河南省南阳市民进学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

2025-2026学年度高一上学期数学期中考试 一、单项选择题（本题8小题，每题5分，共40分） 1．若幂函数为奇函数，则实数（    ） A．4 B．3 C． D．或4 2．已知函数，且对于任意的，有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 5．设幂函数的图象经过原点，若，则（   ） A． B． C． D． 6．小张、小胡两人解关于x的不等式，小张写错了常数b，得到的解集为；小胡写错了常数c，得到的解集为，则原不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．不等式的解集为（   ） A． B． C．（2，3） D． 8．设实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题3小题，每题6分，共18分） 9．对于实数，，，正确的命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 10．已知定义在上的偶函数满足，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于中心对称 B． C．为偶函数 D．为奇函数 11．已知函数若方程有三个不等的实根，则整数的可能取值是（　　） A． B． C．8 D．16 三、填空题（本题3小题，每题5分，共15分） 12．已知函数且，其中为奇函数，为偶函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 ． 13．已知，，则的取值范围为 ． 14．不等式的解集是 . 四、解答题（本题5小题，共77分） 15．（11分）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求，的值；（5分） (2)当时，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.（6分） 16．（18分）已知函数是奇函数，且． (1)求和的值，（6分） (2)判断并证明的单调性；（5分） (3)若对任意的恒成立，求的取值范围．（7分） 17．（19分）已知函数的定义域为D，若存在区间，使得当时，函数的值域恰为（），则称为的一个“k倍值区间”. (1)若函数的一个“1倍值区间”为，且，请写出一个满足题意的的解析式；（5分） (2)若为函数的一个“4倍值区间”，求实数a的取值集合；（6分） (3)判断函数是否存在“k倍值区间”，若存在，请求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.（8分） 18．（15分）函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的解析式；（4分） (2)证明在上为增函数；（6分） (3)解不等式.（5分） 19．（14分）已知函数为奇函数. (1)求；（4分） (2)判断的单调性并证明；（5分） (3)若使成立，求实数的取值范围.（5分） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026学年度高一上学期数学期中考参考答案 1．C 【分析】根据幂函数的定义，求出的值，再根据函数为奇函数确定的值. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，，，是奇函数， 当时，，，是偶函数， 所以. 故选：C 2．B 【分析】先根据条件得到分段函数在上单调递增，从而要求每段上都单调递增，且分段点左侧函数的函数值小于等于右侧函数的函数值，列出不等式组，求出实数的取值范围. 【详解】因为，所以在上单调递增， 所以，解得. 故选：B 3．A 【分析】利用自然数集的定义化简集合，再利用集合的交集运算即可得解. 【详解】因为，又， 所以. 故选：A. 4．B 【分析】利用给定函数有意义列出不等式组，再求解即得定义域. 【详解】由函数有意义，得，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：B 5．A 【分析】由幂函数定义得到方程，结合函数图象经过原点求得函数解析式，由不等式的性质得到的大小关系，利用函数的单调性即可得结果. 【详解】由为幂函数，令，解得或， 时，的图象经过原点，符合题意，所以， 时，，图象不过原点，不合题意， 因为，所以， 因为在上单调递增， 所以． 故选：A． 6．B 【分析】利用二次不等式解集与二次方程根的关系，结合韦达定理即可得解. 【详解】因为小张写错了常数，得到的解集为，所以， 小胡写错了常数，得到的解集为，所以，解得， 所以原不等式为，解得， 即原不等式的解集为. 故选：B. 7．D 【分析】根据分式不等式解法计算即可求解. 【详解】原不等式等价于，即， 因为，所以， 即，解得或， 所以不等式解集为. 故选：D. 8．A 【分析】由，得，再通过同号，和异号，利用基本不等式即可求解. 【详解】由，则， 当同号时，由，当且仅当时，取等号， 当异号时，由，当且仅当时，取等号， 综上的范围为， 故选：A 9．ABD 【分析】利用作差法，作商法和特值法依次判断选项即可. 【详解】对选项A，因为，所以，， 所以，故A正确； 对选项B，，，所以， 因为，所以，即，故B正确； 对选项C，令，，满足，不满足，. 对选项D，因为，， 所以，故D正确. 故选：ABD 10．ABD 【分析】根据函数的奇偶性和对称性逐一推理判断各选项即可. 【详解】对于A，由可得，故的图象关于中心对称，即A正确； 对于B，在中，取，，解得， 因是上的偶函数，故，故B正确； 对于C，因是上的偶函数，则， 由可得，故有， 假设是偶函数，则，故有， 即，也即恒成立，而由题意此式并不一定恒成立，故假设不成立，即C错误； 对于D，由，故为奇函数，D正确. 故选：ABD. 11．CD 【分析】将方程有根问题转化为函数交点问题，在结合图象建立不等式，求解参数值即可. 【详解】如图，作出函数的大致图象， 由，可得. 由图可知，与有且两个不同的交点， 即方程有两个不等的实根， 而方程有三个不等的实根 得到方程有且只有一个实根， 即与有且只有一个交点， 故或，解得或. 故选：CD. 12． 【分析】利用函数奇偶性性质和定义可以得到 ,，代入不等式后，利用换元法将不等式化为在上恒成立，再借助双勾函数的图像性质可以得到的最大值，进而得到. 【详解】由已知得，为奇函数，为偶函数， 所以， 联立解得 ,， 代入不等式得：在上恒成立． 令，则， 则不等式可化为，即， 恒成立． 令，则， 所以在单调递增，所以， 所以，，即，即有． 故答案为：． 13． 【分析】由题意得，将条件代入所求，即可得答案. 【详解】由题意， 由，得， 又， 故，即． 故答案为： 14． 【分析】根据分式不等式与一元二次不等式之间的转化，即可根据一元二次不等式进行求解. 【详解】由，得，解得，所以不等式的解集为. 故答案为： 15．(1)，的值分别为，，或，. (2). 【分析】（1）根据不等式的解集得出一元二次方程的根，从而求得值； （2）由判别式可得． 【详解】（1）由题意可知，，1是方程的两根， 所以，， 解得，或，. 故，的值分别为，，或，. （2）当时，， 若在上恒成立，即的图象与轴至多有一个交点， 则， 即，解得， 故的取值范围是. 16．(1)， (2)在上单调递增，证明见解析 (3)． 【分析】（1）根据奇函数和即可求得和的值； （2）根据函数单调性的定义即可证明函数单调性； （3）运用函数的单调性和奇函数的性质，结合常变量分离法、换元法、构造函数法进行求解即可. 【详解】（1）由题意知是定义在上的奇函数，所以， 解得， 当时，，所以， 所以是奇函数，满足题意． 又，即，解得（舍去）或． （2）在上单调递增． 证明如下：设且，则 ， 又，所以，，，所以，即，所以在上单调递增． （3）若对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令， 令，由（2）可知为增函数，又， 所以，所以，所以， 所以， 解得，即的取值范围是． 17．(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用幂函数的性质结合新定义分析即可； （2）利用二次函数的图象与性质结合新定义建立方程组计算即可； （3）利用反比例函数的图象与性质结合图象变换作出函数大致图象，分类讨论将问题化为的解问题，根据一元二次方程根的分布计算即可. 【详解】（1）由新定义，不妨取，该函数R上单调递增， 即当时，， 所以满足题意的的解析式可以为.（答案不唯一，满足题意即可） （2）因为为函数的一个“4倍值区间”， 所以当时，的值域为， 又的图象开口向下，对称轴为，所以， 所以，所以. 所以在上单调递增，则，解得，， 所以实数a的取值集合为. （3）函数存在“k倍值区间”. 易知，作出的大致图象如下， 显然的定义域为， 在上单调递减，在，上单调递增，且. 不妨设的“k倍值区间”为（）， 则当时，的值域为（）. 由的定义域可知，所以，即，所以， 显然在的单调增区间内，即，或， 所以， 所以c，d为方程，即关于x的方程的两个不同的实数根， 因为，对称轴， 所以关于x的方程在上有两个不同的实数根， 所以，解得. 所以函数存在“k倍值区间”，且k的取值范围是. 18．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义求得，由求得，即可求解解析式； （2）根据单调性定义，按照步骤证明即可； （3）由奇函数、单调性解不等式得，求解即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得，此时， 又，所以，解得， 所以； （2）任取，且，则， 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以在上为增函数； （3）因为函数是定义在上的奇函数， 所以由，得， 又因为在上为增函数，所以，解得. 所以原不等式的解集为. 19．(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）由求得，并验证即可； （2）由单调性的定义即可求证； （3）由函数单调性得到，，再结合讨论二次函数单调性求最值即可求解. 【详解】（1）因为函数为奇函数，且定义域为， ， ， 当时，，满足，故. （2）由（1）知，在上单调递增. 证明：，且， ， 在上单调递增，， 又， ，即， 在上单调递增. （3）由（2）知在上单调递增， ，即， 设，则由题意知时，. 当，即时，在上单调递增， ， 由得， . 当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， ， 由得， . 当，即时，在上单调递减， ， 由得， . 综上,的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $