广西南宁市武鸣高级中学2027届高三上学期9月学情诊断检测数学试题

武鸣高中2027届九月学情诊断检测 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．某市一周内的最高气温（单位：℃）分别为34，31，32，30，31，34，33，则这组数据的第一四分位数为（ ） A．31 B．32 C．33 D．34 2．已知复数z满足：，则复数z在复平面中对应的点z位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知命题，；命题，，则（ ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 4．“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．某班上午有5节课，现需安排数学课2节，语文课、英语课、物理课各1节，要求两节数学课相邻，语文课和英语课不相邻，则不同的排课方法共有（ ） A．6种 B．8种 C．12种 D．24种 6．已知，且，则（ ） A． B． C． D． 7．已知半径为的球O内切于圆台（即球O与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），圆台的上、下底面半径分别为，，且，则圆台的体积为（ ） A． B． C． D． 8．现有红、黄、蓝、白4种颜色的颜料可供使用，给四棱锥（如图）的各侧面及底面涂上颜色，要求相邻（有一条公共边）的两面不同色，则恰有两个面涂了红色的概率为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目的，选对部分选项得部分分，有选错的得0分． 9．设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（ ） A．的最小值为2 B．的最小值为2 C．mn的最大值为1 D．的最小值为2 10．已知点，，圆，点P在圆C上运动，点Q满足，其中O为坐标原点．则下列说法正确的是（ ） A． B．点Q的轨迹方程为 C．点Q到直线距离的最小值为 D．的取值范围是 11．已知函数有三个不同的零点a，b，c，其中，则（ ） A．m的取值范围为 B．存在实数m，使得a，b，c成等差数列 C．的取值范围为 D． 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知集合，，则______________． 13．的展开式中的系数为______________． 14．已知双曲线（，）的左、右焦点为，，点P在双曲线的右支上，且，的内切圆半径为a，则双曲线的离心率为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知等差数列的首项，等比数列的首项，公比，且，． （1）求等差数列的公差d和等比数列的公比q； （2）若，求数列的前n项和． 16．如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，平面，，，，点E是的中点． （1）证明：平面平面； （2）若平面与平面所成锐二面角的正切值为1，求直线与平面所成角的正弦值． 17．某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题，设X表示智能客服的回答被采纳的次数，求X的分布列及期望； （3）公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为Y，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由． 18．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，且，离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线l与椭圆C交于M，N两点． ①若l过点，求的最大值； ②设直线，的斜率分别为，，且．问直线l是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 19．已知函数，． （1）若是的极值点，求a的值并说明是极大值点还是极小值点； （2）若时，，求a的取值范围； （3）对的定义域内的任意，，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 武鸣高中2027届九月学情诊断检测数学参考答案 1．A 2．D 3．C 4．A 5．C 6．D 7．B 8．D 9．ACD 10．ABD 11．ABD 12．或 13． 14． 15．【详解】（1）由题意，可得， 1分 由，可得：， 2分 联立，解得：或 4分 因为，所以等差数列公差，等比数列公比； 6分 （2）由（1）可得，，故， 7分 ， 8分 ， 9分 两式相减得： 10分 ， 11分 有， 12分 所以． 13分 16．【详解】（1）因为平面，平面，则， 1分 又因为且，则， 2分 且，且、平面，则平面， 3分 又因为平面，所以平面平面． 4分 （2）设，则，设，， 以A为坐标原点，分别以、的方向为x轴、y轴正方向， 过A平行于的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 5分 则，，，，， 可得，， 6分 设平面的法向量为，则，令，则，，可得； 7分 平面的法向量可取 8分 设平面与平面所成的锐二面角为，则，可知， 9分 可得，解得， 10分 （用几何法说明和求出给到对应的分数） 可得，且点E是的中点，则， 可得，，， 11分 设平面的法向量为，则，令，则，，可得； 12分 设直线与平面所成角为，则， 14分 所以直线与平面所成角的正弦值为． 15分 17．【详解】（1）记事件A为“智能客服的回答被采纳”，事件B为“输入的问题表达清晰”，则为“输入的问题表达不清晰”．由题意得：，所以． 1分 又，． 2分 由全概率公式得： 3分 ． 4分 所以智能客服的回答被采纳的概率为． 5分 （2）由（1）知每次回答被采纳的概率，且各次是否被采纳相互独立，故测试3个问题中被采纳的次数X服从二项分布，即， 6分 X的可能取值为0，1，2，3． 7分 ，，，． 10分 则X的分布列为： X 0 1 2 3 P 期望． 12分 （3）抽取10个问题，设被采纳的次数为，则， 12分 总得分．由期望的性质得：． 14分 因为，满足推广条件，所以该系统会得到推广． 15分 18．【详解】（1）由题意可得，得到， 1分 又，得到， 2分 则， 3分 所以椭圆方程为． 4分 （2）（i）若直线l斜率为0，此时，解得M，N两点坐标为，此时， 5分 若直线斜率不为0，不妨设直线，，， 6分 由，消x整理得到， 7分 则，，， 8分 又直线l过点，故， 9分 此时，易知点在椭圆外， 则，正负号一致， ， ， 10分 综上所述，的最大值为． 11分 （ii）利用椭圆的第三定义可知，，得， 12分 此时， 即， 13分 将，代入， 得到， 14分 整理化简可得，解得或， 15分 当时，直线l经过点B，不符合要求，舍去； 16分 所以，即直线l恒过定点．且定点在椭圆内部，直线l与椭圆恒有两个交点，经检验成立． 17分 19．【详解】（1）的定义域为，， 1分 因为是函数的极值点，所以，解得， 2分 当时，， 3分 因为，；时，， 4分 所以在上单调递增，在上单调递减，所以是的极大值点． 5分 （2）， 当时，，， 6分 时，；时，， 在上单调递减，在上单调递增，所以时，，不合题意． 7分 当时，由得，当，即时，对成立，所以在上单调递减，所以时，合题意； 8分 当，即时，对成立，所以在上单调递增，所以当时，，不合题意． 9分 综上，a的取值范围是． 10分 （3）证明：因为， 11分 所以要证成立， 只要证成立， 12分 因为，所以只要证成立， 13分 因为，， 所以只要证成立． 14分 记， 则，对成立， 15分 所以在上单调递减， 当时，，所以， 16分 取，由知，从而， 所以成立，故原不等式成立． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $