用换元法即可求解. (1) 小问详解： 由，解得． 当时，，对于任意的， 都有， 所以函数的图象是关于点的中心对称图形， 故． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由题意可知，存在，且，使得， 当时，，则， 所以， 又知对勾函数在上单调递增，所以， 所以； 当时，，则不成立； 当时，，则， ， 令，则在上单调递增，所以， 所以． 综上可知，实数的取值范围为． 97．【答案】（1） 函数在定义域上单调递增，证明如下： 因为， 任取且， 则， ，，，， ，即， 在定义域上单调递增；     （2） 证明：，， ， 的图象关于点成中心对称图形；     （3）      【分析】 （1）根据作差法证明函数的单调性即可； （2）求出，即可得证； （3）结合（1）可得，结合（2）可得，从而得到，解得即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ，即，又由（1）可知在定义域上单调递增， ， 又由（2）可知，即， ，即， ，即对恒成立， ，即，解得， 所以实数的取值范围为. 98．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据奇函数的定义即可求解； （2）分类讨论利用二次函数的单调性即可求解； （3）由题意可得与的图象有三个不同的交点，作出函数的示意图，可求得实数的取值范围. (1) 小问详解： 是定义在上的奇函数，所以当时，，， 所以的解析式为 . (2) 小问详解： 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递增， 又因为在处连续，故函数的单调递增区间为. (3) 小问详解： 作出函数 的图像， 要想使关于的方程有3个不相等的实数根， 则与的图像有三个不同的交点，由图像可得， 所以实数的取值范围为. 99．【答案】（1）1     （2） 函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则，故， 所以， 即，所以函数在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）令即可得出答案； （2）判断出函数在上单调递增，然后任取，且，则，作差，结合已知条件可判断出的符号，由此可证得结论成立； （3）首先令得到，不等式可化为，利用函数的单调性脱去，不等式转化为，最后利用复合函数的值域求解即可. (1) 小问详解： 令得， 所以. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 令得，即， 所以不等式可化为，即， 由（2）可知函数在上单调递增，所以， 整理得， 因为，所以， 所以满足题意的的取值范围是. 考点03 幂函数 1．D 2．C 3．A 4．A 5．A 6．B 7．A 8．D 9．A 10．BC 11．A 12．【答案】4 【分析】 点代入幂函数的解析式，用待定系数法求出的值，计算即可求得结果. 【详解】 因为幂函数的图象经过点， 所以，即， 所以，则， 所以. 故答案为：. 13．【答案】（1）     （2）     （3）当时，      【分析】 （1）根据幂函数的定义和性质即可求解； （2）构造二次函数，利用二次函数的图像处理恒成立问题； （3）先赋值求出，然后利用偶函数的定义即可得出答案. (1) 小问详解： 由题可得，解得或； 又在上单调递增，所以， 故； (2) 小问详解： 由（1）得，所以原问题即在上恒成立， 即在上恒成立， 令，可知该二次函数开口向上， 所以要满足题意，只需 ， 解得； (3) 小问详解： 由（1）得，当时，， 令，代入得， 所以当时，， 当时，，. 所以当时，. 14．【答案】（1），奇函数     （2）      【分析】 （1）根据幂函数的定义求得，然后按照函数奇偶性的定义判断即可；        （2）先利用奇偶性化简得，然后利用单调性解不等式即可. (1) 小问详解： 由是幂函数，得，解得，           则，其定义域为.           因为，所以为奇函数. (2) 小问详解： 由，可得. 而在上单调递减且恒负，在上单调递减且恒正， 所以 或 或 ，解得或. 故的取值范围是. 15．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据函数是幂函数列式计算得出或，再结合计算求参； （2）结合二次函数值域计算求解； （3）应用幂函数单调性及函数定义域列不等式计算求解. (1) 小问详解： 由函数为幂函数，得，解得或， 当时，，，，满足； 当时，，，，不满足． 所以． (2) 小问详解： ， 因为，所以，得， 故函数的值域为． (3) 小问详解： 由得， 所以 解得． 所以实数的取值范围为． 16．【答案】（1）当时，；当时，；     （2）当时，的取值范围为；当时，的取值范围为.      【分析】 （1）根据幂函数定义列式求解，即可得解； （2）根据幂函数的单调性解不等式，要注意定义域的限制. (1) 小问详解： 因为函数是幂函数，所以， 即，解得或； 当时，； 当时，； 综上所述，当时，；当时，； (2) 小问详解： 当时，定义域为，且在单调递减， 又因为，所以 ， 解得，即实数的取值范围为； 当时，定义域为，且在上单调递增， 又因为，所以 ， 解得，即实数的取值范围为. 综上所述，当时，的取值范围为；当时，的取值范围为. 17．【答案】（1）     （2）     （3）存在，      【分析】 （1）利用幂函数的性质结合新定义分析即可； （2）利用二次函数的图象与性质结合新定义建立方程组计算即可； （3）利用反比例函数的图象与性质结合图象变换作出函数大致图象，分类讨论将问题化为的解问题，根据一元二次方程根的分布计算即可. (1) 小问详解： 由新定义，不妨取，该函数R上单调递增， 即当时，， 所以满足题意的的解析式可以为.（答案不唯一，满足题意即可） (2) 小问详解： 因为为函数的一个“4倍值区间”， 所以当时，的值域为， 又的图象开口向下，对称轴为，所以， 所以，所以. 所以在上单调递增，则 ，解得，， 所以实数a的取值集合为. (3) 小问详解： 函数存在“k倍值区间”. 易知 ，作出的大致图象如下， 显然的定义域为， 在上单调递减，在，上单调递增，且. 不妨设的“k倍值区间”为（）， 则当时，的值域为（）. 由的定义域可知，所以，即，所以， 显然在的单调增区间内，即，或， 所以 ， 所以c，d为方程，即关于x的方程的两个不同的实数根， 因为，对称轴， 所以关于x的方程在上有两个不同的实数根， 所以 ，解得. 所以函数存在“k倍值区间”，且k的取值范围是. 18．【答案】4052 【分析】 化简函数，设，可得函数在上为奇函数，进而得到，进而求解即可. 【详解】 ， 设，定义域关于原点对称， 由，知函数为奇函数， ， 因为，， 所以. 故答案为：4052. 考点04 函数的应用（一） 1．【答案】（1）     （2）12个，120万元      【分析】 （1）利润等于销售额减去投入成本及固定成本，分段计算整理即可； （2）分别计算分段函数的最值，比较得出函数最值. (1) 小问详解： 根据题意得 当时，， 当时，， 所以 (2) 小问详解： 当时，， 在内单调递增，所以当时，的最大值为80， 当时，， 因为，当且仅当， 即时，等号成立， 所以， 因为，所以当时，的最大值为120， 所以建造12个生态农场获得的利润最大，最大利润为120万元. 2．【答案】（1）     （2）14      【分析】 （1）根据题意分段讨论即可得； （2）利用二次函数的性质及基本不等式求得两段函数的最大值，取其中最大即可得. (1) 小问详解： 由题意，年销售收入万元， 当时，； 当时，， 所以 ． (2) 小问详解： 当时，是二次函数，开口向下， 对称轴为：， 所以（万元）． 当时，， 当且仅当，即时，（万元）， 因为，所以，当时，该店在这款蛋糕的生产中所获利润最大为78万元． 3．【答案】（1）     （2）20万人，最大利润是250万．      【分析】 （1）根据题意，得到利润，进而求得利润的解析式； （2）由（1）中的函数解析式，分三种情况讨论，结合函数的单调性、二次函数的性质，以及基本不等式，求得函数最大值，即可求解. (1) 小问详解： 解：由题意得，该景区一年的利润， 因为投入成本 ， 所以景区一年的利润为 . (2) 小问详解： 解：①当时，单调递增，此时； ②当时，， 可得函数的图象开口向下，对称轴， 所以当时，函数的最大值； ③当时，， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，所以， 因为，且， 综上可得，一年的游客为20万人时，该景区一年利润最大，且最大利润是万元． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念与性质 4大高频考点概览 考点01 函数的概念及其表示 考点02 函数的基本性质 考点03 幂函数 考点04 函数的应用（一） 考点01 函数的概念及其表示 1．（25-26学年高一上·河南信阳罗山县·期中）若函数的解析式满足下表，则（       ） 0 1 2 3 -3 3 1 2 A. -3 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【分析】 根据对应法则找到对应的值即可. 【详解】 由表可知：， 故选：C. 2．（25-26学年高一上·河南月期中学·期中）函数的定义域是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用给定函数有意义列出不等式组，再求解即得定义域. 【详解】 由函数有意义，得 ，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：B 3．（25-26学年高一上·河南商丘·期中）（多选）下列图象中，能够表示函数关系的有（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】AD 【分析】 根据函数的定义判断即可. 【详解】 根据函数的定义，对于定义域内任意，都有且仅有唯一的函数值与其相对应，故满足函数关系的有AD. 故选：AD 4．（25-26学年高一上·河南部分学校·期中）（多选）下列各组函数中，表示的不是同一函数的有（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABD 【分析】 从函数的定义域、对应关系和值域对各选项逐一分析判断即得. 【详解】 对于A，的定义域为的定义域为，故不是同一函数； 对于B，的值域为的值域为，故不是同一函数； 对于C，，定义域都为，是同一函数； 对于D，的定义域为的定义域为，故不是同一函数． 故选:ABD． 5．（25-26学年高一上·河南部分学校·期中）已知集合，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 求出，利用交集概念求出答案. 【详解】 由题意得，，则． 故选：A． 6．（25-26学年高一上·河南部分名校·期中）若函数 则（       ） A.  B.  C. 0 D. 4 【答案】A 【分析】 将自变量代入分段函数解析式求解函数值. 【详解】 因为 ，所以. 故选：A. 7．（25-26学年高一上·河南部分名校·期中）若，且不恒为0，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 对题设式子进行赋值可判断ABC，举特例可判断D. 【详解】 由题意，， 令，得，，故AC错误， 令，得，故B正确， 设，则，满足， 且不恒为0，而，则，故D错误. 故选：B 8．（25-26学年高一上·河南部分名校·期中）（多选）下列函数中，与是同一个函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】AC 【分析】 根据同一函数的定义判断各选项即可. 【详解】 函数的定义域为， 对于A，函数的定义域为，其对应关系与相同，是同一个函数； 对于B，函数的定义域为，不是同一个函数； 对于C，函数的定义域为，且，是同一个函数； 对于D，函数的定义域为，不是同一个函数. 故选：AC 9．（25-26学年高一上·河南新乡辉县·期中）函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用给定的函数有意义，列不等式求解作答. 【详解】 由题意知，解得，所以的定义域为. 故选：B 10．（25-26学年高一上·河南驻马店部分）已知函数 若，则的值是（     ） A. 或2 B. 或2或7 C. 或7 D. 2或7 【答案】C 【分析】 对进行分类讨论，由，根据分段函数解析式列方程，由此求得的值. 【详解】 若，则，解得或（舍）， 若，则，解得. 综上，a的值是或7. 故选：C 11．（25-26学年高一上·河南驻马店部分）（多选）下列各组函数中，与表示同一个函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】BC 【分析】 根据同一函数的判断标准，只要定义域相同，解析式一致，即为同一函数. 【详解】 对于A，，与的解析式不相同， 故与不是同一个函数，故A错误； 对于B，的定义域为：， 的定义域为：， 又， 与表示同一个函数，故B正确； 对于C，，与的定义域为， 且解析式相同，与表示同一个函数，故C正确； 对于D，的定义域为，的定义域为， 故与不是同一个函数，故D错误； 故选：BC. 12．（25-26学年高一上·河南驻马店部分）函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由被开方数大于等于零和分母不为零列不等式组求解即可. 【详解】 由题意可得 ，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：C 13．（25-26学年高一上·河南名校联考·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据抽象函数定义域和被开方数大于等于以及分母不等于得到不等式组，解出即可. 【详解】 由题意得 ，解得，则其定义域为. 故选：D. 14．（25-26学年高一上·河南豫北民办高·期中）已知函数 ，则（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【分析】 由分段函数解析式代入即可求解. 【详解】 ． 故选：A． 15．（25-26学年高一上·河南部分普通高·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 分别分析函数和的定义域限制，列不等式组求解即可． 【详解】 由 ，解得． 故选：D． 16．（25-26学年高一上·河南洛阳·期中）函数的定义域是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由题意可得 ，求解即可. 【详解】 由 ，得 ，解得或， 所以函数的定义域是. 故选：C. 17．（25-26学年高一上·河南新未来多校·期中）已知函数 ，则（     ） A.  B. 5 C. 2 D. -3 【答案】B 【分析】 先根据函数解析式求得，，然后再利用求解即可. 【详解】 由题意可知，，， 所以，所以. 故选：B. 18．（25-26学年高一上·河南新未来多校·期中）函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据代数式有意义列式求函数的定义域. 【详解】 由题意可知： ，解得. 故选：C 19．（25-26学年高一上·河南商丘·期中）函数的定义域是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据根式、分式有意义列式计算即可求解. 【详解】 由题意知 ，解得 ，即且， 即函数的定义域为. 故选：D. 20．（25-26学年高一上·河南郑州·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据给定的抽象函数的定义域，结合函数有意义列式计算即可求得. 【详解】 函数的定义域是， 则在函数中，由 ， 解得，且， 所以函数的定义域是. 故选：C 21．（25-26学年高一上·河南信阳固始县·期中）下列各组函数中，表示同一函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，则它们是同一函数，对选项逐一判断即可. 【详解】 对于A，的定义域为，而的定义域为，定义域不同，不是同一函数； 对于B，的定义域为，而的定义域为，定义域不同，不是同一函数； 对于C，的定义域为，而的定义域为，定义域不同，不是同一函数； 对于D，，，它们的定义域为，对应关系也相同，是同一函数. 故选：D 22．（25-26学年高一上·河南部分学校·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 依题意可得 ，解得即可. 【详解】 因为函数的定义域为， 则对于函数，令 ，解得， 所以函数的定义域是． 故选：C． 23．（25-26学年高一上·河南新乡·期中）下列关于函数的说法中，错误的是（     ） A. 函数的图象恒过定点 B. 函数的图象是两个孤立的点 C. 函数，，则 D. 函数，是同一个函数 【答案】D 【分析】 根据指数函数的性质及图像的平移变换分析判断A选项，根据函数的定义域判断B选项，根据分段函数的定义域代入求值判断C选项，根据相同函数的定义判断D选项. 【详解】 对于A，因为函数的图象过定点，将图象向右平移1个单位， 向上平移3个单位得到的图象， 所以的图象过定点，故A正确； 对于B，函数有意义，需同时满足和，所以，解得， 当时，；当时，， 因此函数图象是点和，即两个孤立的点，故B正确； 对于C，因为，所以由题意可知，故C正确； 对于D，要使有意义，则 ，解得，要使函数有意义， 则，即或，两个函数的定义域不相同，故D错误． 故选：D 24．（25-26学年高一上·河南新未来多校·期中）（多选）下列命题正确的是（     ） A. 函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 与是同一个函数 D. 若，则 【答案】BC 【分析】 对A，根据选项条件，利用“抽象”函数定义域的求法，直接求出的定义域，即可判断正误；对B，通过换元，利用二次函数的性质，即可求解；对C，利用相等函数的判断方法，即可求解；对D，通过配凑法，直接求出的解析式，即可求解. 【详解】 对于A，因为函数的定义域为，所以，则， 对于函数，则有，解得，即函数的定义域为，所以A错误； 对于B，令，则，，则，， 对称轴为，图象开口向下，当时，函数取最大值，且最大值为， 由二次函数图象可知，函数的值域为， 所以函数的值域为，故B正确； 对于C，，定义域为，， 定义域为，所以这两个函数定义域相同，对应法则也相同， 所以这两个函数是同一个函数，所以C正确， 对于D，因为，令，所以， 当时，，当且仅当时取等号； 当时，，当且仅当时取等号， 综上，若，则或， 所以函数（或），所以D错误. 故选：BC. 25．（25-26学年高一上·河南月期中学·期中）（多选）已知函数 ，则下列关于函数的结论正确的是（     ） A.  B. 若，则的值是或 C. 的值域为 D. 的解集为 【答案】AC 【分析】 对A：由分段函数的性质代入计算即可得；对B：分及进行计算即可得；对C：分别求出当时，时，的取值范围即可得；对D：分及解不等式即可得. 【详解】 对A：因为，则，故A正确； 对B：当时，，解得（舍去）， 当时，，解得或（舍去），故B错误； 对C：当时，的取值范围是， 当时，的取值范围是， 因此的值域为，故C正确； 对D：当时，，解得， 当时，，解得， 所以的解集为；故D错误 故选：AC. 26．（25-26学年高一上·河南周口·期中）（多选）下列说法中正确的是（       ）． A. 命题“，”的否定是“，” B. 与是同一个函数 C. 函数满足，若，则实数 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】ACD 【分析】 对于A，根据全称量词命题的否定的定义求解判断即可；对于B，根据同一函数的定义判断即可；对于C，利用换元法求解判断即可；对于D，根据抽象函数的定义域求解判断即可. 【详解】 对于A，命题“，”的否定是“，”，故A正确； 对于B，函数的定义域为， 的定义域为，两者定义域不同， 所以不是同一个函数，故B错误； 对于C，由，令，则， 所以，解得，故C正确； 对于D，由函数的定义域为，则，即， 所以函数的定义域为，故D正确. 故选：ACD 27．（25-26学年高一上·河南信阳固始县·期中）（多选）已知函数 的图象是一条连续不断的曲线，且，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 在区间上单调递减 C. 若，则函数有3个不同的零点 D. 若，则函数有3个不同的零点 【答案】ABC 【分析】 根据图象特点及条件确定，由函数解析式计算可判断A，作出函数图象，数形结合即可判断BCD. 【详解】 令，解得或， 因为函数 的图象是一条连续不断的曲线， 所以或， 当时，不成立，舍去， 当时，成立， 故 ，所以，故A正确； 作函数的图象，如图， 由图象可知，当时，函数单调递减，故B正确； 令，可得方程，即方程的根为函数零点， 由函数图象可知，当时，与图象有3个交点， 所以方程有3个根，即有3个不同的零点，故C正确； 由图象可知，斜率大于2时，与图象中左下方射线部分无交点，与的图象有2个交点， 即当时有3个不同的零点表述错误，故D错误. 故选：ABC 28．（25-26学年高一上·河南开封·期中）已知，则　　　　　. 【答案】 【分析】 令，解得，代入即可得结果. 【详解】 令，解得， 所以. 故答案为：. 29．（25-26学年高一上·河南驻马店部分）已知函数，则　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 令求出的值，再代入计算可得. 【详解】 因为， 令，解得， 所以. 故答案为： 30．（25-26学年高一上·河南信阳罗山县·期中）已知的定义域为，则的定义域为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由题可得，运算得解. 【详解】 由的定义域为，则函数需满足， 解得，即的定义域为. 故答案为：. 31．（25-26学年高一上·河南信阳罗山县·期中）已知，则　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 令，得，代入解析式运算. 【详解】 令，得，故. 故答案为：. 32．（25-26学年高一上·河南部分名校·期中）某通信公司推出的话费套餐收费标准如下：每月月租费为28元，当月通话时间不超过50分钟时，只收取月租费28元；当月通话时间超过50分钟时，除收取月租费外，超出50分钟的部分按0.2元/分钟收费．已知该通信公司某用户选择了该话费套餐，若该用户某月通话时间为120分钟，则该用户应缴的话费为　　　　　　　　　　　元． 【答案】42 【分析】 根据题设要求列式计算即可. 【详解】 由题意，该用户应缴的话费为元． 故答案为：42. 33．（25-26学年高一上·河南豫北民办高·期中）函数的定义域是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由题得到 求解即可. 【详解】 由 ，得：且， 所以函数的定义域是， 故答案为： 34．（25-26学年高一上·河南周口·期中）函数的定义域为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据根号下的部分非负，以及分式分母不为零，列出不等式求解即可. 【详解】 要使函数有意义，        则 ， 所以的定义域为. 故答案为：. 35．（25-26学年高一上·河南商丘·期中）已知，则　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据解析式计算得出函数值, 【详解】 ，. 故答案为： 36．（25-26学年高一上·河南新乡辉县·期中）函数在区间上的值域为　　　　　　. 【答案】 【分析】 采用分离常数的方法，结合反比例函数的值域可求得结果. 【详解】 ，因为，所以， 所以，所以， 所以，即， 所以的值域为. 故答案为：. 37．（25-26学年高一上·河南郑州·期中）已知函数满足，则　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 将式子中的所有换成，即可得到与的方程组，解得即可. 【详解】 因为， 所以， 即 ，解得. 故答案为： 38．（25-26学年高一上·河南新未来多校·期中）已知集合，，若，则的取值范围为　　　　　　. 【答案】 【分析】 解一元二次不等式求解集合A，然后根据交集可得 ，则，进而根据二次函数性质求解范围即可. 【详解】 ，因为， 又因为， 所以关于的方程有两个实数根，，且，， 所以有 ，得 ，所以，解得. 又因为，， 令，，对称轴为， 所以函数在上单调递增，所以函数， 即的取值范围为. 故答案为： 考点02 函数的基本性质 1．（25-26学年高一上·河南信阳罗山县·期中）已知函数是偶函数，则（       ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【分析】 利用二次函数是偶函数，则对称轴为轴，即可求解. 【详解】 由是偶函数，则， 满足二次函数的对称轴， 故选：B 2．（25-26学年高一上·河南豫北民办高·期中）若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】先由函数的单调减区间为，再由题意可得，然后列不等式求解即可. 【详解】解：因为函数的单调减区间为， 又函数在区间上是减函数， 则， 则，解得：， 故选C. 【点睛】本题考查了二次函数的单调区间，重点考查了集合的包含关系，属基础题. 3．（25-26学年高一上·河南信阳罗山县·期中）（多选）下列函数中最小值为4的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ACD 【分析】 利用二次函数，函数单调性和基本不等式求最小值，就可作出判断. 【详解】 对于A，，故A正确； 对于B，因为在上单调递增，所以，故B错误； 对于C，当时，，当且仅当取到等号，故C正确； 对于D，，当且仅当取到等号，故D正确； 故选：ACD. 4．（25-26学年高一上·河南驻马店部分）函数的单调递增区间是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】 由，解得或， 所以函数的定义域为， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又因为为单调递增函数， 所以函数的单调递增区间是. 故选：D. 5．（25-26学年高一上·河南月期中学·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（       ）． A. 3 B.  C. 1 D.  【答案】B 【分析】 根据奇函数的性质计算可得. 【详解】 由题意，当时，，则， 又函数是定义在R上的奇函数，所以. 故选：B 6．（25-26学年高一上·河南郑州·期中）已知函数 ，且对于任意的，有，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先根据条件得到分段函数在上单调递增，从而要求每段上都单调递增，且分段点左侧函数的函数值小于等于右侧函数的函数值，列出不等式组，求出实数的取值范围. 【详解】 因为，所以在上单调递增， 所以 ，解得. 故选：B 7．（25-26学年高一上·河南部分学校·期中）已知函数是定义在上的偶函数，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用偶函数的定义域、对称轴方程可求出、的值，可得出函数的解析式，进而可求得的值. 【详解】 因为偶函数的定义域关于原点对称， 所以，解得， 函数的对称轴方程为，解得， 故，， 因此. 故选：D. 8．（25-26学年高一上·河南信阳罗山县·期中）定义：表示中的较小者.若函数在区间上的取值范围为，则的最大值为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 先作出的图象，然后分析时的取值，根据值域结合图象确定出的最大值. 【详解】 在平面直角坐标系中作出的图象如图所示， 令，解得或，所以， 令，解得，所以， 由题可知，当在区间上的取值范围为时， 当且仅当时取得最大值，且最大值为， 故选：B. 9．（25-26学年高一上·河南信阳罗山县·期中）若函数是上的单调函数，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据分段函数的单调性列式求解. 【详解】 由 ， 因为是R上的单调函数，所以，解得， 所以的取值范围为. 故选：C. 10．（25-26学年高一上·河南开封·期中）已知是定义域为的奇函数，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 根据奇函数的定义判断必要性，举反例判断充分性. 【详解】 因为是定义域为的奇函数， 若，例如，则对任意均有成立， 可知不一定成立，所以充分性不成立； 若，即，则， 即，所以必要性成立； 综上所述：“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 11．（25-26学年高一上·河南部分名校·期中）函数的部分图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先判断函数的奇偶性可排除B，D；再得到时，可排除C，即可得到答案. 【详解】 由，， 则， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B，D； 当时，，，则，排除C，而A满足题意. 故选：A 12．（25-26学年高一上·河南新乡辉县·期中）（多选）下列函数为奇函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】AC 【分析】 根据奇函数的定义，逐项判断即可. 【详解】 对于A选项，函数的定义域为，且，故A选项正确； 对于B选项，函数的定义域为，不是奇函数，故B选项错误； 对于C选项，函数的定义域为，且，故C选项正确； 对于D选项，函数的定义域为，且，所以为偶函数，故D选项错误. 故选：AC 13．（25-26学年高一上·河南新乡辉县·期中）已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由奇函数的性质得，由在上单调递增，可得时，；时，；结合不等式及一元二次不等式的解法，利用符号法求解即可. 【详解】 由函数是定义在上的奇函数，则， 令，得，所以， 又在上单调递增， 所以当时，；当时，； 等价于 或 ， 所以 或 ，所以或， 则不等式的解集为. 故选：D. 14．（25-26学年高一上·河南驻马店部分）已知函数是偶函数，且对任意的，都有，若，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据给定的条件，可得函数在上单调递增，再结合偶函数的性质求解不等式即得. 【详解】 由对任意，都有，得函数在上单调递增， 因为函数为偶函数，, 所以， 于是，则有，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 15．（25-26学年高一上·河南名校联考·期中）函数的图象大致为（     ） A.      B.      C.      D.      【答案】A 【分析】 根据函数的奇偶性和函数的极限即可判断. 【详解】 的定义域为，因为，所以为奇函数，排除BD； 当时，，排除C，故A正确. 故选：A 16．（25-26学年高一上·河南部分普通高·期中）已知定义在上的函数满足，且，则的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 确定函数图象关于对称，再通过换元法求得函数解析式，再结合单调性即可求解. 【详解】 由函数满足，可得函数的图象关于对称， 令，则， 所以， 即时，，所以函数在上单调递减， 因为函数的图象关于对称，可得函数在上单调递增， 因为， 所以，即． 故选：B． 17．（25-26学年高一上·河南部分普通高·期中）（多选）用表示不小于的最小整数，例如，，．已知，，则下列正确的有（     ） A.  B.  C. 不等式的解集为 D. 函数的值域为 【答案】BCD 【分析】 根据给定的定义计算判断AB；利用给定定义，结合一元二次不等式求解判断C；确定范围，再分段求解判断D. 【详解】 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，由，得， 解得，则，因此该不等式的解集为，C正确； 对于D，，当时，， 当时，；当时，，所以函数的值域为，D正确. 故选：BCD 18．（25-26学年高一上·河南洛阳·期中）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（       ） A. 的定义域为 B. 当函数的图象关于点成中心对称时， C. 当时，在上单调递减 D. 设定义域为的函数关于中心对称，若，且与的图象共有2026个交点，记为，则的值为0 【答案】ACD 【分析】 根据分母不为0，即可求函数的定义域，判断A；首先分离常数，根据函数的特征和性质，即可判断BC；根据两个函数的对称性相同，可判断出两个函数图象交点的对称性，即可求解，并判断D. 【详解】 对于A，要使函数有意义，则，即， ∴的定义域为，所以A正确； 对于B，∵， ∴的图象关于点成中心对称， 当函数的图象关于点成中心对称时，，所以B不正确； 对于C，由选项B知，当时，， ∴在单调递减，,所以C正确； 对于D，∵，， ∴的图象关于对称，又函数的图象关于对称， ∴与图象的交点成对出现，且每一对均关于对称，，所以D正确. 故选：ACD 19．（25-26学年高一上·河南洛阳·期中）已知函数定义域为，，，，且，，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由题可得在上递增，然后将化为，由单调性结合定义域可得答案. 【详解】 由条件得，，，在上递增. 由得， 则 或． 故选：B． 20．（25-26学年高一上·河南新未来多校·期中）已知函数 是上的减函数，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先根据函数在上是减函数求得，再根据函数在上单调递减求得，最后根据分段函数单调性法则可得，即可得解. 【详解】 当时，， 因为函数是上的减函数，所以函数在上是减函数， 所以，即；当时，，对称轴为， 因为函数在上单调递减，所以，即； 因为函数是上的减函数，所以，解得. 综上，故实数的取值范围为. 故选：A. 21．（25-26学年高一上·河南周口·期中）下列图象中，函数的部分图象有可能是（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】A 【分析】 求出函数的定义域，分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】 对于函数，有，解得，即函数的定义域为， 定义域关于原点对称，因为，即函数为奇函数，排除CD选项， 当时，，则，此时，排除B选项. 故选：A. 22．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）（多选）已知函数（其中表示不超过x的最大整数），则下列选项不正确的是（       ） A.  B. 函数的值域为 C. 函数是增函数 D. 方程无解 【答案】BC 【分析】 易得函数是周期为1的函数，分析当时，函数的性质，画出其简图，逐项分析，可得正确答案. 【详解】 对于A，由已知可得：，所以选项A正确； 当时，函数， 因为表示不超过x的最大整数，所以,所以, 又因为，所以 所以对于，恒有, 所以函数是周期为的函数， 其简图如下： 对于B，函数的值域为，所以选项B错误； 对于C，函数在上单调递增，但在整个定义域上不单调，所以不是增函数，所以选项C错误； 对于D，函数图象与直线无交点，所以方程无解，所以选项D正确. 故选：BC. 23．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）函数的大致图象是（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】A 【分析】 判断函数的奇偶性，根据时，，可得结论. 【详解】 函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数，故BC不符合题意； 当，，所以，故D不符合题意，A符合题意. 故选：A. 24．（25-26学年高一上·河南商丘·期中）已知是定义域为的偶函数，且当时，单调递减，则满足的实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据偶函数性质得，然后利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】 因为为上的偶函数，，所以， 又当时，单调递减，所以当时，单调递增， 又，所以，即 ，解得或. 故选：B. 25．（25-26学年高一上·河南郑州·期中）（多选）已知函数的定义域为，对任意实数满足：. 当时，.则下列选项正确的有（       ） A.  B. 函数为奇函数 C. 为上的减函数 D. 对，恒有 【答案】AC 【分析】 A：通过赋值法先计算出的值， B：通过赋值可得，然后通过变形可判断是否为奇函数；C：根据得到，结合条件判断正负可得单调性；D：结合单调性及赋值法计算判断. 【详解】 对于A：令，则，A选项正确； 对于B：令，则，则， 所以，所以，所以不为奇函数，故错误； 对于C：，则，则， 因为，所以，又时，， 所以，所以， 所以为上的减函数，故正确； 对于D：由A选项的计算可知，且由C选项为上的减函数， 因为，所以，故错误； 故选：AC. 26．（25-26学年高一上·河南部分学校·期中）（多选）定义域为的函数满足，且为偶函数，当时，，函数 且的图象与的图象有个交点，记为，则下列说法正确的是（     ） A.  B. 在内单调递减 C.  D.  【答案】ACD 【分析】 由题意知，可得函数关于点对称，又为偶函数可得函数为周期是的周期函数，于是可求，并验证关于直线对称，即可判断A,C;对于C，利用的解析式，可直接判断其单调性；对于D，通过分析判断与均关于点对称，结合两函数的单调性和对称性推出两者在区间上有2020个交点，利用对称性即可求和验证. 【详解】     由得的图象关于点对称， 由为偶函数得的图象关于直线对称， 则为周期函数，周期为，如图作出在上的图象. 对于A， ，故A正确； 对于B，，因函数在内单调递增， 则在内单调递增，故B错误； 对于C，由图知关于直线对称，则，故C正确； 对于D，由，可得的图象关于点对称， 而的图象也关于点对称， 计算得与在区间上有个交点， 从左向右依次为，， 则， 故，故D正确． 故选：ACD． 27．（25-26学年高一上·河南九师联盟·期中）已知定义在上的函数满足对，，都有，若，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 依题意根据函数单调性定义可得在上单调递增，原不等式等价于，即可解出. 【详解】 由，得， 令，则，因此函数在上单调递增， 由，得， 由，得， 即，则，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：C 28．（25-26学年高一上·河南联考·期中）下列函数在定义域上既是奇函数又是增函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据基本初等函数的性质判断ABC；画出函数图象判断D. 【详解】 对于A，函数定义域为，是上的奇函数和减函数，A错误； 对于B，函数的定义域为，是奇函数，在定义域上不单调，B错误； 对于C，函数的定义域为，为非奇非偶函数，C错误； 对于D，函数 的定义域为，其图象如图： 因此函数在上既是奇函数，又是增函数，D正确. 故选：D 29．（25-26学年高一上·河南联考·期中）已知函数的定义域为，对任意的，且，都有 ，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 构造函数，结合函数单调性定义可得该函数单调性，再将原不等式变形后利用函数单调性计算即可得解. 【详解】 令，， 则对任意的，且， 有， 由，则当时，，， 则，故， 故函数在上单调递减， 对，有 ，则， 则， 故有，即， 解得或（舍去），故， 即该不等式的解集为. 故选：C. 30．（25-26学年高一上·河南联考·期中）已知函数 在上单调递增，则实数b的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 对进行分类讨论，根据函数在上单调递增，结合函数的性质即可求解. 【详解】 当时，在上单调递增，因此， 当时， 为对勾函数，在上单调递增， 又函数在上单调递增，所以，则， 所以实数b的取值范围是. 故选：B 31．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）下列函数在定义域上既是奇函数又是增函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据基本初等函数的性质可判断ABC，画出函数图像可判断D. 【详解】 对于A，函数在其定义域上是奇函数和减函数，故A错误； 对于B，函数在其定义域上是奇函数，在和单调递增，故B错误； 对于C，函数的定义域为，为非奇非偶函数，在单调递增，故C错误； 对于D，函数 的图像如图所示， 所以函数在其定义域上既是奇函数，又是增函数，故D正确. 故选：D 32．（25-26学年高一上·河南周口·期中）函数 ，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据题意可知是减函数，结合分段函数单调的条件求解． 【详解】 因为对任意，都有成立，所以是上的减函数， 则 ，解得， 即实数a的取值范围为． 33．（25-26学年高一上·河南开封·期中）已知是定义在R上的偶函数，当时，恒成立，且，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用函数的奇偶性与对称性构造新函数，判定其单调性计算即可. 【详解】 因为，，所以， 即，令，则有， 则在上单调递增. 又是定义在R上的偶函数，， 所以是定义在R上的偶函数. 由，可得， 即，由的单调性和奇偶性， 可得，解得或. 故选:B. 34．（25-26学年高一上·河南新乡·期中）已知，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且．若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由函数的奇偶性得，问题转化为在区间有解，即在上有解，利用基本不等式求出的最小值，得解. 【详解】 因为函数，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数， 且， 用代换x，可得， 所以， 关于x的不等式在区间上有解， 等价于关于x的不等式在区间有解， 即关于x的不等式在区间上有解， 当时，不等式，则有， 由不等式在区间有解，得不等式在上有解， 因为，当且仅当时取等号， 所以在区间上的最小值为， 所以实数a的取值范围是. 故选：B. 35．（25-26学年高一上·河南新乡·期中）（多选）对于函数，若存在常数a，b，使得函数为“奇函数”，则称函数为“准奇函数”．已知，以下说法正确的是（     ） A. 为“准奇函数” B. 函数的图象关于点对称 C.  D. 函数的最大值为2 【答案】AD 【分析】 对A，设，判断为奇函数，利用新定义判断；对BCD，利用中心对称的意义及性质判断. 【详解】 函数的定义域为，设，则. 对于A，由，得为奇函数，则为“准奇函数”，故A正确； 对于B，由为奇函数，得， 则，函数的图象关于点对称，故B错误； 对于C，由B知，函数的图象关于点对称， 故，，则，又， 因此 ，故C错误； 对于D，当时，，， 当且仅当，即时，等号成立，当x趋于或时，趋于1，所以当时，， 由B可知，函数的图象关于点对称， 所以当时，，所以函数的最大值为2，故D正确. 故选：AD. 36．（25-26学年高一上·河南新乡·期中）（多选）已知函数 ．若当时，，则的值可以是（     ） A.  B. 6 C. 8 D.  【答案】BD 【分析】 画出大致图象，分段讨论，根据当时，，可求出，对需要进行分类讨论，分或，求解后，结合图象及不等式的求解，求出的范围即可求解． 【详解】 由题意 ，作出图象如下： 当时，，在上单调递增，其值域为； 当时，，由对勾函数性质知，在上单调递减，其值域为， 在上单调递增，其值域为， 因为当时，， 由，得，解得，（舍去），所以； 由，得或，解得或（舍去）或， 所以．所以， 即． 故选：BD． 37．（25-26学年高一上·河南部分名校·期中）（多选）已知是上的单调函数，且，则（       ） A.  B. 是奇函数 C.  D. 不等式的解集是 【答案】ACD 【分析】 令，则，令，得到关于的方程，得到的值，进而得到的解析式，然后根据选项依次判断即可. 【详解】 令，则， 令，则， 令，显然单调递增，且， 所以的解为， 所以， ，故A正确； ，所以不是奇函数，故B错误； ，故C正确； 显然单调递增，且， ，故D正确. 故选：ACD. 38．（25-26学年高一上·河南驻马店部分）（多选）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则下列说法正确的是（     ） A.  B. 当时， C. ，都有 D. 若在上有最大值，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】 根据奇函数的性质求出，即可判断A，设，根据奇函数的性质求出函数解析式，即可判断B，利用作差法判断C，画出函数图象，数形结合，即可判断D. 【详解】 对于A：因为是定义在上的奇函数，且当时，， 所以，即，故A正确； 对于B：由A可得当时，， 设，则，所以， 所以当时，，故B错误； 对于C：因为当时，， 设，则 ， ，故C正确； 对于D：由B可知 ，作出函数的图象，如图所示. 当时，，由图知在区间上有最大值，满足题意； 当时，，由图知在区间上无最大值，不满足题意； 当时，由图知在区间上有最大值，满足题意. 综上的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 39．（25-26学年高一上·河南名校联考·期中）（多选）已知定义在上的偶函数满足，则下列说法正确的是（       ） A. 的图象关于中心对称 B.  C. 为偶函数 D. 为奇函数 【答案】ABD 【分析】 根据函数的奇偶性和对称性逐一推理判断各选项即可. 【详解】 对于A，由可得，故的图象关于中心对称，即A正确； 对于B，在中，取，，解得， 因是上的偶函数，故，故B正确； 对于C，因是上的偶函数，则， 由可得，故有， 假设是偶函数，则，故有， 即，也即恒成立，而由题意此式并不一定恒成立，故假设不成立，即C错误； 对于D，由，故为奇函数，D正确. 故选：ABD. 40．（25-26学年高一上·河南名校联考·期中）已知函数 ，若存在，使成立，则实数a的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 对进行分类讨论，结合直线、抛物线的知识求得的取值范围. 【详解】 ， ，过定点， 开口向上，对称轴， 当时，在递减，在递增，最小值为， 根据直线和抛物线的知识可知：存在，使成立. 当时， ，， 所以存在，使成立， 当时，在上递增，在递增， 即在上递增，所以不存在符合题意的. 当时，在上递增，在上递减，在上递增， 根据直线和抛物线的知识可知：存在，使成立. 综上所述，的取值范围是. 故选：D 【点睛】 对于含有参数的分段函数的分析，关键在于对参数进行分类讨论，本题中，涉及直线、抛物线，参数与直线的单调性、抛物线的对称轴（单调性）有关，由此可确定分类的标准，从而使分类做到“不重不漏” 41．（25-26学年高一上·河南新未来多校·期中）已知定义在上的函数满足，对任意，，当时，都有，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据判定函数是奇函数，然后利用奇函数和单调性定义得函数在上单调递增，令，则函数是上单调递增的奇函数，所求不等式转化为，利用单调性解不等式即可. 【详解】 因为，令，即， 即，所以函数是奇函数； 由对任意，，当时，都有， 得函数在上单调递增；由函数是奇函数， 所以函数在上单调递增，即函数在上单调递增. 在不等式两边都加上得： ，即， 令，因为函数也是奇函数，在上单调递增， 所以函数是奇函数，且在上单调递增. 则不等式可转化为， 所以，解得. 故选：D. 42．（25-26学年高一上·河南月期中学·期中）已知是定义在上的偶函数，若对任意的，，都有，且，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由题中条件得到在上单调递增．由函数为偶函数得到该函数在上单调递减，由，得到当时，当或时，由得，从而得到 或 解这个不等式组就是所求. 【详解】 对任意的，，都有， 不妨设，则，，则， 所以函数在上单调递增． 又函数为偶函数，则该函数在上单调递减，又， 所以当时，， 当或时，， 由，得， 所以 或 解得或， 即不等式的解集为． 故选:D． 43．（25-26学年高一上·河南周口·期中）（多选）已知函数的定义域是R，若对任意的，都有成立，且当时，，则下列说法中正确的是（       ）． A.  B. 函数是非奇非偶函数 C. 函数在上单调递增 D. 的解集为 【答案】ACD 【分析】 对于A选项：将代入题干等式计算即可得出；对于B选项：将代入题干等式根据奇偶性的定义可判断正误；对于C选项：根据定义法证明单调性即可；对于D选项，利用函数单调性与奇偶性综合解不等式. 【详解】 由题知：对任意的， 都有（*）， 将带入（*）式得：， 故，故A选项正确； 将带入（*）式得， 而函数的定义域是R，易知为奇函数，故B选项错误； ，不妨令：， 令，，则， 将上述带入（*）式得：， 即：， 而，所以， 由题知：且当时，， 所以，故， 根据函数的单调性定义可知：函数在上单调递增，故C选项正确； 由不等式， 由B选项知为奇函数， 所以上述不等式可写为：， 由C选项知：函数在\mathbf{R} &上单调递增， 易知：，解得：或， 故的解集为，故D选项正确. 故选：ACD. 44．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若的图象的对称中心为，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意求得函数的图象的对称中心，根据对称性求得的值. 【详解】 由题可知，若函数图象的对称中心为，则为奇函数， 即为奇函数. 所以 所以且，解得. 所以的图象的对称中心为，即有， 所以 所以 ， . 故选：D. 45．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）（多选）对于函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，则称函数为倒函数．以下选项正确的有（    ） A. 函数是倒函数 B. 函数是倒函数 C. 若是上的倒函数，当时，，方程没有正整数解 D. 若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是增函数．记，则是的充要条件 【答案】ACD 【分析】 对于选项A、B，直接根据定义判断函数是否为倒函数；对于选项C，先根据倒函数性质求出时函数表达式，再判断方程是否有正整数解；对于选项D，根据函数单调性判断与之间的充分性和必要性. 【详解】 对于A，对于定义域为，显然定义域中任意实数，都有成立，又，所以是倒函数．故A正确． 对于B，定义域为，当时，，不符合倒函数的定义，所以不是倒函数，故B错误． 对于C，令，则，由倒函数的定义，可得， 所以，所以 ，要使有正整数解， 则，当时，； 当时，；所以没有正整数解，故C正确． 对于D，充分性：当时，且，因为是增函数， 所以，，即，， 所以． 必要性：当时， 有， 因为恒大于0，所以，即， 所以，因为是增函数，所以，即； 综上可得是的充要条件，故D正确． 故选：ACD. 【点睛】 关键点点睛：本题关键是理解倒函数定义. 46．（25-26学年高一上·河南信阳固始县·期中）已知函数 ，若的值域为，则实数的取值范围（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 首先分析函数的取值情况，从而判断，再结合得到，再分和两种情况讨论，当时结合函数在上的单调性，得到从而求出c的取值范围. 【详解】 对于函数， 当时，，当时，， 而，有， 依题意，，又，解得，则. 当时，函数在上的取值集合为，不符合题意； 当，函数在上单调递增， 则，∴ ，解得， ∴实数的取值范围是. 故选：A 47．（25-26学年高一上·河南部分学校·期中）已知函数 是增函数，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据分段函数单调性结合一次函数和二次函数的图象和性质列不等式组求解即可. 【详解】 由题意知，在区间上单调递增， 在区间上单调递增，且， 所以 ，解得， 故选：A. 48．（25-26学年高一上·河南开封·期中）（多选）设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，（且），若，则（       ） A. 的图象关于直线对称 B.  C. 函数恰有3个零点 D.  【答案】AC 【分析】 对于A：根据偶函数以及对称轴的定义分析判断；对于B：根据奇函数定义分析可得，，即可得；对于C：分析函数的周期性，结合图象分析函数的零点；对于D：根据题意结合函数的周期性运算求解. 【详解】 对于选项A：因为为偶函数，则， 即，所以的图象关于直线对称，故A正确； 对于选项B：因为为奇函数，则， 即，可知的图象关于点对称， 令可得，即， 由，令可得， 且，可得； 由，令可得，即， 又因为当时，， 则 ，解得，故B错误； 对于选项C：由可得， 且，可得， 即，可得， 即，可知函数的一个周期为4， 且当时，， 据此可得函数的图象，如图所示： 可知函数的零点个数即为函数与的交点个数， 由图可知函数与的交点有3个， 所以函数恰有3个零点，故C正确； 对于选项D：因为，，， 则， 且函数的一个周期为4， 所以，故D错误； 故选：AC. 49．（25-26学年高一上·河南豫北民办高·期中）已知是定义在上的奇函数，若，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用奇函数的性质计算可求得的值. 【详解】 因为，，所以， 又因为是定义在上的奇函数，所以， 又，所以，解得. 故答案为：. 50．（25-26学年高一上·河南月期中学·期中）已知函数. （1）判断的奇偶性并用定义进行证明； （2）用定义证明在区间上单调递减. 【答案】（1）是奇函数，证明如下： 由，得的定义域为. 对于，都有， 且， 所以是奇函数.     （2）证明：任取，，且， 则 ， 因为，所以，，，， 因此，即， 所以函数在区间上单调递减.      【分析】 （1）利用奇偶性的定义证明即可； （2）令，，且，做差判断的正负来确定函数单调性. (1) 小问详解： 是奇函数，证明略； (2) 小问详解： 略. 51．（25-26学年高一上·河南月期中学·期中）已知 是上的单调增函数，则实数的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用分段函数的单调性和在间断点处的连续性可解. 【详解】 是上的单调增函数， 所以 . 故答案为：. 52．（25-26学年高一上·河南周口·期中）若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 化简函数为 ，结合其单调性可得相应不等式，即可求得答案. 【详解】 由题意可得 ， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 故要使函数在区间上是增函数， 需满足，则， 即实数a的取值范围是， 故答案为： 53．（25-26学年高一上·河南信阳固始县·期中）已知函数． （1）利用函数的单调性定义证明函数在上单调递增； （2）比较，的大小． 【答案】（1） 函数，任取， ， 由，，，，即， 所以函数在上单调递增.     （2）      【分析】 （1）由定义法证明函数的单调性； （2）通过单调性比较函数值的大小. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，则，当且仅当，即时等号成立， ， 由，有，则，， 函数在上单调递增，所以. 54．（25-26学年高一上·河南部分学校·期中）函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，　　　　　　． 【答案】 【分析】 先设，则，应用函数的解析式计算结合奇函数的性质即可求出解析式. 【详解】 当时，，则，所以． 故答案为：. 55．（25-26学年高一上·河南部分学校·期中）已知函数，则的单调递减区间为　　　　　　． 【答案】 【分析】 先求函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解. 【详解】 令，解得或， 又在上单调递减，在上单调递增， 且在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减． 故答案为：. 56．（25-26学年高一上·河南九师联盟·期中）已知二次函数满足. （1）求函数的解析式； （2）若，，求的最小值. 【答案】（1）     （2） 【分析】 （1）设，根据条件建立方程组 ，即可求解； （2）由（1）可得，，对分类讨论，利用二次函数的性质，即可求解. (1) 小问详解： 设， 因为 ， 所以 ，解得 ，所以. (2) 小问详解： ，. 当时，在上单调递增，； 当时，； 当时，在上单调递减，. 综上， . 57．（25-26学年高一上·河南信阳罗山县·期中）若函数的定义域､值域均为，则称为区间上的等域函数. （1）若为区间上的等域函数，求实数的值； （2）是否存在实数对，其中，使得函数为区间上的等域函数？若存在，请写出符合要求的所有实数对，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）2     （2）存在，此时实数对为      【分析】 （1）分析可知在上单调递增，结合等域函数的定义运算求解即可； （2）分和两种情况讨论，可知在上单调递增，结合等域函数的定义运算求解即可. (1) 小问详解： 因为的图象开口向上，且对称轴为， 可知在上单调递增， 若为区间上的等域函数， 则 ，解得或， 由区间可知，所以实数的值为2. (2) 小问详解： 因为，， 若，可知在上单调递增； 若，则，可知在上单调递增； 综上所述：在上单调递增. 若函数为区间上的等域函数， 则 ，解得 ， 所以存在，此时实数对为. 58．（25-26学年高一上·河南信阳罗山县·期中）定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数. （1）求的值； （2）证明：函数是偶函数； （3）解不等式. 【答案】（1）1     （2） 因为的定义域为，， 令，得，即， 所以函数为偶函数.     （3）      【分析】 （1）令，求得，再令，求得； （2）令，根据偶函数定义证明； （3）利用偶函数性质将不等式变形为，再根据单调性求解. (1) 小问详解： 由，令，得，得， 令，得，解得. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 不等式，即， ， 由为偶函数，得， 又是区间上的递增函数， ，解得或， 所以不等式的解集为. 59．（25-26学年高一上·河南开封·期中）已知函数是奇函数，且． （1）求和的值， （2）判断并证明的单调性； （3）若对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】（1），     （2） 在上单调递增． 证明如下：设且，则 ， 又，所以，，， 所以，即，所以在上单调递增．     （3）．      【分析】 （1）根据奇函数和即可求得和的值； （2）根据函数单调性的定义即可证明函数单调性； （3）运用函数的单调性和奇函数的性质，结合常变量分离法、换元法、构造函数法进行求解即可. (1) 小问详解： 由题意知是定义在上的奇函数，所以， 解得， 当时，，所以， 所以是奇函数，满足题意． 又，即，解得（舍去）或． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 若对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令， 令，由（2）可知为增函数，又， 所以，所以，所以， 所以， 解得，即的取值范围是． 60．（25-26学年高一上·河南新乡·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，． （1）求的解析式； （2）当时，求的最小值． 【答案】（1）     （2） 【分析】 （1）根据偶函数的定义求解即可； （2）根据的单调性，按的不同取值分类讨论即可. (1) 小问详解： 因为为偶函数，当时，， 当，有，则， 所以 ． (2) 小问详解： 当时，．因为的图象是开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递减，在上单调递增． 当时，，在上单调递减， 则； 当时，则，所以在上单调递减，在上单调递增，则； 当时，在上单调递增，则． 综上， ． 61．（25-26学年高一上·河南部分名校·期中）已知是定义在上的奇函数． （1）求的值； （2）判断的单调性，并用定义证明； （3）若关于的不等式在上有解，求的取值范围． 【答案】（1）     （2） 函数在上单调递减，证明如下： 由（1）知，， 任取，且， 则， 因为，则，即， 所以，即， 所以函数在上单调递减.     （3）      【分析】 （1）根据奇函数的定义，列式计算即可求解； （2）根据函数单调性的定义证明即可； （3）根据函数为奇函数及函数在上单调递减，结合题设将问题转化为在上有解，令，可得，进而求解即可. (1) 小问详解： 由题意，函数为定义在上的奇函数，则， 即，则， 即，故. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）知，函数在上单调递减，且为奇函数， 由，， 则， 所以，则， 当时，不等式为，显然不成立，则， 则在上有解， 而， 令，则， 因为函数在上单调递增， 则时，取得最小值0， 所以，即，则的取值范围为． 62．（25-26学年高一上·河南新乡辉县·期中）已知函数，. （1）判断的单调性并用定义证明； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） 在上单调递增. 证明如下： 不妨设，且， 则，           易知，， 所以，即， 所以在上单调递增.     （2）      【分析】 （1）利用单调性的定义证明即可； （2）利用单调性将已知不等式转化为，即，解得，然后利用指数函数单调性解不等式即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）得在上单调递增，且， 所以，即，           因为， 所以，即， 解得，则， 所以实数的取值范围是. 63．（25-26学年高一上·河南新乡辉县·期中）已知为奇函数. （1）求实数的值； （2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数的最小值为，求实数的值. 【答案】（1）     （2）     （3）或.      【分析】 （1）根据奇函数中求解，再检验即可； （2）求出函数的最大值，转化为解不等式即可； （3）令，换元后转化为关于分段函数，根据二次函数对称轴分类讨论求最小值，建立方程求解即可. (1) 小问详解： 由题可知的定义域为， 因为为奇函数， 所以，解得.           所以. 经检验，时，为奇函数，符合题意，故. (2) 小问详解： 易知，           是增函数，且，           所以，即， 解得，即实数的取值范围是. (3) 小问详解： 令，则， 函数转化为          因为抛物线的对称轴为，抛物线的对称轴为，且均开口向上. ① 若， 当时，， 当时，单调递减，所以， 所以，解得.           ② 若， 当时，； 当时，， 因为，所以，，不可能有.           ③ 若， 当时，； 当时，单调递增，所以， 所以，解得. 综上，的值为或. 64．（25-26学年高一上·河南驻马店部分）若函数 在上单调递减，则的取值范围是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据分段函数单调性的性质，分别分析每一段函数的单调性，再结合函数在分段点处的取值情况列出不等式组，进而求解的取值范围. 【详解】 因为函数 在上单调递减， 所以 解得， 即a的取值范围是. 故答案为：. 65．（25-26学年高一上·河南驻马店部分）已知函数是定义在上的奇函数． （1）求的值； （2）判断在上的单调性并证明； （3）解关于的不等式． 【答案】（1），     （2） 在上单调递增．证明如下： 任取，且， 所以 ． 因为，且，所以且， 所以，即， 因此在上单调递增．     （3）      【分析】 （1）因为函数是奇函数，所以定义域关于原点对称，求出的值，再由求出，检验时，是奇函数； （2）用单调性的定义证明即可； （3）因为为奇函数，所以原不等式化为，再利用单调性可解. (1) 小问详解： 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，解得， 又， 当时，，，满足题意． 故， (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为为奇函数，在上单调递增，所以在上单调递增， 由，可得，即， 所以 解得， 即关于的不等式的解集为． 66．（25-26学年高一上·河南驻马店部分）已知函数的定义域为，且对任意的，满足，且，则　　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 根据已知条件进行变形得到，并结合赋值法得到式子并相加即可求出. 【详解】 因为， 所以，， 因为，所以， 所以， 所以，所以，即. 可得，，，，， 把上式相加得，又，所以. 故答案为：1. 67．（25-26学年高一上·河南名校联考·期中）函数是定义在上的奇函数，且 （1）求的解析式； （2）证明在上为增函数； （3）解不等式. 【答案】（1）     （2）证明：任取，且，则， 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以在上为增函数；     （3）      【分析】 （1）根据奇函数的定义求得，由求得，即可求解解析式； （2）根据单调性定义，按照步骤证明即可； （3）由奇函数、单调性解不等式得 ，求解即可. (1) 小问详解： 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得，此时， 又，所以，解得， 所以； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为函数是定义在上的奇函数， 所以由，得， 又因为在上为增函数，所以 ，解得. 所以原不等式的解集为. 68．（25-26学年高一上·河南名校联考·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，． （1）求出函数的解析式； （2）画出函数的图象，并根据图象直接写出使的的取值集合． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）首先设，得到，再代入解析式结合奇函数的性质求解即可。 （2）画出函数图象求解不等式即可。 (1) 小问详解： 因为函数是定义域为的奇函数，当时，， 当时，，， 所以，即 。 (2) 小问详解： 函数的图象， ，由图知：或。 则的取值集合 69．（25-26学年高一上·河南豫北民办高·期中）已知函数． （1）求函数的定义域； （2）判断的奇偶性，并说明理由； （3）判断在上的单调性，并证明． 【答案】（1）     （2） 既不是奇函数也不是偶函数． 理由：函数的定义域为关于原点对称， ，同时， 既不是奇函数也不是偶函数     （3） 在上单调递增． 证明：任取，且， 则 由于，且 ， 所以，故在上单调递增      【分析】 （1）由定义域的概念即可求解； （2）由函数奇偶性的定义即可判断； （3）由函数单调性的定义即可求证. (1) 小问详解： 由分式分母不为0，可得函数的定义域为 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 70．（25-26学年高一上·河南洛阳·期中）已知函数的定义域为，且仅有一个零点. （1）求； （2）若为奇函数，求的值； （3）设函数，若存在实数，使得在区间上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1），     （2）     （3）.      【分析】 （1）利用特殊值法，令，可得，令，可得 （2）根据奇函数的定义可求得； （3）由（2）知，则有，则在和上均单调递增.将在区间上的值域为转化为是方程的两个实根，从而得解. (1) 小问详解： 令，得， 即. 因为，所以. 令，得，所以， 因为，所以. (2) 小问详解： 若）是奇函数，则， 因为仅有一个零点，且由（1）知. 所以. 当时，因为， 所以，即是奇函数. 综上，. (3) 小问详解： 由（2）知，所以， 所以，则在和上均单调递增. 则 所以是方程的两个实根， 所以方程在上有两个不相等的实根. 设，则 解得， 故实数的取值范围是. 71．（25-26学年高一上·河南新未来多校·期中）函数是偶函数，且. （1）确定函数的解析式； （2）用定义证明函数在上单调递增，并求函数的单调区间； （3）求的值. 【答案】（1）     （2） 任取，， 则有， 若，则有，则，，，， 所以，即，所以函数在上单调递增； 若，则有，则，，，， 所以，即，所以函数在上单调递增； 又因为函数是偶函数，所以函数在对称区间单调性相反，所以函数在和上均单调递减. 故函数的单调递减区间为：，；单调递增区间为：，.     （3）0      【分析】 （1）根据函数为偶函数，，可得的值，再根据，可求的值，即可明确函数的解析式. （2）利用单调性的定义证明函数在区间和上的单调性，再结合函数的奇偶性，判断函数在，上的单调性. （3）先研究函数性质，得到，再结合函数奇偶性得到，进而可求所给式子的值. (1) 小问详解： 因为函数是偶函数， 所以，即，所以，即， 又因为，所以， 所以. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为，则，即， 又因为函数是偶函数，即，所以， 所以 . 72．（25-26学年高一上·河南周口·期中）已知函数，且此函数图象过点. （1）求的解析式； （2）讨论函数在上的单调性？并证明你的结论. （3）求函数在区间上的最小值和最大值. 【答案】（1）     （2） 在上单调递增，证明如下： 不妨设且， 则， 因为且， 所以，则，， 所以，即 所以在上单调递增．     （3）；      【分析】 （1）将点代入即可求得的值，从而得到的解析式； （2）利用函数单调性的定义，结合作差法即可得解； （3）结合（2）中结论，利用函数的单调性即可求得的最值. (1) 小问详解： 因为函数，且此函数图象过点． 所以，解得， 所以. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）易知，在上单调递增， 所以. 73．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）已知函数 在R上单调递减，则实数a的取值范围为　　　　　　　　　　.（结果写成集合或区间的形式） 【答案】或 【分析】 由分段函数为单调递减函数得到不等式组，解不等式组可得. 【详解】 由题意可得 ，解得. 故答案为：或. 74．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）已知函数是奇函数，. （1）求a的值； （2）判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （3）求不等式的解集. 【答案】（1）；     （2） 在上单调递减.证明过程如下： 证明：任取， 则 ， 因为单调递增，所以， 所以，所以， 即在上单调递减.     （3）.      【分析】 （1）根据得到方程，求出； （2）定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论； （3）由函数表达式可知，在上恒有，在上有，不等式转化为，从而得到不等式组，求出答案. (1) 小问详解： 因为函数是奇函数，所以， 则，解得：. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ，则， 因为函数是奇函数，在上单调递减，且在上恒有， 所以在上有. 由可知，不等式可化为. 由在上单调递减，可得：， 由得或，由得， 故或. 所以原不等式的解集为. 75．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）已知函数 （1）当时，求函数的值域； （2）当]时，求函数的最小值； （3）若，存在实数，使f，求b的取值范围. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）利用换元法可求复合函数在给定区间上的值域； （2）利用换元法，将求函数的最小值问题转化为求含参二次函数在给定区间上的最值问题，通过讨论对称轴与给定区间的关系可得； （3）分离参数，利用换元法构造新函数，根据新函数的单调性，求的取值范围，从而求得b的取值范围. (1) 小问详解： 当时，， 令，则，则在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，取得最小值，最小值为；当时最大值为9，故函数的值域为. (2) 小问详解： 令，则，对称轴为. 当时，，则在上单增，所以函数的最小值为； 当时，，则在上单减，在上单增，所以函数的最小值为； 当时，有，则在上单减，所以函数的最小值为. 综上所述， . (3) 小问详解： 由有. 即，所以. 因为，所以. 令当且仅当，即时，等号成立； 因为所以. 令，则是增函数， 所以，所以， 即实数的取值范围为. 76．（25-26学年高一上·河南商丘·期中）已知函数 在上单调递增，则实数的取值范围为　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据二次函数、一次函数、分段函数的单调性列不等式，解不等式即可. 【详解】 由二次函数、一次函数、分段函数的单调性可知 ，解得， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 77．（25-26学年高一上·河南商丘·期中）已知函数，且，. （1）求a和b的值； （2）判断在上的单调性，并根据定义证明. 【答案】（1），     （2） 由（1）得，在上单调递减，证明如下： ，，， . ∵，∴， ∴， 在上单调递减.      【分析】 （1）根据，可求. （2）利用单调性的定义可判断的单调性. (1) 小问详解： ∵，，∴，. ∴，. (2) 小问详解： 在上单调递减，证明略》 78．（25-26学年高一上·河南郑州·期中）已知存在，使得成立，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　. 【答案】或 【分析】 根据给定条件，分离参数并利用基本不等式求出最小值，再解不等式即得. 【详解】 当时，不等式 当时，，当且仅当时取等号， 由存在，使得成立，得， 即，解得或， 所以实数的取值范围为或. 故答案为：或 79．（25-26学年高一上·河南部分学校·期中）已知函数． （1）若，解关于的不等式； （2）对，不等式恒成立，求的最小值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据给定条件，利用分解因式的方法求解不等式. （2）先证明，再说明时条件满足，即可得到的最小值是. (1) 小问详解： 由， 可知不等式等价于. 由，得，所以原不等式的解集为． (2) 小问详解： 在条件中取，可得，从而，即. 而当时，对任意，有，满足条件. 所以的最小值为. 80．（25-26学年高一上·河南部分学校·期中）定义在上的函数满足下面三个条件：①对任意正数，都有；②当时，；③． （1）求和的值； （2）试用单调性的定义证明：函数在上是减函数； （3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），     （2） 任取且， 则， 因为且，所以，所以，则， 所以，即，所以函数在上是减函数．     （3）      【分析】 （1）通过给赋值可得结果. （2）利用定义法可证明函数在上是减函数. （3）通过题目条件把不等式转化为，利用函数定义域和单调性可得，分离参数即可得到的取值范围. (1) 小问详解： 令，有，得． 令，有，又，所以． 令，得， 令，得． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（1）知，则． 因为函数的定义域为，且在上是减函数， 所以由，得，则． 对勾函数在上单调递增，所以， 所以，即的取值范围是． 81．（25-26学年高一上·河南部分学校·期中）定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为　　　　　　. 【答案】 【分析】 构造函数，根据单调性即可解出不等式. 【详解】 不妨设，由条件可得， 即，令， 则，所以在上单调递增， 又因为，所以由得，所以. 故答案为：. 82．（25-26学年高一上·河南九师联盟·期中）已知函数. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明； （3）解关于的不等式. 【答案】（1）是奇函数，理由如下： 由题意可知，， 因为的定义域为，且， 所以是奇函数.     （2）在上是单调递增函数. 证明如下： 任取，设，则 . 因为，所以， 又因为，所以， 所以，即， 所以在上是单调递增函数.     （3）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.      【分析】 （1）利用函数奇偶性的定义求解； （2）利用函数的单调性定义求解； （3）利用函数的单调性和奇偶性，将转化为求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（1）（2）知是上单调递增的奇函数， 所以在上单调递增， 所以， 可以转化为， 可化为， 即， ① 当时，不等式为，这时解集为； ② 当时，解不等式得到； ③ 当时，解不等式得到. 综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 83．（25-26学年高一上·河南联考·期中）已知函数 ，若，则的最大值为　　　　　　　　　　　. 【答案】1 【分析】 首先求出，然后由的单调性即可得出答案. 【详解】 若，即，则， 所以 ， 当时，； 当时，， 所以的最大值为1. 故答案为：1 84．（25-26学年高一上·河南信阳罗山县·期中）已知函数 ，若存在，且，使得，则实数的取值集合为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 通过分析的函数特征，结合已知条件，对参数进行分类讨论并结合图象即可求解. 【详解】 因为是开口方向向下，对称轴为直线的二次函数， 由 ，可得， 当，即时，由二次函数对称性知：必存在，使得； 当，即时，若存在，使得， 则函数图象需满足下图所示： 则，解得，所以， 综上，实数的取值集合为. 故答案为：. 85．（25-26学年高一上·河南新乡·期中）已知幂函数在上单调递减． （1）求实数m的值； （2）若． ①当时，关于x的不等式在上有解，求k的取值范围； ②若是奇函数，对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 （1）根据幂函数的单调性结合，即可得到答案； （2）① 对不等式进行分离参数得到，令，求的值域进而得到的取值范围； ② 根据是奇函数，求出，再根据不等式恒成立问题转化为，求的值域，进而求出的取值范围. 【详解】 （1）由题可知，解得， 又，所以． （2）① 由题意， 不等式可化为，即当时，能成立． 令，令，则在上单调递增， 所以单调递增． 又，当时，，所以在上的值域是． 所以k的取值范围为． ② 因为，，定义域为，则． 因为是奇函数，所以，即，所以， 解得，所以． 又在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增． 若对任意的时，不等式恒成立， 则有， 当时，，所以，所以． 所以，所以恒成立． 当时，有，化简得，解得或； 当时，有，化简得，解得或． 综上，实数a的取值范围是． 86．（25-26学年高一上·河南新乡·期中）已知函数满足对任意实数，，都有成立，且，当时，. （1）求，，； （2）判断并证明在上的单调性； （3）解不等式. 【答案】（1）     （2）函数在上的单调递减     （3）      【分析】 （1）通过对已知函数关系式进行合理赋值来求解； （2）利用函数单调性的定义，设出，通过已知条件判断的正负即可； （3）先根据已知条件将不等式进行转化，再利用函数单调性进行求解. (1) 小问详解： 函数满足对任意实数，，都有成立， 令，可得，即， 令，可得，又，即， 令，可得，又，即， (2) 小问详解： 设，则，令，又，， 又当时，，，， 当时，， 任取且，则，， 则 ，即， 因此，函数在上的单调递减. (3) 小问详解： ， 令，由，得，即，解得， ，，不等式等价于， 由（2）可知，函数在上的单调递减， ， 对于不等式，即，显然成立； 不等式，即，解得， 因此原不等式的解集为. 87．（25-26学年高一上·河南新乡·期中）已知函数是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数m的取值范围为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由题意计算可得函数在上的单调性，再利用为偶函数可得性质，再将及化为形式后，利用单调性及对称性计算即可得. 【详解】 由，得， 即， 令，则当且时，有， 故在上单调递增. 因为是定义在上的偶函数，则， 所以也是定义在上的偶函数， 因为，所以， 又因为， 则可化为， 化简得，即， 所以，即有，解得， 所以实数m的取值范围为. 故答案为：. 88．（25-26学年高一上·河南驻马店部分）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上单调递减，在上单调递增． （1）求函数的值域； （2）已知函数，若对任意，总存在，使得成立，求的取值范围； （3）若关于的不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）需要先对函数进行变形，再根据已知性质求值域； （2）要根据条件得出两个函数值域的包含关系，进而求出的取值范围； （3）通过换元法将不等式转化为关于新变量的不等式，再利用函数性质求解的取值范围. (1) 小问详解： ，令， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 当时，，当时，，所以， 所以函数的值域是． (2) 小问详解： 由题意知在上单调递减，在上单调递增，所以， 又，所以，所以的值域为． 在上单调递增，所以， 所以的值域为， 若对任意，总存在，使得成立， 所以的值域是的值域的子集，所以 ， 解得，即的取值范围是． (3) 小问详解： 令，由题知在上单调递减，在上单调递增，所以， 则， 所以 ，解得，即的取值范围是． 89．（25-26学年高一上·河南驻马店部分）已知二次函数满足，且． （1）求的解析式； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）若函数，记的最小值为，求的最小值． 【答案】（1）     （2）     （3）0      【分析】 （1）利用待定系数法即可求解； （2）由，恒成立得到，则根据题目条件得，再结合基本不等式即可求解； （3）对分类讨论求出的解析式，再分段求出的取值范围，即可求解. (1) 小问详解： 设， 所以， 所以 ，解得 ，所以， 又，解得，所以. (2) 小问详解： 若，恒成立， 即，恒成立， 当，不等式显然成立； 当，则，则 ，解得. 若，恒成立，即，， 当时，得，解得与对任意的恒成立矛盾，不符合题意； 当时，又，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的取值范围是. (3) 小问详解： 由题意可知 ， 当时，根据二次函数的性质，可知函数在上单调递减， 在上单调递增，所以函数的最小值为； 当时，根据二次函数的性质，可知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的最小值为； 当时，根据二次函数的性质，可知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的最小值为. 综上可得 ， 当时，此时；当时，此时；当时，此时. 综上，的最小值为. 90．（25-26学年高一上·河南名校联考·期中）对于函数，若存在，使 ，则称点与点是函数 的一对 “隐对称点”.若函数 的图象存在 “隐对称点”，则实数  的取值范围是　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 由隐对称点的定义可知函数图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义将问题转化为方程的零点问题，再结合基本不等式即可得出实数的取值范围. 【详解】 由隐对称点的定义可知函数图象上存在关于原点对称的点， 设的图象与函数的图象关于原点对称， 令，则，， 所以， 因为 ，又， 由题意得与在上有交点，即方程在上有根， 则， 又因为，当且仅当， 即时，等号成立， 所以，即． 故答案为：. 91．（25-26学年高一上·河南部分普通高·期中）已知函数与的定义域均为，且，若函数满足，，且当时，． （1）求的值，判断的奇偶性并证明； （2）判断并证明函数在上的单调性； （3）已知，若，求该不等式的解集． 【答案】（1），偶函数，证明如下： 令得， 所以函数为偶函数．     （2） 函数在上单调递减．证明如下： 因为，所以， 因为， 所以， 得， 因为当时，， 所以，得， 则， 所以， 故函数在上单调递减．     （3） 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为或．      【分析】 （1）令和即可求解，令即可证偶函数； （2）由函数的单调性定义即可求解； （3）由函数单调性和奇偶性得到，再通过讨论的大小求解即可. (1) 小问详解： 令，得，故． 令，得，得． 为偶函数．证明略. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递增， 又因为， ， 所以，得， 即， 当时，，解得； 当时，解得或； 当时，解得或， 综上，当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为或． 92．（25-26学年高一上·河南部分普通高·期中）已知函数为偶函数． （1）求的值． （2）已知函数． ①当时，若在上不单调，求实数的取值范围； ②当时，若，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2）① ；②      【分析】 （1）利用偶函数的定义和性质求出的关系，从而求解； （2）利用二次函数的图像和性质，结合已知条件分情况讨论函数单调性，得出实数的取值范围． (1) 小问详解： 为偶函数，定义域为R， ， ， ，即， ． (2) 小问详解： ① 当时，，函数图像开口向上，对称轴为， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，令，则在上单调递增， 且，当且仅当，即时取等号，，， 当时，， 若在上不单调，则，解得； 当时，，若在上不单调，则，此时a无解． 实数a的取值范围为． ② 若，，使得，即， 设在上的值域为A，的值域为B，则． 当时，，，； 当时，，，， 当时，，抛物线开口向上，对称轴为直线， ，，， 当时，在上单调递增，， ，， ，由得，故无解； 当时，在上的最小值为，最大值为， ，，， ，由得，故无解； 当时，在上的最小值为，最大值为， ，，， ，解得； 当，在上单调递减，， ， ，故无解． 综上可得：． 的取值范围为． 93．（25-26学年高一上·河南洛阳·期中）已知函数为奇函数. （1）求； （2）判断的单调性并证明； （3）若使成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2） 由（1）知，在上单调递增. 证明：，且， ， 在上单调递增，， 又， ，即， 在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）由求得，并验证即可； （2）由单调性的定义即可求证； （3）由函数单调性得到，，再结合讨论二次函数单调性求最值即可求解. (1) 小问详解： 因为函数为奇函数，且定义域为， ， ， 当时，，满足，故. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）知在上单调递增， ，即， 设，则由题意知时，. 当，即时，在上单调递增， ， 由得， . 当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， ， 由得， . 当，即时，在上单调递减， ， 由得， . 综上,的取值范围为. 94．（25-26学年高一上·河南新未来多校·期中）已知函数的定义域为，且对任意实数，满足：. （1）求的值； （2）若是偶函数，求函数的解析式； （3）令，当时，，若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）0     （2）     （3）      【分析】 （1）根据条件，通过赋值，即可求解； （2）根据条件，令，得到，再利用是偶函数，即可求解； （3）根据题设条件，判断的奇偶性和单调性，再利用奇偶性和单调性的性质得在上恒成立，即可求解. (1) 小问详解： 令，，解得. (2) 小问详解： 令，得，因为，所以， 又因为函数是偶函数，所以，即， 所以. (3) 小问详解： 因为时，，又因为，所以当时，， 由（2）可知，，所以有， 即，所以函数为奇函数， 因为，所以，又因为， 所以有，即. 任取， 则， 因为，所以，所以，即，所以， 所以函数在上单调递增； 又因为，且函数为奇函数， 所以， 又因为函数在上单调递增，所以， 即在上恒成立， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 95．（25-26学年高一上·河南月期中学·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，已知函数，其中． （1）证明：若函数为奇函数，则实数和均为定值； （2）当，，，时， （ⅰ）求函数图象的对称中心； （ⅱ）求的值． 【答案】（1） 证明：因为为奇函数，并且定义域为R， 所以，所以，则， 而，则， 所以，所以， 因为，所以， 综上，若函数为奇函数，则实数d和f为定值，均为0．     （2）（ⅰ）；（ⅱ）      【分析】 （1）根据奇函数的定义，求证即可； （2）（ⅰ）法一：设函数图象的对称中心为，设，根据（1）的结论即可求得，，进而得解；法二：设，通过计算可得，根据为奇函数即可求解；（ⅱ）根据与关于对称即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （ⅰ）（法一）因为，，，， 所以， 设函数图象的对称中心为， 设，由题可知函数为奇函数， 因为 ， 若为奇函数，由（1）可得 ，解得，， 则函数图象的对称中心为． （法二）因为，，，，所以， 设， 所以 ， 因为的定义域为R，并且， 所以为奇函数，根据题可得函数的图象关于中心对称． （ⅱ）因为， 所以与关于对称， 所以． 96．（25-26学年高一上·河南商丘·期中）设函数的定义域为，如果，都有，满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，满足，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心． （1）若函数的图象是关于点的中心对称图形，求实数的值； （2）判断函数的图象是否为关于原点的弱中心对称图形，并说明理由； （3）若函数 的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2）函数的图象不是关于原点的弱中心对称图形，理由：函数的图象不是关于原点的弱中心对称图形． 理由如下：假设，使得，解得，与矛盾， 所以函数的图象不是关于原点的弱中心对称图形；     （3）      【分析】 （1）根据题意“中心对称图形”的定义分析判断即可； （2）根据反证法，以及“弱对称中心图形”定义即可证明； （3）根据“弱对称中心图形”定义，代入解出表达式，讨论取值范围，再利用换元法即可求解. (1) 小问详解： 由，解得． 当时，，对于任意的， 都有， 所以函数的图象是关于点的中心对称图形， 故． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由题意可知，存在，且，使得， 当时，，则， 所以， 又知对勾函数在上单调递增，所以， 所以； 当时，，则不成立； 当时，，则， ， 令，则在上单调递增，所以， 所以． 综上可知，实数的取值范围为． 97．（25-26学年高一上·河南郑州·期中）我们知道，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数是奇函数，也即是满足.已知函数. （1）判断函数的单调性，并利用定义证明； （2）求证：函数的图象关于点成中心对称图形； （3）若对，且，恒有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 函数在定义域上单调递增，证明如下： 因为， 任取且， 则， ，，，， ，即， 在定义域上单调递增；     （2） 证明：，， ， 的图象关于点成中心对称图形；     （3）      【分析】 （1）根据作差法证明函数的单调性即可； （2）求出，即可得证； （3）结合（1）可得，结合（2）可得，从而得到，解得即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ，即，又由（1）可知在定义域上单调递增， ， 又由（2）可知，即， ，即， ，即对恒成立， ，即，解得， 所以实数的取值范围为. 98．（25-26学年高一上·河南联考·期中）已知是定义在上的奇函数，且当时， （1）求的解析式； （2）求的单调递增区间； （3）若关于的方程有3个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据奇函数的定义即可求解； （2）分类讨论利用二次函数的单调性即可求解； （3）由题意可得与的图象有三个不同的交点，作出函数的示意图，可求得实数的取值范围. (1) 小问详解： 是定义在上的奇函数，所以当时，，， 所以的解析式为 . (2) 小问详解： 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递增， 又因为在处连续，故函数的单调递增区间为. (3) 小问详解： 作出函数 的图像， 要想使关于的方程有3个不相等的实数根， 则与的图像有三个不同的交点，由图像可得， 所以实数的取值范围为. 99．（25-26学年高一上·河南联考·期中）已知函数对任意的实数，都有，且当时，. （1）求的值； （2）判断并证明的单调性； （3）若存在实数，使得不等式 成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）1     （2） 函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则，故， 所以， 即，所以函数在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）令即可得出答案； （2）判断出函数在上单调递增，然后任取，且，则，作差，结合已知条件可判断出的符号，由此可证得结论成立； （3）首先令得到，不等式可化为，利用函数的单调性脱去，不等式转化为，最后利用复合函数的值域求解即可. (1) 小问详解： 令得， 所以. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 令得，即， 所以不等式可化为，即， 由（2）可知函数在上单调递增，所以， 整理得， 因为，所以， 所以满足题意的的取值范围是. 考点03 幂函数 1．（25-26学年高一上·河南信阳罗山县·期中）下列函数是幂函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据幂函数的定义直接判断即可. 【详解】 幂函数的定义：， 可知，，均不是幂函数，是幂函数. 故选：D. 2．（25-26学年高一上·河南郑州·期中）若幂函数为奇函数，则实数（       ） A. 4 B. 3 C.  D. 或4 【答案】C 【分析】 根据幂函数的定义，求出的值，再根据函数为奇函数确定的值. 【详解】 因为函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，，，是奇函数， 当时，，，是偶函数， 所以. 故选：C 3．（25-26学年高一上·河南驻马店部分）已知幂函数的图象经过点，则是（     ） A. 偶函数，且在上单调递增 B. 偶函数，且在上单调递减 C. 奇函数，且在上单调递增 D. 奇函数，且在上单调递减 【答案】A 【分析】 设，代入点的坐标，求出的值，即可求出解析式，从而判断即可. 【详解】 设，依题意，解得，所以， 则的定义域为，且， 所以为偶函数，且在上单调递增. 故选：A 4．（25-26学年高一上·河南部分普通高·期中）不等式成立的充分不必要条件可以是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 对不等式进行化简，再根据幂函数的单调性可求得不等式的解集，然后结合选项选出充分不必要条件即可. 【详解】 由题知定义域为. 因为，所以， 因为幂函数在上单调递增， 所以，得，故. 根据选项成立的充分不必要条件可以是． 故选：A． 5．（25-26学年高一上·河南周口·期中）已知幂函数在上单调递增，则m的值为（     ） A. 1 B. -3 C. -4 D. 1或-3 【答案】A 【分析】 根据幂函数定义和函数单调性列出关于的方程和不等式即可求解. 【详解】 由题意可得 . 故选：A 6．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）已知幂函数在上单调递增，则实数的值为（       ） A. -2 B. -1 C. 2 D. -1或2 【答案】B 【分析】 由函数是幂函数解出，再由单调性判断即可. 【详解】 因为函数为幂函数，所以，解得或， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 故选：B. 7．（25-26学年高一上·河南商丘·期中）已知是常数，幂函数在上单调递减，则（     ） A.  B.  C. 2 D. 4 【答案】A 【分析】 先根据幂函数定义得出，再根据单调递减得出解析式，最后代入得出函数值即可. 【详解】 由幂函数的定义可知，，解得， 所以，或， 由幂函数在上单调递减，可得， 则，所以. 故选:A. 8．（25-26学年高一上·河南部分学校·期中）已知幂函数的图象不过原点，且关于轴对称，则（     ） A. 或 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先由函数是幂函数，再验证即可. 【详解】 解：因为函数是幂函数， 所以，即， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故选：D 9．（25-26学年高一上·河南九师联盟·期中）已知是常数，幂函数在上单调递增，则（     ） A. 9 B. 3 C.  D.  【答案】A 【分析】 根据幂函数的定义、单调性求得，进而求得. 【详解】 由于是幂函数，所以，解得， 当时，，在上单调递减，不符合题意. 当时，，在上单调递增，符合题意， 则. 故选：A 10．（25-26学年高一上·河南开封·期中）（多选）已知幂函数，则（       ） A. 的图象可能经过第四象限 B. 两个幂函数的图象最多有3个交点 C. 若的图象经过点，则对任意， D. 若，则为奇函数 【答案】BC 【分析】 对于A：根据幂指数的性质分析判断；对于B：令，解方程即可判断；对于C：解得，结合幂函数单调性分析判断；对于D：举反例说明即可. 【详解】 对于选项A：当时，， 所以的图象不可能经过第四象限，故A错误； 对于选项B：对于幂函数，，且， 令，可得， 则是方程的根，至多有2个根，可知两个幂函数的图象最多有3个交点， 例如的交点为，有3个，故B正确； 对于选项C：若的图象经过点，则， 可得，即，解得，即， 则在内单调递增， 所以对任意，，故C正确； 对于选项D：令，则， 所以不为奇函数，故D错误； 故选：BC. 11．（25-26学年高一上·河南月期中学·期中）设幂函数的图象经过原点，若，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由幂函数定义得到方程，结合函数图象经过原点求得函数解析式，由不等式的性质得到的大小关系，利用函数的单调性即可得结果. 【详解】 由为幂函数，令，解得或， 时，的图象经过原点，符合题意，所以， 时，，图象不过原点，不合题意， 因为，所以， 因为在上单调递增， 所以． 故选：A． 12．（25-26学年高一上·河南信阳固始县·期中）幂函数的图象经过点，则　　　　　　　　　　. 【答案】4 【分析】 点代入幂函数的解析式，用待定系数法求出的值，计算即可求得结果. 【详解】 因为幂函数的图象经过点， 所以，即， 所以，则， 所以. 故答案为：. 13．（25-26学年高一上·河南部分名校·期中）已知幂函数，且在上单调递增． （1）求的值； （2）若在上恒成立，求的取值范围； （3）设为偶函数，当时，，当时，求的表达式． 【答案】（1）     （2）     （3）当时，      【分析】 （1）根据幂函数的定义和性质即可求解； （2）构造二次函数，利用二次函数的图像处理恒成立问题； （3）先赋值求出，然后利用偶函数的定义即可得出答案. (1) 小问详解： 由题可得，解得或； 又在上单调递增，所以， 故； (2) 小问详解： 由（1）得，所以原问题即在上恒成立， 即在上恒成立， 令，可知该二次函数开口向上， 所以要满足题意，只需 ， 解得； (3) 小问详解： 由（1）得，当时，， 令，代入得， 所以当时，， 当时，，. 所以当时，. 14．（25-26学年高一上·河南新乡辉县·期中）已知幂函数. （1）求的解析式并判断的奇偶性； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），奇函数     （2）      【分析】 （1）根据幂函数的定义求得，然后按照函数奇偶性的定义判断即可；        （2）先利用奇偶性化简得，然后利用单调性解不等式即可. (1) 小问详解： 由是幂函数，得，解得，           则，其定义域为.           因为，所以为奇函数. (2) 小问详解： 由，可得. 而在上单调递减且恒负，在上单调递减且恒正， 所以 或 或 ，解得或. 故的取值范围是. 15．（25-26学年高一上·河南部分普通高·期中）已知幂函数满足，为实数． （1）求函数的解析式； （2）求函数的值域； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据函数是幂函数列式计算得出或，再结合计算求参； （2）结合二次函数值域计算求解； （3）应用幂函数单调性及函数定义域列不等式计算求解. (1) 小问详解： 由函数为幂函数，得，解得或， 当时，，，，满足； 当时，，，，不满足． 所以． (2) 小问详解： ， 因为，所以，得， 故函数的值域为． (3) 小问详解： 由得， 所以 解得． 所以实数的取值范围为． 16．（25-26学年高一上·河南新未来多校·期中）幂函数. （1）求函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，；当时，；     （2）当时，的取值范围为；当时，的取值范围为.      【分析】 （1）根据幂函数定义列式求解，即可得解； （2）根据幂函数的单调性解不等式，要注意定义域的限制. (1) 小问详解： 因为函数是幂函数，所以， 即，解得或； 当时，； 当时，； 综上所述，当时，；当时，； (2) 小问详解： 当时，定义域为，且在单调递减， 又因为，所以 ， 解得，即实数的取值范围为； 当时，定义域为，且在上单调递增， 又因为，所以 ， 解得，即实数的取值范围为. 综上所述，当时，的取值范围为；当时，的取值范围为. 17．（25-26学年高一上·河南开封·期中）已知函数的定义域为D，若存在区间，使得当时，函数的值域恰为（），则称为的一个“k倍值区间”. （1）若函数的一个“1倍值区间”为，且，请写出一个满足题意的的解析式； （2）若为函数的一个“4倍值区间”，求实数a的取值集合； （3）判断函数是否存在“k倍值区间”，若存在，请求出k的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）     （2）     （3）存在，      【分析】 （1）利用幂函数的性质结合新定义分析即可； （2）利用二次函数的图象与性质结合新定义建立方程组计算即可； （3）利用反比例函数的图象与性质结合图象变换作出函数大致图象，分类讨论将问题化为的解问题，根据一元二次方程根的分布计算即可. (1) 小问详解： 由新定义，不妨取，该函数R上单调递增， 即当时，， 所以满足题意的的解析式可以为.（答案不唯一，满足题意即可） (2) 小问详解： 因为为函数的一个“4倍值区间”， 所以当时，的值域为， 又的图象开口向下，对称轴为，所以， 所以，所以. 所以在上单调递增，则 ，解得，， 所以实数a的取值集合为. (3) 小问详解： 函数存在“k倍值区间”. 易知 ，作出的大致图象如下， 显然的定义域为， 在上单调递减，在，上单调递增，且. 不妨设的“k倍值区间”为（）， 则当时，的值域为（）. 由的定义域可知，所以，即，所以， 显然在的单调增区间内，即，或， 所以 ， 所以c，d为方程，即关于x的方程的两个不同的实数根， 因为，对称轴， 所以关于x的方程在上有两个不同的实数根， 所以 ，解得. 所以函数存在“k倍值区间”，且k的取值范围是. 18．（25-26学年高一上·河南洛阳·期中）设函数的最大值为，最小值为，则　　　　　　　　　　. 【答案】4052 【分析】 化简函数，设，可得函数在上为奇函数，进而得到，进而求解即可. 【详解】 ， 设，定义域关于原点对称， 由，知函数为奇函数， ， 因为，， 所以. 故答案为：4052. 考点04 函数的应用（一） 1．（25-26学年高一上·河南月期中学·期中）某农村合作社为了提高蔬菜产量，增加农民收入，计划建造一批蔬菜大棚.经过调研得知，初期需投入固定成本20万元，除此之外，建造个蔬菜大棚需另投入成本万元，且 初步估计每个蔬菜大棚未来能带来30万元的收入. （1）求蔬菜大棚带来的利润（万元）关于大棚个数的函数关系式； （2）建造多少个蔬菜大棚时，带来的利润最大?并求最大利润. 【答案】（1）     （2）12个，120万元      【分析】 （1）利润等于销售额减去投入成本及固定成本，分段计算整理即可； （2）分别计算分段函数的最值，比较得出函数最值. (1) 小问详解： 根据题意得 当时，， 当时，， 所以 (2) 小问详解： 当时，， 在内单调递增，所以当时，的最大值为80， 当时，， 因为，当且仅当， 即时，等号成立， 所以， 因为，所以当时，的最大值为120， 所以建造12个生态农场获得的利润最大，最大利润为120万元. 2．（25-26学年高一上·河南周口·期中）深圳某甜品店针对市场需求生产一款网红蛋糕，经核算生产该蛋糕的年固定成本为20万元，每生产x千个，需另外投入成本万元， ，每个蛋糕的售价为240元，且年内生产的蛋糕能全部销售完． （1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千个）的函数解析式； （2）年产量为多少千个时，该店在这款蛋糕的生产中所获利润最大． 【答案】（1）     （2）14      【分析】 （1）根据题意分段讨论即可得； （2）利用二次函数的性质及基本不等式求得两段函数的最大值，取其中最大即可得. (1) 小问详解： 由题意，年销售收入万元， 当时，； 当时，， 所以 ． (2) 小问详解： 当时，是二次函数，开口向下， 对称轴为：， 所以（万元）． 当时，， 当且仅当，即时，（万元）， 因为，所以，当时，该店在这款蛋糕的生产中所获利润最大为78万元． 3．（25-26学年高一上·河南部分学校·期中）红色旅游是一种将爱国教育与自然景观结合起来的新型主题旅游形式，受到了越来越多游客的欢迎．某旅游公司今年开发了一处红色旅游景区，该景区一年需投入固定成本300万元，若该景区在一年内有x万游客，则另需投入成本万元，且 ．已知该景区门票售价为70元/人，当地政府为鼓励该景区更好发展，每年给该旅游公司财政补贴10x万元． （1）求该景区一年利润（万元）关于人数x（万人）的函数解析式； （2）一年的游客为多少万人时，该景区一年利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）     （2）20万人，最大利润是250万．      【分析】 （1）根据题意，得到利润，进而求得利润的解析式； （2）由（1）中的函数解析式，分三种情况讨论，结合函数的单调性、二次函数的性质，以及基本不等式，求得函数最大值，即可求解. (1) 小问详解： 解：由题意得，该景区一年的利润， 因为投入成本 ， 所以景区一年的利润为 . (2) 小问详解： 解：①当时，单调递增，此时； ②当时，， 可得函数的图象开口向下，对称轴， 所以当时，函数的最大值； ③当时，， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，所以， 因为，且， 综上可得，一年的游客为20万人时，该景区一年利润最大，且最大利润是万元． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念与性质 4大高频考点概览 考点01 函数的概念及其表示 考点02 函数的基本性质 考点03 幂函数 考点04 函数的应用（一） 考点01 函数的概念及其表示 1．（25-26学年高一上·河南信阳罗山县·期中）若函数的解析式满足下表，则（       ） 0 1 2 3 -3 3 1 2 A. -3 B. 1 C. 2 D. 3 2．（25-26学年高一上·河南月期中学·期中）函数的定义域是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·河南商丘·期中）（多选）下列图象中，能够表示函数关系的有（　　） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·河南部分学校·期中）（多选）下列各组函数中，表示的不是同一函数的有（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·河南部分学校·期中）已知集合，则（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·河南部分名校·期中）若函数 则（       ） A.  B.  C. 0 D. 4 7．（25-26学年高一上·河南部分名校·期中）若，且不恒为0，则（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·河南部分名校·期中）（多选）下列函数中，与是同一个函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·河南新乡辉县·期中）函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·河南驻马店部分）已知函数 若，则的值是（     ） A. 或2 B. 或2或7 C. 或7 D. 2或7 11．（25-26学年高一上·河南驻马店部分）（多选）下列各组函数中，与表示同一个函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·河南驻马店部分）函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·河南名校联考·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·河南豫北民办高·期中）已知函数 ，则（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 15．（25-26学年高一上·河南部分普通高·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高一上·河南洛阳·期中）函数的定义域是（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高一上·河南新未来多校·期中）已知函数 ，则（     ） A.  B. 5 C. 2 D. -3 18．（25-26学年高一上·河南新未来多校·期中）函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高一上·河南商丘·期中）函数的定义域是（     ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高一上·河南郑州·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高一上·河南信阳固始县·期中）下列各组函数中，表示同一函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年高一上·河南部分学校·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域是（     ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年高一上·河南新乡·期中）下列关于函数的说法中，错误的是（     ） A. 函数的图象恒过定点 B. 函数的图象是两个孤立的点 C. 函数，，则 D. 函数，是同一个函数 24．（25-26学年高一上·河南新未来多校·期中）（多选）下列命题正确的是（     ） A. 函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 与是同一个函数 D. 若，则 25．（25-26学年高一上·河南月期中学·期中）（多选）已知函数 ，则下列关于函数的结论正确的是（     ） A.  B. 若，则的值是或 C. 的值域为 D. 的解集为 26．（25-26学年高一上·河南周口·期中）（多选）下列说法中正确的是（       ）． A. 命题“，”的否定是“，” B. 与是同一个函数 C. 函数满足，若，则实数 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 27．（25-26学年高一上·河南信阳固始县·期中）（多选）已知函数 的图象是一条连续不断的曲线，且，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 在区间上单调递减 C. 若，则函数有3个不同的零点 D. 若，则函数有3个不同的零点 28．（25-26学年高一上·河南开封·期中）已知，则　　　　　. 29．（25-26学年高一上·河南驻马店部分）已知函数，则　　　　　　　　　． 30．（25-26学年高一上·河南信阳罗山县·期中）已知的定义域为，则的定义域为　　　　　　　　　　. 31．（25-26学年高一上·河南信阳罗山县·期中）已知，则　　　　　　　　　　. 32．（25-26学年高一上·河南部分名校·期中）某通信公司推出的话费套餐收费标准如下：每月月租费为28元，当月通话时间不超过50分钟时，只收取月租费28元；当月通话时间超过50分钟时，除收取月租费外，超出50分钟的部分按0.2元/分钟收费．已知该通信公司某用户选择了该话费套餐，若该用户某月通话时间为120分钟，则该用户应缴的话费为　　　　　　　　　　　元． 33．（25-26学年高一上·河南豫北民办高·期中）函数的定义域是　　　　　　　　　　　． 34．（25-26学年高一上·河南周口·期中）函数的定义域为　　　　　　． 35．（25-26学年高一上·河南商丘·期中）已知，则　　　　　　　　. 36．（25-26学年高一上·河南新乡辉县·期中）函数在区间上的值域为　　　　　　. 37．（25-26学年高一上·河南郑州·期中）已知函数满足，则　　　　　　　　　　. 38．（25-26学年高一上·河南新未来多校·期中）已知集合，，若，则的取值范围为　　　　　　. 考点02 函数的基本性质 1．（25-26学年高一上·河南信阳罗山县·期中）已知函数是偶函数，则（       ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 2．（25-26学年高一上·河南豫北民办高·期中）若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·河南信阳罗山县·期中）（多选）下列函数中最小值为4的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·河南驻马店部分）函数的单调递增区间是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·河南月期中学·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（       ）． A. 3 B.  C. 1 D.  6．（25-26学年高一上·河南郑州·期中）已知函数 ，且对于任意的，有，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·河南部分学校·期中）已知函数是定义在上的偶函数，则（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·河南信阳罗山县·期中）定义：表示中的较小者.若函数在区间上的取值范围为，则的最大值为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9．（25-26学年高一上·河南信阳罗山县·期中）若函数是上的单调函数，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·河南开封·期中）已知是定义域为的奇函数，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 11．（25-26学年高一上·河南部分名校·期中）函数的部分图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·河南新乡辉县·期中）（多选）下列函数为奇函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·河南新乡辉县·期中）已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·河南驻马店部分）已知函数是偶函数，且对任意的，都有，若，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高一上·河南名校联考·期中）函数的图象大致为（     ） A.      B.      C.      D.      16．（25-26学年高一上·河南部分普通高·期中）已知定义在上的函数满足，且，则的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高一上·河南部分普通高·期中）（多选）用表示不小于的最小整数，例如，，．已知，，则下列正确的有（     ） A.  B.  C. 不等式的解集为 D. 函数的值域为 18．（25-26学年高一上·河南洛阳·期中）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（       ） A. 的定义域为 B. 当函数的图象关于点成中心对称时， C. 当时，在上单调递减 D. 设定义域为的函数关于中心对称，若，且与的图象共有2026个交点，记为，则的值为0 19．（25-26学年高一上·河南洛阳·期中）已知函数定义域为，，，，且，，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高一上·河南新未来多校·期中）已知函数 是上的减函数，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高一上·河南周口·期中）下列图象中，函数的部分图象有可能是（       ） A.      B.      C.      D.      22．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）（多选）已知函数（其中表示不超过x的最大整数），则下列选项不正确的是（       ） A.  B. 函数的值域为 C. 函数是增函数 D. 方程无解 23．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）函数的大致图象是（       ） A.      B.      C.      D.      24．（25-26学年高一上·河南商丘·期中）已知是定义域为的偶函数，且当时，单调递减，则满足的实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年高一上·河南郑州·期中）（多选）已知函数的定义域为，对任意实数满足：. 当时，.则下列选项正确的有（       ） A.  B. 函数为奇函数 C. 为上的减函数 D. 对，恒有 26．（25-26学年高一上·河南部分学校·期中）（多选）定义域为的函数满足，且为偶函数，当时，，函数 且的图象与的图象有个交点，记为，则下列说法正确的是（     ） A.  B. 在内单调递减 C.  D.  27．（25-26学年高一上·河南九师联盟·期中）已知定义在上的函数满足对，，都有，若，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年高一上·河南联考·期中）下列函数在定义域上既是奇函数又是增函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年高一上·河南联考·期中）已知函数的定义域为，对任意的，且，都有 ，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年高一上·河南联考·期中）已知函数 在上单调递增，则实数b的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  31．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）下列函数在定义域上既是奇函数又是增函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  32．（25-26学年高一上·河南周口·期中）函数 ，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  33．（25-26学年高一上·河南开封·期中）已知是定义在R上的偶函数，当时，恒成立，且，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  34．（25-26学年高一上·河南新乡·期中）已知，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且．若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  35．（25-26学年高一上·河南新乡·期中）（多选）对于函数，若存在常数a，b，使得函数为“奇函数”，则称函数为“准奇函数”．已知，以下说法正确的是（     ） A. 为“准奇函数” B. 函数的图象关于点对称 C.  D. 函数的最大值为2 36．（25-26学年高一上·河南新乡·期中）（多选）已知函数 ．若当时，，则的值可以是（     ） A.  B. 6 C. 8 D.  37．（25-26学年高一上·河南部分名校·期中）（多选）已知是上的单调函数，且，则（       ） A.  B. 是奇函数 C.  D. 不等式的解集是 38．（25-26学年高一上·河南驻马店部分）（多选）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则下列说法正确的是（     ） A.  B. 当时， C. ，都有 D. 若在上有最大值，则的取值范围是 39．（25-26学年高一上·河南名校联考·期中）（多选）已知定义在上的偶函数满足，则下列说法正确的是（       ） A. 的图象关于中心对称 B.  C. 为偶函数 D. 为奇函数 40．（25-26学年高一上·河南名校联考·期中）已知函数 ，若存在，使成立，则实数a的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  41．（25-26学年高一上·河南新未来多校·期中）已知定义在上的函数满足，对任意，，当时，都有，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  42．（25-26学年高一上·河南月期中学·期中）已知是定义在上的偶函数，若对任意的，，都有，且，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  43．（25-26学年高一上·河南周口·期中）（多选）已知函数的定义域是R，若对任意的，都有成立，且当时，，则下列说法中正确的是（       ）． A.  B. 函数是非奇非偶函数 C. 函数在上单调递增 D. 的解集为 44．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若的图象的对称中心为，则（       ） A.  B.  C.  D.  45．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）（多选）对于函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，则称函数为倒函数．以下选项正确的有（    ） A. 函数是倒函数 B. 函数是倒函数 C. 若是上的倒函数，当时，，方程没有正整数解 D. 若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是增函数．记，则是的充要条件 46．（25-26学年高一上·河南信阳固始县·期中）已知函数 ，若的值域为，则实数的取值范围（     ） A.  B.  C.  D.  47．（25-26学年高一上·河南部分学校·期中）已知函数 是增函数，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  48．（25-26学年高一上·河南开封·期中）（多选）设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，（且），若，则（       ） A. 的图象关于直线对称 B.  C. 函数恰有3个零点 D.  49．（25-26学年高一上·河南豫北民办高·期中）已知是定义在上的奇函数，若，则　　　　　　． 50．（25-26学年高一上·河南月期中学·期中）已知函数. （1）判断的奇偶性并用定义进行证明； （2）用定义证明在区间上单调递减. 51．（25-26学年高一上·河南月期中学·期中）已知 是上的单调增函数，则实数的取值范围是　　　　　　. 52．（25-26学年高一上·河南周口·期中）若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是　　　　　　． 53．（25-26学年高一上·河南信阳固始县·期中）已知函数． （1）利用函数的单调性定义证明函数在上单调递增； （2）比较，的大小． 54．（25-26学年高一上·河南部分学校·期中）函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，　　　　　　． 55．（25-26学年高一上·河南部分学校·期中）已知函数，则的单调递减区间为　　　　　　． 56．（25-26学年高一上·河南九师联盟·期中）已知二次函数满足. （1）求函数的解析式； （2）若，，求的最小值. 57．（25-26学年高一上·河南信阳罗山县·期中）若函数的定义域､值域均为，则称为区间上的等域函数. （1）若为区间上的等域函数，求实数的值； （2）是否存在实数对，其中，使得函数为区间上的等域函数？若存在，请写出符合要求的所有实数对，若不存在，请说明理由. 58．（25-26学年高一上·河南信阳罗山县·期中）定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数. （1）求的值； （2）证明：函数是偶函数； （3）解不等式. 59．（25-26学年高一上·河南开封·期中）已知函数是奇函数，且． （1）求和的值， （2）判断并证明的单调性； （3）若对任意的恒成立，求的取值范围． 60．（25-26学年高一上·河南新乡·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，． （1）求的解析式； （2）当时，求的最小值． 61．（25-26学年高一上·河南部分名校·期中）已知是定义在上的奇函数． （1）求的值； （2）判断的单调性，并用定义证明； （3）若关于的不等式在上有解，求的取值范围． 62．（25-26学年高一上·河南新乡辉县·期中）已知函数，. （1）判断的单调性并用定义证明； （2）若，求实数的取值范围. 63．（25-26学年高一上·河南新乡辉县·期中）已知为奇函数. （1）求实数的值； （2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数的最小值为，求实数的值. 64．（25-26学年高一上·河南驻马店部分）若函数 在上单调递减，则的取值范围是　　　　　　　　　． 65．（25-26学年高一上·河南驻马店部分）已知函数是定义在上的奇函数． （1）求的值； （2）判断在上的单调性并证明； （3）解关于的不等式． 66．（25-26学年高一上·河南驻马店部分）已知函数的定义域为，且对任意的，满足，且，则　　　　　　　　　． 67．（25-26学年高一上·河南名校联考·期中）函数是定义在上的奇函数，且 （1）求的解析式； （2）证明在上为增函数； （3）解不等式. 68．（25-26学年高一上·河南名校联考·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，． （1）求出函数的解析式； （2）画出函数的图象，并根据图象直接写出使的的取值集合． 69．（25-26学年高一上·河南豫北民办高·期中）已知函数． （1）求函数的定义域； （2）判断的奇偶性，并说明理由； （3）判断在上的单调性，并证明． 70．（25-26学年高一上·河南洛阳·期中）已知函数的定义域为，且仅有一个零点. （1）求； （2）若为奇函数，求的值； （3）设函数，若存在实数，使得在区间上的值域为，求实数的取值范围. 71．（25-26学年高一上·河南新未来多校·期中）函数是偶函数，且. （1）确定函数的解析式； （2）用定义证明函数在上单调递增，并求函数的单调区间； （3）求的值. 72．（25-26学年高一上·河南周口·期中）已知函数，且此函数图象过点. （1）求的解析式； （2）讨论函数在上的单调性？并证明你的结论. （3）求函数在区间上的最小值和最大值. 73．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）已知函数 在R上单调递减，则实数a的取值范围为　　　　　　　　　　.（结果写成集合或区间的形式） 74．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）已知函数是奇函数，. （1）求a的值； （2）判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （3）求不等式的解集. 75．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）已知函数 （1）当时，求函数的值域； （2）当]时，求函数的最小值； （3）若，存在实数，使f，求b的取值范围. 76．（25-26学年高一上·河南商丘·期中）已知函数 在上单调递增，则实数的取值范围为　　　　　　　　. 77．（25-26学年高一上·河南商丘·期中）已知函数，且，. （1）求a和b的值； （2）判断在上的单调性，并根据定义证明. 78．（25-26学年高一上·河南郑州·期中）已知存在，使得成立，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　. 79．（25-26学年高一上·河南部分学校·期中）已知函数． （1）若，解关于的不等式； （2）对，不等式恒成立，求的最小值． 80．（25-26学年高一上·河南部分学校·期中）定义在上的函数满足下面三个条件：①对任意正数，都有；②当时，；③． （1）求和的值； （2）试用单调性的定义证明：函数在上是减函数； （3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 81．（25-26学年高一上·河南部分学校·期中）定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为　　　　　　. 82．（25-26学年高一上·河南九师联盟·期中）已知函数. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明； （3）解关于的不等式. 83．（25-26学年高一上·河南联考·期中）已知函数 ，若，则的最大值为　　　　　　　　　　　. 84．（25-26学年高一上·河南信阳罗山县·期中）已知函数 ，若存在，且，使得，则实数的取值集合为　　　　　　　　　　. 85．（25-26学年高一上·河南新乡·期中）已知幂函数在上单调递减． （1）求实数m的值； （2）若． ①当时，关于x的不等式在上有解，求k的取值范围； ②若是奇函数，对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 86．（25-26学年高一上·河南新乡·期中）已知函数满足对任意实数，，都有成立，且，当时，. （1）求，，； （2）判断并证明在上的单调性； （3）解不等式. 87．（25-26学年高一上·河南新乡·期中）已知函数是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数m的取值范围为　　　　　　　　． 88．（25-26学年高一上·河南驻马店部分）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上单调递减，在上单调递增． （1）求函数的值域； （2）已知函数，若对任意，总存在，使得成立，求的取值范围； （3）若关于的不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 89．（25-26学年高一上·河南驻马店部分）已知二次函数满足，且． （1）求的解析式； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）若函数，记的最小值为，求的最小值． 90．（25-26学年高一上·河南名校联考·期中）对于函数，若存在，使 ，则称点与点是函数 的一对 “隐对称点”.若函数 的图象存在 “隐对称点”，则实数  的取值范围是　　　　　　　　　 91．（25-26学年高一上·河南部分普通高·期中）已知函数与的定义域均为，且，若函数满足，，且当时，． （1）求的值，判断的奇偶性并证明； （2）判断并证明函数在上的单调性； （3）已知，若，求该不等式的解集． 92．（25-26学年高一上·河南部分普通高·期中）已知函数为偶函数． （1）求的值． （2）已知函数． ①当时，若在上不单调，求实数的取值范围； ②当时，若，使得，求实数的取值范围． 93．（25-26学年高一上·河南洛阳·期中）已知函数为奇函数. （1）求； （2）判断的单调性并证明； （3）若使成立，求实数的取值范围. 94．（25-26学年高一上·河南新未来多校·期中）已知函数的定义域为，且对任意实数，满足：. （1）求的值； （2）若是偶函数，求函数的解析式； （3）令，当时，，若在上恒成立，求实数的取值范围. 95．（25-26学年高一上·河南月期中学·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，已知函数，其中． （1）证明：若函数为奇函数，则实数和均为定值； （2）当，，，时， （ⅰ）求函数图象的对称中心； （ⅱ）求的值． 96．（25-26学年高一上·河南商丘·期中）设函数的定义域为，如果，都有，满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，满足，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心． （1）若函数的图象是关于点的中心对称图形，求实数的值； （2）判断函数的图象是否为关于原点的弱中心对称图形，并说明理由； （3）若函数 的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为，求实数的取值范围． 97．（25-26学年高一上·河南郑州·期中）我们知道，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数是奇函数，也即是满足.已知函数. （1）判断函数的单调性，并利用定义证明； （2）求证：函数的图象关于点成中心对称图形； （3）若对，且，恒有成立，求实数的取值范围. 98．（25-26学年高一上·河南联考·期中）已知是定义在上的奇函数，且当时， （1）求的解析式； （2）求的单调递增区间； （3）若关于的方程有3个不相等的实数根，求实数的取值范围. 99．（25-26学年高一上·河南联考·期中）已知函数对任意的实数，都有，且当时，. （1）求的值； （2）判断并证明的单调性； （3）若存在实数，使得不等式 成立，求实数的取值范围. 考点03 幂函数 1．（25-26学年高一上·河南信阳罗山县·期中）下列函数是幂函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·河南郑州·期中）若幂函数为奇函数，则实数（       ） A. 4 B. 3 C.  D. 或4 3．（25-26学年高一上·河南驻马店部分）已知幂函数的图象经过点，则是（     ） A. 偶函数，且在上单调递增 B. 偶函数，且在上单调递减 C. 奇函数，且在上单调递增 D. 奇函数，且在上单调递减 4．（25-26学年高一上·河南部分普通高·期中）不等式成立的充分不必要条件可以是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·河南周口·期中）已知幂函数在上单调递增，则m的值为（     ） A. 1 B. -3 C. -4 D. 1或-3 6．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）已知幂函数在上单调递增，则实数的值为（       ） A. -2 B. -1 C. 2 D. -1或2 7．（25-26学年高一上·河南商丘·期中）已知是常数，幂函数在上单调递减，则（     ） A.  B.  C. 2 D. 4 8．（25-26学年高一上·河南部分学校·期中）已知幂函数的图象不过原点，且关于轴对称，则（     ） A. 或 B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·河南九师联盟·期中）已知是常数，幂函数在上单调递增，则（     ） A. 9 B. 3 C.  D.  10．（25-26学年高一上·河南开封·期中）（多选）已知幂函数，则（       ） A. 的图象可能经过第四象限 B. 两个幂函数的图象最多有3个交点 C. 若的图象经过点，则对任意， D. 若，则为奇函数 11．（25-26学年高一上·河南月期中学·期中）设幂函数的图象经过原点，若，则（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·河南信阳固始县·期中）幂函数的图象经过点，则　　　　　　　　　　. 13．（25-26学年高一上·河南部分名校·期中）已知幂函数，且在上单调递增． （1）求的值； （2）若在上恒成立，求的取值范围； （3）设为偶函数，当时，，当时，求的表达式． 14．（25-26学年高一上·河南新乡辉县·期中）已知幂函数. （1）求的解析式并判断的奇偶性； （2）若，求实数的取值范围. 15．（25-26学年高一上·河南部分普通高·期中）已知幂函数满足，为实数． （1）求函数的解析式； （2）求函数的值域； （3）若，求实数的取值范围． 16．（25-26学年高一上·河南新未来多校·期中）幂函数. （1）求函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 17．（25-26学年高一上·河南开封·期中）已知函数的定义域为D，若存在区间，使得当时，函数的值域恰为（），则称为的一个“k倍值区间”. （1）若函数的一个“1倍值区间”为，且，请写出一个满足题意的的解析式； （2）若为函数的一个“4倍值区间”，求实数a的取值集合； （3）判断函数是否存在“k倍值区间”，若存在，请求出k的取值范围；若不存在，请说明理由. 18．（25-26学年高一上·河南洛阳·期中）设函数的最大值为，最小值为，则　　　　　　　　　　. 考点04 函数的应用（一） 1．（25-26学年高一上·河南月期中学·期中）某农村合作社为了提高蔬菜产量，增加农民收入，计划建造一批蔬菜大棚.经过调研得知，初期需投入固定成本20万元，除此之外，建造个蔬菜大棚需另投入成本万元，且 初步估计每个蔬菜大棚未来能带来30万元的收入. （1）求蔬菜大棚带来的利润（万元）关于大棚个数的函数关系式； （2）建造多少个蔬菜大棚时，带来的利润最大?并求最大利润. 2．（25-26学年高一上·河南周口·期中）深圳某甜品店针对市场需求生产一款网红蛋糕，经核算生产该蛋糕的年固定成本为20万元，每生产x千个，需另外投入成本万元， ，每个蛋糕的售价为240元，且年内生产的蛋糕能全部销售完． （1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千个）的函数解析式； （2）年产量为多少千个时，该店在这款蛋糕的生产中所获利润最大． 3．（25-26学年高一上·河南部分学校·期中）红色旅游是一种将爱国教育与自然景观结合起来的新型主题旅游形式，受到了越来越多游客的欢迎．某旅游公司今年开发了一处红色旅游景区，该景区一年需投入固定成本300万元，若该景区在一年内有x万游客，则另需投入成本万元，且 ．已知该景区门票售价为70元/人，当地政府为鼓励该景区更好发展，每年给该旅游公司财政补贴10x万元． （1）求该景区一年利润（万元）关于人数x（万人）的函数解析式； （2）一年的游客为多少万人时，该景区一年利润最大？最大利润是多少？ 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $