广西河池市2026-2027学年高三上学期9月自主检测数学试题

高三自主检测练习 数学 参考答案 题号1 3 5 6 8 9 10 11 答案 C B B A AD ABD BCD 一、单选题 1.答案：C排序数据：将样本数据2,16,14,8,20从小到大排列，得到：2,8， 14,16,20。中位数：14 2.答案：B已知z=1-i,则：z-1=(1-)-1=-i 品号1- 3.答案：D解不等式1<2<8：由2<2<2，得0<x<3,所以M={xl 0<c<3} N={-2,1,2,3},其中满足0<x<3的元素是1,2。所以M∩N={1,2}。 4.答案：D先移项、通分：必-4一2≤0 x+2≥0 x-1 x-1 分式不等式等价于： x+2)(-1)≥0解得：D<-2或x>1 -1≠0 2W5 5.答案：A因为a C 3 sin sinC 所以nC-号 因为A=2匹是钝角，所以C只能是锐角，故C= 3 6 再求角B:B=x一A-C=x-2r-女= 366 6.答案：C抛物线C:y=4x的焦点F（1,0),准线x=-1。 由抛物线定义：PF=PQ, 又△PFQ为等腰直角三角形，故直角只能是∠QPF, 因此PQ∥x轴，PF1x轴，PF=1-(-1)=2 7.答案：B根据等差数列前n项和的性质：S10,S20-S10,S30-S,成等差数列。 设S10=310,S20=1220,则S20-S10=1220-310=910。 设S0-S20=c,则：2×910=310+x 解得：x=1820-310=1510 因此：S30=S20+x=1220+1510=2730 8.答案：A先利用角度关系转化： sin(43°-a)=sin[90°-（47°+a)]=cos(47°+a) 由-233°<&<-143°，得： 47°-233°<47°+α<47°-1439 即-186°<47°+a≤-96 此时47°+a在第三象限，cos(47°+α)<0。 由血-w=是，得：osr+a=1- =-3V5 7 所以sin(43°-w)=-3Y5 二、多选题 9.答案：AD设等比数列首项为a1,公比为q 已知S3=7,a2=2,则： Ja1+a2+a3=7 a2=a1q=2 代入得：2+2+2g=7即：2g-5g+2=0 解得g=2(舍去，因0<9<1)或g=号，此时0，= 二4 0 对于A选项：g=号故A正确对于B选项：a=a9=4×(号=子故B错误 对于C选项：S,- 1-(》=3斗≠3，故c错误对于D选项：a,=4×号) 1-号方 4 =(号3S=8-()m,故a+3。=8故D正确 10.答案：ABD对于A选项：f(x)是偶函数，f(-1)=f1)=(12-3)e2+2=2-2e, 故A正确：对于B选项：当x<0时，-x>0,则fx)=f(-x)=(-x)2-3)e+2=(x2-3) e"+2,故B正确；对于C选项：f(x)≥2即(x2-3)e≥0，等价于x2-3≥0，解得x≥ √3或x≤-√5，并非仅当x≥√5，故C错误；对于D选项：x>0时，f'(x)=（x2+2x-3)e= (x+3)(x-1)e,在(0,1)上递减，（1，十oo)上递增。由偶函数对称性，x<0时，在(-o0,-1) 上递减，（-1,0)上递增，故x=-1是极小值点，故D正确。 11.答案：BCD对于A选项：设f(x)=x,易知f'(x)=3x2不是单调函数。任给满足f (x)=f'(x)的E,x(x1≠x2),曲线y=f(x)在点(，f(ac)》和(ax2,f(x2)处的切线方程分 别是y=3cc-2c1,y=3xx-2c,而2x≠2x,所以两斜率相等的切线不重合，故f(x)不 具有性质P,故A错误； 对于B选项：f(x)=4(x3-x),当x=1和x=-1时，均有f'(x)=0,又当x=1和x =-1时，均有f(x)=-1,所以曲线y=f(x)在点（-1，-1)与(1，-1)处的切线方程均为 y=-1,则f(c)具有性质P,故B正确： 对于C选项：f'(x)=1十cosx,若fx)具有性质P,则存在c1,∈I(c1≠c2),使得1 cosx=1+cosc2,p cosc=cosc2, 解得x2=士x1+2kx(k∈Z,且x2≠c1),曲线y=f(x)在点(c1,f(c)和(x2,f(2)】 处的切线方程分别是y=(1+cosD)x十sinx1-CcoSx1,y=(1+cos)x+sinc2-x2cos, 由两切线重合可知sinx1-x1cosc1=sinw,-x2cosx1①， 当西=+2k(k∈久，且≠时，①式即60s=.o0s,取=5，= 即可，此时切线方程为y=x+1,即f(x)具有性质P,故C正确： 对于D选项：f'(x)=(x十a+1)e+a,设f(c)的图象在点（1，f(x1),(c2,f(x2) (c≠x2)处的切线重合，则 (+a+1)ei+a=(x2+a+1)e+2a=(m+a)e1+a-(+a)e+2a C1一C3 由前两个式子可得(c,十a)e1+2a-(x2十a)e+2a=egt2a-e+2a,所以 (☑1+a+1)e+a=eta-e+a C-? 即(m-)(+a+1)=e-e9 ② e 同理(m-x)(m+a+1)=e-e ③ ②-③，得(-=e-e ee ②X③，得（x1+a+1)(x2+a+1)=1④ 由对数平均不等式 6>可得 -(a+1)et. C1一2 同理 -(2+a+1)e"st2a>ea.vese, 两式相乘，可得(x1+a+1)(x2+a+1)>1, 与④式矛盾，故f(x)不具有性质P,故D正确。 三、填空题 12.-1解：d⊥.d=1×2+2×m=0.2+2m=0 .m=-1 18.-3f=2x+a+是 解：.x=1是极值点.f'(1)=0 2x1+a+}=0 ∴.a=-3 14.（1)(4)(5) 解：(1)有水部分始终为棱柱，正确 因为容器以BC为轴倾斜，BC垂直于底面ABFE和DCGH,根据棱柱定义，有两个 面互相平行且全等，其余面都是平行四边形，有水部分始终满足棱柱特征。 (2)有水部分始终为棱柱同理，无水部分也始终是棱柱。错误 (3)水面EFGH所在四边形的面积为定值，错误 水面形状会随倾斜角度变化，从矩形变为平行四边形，其边长和夹角都在改变，面积 不是定值。 (4)AD始终与水面所在平面平行，正确 A1D1∥BC,而BC始终平行于水面平面(BC与水面的交线FG平行)，故AD1与 水面平行。 (5)当容器倾斜如图(3)所示时，BE+BF的最小值为8，正确 水的体积不变，棱柱BEF-CHG的体积V=号·BE~Br·BC-4S,BEBF=16, 根据基本不等式得：BE+BF≥2√BEBF,当且仅当BE=BF=4时等号成立。 四、解答题 15.解答：(1)已知f)=sin(2r+9,且f0)=之，0≤p<号 将x=0代入函数：f0)=sinp= 2 在0≤9<号的范国内，满足sinp=专的角为：9= 6 2)由(1)知f)=in(2z+若） 则：9m)=sm(2红+)+sm[2(红-晋)+] =sin(2+)+sin(2)=vsin2z 因为sin2x的取值范围是[-1,1]， 所以：g(c)=√3sin2axe[-√5，√3] 即g(x)的值域为[-√5，√]。 令-号+2kx≤2z≤号+2k,ke2 解得：一车+kr≤0≤聋+，kE乙 单调递增区间：[一车+kx子+kx,k∈2 令5+2kx≤2x≤+2km,kez 2 解得：军+：≤≤平+标，k∈Z 4 单调递减区间：[手+k,3+kx,k∈2 16.解答：(1)依题意得：a2=4,即a=2 离心率e=8-号故e=5. 由椭圆的关系a2=b2+c2,得：b2=a2-c2=4-2=2 故椭回C的方程为：等+号-1 (2)①当直线l的斜率不存在时，方程为x=0,此时直线与椭圆交于(0，√2)和 (0,-V2.S0w=号×22x0=0≠2，故舍去 ②设直线U的方程为y=kx-2,设M(x1,h),N(x2,2) y=kx-2 联立直线与椭圆方程： +芳-1 消去y并整理：(1+2k2)x2-8kx+4=0 由韦达定理，得：十= 8k 1+29,010= X 1+2k2 由判别式△=(8k)2-4(1+2k2)×4=64k2-16(1+22)=322-16>0, 解得>司 三角形面积S0w=号·0Pa-=V反，其中OP=2,故：1-=2 又1-2=V十)2-4，代入得： V12e-41+ 8k =V 平方并化简： 642-16(1+2k2) 二2 即 32k2-16=2 (1+2k2)2 (1+2k2)2 令=2张+1(>2》，则发=2代入得： 16(t-1)-16 2 即16t-32=2 t2 2 2t2-16t+32=0 即t2-8t+16=0解得t=4 故2k2+1=4 即k=士5满足发>方 因此直线的方程为：)=9。-2或，。-2 计算弦长MN: Mw=V1+.,-=V1+号×=停×=5 17.(1)证明取BC的中点F,连接EF,OF。 .'E,O分别为DB,AC的中点，∴.EF∥DC,OF∥AB 又，AC是圆O的直径，.AB⊥BC,∴.OF⊥BC ,BC⊥DC,EF∥DC,∴.EF⊥BC 又，EF∩OF=F,F,OFC平面OEF,∴.BC⊥平面OEF .OEC平面OEF,∴.BC⊥OE (2):AB=BC,.OB⊥AC. 故以O为坐标原点，分别以OB,OC所在直线，过点O且垂直于平面ABC的 直线为x,以，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。 :AD=2DC,.∠D0C=60°。则A(0,-2,0),B(2,0,0),D(0,1,5), O0,0,0) A店=(2,2,0)，AD=(0,3,√5)，A0=(0,2,0) 设平面ABD的法向量为元=(x,出，z, 则 2x+2y=0, AB=0.3M+3z=0 AD元=0， 令x=1,则y=-1,z=√5，.元=(1，-1，√5) 设直线OA与面ADB所成的角为0 i血0=lcos<,Ad>|=元Ad 2 =5 AO √5×2 5 ·.直线OA与面ADB所成的角的正弦值为5 5 18.解答：(1)对fc)=xe求导：f(x)=eam-are=1-oL 切线的斜率k=f'(0)=1 切点(0,0) 所以切线方程：y=x (2)由(1)知f'(c)=1-ax ①当a=0时，f'(x)>0恒成立，f(x)在R上单调递增 色当a≠0时，令fe=0,则红=日 (i)当a>0时， x - 1 a (合+四 f'(x) 0 f(x) 单调递增 单调递减 所以，)在（(-0，)上单调递增，九)在（日，+o)上单调递减 (ii)当a<0时， 正 1 (合+m f'(x) 0 + f(a) 单调递减 单调递增 所以，f)在（一0，）上单调递减)在（日，十0）上单调递增 (3)因为a=1,所以f(x)=xe" 因为，g(x)与(x)关于x=1对称， 所以，g(x)=f2-x)=(2-x)e 构造函数p(x)=f(x)-g(c)=xea-(2-x)e- 对p(x)求导：p'(x)=(1-x)e"+(1-(2-x)e-2 =（x-1)(e2w-2-1)ew 当c>1时，x-1>0,2x-2>0,故e2-2-1>0,且e>0, 因此p'(x)>0,p(x)在(1，+oo)上单调递增 又p1-f)-g1)-8&-0, 故当x>1时，p(x)>p(1)=0,即f(c)>g(c) 19.(1)依题意，随机变量X的可能取值为2,3,4 则Px=2-号=6 PX=3)=C4×4×是-8 3=3 PX=到=〈星品 所以X的分布列如下表所示： X 2 3 4 ò 1 3 9 16 8 16 数学明望为BX)-2×6-3×得+4×号=子 16 2 (2)由这n人的合计得分为n+1分，得其中只有1人既游览银滩又到涠洲岛游玩， 于是卫=C星1=3m(}】 令数列{3m(月}的前m项和为5， 则8.=3×子+6×(4+9×（任月++3m×(}月 1S.=3×(任+6×(+9×(1广+.+3m×() 两式相减得 8=+3x43x(》+…+3×任-8n×(任 -1-任川 1- 3 3 (3)在随机抽取的若干人的合计得分为n一1分的基础上再抽取1人，则这些人的 合计得分可能为n分或n+1分， 记“合计得n分”为事件A,“合计得n+1分”为事件B,A与B是对立事件， 则PA=aPB)=是aa+ 4am-1=1(n≥2) 即a-青-星a-u2 由a子得a,号是则数列{a,}是首项为号公比为是的等比 数列 a-是（广n山 因此a-员(m≥1) 随着n的无限增大，（是”无限趋近于0.a,无限道近于号 所以随着抽取人数的无限增加，a,趋近于常数号高三自主检测练习 数学 注意事项 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，只需要提交答题卡。 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要 求的。) 1.样本数据2,16,14,8,20的中位数为() A.8 B.9 C.14 D.18 2已知3=1-则=() A.- B.i C.-1 D.1 3.已知集合M={xI1<2z<8},N={-2,1,2,3},则M∩N=（) A.{-2,1,2,3} B.{1,2,3} C.{-2,1} D.{1,2} 4.不等式工-4≤2的解集是() x-1 A.{x|-2≤x≤1} B.{x|-2≤x<1} C.{xlx>1) D.{x|x≤-2或x>1} 5.在△ABC中，a=2,c=3,A=2,则B=()》 3 A吾 B骨 c晋 D哥 6.己知抛物线C:y2=4x的焦点为F,P是C上一点，过P作C准线的垂线，垂足为Q。若△PFQ为 等腰直角三角形，则P=() A.4 B.3 C.2 D.1 7.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S10=310,S20=1220,则S30=（) A.2729 B.2730 C.2731 D.2732 8.已知n(4r+)=-号，且-23”<a<-143,则sn(3-d)的值为（) A.-3v5 B.3v5 7 7 c号 D-号 高三数学第1页共4页 扫描全能王创建 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对 的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。) 9.记S为等比数列{an}的前n项和，公比为g,且0<g<1,若S1=7,a2=2,则（) A9=7 B%=月 C.S5=8 D.am十Sn=8 10.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，f(x)=(x2-3)e2+2,则() A.f(-1)=2-2e B.当x<0时，f(x)=(x2-3)ez+2 C.f(x)≥2当且仅当x≥√3 D.x=-1是f(x)的极小值点 11.函数f(x)定义域为I,若存在x,2∈I(x≠x2),使曲线y=f(x)在(f(c)八、(x2,f(x》处有相 同切线，则称f(x)具有性质P。下列结论正确的是() A.“f'(x)在定义域上不单调”是“f(x)具有性质P的充分条件 B.f(x)=x-2x2具有性质P C.f(x)=x+sinx具有性质P D.Ha∈R,f(x)=(x+a)e+2a不具有性质P 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知平面向量d=(1,2),=(2,m),若a⊥i,则m= 13.若x=1是函数f(x)=x2+ax+nx的极值点，则a= 14.透明塑料制成的长方体容器ABCD-ABCD,AB=4,BC=6,AA1=8,固定棱BC在水平地 面上，将容器绕BC倾斜，容器内水量恒定，水的体积V=48。随着倾斜度的不同，下列命题正确 的是 (1)有水部分始终为棱柱； (2)无水部分存在倾斜状态不是棱柱； (3)水面EFGH所在四边形的面积为定值； (4)AD始终与水面所在平面平行； (5)当容器倾斜如图(3)所示时，|B+BF的最小值为8。 正确序号： A D A C H D. H 图 图2 图3 高三数学第2页共4页 扫描全能王创建 四、解答题（共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15.(13分)已知函数f()=sin(2如+p0≤9<受)，且f0)=2。 (1)求p (2)设函数g()=()+f(x-石)，求g()的值域和单调区间。 16(15分)己知椭圆0王+=16>0，且焦点在z箱上隔心第2三Y2 4 2 (1)求椭圆C的方程； (2)过点P(O,-2)的直线l与椭圆交于M,N两点，O为坐标原点，若SAOMN=√2，求直线l的方程 及弦长MW。 17.(15分)如图1，AC是半径为2的圆O的直径，点D,B在圆上，且AD=2DC,AB=BC。如图2 将圆O沿AC翻折，E为线段BD上的一点，连接OB,OD,OE,BD。 (I)若BC⊥CD,E为BD中点，证明：OE⊥BC; (2)若平面ADC⊥平面ABC,求直线OA与面ADB所成的角的正弦值。 B 图1 图2 高三数学第3页共4页 器 扫描全能王创建 18.(17分)已知函数f(x)=xeo(∈R)。 (1)求函数f(x)在x=0处的切线方程； (2)讨论函数f(x)的单调性； (3)当a=1时，函数y=g(x)与y=f(x)关于直线x=1对称，证明：当x>1时，f(x)>g(x)。 19.（17分)北海是一座沿海城市，拥有银滩、涠洲岛等多样的海滨景点，每年夏天都有大量游客来 游玩。为了合理配置旅游资源文旅部门对来银滩游玩的游客进行了问卷调查，据统计，其中 的人选择只游览银滩，另外足的人选择既游览银滩又到涠洲岛游玩。每位游客若选择只游览 银滩，则记1分；若选择既游览银滩又到涠洲岛游玩，则记2分。假设游客之间的旅游选择意愿 相互独立，频率视为概率。 (1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X,求X的分布列和数学期望： (2)从游客中随机抽取n个人(n∈N),记这n个人的合计得分为恰为n+1分的概率为p, 来 (3)从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分为恰为n分(n∈N)的概率为a,随着 抽取人数的无限增加，α，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由。 高三数学第4页共4页 扫描全能王创建