专题01 一元二次方程（期中真题汇编，云南专用）九年级数学上学期

**基本信息** 聚焦一元二次方程6大高频考点，汇编云南多地期中真题，覆盖概念、解法及实际应用，梯度设计合理，适配九年级上册期中复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约20题|一元二次方程概念、解法判断、根的情况分析|结合新能源汽车降价、矩形面积等现实情境，考查概念辨析与方法选择| |填空|约10题|配方结果、因式分解、根与系数关系|设置开放性问题，如“生成密码”情境，强化知识迁移能力| |解答|约15题|公式法应用、实际问题建模（增长率、面积）|综合题融合几何与代数，如矩形羊圈设计、运动时间计算，体现数学建模思想|

专题01 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·云南昭通昭阳区·期中）下列方程中属于一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·云南昆明东川区·期中）将一元二次方程化成一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·云南州香格里拉·期中）将一元二次方程化成一般形式后，其一次项系数是（       ） A. －4 B. 2 C. －2 D. 4 4．（25-26学年九上·云南州香格里拉·期中）下列方程是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）下列方程中，是关于的一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·云南昆明·期中）若是方程的一个解，则m的值为（     ） A. 1 B. 2 C.  D.  7．（25-26学年九上·云南昆明·期中）若方程“”是关于的一元二次方程，则“”可以是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·云南保山隆阳区一类区·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·云南昭通绥江县·期中）已知是一元二次方程的一个根，则（     ） A.  B.  C. 3 D. 9 10．（25-26学年九上·云南文山第二学区·期中）关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为（       ） A.  B.  C. 1 D. 2 11．（25-26学年九上·云南文山第二学区·期中）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·云南州香格里拉·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A. 3 B. 2 C.  D.  13．（25-26学年九上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）已知a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（             ） A.  B.  C. 2024 D. 2028 15．（25-26学年九上·云南昆明·期中）将关于的方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是（       ） A. 2，2，5 B. 2，，5 C. 2，2， D.  16．（25-26学年九上·云南大理白族自·期中）若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（       ） A. 2023 B. 2026 C. 2027 D. 2028 17．（25-26学年九上·云南昆明嵩明县·期中）若是一元二次方程的一个根，则　　　　　　　　　　　　　． 18．（25-26学年九上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为　　　　　　． 19．（25-26学年九上·云南昭通昭阳区·期中）若关于x的一元二次方程有一个解为，则　　　　　　． 20．（25-26学年九上·云南大理白族自·期中）已知是关于的一元二次方程，则　　　　　． 21．（25-26学年九上·云南红河哈尼族·期中）已知方程是关于的一元二次方程，则的值是　　　　． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·云南大理白族自·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·云南保山隆阳区一类区·期中）用配方法解方程x2-4x+2=0，配方正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·云南昭通昭阳区·期中）用配方法解方程时，通过配方后可得的形式，则k的值为（     ） A.  B. 4 C. 13 D. 17 4．（25-26学年九上·云南昭通绥江县·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·云南昆明东川区·期中）将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（          ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·云南昆明·期中）用配方法解方程，配方正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）一元二次方程配方后可化为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·云南文山第二学区·期中）如图，是佳佳用配方法解方程时的过程，她在解答过程中开始出错的步骤为（     ） 解： ，① ，② ，③ ，．④ A. ① B. ② C. ③ D. ④ 9．（25-26学年九上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）方程的根是　　　　　． 10．（25-26学年九上·云南保山隆阳区一类区·期中）方程的根为　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·云南昆明东川区·期中）解下列方程： （1）； （2）； （3）． 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·云南曲靖宣威务德镇第一中学·期中）下列一元二次方程中，没有实数根的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·云南曲靖宣威务德镇第一中学·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数的最大值是（     ） A. 2 B. 1 C. 0 D.  3．（25-26学年九上·云南昭通绥江县·期中）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A.  B.  C. 且 D. 且 4．（25-26学年九上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（            ） A.  B.  C. 且 D. 且 5．（25-26学年九上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）一元二次方程的根的情况是（       ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 6．（25-26学年九上·云南红河哈尼族·期中）关于x的一元二次方程 （k为实数）根的情况是（       ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 方程没有实数根 D. 不能确定 7．（25-26学年九上·云南保山隆阳区一类区·期中）已知关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（       ） A. 1 B. －1 C. 4 D. －4 8．（25-26学年九上·云南昆明东川区·期中）一元二次方程的根的情况为（       ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 两个相等的实数根 D. 两个不相等的实数根 9．（25-26学年九上·云南昆明·期中）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·云南大理白族自·期中）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（       ） A.  B.  C. 且 D. 且 11．（25-26学年九上·云南昆明东川区·期中）关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）当时，已知是方程的一个根，求代数式的值． 12．（25-26学年九上·云南文山第二学区·期中）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是　　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·云南保山隆阳区一类区·期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则　　　　　　． 14．（25-26学年九上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）已知关于的方程． （1）求证：此方程总有实数根； （2）若方程有两个相等的实数根，求的值． 15．（25-26学年九上·云南文山第二学区·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该一元二次方程总有两个实数根； （2）若该方程只有一个小于4的根，求m的取值范围． 16．（25-26学年九上·云南州香格里拉·期中）已知关于x的方程 （1）求证：此方程总有实数根； （2）若方程有两个相等的实数根，求m的值． 17．（25-26学年九上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）用适当的方法解下列一元二次方程： （1） （2） 18．（25-26学年九上·云南昆明·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取任何非零实数，该方程总有实数根； （2）若平行四边形的两边，的长是已知方程的两个实数根，当为何值时，平行四边形是菱形?求此菱形的边长． 19．（25-26学年九上·云南保山隆阳区一类区·期中）已知关于的方程． （1）求证：取任何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰的一边长为4，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·云南昆明嵩明县·期中）某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程，解答过程如下所示： 甲 乙 两边同时除以，得． 移项，得．．或，解得． 其中完全正确的是（       ） A. 甲 B. 甲和乙 C. 乙 D. 都不正确 2．（25-26学年九上·云南州香格里拉·期中）方程的解是　　　　　　　　　　　　　　　　　． 3．（25-26学年九上·云南昭通昭阳区·期中）分解因式：　　　． 4．（25-26学年九上·云南昆明嵩明县·期中）分解因式：x2－25=　　　　　　　　　　　　　　　　　. 5．（25-26学年九上·云南昆明五华区·期中）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式，将其分解因式为．若取，，则有，，，其中12，17，13分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可以取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，用上述方法生成的密码是　　　　　　． 6．（25-26学年九上·云南昭通昭阳区·期中）解下列方程： （1） （2） 7．（25-26学年九上·云南昭通绥江县·期中）解方程． （1）； （2）． 8．（25-26学年九上·云南文山第二学区·期中）解方程： （1）． （2）． 9．（25-26学年九上·云南昆明嵩明县·期中）用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）． 10．（25-26学年九上·云南昆明·期中）请选择你认为适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 11．（25-26学年九上·云南文山州砚山·期中）解方程： （1）； （2） 12．（25-26学年九上·云南大理白族自·期中）解下列一元二次方程： （1）； （2）． 13．（25-26学年九上·云南保山隆阳区一类区·期中）解下列方程： （1） （2） （3）（用公式法） 14．（25-26学年九上·云南曲靖宣威务德镇第一中学·期中）解方程： （1） （2） 15．（25-26学年九上·云南昭通绥江县·期中）一元二次方程x2=4x的根是　　　　　． 16．（25-26学年九上·云南州香格里拉·期中）解方程： （1）； （2）． 17．（25-26学年九上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）解下列方程： （1）； （2）； （3）． 18．（25-26学年九上·云南红河哈尼族·期中）解方程 （1）； （2） 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·云南昭通绥江县·期中）已知一元二次方程的两根分别为a，b，则的值是（     ） A. 1 B. 2 C.  D.  2．（25-26学年九上·云南州香格里拉·期中）若a，b是方程的两个根，则（    ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）若是方程的两个根，则（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·云南大理白族自·期中）已知一元二次方程的两根为，则的值是（    ） A. 2 B.  C.  D. 3 5．（25-26学年九上·云南保山隆阳区一类区·期中）已知一元二次方程的两个实数根为，，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·云南保山隆阳区一类区·期中）已知一元二次方程的两根为，则　　　　　． 7．（25-26学年九上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是　　　　　　． 8．（25-26学年九上·云南昆明·期中）如果a，b是一元二次方程的两个实数根，那么代数式的值为　　　　　． 9．（25-26学年九上·云南昭通昭阳区·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根； （1）求的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为，且，求的值． 10．（25-26学年九上·云南昆明嵩明县·期中）【阅读材料，解答问题】 已知实数m，n满足，且，则m，n是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，．根据上述材料，解决以下问题： （1）已知实数a，b满足，且，求和ab的值； （2）已知实数m，n满足，且，求代数式的值． 11．（25-26学年九上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 12．（25-26学年九上·云南红河哈尼族·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根和 （1）求实数m的取值范围； （2）若，求m的值． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·云南昆明五华区·期中）如图，矩形草坪的长和宽分别为，，若将该草坪的长和宽各增加，扩建后增加的面积是原来矩形草坪面积的．根据题意，下列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·云南文山第二学区·期中）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·云南曲靖宣威务德镇第一中学·期中）据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2025年7月至9月，新能源车月销量由126万辆增加到150万辆：设2025年7月至9月新能源车销量的月平均增长率为x，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·云南昭通昭阳区·期中）某商品原价200元，经过连续两次相同百分率的降价后，最终售价为162元，若设每次降价的百分率均为a，下列所列方程表示正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·云南昭通绥江县·期中）某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·云南昆明东川区·期中）九（1）班全体学生在观看完2025年9月3日的盛大阅兵式后万分激动，王老师趁热打铁，让九（1）班全体学生互赠勉励卡激励同学们努力学习、报效祖国．已知共赠勉励卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·云南昆明东川区·期中）新能源汽车已逐渐成为人们喜爱的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商7月份至9月份统计，该品牌新能源汽车7月份销售1000辆，9月份销售1690辆．设月平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·云南州香格里拉·期中）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·云南昆明嵩明县·期中）相关数据显示，近年来高科技制造业日新月异，呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年9月产值达到2500万元，预计11月产值将增至6400万元．设该公司10，11两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）某商品原价100元，连续两次降价后售价为81元，设平均每次降价的百分率为x，则所列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·云南昆明·期中）某公司2024年研发新产品花费成本225万元，经技术改进，计划到2026年研发新产品花费成本降到169万元，如果设这两年每年成本的下降率都为，那么可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·云南大理白族自·期中）如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为、宽为的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为，根据题意可列方程（　　） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·云南红河哈尼族·期中）某市组织一次足球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），共比赛了21场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（   ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·云南昭通绥江县·期中）为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动会”，其中一个项目是“单脚拔河”，赛制为单循环形式（每两队之间都比赛一场），共进行了15场比赛，问共有多少个队参加“单脚拔河”比赛？ 15．（25-26学年九上·云南昆明东川区·期中）用篱笆靠墙围成矩形花圃，墙可利用的最大长度为15m，篱笆总长为24m． （1）若围成的花圃面积为，求的长； （2）如图（2），若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃总面积为，则能否成功围成花圃？如果能，求的长；如果不能，请说明理由． 16．（25-26学年九上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，若设主干长出个支干，则可列方程为　　　　　． 17．（25-26学年九上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）某公司今年4月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，且每个月生产成本下降的百分率相同，到6月份的生产成本是324万元． （1）求每个月生产成本下降的百分率； （2）该公司7月份的生产成本是否会超过300万元？请说明理由． 18．（25-26学年九上·云南昆明·期中）某地新建一个矩形停车场，布局如图所示．已知停车场外围的长为20米，宽为15米，阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的车道，若喷漆面积为204平方米，求车道的宽是多少米? 19．（25-26学年九上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）某些治疗特殊疾病的药物经过纳入医保目录后，由“天价药”变成了“平价药”．如某种药品的原价格为200元，在经过连续两次降价后，现在价格为50元，求这种药品平均每次降价的百分率． 20．（25-26学年九上·云南曲靖宣威务德镇第一中学·期中）截至2025年，云南省已建成校内和校外劳动教育实践基地6245个．如图是某校为供学生劳动实践而开垦出的“开心农场”，现利用一面墙（墙的长度不限），用长的篱笆，怎样围成一个面积为的矩形场地？ 21．（25-26学年九上·云南昭通昭阳区·期中）如图，在中，，，．点P从A出发沿以的速度向B移动，点Q从B出发沿以的速度向C移动．若两点同时出发，则当的面积为时，运动时间　　　　　　秒． 22．（25-26学年九上·云南文山第二学区·期中）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 其农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每月可多销售500平方米草莓，果园每月的承包费为2万元． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围．（2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题．（总利润销售利润承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为55.2万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 23．（25-26学年九上·云南州香格里拉·期中）某些治疗特殊疾病的药物纳入医保目录后，由“天价药”变成了“平价药”．如某种药品的原价格为200元，在经过连续两次降价后，现在价格为50元，求这种药品平均每次降价的百分率． 24．（25-26学年九上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）（多选）如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？ 25．（25-26学年九上·云南大理白族自·期中）随着环保意识提升，某企业污水处理量逐年增加，从2023年的40万吨到2025年预估可以增加到62.5万吨． （1）求该企业污水处理量的年均增长率； （2）若按照这个年均增长率，预估该企业2026年的污水处理量． 26．（25-26学年九上·云南大理白族自·期中）参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛（这样的比赛叫做双循环比赛），共要比赛30场，则参加足球联赛的共有　　　　　　　　　个球队． 27．（25-26学年九上·云南红河哈尼族·期中）某小区在绿化工程中有一块长为18、宽为6的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为60，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度． 28．（25-26学年九上·云南保山隆阳区一类区·期中）某校九年级举行篮球赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，则参赛队伍有 　　　　　　 支． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·云南昭通昭阳区·期中）下列方程中属于一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）进行判断． 【详解】 解：∵ 一元二次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为2；③是整式方程． 选项A：方程含有两个未知数x和y，故不是一元二次方程； 选项B：方程只含一个未知数x，最高次为2，是整式方程，故是一元二次方程； 选项C：方程的最高次为1，不是2次，故不是一元二次方程； 选项D：方程的分母含有未知数，不是整式方程，故不是一元二次方程． 故选：B． 2．（25-26学年九上·云南昆明东川区·期中）将一元二次方程化成一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 一元二次方程（a，b，c是常数且）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项． 【详解】 解：一元二次方程的一般形式， 其中二次项系数3，一次项系数，常数项是， 故选：D． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 3．（25-26学年九上·云南州香格里拉·期中）将一元二次方程化成一般形式后，其一次项系数是（       ） A. －4 B. 2 C. －2 D. 4 【答案】A 【分析】 本题考查一元二次方程的一般形式，将方程化为一般形式后，b为一次项系数，据此即可求解． 【详解】 解：∵原方程，移项得， ∴ 一次项系数为． 故选：A． 4．（25-26学年九上·云南州香格里拉·期中）下列方程是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程需满足“整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为2”是解题的关键．根据一元二次方程的定义，从整式方程、未知数个数、未知数最高次数三个方面逐一分析选项． 【详解】 解：∵一元二次方程需满足：① 整式方程；② 只含一个未知数；③ 未知数最高次数为2 A.是整式方程，只含未知数，且最高次数为2，符合定义； B.，含两个未知数，不符合定义； C.，分母含未知数，不是整式方程，不符合定义； D.，含两个未知数，不符合定义． 故选：A． 5．（25-26学年九上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）下列方程中，是关于的一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程的识别．根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2）判断各选项． 【详解】 解：一元二次方程的定义：只含一个未知数，且未知数的最高次数为2． A．，未知数最高次数为1，不符合； B．，只含，且最高次数为2，符合； C．，含和两个未知数，不符合； D．，最高次数为3，不符合． 故选：B． 6．（25-26学年九上·云南昆明·期中）若是方程的一个解，则m的值为（     ） A. 1 B. 2 C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程的解，将方程的解代入方程中求解即可．理解方程的解满足方程是解答的关键． 【详解】 解：∵是方程的一个解， ∴，解得， 故选：D． 7．（25-26学年九上·云南昆明·期中）若方程“”是关于的一元二次方程，则“”可以是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】 解：∵方程“”是关于的一元二次方程， ∴“”中必须含有项， 只有选项B符合题意； 故选：B． 8．（25-26学年九上·云南保山隆阳区一类区·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，据此即可作答． 【详解】 解：A、是一元二次方程，故选项符合题意； B、是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； C、的最高次数是，不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； 故选：A． 9．（25-26学年九上·云南昭通绥江县·期中）已知是一元二次方程的一个根，则（     ） A.  B.  C. 3 D. 9 【答案】A 【分析】 本题考查一元二次方程的解，将代入方程，得到关于b和c的等式，从而直接求出的值． 【详解】 解：∵是方程的根， ∴代入得， 即， ∴． 故选：A． 10．（25-26学年九上·云南文山第二学区·期中）关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为（       ） A.  B.  C. 1 D. 2 【答案】A 【分析】 本题考查了方程根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的根．把代入，转化为m的方程求解即可． 【详解】 解：把代入， 得， 解得， 故选：A． 11．（25-26学年九上·云南文山第二学区·期中）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程需满足整式方程、一个未知数、未知数最高次数为且二次项系数不为是解题的关键．依据一元二次方程的定义（整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数是且二次项系数不为 ），对每个选项逐一判断． 【详解】 A. 方程中出现，属于分式，不是整式方程，不符合要求． B. 方程形式为，但未明确，若则变为一次方程，无法确定是二次方程． C. 方程为整式方程，且项系数为4（非零），符合一元二次方程定义． D. 方程化简后为，消去得，为一次方程，不符合要求． 故选：C． 12．（25-26学年九上·云南州香格里拉·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A. 3 B. 2 C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了已知方程的解求参数， 把代入一元二次方程，得出关于k的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】 解：把代入， 得：， 解得：， 故选D 13．（25-26学年九上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住：化简后的方程：含有“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行判断即可． 【详解】 解：A、未知数最高次数是1，不是一元二次方程，不符合题意； B、只有当时，才是一元二次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 14．（25-26学年九上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）已知a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（             ） A.  B.  C. 2024 D. 2028 【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的解的定义，以及代数式求值，根据已知可得，整体代入，即可求解． 【详解】 解：依题意得：， 即：， ， 故选：D． 15．（25-26学年九上·云南昆明·期中）将关于的方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是（       ） A. 2，2，5 B. 2，，5 C. 2，2， D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（是常数，且）． 先将一元二次方程化为一般形式，即可得到答案． 【详解】 解：∵原方程为 ， 展开得 ， ∴ ， 移项得 ， ∴ 一般形式为 ， ∴ 二次项系数为 2，一次项系数为 ，常数项为 ， 故选：D 16．（25-26学年九上·云南大理白族自·期中）若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（       ） A. 2023 B. 2026 C. 2027 D. 2028 【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程根的定义． 利用一元二次方程根的定义，得到的值，然后整体代入代数式求值． 【详解】 解：∵m是方程的实数根， ∴，    即， ∴． 故选：C． 17．（25-26学年九上·云南昆明嵩明县·期中）若是一元二次方程的一个根，则　　　　　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查已知一元二次方程的根求参数的值，将代入方程即可求出m的值． 【详解】 解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：2． 18．（25-26学年九上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的根．将代入一元二次方程，利用方程根的定义求解． 【详解】 解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴代入方程得，即， 故答案为：． 19．（25-26学年九上·云南昭通昭阳区·期中）若关于x的一元二次方程有一个解为，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，同时也考查了一元二次方程的定义．把代入方程中，得出关于的一元二次方程，解方程求的值，注意原方程的二次项系数． 【详解】 解：把代入 得到： ， ，， ， ， ． 故答案为：． 20．（25-26学年九上·云南大理白族自·期中）已知是关于的一元二次方程，则　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是根据一元二次方程的定义列出关于的条件并求解． 根据一元二次方程的定义，未知数最高次数是2且二次项系数不为0，根据题意列出关于的条件，进而求解的值． 【详解】 解：因为是关于的一元二次方程，所以需要满足： 二次项系数不为0，即，解得， 未知数的最高次数是2，即， 解，可得，即或， 又因为．所以． 故答案为：1． 21．（25-26学年九上·云南红河哈尼族·期中）已知方程是关于的一元二次方程，则的值是　　　　． 【答案】1 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的定义．只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程，根据定义求解即可． 【详解】 解：根据题意得：且， 解得：． 故答案为：1． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·云南大理白族自·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是掌握配方法解一元二次方程． 先将常数项移到方程的右边，再在两边加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】 解：， 移项，得， 两边同时加上9，得， 即， 故选：A． 2．（25-26学年九上·云南保山隆阳区一类区·期中）用配方法解方程x2-4x+2=0，配方正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得． 【详解】 解：∵x2-4x+2=0， 移项得x2-4x=-2， ∴x2-4x+4=-2+4， ∴（x-2）2=2， 故选：B． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程-配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 3．（25-26学年九上·云南昭通昭阳区·期中）用配方法解方程时，通过配方后可得的形式，则k的值为（     ） A.  B. 4 C. 13 D. 17 【答案】B 【分析】 本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握“配方法中需给等式两边加上一次项系数一半的平方以构造完全平方式”是解题的关键． 先通过移项将常数项移到等号右边，再给等式两边加上一次项系数一半的平方完成配方，最后对比完全平方形式得出的值． 【详解】 解：， ， ， ， ， ∴ 故选：B． 4．（25-26学年九上·云南昭通绥江县·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查用配方法解一元二次方程．通过配方法将方程转化为完全平方形式，从而得出正确选项． 【详解】 解： ∴（添加一次项系数一半的平方） 因此，配方结果为， 故选：B． 5．（25-26学年九上·云南昆明东川区·期中）将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（          ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，然后把方程作边写成完全平方形式即可． 【详解】 解： 移项得， 配方得，即． 故选：A． 6．（25-26学年九上·云南昆明·期中）用配方法解方程，配方正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了配方法，配方法的关键是添加一次项系数一半的平方，使方程左边成为完全平方式． 使用配方法解方程，通过添加一次项系数一半的平方，将方程转化为完全平方形式． 【详解】 解：∵， ∴ 移项得， ∴ 方程两边同时加9：， ∴ 整理得 ， 故选：B． 7．（25-26学年九上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）一元二次方程配方后可化为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 该题主要考查了利用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟悉一元二次方程配方法的步骤．本题先移项化为，再方程两边都加上9，从而可得答案． 【详解】 解：， 移项得：， 配方得：， ， 故选：C． 8．（25-26学年九上·云南文山第二学区·期中）如图，是佳佳用配方法解方程时的过程，她在解答过程中开始出错的步骤为（     ） 解： ，① ，② ，③ ，．④ A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B 【分析】 本题考查了利用配方法解一元二次方程．佳佳在配方法过程中，步骤②添加平方数时未保持方程平衡，导致错误． 【详解】 解：原方程化简为 ， 移项得， 配方得，即， 但步骤②直接写为，即加4未调整右边，破坏方程平衡， ∴ 错误从步骤②开始． 故选：B． 9．（25-26学年九上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）方程的根是　　　　　． 【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用直接开平方法求解即可． 【详解】 解： ∴，， 故答案为：，． 10．（25-26学年九上·云南保山隆阳区一类区·期中）方程的根为　　　　　　　　． 【答案】， 【详解】 解： 移项得 开平方得 解得，． 11．（25-26学年九上·云南昆明东川区·期中）解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），     （2），     （3），      【分析】 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用配方法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， 解得，； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ，； (3) 小问详解： 解：， ， ， 或， ，． 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·云南曲靖宣威务德镇第一中学·期中）下列一元二次方程中，没有实数根的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查一元二次方程的根的情况与判别式的关系，掌握知识点是解题的关键． 通过计算每个一元二次方程的判别式，若，则方程没有实数根，即可解答． 【详解】 解： A：， ， ∴，故没有实数根，符合题意． B：， 展开为， ， ∴，故有实数根，不符合题意． C：， ， ∴，故有实数根，不符合题意． D：， ， ∴，故有实数根，不符合题意． 故选：A． 2．（25-26学年九上·云南曲靖宣威务德镇第一中学·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数的最大值是（     ） A. 2 B. 1 C. 0 D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义，根据题意得出且，即可求解． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴且 又∵为整数， ∴整数的最大值是， 故选：C． 3．（25-26学年九上·云南昭通绥江县·期中）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A.  B.  C. 且 D. 且 【答案】D 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义及根的判别式，熟练掌握一元二次方程二次项系数不为零且判别式是解题的关键． 根据一元二次方程的定义和有实数根的条件，先确定二次项系数不为零，再通过判别式求解的取值范围． 【详解】 解：∵ 方程是一元二次方程， ∴ ． 又∵ 方程有实数根， ∴ 判别式，即， ∴ ，得． 综上，且． 故选：D． 4．（25-26学年九上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（            ） A.  B.  C. 且 D. 且 【答案】D 【分析】 本题主要考查了一元二次方程有实数根的情况，一元二次方程的定义，解不等式，熟练地掌握根的判别式在不同情况下根的情况是解题的关键．当时，一元二次方程有实数根；否则，无实数根． 根据题意可得 ，然后解不等式即可． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴ ， 解得：且． 故选：D． 5．（25-26学年九上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）一元二次方程的根的情况是（       ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【分析】 通过计算判别式的值来判断根的情况． 【详解】 解：， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选B 6．（25-26学年九上·云南红河哈尼族·期中）关于x的一元二次方程 （k为实数）根的情况是（       ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 方程没有实数根 D. 不能确定 【答案】A 【分析】 根据一元二次方程根的判别式即可判断根的情况． 【详解】 ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 7．（25-26学年九上·云南保山隆阳区一类区·期中）已知关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（       ） A. 1 B. －1 C. 4 D. －4 【答案】A 【分析】 根据根的判别式的意义得到△＝（-2）2−4•a＝0，然后解方程即可． 【详解】 根据题意得△＝（-2）2−4•a＝0， 解得a＝1． 故选：A． 【点睛】 本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2−4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 8．（25-26学年九上·云南昆明东川区·期中）一元二次方程的根的情况为（       ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 两个相等的实数根 D. 两个不相等的实数根 【答案】A 【详解】分析：先求一元二次方程的判别式，由△与0的大小关系来判断方程根的情况． 详解：∵a=2，，c=1， ∴ ∴一元二次方程没有实数根. 故选A. 点睛：考查一元二次方程根的判别式， 当时，方程有两个不相等的实数根. 当时，方程有两个相等的实数根. 当时，方程没有实数根. 9．（25-26学年九上·云南昆明·期中）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了公式法解一元二次方程，通过比较给出的求根公式与标准求根公式，确定系数a、b、c的值，从而得到原方程，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：由题意可得：， ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∴原方程为， 故选：B． 10．（25-26学年九上·云南大理白族自·期中）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（       ） A.  B.  C. 且 D. 且 【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，先根据定义确定的约数条件，再利用判别式求出范围即可． 【详解】 一元二次方程有两个不相等的实数根， 解得： 方程是一元二次方程， 二次项系数， 综上所述，且． 故选：D． 11．（25-26学年九上·云南昆明东川区·期中）关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）当时，已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】（1）     （2）5      【分析】 本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，已知式子的值，求代数式的值，由一元二次方程的解求参数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合有实数根，故，再解得，即可作答． （2）理解题意，则，结合是方程的一个根，得，再代入，进行计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵关于的一元二次方程有实数根 ∴， 即， 解得； (2) 小问详解： 解：当时，则， 是方程的一个根， ． ． ． 12．（25-26学年九上·云南文山第二学区·期中）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】且且 【分析】 根据一元二次方程有实数根，可得，再根据一元二次方程二次项系数不为零建立不等式，求解即可. 【详解】 解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴, 解得, 又∵;是关于的一元二次方程， ∴, ∴且, 故答案为：且. 【点睛】 本题主要考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，掌握根的判别式和一元二次方程的定义是解题的关键. 13．（25-26学年九上·云南保山隆阳区一类区·期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根是解题的关键． 由题意可知，求出k即可． 【详解】 解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：． 14．（25-26学年九上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）已知关于的方程． （1）求证：此方程总有实数根； （2）若方程有两个相等的实数根，求的值． 【答案】（1）见解析     （2）      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据题意只需要证明即可； （2）由（1）可得，据此求解即可． (1) 小问详解： 证明：由题意得， ， ∴此方程总有实数根； (2) 小问详解： 解：∵原方程由两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 15．（25-26学年九上·云南文山第二学区·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该一元二次方程总有两个实数根； （2）若该方程只有一个小于4的根，求m的取值范围． 【答案】（1） 证明：， ∵， ∴无论m取任何值，方程都有两个实数根．     （2）      【分析】 （1）计算根的判别式，得，由判别式定理得证； （2）根据求根公式求方程根，得， ，由题意，，所以． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵，    ∴， ∵方程只有一个小于4的根， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查一元二次方程根的判别式，求根公式；掌握根的判别式及求根公式是解题的关键． 16．（25-26学年九上·云南州香格里拉·期中）已知关于x的方程 （1）求证：此方程总有实数根； （2）若方程有两个相等的实数根，求m的值． 【答案】（1） 证明： ， 方程总有实数根；     （2）2      【分析】 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，也考查了解一元二次方程，掌握根的判别式是解决本题的关键． （1）先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）利用根的判别式的意义得到，则可得到． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：方程有两个相等的实数根， ， 解得． 17．（25-26学年九上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）用适当的方法解下列一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握运用一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）方程运用公式法求解即可； （2）方程运用配方法求解即可． (1) 小问详解： 解：， 这里， ∴， ∴，； (2) 小问详解： 解：， ， 。 ， ∴，． 18．（25-26学年九上·云南昆明·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取任何非零实数，该方程总有实数根； （2）若平行四边形的两边，的长是已知方程的两个实数根，当为何值时，平行四边形是菱形?求此菱形的边长． 【答案】（1） 解：∵， ∴无论取任何非零实数，该方程总有实数根；     （2），菱形的边长为1      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，菱形的性质等知识． （1）计算，即可证明无论取任何非零实数，该方程总有实数根； （2）根据菱形性质得到方程有两个相等的实数根，，求出，可得方程为，解得，问题得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵平行四边形是菱形， ∴， ∵，的长是已知方程的两个实数根， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴一元二次方程为， 解得， ∴菱形边长为1． 19．（25-26学年九上·云南保山隆阳区一类区·期中）已知关于的方程． （1）求证：取任何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰的一边长为4，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴无论取何值，方程总有实数根；     （2）的周长为10      【分析】 （1）根据一元二次方程根的判别式的意义证明即可； （2）当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个根为4，代入可求得k的值，则可求得方程的另一根，进而求得周长；当边长为4的边为底时，可知方程有两个相等的实数根，可求得k的值，再解方程，确定出三边长，根据三角形的三边关系定理可得此情况舍去． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个实数根为4， ∴， 解得， ∴方程为， 解得或， ∴、的值分别为2、4， ∴的周长为； 当边长为4的边为底时，则，即方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得， ∴方程为， 解得， 此时，不符合三角形的三边关系，舍去； 综上，的周长为10． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式的意义，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·云南昆明嵩明县·期中）某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程，解答过程如下所示： 甲 乙 两边同时除以，得． 移项，得．．或，解得． 其中完全正确的是（       ） A. 甲 B. 甲和乙 C. 乙 D. 都不正确 【答案】C 【分析】 分别利用解一元二次方程因式分解法，进行计算逐一判断即可解答．本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】 解：依题意，甲的解法错误，方程两边不能同时除以，这样会漏解； 乙利用解一元二次方程因式分解法，计算正确； 故选：C． 2．（25-26学年九上·云南州香格里拉·期中）方程的解是　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】， 【详解】 解：由方程可得， 解得， ． 3．（25-26学年九上·云南昭通昭阳区·期中）分解因式：　　　． 【答案】 【分析】 直接提取公因式即可 【详解】 解：． 故答案为: . 4．（25-26学年九上·云南昆明嵩明县·期中）分解因式：x2－25=　　　　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【详解】试题分析：因为x2﹣25=x2﹣52，所以直接应用平方差公式即可：． 5．（25-26学年九上·云南昆明五华区·期中）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式，将其分解因式为．若取，，则有，，，其中12，17，13分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可以取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，用上述方法生成的密码是　　　　　　． 【答案】1525425 【分析】 本题考查因式分解、新定义问题，正确理解新的定义是解题的关键． 将多项式分解因式，代入数值计算因式码，然后按从小到大的顺序排列形成密码即可． 【详解】 解：多项式 可分解为 ， 其中 可进一步分解为 ， 因此 ， 当 ， 时， ， ， ， 因式码为 15、25、425，按从小到大的顺序排列为 15、25、425， 因此密码为1525425， 故答案为：1525425． 6．（25-26学年九上·云南昭通昭阳区·期中）解下列方程： （1） （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）运用公式法进行解方程，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴； ∴， 解得，； (2) 小问详解： 解：∵， ， ． ． ∴，． 7．（25-26学年九上·云南昭通绥江县·期中）解方程． （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法和因式分解法是解题的关键． （1）采用配方法，将方程转化为完全平方式来求解； （2）通过提取公因式进行因式分解来求解． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ， ∴； (2) 小问详解： 解：， ， 或， 解得：． 8．（25-26学年九上·云南文山第二学区·期中）解方程： （1）． （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查一元二次方程的解法，运用因式分解思想，关键是将方程化为因式乘积为零的形式，易错点是因式分解时符号或公因式提取错误． （1）通过因式分解将方程化为两个一次式的乘积，进而求解； （2）提取公因式后将方程化为两个一次式的乘积，进而求解． (1) 小问详解： 解： ， 或， ， (2) 小问详解： 或， ， 9．（25-26学年九上·云南昆明嵩明县·期中）用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用直接开平方法解方程； （2）利用因式分解法解方程． (1) 小问详解： 解： ∴； (2) 小问详解： 解： 或 ∴． 10．（25-26学年九上·云南昆明·期中）请选择你认为适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）利用直接开平方法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解． (1) 小问详解： 解： ， ∴； (2) 小问详解： 解： ， ， ， ∴或， ∴． 11．（25-26学年九上·云南文山州砚山·期中）解方程： （1）； （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程-配方法及解一元二次方程-因式分解法，熟知配方法及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ，即， ， ； (2) 小问详解： 解： ， ， 或， 12．（25-26学年九上·云南大理白族自·期中）解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；     （2），．      【分析】 本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （）根据因式分解法解方程即可； （）根据因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， 或 ∴，； (2) 小问详解： 解： 或 ∴，． 13．（25-26学年九上·云南保山隆阳区一类区·期中）解下列方程： （1） （2） （3）（用公式法） 【答案】（1），     （2），     （3）      【分析】 此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解法是解本题的关键． （1）运用因式分解法求解即可； （2）运用因式分解法求解即可； （3）运用公式法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， 或， 解得，． (2) 小问详解： 解：， ， 或， 解得，． (3) 小问详解： 解：， ， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 14．（25-26学年九上·云南曲靖宣威务德镇第一中学·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）先移项，然后用因式分解法求解即可； （2）先去括号，移项及合并，然后用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解： ， ， ∴或， 解得，． (2) 小问详解： ， ， 或， 解得． 15．（25-26学年九上·云南昭通绥江县·期中）一元二次方程x2=4x的根是　　　　　． 【答案】，． 【分析】移项并采用因式分解的方法解方程. 【详解】解：移项得，， x(x-4)=0，解得x=0或4， 故答案为，. 【点睛】本题考查了因式分解法解方程. 16．（25-26学年九上·云南州香格里拉·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 （1）利用公式法求解即可． （2）利用因式分解法求解即可． 本题考查了公式法，因式分解法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵, 在这里， ∴， 解得，． (2) 小问详解： 解：∵， ∴ ∴， 解得，． 17．（25-26学年九上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查一元二次方程的解法： （1）（2）（3）均可利用十字相乘法因式分解求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ． 18．（25-26学年九上·云南红河哈尼族·期中）解方程 （1）； （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， 解得； (2) 小问详解： ， ， ， ， 解得． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·云南昭通绥江县·期中）已知一元二次方程的两根分别为a，b，则的值是（     ） A. 1 B. 2 C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握两根之积的计算方法是解题的关键．利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接计算两根之积． 【详解】 解：∵ 一元二次方程， ∴ ， 故选：D． 2．（25-26学年九上·云南州香格里拉·期中）若a，b是方程的两个根，则（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系要解决这道题，灵活利用一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 本题中对于一元二次方程 （），若其两个根为 、，则有根的，根的积 ． 本题就是利用这一关系来求解方程 两根的和与积，从而判断选项的正确性． 【详解】 解：∵a，b是 方程 的两个根， ∴   ，． 故选D． 3．（25-26学年九上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）若是方程的两个根，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可． 【详解】 解：∵是方程的两个根， ∴， 故选：D． 4．（25-26学年九上·云南大理白族自·期中）已知一元二次方程的两根为，则的值是（    ） A. 2 B.  C.  D. 3 【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系、代数式求值，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．据此求得，，进而代值求解即可． 【详解】 解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∴． 故选：D． 5．（25-26学年九上·云南保山隆阳区一类区·期中）已知一元二次方程的两个实数根为，，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，直接用公式求解即可． 【详解】 ∵方程 中，，， ∴ 故选：A． 6．（25-26学年九上·云南保山隆阳区一类区·期中）已知一元二次方程的两根为，则　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，直接根据一元二次方程的根与系数的关系求解即可． 【详解】 解：∵一元二次方程的两根为， ∴． 故答案为3． 7．（25-26学年九上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为，，则，．先根据根与系数的关系得到，，再进一步代入计算即可得到答案． 【详解】 解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ． 故答案为：． 8．（25-26学年九上·云南昆明·期中）如果a，b是一元二次方程的两个实数根，那么代数式的值为　　　　　． 【答案】0 【分析】 题目主要考查根与系数的关系，根据题意得到两根之和与积，再根据根满足方程进行变形代入即可． 【详解】 解：∵ ， 是方程 的两个实数根， ∴ ，且 ， 即 ， ∴ ， 故答案为：0． 9．（25-26学年九上·云南昭通昭阳区·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根； （1）求的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为，且，求的值． 【答案】（1）     （2）3      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根的判别式确定参数的取值范围，并结合根与系数的关系求解参数的值． （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件，判别式，计算判别式并解不等式，得到的取值范围； （2）利用根与系数的关系，结合方程的两根之积为10，列方程求解，再根据（1）中的范围进行验证取舍． (1) 小问详解： 解：根据题意可得： 即： 解得：； (2) 小问详解： 解：在方程中，， 所以． 已知，因此： 移项得： 解得：或． 由（1）知，所以不符合条件，舍去． 因此，的值为3． 10．（25-26学年九上·云南昆明嵩明县·期中）【阅读材料，解答问题】 已知实数m，n满足，且，则m，n是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，．根据上述材料，解决以下问题： （1）已知实数a，b满足，且，求和ab的值； （2）已知实数m，n满足，且，求代数式的值． 【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． （1）由题意，a和b是方程的两个不等实根，直接应用根与系数的关系求解； （2）由方程变形得出和n满足相同方程，且由于，它们是不等实根，利用根与系数的关系得到，再代入代数式化简求值． (1) 小问详解： 解：∵实数a，b满足, 且， ∴a，b是方程的两个不相等的实数根， 由根与系数的关系得，． (2) 小问详解： 解：∵，且， 两边除以，得， 令，则， 又∵，且，即， ∴t和n是方程的两个不相等的实数根， 由根与系数的关系得：，， ∵， ∴，，即， 代数式 ∵， ∴， 由得， ∴， ， ， ∴原式． 11．（25-26学年九上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 【答案】（1） 证明：在方程中， ， 方程总有两个实数根．     （2）      【分析】 本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是掌握根的判别式； （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出、，根据方程有一根小于1，即可得出关于的一元一次不等式，即可得出的取值范围． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ，． 方程有一根小于1， ，解得：， 的取值范围为． 12．（25-26学年九上·云南红河哈尼族·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根和 （1）求实数m的取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据根的判别式求解即可； （2）根据根与系数的关系求解即可． (1) 小问详解： 解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 即， 解得； (2) 小问详解： 解：根据题意，得，， ∵， ∴， 解得，(舍去)． 故． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的概念，根的判别式，根与系数关系等知识，掌握以上知识是解题的关键． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·云南昆明五华区·期中）如图，矩形草坪的长和宽分别为，，若将该草坪的长和宽各增加，扩建后增加的面积是原来矩形草坪面积的．根据题意，下列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由题意“扩建后增加的面积是原来矩形草坪面积的”，可知扩建后草坪的面积是原来矩形草坪面积的，由此可得方程为．本题考查了列一元二次方程解应用题，读懂题意，找等量关系是解题的关键． 【详解】 解：设该草坪的长和宽各增加，根据题意得 ， 故选：A． 2．（25-26学年九上·云南文山第二学区·期中）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据月均下降率是x表示出5月份的售价是解答此题的关键．首先根据3月份售价为23万元，月均下降率是x可得出4月份的售价为万元，5月份的售价为万元，据此根据5月份售价为16万元可列出方程，进而可得出答案． 【详解】 解：∵3月份售价为23万元，月均下降率是x，5月份售价为16万元， ∴． 故选：B． 3．（25-26学年九上·云南曲靖宣威务德镇第一中学·期中）据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2025年7月至9月，新能源车月销量由126万辆增加到150万辆：设2025年7月至9月新能源车销量的月平均增长率为x，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，关键是理解连续增长模型，正确列出方程． 从7月到9月，销量经历两个月增长，9月销量等于7月销量乘以（月平均增长率）的平方． 【详解】 解：∵7月销量为126万辆，9月销量为150万辆，月平均增长率为x， ∴经过两个月增长，有． 故选：D． 4．（25-26学年九上·云南昭通昭阳区·期中）某商品原价200元，经过连续两次相同百分率的降价后，最终售价为162元，若设每次降价的百分率均为a，下列所列方程表示正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了列一元二次方程解决增长率问题，解题的关键是找准等量关系． 商品连续两次以相同百分率降价，每次降价后价格变为原价的倍，因此最终售价为原价乘以的平方． 【详解】 解：设每次降价的百分率为a，根据题意得， 故选：B． 5．（25-26学年九上·云南昭通绥江县·期中）某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，根据一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，且设平均每月的增长率为，进而列式即可作答． 【详解】 解：由题意，一月份工业产值达50亿元，平均每月的增长率为，则二月份工业产值为亿元，三月份工业产值为亿元， ∵一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元， ∴， 故选：D 6．（25-26学年九上·云南昆明东川区·期中）九（1）班全体学生在观看完2025年9月3日的盛大阅兵式后万分激动，王老师趁热打铁，让九（1）班全体学生互赠勉励卡激励同学们努力学习、报效祖国．已知共赠勉励卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了根据实际问题列一元二次方程，熟练掌握互赠问题中数量关系的分析方法是解题的关键． 根据每个学生要给除自己之外的其他同学赠送勉励卡，计算出赠送的总张数，从而列出方程． 【详解】 解：由题意可得． 故选：B． 7．（25-26学年九上·云南昆明东川区·期中）新能源汽车已逐渐成为人们喜爱的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商7月份至9月份统计，该品牌新能源汽车7月份销售1000辆，9月份销售1690辆．设月平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，涉及平均增长率问题；设月平均增长率为x，根据连续两个月的指数增长模型列出方程. 【详解】 解：∵ 7月份销售1000辆，月平均增长率为x， ∴ 故选：B. 8．（25-26学年九上·云南州香格里拉·期中）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛场，再根据题意即可列出方程． 【详解】 解：由题意得：； 故选B． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 9．（25-26学年九上·云南昆明嵩明县·期中）相关数据显示，近年来高科技制造业日新月异，呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年9月产值达到2500万元，预计11月产值将增至6400万元．设该公司10，11两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 设两个月产值的月均增长率为x，根据题意，得，解答即可． 本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，熟练掌握增长率的意义是解题的关键． 【详解】 解：设两个月产值的月均增长率为x，根据题意，得， 故选：A． 10．（25-26学年九上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）某商品原价100元，连续两次降价后售价为81元，设平均每次降价的百分率为x，则所列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，增长率问题一般用增长后的量增长前的量（1增长率），如果设平均每次降价的百分率为，可以用表示两次降价后的售价，然后根据已知条件列出方程． 【详解】 解：根据题意可得两次降价后售价为， 即方程为． 故选：A． 11．（25-26学年九上·云南昆明·期中）某公司2024年研发新产品花费成本225万元，经技术改进，计划到2026年研发新产品花费成本降到169万元，如果设这两年每年成本的下降率都为，那么可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程即可． 【详解】 解：∵ 从2024年到2026年，经过2年，每年成本下降率为x， ∴， 故选：B． 12．（25-26学年九上·云南大理白族自·期中）如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为、宽为的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为，根据题意可列方程（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了列一元二次方程，设彩纸的宽度为，根据“在长为、宽为的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等”列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】 解：设彩纸的宽度为， 由题意可得：，即， 故选：D． 13．（25-26学年九上·云南红河哈尼族·期中）某市组织一次足球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），共比赛了21场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，根据赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），共比赛了21场，共有个队参加比赛，列式，即可作答． 【详解】 解：赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），共比赛了21场，且设有个队参加比赛， ∴． 故选：C． 14．（25-26学年九上·云南昭通绥江县·期中）为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动会”，其中一个项目是“单脚拔河”，赛制为单循环形式（每两队之间都比赛一场），共进行了15场比赛，问共有多少个队参加“单脚拔河”比赛？ 【答案】共有6个队参赛． 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握单循环赛制的比赛场数公式是解题的关键．设参赛队伍数量为，根据单循环赛制的比赛场数公式，建立方程求解． 【详解】 解：设共有个队参赛， 由题意可得，， 解得：（不符合题意舍去）， 答：共有6个队参赛. 15．（25-26学年九上·云南昆明东川区·期中）用篱笆靠墙围成矩形花圃，墙可利用的最大长度为15m，篱笆总长为24m． （1）若围成的花圃面积为，求的长； （2）如图（2），若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃总面积为，则能否成功围成花圃？如果能，求的长；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）的长为；     （2） 不能围成花圃，理由如下： 根据题意得， ， 方程可化为， ∴， ∴方程无实数解， ∴不能围成花圃．      【分析】 此题主要考查了一元二次方程的应用． （1）由于篱笆总长为，设平行于墙的边长为，由此得到，接着根据题意列出方程，解方程即可求出的长； （2）不能围成花圃；根据（）得到，此方程的判别式，由此得到方程无实数解，所以不能围成花圃． (1) 小问详解： 解：设平行于墙的边长为． 根据题意得，， 则， ∴， 因为， 所以舍去， 所以， 答：的长为； (2) 小问详解： 略 16．（25-26学年九上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，若设主干长出个支干，则可列方程为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设主干长出个支干，由题意列出方程即可，根据题意的等量关系建立方程是解题的关键． 【详解】 设主干长出个支干，小分支的数量为（个）， 根据题意可列出方程：， 故答案为：． 17．（25-26学年九上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）某公司今年4月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，且每个月生产成本下降的百分率相同，到6月份的生产成本是324万元． （1）求每个月生产成本下降的百分率； （2）该公司7月份的生产成本是否会超过300万元？请说明理由． 【答案】（1）     （2） 预测月份的生产成本为：（万元）， ， ∴该公司7月份的生产成本不会超过300万元．      【分析】 本题考查一元二次方程的应用．根据题意，正确的列出一元二次方程，是解题的关键． （1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可； （2）根据下降率求出7月份该公司的生产成本，进行判断即可． (1) 小问详解： 解：设每个月生产成本的下降率为x，由题意，得： ， 解得：，（舍去）， ∴每个月生产成本的下降率为； (2) 小问详解： 略 18．（25-26学年九上·云南昆明·期中）某地新建一个矩形停车场，布局如图所示．已知停车场外围的长为20米，宽为15米，阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的车道，若喷漆面积为204平方米，求车道的宽是多少米? 【答案】车道的宽为3米． 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是找准等量关系建立等式． 设车的宽为x米，根据喷漆面积列一元二次方程求解即可． 【详解】 解：设车道的宽为x米， 根据题意得：， 解得，（舍）， 答：车道的宽为3米． 19．（25-26学年九上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）某些治疗特殊疾病的药物经过纳入医保目录后，由“天价药”变成了“平价药”．如某种药品的原价格为200元，在经过连续两次降价后，现在价格为50元，求这种药品平均每次降价的百分率． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设这种药品平均每次降价的百分率为x，根据两次降价后由原价的200元变成现在的价格50元建立方程求解即可． 【详解】 解：设这种药品平均每次降价的百分率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：这种药品平均每次降价的百分率为． 20．（25-26学年九上·云南曲靖宣威务德镇第一中学·期中）截至2025年，云南省已建成校内和校外劳动教育实践基地6245个．如图是某校为供学生劳动实践而开垦出的“开心农场”，现利用一面墙（墙的长度不限），用长的篱笆，怎样围成一个面积为的矩形场地？ 【答案】垂直于墙的边长为，平行于墙的边长为时，可围成面积为的矩形场地 【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据矩形的边长关系与面积公式建立方程． 设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，根据面积为列方程求解即可． 【详解】 解：设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， 由题意得， 整理得， 解得， 则． 答：垂直于墙的边长为，平行于墙的边长为时，可围成面积为的矩形场地． 21．（25-26学年九上·云南昭通昭阳区·期中）如图，在中，，，．点P从A出发沿以的速度向B移动，点Q从B出发沿以的速度向C移动．若两点同时出发，则当的面积为时，运动时间　　　　　　秒． 【答案】2或3 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据题意得，易得；再根据的面积为列关于t的一元二次方程求解即可． 【详解】 解：根据题意得， 所以面积为： 当的面积为时，即， 解得：或3． 所以当的面积为时，运动时间或3． 故答案为：2或3． 22．（25-26学年九上·云南文山第二学区·期中）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 其农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每月可多销售500平方米草莓，果园每月的承包费为2万元． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围．（2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题．（总利润销售利润承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为55.2万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 【答案】（1）（2）符合要求（3）48元 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据“道路宽度不超过12米，且不小于5米”，即可得出纵向道路宽度的取值范围； （2）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值，再对照（1）中的取值范围，即可得出结论； （3）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润销售利润承包费，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． 【详解】 解：（1）根据题意得： （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 路面设置的宽度符合要求； （3）设每平方米草莓平均利润下调y元， 整理得：． 解得：，， 又要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调48元． 23．（25-26学年九上·云南州香格里拉·期中）某些治疗特殊疾病的药物纳入医保目录后，由“天价药”变成了“平价药”．如某种药品的原价格为200元，在经过连续两次降价后，现在价格为50元，求这种药品平均每次降价的百分率． 【答案】这种药品平均每次降价的百分率为 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设这种药品平均每次降价的百分率为x，根据某种药品的原价格为200元，在经过连续两次降价后，现在价格为50元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】 解：设这种药品平均每次降价的百分率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：这种药品平均每次降价的百分率为． 24．（25-26学年九上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）（多选）如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？ 【答案】羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米. 【详解】 解：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米． 根据题意得 （100﹣4x）x=400， 解得 x1=20，x2=5． 则100﹣4x=20或100﹣4x=80． ∵80＞25， ∴x2=5舍去． 即AB=20，BC=20． 故羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米． 25．（25-26学年九上·云南大理白族自·期中）随着环保意识提升，某企业污水处理量逐年增加，从2023年的40万吨到2025年预估可以增加到62.5万吨． （1）求该企业污水处理量的年均增长率； （2）若按照这个年均增长率，预估该企业2026年的污水处理量． 【答案】（1）     （2）万吨      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． （1）设该企业污水处理量的年均增长率为，根据2023年污水处理量（增长率）2025年污水处理量建立方程求解； （2）利用2025年污水处理量（增长率）即可求解． (1) 小问详解： 解：设该企业污水处理量的年均增长率为， 由题意得，， 解得，（舍）， 答：该企业污水处理量的年均增长率为； (2) 小问详解： 解：（万吨）， 答：预估该企业2026年的污水处理量为万吨． 26．（25-26学年九上·云南大理白族自·期中）参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛（这样的比赛叫做双循环比赛），共要比赛30场，则参加足球联赛的共有　　　　　　　　　个球队． 【答案】6 【分析】 本题考查的是一元二次方程的应用，设参加比赛的球队有x支，根据双循环比赛规则，每两队之间进行两场比赛，总场数为，解一元二次方程即可. 【详解】 解：设参加比赛的球队有x支， 依题意得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴参加比赛的球队有6支． 故答案为： 27．（25-26学年九上·云南红河哈尼族·期中）某小区在绿化工程中有一块长为18、宽为6的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为60，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度． 【答案】人行通道的宽度为米 【分析】 设人行通道的宽度为米，根据矩形绿地的面积和为平方米，列出关于的一元二次方程，求解即可．本题主要考查一元二次方程的实际应用的面积问题，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】 解：设人行通道的宽度为米，根据题意得， ， 解得，（不合题意，舍去）． 答：人行通道的宽度为米． 28．（25-26学年九上·云南保山隆阳区一类区·期中）某校九年级举行篮球赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，则参赛队伍有 　　　　　　 支． 【答案】10 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系“共进行了45场比赛”是解决本题的关键．设有x支参加队伍，则每一个班比赛场，由于是单循环形式，故篮球赛的总场数为场，从而即可建立方程，求解并检验即可． 【详解】 解：设有x支参加队伍， 由题意得， 解得（舍）， ∴有10支参加队伍参加比赛． 故答案为：10． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．B 2．D 3．A 4．A 5．B 6．D 7．B 8．A 9．A 10．A 11．C 12．D 13．C 14．D 15．D 16．C 17．【答案】2 【分析】 本题考查已知一元二次方程的根求参数的值，将代入方程即可求出m的值． 【详解】 解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：2． 18．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的根．将代入一元二次方程，利用方程根的定义求解． 【详解】 解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴代入方程得，即， 故答案为：． 19．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，同时也考查了一元二次方程的定义．把代入方程中，得出关于的一元二次方程，解方程求的值，注意原方程的二次项系数． 【详解】 解：把代入 得到： ， ，， ， ， ． 故答案为：． 20．【答案】1 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是根据一元二次方程的定义列出关于的条件并求解． 根据一元二次方程的定义，未知数最高次数是2且二次项系数不为0，根据题意列出关于的条件，进而求解的值． 【详解】 解：因为是关于的一元二次方程，所以需要满足： 二次项系数不为0，即，解得， 未知数的最高次数是2，即， 解，可得，即或， 又因为．所以． 故答案为：1． 21．【答案】1 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的定义．只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程，根据定义求解即可． 【详解】 解：根据题意得：且， 解得：． 故答案为：1． 考点02 配方法 1．A 2．B 3．B 4．B 5．A 6．B 7．C 8．B 9．【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用直接开平方法求解即可． 【详解】 解： ∴，， 故答案为：，． 10．【答案】， 【详解】 解： 移项得 开平方得 解得，． 11．【答案】（1），     （2），     （3），      【分析】 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用配方法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， 解得，； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ，； (3) 小问详解： 解：， ， ， 或， ，． 考点03 公式法 1．A 2．C 3．D 4．D 5．B 6．A 7．A 8．A 9．B 10．D 11．【答案】（1）     （2）5      【分析】 本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，已知式子的值，求代数式的值，由一元二次方程的解求参数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合有实数根，故，再解得，即可作答． （2）理解题意，则，结合是方程的一个根，得，再代入，进行计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵关于的一元二次方程有实数根 ∴， 即， 解得； (2) 小问详解： 解：当时，则， 是方程的一个根， ． ． ． 12．【答案】且且 【分析】 根据一元二次方程有实数根，可得，再根据一元二次方程二次项系数不为零建立不等式，求解即可. 【详解】 解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴, 解得, 又∵;是关于的一元二次方程， ∴, ∴且, 故答案为：且. 【点睛】 本题主要考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，掌握根的判别式和一元二次方程的定义是解题的关键. 13．【答案】 【分析】 本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根是解题的关键． 由题意可知，求出k即可． 【详解】 解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：． 14．【答案】（1）见解析     （2）      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据题意只需要证明即可； （2）由（1）可得，据此求解即可． (1) 小问详解： 证明：由题意得， ， ∴此方程总有实数根； (2) 小问详解： 解：∵原方程由两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 15．【答案】（1） 证明：， ∵， ∴无论m取任何值，方程都有两个实数根．     （2）      【分析】 （1）计算根的判别式，得，由判别式定理得证； （2）根据求根公式求方程根，得， ，由题意，，所以． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵，    ∴， ∵方程只有一个小于4的根， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查一元二次方程根的判别式，求根公式；掌握根的判别式及求根公式是解题的关键． 16．【答案】（1） 证明： ， 方程总有实数根；     （2）2      【分析】 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，也考查了解一元二次方程，掌握根的判别式是解决本题的关键． （1）先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）利用根的判别式的意义得到，则可得到． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：方程有两个相等的实数根， ， 解得． 17．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握运用一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）方程运用公式法求解即可； （2）方程运用配方法求解即可． (1) 小问详解： 解：， 这里， ∴， ∴，； (2) 小问详解： 解：， ， 。 ， ∴，． 18．【答案】（1） 解：∵， ∴无论取任何非零实数，该方程总有实数根；     （2），菱形的边长为1      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，菱形的性质等知识． （1）计算，即可证明无论取任何非零实数，该方程总有实数根； （2）根据菱形性质得到方程有两个相等的实数根，，求出，可得方程为，解得，问题得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵平行四边形是菱形， ∴， ∵，的长是已知方程的两个实数根， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴一元二次方程为， 解得， ∴菱形边长为1． 19．【答案】（1） 证明：∵， ∴无论取何值，方程总有实数根；     （2）的周长为10      【分析】 （1）根据一元二次方程根的判别式的意义证明即可； （2）当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个根为4，代入可求得k的值，则可求得方程的另一根，进而求得周长；当边长为4的边为底时，可知方程有两个相等的实数根，可求得k的值，再解方程，确定出三边长，根据三角形的三边关系定理可得此情况舍去． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个实数根为4， ∴， 解得， ∴方程为， 解得或， ∴、的值分别为2、4， ∴的周长为； 当边长为4的边为底时，则，即方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得， ∴方程为， 解得， 此时，不符合三角形的三边关系，舍去； 综上，的周长为10． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式的意义，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． 考点04 因式分解法 1．C 2．【答案】， 【详解】 解：由方程可得， 解得， ． 3．【答案】 【分析】 直接提取公因式即可 【详解】 解：． 故答案为: . 4．【答案】 【详解】试题分析：因为x2﹣25=x2﹣52，所以直接应用平方差公式即可：． 5．【答案】1525425 【分析】 本题考查因式分解、新定义问题，正确理解新的定义是解题的关键． 将多项式分解因式，代入数值计算因式码，然后按从小到大的顺序排列形成密码即可． 【详解】 解：多项式 可分解为 ， 其中 可进一步分解为 ， 因此 ， 当 ， 时， ， ， ， 因式码为 15、25、425，按从小到大的顺序排列为 15、25、425， 因此密码为1525425， 故答案为：1525425． 6．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）运用公式法进行解方程，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴； ∴， 解得，； (2) 小问详解： 解：∵， ， ． ． ∴，． 7．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法和因式分解法是解题的关键． （1）采用配方法，将方程转化为完全平方式来求解； （2）通过提取公因式进行因式分解来求解． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ， ∴； (2) 小问详解： 解：， ， 或， 解得：． 8．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查一元二次方程的解法，运用因式分解思想，关键是将方程化为因式乘积为零的形式，易错点是因式分解时符号或公因式提取错误． （1）通过因式分解将方程化为两个一次式的乘积，进而求解； （2）提取公因式后将方程化为两个一次式的乘积，进而求解． (1) 小问详解： 解： ， 或， ， (2) 小问详解： 或， ， 9．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用直接开平方法解方程； （2）利用因式分解法解方程． (1) 小问详解： 解： ∴； (2) 小问详解： 解： 或 ∴． 10．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）利用直接开平方法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解． (1) 小问详解： 解： ， ∴； (2) 小问详解： 解： ， ， ， ∴或， ∴． 11．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程-配方法及解一元二次方程-因式分解法，熟知配方法及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ，即， ， ； (2) 小问详解： 解： ， ， 或， 12．【答案】（1），；     （2），．      【分析】 本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （）根据因式分解法解方程即可； （）根据因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， 或 ∴，； (2) 小问详解： 解： 或 ∴，． 13．【答案】（1），     （2），     （3）      【分析】 此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解法是解本题的关键． （1）运用因式分解法求解即可； （2）运用因式分解法求解即可； （3）运用公式法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， 或， 解得，． (2) 小问详解： 解：， ， 或， 解得，． (3) 小问详解： 解：， ， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 14．【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）先移项，然后用因式分解法求解即可； （2）先去括号，移项及合并，然后用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解： ， ， ∴或， 解得，． (2) 小问详解： ， ， 或， 解得． 15．【答案】，． 【分析】移项并采用因式分解的方法解方程. 【详解】解：移项得，， x(x-4)=0，解得x=0或4， 故答案为，. 【点睛】本题考查了因式分解法解方程. 16．【答案】（1），     （2），      【分析】 （1）利用公式法求解即可． （2）利用因式分解法求解即可． 本题考查了公式法，因式分解法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵, 在这里， ∴， 解得，． (2) 小问详解： 解：∵， ∴ ∴， 解得，． 17．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查一元二次方程的解法： （1）（2）（3）均可利用十字相乘法因式分解求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ． 18．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， 解得； (2) 小问详解： ， ， ， ， 解得． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．D 2．D 3．D 4．D 5．A 6．【答案】3 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，直接根据一元二次方程的根与系数的关系求解即可． 【详解】 解：∵一元二次方程的两根为， ∴． 故答案为3． 7．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为，，则，．先根据根与系数的关系得到，，再进一步代入计算即可得到答案． 【详解】 解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ． 故答案为：． 8．【答案】0 【分析】 题目主要考查根与系数的关系，根据题意得到两根之和与积，再根据根满足方程进行变形代入即可． 【详解】 解：∵ ， 是方程 的两个实数根， ∴ ，且 ， 即 ， ∴ ， 故答案为：0． 9．【答案】（1）     （2）3      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根的判别式确定参数的取值范围，并结合根与系数的关系求解参数的值． （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件，判别式，计算判别式并解不等式，得到的取值范围； （2）利用根与系数的关系，结合方程的两根之积为10，列方程求解，再根据（1）中的范围进行验证取舍． (1) 小问详解： 解：根据题意可得： 即： 解得：； (2) 小问详解： 解：在方程中，， 所以． 已知，因此： 移项得： 解得：或． 由（1）知，所以不符合条件，舍去． 因此，的值为3． 10．【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． （1）由题意，a和b是方程的两个不等实根，直接应用根与系数的关系求解； （2）由方程变形得出和n满足相同方程，且由于，它们是不等实根，利用根与系数的关系得到，再代入代数式化简求值． (1) 小问详解： 解：∵实数a，b满足, 且， ∴a，b是方程的两个不相等的实数根， 由根与系数的关系得，． (2) 小问详解： 解：∵，且， 两边除以，得， 令，则， 又∵，且，即， ∴t和n是方程的两个不相等的实数根， 由根与系数的关系得：，， ∵， ∴，，即， 代数式 ∵， ∴， 由得， ∴， ， ， ∴原式． 11．【答案】（1） 证明：在方程中， ， 方程总有两个实数根．     （2）      【分析】 本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是掌握根的判别式； （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出、，根据方程有一根小于1，即可得出关于的一元一次不等式，即可得出的取值范围． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ，． 方程有一根小于1， ，解得：， 的取值范围为． 12．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据根的判别式求解即可； （2）根据根与系数的关系求解即可． (1) 小问详解： 解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 即， 解得； (2) 小问详解： 解：根据题意，得，， ∵， ∴， 解得，(舍去)． 故． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的概念，根的判别式，根与系数关系等知识，掌握以上知识是解题的关键． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．A 2．B 3．D 4．B 5．D 6．B 7．B 8．B 9．A 10．A 11．B 12．D 13．C 14．【答案】共有6个队参赛． 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握单循环赛制的比赛场数公式是解题的关键．设参赛队伍数量为，根据单循环赛制的比赛场数公式，建立方程求解． 【详解】 解：设共有个队参赛， 由题意可得，， 解得：（不符合题意舍去）， 答：共有6个队参赛. 15．【答案】（1）的长为；     （2） 不能围成花圃，理由如下： 根据题意得， ， 方程可化为， ∴， ∴方程无实数解， ∴不能围成花圃．      【分析】 此题主要考查了一元二次方程的应用． （1）由于篱笆总长为，设平行于墙的边长为，由此得到，接着根据题意列出方程，解方程即可求出的长； （2）不能围成花圃；根据（）得到，此方程的判别式，由此得到方程无实数解，所以不能围成花圃． (1) 小问详解： 解：设平行于墙的边长为． 根据题意得，， 则， ∴， 因为， 所以舍去， 所以， 答：的长为； (2) 小问详解： 略 16．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设主干长出个支干，由题意列出方程即可，根据题意的等量关系建立方程是解题的关键． 【详解】 设主干长出个支干，小分支的数量为（个）， 根据题意可列出方程：， 故答案为：． 17．【答案】（1）     （2） 预测月份的生产成本为：（万元）， ， ∴该公司7月份的生产成本不会超过300万元．      【分析】 本题考查一元二次方程的应用．根据题意，正确的列出一元二次方程，是解题的关键． （1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可； （2）根据下降率求出7月份该公司的生产成本，进行判断即可． (1) 小问详解： 解：设每个月生产成本的下降率为x，由题意，得： ， 解得：，（舍去）， ∴每个月生产成本的下降率为； (2) 小问详解： 略 18．【答案】车道的宽为3米． 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是找准等量关系建立等式． 设车的宽为x米，根据喷漆面积列一元二次方程求解即可． 【详解】 解：设车道的宽为x米， 根据题意得：， 解得，（舍）， 答：车道的宽为3米． 19．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设这种药品平均每次降价的百分率为x，根据两次降价后由原价的200元变成现在的价格50元建立方程求解即可． 【详解】 解：设这种药品平均每次降价的百分率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：这种药品平均每次降价的百分率为． 20．【答案】垂直于墙的边长为，平行于墙的边长为时，可围成面积为的矩形场地 【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据矩形的边长关系与面积公式建立方程． 设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，根据面积为列方程求解即可． 【详解】 解：设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， 由题意得， 整理得， 解得， 则． 答：垂直于墙的边长为，平行于墙的边长为时，可围成面积为的矩形场地． 21．【答案】2或3 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据题意得，易得；再根据的面积为列关于t的一元二次方程求解即可． 【详解】 解：根据题意得， 所以面积为： 当的面积为时，即， 解得：或3． 所以当的面积为时，运动时间或3． 故答案为：2或3． 22．【答案】（1）（2）符合要求（3）48元 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据“道路宽度不超过12米，且不小于5米”，即可得出纵向道路宽度的取值范围； （2）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值，再对照（1）中的取值范围，即可得出结论； （3）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润销售利润承包费，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． 【详解】 解：（1）根据题意得： （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 路面设置的宽度符合要求； （3）设每平方米草莓平均利润下调y元， 整理得：． 解得：，， 又要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调48元． 23．【答案】这种药品平均每次降价的百分率为 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设这种药品平均每次降价的百分率为x，根据某种药品的原价格为200元，在经过连续两次降价后，现在价格为50元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】 解：设这种药品平均每次降价的百分率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：这种药品平均每次降价的百分率为． 24．【答案】羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米. 【详解】 解：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米． 根据题意得 （100﹣4x）x=400， 解得 x1=20，x2=5． 则100﹣4x=20或100﹣4x=80． ∵80＞25， ∴x2=5舍去． 即AB=20，BC=20． 故羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米． 25．【答案】（1）     （2）万吨      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． （1）设该企业污水处理量的年均增长率为，根据2023年污水处理量（增长率）2025年污水处理量建立方程求解； （2）利用2025年污水处理量（增长率）即可求解． (1) 小问详解： 解：设该企业污水处理量的年均增长率为， 由题意得，， 解得，（舍）， 答：该企业污水处理量的年均增长率为； (2) 小问详解： 解：（万吨）， 答：预估该企业2026年的污水处理量为万吨． 26．【答案】6 【分析】 本题考查的是一元二次方程的应用，设参加比赛的球队有x支，根据双循环比赛规则，每两队之间进行两场比赛，总场数为，解一元二次方程即可. 【详解】 解：设参加比赛的球队有x支， 依题意得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴参加比赛的球队有6支． 故答案为： 27．【答案】人行通道的宽度为米 【分析】 设人行通道的宽度为米，根据矩形绿地的面积和为平方米，列出关于的一元二次方程，求解即可．本题主要考查一元二次方程的实际应用的面积问题，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】 解：设人行通道的宽度为米，根据题意得， ， 解得，（不合题意，舍去）． 答：人行通道的宽度为米． 28．【答案】10 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系“共进行了45场比赛”是解决本题的关键．设有x支参加队伍，则每一个班比赛场，由于是单循环形式，故篮球赛的总场数为场，从而即可建立方程，求解并检验即可． 【详解】 解：设有x支参加队伍， 由题意得， 解得（舍）， ∴有10支参加队伍参加比赛． 故答案为：10． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $