第四章 一元一次方程（单元自测卷·南京专用）数学新教材苏科版七年级上册

**基本信息** 七年级上册第四章一元一次方程单元卷，覆盖方程概念、解法及应用，通过分层设计与真实情境，培养抽象能力、模型意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|方程定义、等式性质、古代数学问题（《孙子算经》）、几何图形方程|结合文化传承（第4题）与几何直观（第7题），考查抽象能力| |填空题|10/20|方程的解、购物优惠计算、数轴距离、“奇异方程”新定义|设置现实情境（第17题购物优惠）与新定义问题（第14题），发展模型意识| |解答题|9/64|解方程、整体思想应用、板材裁剪、个人所得税计算|突出综合性，如第27题个税计算（应用意识）、第26题数轴“友好点”（推理能力）|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测(南京专用) 第四章 一元一次方程 建议用时：100分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．下列各式中，属于方程的是（     ） A． B． C． D． 2．运用等式的性质变形正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．下列方程变形中，正确的是（     ）． A．方程，系数化1，得； B．方程，移项，得； C．方程，去括号，得； D．方程，去分母，得 4．我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是（     ） A． B． C． D． 5．解方程，以下去分母正确的是（     ）． A． B． C． D． 6．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 7．如图，一个长方形内部恰好能用一些大小不等的正方形纸片、、铺满（每两个正方形纸片之间既不重叠，也无空隙），如果长方形的周长为，那么正方形纸片的面积为（     ） A． B． C． D． 8．记，，称为，，…，这列数的“理想数”．已知，，…，的“理想数”为2026，若在前面添加一个数，得到新的一列数，，，…，的“理想数”仍为2026，则的值为（     ） A．0 B．2 C．4 D．6 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9．已知是关于的方程的解，则式子的值为______． 10．把方程变形为用含有的式子表示，得_____________． 11．关于的一元一次方程的解是______． 12．若关于x的方程和有相同的解，则______． 13．已知实数，满足，，则的值为__________． 14．若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“奇异方程”．如：的解为，则方程是“奇异方程”．若关于的一元一次方程是“奇异方程”，则的值为__________． 15．如图中的长方形被分割成6个正方形，中央的最小正方形的边长为，则长方形的面积是______． 16．阅读以下内容： 我们已经学习过了分数的拆分，例如，…， 通过分数的拆分，我们也能进行一些简便运算，例如： 通过分数的拆分，可以使计算变得更简便． 类似地，解方程，这个方程的解是________． 17．为了庆祝劳动节，宣扬劳动光荣的中华民族优秀传统，某网店为了吸引顾客，推出下列优惠措施，受到顾客的好评．优惠措施如下： 购物款不超过200元不享受优惠； 购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠； 购物款超过600元一律享受八折优惠， 某顾客第一次从该网店购物花了168元人民币，第二天又花了423元从该网店购物，如果该顾客一次性购买以上商品，可以节省_____元 18．已知数轴上两点、对应的数分别为3、9，在数轴上有另外一点，当点到、两点的距离之差的绝对值为3时，则点表示的数是_________． 三、解答题（共9小题，共64分） 19．（6分）解方程 (1) (2) (3) 20．（5分）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小萌同学的解题过程： 解：去分母(方程两边乘12)，得① 去括号，得② 移项，得③ 合并同类项，得④ 系数化为1，得⑤ (1)以上求解步骤中，第一步的依据是 ． (2)上述小萌的解题过程从第 步开始出现错误． (3)请帮小萌改正错误，写出完整的解题过程． 21．（5分）已知与关于x的方程有相同的解． (1)求k的值． (2)直接写出方程的解． 22．（7分）定义：若代数式A和代数式B满足（n为正整数），则称A是B的n阶关系式．例如：，我们就称是的1阶关系式． 根据上述知识，解答以下问题： (1)是的 阶关系式； (2)若是的3阶关系式，求x 的值； (3)若关于a，b（，m，n为整数）的代数式是的k 阶关系式，求k 的值． 23．（7分）学校装修录播教室需用型板材块、型板材块，型板材规格是，型板材规格是，现只能购得规格是的标准板材，一张标准板材尽可能多地裁出型、型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的裁剪示意图） 若所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁张、按裁法二与裁法三分别裁若干张，且所裁出的、两种型号的板材刚好够用． 裁法一 裁法二 裁法三 型板材块数 型板材块数 (1)上表中， ， ； (2)用含有的代数式分别表示裁法二与裁法三的张数； (3)问所购标准板材的总张数能不能为82张？若能，求出此时的的值；若不能，请说出理由． 24．（9分）数学课本上有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”小明同学解题过程如下： 解：原式 因为，所以原式． 小明同学把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简求值与解方程中应用极为广泛．请仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【尝试应用】 (1)已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，则______． (2)已知，当时，的值是2023；当时，的值是____． 【拓展提高】 (3)已知，，，求的值． (4)关于x的一元一次方程的解为，解关于y的一元一次方程． 25．（6分）材料题 问题背景 某水果加工厂收购了29吨黄桃，经市场预测，销售方式及利润如表： 销售方式 包装销售 制成罐头销售 每吨利润（万元） 0.4 0.6 加工能力 每天可包装5吨或制成罐头3吨（包装和加工前后质量不变），同一天内两种加工方式不可同时进行．部分制成罐头，其余进行直接包装售卖，并恰好7天完成． 公司费用 该加工厂计划将罐头运输到市场售卖．运输公司费用如下： 运输公司 运输单价 每吨装卸费 甲 每吨每千米5元 50元 乙 每吨每千米6元 30元 问题解决 (1)该工厂有多少吨黄桃制成罐头？ (2)若乙公司总费用比甲公司多243元，则水果加工厂到市场的距离为多少千米． 26．（9分）定义：数轴上有两点A，B，如果存在一点C，使得线段的长度是线段的长度的2倍，那么称点C为线段的“友好点”． (1)如图①，若数轴上A，B两点所表示的数分别是，，点C为线段上一点，且点C为线段的“友好点”，则点C表示的数为______； (2)如图②，若数轴上A，B两点所表示的数分别是，，点C为数轴上一点，若点C为线段的“友好点”，则点C表示的数为_______； (3)如图③，若数轴上点A表示的数是，点C表示的数是，若点C为线段的“友好点”，则点B表示的数为________； (4)如图④，若数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，动点P从点A出发以每秒个单位的速度向右匀速运动，设运动的时间为t秒． 当t为何值时，点P是线段的“友好点”． 27．（10分）每年月日至月日为我国个人所得税综合所得年度汇算清缴期．开展个税汇算，有利于纳税人准确计算全年实际应纳个人所得税，通过专项附加扣除（子女教育、赡养老人、住房贷款利息等）依法享受税收优惠，多退少补，切实维护纳税人合法权益，促进税负公平． 材料一：全年应纳税所得额全年税前综合收入（不包括三险一金，且后文中的提到税前综合收入均不包括三险一金）元（基本减除费用）专项附加扣除．应纳税额全年应纳税所得额适用税率速算扣除数． 居民个人综合所得税率表（部分） 全年应纳税所得额 税率（） 速算扣除数 不超过元的 超过元至元的 超过元至元的 居民全年一次性奖金税率表（部分） 全年一次性奖金 税率（） 速算扣除数 不超过元的 超过元至元的 超过元至元的 材料二：根据财政部的政策，至年月日之前，居民个人取得的全年一次性奖金可以选择并入当年的综合收入，也可以选择单独计算纳税．如果单独计算纳税，全年一次性奖金的税额计算公式为：全年一次性奖金应纳税额全年一次性奖金收入适用税率速算扣除数． 例如，小张全年税前综合收入为元，其中全年一次性奖金元，无专项附加扣除，若小张选择合并计税，则应纳税额元；若小张选择单独计税，则应纳税额元．材料三：为兼顾不同家庭的实际负担，个税设置专项附加扣除，其中子女教育专项附加扣除额度为元，夫妻可协商分配扣除额度，选择各，或者一方扣除． (1)小李全年税前综合收入为元，其中全年一次性奖金元，专项附加扣除有额度元，试通过计算，为小李选择纳税最少的计税方式． (2)应届本科毕业生小王，无专项附加扣除．经过对比，小王发现自己最优全年纳税额为元．已知其全年一次性奖金不低于元但不超过元，试问小王的税前年综合收入范围是多少？ (3)小陈、小丽夫妻有一女儿正在读初中，夫妻俩税前年综合收入均为万元，其中小陈全年一次性奖金元，小丽全年一次性奖金元，除子女教育外均无其他专项附加扣除．小丽觉得大家收入都相同，应该平摊子女教育的额度，但是小陈反对，认为自己全部扣除更加合理．从家庭综合收入的角度考虑，请你通过计算说明谁的方式更合理． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试卷 第1页（共4页） 试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测(南京专用) 第四章 一元一次方程(参考答案) 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D B B D D A B 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9．2022 10． 11． 12．8 13． 14． 15．1287 16． 17．80.6 18．或 三、解答题（共9小题，共64分） 19．（6分） 【详解】（1）解： ．................2分 （2）解： ．................4分 （3）解： ．................6分 20．（5分） 【详解】（1）解：第一步方程左右两边乘12，依据是等式的性质2；................1分 （2）解：上述小萌的解题过程从第一步开始出现错误，错误原因是漏乘12；................2分 (3)完整的解题过程． 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得．................5分 21．（5分） 【详解】（1）解：解方程得：， ∵方程与关于x的方程的解相同， ∴是关于x的方程的解， ∴， 解得；................2分 （2）解：当时， 方程为， 去分母得， 去括号得， 移项合并得， 解得．................5分 22．（7分） 【详解】（1）解：∵， ∴是的7阶关系式；................1分 （2）解：根据题意，得 ， 去分母，得， 整理，得， 解得 ；................3分 （3）解： 由题意得：， 整理得：，................4分 ∵k为固定正整数，与a，b的取值无关，且， ∴含a，b的项的系数均为0，即且，................5分 解得， 将，代入，得， 综上所述，．................7分 23．（7分） 【详解】（1）解：按裁法二裁剪时，块型板材的长为，，所以无法裁出型板， 按裁法三裁剪时，块型板材的长为，， 而块型板材的长为，所以无法裁出块型板； ∴，；................2分 （2）解：设按裁法二裁张、按裁法三裁张． ∵共需用A型板材块、B型板材块， ∴，，................3分 ∴，， 即裁法二的张数为；裁法三的张数：；................4分 (3)解：不能，理由如下：................5分 依题意，， 解得． 当时，，................7分 故所购标准板材的总张数不能为张． 24．（9分） 【详解】（1）解：∵a，b互为相反数， ， 互为倒数， ， ；................2分 （2）解：当时，的值是2023， ， ，................3分 当时， ；................4分 （3）解： ∴ ；................6分 （4）解：设， 则方程可化为方程， 关于x的一元一次方程的解为， ∴关于m的一元一次方程的解为， ， ．................8分 25．（6分） 【详解】（1）解：设该工厂有x吨黄桃制成罐头，则吨进行直接包装， 根据题意得： 解得： 答：该工厂有9吨黄桃制成罐头，................3分 （2）解：设加工厂到市场的距离为y千米， 根据题意得： 解得： 答：水果加工厂到市场的距离为47千米．................6分 26．（9分） 【详解】（1）解：根据“友好点”的定义可知，， 设点表示的数为， ∵点C为线段上一点，数轴上A，B两点所表示的数分别是，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴点表示的数为；................2分 （2）解：根据“友好点”的定义可知，， 设点表示的数为， ∵点C为数轴上一点，且，数轴上A，B两点所表示的数分别是，， ∴点在线段上或在线段的延长线上； 当点在线段上时， ，则， 解得；................3分 当点在线段的延长线上时， ，则， 解得；................4分 综上所述，点表示的数为或． （3）解：根据“友好点”的定义可知，， 设点表示的数为， ∵数轴上点A表示的数是，点C表示的数是， 当点在线段上时，， 则，解得；................5分 当点在线段的延长线上时，， 则，解得；................6分 综上所述，点表示的数为或． （4）解：∵动点P从点A出发以每秒个单位的速度向右匀速运动，点A表示的数是， ∴点所表示的数为， ∵点是线段的“友好点”，点B表示的数是， ∴当点在线段上时， ， ∴，解得；................7分 当点在线段延长线上时， ， ∴，解得；................9分 综上所述，t的值是或4，点P是线段AB的“友好点”． 27．（10分） 【详解】（1）解：分别计算两种计税方式的总应纳税额，再比较大小， 合并计税：全年应纳税所得额（元）， ∵， ∴适用税率，速算扣除数，则应纳税额（元），................1分 单独计税：综合部分应纳税所得额（元），综合部分应纳税额为，全年一次性奖金元，适用税率，速算扣除数，奖金应纳税额（元）， 总应纳税额（元）， 因为， 所以合并计税纳税更少，................3分 答：选择合并计税方式； （2）解：设小王全年一次性奖金为，税前年综合总收入为， 单独计税时，奖金应纳税额为，综合部分应纳税所得额为， 当时，， 总应纳税额满足：，................4分 整理得，代入的范围得， 当时，， 总应纳税额满足：， 整理得，解得，................6分 综上，小王税前年综合收入满足， 答：小王的税前年综合收入不低于元，不高于元； （3）解：子女教育总扣除额度为元，分别计算两种扣除方式的家庭总纳税额： 第一种：平摊扣除，两人各扣除元， 计算小陈税额：小陈总收入元，奖金元，工资部分元，综合部分应纳税所得额（元）， 综合税额（元）， 奖金税额（元）， 小陈总税额（元）， 计算小丽税额：小丽总收入元，奖金元，工资部分元， 综合部分应纳税所得额（元）， 综合税额（元）， 奖金税额（元）， 小丽总税额（元）， 家庭总税额（元）；................8分 第二种：小陈全额扣除元，小丽不扣除， 计算小陈税额： 综合部分应纳税所得额（元）， 综合税额（元）， 奖金税额（元）， 小陈总税额（元）， 计算小丽税额：综合部分应纳税所得额（元）， 综合税额（元）， 奖金税额（元）， 小丽总税额（元）， 家庭总税额（元），................9分 因为， 所以小陈的方式下家庭总纳税额更少， 答：小陈的方式更合理．................10分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测(南京专用) 第四章 一元一次方程 建议用时：100分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．下列各式中，属于方程的是（     ） A． B． C． D． 2．运用等式的性质变形正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．下列方程变形中，正确的是（     ）． A．方程，系数化1，得； B．方程，移项，得； C．方程，去括号，得； D．方程，去分母，得 4．我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是（     ） A． B． C． D． 5．解方程，以下去分母正确的是（     ）． A． B． C． D． 6．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 7．如图，一个长方形内部恰好能用一些大小不等的正方形纸片、、铺满（每两个正方形纸片之间既不重叠，也无空隙），如果长方形的周长为，那么正方形纸片的面积为（     ） A． B． C． D． 8．记，，称为，，…，这列数的“理想数”．已知，，…，的“理想数”为2026，若在前面添加一个数，得到新的一列数，，，…，的“理想数”仍为2026，则的值为（     ） A．0 B．2 C．4 D．6 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9．已知是关于的方程的解，则式子的值为______． 10．把方程变形为用含有的式子表示，得_____________． 11．关于的一元一次方程的解是______． 12．若关于x的方程和有相同的解，则______． 13．已知实数，满足，，则的值为__________． 14．若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“奇异方程”．如：的解为，则方程是“奇异方程”．若关于的一元一次方程是“奇异方程”，则的值为__________． 15．如图中的长方形被分割成6个正方形，中央的最小正方形的边长为，则长方形的面积是______． 16．阅读以下内容： 我们已经学习过了分数的拆分，例如，…， 通过分数的拆分，我们也能进行一些简便运算，例如： 通过分数的拆分，可以使计算变得更简便． 类似地，解方程，这个方程的解是________． 17．为了庆祝劳动节，宣扬劳动光荣的中华民族优秀传统，某网店为了吸引顾客，推出下列优惠措施，受到顾客的好评．优惠措施如下： 购物款不超过200元不享受优惠； 购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠； 购物款超过600元一律享受八折优惠， 某顾客第一次从该网店购物花了168元人民币，第二天又花了423元从该网店购物，如果该顾客一次性购买以上商品，可以节省_____元 18．已知数轴上两点、对应的数分别为3、9，在数轴上有另外一点，当点到、两点的距离之差的绝对值为3时，则点表示的数是_________． 三、解答题（共9小题，共64分） 19．（6分）解方程 (1) (2) (3) 20．（5分）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小萌同学的解题过程： 解：去分母(方程两边乘12)，得① 去括号，得② 移项，得③ 合并同类项，得④ 系数化为1，得⑤ (1)以上求解步骤中，第一步的依据是 ． (2)上述小萌的解题过程从第 步开始出现错误． (3)请帮小萌改正错误，写出完整的解题过程． 21．（5分）已知与关于x的方程有相同的解． (1)求k的值． (2)直接写出方程的解． 22．（7分）定义：若代数式A和代数式B满足（n为正整数），则称A是B的n阶关系式．例如：，我们就称是的1阶关系式． 根据上述知识，解答以下问题： (1)是的 阶关系式； (2)若是的3阶关系式，求x 的值； (3)若关于a，b（，m，n为整数）的代数式是的k 阶关系式，求k 的值． 23．（7分）学校装修录播教室需用型板材块、型板材块，型板材规格是，型板材规格是，现只能购得规格是的标准板材，一张标准板材尽可能多地裁出型、型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的裁剪示意图） 若所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁张、按裁法二与裁法三分别裁若干张，且所裁出的、两种型号的板材刚好够用． 裁法一 裁法二 裁法三 型板材块数 型板材块数 (1)上表中， ， ； (2)用含有的代数式分别表示裁法二与裁法三的张数； (3)问所购标准板材的总张数能不能为82张？若能，求出此时的的值；若不能，请说出理由． 24．（9分）数学课本上有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”小明同学解题过程如下： 解：原式 因为，所以原式． 小明同学把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简求值与解方程中应用极为广泛．请仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【尝试应用】 (1)已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，则______． (2)已知，当时，的值是2023；当时，的值是____． 【拓展提高】 (3)已知，，，求的值． (4)关于x的一元一次方程的解为，解关于y的一元一次方程． 25．（6分）材料题 问题背景 某水果加工厂收购了29吨黄桃，经市场预测，销售方式及利润如表： 销售方式 包装销售 制成罐头销售 每吨利润（万元） 0.4 0.6 加工能力 每天可包装5吨或制成罐头3吨（包装和加工前后质量不变），同一天内两种加工方式不可同时进行．部分制成罐头，其余进行直接包装售卖，并恰好7天完成． 公司费用 该加工厂计划将罐头运输到市场售卖．运输公司费用如下： 运输公司 运输单价 每吨装卸费 甲 每吨每千米5元 50元 乙 每吨每千米6元 30元 问题解决 (1)该工厂有多少吨黄桃制成罐头？ (2)若乙公司总费用比甲公司多243元，则水果加工厂到市场的距离为多少千米． 26．（9分）定义：数轴上有两点A，B，如果存在一点C，使得线段的长度是线段的长度的2倍，那么称点C为线段的“友好点”． (1)如图①，若数轴上A，B两点所表示的数分别是，，点C为线段上一点，且点C为线段的“友好点”，则点C表示的数为______； (2)如图②，若数轴上A，B两点所表示的数分别是，，点C为数轴上一点，若点C为线段的“友好点”，则点C表示的数为_______； (3)如图③，若数轴上点A表示的数是，点C表示的数是，若点C为线段的“友好点”，则点B表示的数为________； (4)如图④，若数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，动点P从点A出发以每秒个单位的速度向右匀速运动，设运动的时间为t秒． 当t为何值时，点P是线段的“友好点”． 27．（10分）每年月日至月日为我国个人所得税综合所得年度汇算清缴期．开展个税汇算，有利于纳税人准确计算全年实际应纳个人所得税，通过专项附加扣除（子女教育、赡养老人、住房贷款利息等）依法享受税收优惠，多退少补，切实维护纳税人合法权益，促进税负公平． 材料一：全年应纳税所得额全年税前综合收入（不包括三险一金，且后文中的提到税前综合收入均不包括三险一金）元（基本减除费用）专项附加扣除．应纳税额全年应纳税所得额适用税率速算扣除数． 居民个人综合所得税率表（部分） 全年应纳税所得额 税率（） 速算扣除数 不超过元的 超过元至元的 超过元至元的 居民全年一次性奖金税率表（部分） 全年一次性奖金 税率（） 速算扣除数 不超过元的 超过元至元的 超过元至元的 材料二：根据财政部的政策，至年月日之前，居民个人取得的全年一次性奖金可以选择并入当年的综合收入，也可以选择单独计算纳税．如果单独计算纳税，全年一次性奖金的税额计算公式为：全年一次性奖金应纳税额全年一次性奖金收入适用税率速算扣除数． 例如，小张全年税前综合收入为元，其中全年一次性奖金元，无专项附加扣除，若小张选择合并计税，则应纳税额元；若小张选择单独计税，则应纳税额元．材料三：为兼顾不同家庭的实际负担，个税设置专项附加扣除，其中子女教育专项附加扣除额度为元，夫妻可协商分配扣除额度，选择各，或者一方扣除． (1)小李全年税前综合收入为元，其中全年一次性奖金元，专项附加扣除有额度元，试通过计算，为小李选择纳税最少的计税方式． (2)应届本科毕业生小王，无专项附加扣除．经过对比，小王发现自己最优全年纳税额为元．已知其全年一次性奖金不低于元但不超过元，试问小王的税前年综合收入范围是多少？ (3)小陈、小丽夫妻有一女儿正在读初中，夫妻俩税前年综合收入均为万元，其中小陈全年一次性奖金元，小丽全年一次性奖金元，除子女教育外均无其他专项附加扣除．小丽觉得大家收入都相同，应该平摊子女教育的额度，但是小陈反对，认为自己全部扣除更加合理．从家庭综合收入的角度考虑，请你通过计算说明谁的方式更合理． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测(南京专用) 第四章 一元一次方程 建议用时：100分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．下列各式中，属于方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以方程的定义为依据，从是否含未知数、是否为等式两个角度判断各选项． 【详解】解：A、是等式，但不含未知数，不是方程，不符合题意； B、不是等式，不是方程，不符合题意； C、含有未知数，但不是等式，不是方程，不符合题意； D、既含有未知数，又是等式，是方程，符合题意． 2．运用等式的性质变形正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】根据等式的性质逐项判断变形是否正确即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故该选项错误； B．如果，等式两边同乘a，则，故该选项错误； C．如果，且时，则，故该选项错误； D．∵， ∴， ∴，故该选项正确． 3．下列方程变形中，正确的是（     ）． A．方程，系数化1，得； B．方程，移项，得； C．方程，去括号，得； D．方程，去分母，得 【答案】B 【详解】解：A选项，方程，系数化为1得，原变形错误； B选项，方程，移项得，原变形正确； C选项，方程，去括号得，原变形错误； D选项，方程，去分母得，原变形错误. 4．我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】抓住总人数不变的等量关系列方程． 【详解】解：设车有辆． 每车坐3人且两车空时，总人数为． 每车坐2人且9人无车坐时，总人数为． 由总人数相等得． 5．解方程，以下去分母正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分母2和3的最小公倍数为6，去分母时需方程两边每一项同乘6，不可漏乘常数项． 【详解】解：方程两边同乘以6， 得． 6．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用换元思路，通过变形第一个方程，使两个方程结构一致，得到与的对应关系，结合已知的解即可求出的值． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为 将方程变形，把改写为，把改写为， 代入原方程得 两边同时加，得 对比关于的方程， 可得 ∵ ∴． 7．如图，一个长方形内部恰好能用一些大小不等的正方形纸片、、铺满（每两个正方形纸片之间既不重叠，也无空隙），如果长方形的周长为，那么正方形纸片的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正方形纸片的边长为，由图形可知，正方形纸片、的边长为和，根据长方形的周长为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设正方形纸片的边长为，由图形可知，正方形纸片、的边长为和， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴正方形纸片的面积为． 8．记，，称为，，…，这列数的“理想数”．已知，，…，的“理想数”为2026，若在前面添加一个数，得到新的一列数，，，…，的“理想数”仍为2026，则的值为（     ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据题意得出，，然后建立方程求解即可． 【详解】解：根据题意得： ∴， ∵在前面添加一个数，得到新的一列数，，，…，的“理想数”仍为2026， ∴， ∴， 解得． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9．已知是关于的方程的解，则式子的值为______． 【答案】2022 【分析】把方程的解代入原方程，经过变形得到的整数值，再整体代入代数式求值． 【详解】解：将代入方程： ， ， 移项：， ． 10．把方程变形为用含有的式子表示，得_____________． 【答案】 【详解】解： ∴ 11．关于的一元一次方程的解是______． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义，可得二次项系数为，一次项系数不为，先求出的值，再代入原方程求解即可． 【详解】解：方程是关于的一元一次方程， ，且， 解得，且， ， 将代入原方程得：， 解得， 即关于的一元一次方程的解是． 12．若关于x的方程和有相同的解，则______． 【答案】8 【分析】先解不含参数的一元一次方程得到的值，再代入含参数的方程即可求出． 【详解】解：解方程， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， 两个方程有相同的解， 把代入，得． 13．已知实数，满足，，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据绝对值的意义可求出的值，进而求出的值，即可得解． 【详解】解：对于， 当时，原式可化为，解得； 当时，原式可化为，无解； 将代入，得 ， 解得； 当时，； 当时，； 综上所述，． 14．若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“奇异方程”．如：的解为，则方程是“奇异方程”．若关于的一元一次方程是“奇异方程”，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据“奇异方程”的定义得到方程的解，再将解代入原方程得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：关于的一元一次方程是“奇异方程”， 根据定义可得方程的解， 将代入原方程得： ， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 15．如图中的长方形被分割成6个正方形，中央的最小正方形的边长为，则长方形的面积是______． 【答案】1287 【分析】设正方形的边长为，根据图形和题干条件中央的最小正方形的边长为，可以依次表示正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，进而可以用字母表示长方形的边长，由矩形的对边相等，得到等量关系，最后求解面积即可． 【详解】解：设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， 由题意得，， 解得，， 所以，． 16．阅读以下内容： 我们已经学习过了分数的拆分，例如，…， 通过分数的拆分，我们也能进行一些简便运算，例如： 通过分数的拆分，可以使计算变得更简便． 类似地，解方程，这个方程的解是________． 【答案】 【分析】先提取后，根据题目信息拆分方程左边各项，抵消中间项，将原方程化简为一元一次方程求解． 【详解】解： ． 17．为了庆祝劳动节，宣扬劳动光荣的中华民族优秀传统，某网店为了吸引顾客，推出下列优惠措施，受到顾客的好评．优惠措施如下： 购物款不超过200元不享受优惠； 购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠； 购物款超过600元一律享受八折优惠， 某顾客第一次从该网店购物花了168元人民币，第二天又花了423元从该网店购物，如果该顾客一次性购买以上商品，可以节省_____元 【答案】80.6 【分析】先确定第一次购物的原价，再确定第二次购物的原价，分、两种情况分别计算出购买的实际款数，然后计算两次购物原价总和，判断总和对应的优惠档位，按照对应折扣算出一次性购买的应付款，用两次分开购买的总付款减去一次性购买的应付款，得到节省的金额． 【详解】解：（1）第一次购物显然没有超过200元，即在第一次消费168元的情况下，他的实质购物价值只能是168元． （2）第二次购物消费423元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）： ①第一种情况：他消费超过200元但不足600元，这时候他是按照9折付款的． 设第二次实质购物价值为，那么依题意有， 解得：． ②第二种情况：他消费超过600元，这时候他是按照8折付款的． 设第二次实质购物价值为，那么依题意有， 解得：（舍去） 即在第二次消费423元的情况下，他的实际购物价值可能是470元． 综上所述，他两次购物的实质价值为（元），超过了600元． 因此一次性购买可以按照8折付款：（元），（元） 综上所述，他可以节省80.6元． 18．已知数轴上两点、对应的数分别为3、9，在数轴上有另外一点，当点到、两点的距离之差的绝对值为3时，则点表示的数是_________． 【答案】或 【分析】设点表示的数为，根据距离之差为，分两种情况列绝对值方程，分类讨论去掉绝对值符号即可求解． 【详解】解：设点表示的数为，分两种情况讨论： 情况1：点到、两点的距离之差为， ． 当时： ，， ，此情况无解； 当时： ，， ， 解得； 当时： ，， ，此情况无解； 情况2： 点到、两点的距离之差为， ． 当时： ，， ，此情况无解； 当时： ，， ， 解得； 当时： ，， ，此情况无解； 综上，点表示的数是或． 三、解答题（共9小题，共64分） 19．（6分）解方程 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 20．（5分）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小萌同学的解题过程： 解：去分母(方程两边乘12)，得① 去括号，得② 移项，得③ 合并同类项，得④ 系数化为1，得⑤ (1)以上求解步骤中，第一步的依据是 ． (2)上述小萌的解题过程从第 步开始出现错误． (3)请帮小萌改正错误，写出完整的解题过程． 【答案】(1)等式的性质2 (2)一 (3)完整的解题过程． 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 【分析】（1）根据等式的性质回答即可； （2）根据解一元一次方程的一般步骤逐步判断即可； （3）根据解一元一次方程的一般步骤求解即可． 【详解】（1）解：第一步方程左右两边乘12，依据是等式的性质2； （2）解：上述小萌的解题过程从第一步开始出现错误，错误原因是漏乘12； （3）略 21．（5分）已知与关于x的方程有相同的解． (1)求k的值． (2)直接写出方程的解． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先解方程求出的值，再把的值代入方程中求出的值即可； （2）方程变成，解方程即可求解． 【详解】（1）解：解方程得：， ∵方程与关于x的方程的解相同， ∴是关于x的方程的解， ∴， 解得； （2）解：当时， 方程为， 去分母得， 去括号得， 移项合并得， 解得． 22．（7分）定义：若代数式A和代数式B满足（n为正整数），则称A是B的n阶关系式．例如：，我们就称是的1阶关系式． 根据上述知识，解答以下问题： (1)是的 阶关系式； (2)若是的3阶关系式，求x 的值； (3)若关于a，b（，m，n为整数）的代数式是的k 阶关系式，求k 的值． 【答案】(1)7 (2) (3) 【分析】（1）计算两式的差，根据n阶关系式的定义直接得到阶数； （2）根据3阶关系式的定义列方程，求解x的值； （3）根据k阶关系式的定义列等式，令含a，b的项系数为0，求m，n后计算k的值． 【详解】（1）解：∵， ∴是的7阶关系式； （2）解：根据题意，得 ， 去分母，得， 整理，得， 解得 ； （3）解： 由题意得：， 整理得：， ∵k为固定正整数，与a，b的取值无关，且， ∴含a，b的项的系数均为0，即且， 解得， 将，代入，得， 综上所述，． 23．（7分）学校装修录播教室需用型板材块、型板材块，型板材规格是，型板材规格是，现只能购得规格是的标准板材，一张标准板材尽可能多地裁出型、型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的裁剪示意图） 若所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁张、按裁法二与裁法三分别裁若干张，且所裁出的、两种型号的板材刚好够用． 裁法一 裁法二 裁法三 型板材块数 型板材块数 (1)上表中， ， ； (2)用含有的代数式分别表示裁法二与裁法三的张数； (3)问所购标准板材的总张数能不能为82张？若能，求出此时的的值；若不能，请说出理由． 【答案】(1)0，3 (2)裁法二的张数为；裁法三的张数： (3)解：不能，理由如下： 依题意，， 解得． 当时，， 故所购标准板材的总张数不能为张． 【分析】（1）根据标准板材的规格和型、型板材的规格即可解答； （2）设按裁法二裁张、按裁法三裁张，根据共需用型板材块、型板材块，可得，，然后整理可得结果； （3）根据三种裁剪方法共用板材张列方程求解即可． 【详解】（1）解：按裁法二裁剪时，块型板材的长为，，所以无法裁出型板， 按裁法三裁剪时，块型板材的长为，， 而块型板材的长为，所以无法裁出块型板； ∴，； （2）解：设按裁法二裁张、按裁法三裁张． ∵共需用A型板材块、B型板材块， ∴，， ∴，， 即裁法二的张数为；裁法三的张数：； （3）略 24．（9分）数学课本上有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”小明同学解题过程如下： 解：原式 因为，所以原式． 小明同学把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简求值与解方程中应用极为广泛．请仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【尝试应用】 (1)已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，则______． (2)已知，当时，的值是2023；当时，的值是____． 【拓展提高】 (3)已知，，，求的值． (4)关于x的一元一次方程的解为，解关于y的一元一次方程． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）利用相反数和倒数的意义求得的值，代入运算即可； （2）根据题意可得，而时，原式，再利用整体代入的方法解答即可； （3）去掉括号后，重新分组，再利用整体代入的方法解答即可； （4）利用换元的思想方法将看成即可得出结论． 【详解】（1）解：∵a，b互为相反数， ， 互为倒数， ， ； （2）解：当时，的值是2023， ， ， 当时， ； （3）解： ∴ ； （4）解：设， 则方程可化为方程， 关于x的一元一次方程的解为， ∴关于m的一元一次方程的解为， ， ． 25．（6分）材料题 问题背景 某水果加工厂收购了29吨黄桃，经市场预测，销售方式及利润如表： 销售方式 包装销售 制成罐头销售 每吨利润（万元） 0.4 0.6 加工能力 每天可包装5吨或制成罐头3吨（包装和加工前后质量不变），同一天内两种加工方式不可同时进行．部分制成罐头，其余进行直接包装售卖，并恰好7天完成． 公司费用 该加工厂计划将罐头运输到市场售卖．运输公司费用如下： 运输公司 运输单价 每吨装卸费 甲 每吨每千米5元 50元 乙 每吨每千米6元 30元 问题解决 (1)该工厂有多少吨黄桃制成罐头？ (2)若乙公司总费用比甲公司多243元，则水果加工厂到市场的距离为多少千米． 【答案】(1)该工厂有9吨黄桃制成罐头 (2)水果加工厂到市场的距离为47千米 【分析】（1）设该工厂有x吨黄桃制成罐头，构造方程即可求解； （2）设加工厂到市场的距离为y千米，构造方程即可求解． 【详解】（1）解：设该工厂有x吨黄桃制成罐头，则吨进行直接包装， 根据题意得： 解得： 答：该工厂有9吨黄桃制成罐头， （2）解：设加工厂到市场的距离为y千米， 根据题意得： 解得： 答：水果加工厂到市场的距离为47千米． 26．（9分）定义：数轴上有两点A，B，如果存在一点C，使得线段的长度是线段的长度的2倍，那么称点C为线段的“友好点”． (1)如图①，若数轴上A，B两点所表示的数分别是，，点C为线段上一点，且点C为线段的“友好点”，则点C表示的数为______； (2)如图②，若数轴上A，B两点所表示的数分别是，，点C为数轴上一点，若点C为线段的“友好点”，则点C表示的数为_______； (3)如图③，若数轴上点A表示的数是，点C表示的数是，若点C为线段的“友好点”，则点B表示的数为________； (4)如图④，若数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，动点P从点A出发以每秒个单位的速度向右匀速运动，设运动的时间为t秒． 当t为何值时，点P是线段的“友好点”． 【答案】(1)2 (2)或2 (3)或 (4)t的值是或4，点P是线段的“友好点” 【分析】（1）将点表示的数设出来，利用“数轴上两点之间的距离数轴上右边的数数轴上左边的数”将表示出来，根据“友好点”的定义计算即可； （2）将点表示的数设出来，利用“数轴上两点之间的距离数轴上右边的数数轴上左边的数”将表示出来，根据点在线段上或者在线段的延长线上两种情况分类讨论，再根据“友好点”的定义计算即可； （3）将点表示的数设出来，利用“数轴上两点之间的距离数轴上右边的数数轴上左边的数”将表示出来，根据点在线段上或者在线段的延长线上两种情况分类讨论，再根据“友好点”的定义计算即可； （4）根据题意，将点表示出来，利用“数轴上两点之间的距离数轴上右边的数数轴上左边的数”将表示出来，根据点在线段上或者在线段的延长线上两种情况分类讨论，再根据“友好点”的定义计算即可． 【详解】（1）解：根据“友好点”的定义可知，， 设点表示的数为， ∵点C为线段上一点，数轴上A，B两点所表示的数分别是，， ∴， ∴， ∴，解得， ∴点表示的数为； （2）解：根据“友好点”的定义可知，， 设点表示的数为， ∵点C为数轴上一点，且，数轴上A，B两点所表示的数分别是，， ∴点在线段上或在线段的延长线上； 当点在线段上时， ，则，解得； 当点在线段的延长线上时， ，则，解得； 综上所述，点表示的数为或． （3）解：根据“友好点”的定义可知，， 设点表示的数为， ∵数轴上点A表示的数是，点C表示的数是， 当点在线段上时，， 则，解得； 当点在线段的延长线上时，， 则，解得； 综上所述，点表示的数为或． （4）解：∵动点P从点A出发以每秒个单位的速度向右匀速运动，点A表示的数是， ∴点所表示的数为， ∵点是线段的“友好点”，点B表示的数是， ∴当点在线段上时， ， ∴，解得； 当点在线段延长线上时， ， ∴，解得； 综上所述，t的值是或4，点P是线段AB的“友好点”． 27．（10分）每年月日至月日为我国个人所得税综合所得年度汇算清缴期．开展个税汇算，有利于纳税人准确计算全年实际应纳个人所得税，通过专项附加扣除（子女教育、赡养老人、住房贷款利息等）依法享受税收优惠，多退少补，切实维护纳税人合法权益，促进税负公平． 材料一：全年应纳税所得额全年税前综合收入（不包括三险一金，且后文中的提到税前综合收入均不包括三险一金）元（基本减除费用）专项附加扣除．应纳税额全年应纳税所得额适用税率速算扣除数． 居民个人综合所得税率表（部分） 全年应纳税所得额 税率（） 速算扣除数 不超过元的 超过元至元的 超过元至元的 居民全年一次性奖金税率表（部分） 全年一次性奖金 税率（） 速算扣除数 不超过元的 超过元至元的 超过元至元的 材料二：根据财政部的政策，至年月日之前，居民个人取得的全年一次性奖金可以选择并入当年的综合收入，也可以选择单独计算纳税．如果单独计算纳税，全年一次性奖金的税额计算公式为：全年一次性奖金应纳税额全年一次性奖金收入适用税率速算扣除数． 例如，小张全年税前综合收入为元，其中全年一次性奖金元，无专项附加扣除，若小张选择合并计税，则应纳税额元；若小张选择单独计税，则应纳税额元．材料三：为兼顾不同家庭的实际负担，个税设置专项附加扣除，其中子女教育专项附加扣除额度为元，夫妻可协商分配扣除额度，选择各，或者一方扣除． (1)小李全年税前综合收入为元，其中全年一次性奖金元，专项附加扣除有额度元，试通过计算，为小李选择纳税最少的计税方式． (2)应届本科毕业生小王，无专项附加扣除．经过对比，小王发现自己最优全年纳税额为元．已知其全年一次性奖金不低于元但不超过元，试问小王的税前年综合收入范围是多少？ (3)小陈、小丽夫妻有一女儿正在读初中，夫妻俩税前年综合收入均为万元，其中小陈全年一次性奖金元，小丽全年一次性奖金元，除子女教育外均无其他专项附加扣除．小丽觉得大家收入都相同，应该平摊子女教育的额度，但是小陈反对，认为自己全部扣除更加合理．从家庭综合收入的角度考虑，请你通过计算说明谁的方式更合理． 【答案】(1)选择合并计税方式纳税最少； (2)小王的税前年综合收入不低于元，不高于元； (3)小陈的方式更合理． 【分析】本题考查了有理数运算的应用，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题干给出的应纳税额计算公式，分类计算不同方案的总纳税额，通过比较大小得到最优结果； （）设小王全年一次性奖金为，税前年综合总收入为，分类计算不同方案的总纳税额， 从而计算满足，即小王的税前年综合收入不低于元，不高于元； （）根据题干给出的应纳税额计算公式，分类计算不同方案的总纳税额，通过比较大小得到最优结果． 【详解】（1）解：分别计算两种计税方式的总应纳税额，再比较大小， 合并计税：全年应纳税所得额（元）， ∵， ∴适用税率，速算扣除数，则应纳税额（元）， 单独计税：综合部分应纳税所得额（元），综合部分应纳税额为，全年一次性奖金元，适用税率，速算扣除数，奖金应纳税额（元）， 总应纳税额（元）， 因为， 所以合并计税纳税更少， 答：选择合并计税方式； （2）解：设小王全年一次性奖金为，税前年综合总收入为， 单独计税时，奖金应纳税额为，综合部分应纳税所得额为， 当时，， 总应纳税额满足：， 整理得，代入的范围得， 当时，， 总应纳税额满足：， 整理得，解得， 综上，小王税前年综合收入满足， 答：小王的税前年综合收入不低于元，不高于元； （3）解：子女教育总扣除额度为元，分别计算两种扣除方式的家庭总纳税额： 第一种：平摊扣除，两人各扣除元， 计算小陈税额：小陈总收入元，奖金元，工资部分元，综合部分应纳税所得额（元）， 综合税额（元）， 奖金税额（元）， 小陈总税额（元）， 计算小丽税额：小丽总收入元，奖金元，工资部分元， 综合部分应纳税所得额（元）， 综合税额（元）， 奖金税额（元）， 小丽总税额（元）， 家庭总税额（元）； 第二种：小陈全额扣除元，小丽不扣除， 计算小陈税额： 综合部分应纳税所得额（元）， 综合税额（元）， 奖金税额（元）， 小陈总税额（元）， 计算小丽税额：综合部分应纳税所得额（元）， 综合税额（元）， 奖金税额（元）， 小丽总税额（元）， 家庭总税额（元）， 因为， 所以小陈的方式下家庭总纳税额更少， 答：小陈的方式更合理． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $