精品解析：云南迪庆州藏文中学2025- 2026学年上学期九年级 期中考试数学 试题卷

迪庆州藏文中学2025-2026学年（上）2026届九年级期中考试数学试题卷 （全卷共三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将答题卡交回． 一、单选题（本题共15小题，每小题2分，共30分） 1. 刘徽在公元3世纪为《九章算术》作注时写道：“今两算得失相反，要令正负以名之，正算赤，负算黑．”即明确正负数是表示相反意义的量，若盈利300元记作元，则亏损100元应记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 豆包大模型于2024年5月15日正式发布，上线后迅速引起全球关注．据第三方（）最新监测，2026年3月，月活跃用户稳定在310000000户．数据310000000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线 与直线 ， 都相交，若， ，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 6. 由8个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图为（ ） A. B. C. D. 7. 点在反比例函数的图象上，则时，y的值为（ ） A. B. C. D. 4 8. 若正多边形的一个外角等于 ，则这个正多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 9. 若有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 观察下列单项式，探究其规律：，，，，，…按照上述规律，第n个单项式是（ ） A. B. C. D. 11. 如图， 是的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 12. 已知关于的一元二次方程根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 13. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为20.25万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、浇水、剪枝、捉鱼、采摘六项实践活动，已知六个项目参与人数（单位：人）分别是：42，38，36，45，40，42，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 39，41 B. 40，45 C. 41，42 D. 42，42 15. 如图，在 中，点D、E分别在 、边上，且．若，则 的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 二、填空题（本题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：___ 17. 在 中， ，，，则 的值是_____________． 18. 阅读能提升素养、启迪智慧、助力成长．某校数学兴趣小组随机抽取了部分同学，调查他们最喜欢阅读的课外图书类别，将调查结果绘制成如图所示的两个统计图： 若该校共有学生1000人，则该校最喜欢科学类图书的学生大约有____________人． 19. 在中，若直径为 ，某弦的弦心距为，则此弦的长为______． 三、解答题（本题共8小题，共62分） 20. 计算：． 21. 如图，已知 相交于点O，，，求证：． 22. 年春节前，某快递公司为提高配送效率，引进了甲、乙两种型号的“分拣机器人”．已知甲型号机器人每小时分拣数量比乙型号机器人每小时分拣数量多件，且甲型号机器人分拣 件和乙型号机器人分拣 件所用时间相等．求甲、乙型号机器人每小时分拣数量分别是多少件． 23. 为传承中华优秀传统文化，深入挖掘中华经典诗词中所蕴含的民族正气、爱国情怀、道德品质和艺术魅力，引领诗词教育发展，我校举办诗词大赛，第一轮为经典诵读参赛者从《短歌行》《将进酒》《观沧海》《木兰辞》（分别用A、B、C、D表示）中随机抽取一首进行朗诵：第二轮为诗词讲解，参赛者从《蒹葭》《沁园春·雪》《念奴娇·赤壁怀古》（分别用E、F、G表示）中随机抽取一首进行讲解，小明和晓慧都参加了诗词大赛． （1）小明第一轮抽到《将进酒》的概率是______． （2）利用树状图或列表法，求晓慧第一轮抽中《木兰辞》且第二轮抽中《沁园春·雪》的概率． 24. 如图，在中，是的中点， ，． （1）求证：四边形 是矩形； （2）若，求 的长． 25. 宜良烤鸭，是云南省经典的地方传统名肴．起源于明朝，已有600多年的历史，它肥瘦相宜，皮酥脆，内香嫩，光亮油润，色泽红艳，清香离骨，地方风味显著．已知3袋鸭翅比2袋烤鸭贵50元，1袋鸭翅和2袋烤鸭刚好110元（1袋鸭翅为1kg，1袋烤鸭为一整只装）． （1）1袋鸭翅、1袋烤鸭分别是多少元？ （2）仪仪一家计划购买烤鸭和鸭翅共10袋，带回家与亲友共享，其中烤鸭至少比鸭翅多1袋，又不能超过鸭翅的4倍，仪仪想用自己剩余的380元零花钱来买单，请你帮仪仪计算一下她的零花钱够不够付账． 26. 已知抛物线． （1）当时，求抛物线与x轴的交点坐标； （2）已知，，且，求的取值范围． 27. 如图，在Rt 中、 ，点 在边 上，以 点为圆心作圆，交于点 ，交于点 ，与相切于点， ．连接． （1）求证：； （2）若， ，求图中阴影部分的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 迪庆州藏文中学2025-2026学年（上）2026届九年级期中考试数学试题卷 （全卷共三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将答题卡交回． 一、单选题（本题共15小题，每小题2分，共30分） 1. 刘徽在公元3世纪为《九章算术》作注时写道：“今两算得失相反，要令正负以名之，正算赤，负算黑．”即明确正负数是表示相反意义的量，若盈利300元记作元，则亏损100元应记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】正负数可用来表示一对相反意义的量，根据题目给定的规则即可直接得出结果． 【详解】解：∵盈利与亏损是相反意义的量，规定盈利元记作元， ∴亏损元应记作元． 2. 豆包大模型于2024年5月15日正式发布，上线后迅速引起全球关注．据第三方（）最新监测，2026年3月，月活跃用户稳定在310000000户．数据310000000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，据此判断即可． 【详解】解：． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂的除法，单项式乘单项式，乘方的定义，分别根据积的乘方，同底数幂的除法，单项式乘单项式的运算法则及乘方的定义计算即可判断． 【详解】解：A、，故原计算错误，不符合题意； B、，故原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，故原计算错误，不符合题意． 故选：C． 4. 如图，直线与直线，都相交，若， ，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据对顶角相等得到 ，再由平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵ ， ∴ ∵ ∴ ∴． 5. 下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】轴对称图形是指把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的概念逐一进行辨别，即可解答． 【详解】解： B、C、D选项均无法找到这样的一条直线，使得沿着这条直线折叠之后， 直线两旁的部分能完全重合，故它们都不是轴对称图形； A选项，能找到这样的一条直线，使得沿着这条直线折叠之后，直线两旁的部分能完全重合， 故它是轴对称图形． 6. 由8个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等；据此即可求得答案． 本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握其定义及画图方法是解题的关键． 【详解】解：由题干中的几何体可得其左视图为， 故选：A． 7. 点在反比例函数的图象上，则时，y的值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查待定系数法求反比例函数解析式、求反比例函数值等知识． 先根据点在反比例函数的图象上得到 ，则，把代入即可求出y的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得 ， ∴， 当时，， 故选：D 8. 若正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角性质，用外角和除以正多边形的一个外角度数即可求解，掌握正多边形的外角性质是解题的关键． 【详解】解：∵正多边形的外角和为，且每个外角都相等 又∵该正多边形的一个外角为， ∴这个正多边形的边数为， 故选：． 9. 若有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数的非负性、分式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：要使有意义，需同时满足二次根式和分式有意义的条件： 二次根式的被开方数需非负，且是分式的分母，分母不能为0， ， 解得． 10. 观察下列单项式，探究其规律：，，，，，…按照上述规律，第n个单项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】要看各单项式的系数和次数与该项的序号之间的变化规律．本题中，奇数项符号为负，偶数项符号为正，系数变化规律是，字母变化规律是，分别找出单项式的系数和次数的规律即可求解． 【详解】因为第一个单项式是； 第二个单项式是； 第三个单项式是， …， 所以第n个单项式是． 故选：C． 11. 如图，是的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和，等弧对等角，直径对的角是直角，熟练掌握相关知识是解题的关键；先求出，再根据等弧对等角即可解答． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， 故选B． 12. 已知关于的一元二次方程根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当 时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选： ． 13. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为20.25万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，根据某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为20.25万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，列方程，即可作答． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 14. 为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、浇水、剪枝、捉鱼、采摘六项实践活动，已知六个项目参与人数（单位：人）分别是：42，38，36，45，40，42，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 39，41 B. 40，45 C. 41，42 D. 42，42 【答案】C 【解析】 【分析】解：本题考查众数和中位数的概念，根据定义分别计算即可，众数是一组数据中出现次数最多的数据，中位数需先排序，再根据数据个数的奇偶性计算． 【详解】∵给定数据为， ，， ，，，其中出现次数最多，共次， ∴众数为； 将数据从小到大排序得：， ，，，， ， ∵数据总个数为，是偶数， ∴中位数为排序后第个和第个数据的平均数，即 ， 因此这组数据的中位数为 ，众数为． 15. 如图，在中，点D、E分别在、边上，且．若，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据两边成比例且夹角相等证明相似，再根据相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 二、填空题（本题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：___ 【答案】 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】解：． 故答案为：． 17. 在中，，，，则 的值是_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出的长. 再根据直角三角形中锐角正切函数的定义计算 的值即可． 【详解】解：在中，，，， ∴ ， ∴． 18. 阅读能提升素养、启迪智慧、助力成长．某校数学兴趣小组随机抽取了部分同学，调查他们最喜欢阅读的课外图书类别，将调查结果绘制成如图所示的两个统计图： 若该校共有学生1000人，则该校最喜欢科学类图书的学生大约有____________人． 【答案】 400 【解析】 【分析】先求出被调查人数，再求出样本中最喜欢科学类的人数，利用该校总人数乘以样本中喜欢科学类图书的学生人数所占的比求解即可． 【详解】解：被调查人数为（人）， 样本中最喜欢科学类的人数为（人）， 若该校共有学生1000人，则该校最喜欢科学类图书的学生大约有：（人）． 19. 在中，若直径为 ，某弦的弦心距为，则此弦的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，过圆心作弦的垂线，垂足为点，则， ，连接，由题意可得，由勾股定理可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，过圆心作弦的垂线，垂足为点，则， ，连接， ， ∵直径为 ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共62分） 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值、负整数指数幂、二次根式平方、零指数幂、特殊角的三角函数值分别化简算式中每一项，再按照从左到右的顺序依次进行加减运算． 【详解】解： ． 21. 如图，已知 相交于点O，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】证明即可． 【详解】略 22. 年春节前，某快递公司为提高配送效率，引进了甲、乙两种型号的“分拣机器人”．已知甲型号机器人每小时分拣数量比乙型号机器人每小时分拣数量多件，且甲型号机器人分拣 件和乙型号机器人分拣 件所用时间相等．求甲、乙型号机器人每小时分拣数量分别是多少件． 【答案】甲型号机器人每小时分拣件，乙型号机器人每小时分拣件． 【解析】 【分析】设乙型号机器人每小时分拣件，则甲型号机器人每小时分拣件，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设乙型号机器人每小时分拣件，则甲型号机器人每小时分拣件， 由题意得， 解得 ， 经检验， 是原分式方程的解， ． 答：甲型号机器人每小时分拣件，乙型号机器人每小时分拣件． 23. 为传承中华优秀传统文化，深入挖掘中华经典诗词中所蕴含的民族正气、爱国情怀、道德品质和艺术魅力，引领诗词教育发展，我校举办诗词大赛，第一轮为经典诵读参赛者从《短歌行》《将进酒》《观沧海》《木兰辞》（分别用A、B、C、D表示）中随机抽取一首进行朗诵：第二轮为诗词讲解，参赛者从《蒹葭》《沁园春·雪》《念奴娇·赤壁怀古》（分别用E、F、G表示）中随机抽取一首进行讲解，小明和晓慧都参加了诗词大赛． （1）小明第一轮抽到《将进酒》的概率是______． （2）利用树状图或列表法，求晓慧第一轮抽中《木兰辞》且第二轮抽中《沁园春·雪》的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用概率公式进行求解即可； （2）列出表格进行求解即可． 【小问1详解】 解：第一轮随机抽取一首诗词共有4种等可能的结果，其中抽到《将进酒》的结果有1种， ∴； 故答案为：． 【小问2详解】 列表如下： E F G A B C D 共有12种等可能的结果，其中晓慧第一轮抽中《木兰辞》且第二轮抽中《沁园春·雪》只有1种结果； ∴． 【点睛】本题考查列表法求概率．正确的列出表格，熟练掌握概率公式，是解题的关键． 24. 如图，在中，是的中点， ，． （1）求证：四边形 是矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，是的中点， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 又∵ ， ∴， ∴四边形 是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定以及性质，三腰三角形三线合一的性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． （1）由等腰三角形三线合一的性质得出，有平行线的性质得出 ，结合已知条件可得出，即可证明四边形 是矩形． （2）由（1）可知四边形 是矩形．由矩形的性质得出，， ，由勾股定理求出 ，最后根据等面积法可得出，即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 由（1）可知四边形 是矩形． ∴， ∵，是的中点， ∴， 在中，， ∵ ∴ 25. 宜良烤鸭，是云南省经典的地方传统名肴．起源于明朝，已有600多年的历史，它肥瘦相宜，皮酥脆，内香嫩，光亮油润，色泽红艳，清香离骨，地方风味显著．已知3袋鸭翅比2袋烤鸭贵50元，1袋鸭翅和2袋烤鸭刚好110元（1袋鸭翅为1kg，1袋烤鸭为一整只装）． （1）1袋鸭翅、1袋烤鸭分别是多少元？ （2）仪仪一家计划购买烤鸭和鸭翅共10袋，带回家与亲友共享，其中烤鸭至少比鸭翅多1袋，又不能超过鸭翅的4倍，仪仪想用自己剩余的380元零花钱来买单，请你帮仪仪计算一下她的零花钱够不够付账． 【答案】（1）1袋鸭翅为40元、1袋烤鸭为35元 （2）仪仪的零花钱够付账的 【解析】 【分析】本题考查一次函数，二元一次方程组，一元一次不等式组的实际应用： （1）设1袋鸭翅为x元、1袋烤鸭为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设烤鸭购买m袋，花费w元，然后表示出，根据题意得到，求出，然后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 设1袋鸭翅为x元、1袋烤鸭为y元， 依据题意得，， 解得， 答：1袋鸭翅为40元、1袋烤鸭为35元． 【小问2详解】 设烤鸭购买m袋，花费w元， ， 由题意可知，， 解得， ∵m取整数， ∴ ， ∵ ， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w最大，（元）， ∵ ∴仪仪的零花钱够付账的． 26. 已知抛物线． （1）当时，求抛物线与x轴的交点坐标； （2）已知，，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）把代入，然后令求解即可； （2）先求出对称轴为直线 ，然后分当时和当 时两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得 ， 当时， ， 解得 ， ∴抛物线与x轴的交点坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴对称轴为直线． 当时，抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴ ； 当 时，抛物线开口向下，离对称轴越近，函数值越大， ∵， ∴， ∴， 解得 或， ∴ ． 综上可知，的取值范围 或 ． 27. 如图，在Rt中、 ，点在边上，以点为圆心作圆，交于点，交于点，与相切于点， ．连接． （1）求证：； （2）若， ，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：∵与相切于点， ∴ ， 在 和 中， ， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）因为是的切线，则 ，进而用 判定证明 和 全等，则． （2）设的半径为r，在中，可根据勾股定理列方程求出半径r；接着可通过三角函数求出 的度数，再得到 的度数；最后利用扇形面积公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为 ， 在中，，解得， ∴， ∴， ∴， ∴ ． ∴ ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $