专题02 二次函数（期中真题汇编，云南专用）九年级数学上学期

**基本信息** 聚焦二次函数核心考点，整合云南多地期中真题，覆盖概念、图象性质、方程关联及实际应用，基础与综合题梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约60题|二次函数概念、y=ax²等三种形式图象性质、顶点坐标、平移规律|以云南地域情境设题，如昭通苹果销售、建水紫陶利润问题，强化应用意识| |解答题|约20题|解析式求解、最值计算、存在性探究、与几何结合|综合题融合“降次代换”等数学方法，注重逻辑推理与模型构建，匹配期中能力考查要求|

专题02 二次函数 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．A 2．D 3．C 4．C 5．B 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．A 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．C 2．A 3．A 4．C 5．A 6．D 7．C 8．D 9．D 10．D 11．C 12．C 13．A 14．C 15．A 16．B 17．C 18．B 19．A 20．C 21．C 22．A 23．D 24．C 25．D 26．B 27．A 28．A 29．A 30．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的顶点式，熟练掌握顶点式中顶点坐标为是解题的关键． 根据二次函数顶点式的结构特征，直接确定顶点坐标． 【详解】 解：二次函数顶点式为，其顶点坐标为． 对于，其中，． 所以二次函数图象的顶点坐标为， 故答案为：． 31．【答案】 【分析】 根据抛物线的顶点坐标是，即可求解． 【详解】 解：∵抛物线， ∴该抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握的顶点坐标是是解题的关键． 32．【答案】 【分析】 此题考查了二次函数的性质，掌握其性质是解题的关键． 利用二次函数性质求二次函数的顶点坐标即可． 【详解】 解：∵二次函数解析式为， ∴顶点坐标是， 故答案为：． 33．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的顶点式，解题关键是运用了顶点式，得到顶点坐标是． 【详解】 解：二次函数顶点坐标为， 故答案为：． 34．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】 解：将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位所得抛物线的解析式是 故答案为：． 35．【答案】x＝2． 【详解】∵点A(1,0),B(3,0)的纵坐标相等， ∴A、B两点是抛物线上的两个对称点， ∴对称轴是直线x==2.故答案为x=2. 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．D 2．B 3．B 4．D 5．D 6．C 7．C 8．D 9．C 10．C 11．A 12．B 13．D 14．A 15．D 16．C 17．B 18．B 19．D 20．C 21．B 22．D 23．C 24．【答案】（1）该二次函数的解析式为     （2）点在该二次函数的图象上      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标特征利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）将点，的坐标代入，利用待定系数法即可求出该二次函数的解析式； （2）将代入二次函数解析式中求出y值，结合二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论． (1) 小问详解： 解：二次函数的图象经过点，， ， 解得： ， ∴该二次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：当时，， ∴点在该二次函数的图象上． 25．【答案】（1） 如图： … 0 1 2 3 … … 0 0 … （2）；（3） 【分析】 本题主要考查的是抛物线的顶点式，画二次函数的图象，二次函数的性质等知识，掌握以上知识、利用数形结合的方法解题是关键． （1）在对称轴的两侧取两组对称点，列表，然后描点、连线即可； （2）在对称轴的右侧符合题意，从而可得答案； （3）通过图象进而可以判断得解． 【详解】 解：（1）略    （2）∵ 开口向上；对称轴为：； ∴当时，随的增大而增大 故答案为： （3）当时，由图象可知函数的取值范围为：；                                                                          故答案为：． 26．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，将二次函数一般式化为顶点式，熟练掌握知识点是解题的关键． 先将一般式化为顶点式，判断出抛物线的对称轴和开口方向，再根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】 解：∵二次函数 ，， ∴当时，函数取得最大值4，对称轴为直线， ∵，且， ∴当时，此时函数取得最小值． ∴当时，函数值y的取值范围是． 故答案为：． 27．【答案】2 【分析】 本题考查了二次函数的定义，二次函数的性质等知识．根据二次函数的定义得到，解得，根据二次函数有最小值，得到需开口向上，，即可求出，问题得解． 【详解】 解：∵函数是二次函数， ∴， 解得， ∵函数有最小值， ∴， ∴． 故答案为：2 28．【答案】（1）     （2）     （3）存在，点P的横坐标为或或      【分析】 本题主要考查二次函数的性质和平行四边形的性质， （1）利用待定系数法求得二次函数解析式即可得知 （2）根据解析式可得顶点的坐标；第一问求得直线解析式，可求得的长． （3）根据题意设和，根据平行四边形的性质分类讨论即可求得答案． (1) 小问详解： 解：将代入得： ， 解得：， (2) 小问详解： 由（1）可得抛物线解析式为 ∵ ∴顶点， 当时， 解得：，， ∴， 当时，， ∴， 设直线解析式为， 将、代入得： ， 解得： ， ∴直线解析式为， 当时，， ∴， ∴； (3) 小问详解： 存在． ∵抛物线解析式为，直线解析式为， 设，，则 分类讨论： ① 当点在点下方时， ， 解得：，， ② 当点在点上方时 ， 解得：（舍去），， 综上所述，点P的横坐标为或或． 29．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了二次函数的性质、分式的化简求值、代数式求值等知识点，掌握降幂思想是解题的关键． （1）根据二次函数的性质求解即可； （2）根据二次函数图象的性质可得，易得且；再将，，再代入化简即可． (1) 小问详解： 解：抛物线的对称轴方程为． (2) 小问详解： 解：∵点在抛物线上， ，即：， ∴， ， ∴且， ， ， ． 30．【答案】（1）；     （2）3．      【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的对称性，用待定系数法求二次函数的解析式，理解抛物线是轴对称图形是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）先求出点的坐标，再根据对称性求出点的坐标，最后根据三角形的面积公式直接求解即可． 【详解】 解：（1）抛物线经过点和点， 抛物线的解析式为：； （2）， 点的坐标为，对称轴为， 点是点关于对称轴对称的点， 点的坐标为， ， . 31．【答案】（1）     （2）存在，      【分析】 本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可解决问题． （2）根据轴对称的性质，连接交对称轴于点，连接，此时的周长最小． 据此可解决问题． (1) 小问详解： ∴二次函数的图象经过、两点． ∴ 解得： ∴二次函数的解析式为： (2) 小问详解： 解：存在，理由如下： ∵点，抛物线的对称轴是， ∴点关于对称轴的对称点的坐标为， 连接交对称轴于点，连接，此时的周长最小． 设直线的解析式为，把和代入得： 解得 ∴， ∵点的横坐标为， ∴， ∴点的坐标为 32．【答案】（1）     （2）或      【分析】 本题考查的是抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，熟悉函数与坐标轴的交点坐标的求法是解决问题的关键． （1）根据抛物线对称轴得，再利用待定系数法求解即可； （2）根据，可得出点C的纵坐标，根据面积公式从而可以求得点C的坐标． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与x轴交于A、两点，对称轴是直线， ∴， 将，代入抛物线得 ， 解得 ， 抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：∵，， ， ∵， 的纵坐标应为5， 把代入函数得， 解得，， 点C的坐标为或． 33．【答案】（1）-7     （2） 对于抛物线，其一般形式为（这里，为一次项系数，为常数项），根据判别式公式，可得： 因为， 所以，即． 所以抛物线与轴总有两个交点．     （3）或3      【分析】 本题考查了二次函数的求值、与轴交点的判别以及在区间内的最值问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，分情况讨论区间与对称轴的位置关系来确定最值． （1）将，直接代入抛物线方程，按照运算顺序计算即可求出的值． （2）通过计算抛物线的判别式，将其变形为完全平方式加正数的形式，利用完全平方式的非负性证明，从而得出抛物线与轴总有两个交点． （3）首先利用抛物线的对称性求得对称轴为直线，进而求得，即可求得抛物线为，然后分4种情况，当时，即，，解得，当时，，解得，当时，函数的最小值是，函数的最大值，不符合题意；当时，函数的最小值是，函数的最大值，不符合题意． (1) 小问详解： 当，时， (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 点，点是该抛物线上两点， 抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上， ， ， ， 当时，， 当时，，当时，， 当时，即，此时函数的最小值是，函数的最大值， ， 解得：， 当时，此时函数的最小值是，函数的最大值， ， 解得：， 当时，函数的最小值是，函数的最大值， ， 解得：，但，所以这两个解都不符合要求，舍去．； 当时，函数的最小值是，函数的最大值， ， 解得：(舍去)或(舍去)； 综上所述：或． 34．【答案】（1），4，12     （2）      【分析】 本题考查的是二次函数的图象和性质．掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）由表格数据知，顶点坐标为，根据函数关于抛物线的对称轴对称，即可求解； （2）由待定系数法即可求解； (1) 小问详解： 解∶由表格数据知，顶点坐标为， 因为二次函数图象关于对称轴对称，对称轴为， 已知时，时， 所以， 解得． 同理，与关于对称，时， 所以； 故答案为；，4，12． (2) 小问详解： 设二次函数的表达式为， 把，代入得： ，即， 解得． 所以二次函数的表达式为． 35．【答案】（1）     （2）开口向上，对称轴：，顶点坐标为     （3） 解：∵二次函数的开口向上， 顶点坐标为，与轴的交点为，对称轴为直线，与轴的交点坐标为，则关于对称轴对称的点坐标为，然后在平面直角坐标系里描出这五个点，进而用圆滑的曲线连接即可，如图示： ．      【分析】 （1）利用配方法即可化成顶点式； （2）由（1）可直接进行解答； （3）由（2）及五点法进行作图即可． 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及五点法作图是解题的关键． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解：∵， ∴二次函数的图象开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线； (3) 小问详解： 略 36．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次函数解析式的求解和图象性质： （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的对称性知A关于对称轴对称的点为B，则，，当B、P、C三点共线，取最小值．求出直线的表达式，求出与抛物线对称轴的交点即为P． (1) 小问详解： 解：将代入，得 ， 解得， 抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解：由题可知，A关于对称轴对称的点为B，则， ∴， 当且仅当B、P、C三点共线时，等号成立， 即当B、P、C三点共线时，的最小值为， 设直线为， 将代入，得 ， 解得 ， ∴直线为， 当时，， ∴P的坐标为． 37．【答案】（1）2     （2）2025或2007      【分析】 本题考查了二次函数的性质，以及代数式求值，解题的关键在于熟练掌握二次函数的性质． （1）将点代入抛物线解析式求解，即可解题； （2）把代入函数解析式得得到，，再分两种情况① 若与不重合，② 若与重合，求出的值，最后将，，以及的值代入式子求解，即可解题． (1) 小问详解： 解：∵抛物线经过点， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：把代入函数解析式得， 整理得：， ∴， ∴， ① 若与不重合， 则，解得：， ∴ ； ② 若与重合，则， ∴ ． 38．【答案】（1）      （2）       【分析】 本题考查了二次函数解析式的求解及代数式的求值，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用对称轴和点的坐标求解析式即可； （2）利用抛物线与轴的交点方程，通过代数变形整体代入求值． (1) 小问详解： 解：抛物线经过点， 代入得，即， 又当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 对称轴为即， ， 该抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：是抛物线与轴交点的横坐标， ， 两边除以得， ， 方程两边除以得，即， ， ， ， ． 39．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的增减性、对称轴，熟练掌握二次函数的增减性是解答本题的关键． 根据二次函数的增减性解答即可． 【详解】 解：抛物线的图象开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 40．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）直接观察图象即可得出结果； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）图象法求出的取值范围即可． (1) 小问详解： 解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线， 当时，随x的增大而减小； 故答案为：； (2) 小问详解： 设抛物线的解析式为， 把，，代入，得 ，解得 ， ∴； (3) 小问详解： ∵， ∴当时，； 由图象可知：当时，． 41．【答案】（1），，，     （2）     （3）存在，或或或      【分析】 本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）对于，当时，，可求出点C的坐标；令，则或3，可求出A和B的坐标；化为顶点式可求出点M的坐标； （2）点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，则点P为所求点，即可求解； （3）由，则，即可求解． (1) 小问详解： 解：对于， 当时，， ∴． 令，则 解得：或3， ∴，． ∵， ∴ (2) 小问详解： 解：点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，则点P为所求点， 由（1）点， 设直线的表达式为：， 则， 解得：， ∴直线的表达式为：， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， 即点； (3) 小问详解： 解：存在，理由： 由（1）可知点， ∵，则， ∴，即， 解得：或， ∴点Q的坐标为：或或或． 42．【答案】（1）顶点坐标为，对称轴为直线     （2）函数图像与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为或；     （3） 函数图像如图所示：       （4）      【分析】 此题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）根据二次函数的性质，即可求解； （2）令和，解方程求解即可； （3）列表，描点，连线即可； （4）根据函数图像，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵二次函数， ∴该函数图像的顶点坐标为，对称轴为直线； (2) 小问详解： 解：将代入函数，则， ∴函数图像与y轴的交点坐标为； 令， 解得， ∴函数图像与x轴的交点坐标为或； (3) 小问详解： 解：列表如下： 描点，连线作出图形的图像略； x …… …… y …… …… (4) 小问详解： 解：当时，y随x的增大而减小． 43．【答案】（1）此抛物线的解析式为；     （2）点或．      【分析】 本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数图像的性质，解决此题的关键是运用二次函数图像的对称性求出的长度； （1）运用待定系数法求出二次函数的解析式即可； （2）先运用二次函数图像的对称性求出A的坐标，再根据三角形的面积公式得到点C的纵坐标，进而得到点C的坐标即可解决问题； (1) 小问详解： 解：由题意可得： ， 解得： ， ∴此抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：由题可知点、两点关于对称轴直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线顶点为， 设点的纵坐标为， ∵， ∴， 解得， ∴， 令， 解得， ∴点或． 44．【答案】（1）顶点坐标为     （2） 解：不存在，理由如下： 由（1）可知抛物线的顶点坐标为 ，解得 ∴该抛物线的解析式为． ∵抛物线与轴的左右交点分别为点、点 令，解得或 ， ． ∵点在抛物线的对称轴上， ∴设点的坐标为． 又∵点关于对称轴对称， ． 的周长为， 又， 的周长为， ∴当时，的周长最小，此时点的坐标为， 又∵点在轴上，不能构成三角形， ∴不存在点，使的周长最小．     （3）点的坐标为或或或      【分析】 本题主要考查了平移的性质、二次函数的综合题、勾股定理、轴对称的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据平移的定义即可解答； （2）由（1）可知抛物线的顶点坐标为，据此列方程组可得 ，即该抛物线的解析式为；再求得即．易得当时，的周长最小，此时点的坐标为，但此时不能构成三角形，据此即可解答； （3）如图，设的坐标为，易得，、，然后分、、三种情况，分别利用勾股定理列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线向下平移4个单位长度后，其顶点坐标为， ∴抛物线的顶点坐标为． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，设的坐标为， 由勾股定理得，，，， 此时分三种情况考虑： ① 当时，有，即，解得：， ∴点的坐标为； ② 当时，有，即，解得：， ∴点的坐标为或； ③ 当时，有，即，解得：， ∴点的坐标为； 综上所述，当是直角三角形时，点的坐标为或或或． 45．【答案】（1）     （2）2     （3）或或      【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质． （1）把点代入解析中即可得c的表达式； （2）由解析式可求出对称轴为直线，点利用对称性可得点，最后利用两点间距离公式列方程即可求解a的值； （3）分以下几种情况讨论：① 当时，若抛物线的顶点在线段上，则，解得； 当时，，满足抛物线与线段只有一个交点，即， ② 当时，当时，，满足抛物线与线段只有一个交点，即，综合以上所有情况即可得到a的取值范围． (1) 小问详解： 解：把点代入中，得， 解得； (2) 小问详解： 由（1）得， 抛物线的对称轴为直线， 点 抛物线与轴交于点C， 点 ， ， 解得（开口向上，负值舍去）， 的值为； (3) 小问详解： 分以下几种情况讨论： ① 当时， 若抛物线的顶点在线段上， 则，解得； 当时，，满足抛物线与线段只有一个交点． 即， ， ② 当时， 当时，，满足抛物线与线段只有一个交点， 即， ， 综上所述，a的取值范围为或或 46．【答案】（1）2     （2）     （3）或      【分析】 本题考查了二次函数的性质、分式化简求值，等式的性质． （1）把直接代入函数解析式即可求解； （2）当时函数解析式为，即可得到当时，y有最小值，最小值为； （3）根据，得到或，当时求出，代入得到；当时，得到，，整体代入，再变形求解得到． (1) 小问详解： 解：当时，； (2) 小问详解： （2）当时，， ∵， ∴当时，y有最小值，最小值为； (3) 小问详解： 解：把，代入， 得， 即， ∴或， 当时，， ； 当时， ，方程有实数解， ∴，， ∴． 综上所述，T的值为或． 47．【答案】（1）     （2）     （3）存在，点P的坐标为或或或      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象和性质，求二次函数的解析式，二次函数和三角形面积的综合，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及其性质． （1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）设，根据，列出关于的二次函数，再利用二次函数的性质求解即可； （3）设，利用三角形面积公式，列出，再利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：将、、代入得 ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：如图，连接， 设， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，四边形面积最大，最大值为； (3) 小问详解： 解：存在，点P的坐标为或或或， 设， ∴， ∵， ∴，即， ∴或， ∴或， 解得或或或， 综上，点P的坐标为或或或． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．D 2．A 3．A 4．C 5．A 6．D 7．D 8．A 9．C 10．A 11．D 12．【答案】8 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线与轴的交点，掌握二次函数的性质是解题的关键 ．将点代入抛物线解析式即可求解． 【详解】 解：将点代入次函数得，， 解得，． 故答案为：8． 13．【答案】1 【分析】 此题考查了二次函数图象与一元二次方程根的关系，根据二次函数图象与一元二次方程的关系“二次函数图象与x轴的交点个数等于对应的一元二次方程根的个数，与x轴横坐标等于对应一元二次方程的解”，即可解答． 【详解】 解：∵二次函数的图象与x轴只有一个公共点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：1． 14．【答案】， 【分析】 本题考查了抛物线与轴的交点， 根据抛物线与轴的交点问题，通过解方程即可得到抛物线与轴的交点坐标． 【详解】 解：当时，，即， 解得，， 二次函数的图象与轴的交点坐标是，． 故答案为：，． 15．【答案】 【分析】 本题考查的是二次函数的定义，二次函数与x轴的交点问题，解题的关键在于掌握：的图象与x轴没有交点，即没有实数根． 结合二次函数的定义和一元二次方程根的判别式来解答． 【详解】 解：因为是二次函数，函数图象与x轴没有公共点， 所以 解得： 故答案为：． 16．【答案】或 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数与不等式的关系是解题的关键．由图象可知，求x轴上方图象所对的x的范围即可． 【详解】 解：令得， 解得， 二次函数的图象与x轴的交点为， 由图象可知，当时，自变量x的取值范围是或， 故答案为：或． 17．【答案】（1）另一个交点坐标为或     （2）的值为      【分析】 本题考查二次函数的性质及代数式的求值，熟练掌握代数式的化简是解题的关键． （1）先根据二次函数与x轴交点的性质，令求出函数与x轴交点的横坐标表达式，再结合已知交点坐标求出的值，进而得到另一个交点坐标； （2）先将已知点代入二次函数解析式得到，再将代入T的表达式，进而求出T的值． (1) 小问详解： 解：二次函数解析式为， 令，得或， 故二次函数的图象与轴交点为和， 图象与轴相交于， 分两种情况：若，则另一个交点为，坐标为； 若，则，即另一个交点为，坐标为； (2) 小问详解： 由图象过点，代入解析式得，即． 化简：，即，得， 将代入， 得， 将代入，得 ． 18．【答案】（1）；     （2） 证明：由（1）得抛物线的解析式为：， 是抛物线与轴交点的横坐标， ，即， ， ；     （3）当时，；当时，；理由如下： 由（1）得， 解得：， ， ① 当时，， ， ， ； ② 当时，， ， ， ； 综上所述，当时，；当时，．      【分析】 该题考查了二次函数的图象和性质，二次函数解析式求解，解一元二次方程． （1）根据拋物线的对称轴是直线，得出，求解即可． （2）由（1）得抛物线的解析式为：，根据是抛物线与轴交点的横坐标，得，代入求解即可． （3）由（2）得，解得：，则，分为① 当时，② 当时，分别解答即可． (1) 小问详解： 解：拋物线的对称轴是直线， ， 解得：； (2) 小问详解： 略； (3) 小问详解： 略． 19．【答案】， 【分析】 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．先根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程的解． 【详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为， 抛物线与x轴的一个交点坐标与对称轴距离为：． ∴根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标：． ∴抛物线与x轴的一个交点坐标为． 即或2时，． ∴一元二次方程的解为，． 故答案为：，． 20．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系． 根据一元二次方程的两根得出抛物线与x轴的交点，再利用二次函数的对称性可得答案． 【详解】 解：∵一元二次方程的两根为和3， ∴二次函数图像与x轴的交点为和， 由抛物线的对称性知抛物线的对称轴为， 故答案为：． 21．【答案】（1）     （2）当时，；当时，      【分析】 本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数图象的性质，二次函数与轴的交点问题，以及代数式求值，求得二次函数的解析式是解题的关键； （1）把代入解析式可得，再根据对称轴计算公式可得，据此可得答案； （2）先根据题意得到，即，再把整体代入分子中把分子进行降次求解即可． (1) 小问详解： 解：把代入中得． ∵对称轴是直线， ∴， 解得． ∴抛物线的解析式为． (2) 小问详解： 解：∵是抛物线与轴的一个交点的横坐标， ∴，即． ， ∵， ∴， ∴当时，； 当时，． 22．【答案】（1）     （2） 证明：令， 则， 由得， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴二次函数的图象与x轴有两个交点．      【分析】 本题考查二次函数的性质： （1）将点代入二次函数的解析式，求出b的值，根据二次函数性质即可求出其顶点； （2）令，判断即可． (1) 小问详解： 解：由题可知 ，解得 ， ∴， ∴该二次函数的顶点坐标为； (2) 小问详解： 略 23．【答案】（1）     （2） 解：是直角三角形，理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵， ∴是直角三角形；     （3）存在，点P的坐标为或或      【分析】 本题是二次函数的综合题．解决本题的关键是利用待定系数法求出二次函数的解析式，再利用二次函数与坐标轴的交点的坐标的特点求出相应的点的坐标；根据平面直角坐标系中两点之间的距离公式求出线段的长度，再根据勾股定理及其逆定理求解即可． （1）将代入即可求出点的坐标，令解一元二次方程，即可求出点的坐标； （2）连接分别求出的值，再利用勾股定理的逆定理判断的形状； （3）设点且为整数，求出直线的解析式为，连接，过点作轴的垂线交于点，则，再求出，根据的面积为即可解答． (1) 小问详解： 解：将代入，则， ∴， 令， 解得， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：存在，点P的坐标为或或， 设且为整数， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 连接，过点作轴的垂线交于点，则， ∴， ∴的面积为 ， 令， ∵的面积为整数， ∴，即， 当时，则，解得（舍去，不是整数）或（舍去，不是整数）， 当时，则，解得（舍去，不是整数）或（舍去，不是整数）， 当时，则，解得或， 则或， ∴点P的坐标为或； 当时，则，解得， 则， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或或． 考点06 实际问题与二次函数 1．C 2．C 3．C 4．D 5．【答案】3 【分析】 本题考查了二次函数的应用等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．当汽车停下来，刹车后行驶的距离最大，故将二次函数化为顶点式，得到顶点横坐标即可求解． 【详解】 解：， ∴当时，取最大值，即汽车停下来． 故答案为：3 6．【答案】（1）     （2）当门票售价定为元时，该景区每天获得的收入最大，最大收入为元      【分析】 本题考查了一次函数的实际应用及二次函数的实际应用； （1）根据每天售出的张门票多售出的张数即可列出函数关系式，利用每天最多能接待名游客得到不等式求出自变量的取值范围； （2）设该景区每天获得的门票收入为元，根据收入=每张售价乘以销售量得到函数关系式，根据二次函数的性质解答即可． (1) 小问详解： 解：由题意可得： ， 每天最多能接待名游客， ， 解得：， ， 与之间的关系式为； (2) 小问详解： 解：设该景区每天获得的门票收入为元， 则， ， 当时，， 答：当门票售价定为元时，该景区每天获得的收入最大，最大收入为元． 7．【答案】（1）     （2）单价定为9元／千克时，日销售利润最大，最大为1080元      【分析】 本题主要考查了一次函数的应用、二次函数的应用等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先根据利润销售量（销售单价成本价）求出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可解答． (1) 小问详解： 解：设与的函数解析式为 选取数据时，及时，代入解析式可得： ， 解得： ， ∴日销售量关于销售单价的函数解析式为． (2) 小问详解： 解：日销售利润 ， ∴当时，有最大值，最大值为． ∴苹果的销售单价定为9元／千克时，日销售利润最大，最大为1080元． 8．【答案】（1）；     （2）当每套紫陶茶壶的销售价定为160元时，每周的销售利润最大，最大利润是7200元．      【分析】 本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意列式即可解答． （2）根据利润每套紫陶茶壶的利润销售量列出函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意可得：； (2) 小问详解： 解：由题意可得：， 当时，， 答：当每套紫陶茶壶的销售价定为160元时，每周的销售利润最大，最大利润是7200元． 9．【答案】（1）一次，     （2）鲜花饼的销售单价定为25元时，利润最大为450元      【分析】 本题二次函数的综合问题，求一次函数关系式，求二次函数的关系式，求二次函数的最值问题． （1）根据数据变化特点可知是一次函数，再将数值代入求出关系式即可； （2）求出利润的二次函数关系式，配方再讨论得出最值． (1) 小问详解： 解：根据表中信息可知：该鲜花饼每周的销售量（盒）与销售单价（元/盒）满足一次函数关系； 设一次函数关系式为，将，；，； 代入得， ，解得 ， 与的函数关系式为：； (2) 小问详解： 由题意得，． ， 当时，的值最大为450 答：鲜花饼的销售单价定为25元时，利润最大为450元． 10．【答案】3 【分析】 本题考查了二次函数的最值，汽车停止时行驶距离最大，将二次函数化为顶点式求顶点横坐标即可 【详解】 解：由， ， 函数顶点坐标为， 当时，取得最大值，即汽车停止， 故答案为：3 11．【答案】任务一：；任务二：当销售单价为5元时，该超市销售鲜花饼每天获得的利润最大，最大利润是400元． 【分析】 本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． 任务一：利用待定系数法求解即可； 任务二：利用总利润单件利润销量，建立关系式，再根据二次函数最值问题求解即可． 【详解】 解：任务一：设y与x之间的函数关系式为， 由题意得 ， 解得 ， 所以y与x之间的函数关系式为； 任务二：设每天获得的利润为w元． 则， 对于二次函数，其中，，， 因为， 所以二次函数图象开口向下，函数有最大值． 对称轴为， 因为，且， 所以当时，w有最大值． 把代入可得：（元）， 答：当销售单价为5元时，该超市销售鲜花饼每天获得的利润最大，最大利润是400元． 12．【答案】（1）     （2）当销售单价定为35元时，可获得最大利润450元      【分析】 本题考查利用二次函数求利润的最大值： （1）利润每千克利润销售量； （2）根据二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解：， ， 当时，最大． ∴当销售单价定为35元时，可获得最大利润450元． 13．【答案】（1）     （2）当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元      【分析】 本题考查二次函数与一次函数的应用． （1）设与之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式； （2）根据利润单件利润销售量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值． (1) 小问详解： 解：设与之间的函数关系式为， 将、代入得， ， 解得， ， ∴与的函数关系式为； (2) 小问详解： 解：依题意得，， ， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，有最大值，， 答：当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元． 14．【答案】（1）利润为320元；     （2）当销售单价定为元时，所获日销售利润最大，最大利润是元．      【分析】 本题考查二次函数的应用等知识，根据题意列出函数解析式是解题的关键． （1）先求得销售单价的值，然后根据单件利润乘以销售量等于总利润即可解答； （2）设日销售利润为元，结合单件利润乘以销售量等于总利润可建立函数解析式求解即可，然后确定售价的取值范围，最后根据二次函数的性质求最值即可解答． (1) 小问详解： 解：由题意得：， 解得：， ∴销售“蒙自石榴”的利润为元． 答：销售“蒙自石榴”的利润为320元； (2) 小问详解： 解：设日销售利润为元，由题意得： ， ∵，且销售单价不低于进价且不超过元/千克，即， ∴当时，有最大值元． 答：当销售单价定为元时，所获日销售利润最大，最大利润是元． 15．【答案】（1）     （2）当销售单价定80元，利润最大，此时最大利润是1875元      【分析】 本题考查了二次函数与一次函数在销售问题中的应用； （1）设，将，代入得到二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）设利润为W元，建立W关于x的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最值． (1) 小问详解： 解：设， 将，代入得 ， 解得 ， ． (2) 小问详解： 解：设利润为W元， ，且， ∴函数的对称轴为直线， ∵二次函数图象开口向下，且 ∴当时，（元）， ∴当销售单价定80元，利润最大，此时最大利润是1875元． 16．【答案】（1）     （2）当时，利润最大，最大值为12250元      【分析】 本题考查了二次函数，一次函数的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）根据“售价每涨价1元，则月销售量将减少10个”，列出关系式即可求解； （2）根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于x的二次函数，进而可求出结论． (1) 小问详解： 解：根据题意得：． (2) 小问详解： 解：根据题意得： ． ∴当元时，取最大值元． 17．【答案】（1）与之间的函数关系式为     （2）销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大利润是1000元      【分析】 本题主要考查二次函数的应用． （1）由题意易得销售量为件，然后根据“销售利润单个利润销售量”可进行求解； （2）由（1）及根据二次函数的性质可直接进行求解． (1) 小问详解： 解：由题意得 ， 答：与之间的函数关系式为； (2) 小问详解： 解：由（）得， ∵， ∴当时，有最大值为， ∴销售单价定为（元）， 答：当销售单价定为元时，每天销售该商品的利润最大，最大利润为元． 18．【答案】 【分析】 根据题意，得到．设抛物线的解析式为，确定抛物线的解析式为：．确定，当时，求自变量的值，解答即可． 本题考查了抛物线的顶点式坐标求解析式，根据函数值求自变量的值，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为， 故， 设抛物线的解析式为， ∴， 解得， 故抛物线的解析式为：， 根据题意，离开水面处，得， 故， 故， 当时，， 解得，， 故，， 故之间的距离为． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数 6大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．（25-26学年九上·云南曲靖宣威务德镇第一中学·期中）下列函数中是二次函数的是（） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·云南昆明东川区·期中）下列函数中，是关于的二次函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）下列函数中，属于二次函数的是（       ）． A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·云南州香格里拉·期中）用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，设垂直于墙面的边长为x米，矩形的面积为y平方米，根据题意，可列式为（    ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·云南昆明嵩明县·期中）若关于的函数是二次函数，则的值为（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26学年九上·云南昆明·期中）下列四个点，在二次函数的图像上的是（       ） A.  B.  C.  D.  考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·云南昭通昭阳区·期中）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得新函数的解析式为（） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·云南昭通绥江县·期中）设，是抛物线上的两点，则的大小关系为（　　） A.  B.  C.  D. 不确定 3．（25-26学年九上·云南文山第二学区·期中）把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（   ） A. y＝2（x+3）2+4 B. y＝2（x+3）2﹣4 C. y＝2（x﹣3）2﹣4 D. y＝2（x﹣3）2+4 4．（25-26学年九上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则得到的抛物线的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·云南昆明·期中）二次函数的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·云南大理白族自·期中）将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度后得到新抛物线的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）抛物线有（     ） A. 最大值3 B. 最小值3 C. 最大值 D. 最小值 8．（25-26学年九上·云南曲靖宣威务德镇第一中学·期中）把抛物线向左平移2个单位长度，得到的抛物线解析式是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·云南昭通绥江县·期中）把二次函数的图象向左平移3个单位长度，所得到的图象对应的二次函数表达式是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·云南昆明东川区·期中）把抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线对应的函数表达式是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·云南昆明东川区·期中）已知二次函数的图象上有，，三点，则的大小关系正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·云南昆明东川区·期中）二次函数的图象经过的象限为（       ） A. 第一、二象限 B. 第二、四象限 C. 第三、四象限 D. 第一、三象限 13．（25-26学年九上·云南文山第二学区·期中）若点，在抛物线上，则，的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·云南文山第二学区·期中）已知二次函数，下列说法正确的是（       ） A. 对称轴为：直线 B. 函数的最大值是3 C. 顶点坐标为 D. 该二次函数图像的开口向下 15．（25-26学年九上·云南州香格里拉·期中）将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（       ） A. y＝(x－1)2＋2 B. y＝(x＋1)2＋2 C. y＝(x－1)2－2 D. y＝(x＋1)2－2 16．（25-26学年九上·云南昆明嵩明县·期中）若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）抛物线的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线解析式为（　　） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·云南昆明·期中）将抛物线向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后，得到的新抛物线的表达式为（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年九上·云南文山州砚山·期中）抛物线有（    ） A. 最大值3 B. 最小值3 C. 最大值 D. 最小值 21．（25-26学年九上·云南文山州砚山·期中）对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A. 开口向下 B. 与y轴交于点 C. 对称轴是 D. 当时，y随x的增大而减小 22．（25-26学年九上·云南大理白族自·期中），，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年九上·云南红河哈尼族·期中）抛物线y＝2（x－5）2－2；可以由抛物线y＝2x2平移得到，则平移方法是（       ） A. 向左平移5个单位，再向上平移2个单位 B. 向左平移5个单位，再向下平移2个单位 C. 向右平移5个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移5个单位，再向下平移2个单位 24．（25-26学年九上·云南红河哈尼族·期中）对于抛物线，下列描述错误的是（     ） A. 抛物线的开口向下 B. 对称轴为直线 C. y有最小值1 D. 当时，y随x的增大而增大 25．（25-26学年九上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）抛物线的对称轴是（     ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 26．（25-26学年九上·云南大理白族自·期中）对于抛物线，以下说法正确的是（        ） A. 开口向下 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 27．（25-26学年九上·云南昆明五华区·期中）如图，点从点出发沿线段做匀速运动，到点后立即按原路返回．用表示以点为圆心，线段的长为半径的圆的面积，用表示点的运动时间．下列图象适合表示与的对应关系的是（       ） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年九上·云南昭通绥江县·期中）嘉嘉绘制抛物线时，将“”看成了“3”，和原图象相比，发生改变的是（     ） A. 开口方向 B. 对称轴 C. 开口大小 D. 与轴的交点 29．（25-26学年九上·云南红河哈尼族·期中）若，是抛物线上两点，则，大小关系为（　　）． A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年九上·云南昭通绥江县·期中）二次函数图象的顶点坐标为　　　　　　　　　　　． 31．（25-26学年九上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）抛物线的顶点坐标是 　　　　　　　　　　　． 32．（25-26学年九上·云南保山隆阳区一类区·期中）二次函数的顶点坐标是　　　　　　． 33．（25-26学年九上·云南曲靖宣威务德镇第一中学·期中）二次函数顶点坐标　　　　　． 34．（25-26学年九上·云南保山隆阳区一类区·期中）将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线的解析式是 　　　　　　． 35．（25-26学年九上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）若抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A(1，0)，B(3，0)，则此抛物线的对称轴是直线　　　　　． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·云南文山州砚山·期中）抛物线的对称轴是（    ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 2．（25-26学年九上·云南保山隆阳区一类区·期中）二次函数的开口方向是（     ） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 3．（25-26学年九上·云南曲靖宣威务德镇第一中学·期中）若为二次函数图象上的两点，则的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D. 无法确定 4．（25-26学年九上·云南昭通昭阳区·期中）二次函数的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 … 二次函数图象的对称轴是（     ） A. 直线 B. 轴 C. 直线 D. 直线 5．（25-26学年九上·云南昭通昭阳区·期中）对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值可以为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6．（25-26学年九上·云南州香格里拉·期中）对于二次函数的图像，下列说法正确的是（       ） A. 开口向下 B. 与y轴交于点 C. 对称轴是 D. 顶点坐标为 7．（25-26学年九上·云南州香格里拉·期中）已知点和点都在抛物线（c是常数）上，则（       ） A.  B.  C.  D. 无法确定 8．（25-26学年九上·云南昆明嵩明县·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（       ） A. 其图象的开口向上 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其最小值为7 D. 当时，随的增大而增大 9．（25-26学年九上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）已知二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（       ） A. 图象开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，y有最大值1 D. 当时，y随x的增大而增大 11．（25-26学年九上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）已知，，是抛物线上的点，则、、的大小关系是（　　） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A.      B.      C.      D.      13．（25-26学年九上·云南红河哈尼族·期中）直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·云南保山隆阳区一类区·期中）抛物线的顶点坐标是（ ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·云南保山隆阳区一类区·期中）若点在二次函数的图象上，则的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·云南保山隆阳区一类区·期中）二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·云南昭通绥江县·期中）如图，在直角坐标平面内，为原点，二次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①ab＞0；②a+3b+9c＞0；③4a+b=0；④当y=﹣2时，x的值只能为0；⑤3b﹣c＜0，其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 19．（25-26学年九上·云南昆明·期中）在同一个平面直角坐标系中，二次函数，的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年九上·云南昆明·期中）已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年九上·云南红河哈尼族·期中）如图是二次函数的图象的一部分，图象过点，二次函数的对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的是（       ） A. ②③⑤ B. ①③ C. ②③ D. ①④⑤ 22．（25-26学年九上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）已知二次函数（为常数，且）的图象如图所示，则下列结论不正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年九上·云南大理白族自·期中）二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图像如图所示，图像过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④图像过点．其中正确的结论有（     ） A. ①② B. ②④ C. ①③④ D. ③④ 24．（25-26学年九上·云南昭通昭阳区·期中）已知二次函数的图象经过点，． （1）求该二次函数的解析式． （2）请判断点是否在该二次函数的图象上，并说明理由． 25．（25-26学年九上·云南昆明东川区·期中）已知二次函数． （1）在平面直角坐标系中，利用描点法画出该函数图象（列表）． … … … … 利用函数图象回答下列问题： （2）当               时，随的增大而增大； （3）当时，函数的取值范围为               ． … 0 1 2 3 … … 0 0 … 26．（25-26学年九上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是　　　　　　． 27．（25-26学年九上·云南昆明·期中）若函数是二次函数且有最小值，则　　　　　． 28．（25-26学年九上·云南曲靖宣威务德镇第一中学·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点为抛物线顶点，已知，连接，抛物线对称轴与交于点． （1）求的值； （2）求的长； （3）点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，是否存在以为边，且以点为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 29．（25-26学年九上·云南昭通昭阳区·期中）阅读下列材料： 在数学中，当我们遇到含有高次幂的多项式时（如，等），如果已知某个变量满足一个低次方程（通常是二次方程），就可以通过“降次代换”的方法将高次项逐步转化为低次项，从而简化计算．这种方法的核心在于利用已知的等式关系，系统性地降低多项式的次数，最终使复杂的表达式变得易于处理． 例：已知，求的值． 解决本题的思路可以为： 步骤1：计算 由等式得，， 步骤2：代入原式并化简 将和代入． 步骤3：代值并计算 通过计算出或，分别代入即可求出的值为7或19． 根据以上材料，解答下列问题： 已知抛物线． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若点在抛物线上，求的值． 30．（25-26学年九上·云南昭通绥江县·期中）如图，抛物线经过点和点，与轴交于点，点是点关于对称轴对称的点． （1）求抛物线的解析式； （2）求的面积． 31．（25-26学年九上·云南文山第二学区·期中）如图，已知二次函数的图象经过、两点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； 32．（25-26学年九上·云南州香格里拉·期中）如图，抛物线与x轴交于A、两点，对称轴是直线． （1）求二次函数的解析式； （2）在x轴上方的抛物线上有一点C，且，求点C的坐标． 33．（25-26学年九上·云南昆明嵩明县·期中）已知：抛物线． （1）若，求的值； （2）求证：抛物线与轴总有两个交点； （3）若点，点是该抛物线上两点，且当时，二次函数的最大值与最小值的差为5，求的值． 34．（25-26学年九上·云南昆明嵩明县·期中）已知二次函数图象上的部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： 0 1 2 3 5 5 0 0 5 12 根据以上信息回答下列问题： （1）二次函数图象的顶点坐标是_____________，_____________，_____________； （2）求二次函数的表达式． 35．（25-26学年九上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）已知二次函数． （1）将函数化为的形式； （2）写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）在平面直角坐标系中画出该函数的图象． 36．（25-26学年九上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． 37．（25-26学年九上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）已知抛物线． （1）若抛物线经过点时，求a的值； （2）若点，在此抛物线上，求的值． 38．（25-26学年九上·云南昆明·期中）已知抛物线经过点，且当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．设是抛物线与轴交点的横坐标． （1）求该抛物线的解析式； （2）求代数式的值． 39．（25-26学年九上·云南文山州砚山·期中）已知点和都在抛物线（是常数）上，那么　　　　　　　　　　（填“”，“”，“”）． 40．（25-26学年九上·云南红河哈尼族·期中）如图，二次函数的图象经过，，三点． （1）观察图象，直接写出：当x满足          时，随x的增大而减小． （2）求抛物线的解析式； （3）观察图象，直接写出：当时，y的取值范围          ． 41．（25-26学年九上·云南红河哈尼族·期中）如图，二次函数 的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为点M． （1）求点A， B， C， M的坐标； （2）对称轴上有一点P，当最小时，求点P的坐标； （3）二次函数图象上是否存在点 Q，使，若存在请直接写出点Q的坐标，若不存在请说明理由 42．（25-26学年九上·云南保山隆阳区一类区·期中）已知二次函数． （1）求该函数图像的顶点坐标和对称轴． （2）求该函数图像与x轴、y轴的交点坐标． （3）画出该函数图像的示意图． （4）当x取何值时，y随x的增大而减小？ x …… …… y …… …… 43．（25-26学年九上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，对称轴是直线． （1）求二次函数的解析式； （2）在轴上方的抛物线上有一点，且，求点的坐标． 44．（25-26学年九上·云南昭通昭阳区·期中）已知抛物线与x轴的左右交点分别为点A、点B，与y轴交点为点C，若将此抛物线向下平移4个单位长度后，其顶点坐标为． （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）设点P在该抛物线的对称轴上运动，是否存在点P，使的周长最小？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）设点M在该抛物线的对称轴上运动，当是直角三角形时，求出所有满足条件的点M的坐标． 45．（25-26学年九上·云南昆明东川区·期中）在平面直角坐标系中，抛物线为常数，且，与x轴交于A，两点点A在点B的左侧，与y轴交于点 （1）求c的值用含a的代数式表示 （2）若抛物线开口向上，且，求a的值． （3）已知点，，若该抛物线与线段只有一个公共点，求a的取值范围． 46．（25-26学年九上·云南州香格里拉·期中）已知a是常数，函数． （1）若，求y的值； （2）若，求y的最小值； （3）若，，记，求T的值． 47．（25-26学年九上·云南保山隆阳区一类区·期中）综合题：如图，抛物线经过点三点． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是抛物线在第一象限上的一动点，求四边形面积的最大值． （3）在抛物线上是否存在点P，使的面积为6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·云南昆明东川区·期中）已知二次函数（，，，为常数）的与的部分对应值如表： 判断方程的一个解的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·云南州香格里拉·期中）二次函数的图象与轴的交点个数是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 不能确定 3．（25-26学年九上·云南保山隆阳区一类区·期中）如图，抛物线与轴交于两点，则方程的解是（     ） A. 或 B. 且 C. 或 D. 且 4．（25-26学年九上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）对于二次函数，下列说法正确的是（     ） A. 开口向下 B. 与轴交于点 C. 对称轴是直线 D. 当时，随的增大而减小 5．（25-26学年九上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）二次函数的图象与轴的交点个数是（     ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无法确定 6．（25-26学年九上·云南文山第二学区·期中）如图为函数的部分图象，则一元二次方程的根为（     ） A.  B. ， C. ， D. ， 7．（25-26学年九上·云南州香格里拉·期中）已知二次函数为常数，且的图象如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·云南昆明·期中）抛物线的部分图象如图所示，它与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，当时，的取值范围是（       ） A.  B.  C. 或 D. 无法确定 9．（25-26学年九上·云南红河哈尼族·期中）如图，抛物线与直线的两个交点分别为，，则关于x的方程的解集为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 10．（25-26学年九上·云南红河哈尼族·期中）二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A. 且 B. 且 C.  D.  11．（25-26学年九上·云南昭通昭阳区·期中）二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，与x轴的一个交点为．则下列结论： ①； ②； ③； ④方程的两实数根为，． 其中正确的结论是（       ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 12．（25-26学年九上·云南昭通昭阳区·期中）已知二次函数（a≠0）的图象如下图所示，则　　　　　　． 13．（25-26学年九上·云南昆明东川区·期中）若二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则　　　　　　　　　　． 14．（25-26学年九上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）二次函数与轴的交点坐标是　　　　　　． 15．（25-26学年九上·云南昆明·期中）若二次函数的图象与轴没有公共点，则的取值范围是　　　　　． 16．（25-26学年九上·云南大理白族自·期中）二次函数的图象如图所示，当时，自变量x的取值范围是　　　　． 17．（25-26学年九上·云南昆明五华区·期中）已知m是常数，二次函数，记． （1）若该二次函数的图象与x轴相交的一个点是，求它与x轴的另一个交点的坐标； （2）若该二次函数的图象过点，求T的值． 18．（25-26学年九上·云南昭通绥江县·期中）已知抛物线的对称轴是直线，设是抛物线与轴交点的横坐标，记． （1）求的值； （2）求证：； （3）比较与的大小，并说明理由． 19．（25-26学年九上·云南昆明东川区·期中）已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解是 　　　　　　　　　　　　． 20．（25-26学年九上·云南文山第二学区·期中）已知一元二次方程的两根为和3，则二次函数图像对称轴是直线　　　　　　　　　 ． 21．（25-26学年九上·云南大理白族自·期中）已知抛物线经过点，对称轴是直线． （1）求抛物线的解析式； （2）若m是抛物线与x轴的一个交点的横坐标，记，比较M与1的大小． 22．（25-26学年九上·云南大理白族自·期中）已知二次函数． （1）若，且二次函数的图象经过点，求函数的顶点坐标； （2）若，证明：二次函数的图象和x轴有两个交点． 23．（25-26学年九上·云南保山隆阳区一类区·期中）探究题： 在平面直角坐标系中，我们定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标． （2）判断的形状，并说明理由． （3）在下方，抛物线上是否存在整点P，使得的面积为整数？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 考点06 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·云南昭通绥江县·期中）在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度y米与飞行时间x秒的关系式为，当炮弹落到地面时，经过的时间为（       ） A. 40秒 B. 45秒 C. 50秒 D. 55秒 2．（25-26学年九上·云南曲靖宣威务德镇第一中学·期中）在校运动会上，小明同学进行了投实心球比赛，我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线，如图建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度与水平距离之间的函数关系是，则该同学此次投掷实心球的成绩是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·云南昭通昭阳区·期中）昭通壮蓝牛队为备战年月底举行的云南省城市足球联赛（简称“滇超联赛”），开展定位球战术训练．现以足球被踢出的位置为原点，水平向右为x轴正方向（指向球门），竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系．已知足球飞行轨迹满足二次函数关系式：，其中y表示足球离地面的高度（单位：米），x表示从足球被踢出的位置到球门方向的水平距离（单位：米）．根据该函数模型计算足球从踢出到落地的水平距离为（       ） A. 6米 B. 米 C. 米 D. 米 4．（25-26学年九上·云南昆明东川区·期中）如图，铅球运动员掷铅球的高度与水平距离之间的函数关系式是，则该运动员此次掷铅球的成绩是（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）汽车刹车后行驶的距离（米）关于行驶时间（秒）的函数关系式是，则该汽车从刹车到停止所用时间为　　　　　　　秒． 6．（25-26学年九上·云南曲靖宣威务德镇第一中学·期中）云南山川秀美，景区众多，近年来，云南加快建设旅游文化，致力发展旅游业，取得了显著成效．在国庆期间，某景区的门票价格为每人100元，每天最多能接待3500名游客，平均每天能售出1000张门票，为了吸引更多的游客，景区决定适当降低门票价格，经过调查发现，当票价每降低2元时，在国庆期间每天可以多卖出100张门票．设门票的售价为元（为正整数），每天门票的销售量为张． （1）求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当门票的售价定为多少元时，该景区每天获得的门票收入最大，最大收入是多少元? 7．（25-26学年九上·云南昭通昭阳区·期中）昭通因独特的气候条件盛产优质苹果，当地果农张大叔自家种植了一批品质优良的昭通苹果．为了提高收入，他计划自主销售这批苹果．已知每千克苹果的种植及采摘等成本共计为3元．通过前期试销发现，苹果的日销售量y（单位：千克）与销售单价x（单位：元/千克）密切相关，并满足一次函数关系，前期部分试销数据如下表所示： 销售单价x（元/千克） 5 6 7 日销售量y（千克） 300 270 240 注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价） （1）根据表格中的数据，求出日销售量y关于销售单价x的函数解析式（不要求写出自变量的范围）； （2）若张大叔希望日销售利润达到最大，应将苹果的销售单价定为多少元/千克？此时的最大日销售利润w是多少元？ 8．（25-26学年九上·云南昭通绥江县·期中）建水紫陶，别名滇南琼玉，是云南建水特产，也是云南十大手工艺之一．建水紫陶陶泥取自境内五彩山，所制成的器具经无釉磨光，精工细磨拋光，质地细腻，光亮如镜，有坚如铁、明如水、润如玉、声如磬之誉．某经销商从工厂以100元/套的价格购进一批紫陶茶壶，经市场调研，当该紫陶茶壶每套的销售价为200元时，每周可销售40套，当每套的销售价每降价1元，每周的销售量将增加2套．设该紫陶茶壶每套的销售价为元，每周的销售量为套，利润为元． （1）求关于的函数关系式； （2）当每套紫陶茶壶的销售价定为多少元时，每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 9．（25-26学年九上·云南昆明东川区·期中）【项目化学习】 项目主题：云南鲜花饼的最优销售单价． 项目背景：鲜花饼，是以云南特有的食用玫瑰花入料的酥饼，是具有云南特色的云南经典点心代表．鲜花饼在本地烘焙品牌均有销售．鲜花饼也是中国四大月饼流派滇式月饼的经典代表之一．昆明某学校数学兴趣小组以探究“云南鲜花饼的最优销售单价”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究云南鲜花饼的销售总利润与销售单价的关系． 研究步骤： （1）学习小组到某特产专卖店了解到云南鲜花饼的成本为10元/盒； （2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对鲜花饼销售量进行统计（不考虑其他因素） （3）数据分析，得出结论． 收集数据： 销售单价（元/盒） … 12 14 16 18 20 … 销售量（盒） … 56 52 48 44 40 … 问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务： （1）根据表中信息可知：该鲜花饼每周的销售量（盒）与销售单价（元/盒）满足______（选填“一次”或“二次”）函数关系，请求出相应的函数关系式； （2）若要使每周销售鲜花饼获得的利润（元）最大，请通过计算说明鲜花饼的最优销售单价应该定为多少元？最大利润是多少？ 10．（25-26学年九上·云南州香格里拉·期中）汽车刹车后行驶的距离米关于行驶时间秒的函数关系式是，则该汽车从刹车到停止所用时间为　　　　　　秒． 11．（25-26学年九上·云南州香格里拉·期中）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 鲜花饼是云南人最喜爱吃的特色美食之一，随着中秋节的到来，某超市购进一批鲜花饼进行销售． 素材一 购进单价：3元/个 素材二 如果以4元/个的价格销售，那么每天可售出300个；如果以6元/个的价格销售，那么每天可售出100个． 素材三 每天的销售量（个）与销售单价元存在一次函数关系． 请完成下列任务： 任务一 求y与x之间的函数关系式； 任务二 当销售单价为多少元时，该超市销售鲜花饼每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 12．（25-26学年九上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）某超市销售一种商品，成本价为20元／千克，经市场调查发现，该商品每天的销售量（千克）与销售单价（元／千克）之间满足一次函数关系：． （1）设该超市销售这种商品每天可获利元，求与之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少元时，该超市销售这种商品每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 13．（25-26学年九上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）某超市以每件10元的进货单价购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价/元 … 12 13 14 … 每天销售数量/件 … 36 34 32 … （1）求出与之间的函数关系式； （2）设销售这种文具每天获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 14．（25-26学年九上·云南昆明·期中）“蒙自石榴”是云南省红河哈尼族彝族自治州的特产，以果大、皮薄、籽粒饱满、汁多味甜而闻名．临近中秋，某水果店购入一批进价为10元/千克的“蒙自石榴”进行销售，经调查发现：销售单价不低于进价且不超过30元/千克时，日销售量（千克）与销售单价（元/千克）的函数关系为． （1）当“蒙自石榴”每天的销售量为32千克时，求销售“蒙自石榴”的利润； （2）当销售单价定为多少时，销售“蒙自石榴”所获日销售利润最大，最大利润是多少? 15．（25-26学年九上·云南大理白族自·期中）西安“网红”景区大唐不夜城，以盛唐文化为背景，全面打造集购物、餐饮、娱乐、休闲、旅游、商务为一体的开放式消费场所，已成为西安最具影响力的城市文化地标之一．该景区内某店销售一批成本为55元/袋的绿色健康食品，深受游客青睐．经市场调查发现，该食品每天的销售量y（袋）与销售单价x（元/袋）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．    （1）求该食品每天的销售量y（袋）与销售单价x（元/袋）之间的函数关系式； （2）若超市按售价不低于成本价，且不高于90元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该食品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 16．（25-26学年九上·云南红河哈尼族·期中）公安部提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的规定，若这种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为x元，月销售量为y． （1）直接写出y关于x的函数关系式； （2）该品牌头盔的实际售价定为多少元时，商家能获得最大利润？最大利润是多少？ 17．（25-26学年九上·云南保山隆阳区一类区·期中）应用题：某商场以每件20元的价格购进一批商品，如果以每件30元销售，那么每天可售出100件．经调查发现，这种商品的销售单价每上涨1元，每天销售量就减少10件．设销售单价上涨x元（x为整数），每天销售利润为y元． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）求销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 18．（25-26学年九上·云南昆明嵩明县·期中）如图是一个涵洞的截面，其涵洞边缘是拋物线．现测得当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为．这时，离开水面处，涵洞的宽度是　　　　　　　　米． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数 6大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．（25-26学年九上·云南曲靖宣威务德镇第一中学·期中）下列函数中是二次函数的是（） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查二次函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的定义，形如的函数称为二次函数，逐一判断各选项是否符合定义即可． 【详解】 解：二次函数的标准形式为， 选项A：，其中，是二次函数，符合题意； 选项B：，最高次项为3次，不是二次函数，不符合题意； 选项C：，为常数函数，无二次项，不是二次函数，不符合题意； 选项D：，为一次函数，不是二次函数，不符合题意． 故选：A． 2．（25-26学年九上·云南昆明东川区·期中）下列函数中，是关于的二次函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数叫做二次函数．根据定义逐项分析即可． 【详解】 解：A．，自变量的次数是1，故不是二次函数； B．，自变量的次数是1，故不是二次函数； C．，自变量在分母上，故不是二次函数； D．是二次函数； 故选：D． 3．（25-26学年九上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）下列函数中，属于二次函数的是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数．二次函数定义：一般地，把形如（a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】 解：A、是一次函数，不是二次函数，故该选项不符合题意； B、函数关系式不是整式，不是二次函数，故该选项不符合题意； C、，是二次函数，故该选项符合题意； D、，x的最高次数是3，不是二次函数，故该选项不符合题意； 故选：C． 4．（25-26学年九上·云南州香格里拉·期中）用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，设垂直于墙面的边长为x米，矩形的面积为y平方米，根据题意，可列式为（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由围栏的全长及垂直于墙面的边长，可得出平行于墙面的边长为米，再利用矩形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式，此题得解，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键． 【详解】 解：围栏的全长为12米，且设垂直于墙面的边长为x米， 平行于墙面的边长为米． 根据题意得：， 故选：C． 5．（25-26学年九上·云南昆明嵩明县·期中）若关于的函数是二次函数，则的值为（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如的函数叫做二次函数，熟记二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义得到，即可求解． 【详解】 解：由题意得， ∴， 故选：B． 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26学年九上·云南昆明·期中）下列四个点，在二次函数的图像上的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查二次函数图像上点的坐标特征，代入各选项中点的横坐标，求出y值，再将其与点的纵坐标比较后，即可得出结论． 【详解】 解：A．当时，， ∴点在函数的图像上，符合题意；选项B不符合题意； C．当时，， ∴点不在函数的图像上，不符合题意； D．当时，， ∴点不在函数的图像上，不符合题意． 故选：A． 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·云南昭通昭阳区·期中）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得新函数的解析式为（） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查二次函数图象的平移，需熟练掌握“左加右减”针对自变量，“上加下减”针对函数值的平移规律． 根据函数图象平移规则“左加右减，上加下减”进行变换． 【详解】 解：∵原函数为， ∴向右平移3个单位长度：， ∴再向上平移4个单位长度：． 故所得新函数的解析式为． 故选：C． 2．（25-26学年九上·云南昭通绥江县·期中）设，是抛物线上的两点，则的大小关系为（　　） A.  B.  C.  D. 不确定 【答案】A 【分析】 由抛物线，对称轴为直线，可得当时，随的增大而减小，从而可得答案． 【详解】 解：∵抛物线，，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 而， ∴， 故选A． 【点睛】 本题考查的是抛物线的性质，掌握“抛物线的增减性”是解本题的关键． 3．（25-26学年九上·云南文山第二学区·期中）把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（   ） A. y＝2（x+3）2+4 B. y＝2（x+3）2﹣4 C. y＝2（x﹣3）2﹣4 D. y＝2（x﹣3）2+4 【答案】A 【详解】 解：把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为y=2（x+3）2+4． 故选A． 4．（25-26学年九上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则得到的抛物线的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据二次函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”来求解平移后的抛物线解析式．本题主要考查了二次函数图象的平移变换，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 【详解】 解： 原抛物线的解析式为 将其向左平移 个单位长度，根据“左加右减”的原则，得到 再向下平移 个单位长度，根据“上加下减”的原则 得到 故选： 5．（25-26学年九上·云南昆明·期中）二次函数的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的的顶点坐标为，即可． 【详解】 解：二次函数的顶点坐标是． 故选：A 6．（25-26学年九上·云南大理白族自·期中）将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度后得到新抛物线的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的平移，根据二次函数的平移规律即可得出答案，掌握二次函数的平移规律是解题的关键． 【详解】 解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度后得到新抛物线的解析式为：， 故选：D． 7．（25-26学年九上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）抛物线有（     ） A. 最大值3 B. 最小值3 C. 最大值 D. 最小值 【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数的最值问题，根据解析式可得开口方向和顶点坐标，开口向上，有最小值，最小值为顶点纵坐标，开口向下，有最大值，最大值为顶点纵坐标，据此可得答案． 【详解】 解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴二次函数有最大值，最大值为， 故选：C． 8．（25-26学年九上·云南曲靖宣威务德镇第一中学·期中）把抛物线向左平移2个单位长度，得到的抛物线解析式是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查抛物线的平移规律，掌握“左加右减”是解题关键． 根据抛物线的平移规律：左加右减，对于水平平移，向左平移时在x上加平移单位． 【详解】 解：∵抛物线 向左平移2个单位， ∴新解析式为 ． 故选：D． 9．（25-26学年九上·云南昭通绥江县·期中）把二次函数的图象向左平移3个单位长度，所得到的图象对应的二次函数表达式是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的平移变换，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 根据二次函数图象平移的“左加右减”规律，分析原函数向左平移3个单位后的表达式． 【详解】 解：对于二次函数的图象平移，遵循“左加右减，上加下减”的规律． 二次函数为向左平移3个单位长度， ∴平移后的函数表达式为． 故选：D． 10．（25-26学年九上·云南昆明东川区·期中）把抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线对应的函数表达式是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减，上加下减”的法则是解答此题的关键．先向右平移3个单位，x 替换为；再向下平移1个单位，整体减去1 【详解】 解：∵原函数为 ，向右平移3个单位：，再向下平移1个单位：； ∴ 所得函数表达式为 ， 故选：D 11．（25-26学年九上·云南昆明东川区·期中）已知二次函数的图象上有，，三点，则的大小关系正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的性质，先理解题意，再直接计算出各点的函数值，最后比较大小，即可作答． 【详解】 解：∵二次函数的图象上有，，三点， ∴对于点：； ∴对于点：； ∴对于点：； ∵， ∴， 故选：C． 12．（25-26学年九上·云南昆明东川区·期中）二次函数的图象经过的象限为（       ） A. 第一、二象限 B. 第二、四象限 C. 第三、四象限 D. 第一、三象限 【答案】C 【分析】 根据二次函数的各项的系数即可判断二次函数的图象位置． 【详解】 解：∵二次函数，二次项系数为，一次项系数为，常数项为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点为， ∴二次函数的图象经过第三、四象限． 故选：C． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够根据二次函数的各项的系数的符号确定二次函数的图象位置． 13．（25-26学年九上·云南文山第二学区·期中）若点，在抛物线上，则，的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了求二次函数的函数值，比较二次函数函数值的大小，先求出，的值，比较大小即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：∵点，在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， 故选：A． 14．（25-26学年九上·云南文山第二学区·期中）已知二次函数，下列说法正确的是（       ） A. 对称轴为：直线 B. 函数的最大值是3 C. 顶点坐标为 D. 该二次函数图像的开口向下 【答案】C 【分析】 此题考查了二次函数的图象和性质，正确理解函数解析式中各系数的符号与函数图象的关系是解题的关键． 【详解】 解：二次函数， 对称轴为：直线，函数的开口向上，最小值是3，顶点坐标为， 正确的为C， 故选：C． 15．（25-26学年九上·云南州香格里拉·期中）将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（       ） A. y＝(x－1)2＋2 B. y＝(x＋1)2＋2 C. y＝(x－1)2－2 D. y＝(x＋1)2－2 【答案】A 【分析】 根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案． 【详解】 解：将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 y=（x﹣1）2+2， 故选：A． 【点睛】 考点：二次函数图象与几何变换． 16．（25-26学年九上·云南昆明嵩明县·期中）若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0,0），把点（0,0）向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的点的坐标为（2,3），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式． 【详解】 ∵函数y=x2的图象的顶点坐标为，将函数y=x2的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴平移后，新图象的顶点坐标是． ∴所得抛物线的表达式为． 故选B． 【点睛】 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 17．（25-26学年九上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）抛物线的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查二次函数的性质，根据形如的顶点坐标为进行求解即可． 【详解】 解：由抛物线可知其顶点坐标为； 故选：C． 18．（25-26学年九上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线解析式为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】 将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位后的抛物线解析式为：． 故选：B． 【点睛】 本题考查抛物线的平移，掌握抛物线平移规律是解题的关键． 19．（25-26学年九上·云南昆明·期中）将抛物线向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后，得到的新抛物线的表达式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了抛物线平移的性质，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”，先处理向下平移，再处理向左平移，直接计算新表达式． 【详解】 解：∵ 原抛物线为 ， 向下平移2个单位：， 再向左平移1个单位：， ∴ 新抛物线表达式为， 故选：A． 20．（25-26学年九上·云南文山州砚山·期中）抛物线有（    ） A. 最大值3 B. 最小值3 C. 最大值 D. 最小值 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式性质，当二次项系数为负时，函数有最大值，且最大值为顶点纵坐标 【详解】 解：， ， 抛物线开口向下，有最大值， 当时，， 最大值为， 故选：C 21．（25-26学年九上·云南文山州砚山·期中）对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A. 开口向下 B. 与y轴交于点 C. 对称轴是 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的性质，包括开口方向、与y轴交点、对称轴和增减性，通过分析二次函数的系数可以判断各选项 【详解】 解：，其中, , ， ，抛物线开口向上，故A错误； 当时，， 与y轴交于点 ，故B错误； 对称轴， 对称轴是，故C正确； ，对称轴为， 当时，随的增大而增大，故D错误， 故选：C 22．（25-26学年九上·云南大理白族自·期中），，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键；由题意易得抛物线的对称轴为直线，且开口向下，进而根据“开口向下，离对称轴越近，其对应的函数值也就越大”进行排除选项即可． 【详解】 解：由抛物线可知：抛物线的对称轴为直线，且开口向下， ∵，，在抛物线上， ∴， ∴； 故选：A． 23．（25-26学年九上·云南红河哈尼族·期中）抛物线y＝2（x－5）2－2；可以由抛物线y＝2x2平移得到，则平移方法是（       ） A. 向左平移5个单位，再向上平移2个单位 B. 向左平移5个单位，再向下平移2个单位 C. 向右平移5个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移5个单位，再向下平移2个单位 【答案】D 【分析】 根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】 解：∵抛物线y＝2（x－5）2－2；可以由抛物线y＝2x2平移得到， y＝2x2的顶点坐标为，而平移后抛物线y＝2（x－5）2－2的顶点坐标为（5，-2） ∴向右平移5个单位，再向下平移2个单位． 故选D． 【点睛】 本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律． 24．（25-26学年九上·云南红河哈尼族·期中）对于抛物线，下列描述错误的是（     ） A. 抛物线的开口向下 B. 对称轴为直线 C. y有最小值1 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】 由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、最值及增减性，则可判断四个选项，可求得答案． 【详解】 解：对于， ∵，顶点坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线的开口向下，y有最大值为，当时，y随x的增大而增大，则当时，y随x的增大而增大， 观察四个选项，A、B、D均正确，C错误， 故选：C． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 25．（25-26学年九上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）抛物线的对称轴是（     ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】D 【分析】 本题考查了函数的对称轴问题，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答此题的关键．根据对称轴，将的值代入即可． 【详解】 解：∵， ∴对称轴为直线，即， 故选：D． 26．（25-26学年九上·云南大理白族自·期中）对于抛物线，以下说法正确的是（        ） A. 开口向下 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】 根据抛物线顶点式的性质，分别判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即可得到正确选项． 【详解】 解：∵抛物线解析式为 ∴ ∴抛物线开口向上，故A错误 对称轴为直线，故B正确 顶点坐标为，故C错误 ∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 27．（25-26学年九上·云南昆明五华区·期中）如图，点从点出发沿线段做匀速运动，到点后立即按原路返回．用表示以点为圆心，线段的长为半径的圆的面积，用表示点的运动时间．下列图象适合表示与的对应关系的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了动点问题的函数图象及二次函数的图象，注意分类讨论；设线段，点P运动速度为1，当点P从A向B运动时，，则可得S的表达式；当点P从B返回时，，亦可得S的表达式，即可确定函数图象． 【详解】 解：设线段，点P运动速度为1． 当点P从A向B运动时，此时，， 则； 当点P从B返回时，此时，， 则， 综上： ． 其图象如下： 故选：A． 28．（25-26学年九上·云南昭通绥江县·期中）嘉嘉绘制抛物线时，将“”看成了“3”，和原图象相比，发生改变的是（     ） A. 开口方向 B. 对称轴 C. 开口大小 D. 与轴的交点 【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 通过比较原函数和错误函数的二次项系数、对称轴、开口大小及与轴交点，判断发生改变的性质． 【详解】 解：依题意得：原函数为，错误函数为 A、原函数的开口向下，错误函数为开口向上，开口方向发生改变，故此选项符合题意； B、原函数与错误函数的对称轴均为轴，对称轴不变，故此选项不符合题意； C、原函数与错误函数的对称轴均由决定，开口大小不变，故此选项不符合题意； D、原函数与错误函数与轴的交点均为，与轴的交点不变，故此选项不符合题意． 故选 ：A． 29．（25-26学年九上·云南红河哈尼族·期中）若，是抛物线上两点，则，大小关系为（　　）． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 抛物线的对称轴为直线，再根据二次函数的性质可得函数开口方向向下，对称轴的右侧y随x的增大而减小即可解答． 【详解】 解：∵ ， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， ∴当，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的性质，求得函数的对称轴、开口方向以及增减性是解答本题的关键． 30．（25-26学年九上·云南昭通绥江县·期中）二次函数图象的顶点坐标为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的顶点式，熟练掌握顶点式中顶点坐标为是解题的关键． 根据二次函数顶点式的结构特征，直接确定顶点坐标． 【详解】 解：二次函数顶点式为，其顶点坐标为． 对于，其中，． 所以二次函数图象的顶点坐标为， 故答案为：． 31．（25-26学年九上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）抛物线的顶点坐标是 　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据抛物线的顶点坐标是，即可求解． 【详解】 解：∵抛物线， ∴该抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握的顶点坐标是是解题的关键． 32．（25-26学年九上·云南保山隆阳区一类区·期中）二次函数的顶点坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了二次函数的性质，掌握其性质是解题的关键． 利用二次函数性质求二次函数的顶点坐标即可． 【详解】 解：∵二次函数解析式为， ∴顶点坐标是， 故答案为：． 33．（25-26学年九上·云南曲靖宣威务德镇第一中学·期中）二次函数顶点坐标　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的顶点式，解题关键是运用了顶点式，得到顶点坐标是． 【详解】 解：二次函数顶点坐标为， 故答案为：． 34．（25-26学年九上·云南保山隆阳区一类区·期中）将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线的解析式是 　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】 解：将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位所得抛物线的解析式是 故答案为：． 35．（25-26学年九上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）若抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A(1，0)，B(3，0)，则此抛物线的对称轴是直线　　　　　． 【答案】x＝2． 【详解】∵点A(1,0),B(3,0)的纵坐标相等， ∴A、B两点是抛物线上的两个对称点， ∴对称轴是直线x==2.故答案为x=2. 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·云南文山州砚山·期中）抛物线的对称轴是（    ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，对于二次函数，其对称轴为直线，据此即可求解． 【详解】 解：∵ 抛物线方程为 ，其中 , ， ∴ 对称轴为 ， 故对称轴是直线 ， 故选：D． 2．（25-26学年九上·云南保山隆阳区一类区·期中）二次函数的开口方向是（     ） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 【答案】B 【分析】 本题考查二次函数的性质．对于二次函数，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下．根据二次函数的二次项系数即可判断抛物线的开口方向． 【详解】 解：∵的二次项系数为， ∴抛物线开口向下． 故选：B． 3．（25-26学年九上·云南曲靖宣威务德镇第一中学·期中）若为二次函数图象上的两点，则的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D. 无法确定 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的图象性质，把分别代入进行计算，再比较的大小，即可作答． 【详解】 解：∵为二次函数图象上的两点， ∴，， ∴， 故选：B 4．（25-26学年九上·云南昭通昭阳区·期中）二次函数的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 … 二次函数图象的对称轴是（     ） A. 直线 B. 轴 C. 直线 D. 直线 【答案】D 【分析】 根据纵坐标相等的两个点是对称点，对称点的横坐标和的一半是对称轴解答即可． 本题考查了对称点的判定，对称轴的计算，熟练掌握对称点的判定和对称轴的计算是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，得和是对称点， 故抛物线的对称轴为直线， 故选：D． 5．（25-26学年九上·云南昭通昭阳区·期中）对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值可以为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数图象的性质．先确定抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质得当时，y随x的增大而增大，可得，即可求解． 【详解】 解：∵ 二次函数的二次项系数， ∴ 抛物线开口向下，在对称轴左侧函数递增， 对称轴为， 由题意，当时，y随x的增大而增大， ∴， 解得， ∴， ∴ 选项中只有D选项满足， 故选：D． 6．（25-26学年九上·云南州香格里拉·期中）对于二次函数的图像，下列说法正确的是（       ） A. 开口向下 B. 与y轴交于点 C. 对称轴是 D. 顶点坐标为 【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的基本性质，关键掌握对称轴公式和顶点坐标求法； 根据二次函数的性质，判断开口方向、与y轴交点、对称轴和顶点坐标. 【详解】 解：∵ 二次函数，其中， ∴ ，开口向上，故 A 错误； 当 时，，与y轴交点为 ，故 B 错误； 对称轴 ，故 C 正确； 顶点坐标，，顶点为 ，故 D 错误； 故选：C. 7．（25-26学年九上·云南州香格里拉·期中）已知点和点都在抛物线（c是常数）上，则（       ） A.  B.  C.  D. 无法确定 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的增减性、对称轴，熟练掌握二次函数的增减性是解答本题的关键． 根据二次函数的增减性解答即可． 【详解】 解：抛物线的图象开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而减小， ， ， 故选：C． 8．（25-26学年九上·云南昆明嵩明县·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（       ） A. 其图象的开口向上 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其最小值为7 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】 根据解析式，可判定抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，当时，y随x的增大而增大，解答即可． 本题考查了抛物线的性质，熟练掌握解题方法是解题的关键． 【详解】 解：∵中， ∴抛物线开口向下， 为顶点， 故函数的最大值为7， 对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大． 故A，B，C错误，D正确， 故选：D． 9．（25-26学年九上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）已知二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查二次函数图像与系数的关系．根据二次函数的图像与性质即可判断． 【详解】 解：由图可知，二次函数图像开口向下， ∴， 二次函数与y轴交于正半轴， ∴， 对称轴， ∴a、b异号， ∴， 故选：C． 10．（25-26学年九上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（       ） A. 图象开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，y有最大值1 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的性质．根据二次函数的一般形式，通过系数判断开口方向，利用对称轴公式求对称轴，在顶点处求最值，并分析增减性． 【详解】 解：∵二次函数为，其中， ∴，函数图象开口向下，故A错误； 对称轴为，故B错误； 当时，， ∵开口向下， ∴有最大值1，故C正确； ∵对称轴且开口向下， ∴当时，y随x增大而减小，故D错误． 故选：C． 11．（25-26学年九上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）已知，，是抛物线上的点，则、、的大小关系是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由抛物线的对称性可得抛物线对称轴，由a＜0可得抛物线开口向下，进而求解． 【详解】 解：根据题意，则 ∵， ∴对称轴是：， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：A 【点睛】 本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的性质，正确的进行判断． 12．（25-26学年九上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A.      B.      C.      D.      【答案】B 【分析】 本题主要考查了二次函数和一次函数图象的综合判断；解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质． 【详解】 解：A、由抛物线，可知图象开口向下，交y轴的正半轴，可知，，由直线可知，图象过二，三，四象限，，故此选项不符合题意； B、由抛物线，可知图象开口向上，交y轴的负半轴，可知，，由直线可知，图象过一，二，四象限，，，故此选项符合题意； C、由抛物线，可知图象开口向下，交y轴的负半轴，可知，，由直线可知，图象过一，二，三象限，，，故此选项不符合题意； D、由抛物线，可知图象开口向上，交y轴的正半轴，可知，，由直线可知，图象过一，三，四象限，，，故此选项不符合题意； 故选：B． 13．（25-26学年九上·云南红河哈尼族·期中）直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查二次函数的图象、一次函数的图象．根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中和的正负情况和二次函数图象中的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】 解：由一次函数的图象可知，， 则抛物线与轴的交点在原点上方，故排除AB选项； ∵，， ∴， ∴抛物线的对称轴直线， 即对称轴位于轴左侧，故C选项不符合题意，D选项符合题意； 故选：D． 14．（25-26学年九上·云南保山隆阳区一类区·期中）抛物线的顶点坐标是（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．利用配方法把一般式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可． 【详解】 解：∵ ， ∴顶点坐标为． 故选：A． 15．（25-26学年九上·云南保山隆阳区一类区·期中）若点在二次函数的图象上，则的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的对称性和增减性，掌握二次函数的性质是解题的关键．先求出抛物线的对称轴和点关于对称轴的对称点的坐标，再利用二次函数的增减性求解即可． 【详解】 解：∵二次函数， ∴二次函数图象的对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向下，当时，y随x的增大而减小， 当关于二次函数图象对称轴对称的点的坐标为， ∵点为顶点，值最大。在对称轴右侧，y随x的增大而减小， 又， ∴， ∴． 故选：D． 16．（25-26学年九上·云南保山隆阳区一类区·期中）二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数图象与系数的关系．从图象中获取正确的信息是解题的关键．根据二次函数图象与系数的关系进行判断作答即可． 【详解】 解：由图象可知，抛物线的开口向下，， 抛物线的对称轴在轴的右侧，， ∴， 抛物与轴交于正半轴，， 故选：C． 17．（25-26学年九上·云南昭通绥江县·期中）如图，在直角坐标平面内，为原点，二次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据抛物线的开口方向、对称轴、与轴的交点等信息判断、、的符号及相关代数式的值． 由开口方向得的符号；由对称轴公式得与的关系；由与轴的交点坐标代入函数式判断相关代数式的值；结合、的符号进而分析各选项． 【详解】 解：由图象可知，抛物线开口向上，则； 对称轴为，即，得，故D错误； 抛物线与轴交于，代入得，故C错误； 当时，对应函数值为抛物线顶点纵坐标，因顶点在轴下方，故，故B正确； 由得，因，故； 则，即A错误． 故选：B． 18．（25-26学年九上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①ab＞0；②a+3b+9c＞0；③4a+b=0；④当y=﹣2时，x的值只能为0；⑤3b﹣c＜0，其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【分析】由抛物线的开口向上得到a＞0，由与y轴的交点为（0，-2）得到c=-2，而对称轴为x=-=2，得b=4a，进一步得到b＜0，由此判定① 错误；由b=-4a，c=-2，代入a+3b+9c得到a+3b+9c=a+3×（-4a）+9c=-11a-18＜0，由此判定② 错误；由b=-4a得到4a+b=0，由此确定判定③ 正确； 点（0，-2）和（4，-2）关于对称轴x=2对称，故当y=-2时，x的值为0和4，由此判定④ 错误；当x=-1时，y=a-b+c=0，由b=-4a，代入得到c=-5a，则3b-c=-12a+5a=-7a＜0，由此判定⑤ 正确． 【详解】由图象可得，a＞0，b＜0， ∴ab＜0，故① 错误， ∵-＝=2，c=-2， ∴b=-4a，c=-2， ∴a+3b+9c=a+3×（-4a）+9c=-11a-18＜0，故② 错误； ∴b=-4a， ∴4a+b=0，故③ 正确； ∵对称轴为x=2， ∴点（0，-2）和（4，-2）关于对称轴x=2对称， ∴当y=-2时，x的值为0和4，故④ 错误； 当x=-1时，y=a-b+c=0， ∵b=-4a， ∴a+4a+c=0， ∴c=-5a， ∴3b-c=-12a+5a=-7a＜0，故⑤ 正确． 综上，可得正确结论的个数是2个：③ ⑤． 故选B． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：① 二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；② 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③ 常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． 19．（25-26学年九上·云南昆明·期中）在同一个平面直角坐标系中，二次函数，的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点与其系数的关系． 根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的正负情况，从而可以解答本题． 【详解】 解： 二次函数，， 二次函数开口向上，排除选项A； 当时，一次函数经过一、二、四象限，排除选项C， 当时，，，相应的函数值互为相反数，只有选项D符合题意； 故选∶D． 20．（25-26学年九上·云南昆明·期中）已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 根据二次函数的图象和性质，先确定对称轴，再根据增减性进行求解即可． 【详解】 解：∵ 二次函数的对称轴为，且开口向下， ∴ 点离对称轴越近，值越大， 计算各点到对称轴的距离： 点：， 点：， 点：， ∴ 距离关系：近，其次，最远， 故值大小关系为，即， 故选： C． 21．（25-26学年九上·云南红河哈尼族·期中）如图是二次函数的图象的一部分，图象过点，二次函数的对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的是（       ） A. ②③⑤ B. ①③ C. ②③ D. ①④⑤ 【答案】B 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 利用二次函数的图象和性质逐项进行判断即可． 【详解】 解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故① 正确， ∵抛物线开口向下， ∴， ∵， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴， ∴，故② 错误， ∵， ∴，故③ 正确， ∵时，， ∴，故④ 错误， ∵，且对称轴为直线， ∴抛物线与横轴另一个交点坐标为， 通过图象可得，当时，，故⑤ 错误， 故选：B． 22．（25-26学年九上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）已知二次函数（为常数，且）的图象如图所示，则下列结论不正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与x轴、y轴的交点情况，对称轴与x轴交点情况，有时也要掌握开口情况． 根据二次函数的图象与x轴、y轴的交点情况，对称轴与x轴交点情况逐一判断，即得． 【详解】 解：A. ∵二次函数（为常数，且）的图象交y轴于正半轴， ∴． ∴A选项正确． B. ∵二次函数（为常数，且）的图象的对称轴交x轴于正半轴， ∴． ∴． ∴． ∴B选项正确． C. ∵二次函数（为常数，且）的图象与x轴有两个交点， ∴． ∴ C选项正确． D. ∵二次函数（为常数，且）的图象交x轴于， ∴． ∴D选项不正确． 故选：D． 23．（25-26学年九上·云南大理白族自·期中）二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图像如图所示，图像过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④图像过点．其中正确的结论有（     ） A. ①② B. ②④ C. ①③④ D. ③④ 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的图像与性质，根据二次函数的图像性质，如开口方向、对称轴、与坐标轴的交点等，来判断各个结论的正确性． 【详解】 解：结论① ：由图可知，，， ∵二次函数对称轴为， ∴， ∴，结论① 正确； 结论② ：∵二次函数对称轴为， ∴，与不符，结论② 错误； 结论③ ：当时，， 由图像可知，当时，， ∴，结论③ 正确； 结论④ ：∵二次函数的对称轴为，过点， ∴二次函数的图像与x轴的另一个交点为，结论④ 正确， 综上所述，正确的结论为：① ③ ④ ． 故选：C． 24．（25-26学年九上·云南昭通昭阳区·期中）已知二次函数的图象经过点，． （1）求该二次函数的解析式． （2）请判断点是否在该二次函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1）该二次函数的解析式为     （2）点在该二次函数的图象上      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标特征利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）将点，的坐标代入，利用待定系数法即可求出该二次函数的解析式； （2）将代入二次函数解析式中求出y值，结合二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论． (1) 小问详解： 解：二次函数的图象经过点，， ， 解得： ， ∴该二次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：当时，， ∴点在该二次函数的图象上． 25．（25-26学年九上·云南昆明东川区·期中）已知二次函数． （1）在平面直角坐标系中，利用描点法画出该函数图象（列表）． … … … … 利用函数图象回答下列问题： （2）当               时，随的增大而增大； （3）当时，函数的取值范围为               ． 【答案】（1） 如图： … 0 1 2 3 … … 0 0 … （2）；（3） 【分析】 本题主要考查的是抛物线的顶点式，画二次函数的图象，二次函数的性质等知识，掌握以上知识、利用数形结合的方法解题是关键． （1）在对称轴的两侧取两组对称点，列表，然后描点、连线即可； （2）在对称轴的右侧符合题意，从而可得答案； （3）通过图象进而可以判断得解． 【详解】 解：（1）略    （2）∵ 开口向上；对称轴为：； ∴当时，随的增大而增大 故答案为： （3）当时，由图象可知函数的取值范围为：；                                                                          故答案为：． 26．（25-26学年九上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，将二次函数一般式化为顶点式，熟练掌握知识点是解题的关键． 先将一般式化为顶点式，判断出抛物线的对称轴和开口方向，再根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】 解：∵二次函数 ，， ∴当时，函数取得最大值4，对称轴为直线， ∵，且， ∴当时，此时函数取得最小值． ∴当时，函数值y的取值范围是． 故答案为：． 27．（25-26学年九上·云南昆明·期中）若函数是二次函数且有最小值，则　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了二次函数的定义，二次函数的性质等知识．根据二次函数的定义得到，解得，根据二次函数有最小值，得到需开口向上，，即可求出，问题得解． 【详解】 解：∵函数是二次函数， ∴， 解得， ∵函数有最小值， ∴， ∴． 故答案为：2 28．（25-26学年九上·云南曲靖宣威务德镇第一中学·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点为抛物线顶点，已知，连接，抛物线对称轴与交于点． （1）求的值； （2）求的长； （3）点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，是否存在以为边，且以点为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）存在，点P的横坐标为或或      【分析】 本题主要考查二次函数的性质和平行四边形的性质， （1）利用待定系数法求得二次函数解析式即可得知 （2）根据解析式可得顶点的坐标；第一问求得直线解析式，可求得的长． （3）根据题意设和，根据平行四边形的性质分类讨论即可求得答案． (1) 小问详解： 解：将代入得： ， 解得：， (2) 小问详解： 由（1）可得抛物线解析式为 ∵ ∴顶点， 当时， 解得：，， ∴， 当时，， ∴， 设直线解析式为， 将、代入得： ， 解得： ， ∴直线解析式为， 当时，， ∴， ∴； (3) 小问详解： 存在． ∵抛物线解析式为，直线解析式为， 设，，则 分类讨论： ① 当点在点下方时， ， 解得：，， ② 当点在点上方时 ， 解得：（舍去），， 综上所述，点P的横坐标为或或． 29．（25-26学年九上·云南昭通昭阳区·期中）阅读下列材料： 在数学中，当我们遇到含有高次幂的多项式时（如，等），如果已知某个变量满足一个低次方程（通常是二次方程），就可以通过“降次代换”的方法将高次项逐步转化为低次项，从而简化计算．这种方法的核心在于利用已知的等式关系，系统性地降低多项式的次数，最终使复杂的表达式变得易于处理． 例：已知，求的值． 解决本题的思路可以为： 步骤1：计算 由等式得，， 步骤2：代入原式并化简 将和代入． 步骤3：代值并计算 通过计算出或，分别代入即可求出的值为7或19． 根据以上材料，解答下列问题： 已知抛物线． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若点在抛物线上，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了二次函数的性质、分式的化简求值、代数式求值等知识点，掌握降幂思想是解题的关键． （1）根据二次函数的性质求解即可； （2）根据二次函数图象的性质可得，易得且；再将，，再代入化简即可． (1) 小问详解： 解：抛物线的对称轴方程为． (2) 小问详解： 解：∵点在抛物线上， ，即：， ∴， ， ∴且， ， ， ． 30．（25-26学年九上·云南昭通绥江县·期中）如图，抛物线经过点和点，与轴交于点，点是点关于对称轴对称的点． （1）求抛物线的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）；     （2）3．      【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的对称性，用待定系数法求二次函数的解析式，理解抛物线是轴对称图形是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）先求出点的坐标，再根据对称性求出点的坐标，最后根据三角形的面积公式直接求解即可． 【详解】 解：（1）抛物线经过点和点， 抛物线的解析式为：； （2）， 点的坐标为，对称轴为， 点是点关于对称轴对称的点， 点的坐标为， ， . 31．（25-26学年九上·云南文山第二学区·期中）如图，已知二次函数的图象经过、两点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】（1）     （2）存在，      【分析】 本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可解决问题． （2）根据轴对称的性质，连接交对称轴于点，连接，此时的周长最小． 据此可解决问题． (1) 小问详解： ∴二次函数的图象经过、两点． ∴ 解得： ∴二次函数的解析式为： (2) 小问详解： 解：存在，理由如下： ∵点，抛物线的对称轴是， ∴点关于对称轴的对称点的坐标为， 连接交对称轴于点，连接，此时的周长最小． 设直线的解析式为，把和代入得： 解得 ∴， ∵点的横坐标为， ∴， ∴点的坐标为 32．（25-26学年九上·云南州香格里拉·期中）如图，抛物线与x轴交于A、两点，对称轴是直线． （1）求二次函数的解析式； （2）在x轴上方的抛物线上有一点C，且，求点C的坐标． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 本题考查的是抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，熟悉函数与坐标轴的交点坐标的求法是解决问题的关键． （1）根据抛物线对称轴得，再利用待定系数法求解即可； （2）根据，可得出点C的纵坐标，根据面积公式从而可以求得点C的坐标． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与x轴交于A、两点，对称轴是直线， ∴， 将，代入抛物线得 ， 解得 ， 抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：∵，， ， ∵， 的纵坐标应为5， 把代入函数得， 解得，， 点C的坐标为或． 33．（25-26学年九上·云南昆明嵩明县·期中）已知：抛物线． （1）若，求的值； （2）求证：抛物线与轴总有两个交点； （3）若点，点是该抛物线上两点，且当时，二次函数的最大值与最小值的差为5，求的值． 【答案】（1）-7     （2） 对于抛物线，其一般形式为（这里，为一次项系数，为常数项），根据判别式公式，可得： 因为， 所以，即． 所以抛物线与轴总有两个交点．     （3）或3      【分析】 本题考查了二次函数的求值、与轴交点的判别以及在区间内的最值问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，分情况讨论区间与对称轴的位置关系来确定最值． （1）将，直接代入抛物线方程，按照运算顺序计算即可求出的值． （2）通过计算抛物线的判别式，将其变形为完全平方式加正数的形式，利用完全平方式的非负性证明，从而得出抛物线与轴总有两个交点． （3）首先利用抛物线的对称性求得对称轴为直线，进而求得，即可求得抛物线为，然后分4种情况，当时，即，，解得，当时，，解得，当时，函数的最小值是，函数的最大值，不符合题意；当时，函数的最小值是，函数的最大值，不符合题意． (1) 小问详解： 当，时， (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 点，点是该抛物线上两点， 抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上， ， ， ， 当时，， 当时，，当时，， 当时，即，此时函数的最小值是，函数的最大值， ， 解得：， 当时，此时函数的最小值是，函数的最大值， ， 解得：， 当时，函数的最小值是，函数的最大值， ， 解得：，但，所以这两个解都不符合要求，舍去．； 当时，函数的最小值是，函数的最大值， ， 解得：(舍去)或(舍去)； 综上所述：或． 34．（25-26学年九上·云南昆明嵩明县·期中）已知二次函数图象上的部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： 0 1 2 3 5 5 0 0 5 12 根据以上信息回答下列问题： （1）二次函数图象的顶点坐标是_____________，_____________，_____________； （2）求二次函数的表达式． 【答案】（1），4，12     （2）      【分析】 本题考查的是二次函数的图象和性质．掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）由表格数据知，顶点坐标为，根据函数关于抛物线的对称轴对称，即可求解； （2）由待定系数法即可求解； (1) 小问详解： 解∶由表格数据知，顶点坐标为， 因为二次函数图象关于对称轴对称，对称轴为， 已知时，时， 所以， 解得． 同理，与关于对称，时， 所以； 故答案为；，4，12． (2) 小问详解： 设二次函数的表达式为， 把，代入得： ，即， 解得． 所以二次函数的表达式为． 35．（25-26学年九上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）已知二次函数． （1）将函数化为的形式； （2）写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）在平面直角坐标系中画出该函数的图象． 【答案】（1）     （2）开口向上，对称轴：，顶点坐标为     （3） 解：∵二次函数的开口向上， 顶点坐标为，与轴的交点为，对称轴为直线，与轴的交点坐标为，则关于对称轴对称的点坐标为，然后在平面直角坐标系里描出这五个点，进而用圆滑的曲线连接即可，如图示： ．      【分析】 （1）利用配方法即可化成顶点式； （2）由（1）可直接进行解答； （3）由（2）及五点法进行作图即可． 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及五点法作图是解题的关键． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解：∵， ∴二次函数的图象开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线； (3) 小问详解： 略 36．（25-26学年九上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次函数解析式的求解和图象性质： （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的对称性知A关于对称轴对称的点为B，则，，当B、P、C三点共线，取最小值．求出直线的表达式，求出与抛物线对称轴的交点即为P． (1) 小问详解： 解：将代入，得 ， 解得， 抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解：由题可知，A关于对称轴对称的点为B，则， ∴， 当且仅当B、P、C三点共线时，等号成立， 即当B、P、C三点共线时，的最小值为， 设直线为， 将代入，得 ， 解得 ， ∴直线为， 当时，， ∴P的坐标为． 37．（25-26学年九上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）已知抛物线． （1）若抛物线经过点时，求a的值； （2）若点，在此抛物线上，求的值． 【答案】（1）2     （2）2025或2007      【分析】 本题考查了二次函数的性质，以及代数式求值，解题的关键在于熟练掌握二次函数的性质． （1）将点代入抛物线解析式求解，即可解题； （2）把代入函数解析式得得到，，再分两种情况① 若与不重合，② 若与重合，求出的值，最后将，，以及的值代入式子求解，即可解题． (1) 小问详解： 解：∵抛物线经过点， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：把代入函数解析式得， 整理得：， ∴， ∴， ① 若与不重合， 则，解得：， ∴ ； ② 若与重合，则， ∴ ． 38．（25-26学年九上·云南昆明·期中）已知抛物线经过点，且当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．设是抛物线与轴交点的横坐标． （1）求该抛物线的解析式； （2）求代数式的值． 【答案】（1）      （2）       【分析】 本题考查了二次函数解析式的求解及代数式的求值，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用对称轴和点的坐标求解析式即可； （2）利用抛物线与轴的交点方程，通过代数变形整体代入求值． (1) 小问详解： 解：抛物线经过点， 代入得，即， 又当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 对称轴为即， ， 该抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：是抛物线与轴交点的横坐标， ， 两边除以得， ， 方程两边除以得，即， ， ， ， ． 39．（25-26学年九上·云南文山州砚山·期中）已知点和都在抛物线（是常数）上，那么　　　　　　　　　　（填“”，“”，“”）． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的增减性、对称轴，熟练掌握二次函数的增减性是解答本题的关键． 根据二次函数的增减性解答即可． 【详解】 解：抛物线的图象开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 40．（25-26学年九上·云南红河哈尼族·期中）如图，二次函数的图象经过，，三点． （1）观察图象，直接写出：当x满足          时，随x的增大而减小． （2）求抛物线的解析式； （3）观察图象，直接写出：当时，y的取值范围          ． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）直接观察图象即可得出结果； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）图象法求出的取值范围即可． (1) 小问详解： 解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线， 当时，随x的增大而减小； 故答案为：； (2) 小问详解： 设抛物线的解析式为， 把，，代入，得 ，解得 ， ∴； (3) 小问详解： ∵， ∴当时，； 由图象可知：当时，． 41．（25-26学年九上·云南红河哈尼族·期中）如图，二次函数 的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为点M． （1）求点A， B， C， M的坐标； （2）对称轴上有一点P，当最小时，求点P的坐标； （3）二次函数图象上是否存在点 Q，使，若存在请直接写出点Q的坐标，若不存在请说明理由 【答案】（1），，，     （2）     （3）存在，或或或      【分析】 本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）对于，当时，，可求出点C的坐标；令，则或3，可求出A和B的坐标；化为顶点式可求出点M的坐标； （2）点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，则点P为所求点，即可求解； （3）由，则，即可求解． (1) 小问详解： 解：对于， 当时，， ∴． 令，则 解得：或3， ∴，． ∵， ∴ (2) 小问详解： 解：点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，则点P为所求点， 由（1）点， 设直线的表达式为：， 则， 解得：， ∴直线的表达式为：， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， 即点； (3) 小问详解： 解：存在，理由： 由（1）可知点， ∵，则， ∴，即， 解得：或， ∴点Q的坐标为：或或或． 42．（25-26学年九上·云南保山隆阳区一类区·期中）已知二次函数． （1）求该函数图像的顶点坐标和对称轴． （2）求该函数图像与x轴、y轴的交点坐标． （3）画出该函数图像的示意图． （4）当x取何值时，y随x的增大而减小？ 【答案】（1）顶点坐标为，对称轴为直线     （2）函数图像与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为或；     （3） 函数图像如图所示：       （4）      【分析】 此题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）根据二次函数的性质，即可求解； （2）令和，解方程求解即可； （3）列表，描点，连线即可； （4）根据函数图像，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵二次函数， ∴该函数图像的顶点坐标为，对称轴为直线； (2) 小问详解： 解：将代入函数，则， ∴函数图像与y轴的交点坐标为； 令， 解得， ∴函数图像与x轴的交点坐标为或； (3) 小问详解： 解：列表如下： 描点，连线作出图形的图像略； x …… …… y …… …… (4) 小问详解： 解：当时，y随x的增大而减小． 43．（25-26学年九上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，对称轴是直线． （1）求二次函数的解析式； （2）在轴上方的抛物线上有一点，且，求点的坐标． 【答案】（1）此抛物线的解析式为；     （2）点或．      【分析】 本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数图像的性质，解决此题的关键是运用二次函数图像的对称性求出的长度； （1）运用待定系数法求出二次函数的解析式即可； （2）先运用二次函数图像的对称性求出A的坐标，再根据三角形的面积公式得到点C的纵坐标，进而得到点C的坐标即可解决问题； (1) 小问详解： 解：由题意可得： ， 解得： ， ∴此抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：由题可知点、两点关于对称轴直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线顶点为， 设点的纵坐标为， ∵， ∴， 解得， ∴， 令， 解得， ∴点或． 44．（25-26学年九上·云南昭通昭阳区·期中）已知抛物线与x轴的左右交点分别为点A、点B，与y轴交点为点C，若将此抛物线向下平移4个单位长度后，其顶点坐标为． （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）设点P在该抛物线的对称轴上运动，是否存在点P，使的周长最小？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）设点M在该抛物线的对称轴上运动，当是直角三角形时，求出所有满足条件的点M的坐标． 【答案】（1）顶点坐标为     （2） 解：不存在，理由如下： 由（1）可知抛物线的顶点坐标为 ，解得 ∴该抛物线的解析式为． ∵抛物线与轴的左右交点分别为点、点 令，解得或 ， ． ∵点在抛物线的对称轴上， ∴设点的坐标为． 又∵点关于对称轴对称， ． 的周长为， 又， 的周长为， ∴当时，的周长最小，此时点的坐标为， 又∵点在轴上，不能构成三角形， ∴不存在点，使的周长最小．     （3）点的坐标为或或或      【分析】 本题主要考查了平移的性质、二次函数的综合题、勾股定理、轴对称的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据平移的定义即可解答； （2）由（1）可知抛物线的顶点坐标为，据此列方程组可得 ，即该抛物线的解析式为；再求得即．易得当时，的周长最小，此时点的坐标为，但此时不能构成三角形，据此即可解答； （3）如图，设的坐标为，易得，、，然后分、、三种情况，分别利用勾股定理列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线向下平移4个单位长度后，其顶点坐标为， ∴抛物线的顶点坐标为． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，设的坐标为， 由勾股定理得，，，， 此时分三种情况考虑： ① 当时，有，即，解得：， ∴点的坐标为； ② 当时，有，即，解得：， ∴点的坐标为或； ③ 当时，有，即，解得：， ∴点的坐标为； 综上所述，当是直角三角形时，点的坐标为或或或． 45．（25-26学年九上·云南昆明东川区·期中）在平面直角坐标系中，抛物线为常数，且，与x轴交于A，两点点A在点B的左侧，与y轴交于点 （1）求c的值用含a的代数式表示 （2）若抛物线开口向上，且，求a的值． （3）已知点，，若该抛物线与线段只有一个公共点，求a的取值范围． 【答案】（1）     （2）2     （3）或或      【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质． （1）把点代入解析中即可得c的表达式； （2）由解析式可求出对称轴为直线，点利用对称性可得点，最后利用两点间距离公式列方程即可求解a的值； （3）分以下几种情况讨论：① 当时，若抛物线的顶点在线段上，则，解得； 当时，，满足抛物线与线段只有一个交点，即， ② 当时，当时，，满足抛物线与线段只有一个交点，即，综合以上所有情况即可得到a的取值范围． (1) 小问详解： 解：把点代入中，得， 解得； (2) 小问详解： 由（1）得， 抛物线的对称轴为直线， 点 抛物线与轴交于点C， 点 ， ， 解得（开口向上，负值舍去）， 的值为； (3) 小问详解： 分以下几种情况讨论： ① 当时， 若抛物线的顶点在线段上， 则，解得； 当时，，满足抛物线与线段只有一个交点． 即， ， ② 当时， 当时，，满足抛物线与线段只有一个交点， 即， ， 综上所述，a的取值范围为或或 46．（25-26学年九上·云南州香格里拉·期中）已知a是常数，函数． （1）若，求y的值； （2）若，求y的最小值； （3）若，，记，求T的值． 【答案】（1）2     （2）     （3）或      【分析】 本题考查了二次函数的性质、分式化简求值，等式的性质． （1）把直接代入函数解析式即可求解； （2）当时函数解析式为，即可得到当时，y有最小值，最小值为； （3）根据，得到或，当时求出，代入得到；当时，得到，，整体代入，再变形求解得到． (1) 小问详解： 解：当时，； (2) 小问详解： （2）当时，， ∵， ∴当时，y有最小值，最小值为； (3) 小问详解： 解：把，代入， 得， 即， ∴或， 当时，， ； 当时， ，方程有实数解， ∴，， ∴． 综上所述，T的值为或． 47．（25-26学年九上·云南保山隆阳区一类区·期中）综合题：如图，抛物线经过点三点． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是抛物线在第一象限上的一动点，求四边形面积的最大值． （3）在抛物线上是否存在点P，使的面积为6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）存在，点P的坐标为或或或      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象和性质，求二次函数的解析式，二次函数和三角形面积的综合，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及其性质． （1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）设，根据，列出关于的二次函数，再利用二次函数的性质求解即可； （3）设，利用三角形面积公式，列出，再利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：将、、代入得 ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：如图，连接， 设， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，四边形面积最大，最大值为； (3) 小问详解： 解：存在，点P的坐标为或或或， 设， ∴， ∵， ∴，即， ∴或， ∴或， 解得或或或， 综上，点P的坐标为或或或． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·云南昆明东川区·期中）已知二次函数（，，，为常数）的与的部分对应值如表： 判断方程的一个解的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查的知识点是图象法求一元二次方程的近似根，解题关键是正确理解二次函数图象和一元二次方程关系． 仔细看表，可发现的值和最接近，再看对应的的值即可得解． 【详解】 解：由表可以看出，当取与之间的某个数时，， 即这个数是的一个根， 的一个解的取值范围为． 故选：． 2．（25-26学年九上·云南州香格里拉·期中）二次函数的图象与轴的交点个数是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 不能确定 【答案】A 【分析】 本题考查二次函数与轴交点问题，转化为一元二次方程根的判别式求解是解题的关键． 通过计算二次方程的判别式，判断图象与轴的交点个数． 【详解】 解：令，得方程． ∵ ， ∴ 方程无实数根，故图象与轴无交点． 故选：A． 3．（25-26学年九上·云南保山隆阳区一类区·期中）如图，抛物线与轴交于两点，则方程的解是（     ） A. 或 B. 且 C. 或 D. 且 【答案】A 【分析】 本题主要考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程的根与抛物线与x轴的交点的横坐标的关系，二次函数的性质等知识点，利用抛物线与x轴的交点的横坐标与一元二次方程根的联系即可得出结论．熟练掌握其性质，利用数形结合法是解决此题的关键． 【详解】 解：∵与x轴交于点，两点， ∴方程的两个根为或， 故选：A． 4．（25-26学年九上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）对于二次函数，下列说法正确的是（     ） A. 开口向下 B. 与轴交于点 C. 对称轴是直线 D. 当时，随的增大而减小 【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，求二次函数与y轴的交点坐标，根据解析式可得对称轴和开口方向，进而可得增减性，据此可判断A、C、D，求出时的函数值即可判断B． 【详解】 解：∵二次函数解析式为，， ∴函数开口向上，对称轴为直线，故A说法错误，C说法正确； ∴当时，随的增大而增大，故D说法错误； 在中，当时，， ∴二次函数与轴交于点，故B说法错误； 故选：C． 5．（25-26学年九上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）二次函数的图象与轴的交点个数是（     ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无法确定 【答案】A 【分析】 本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与轴的交点个数即为其对应的一元二次方程的实数根个数，据此求解即可． 【详解】 解：当时，，此时， ∴方程无实数根， ∴二次函数的图象与轴的交点个数是0个， 故选：A． 6．（25-26学年九上·云南文山第二学区·期中）如图为函数的部分图象，则一元二次方程的根为（     ） A.  B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【分析】 本题考查二次函数与一元二次方程的关系，运用数形结合思想，关键是利用抛物线的对称性求方程的根，易错点是对对称轴与交点横坐标关系的理解错误；根据抛物线的对称轴和已知交点，利用对称性求出另一个交点横坐标，即可得到方程的根． 【详解】 解：观察图像可知抛物线的对称轴为，且抛物线与轴的一个交点为； 根据二次函数图象的对称性，设另一个交点为，则对称轴， 解得； 所以一元二次方程的根为，； 故选：D． 7．（25-26学年九上·云南州香格里拉·期中）已知二次函数为常数，且的图象如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查二次函数的图象与二次函数系数之间的关系，熟练掌握该知识点是关键． 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】 解：由函数图象可知，， ， ， 故A，B正确； 抛物线与x轴有两个交点， ， 故C正确； 抛物线经过， 当时，，故D不正确． 故选：D． 8．（25-26学年九上·云南昆明·期中）抛物线的部分图象如图所示，它与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，当时，的取值范围是（       ） A.  B.  C. 或 D. 无法确定 【答案】A 【分析】 本题考查抛物线的对称性，利用图象求不等式的解集，根据对称性求出函数与轴的另一个交点坐标，结合图象确定解集即可． 【详解】 解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 由图象可知，当时，图象在轴的上方，即， ∴当时，x的取值范围是； 故选：A． 9．（25-26学年九上·云南红河哈尼族·期中）如图，抛物线与直线的两个交点分别为，，则关于x的方程的解集为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】 本题考查了一次函数及二次函数图象上点的坐标特征，利用图象解不等式，根据抛物线与直线的两个交点分别为，，当抛物线在直线的上方时，自变量x的取值即为的解集求解即可． 【详解】 解：抛物线在直线的上方时，自变量x的取值即为的解集，，， 或， 故选：C． 10．（25-26学年九上·云南红河哈尼族·期中）二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A. 且 B. 且 C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查二次函数与x轴的交点问题．二次函数与x轴有交点等价于判别式，且二次项系数，据此求解即可． 【详解】 解：∵ 二次函数的图象与x轴有交点， ∴且， ∴且， 解得且， 故选：A． 11．（25-26学年九上·云南昭通昭阳区·期中）二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，与x轴的一个交点为．则下列结论： ①； ②； ③； ④方程的两实数根为，． 其中正确的结论是（       ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】D 【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题等知识点，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 由抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴得到，利用抛物线与y轴的交点位置得到，则可对① 进行判断；② 利用对称轴可对② 进行判断；找图形中时对应的y的值即可对③ 进行判断；观察图形与x轴的交点的横坐标与对称性可对④ 进行判断． 【详解】 解：①∵抛物线的开口向上， ∴， ∵对称轴为直线，即， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ， ∴，故① 正确． ② ∵， ∴，故② 正确． ③ 由图象得：当时，， ，故③ 错误． ④ 根据对称性可知抛物线与x轴另一交点为， ∵对称轴为直线， ∴方程的另一根为4， ∴方程的两个根为，，故④ 正确． 综上，正确的是① ② ④ ． 故选：D． 12．（25-26学年九上·云南昭通昭阳区·期中）已知二次函数（a≠0）的图象如下图所示，则　　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线与轴的交点，掌握二次函数的性质是解题的关键 ．将点代入抛物线解析式即可求解． 【详解】 解：将点代入次函数得，， 解得，． 故答案为：8． 13．（25-26学年九上·云南昆明东川区·期中）若二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则　　　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 此题考查了二次函数图象与一元二次方程根的关系，根据二次函数图象与一元二次方程的关系“二次函数图象与x轴的交点个数等于对应的一元二次方程根的个数，与x轴横坐标等于对应一元二次方程的解”，即可解答． 【详解】 解：∵二次函数的图象与x轴只有一个公共点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：1． 14．（25-26学年九上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）二次函数与轴的交点坐标是　　　　　　． 【答案】， 【分析】 本题考查了抛物线与轴的交点， 根据抛物线与轴的交点问题，通过解方程即可得到抛物线与轴的交点坐标． 【详解】 解：当时，，即， 解得，， 二次函数的图象与轴的交点坐标是，． 故答案为：，． 15．（25-26学年九上·云南昆明·期中）若二次函数的图象与轴没有公共点，则的取值范围是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是二次函数的定义，二次函数与x轴的交点问题，解题的关键在于掌握：的图象与x轴没有交点，即没有实数根． 结合二次函数的定义和一元二次方程根的判别式来解答． 【详解】 解：因为是二次函数，函数图象与x轴没有公共点， 所以 解得： 故答案为：． 16．（25-26学年九上·云南大理白族自·期中）二次函数的图象如图所示，当时，自变量x的取值范围是　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数与不等式的关系是解题的关键．由图象可知，求x轴上方图象所对的x的范围即可． 【详解】 解：令得， 解得， 二次函数的图象与x轴的交点为， 由图象可知，当时，自变量x的取值范围是或， 故答案为：或． 17．（25-26学年九上·云南昆明五华区·期中）已知m是常数，二次函数，记． （1）若该二次函数的图象与x轴相交的一个点是，求它与x轴的另一个交点的坐标； （2）若该二次函数的图象过点，求T的值． 【答案】（1）另一个交点坐标为或     （2）的值为      【分析】 本题考查二次函数的性质及代数式的求值，熟练掌握代数式的化简是解题的关键． （1）先根据二次函数与x轴交点的性质，令求出函数与x轴交点的横坐标表达式，再结合已知交点坐标求出的值，进而得到另一个交点坐标； （2）先将已知点代入二次函数解析式得到，再将代入T的表达式，进而求出T的值． (1) 小问详解： 解：二次函数解析式为， 令，得或， 故二次函数的图象与轴交点为和， 图象与轴相交于， 分两种情况：若，则另一个交点为，坐标为； 若，则，即另一个交点为，坐标为； (2) 小问详解： 由图象过点，代入解析式得，即． 化简：，即，得， 将代入， 得， 将代入，得 ． 18．（25-26学年九上·云南昭通绥江县·期中）已知抛物线的对称轴是直线，设是抛物线与轴交点的横坐标，记． （1）求的值； （2）求证：； （3）比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）；     （2） 证明：由（1）得抛物线的解析式为：， 是抛物线与轴交点的横坐标， ，即， ， ；     （3）当时，；当时，；理由如下： 由（1）得， 解得：， ， ① 当时，， ， ， ； ② 当时，， ， ， ； 综上所述，当时，；当时，．      【分析】 该题考查了二次函数的图象和性质，二次函数解析式求解，解一元二次方程． （1）根据拋物线的对称轴是直线，得出，求解即可． （2）由（1）得抛物线的解析式为：，根据是抛物线与轴交点的横坐标，得，代入求解即可． （3）由（2）得，解得：，则，分为① 当时，② 当时，分别解答即可． (1) 小问详解： 解：拋物线的对称轴是直线， ， 解得：； (2) 小问详解： 略； (3) 小问详解： 略． 19．（25-26学年九上·云南昆明东川区·期中）已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解是 　　　　　　　　　　　　． 【答案】， 【分析】 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．先根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程的解． 【详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为， 抛物线与x轴的一个交点坐标与对称轴距离为：． ∴根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标：． ∴抛物线与x轴的一个交点坐标为． 即或2时，． ∴一元二次方程的解为，． 故答案为：，． 20．（25-26学年九上·云南文山第二学区·期中）已知一元二次方程的两根为和3，则二次函数图像对称轴是直线　　　　　　　　　 ． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系． 根据一元二次方程的两根得出抛物线与x轴的交点，再利用二次函数的对称性可得答案． 【详解】 解：∵一元二次方程的两根为和3， ∴二次函数图像与x轴的交点为和， 由抛物线的对称性知抛物线的对称轴为， 故答案为：． 21．（25-26学年九上·云南大理白族自·期中）已知抛物线经过点，对称轴是直线． （1）求抛物线的解析式； （2）若m是抛物线与x轴的一个交点的横坐标，记，比较M与1的大小． 【答案】（1）     （2）当时，；当时，      【分析】 本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数图象的性质，二次函数与轴的交点问题，以及代数式求值，求得二次函数的解析式是解题的关键； （1）把代入解析式可得，再根据对称轴计算公式可得，据此可得答案； （2）先根据题意得到，即，再把整体代入分子中把分子进行降次求解即可． (1) 小问详解： 解：把代入中得． ∵对称轴是直线， ∴， 解得． ∴抛物线的解析式为． (2) 小问详解： 解：∵是抛物线与轴的一个交点的横坐标， ∴，即． ， ∵， ∴， ∴当时，； 当时，． 22．（25-26学年九上·云南大理白族自·期中）已知二次函数． （1）若，且二次函数的图象经过点，求函数的顶点坐标； （2）若，证明：二次函数的图象和x轴有两个交点． 【答案】（1）     （2） 证明：令， 则， 由得， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴二次函数的图象与x轴有两个交点．      【分析】 本题考查二次函数的性质： （1）将点代入二次函数的解析式，求出b的值，根据二次函数性质即可求出其顶点； （2）令，判断即可． (1) 小问详解： 解：由题可知 ，解得 ， ∴， ∴该二次函数的顶点坐标为； (2) 小问详解： 略 23．（25-26学年九上·云南保山隆阳区一类区·期中）探究题： 在平面直角坐标系中，我们定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标． （2）判断的形状，并说明理由． （3）在下方，抛物线上是否存在整点P，使得的面积为整数？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2） 解：是直角三角形，理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵， ∴是直角三角形；     （3）存在，点P的坐标为或或      【分析】 本题是二次函数的综合题．解决本题的关键是利用待定系数法求出二次函数的解析式，再利用二次函数与坐标轴的交点的坐标的特点求出相应的点的坐标；根据平面直角坐标系中两点之间的距离公式求出线段的长度，再根据勾股定理及其逆定理求解即可． （1）将代入即可求出点的坐标，令解一元二次方程，即可求出点的坐标； （2）连接分别求出的值，再利用勾股定理的逆定理判断的形状； （3）设点且为整数，求出直线的解析式为，连接，过点作轴的垂线交于点，则，再求出，根据的面积为即可解答． (1) 小问详解： 解：将代入，则， ∴， 令， 解得， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：存在，点P的坐标为或或， 设且为整数， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 连接，过点作轴的垂线交于点，则， ∴， ∴的面积为 ， 令， ∵的面积为整数， ∴，即， 当时，则，解得（舍去，不是整数）或（舍去，不是整数）， 当时，则，解得（舍去，不是整数）或（舍去，不是整数）， 当时，则，解得或， 则或， ∴点P的坐标为或； 当时，则，解得， 则， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或或． 考点06 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·云南昭通绥江县·期中）在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度y米与飞行时间x秒的关系式为，当炮弹落到地面时，经过的时间为（       ） A. 40秒 B. 45秒 C. 50秒 D. 55秒 【答案】C 【分析】 炮弹落到地上即，代入解析式解答即可． 【详解】 解：令，则， 解得（舍去），， 故选C． 【点睛】 本题考查二次函数的性质的应用，掌握炮弹落到地上即可以解答本题． 2．（25-26学年九上·云南曲靖宣威务德镇第一中学·期中）在校运动会上，小明同学进行了投实心球比赛，我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线，如图建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度与水平距离之间的函数关系是，则该同学此次投掷实心球的成绩是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的应用；根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可． 【详解】 解：令，即， 解得：（舍去）， ∴该同学此次投掷实心球成绩是10米． 故选：C． 3．（25-26学年九上·云南昭通昭阳区·期中）昭通壮蓝牛队为备战年月底举行的云南省城市足球联赛（简称“滇超联赛”），开展定位球战术训练．现以足球被踢出的位置为原点，水平向右为x轴正方向（指向球门），竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系．已知足球飞行轨迹满足二次函数关系式：，其中y表示足球离地面的高度（单位：米），x表示从足球被踢出的位置到球门方向的水平距离（单位：米）．根据该函数模型计算足球从踢出到落地的水平距离为（       ） A. 6米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解题的关键，根据足球落地时高度，解二次方程即可求得水平距离． 【详解】 解：由题可得：∵足球落地时， ∴， 提取公因式得：， 解得：，， ∴水平距离为米． 故选：C． 4．（25-26学年九上·云南昆明东川区·期中）如图，铅球运动员掷铅球的高度与水平距离之间的函数关系式是，则该运动员此次掷铅球的成绩是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 依题意，该二次函数与x轴的交点的x值为所求．即在抛物线解析式中．令，求x的正数值． 【详解】 解：把代入得： ， 解之得：． 又，解得． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 5．（25-26学年九上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）汽车刹车后行驶的距离（米）关于行驶时间（秒）的函数关系式是，则该汽车从刹车到停止所用时间为　　　　　　　秒． 【答案】3 【分析】 本题考查了二次函数的应用等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．当汽车停下来，刹车后行驶的距离最大，故将二次函数化为顶点式，得到顶点横坐标即可求解． 【详解】 解：， ∴当时，取最大值，即汽车停下来． 故答案为：3 6．（25-26学年九上·云南曲靖宣威务德镇第一中学·期中）云南山川秀美，景区众多，近年来，云南加快建设旅游文化，致力发展旅游业，取得了显著成效．在国庆期间，某景区的门票价格为每人100元，每天最多能接待3500名游客，平均每天能售出1000张门票，为了吸引更多的游客，景区决定适当降低门票价格，经过调查发现，当票价每降低2元时，在国庆期间每天可以多卖出100张门票．设门票的售价为元（为正整数），每天门票的销售量为张． （1）求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当门票的售价定为多少元时，该景区每天获得的门票收入最大，最大收入是多少元? 【答案】（1）     （2）当门票售价定为元时，该景区每天获得的收入最大，最大收入为元      【分析】 本题考查了一次函数的实际应用及二次函数的实际应用； （1）根据每天售出的张门票多售出的张数即可列出函数关系式，利用每天最多能接待名游客得到不等式求出自变量的取值范围； （2）设该景区每天获得的门票收入为元，根据收入=每张售价乘以销售量得到函数关系式，根据二次函数的性质解答即可． (1) 小问详解： 解：由题意可得： ， 每天最多能接待名游客， ， 解得：， ， 与之间的关系式为； (2) 小问详解： 解：设该景区每天获得的门票收入为元， 则， ， 当时，， 答：当门票售价定为元时，该景区每天获得的收入最大，最大收入为元． 7．（25-26学年九上·云南昭通昭阳区·期中）昭通因独特的气候条件盛产优质苹果，当地果农张大叔自家种植了一批品质优良的昭通苹果．为了提高收入，他计划自主销售这批苹果．已知每千克苹果的种植及采摘等成本共计为3元．通过前期试销发现，苹果的日销售量y（单位：千克）与销售单价x（单位：元/千克）密切相关，并满足一次函数关系，前期部分试销数据如下表所示： 销售单价x（元/千克） 5 6 7 日销售量y（千克） 300 270 240 注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价） （1）根据表格中的数据，求出日销售量y关于销售单价x的函数解析式（不要求写出自变量的范围）； （2）若张大叔希望日销售利润达到最大，应将苹果的销售单价定为多少元/千克？此时的最大日销售利润w是多少元？ 【答案】（1）     （2）单价定为9元／千克时，日销售利润最大，最大为1080元      【分析】 本题主要考查了一次函数的应用、二次函数的应用等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先根据利润销售量（销售单价成本价）求出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可解答． (1) 小问详解： 解：设与的函数解析式为 选取数据时，及时，代入解析式可得： ， 解得： ， ∴日销售量关于销售单价的函数解析式为． (2) 小问详解： 解：日销售利润 ， ∴当时，有最大值，最大值为． ∴苹果的销售单价定为9元／千克时，日销售利润最大，最大为1080元． 8．（25-26学年九上·云南昭通绥江县·期中）建水紫陶，别名滇南琼玉，是云南建水特产，也是云南十大手工艺之一．建水紫陶陶泥取自境内五彩山，所制成的器具经无釉磨光，精工细磨拋光，质地细腻，光亮如镜，有坚如铁、明如水、润如玉、声如磬之誉．某经销商从工厂以100元/套的价格购进一批紫陶茶壶，经市场调研，当该紫陶茶壶每套的销售价为200元时，每周可销售40套，当每套的销售价每降价1元，每周的销售量将增加2套．设该紫陶茶壶每套的销售价为元，每周的销售量为套，利润为元． （1）求关于的函数关系式； （2）当每套紫陶茶壶的销售价定为多少元时，每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）；     （2）当每套紫陶茶壶的销售价定为160元时，每周的销售利润最大，最大利润是7200元．      【分析】 本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意列式即可解答． （2）根据利润每套紫陶茶壶的利润销售量列出函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意可得：； (2) 小问详解： 解：由题意可得：， 当时，， 答：当每套紫陶茶壶的销售价定为160元时，每周的销售利润最大，最大利润是7200元． 9．（25-26学年九上·云南昆明东川区·期中）【项目化学习】 项目主题：云南鲜花饼的最优销售单价． 项目背景：鲜花饼，是以云南特有的食用玫瑰花入料的酥饼，是具有云南特色的云南经典点心代表．鲜花饼在本地烘焙品牌均有销售．鲜花饼也是中国四大月饼流派滇式月饼的经典代表之一．昆明某学校数学兴趣小组以探究“云南鲜花饼的最优销售单价”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究云南鲜花饼的销售总利润与销售单价的关系． 研究步骤： （1）学习小组到某特产专卖店了解到云南鲜花饼的成本为10元/盒； （2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对鲜花饼销售量进行统计（不考虑其他因素） （3）数据分析，得出结论． 收集数据： 销售单价（元/盒） … 12 14 16 18 20 … 销售量（盒） … 56 52 48 44 40 … 问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务： （1）根据表中信息可知：该鲜花饼每周的销售量（盒）与销售单价（元/盒）满足______（选填“一次”或“二次”）函数关系，请求出相应的函数关系式； （2）若要使每周销售鲜花饼获得的利润（元）最大，请通过计算说明鲜花饼的最优销售单价应该定为多少元？最大利润是多少？ 【答案】（1）一次，     （2）鲜花饼的销售单价定为25元时，利润最大为450元      【分析】 本题二次函数的综合问题，求一次函数关系式，求二次函数的关系式，求二次函数的最值问题． （1）根据数据变化特点可知是一次函数，再将数值代入求出关系式即可； （2）求出利润的二次函数关系式，配方再讨论得出最值． (1) 小问详解： 解：根据表中信息可知：该鲜花饼每周的销售量（盒）与销售单价（元/盒）满足一次函数关系； 设一次函数关系式为，将，；，； 代入得， ，解得 ， 与的函数关系式为：； (2) 小问详解： 由题意得，． ， 当时，的值最大为450 答：鲜花饼的销售单价定为25元时，利润最大为450元． 10．（25-26学年九上·云南州香格里拉·期中）汽车刹车后行驶的距离米关于行驶时间秒的函数关系式是，则该汽车从刹车到停止所用时间为　　　　　　秒． 【答案】3 【分析】 本题考查了二次函数的最值，汽车停止时行驶距离最大，将二次函数化为顶点式求顶点横坐标即可 【详解】 解：由， ， 函数顶点坐标为， 当时，取得最大值，即汽车停止， 故答案为：3 11．（25-26学年九上·云南州香格里拉·期中）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 鲜花饼是云南人最喜爱吃的特色美食之一，随着中秋节的到来，某超市购进一批鲜花饼进行销售． 素材一 购进单价：3元/个 素材二 如果以4元/个的价格销售，那么每天可售出300个；如果以6元/个的价格销售，那么每天可售出100个． 素材三 每天的销售量（个）与销售单价元存在一次函数关系． 请完成下列任务： 任务一 求y与x之间的函数关系式； 任务二 当销售单价为多少元时，该超市销售鲜花饼每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】任务一：；任务二：当销售单价为5元时，该超市销售鲜花饼每天获得的利润最大，最大利润是400元． 【分析】 本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． 任务一：利用待定系数法求解即可； 任务二：利用总利润单件利润销量，建立关系式，再根据二次函数最值问题求解即可． 【详解】 解：任务一：设y与x之间的函数关系式为， 由题意得 ， 解得 ， 所以y与x之间的函数关系式为； 任务二：设每天获得的利润为w元． 则， 对于二次函数，其中，，， 因为， 所以二次函数图象开口向下，函数有最大值． 对称轴为， 因为，且， 所以当时，w有最大值． 把代入可得：（元）， 答：当销售单价为5元时，该超市销售鲜花饼每天获得的利润最大，最大利润是400元． 12．（25-26学年九上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）某超市销售一种商品，成本价为20元／千克，经市场调查发现，该商品每天的销售量（千克）与销售单价（元／千克）之间满足一次函数关系：． （1）设该超市销售这种商品每天可获利元，求与之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少元时，该超市销售这种商品每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1）     （2）当销售单价定为35元时，可获得最大利润450元      【分析】 本题考查利用二次函数求利润的最大值： （1）利润每千克利润销售量； （2）根据二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解：， ， 当时，最大． ∴当销售单价定为35元时，可获得最大利润450元． 13．（25-26学年九上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）某超市以每件10元的进货单价购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价/元 … 12 13 14 … 每天销售数量/件 … 36 34 32 … （1）求出与之间的函数关系式； （2）设销售这种文具每天获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）     （2）当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元      【分析】 本题考查二次函数与一次函数的应用． （1）设与之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式； （2）根据利润单件利润销售量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值． (1) 小问详解： 解：设与之间的函数关系式为， 将、代入得， ， 解得， ， ∴与的函数关系式为； (2) 小问详解： 解：依题意得，， ， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，有最大值，， 答：当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元． 14．（25-26学年九上·云南昆明·期中）“蒙自石榴”是云南省红河哈尼族彝族自治州的特产，以果大、皮薄、籽粒饱满、汁多味甜而闻名．临近中秋，某水果店购入一批进价为10元/千克的“蒙自石榴”进行销售，经调查发现：销售单价不低于进价且不超过30元/千克时，日销售量（千克）与销售单价（元/千克）的函数关系为． （1）当“蒙自石榴”每天的销售量为32千克时，求销售“蒙自石榴”的利润； （2）当销售单价定为多少时，销售“蒙自石榴”所获日销售利润最大，最大利润是多少? 【答案】（1）利润为320元；     （2）当销售单价定为元时，所获日销售利润最大，最大利润是元．      【分析】 本题考查二次函数的应用等知识，根据题意列出函数解析式是解题的关键． （1）先求得销售单价的值，然后根据单件利润乘以销售量等于总利润即可解答； （2）设日销售利润为元，结合单件利润乘以销售量等于总利润可建立函数解析式求解即可，然后确定售价的取值范围，最后根据二次函数的性质求最值即可解答． (1) 小问详解： 解：由题意得：， 解得：， ∴销售“蒙自石榴”的利润为元． 答：销售“蒙自石榴”的利润为320元； (2) 小问详解： 解：设日销售利润为元，由题意得： ， ∵，且销售单价不低于进价且不超过元/千克，即， ∴当时，有最大值元． 答：当销售单价定为元时，所获日销售利润最大，最大利润是元． 15．（25-26学年九上·云南大理白族自·期中）西安“网红”景区大唐不夜城，以盛唐文化为背景，全面打造集购物、餐饮、娱乐、休闲、旅游、商务为一体的开放式消费场所，已成为西安最具影响力的城市文化地标之一．该景区内某店销售一批成本为55元/袋的绿色健康食品，深受游客青睐．经市场调查发现，该食品每天的销售量y（袋）与销售单价x（元/袋）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．    （1）求该食品每天的销售量y（袋）与销售单价x（元/袋）之间的函数关系式； （2）若超市按售价不低于成本价，且不高于90元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该食品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）     （2）当销售单价定80元，利润最大，此时最大利润是1875元      【分析】 本题考查了二次函数与一次函数在销售问题中的应用； （1）设，将，代入得到二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）设利润为W元，建立W关于x的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最值． (1) 小问详解： 解：设， 将，代入得 ， 解得 ， ． (2) 小问详解： 解：设利润为W元， ，且， ∴函数的对称轴为直线， ∵二次函数图象开口向下，且 ∴当时，（元）， ∴当销售单价定80元，利润最大，此时最大利润是1875元． 16．（25-26学年九上·云南红河哈尼族·期中）公安部提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的规定，若这种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为x元，月销售量为y． （1）直接写出y关于x的函数关系式； （2）该品牌头盔的实际售价定为多少元时，商家能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）     （2）当时，利润最大，最大值为12250元      【分析】 本题考查了二次函数，一次函数的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）根据“售价每涨价1元，则月销售量将减少10个”，列出关系式即可求解； （2）根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于x的二次函数，进而可求出结论． (1) 小问详解： 解：根据题意得：． (2) 小问详解： 解：根据题意得： ． ∴当元时，取最大值元． 17．（25-26学年九上·云南保山隆阳区一类区·期中）应用题：某商场以每件20元的价格购进一批商品，如果以每件30元销售，那么每天可售出100件．经调查发现，这种商品的销售单价每上涨1元，每天销售量就减少10件．设销售单价上涨x元（x为整数），每天销售利润为y元． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）求销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）与之间的函数关系式为     （2）销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大利润是1000元      【分析】 本题主要考查二次函数的应用． （1）由题意易得销售量为件，然后根据“销售利润单个利润销售量”可进行求解； （2）由（1）及根据二次函数的性质可直接进行求解． (1) 小问详解： 解：由题意得 ， 答：与之间的函数关系式为； (2) 小问详解： 解：由（）得， ∵， ∴当时，有最大值为， ∴销售单价定为（元）， 答：当销售单价定为元时，每天销售该商品的利润最大，最大利润为元． 18．（25-26学年九上·云南昆明嵩明县·期中）如图是一个涵洞的截面，其涵洞边缘是拋物线．现测得当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为．这时，离开水面处，涵洞的宽度是　　　　　　　　米． 【答案】 【分析】 根据题意，得到．设抛物线的解析式为，确定抛物线的解析式为：．确定，当时，求自变量的值，解答即可． 本题考查了抛物线的顶点式坐标求解析式，根据函数值求自变量的值，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为， 故， 设抛物线的解析式为， ∴， 解得， 故抛物线的解析式为：， 根据题意，离开水面处，得， 故， 故， 当时，， 解得，， 故，， 故之间的距离为． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $