专题02 全等三角形（期中真题汇编，云南专用）八年级数学上学期

**基本信息** 云南多地八年级期中试题汇编，聚焦全等三角形三大核心考点，精选选择、填空、解答题，覆盖性质判定及角平分线应用，基础与综合题梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|约30题|全等性质判定、角平分线性质|如判定三角形全等条件辨析，结合尺规作图原理（SSS）| |填空题|约15题|对应边/角计算、面积关系|如动态点运动中全等条件应用，需分类讨论| |解答题|约20题|证明推理、实际应用|含测量距离方案设计（ASA全等）、动态几何综合题（如点运动与全等判定）|

专题02 全等三角形 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．D 2．B 3．D 4．A 5．B 6．D 7．A 8．C 9．D 10．A 11．B 12．D 13．A 14．【答案】相等 【分析】 本题考查了全等三角形的定义． 全等三角形的定义表明它们形状和大小完全相同，因此面积相等． 【详解】 解：全等三角形是指两个三角形能够完全重合，对应边相等，对应角相等．面积是几何图形的大小的度量，由形状和大小决定，因此全等三角形的面积必然相等． 故答案为：相等． 15．【答案】10 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质可知解答即可． 【详解】 解：∵， ∴， 故答案为：10． 16．【答案】F度 【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理以及全等三角形的性质，理解并掌握全等三角形的性质是解题关键．首先根据三角形内角和定理解得，再根据全等三角形的性质“对应角相等”，即可获得答案． 【详解】 解：如下图，根据三角形内角和可得， ∵两个全等三角形， ∴． 故答案为：． 17．【答案】5 【分析】 本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形得到，，最后根据求解即可． 【详解】 解：∵，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 18．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，线段和差的计算，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质得出，，根据，即可求解． 【详解】 解：∵，，， ∴，， ∴． 故答案为：． 19．【答案】（1）△AED≌A’ED，∠A和∠A’，∠AED和∠A’ED，∠ADE=∠A’DE；（2）∠1=180°—2x°，∠2=180°—2y°；（3）2∠A=∠1+∠2 【分析】（1）根据折叠的性质，可得出△ADE≌△A′DE，再根据全等三角形的性质即可得出答案； （2）由折叠的性质得出，∠1+2∠AED=180°，∠2+2∠ADE=180°，从而得出∠1，∠2的度数； （3）由折叠的性质得出，∠A=∠A′，再由三角形的内角和定理得出∠A与∠1+∠2的关系． 【详解】（1）由折叠的性质得出△ADE≌△A′DE，∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，∠A=∠A′， （2）∵∠1+2∠AED=180°，∠2+2∠ADE=180°， ∴∠1=180°-2∠AED，∠2=180°-2∠ADE， ∵∠AED=x，∠ADE=y， ∴∠1=180°-2∠AED=180°-2x，∠2=180°-2∠ADE=180°-2y， （3）∵∠A′+∠A′DE+∠A′ED=180°， ∴∠A′DE+∠A′ED=180°-∠A′， ∵∠A=∠A′， ∴∠A′DE+∠A′ED=180°-∠A， ∵∠A′DE=∠ADE，∠A′ED=∠AED ∴∠ADE+∠AED=180°-∠A， ∵∠1+2∠AED=180°，∠2+2∠ADE=180°， ∴2（∠AED+∠ADE）=360°-∠1-∠2， ∴∠AED+∠ADE=180°-（∠1+∠2）， ∴∠A=（∠1+∠2）， ∴2∠A=∠1+∠2． 【点睛】考查了全等三角形的判定，以及三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180度，解题关键是利用了折叠的性质． 20．【答案】或 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，设点的运动速度为，则，，，由于，则分两种情况：当时，则，；当时，则，，然后分别求解即可，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】 解：设点的运动速度为，则，，， ∵， ∴当时， ∴，时， ∴，， 解得：，； 当时， ∴，， ∴，， 解得：，， 综上所述，点的运动速度为或． 故答案为：或． 21．【答案】2或 【分析】 本题考查全等三角形的应用，解答本题的关键是明确有两种情况，利用数形结合的思想解答． 根据题意，可以分两种情况讨论，第一种，第二种，然后分别求出相应的的值即可． 【详解】 解：当时，则，， ，， ，， ， ， 解得； 当时，则，，． ，， ，， ， 解得； 由上可得的值是2或， 故答案为：2或． 22．【答案】 【分析】 本题考查了三角形全等的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据题意，可证，那么可证，从而可算得的长度，最后利用算得答案． 【详解】 解：， ， ， ，， ， 故答案为：． 考点02 三角形全等的判定 1．B 2．B 3．B 4．B 5．B 6．B 7．A 8．C 9．A 10．D 11．D 12．C 13．B 14．C 15．C 16．D 17．A 18．C 19．B 20．A 21．A 22．B 23．D 24．C 25．C 26．【答案】，，，，，，，全等三角形对应角相等，角平分线定义． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意证即可求证． 【详解】 证明：是的中线， ． 在和中 （） ∴（全等三角形对应角相等）， ∴是的角平分线（角平分线定义）． 27．【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）利用即可证明； （2）根据全等三角形对应边相等即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴． 28．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握“”是解答本题的关键． 根据“”所需的条件分析即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴要利用“”判定的条件是． 故答案为：． 29．【答案】证明：如图， ， ，即， 在和中， ， ． 【分析】 此题考查全等三角形的判定，关键是根据证明与全等解答． 根据等式的性质得出，再根据全等三角形的判定解答即可． 【详解】 略 30．【答案】证明：∵AD∥BC， ∴∠A＝∠C． ∵AE＝CF， ∴AF＝CE． 在△ADF和△CBE中， AD＝CB，∠A＝∠C，AF＝CE， ∴△DAF≌△BCE（SAS）． ∴∠D＝∠B． 【分析】 由平行线的性质可得∠A＝∠C，已知AD＝BC，根据等式的性质得AF＝CE，从而可根据SAS判定△DAF≌△BCE，根据全等三角形的对应角相等即可求证． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角边相等的性质，本题中证明△DAF≌△BCE是解题的关键． 31．【答案】证明：是的中点， ， 在和中， ， 【分析】 根据是的中点，得到，再利用证明两个三角形全等． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了线段中点，三角形全等的判定，其中对三角形判定条件的确定是解决本题的关键． 32．【答案】证明：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE． 在△ABF和△DCE中， ∴△ABF≌△DCE， ∴∠A＝∠D． 【分析】 由BE＝CF可得BF＝CE，再结合AB＝DC，∠B＝∠C可证得△ABF≌△DCE，问题得证． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握全等三角形的判定和性质． 33．【答案】（1） 证明：如图． ∵ ∴，即 在和中 ∴（）     （2） 证明：∵（已证） ∴（全等三角形对应角相等），即， ∴（等角对等边）．      【分析】 本题考查了三角形全等的判定（）、全等三角形的性质及等腰三角形的判定定理，解题的关键是通过已知条件推导相等线段，利用证明三角形全等，再结合全等性质与等腰三角形判定定理推导第二问中线段相等的结论． （1）由两边同时加得，结合已知和，根据判定定理可证； （2）利用（1）中三角形全等的性质得对应角（即），再根据等角对等边可直接得出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 34．【答案】证明：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，先证明，再由平行线的性质得到，据此可证明结论． 【详解】 略 35．【答案】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 【分析】 本题考查全等三角形的判定，根据题意可以证得，从而可以解答本题． 【详解】 略 36．【答案】证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先根据角平分线得到，再由证明，即可得到． 【详解】 略 37．【答案】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．由得到，再根据“”可得，即得，然后根据平行线的判定方法即可得到结论． 【详解】 略 38．【答案】证明：， ， ， 在和中， ， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由可得，即可证明，根据三角形全等的性质，即可得出答案． 【详解】 略 39．【答案】 【分析】 延长交于，证明得到，再利用三角形的中线性质求解即可．本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的中线性质，熟知三角形的中线将该三角形分为两个面积相等的三角形是解答的关键． 【详解】 解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的面积为， ． 故答案为：5． 40．【答案】见解析 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的几种判定方法． 根据证明，即可得到． 【详解】 证明：∵，，， ∴， ∴． 41．【答案】证明：在和中 ， ∴， ∴． 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，证明，即可得出结论． 【详解】 略 42．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定及性质，坐标轴中点坐标的性质，点到坐标轴的距离：点P的坐标为，那么点P到x轴的距离为这点纵坐标的绝对值，即．点P到y轴的距离为这点横坐标的绝对值，即． （1）过B点作x轴垂线，垂足为D，由题意可证得，故，，，即可知B点坐标为； （2）过点作轴于点，则，证明，可得，从而得到，即可． (1) 小问详解： 解：过B点作x轴垂线，垂足为D， 由题意知：，，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故B点坐标为； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：如图，过点作轴于点，则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点在第一象限且点坐标为， ， ， ， ， 点在轴的负半轴上， ． 43．【答案】（1） 证明：，， ， 点是的中点， ． 在和中， ， ；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）根据垂直的定义得到，根据点是的中点得到，进而根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到即可求出，两点之间的距离． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）得， ∴． ， ． 则，两点之间的距离为． 44．【答案】证明见解析 【分析】 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 先根据得，进而依据“”判定和全等即可得出结论． 【详解】 证明：， ， ． 在和中， ， ． ． 45．【答案】证明：， ， 在和中， ， ， ． 【分析】 欲证明∠F＝∠C，只要证明△ABC≌△DEF(SSS)即可. 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定与性质. 46．【答案】（1） 解：方案可行 ． 理由如下： 在和中， ， ， ， 方案可行 ．     （2） 解：方案可行 ． 理由如下： ， 在和中， ， ， ， 方案可行 ．     （3）平行      【分析】 本题考查了全等三角形的判定定理及性质： （1）通过证明，利用全等三角形对应边相等即可判断； （2）通过证明，利用全等三角形对应边相等即可判断； （3）通过添加条件，利用判定证明，使得方案成立即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：平行． 平行于， ， 在和中， ， ， ． 47．【答案】（1）证明：在和中， ， ∴. （2）证明：由（1）知， ∴ ∵， ∴垂直平分线段. 【分析】 （1）根据已知条件利用SSS即可证明全等； （2）由得到，再根据AD=CD利用等腰三角形的“三线合一”性质即可证得垂直平分线段. 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 此题考查三角形全等的判定定理及性质定理，熟记定理并熟练运用是关键. 48．【答案】10 【分析】利用ASA得出△ABE≌△CDE（ASA），进而求出CD=AB即可得出答案． 【详解】在△ABE和△CDE中 ， ∴△ABE≌△CDE（ASA）， ∴CD=AB=10m． 故答案为10． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用，根据题意熟练应用全等三角形的判定方法是解题的关键． 49．【答案】大观楼的高度为21米 【分析】 本题主要考查了全等三角形的应用等知识点，先求解，再证明，利用全等三角形的性质可得答案，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决此题的关键． 【详解】 ∵米，米， ∴（米）， ∵，， ∴， ∴与互余， ∵与互余，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴（米）， 答：大观楼的高度为21米． 50．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，倍长中线法； （1）延长使得，连接，先证明得到，在中，根据三角形三边关系即可求解； （2）由（1）中即可求解； （3）延长使得，连接，同（1）可得，进而判断出，进而证明，即可求解． (1) 小问详解： 解：延长使得，连接，如图2， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：； 由（1）得：， ∴，， ∴； (3) 小问详解： 解：； 延长使得，连接，如图，    由（1）得：， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 51．【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 本题考查了从函数图象获取信息，全等三角形的性质，三角形的面积公式． （1）根据图1和图2，结合点P运动时，面积的变化情况，进行解答即可； （2）根据，点P在上运动，的面积为，求出，得出，最后求出结果即可； （3）分和根据全等三角形的性质得出线段相等，进而建立方程组，解方程组，即可求解； (1) 小问详解： 解：∵，E为边中点， ∴， 根据图2可知，当点P运动时，的面积达到最大值，根据图1可知，当点P从点B开始运动，到达点C时，的面积达到最大值， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵，点P在上运动，的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：∵， ∴当与全等时，有两种情况， ①时，， ∴ ， 解得：； ②时，， ∴ ， 解得：； 综上分析可知：当或时，与全等． 52．【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴；     （2）楼高是26米      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质的应用，解题关键是牢记它的判定与性质． （1）先求出，再证明全等； （2）利用全等三角形的性质得出即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵ ∴. ∵米，米， ∴(米)． 答：楼高是米． 53．【答案】（1）证明过程见解析     （2），理由见解析      【分析】 本题主要考查了三角形全等的综合应用，结合角平分线的性质证明是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，，证明，即可得证． （2）根据已知条件证明，得到，根据等量代换求解即可； (1) 小问详解： 证明：平分，， ，，， 在和中， ， ， ． (2) 小问详解： 解：，理由如下： 由（1）知：， 在和中， ， ， ， ， 由（1）可得：， ． 54．【答案】（1）3或5； （2），理由如下： 延长到M，使，连接，如图2所示： 是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ∴， ∵， ； （3） 【分析】 （1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质得出，证出； （3）由“SAS”可证，可得，，由“”可证，可得，，由三角形的面积公式可求解． 【详解】 解：（1）延长至点E，使，连接， 则， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ∵， ∴ 即； 边的长度为奇数， 或5； （2）略 （3）延长到R，使得，连接、 点Q是的中点， ， 又，， ∴， ，， ∴， ∴， ，，， ，， ， ∴， ，， ， ， ， 即， ∴． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的三边关系等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 55．【答案】（1），．     （2） （1）中的结论成立，证明如下： 如图② ： ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴．     （3） 证明：如图③ ：过点E作交的延长线于点N， ∵和都是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点M是的中点．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、同角的余角相等等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）如图① ：先说明，再说明，再运用可证明； （2）根据平角的性质可得，再根据三角形内角和定理可得，即，再运用可证明； ； （3）如图③ ：过点E作交的延长线于点N，，由等腰直角三角形可得，根据同角的余角相等得到，再根据和得到，即可证明得到，再由，得到，即可证明得到，即可证明结论． (1) 小问详解： 解：如图① ： ∵直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：，． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 56．【答案】（1） 证明：为等腰直角三角形，． ，， ， ， ， 在和中， ， ；     （2）2     （3）不变，1      【分析】 本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是选择恰当的判定条件证明三角形全等，并添加适当辅助线构造全等三角形． （1）根据等腰直角三角形的性质得到，再利用等角的余角相等得到，然后根据“”可证明； （2）由得到，再利用等腰直角三角形得到，得到，，接着利用“”证明，得到即可求解； （3）在上截取，先利用“”证明得到，，然后由，得到，进而求得，从而利用“”证明，得到，然后即可计算出的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：为等腰直角三角形， ， 由（1）可知，， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ； (3) 小问详解： 解：的值不会发生变化，且， 在上截取，如图， 在和中， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 57．【答案】（1）7     （2） ，理由如下， 是的一个外角， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ；     （3）点的坐标为．      【分析】 本题考查的是三角形全等的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据三角形的外角性质得到，证明，根据全等三角形的性质解答； （2）根据三角形的外角性质得到，证明，根据全等三角形的性质解答； （3）过点作轴于点，过点作轴于点，根据（1）的结论得到，根据全等三角形的性质解答即可． (1) 小问详解： 解：是的一个外角， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； 故答案为：7； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：过点作轴于点，过点作轴于点，     点的坐标为，点的坐标为， ，，， ， 由（1）可知，， ，， ， 点的坐标为． 考点03 角的平分线 1．B 2．C 3．D 4．D 5．B 6．D 7．A 8．B 9．C 10．C 11．B 12．A 13．B 14．D 15．B 16．A 17．C 18．D 19．【答案】证明：， ， 与是直角三角形， 在与中， ， ， ， ， 平分， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识，根据证明，得出，根据角平分线的判定证明平分，即可得证． 【详解】 略 20．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识点． 掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和是等相关知识是解决本题的关键． （1）先由角平分线性质求出的度数，再根据外角与内角的关系得，，间关系，最后代入计算得结论； （2）先由三角形外角与内角的关系求出的度数，再由角平分线性质求出的度数，最后利用三角形内角和定理得结论． (1) 小问详解： 解：平分， 是的外角，， (2) 小问详解： 解：平分平分， 是的外角，， ， ， ． 21．【答案】30． 【分析】先根据角平分线的性质得到DE=DC=4，然后根据三角形面积公式计算△ABD的面积． 【详解】∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，∴DE=DC=4，∴△ABD的面积15×4=30． 故答案为：30． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 22．【答案】证明：如图，作于，    ∵平分，，， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上， ∴平分． 【分析】 本题考查了角平分线的判定与性质，作于，由角平分线性质定理可得，结合题意推出，再由角平分线的判定定理判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 略 23．【答案】h度 【分析】 本题主要考查了角平分线的判定定理，三角形内角和定理应用，熟练掌握角平分线的判定定理，是解题的关键．根据点P到三边，，的距离，得出、是、的角平分线，然后根据三角形内角和定理，进行求解即可． 【详解】 解：∵点P到三边，，的距离， ∴、是、的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 24．【答案】证明：如图，过点分别作于点，于点，        则， ∵是的平分线，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了角平分线的性质，补角性质，全等三角形的判定和性质，过点分别作于点，于点，由角平分线的性质可得，由补角性质可得，进而可证明，即可求证，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】 略 25．【答案】4 【分析】 此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．由角平分线的性质可得点D到的距离等于，根据已知求得即可． 【详解】 解：∵，平分， ∴点D到的距离等于， ∵，， ∴， ∴点D到的距离是4． 故答案为：4． 26．【答案】（1）∠BAC的平分线AM如图所示； ；（2）15. 【分析】 （1）利用基本作图，作∠BAC的平分线即可； （2）作DF⊥AC于F．利用角平分线的性质定理证明DF=DE=3，即可解决问题. 【详解】 （1）略 （2）作DF⊥AC于F． ∵DA平分∠BAC，DB⊥BA，DF⊥AC， ∴DB=DF=3， ∴S△DAC=•AC•DF=×10×3=15， 故答案为15． 【点睛】 本题考查作图-基本作图，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，学会添加常用辅助线. 27．【答案】辣椒的种植面积为，茄子的种植面积为． 【分析】 本题考查了角平分线的性质定理． 过点分别作于点，于点，根据角平分线的性质定理得到，设，根据等面积法求出，进而根据三角形面积公式计算即可． 【详解】 解：如图，过点分别作于点，于点． 平分， ． 设，则，解得． ，． 辣椒的种植面积为，茄子的种植面积为． 28．【答案】5 【分析】 本题考查了角平分线的性质，先判断，然后根据角平分线的性质求解即可． 【详解】 解：过M作于H， 根据题意知：，， ∴， ∴， 又，，， ∴， 即点M到的距离是， 故答案为：5． 29．【答案】（1） 证明：方法一，    ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；     （2） 解：，证明如下： 如图，在上截取，使得，连接，    　　　　　　　∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，　　　　 ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴．      【分析】 （1）本题考查角平分线的相关证明及三角形全等的判定与性质，根据角平分线及辅助线得到，的条件即可得到答案； （2）本题考查角平分线的相关证明及三角形全等的判定与性质，根据角平分线及辅助线得到的条件即可得到答案； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 30．【答案】（1） 证明：∵， 在和中 ∴ 平分     （2）      【分析】 本题考查了角平分线的性质定理的逆定理；运用角平分线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明，得到，从而得出结论； （2）先求出的长度，然后证明，得出，求解即可； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： 在和中 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·云南昆明五华区莲华中学等学校·期中）下列说法正确的是（       ） A. 两个面积相等的图形一定是全等形 B. 两个等边三角形是全等形 C. 若两个图形的周长相等，则它们一定是全等形 D. 两个全等形的周长一定相等 2．（25-26学年八上·云南昆明五华区莲华中学等学校·期中）下列各个选项中的两个图形属于全等形的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·云南昭通·期中）下列图形中，是全等图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）已知，，，则（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）下列说法正确的是（     ） A. 周长相等的两个三角形一定全等 B. 全等的两个三角形周长一定相等 C. 任意两个三角形一定不全等 D. 等边三角形一定全等 6．（25-26学年八上·云南大理白族自·期中）如图，，，，，则的长是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·云南昆明五华区莲华中学等学校·期中）下图为两个全等三角形，则的度数是（   ） A.  B.  C.  D. 、、都可以 8．（25-26学年八上·云南昆明五华区莲华中学等学校·期中）如图，，若，，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·云南昆明五华区莲华中学等学校·期中）如图所示的两个三角形全等，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·云南昆明东川区·期中）如图，若，四个点，，，在同一直线上，，，则的长是（       ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 11．（25-26学年八上·云南昭通绥江县·期中）如图，，下列说法不正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）已知图中的两个三角形全等，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·云南曲靖麒麟区·期中）如图，已知点D在上，点B在上，，，则BC的长为（     ） A. 7 B. 5 C. 12 D. 6 14．（25-26学年八上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）全等三角形的面积　　　　　　． 15．（25-26学年八上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）如图，，若，则　　　　　　． 16．（25-26学年八上·云南昆明东川区·期中）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，那么的度数为　　　　　　　． 17．（25-26学年八上·云南昆明第八中学·期中）如图，，点D在边上，若，，则　　　　　　　　． 18．（25-26学年八上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）如图，已知，若，，则的长度为　　　　　　． 19．（25-26学年八上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）如图，把三角形纸片沿折叠，点落在四边形内部点处， （1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角． （2）设的度数为，的度数为，那么的度数分别是多少(用含或的式子表示)？ （3）与之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律，并说明理由． 20．（25-26学年八上·云南昭通·期中）如图，在四边形中，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为，当与以，，为顶点的三角形全等时，点的运动速度为 　　　　　　 ． 21．（25-26学年八上·云南昆明云南大学附属中学·期中）如图，，，，，垂足分别为A、B．点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿向点B运动；点Q从点B出发，以每秒a个单位的速度沿射线方向运动．点P、点Q同时出发，当以P、B、Q为顶点的三角形与全等时，a的值为　　　　　　． 22．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如图，，若，，则的长度是　　　　　　　　　　　． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他发现只带第③块去最省事，这是利用了全等三角形的判定方法（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·云南红河州蒙自第二中学·期中）如图，在用直尺和圆规作一个角等于已知角中，判定△O'C'D'≌△OCD 的依据是（　　） A. SAS B. SSS C. AAS D. A SA 3．（25-26学年八上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（     ） A. 三边对应相等 B. 两边和其中一边的对角对应相等 C. 两角和它们的夹边对应相等 D. 两边和它们的夹角对应相等 4．（25-26学年八上·云南曲靖麒麟区·期中）如图，用尺规作图“过点C作”的实质就是作，其作图依据是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·云南昆明五华区莲华中学等学校·期中）如图，在和中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，要使，只需再添加的一个条件不可以是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·云南昆明五华区莲华中学等学校·期中）如图，于点于点，若，则的理由是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·云南昆明东川区·期中）如图，在和中，点B，F，C，E在同一条直线上，，，添加下列一个条件，不能 判定的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·云南昭通绥江县·期中）小智不小心把一块三角形模具摔坏了，他带了图中阴影部分所示的那一半去商店就买回了和原来一模一样的三角形模具，这两个三角形模具完全相同的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·云南昭通绥江县·期中）如图，在和中，，可直接用“”判定这两个三角形全等的条件是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10．（25-26学年八上·云南昭通·期中）如图，用直尺和圆规作“一个角等于已知角”的原理是：因为，所以．由这种作图方法得到的和全等的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·云南昭通·期中）如图，为的平分线，添下列条件后，不能证明的是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·云南昆明云南大学附属中学·期中）如图，已知，添加以下条件仍不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·云南曲靖麒麟区·期中）如图，点，分别在线段，上，与相交于点，已知，现添加以下条件仍不能判定的是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·云南昆明第八中学·期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·云南华山中学·期中）如图，，垂足分别为D、E，且，则与全等的直接理由是（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如图，在中，，的角平分线交于点D，于点E，若与的周长分别为13和3，则的长为（　　） A. 10 B. 16 C. 8 D. 5 17．（25-26学年八上·云南大理白族自·期中）如图，，要使，可以添加下列选项中的（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年八上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（       ） A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①和②去 19．（25-26学年八上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）如图，已知，小慧想运用（）证明≌，则需要添加的一个条件是（     ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年八上·云南昆明五华区云南师范大学实验中学·期中）如图，在中，，点C的坐标为，点B的坐标为，则点A的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年八上·云南红河州蒙自第二中学·期中）如图，在和中，点、、、在同一直线上，，，下列条件不能证明的是（     ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年八上·云南昆明嵩明县·期中）如图，已知的六个元素，甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则其中与全等的三角形是（       ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙 23．（25-26学年八上·云南华山中学·期中）如图，在正方形中，，分别为，的中点，为对角线上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（   ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年八上·云南昆明五华区云南师范大学实验中学·期中）同学们学习完“全等三角形”的知识后，对以下题目进行了讨论，下面是四位同学的答案，其中错误的是（     ） ，_____（添加一个条件，使结论成立），可以得到． A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年八上·云南昆明五华区莲华中学等学校·期中）如图，在中，是边上的中线．求证是的角平分线． 证明：是的中线，． 在               和                 中                                 （       ） ∴（       ） ∴是的角平分线（       ）. 27．（25-26学年八上·云南昆明五华区莲华中学等学校·期中）如图．，． （1）求证：； （2）若，求的长． 28．（25-26学年八上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）如图，于P，，添加下列一个条件，能利用“”判定的条件是　　　　　　　　　． 29．（25-26学年八上·云南昆明嵩明县·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：． 30．（25-26学年八上·云南昆明东川区·期中）（多选） 如图，已知AD∥BC，AD＝CB，AE＝ FC ，求证：∠D＝∠B 31．（25-26学年八上·云南昭通绥江县·期中）如图，是的中点，．求证：． 32．（25-26学年八上·云南昭通·期中）如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D． 33．（25-26学年八上·云南昆明云南大学附属中学·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证： （1） （2）． 34．（25-26学年八上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）如图，点B、F、C、E在一条直线上，，．求证：． 35．（25-26学年八上·云南曲靖麒麟区·期中）如图，点E，C在上，，，，求证． 36．（25-26学年八上·云南昆明第八中学·期中）如图，平分．求证：． 37．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）已知：如图，在同一直线上，，，，求证：． 38．（25-26学年八上·云南大理白族自·期中）如图，已知．求证：． 39．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如图，的面积为，平分，，则的面积为　　　　． 40．（25-26学年八上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）如图，已知，．求证：． 41．（25-26学年八上·云南昆明五华区莲华中学等学校·期中）如图，已知，．求证：． 42．（25-26学年八上·云南昆明东川区·期中）在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，且，顶点、分别在轴、轴上． （1）如图，已知点，点在第四象限时，则点坐标为__________； （2）如图，点C、A分别在轴、轴的负半轴上，BC边交轴于点D，AB边交x轴于点，点在第一象限且点坐标为．求点坐标． 43．（25-26学年八上·云南昭通绥江县·期中）如图，为测量河流两岸，两点之间的距离，过点作，取的中点，再过点作，使点，，在同一条直线上，连接． （1）求证：； （2）若测得，，求，两点之间的距离． 44．（25-26学年八上·云南昆明五华区云南师范大学实验中学·期中）如图，，，求证： 45．（25-26学年八上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）如图，EF=BC，DF=AC，DA=EB．求证：∠F=∠C． 46．（25-26学年八上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）为了测量一池塘两端之间的距离，同学们想出了如下的两种方案： 方案：如图，先在平地上取一个可直接到达的点，再连接，并分别延长至点，至点，使，，最后量出的长就是的距离． 方案：如图，过点作的垂线，在上取两点，使，接着过点作的垂线，在垂线上选一点，使三点在一条直线上，则测出的长就是的距离．问： （1）方案是否可行？请说明理由． （2）方案是否可行？请说明理由． （3）小明说在方案中，并不一定需要，只需要            就可以了，请把小明所说的条件补上． 47．（25-26学年八上·云南红河州蒙自第二中学·期中）我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”。如图，四边形是一个筝形，其中，.请说明：（1）；（2）垂直平分线段. 48．（25-26学年八上·云南昆明嵩明县·期中）如图所示，A、B在一水池放入两侧，若BE=DE，∠B=∠D=90°，CD=10m，则水池宽AB=　　　　　m． 49．（25-26学年八上·云南昆明嵩明县·期中）昆明大观楼位于昆明市西南部，南临滇池，始建于清朝康熙年间，是昆明市最具代表性的古建筑物之一．某数学研究小组的同学们把测量大观楼的高度作为一项课题活动，设计了如表所示的测量方案： 课题 测量大观楼的高度 成员 组长：组员： 测量工具 测角仪、皮尺等 测量示意图 测量说明 如图，，，甲同学在小树与楼之间的点处，分别测得、，发现与互余 测量数据 米，米 请你根据上述信息求出大观楼的高度． 50．（25-26学年八上·云南曲靖麒麟区·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围．    【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 （1）直接写出图1中的取值范围：                             （2）猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． （3）如图3，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系，并加以证明． 51．（25-26学年八上·云南华山中学·期中）如图1，在长方形中，，为边中点．动点从点开始，以的速度沿路线运动，到点停止．图2是点出发秒后，的面积随时间变化的图象．根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）______； （2）当点在上运动时，求的面积为时的值； （3）如图3，当点从点出发时，动点同时以的速度从点出发，沿边运动，当点运动到点时，、两点停止运动．当为何值时，与全等，请直接写出的值． 52．（25-26学年八上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）如图，小强为了测量一楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点，，，测得与地面夹角，与地面夹角，且． （1）证明：； （2），，求大楼的高． 53．（25-26学年八上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）如图，在中，，的角平分线交于点，过点作于点． （1）求证：； （2）若点在上，且，请判断、、之间的数量关系，并说明理由． 54．（25-26学年八上·云南昆明五华区云南师范大学实验中学·期中）【背景问题】：老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接由已知和作图能得到，所以． （1）请根据小明的方法思考，直接写出可能的长______（写一个即可）； 【感悟方法】：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）如图2，是的中线，交于E，交于F，．探究与的关系，并说明理由． 【深入探究】： （3）如图3，在和中，，，且，连接、，Q为中点，连接并延长交于K，，，则______． 55．（25-26学年八上·云南昭通·期中）某校八年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． （1）如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E．可证得：___________________； （2）组员李明想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 56．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）为等腰直角三角形，，点D在边上（不与点A、B重合），以为腰作等腰直角，． （1）如图1，作，求证：； （2）在图2中，连接交于M，若，，求的值． （3）如图3，过点E作交的延长线于点H，过点D作，交于点G，连接，当点D在边上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值：若变化请说明理由． 57．（25-26学年八上·云南大理白族自·期中）如图，已知在中，，，，三点都在直线上，且有． （1）如图①，当时，线段____________； （2）如图②，当时，写出线段的数量关系，并说明理由； （3）如图③，，点的坐标为，点的坐标为，写出点的坐标． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·云南红河州蒙自第二中学·期中）如图，在中，，的平分线交于点，于点，若，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 3．（25-26学年八上·云南昆明五华区莲华中学等学校·期中）如图，要在学校的一块三角形草坪上建一个文化牌，若要使文化牌到草坪三条边的距离相等，则这个文化牌的位置应选在（     ） A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三边的垂直平分线的交点 C. 三角形三条高所在直线的交点 D. 三角形三条角平分线的交点 4．（25-26学年八上·云南昭通绥江县·期中）如图，在直线上作一点，使点在的内部，且点到射线和的距离相等，下列作图正确的是（       ） A.      B.          C.      D.      5．（25-26学年八上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线交于点．若，，则的面积是（       ） A. 24 B. 12 C. 10 D. 11 6．（25-26学年八上·云南昭通·期中）如图，平分，于点D，若，点E是边上一动点，关于线段叙述正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·云南昆明嵩明县·期中）下面是“作的角平分线”的尺规作图方法． （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；（2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；（3）画射线.射线即为所求． 上述方法通过判定得到．其中判定的依据是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·云南昆明嵩明县·期中）如图，已知平分，P是上一点，于点H，Q是射线上的一个动点，如，则长的最小值为（     ） A. 10 B. 5 C. 3 D. 2.5 9．（25-26学年八上·云南曲靖麒麟区·期中）纵横交错的公路和铁路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域.若建一个到三条道路的距离相等的物流仓储基地，则这个基地应该建在（       ） A. 的三条高线的交点 B. 的三条中线的交点 C. 的三条角平分线的交点 D. 的三边垂直平分线的交点 10．（25-26学年八上·云南昆明第八中学·期中）如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点M和点N为圆心、大于线段一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点D，作射线；过点D作交于点E．若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）点P在的平分线上，点P到边的距离等于5，D是边上的任意一点，则下列选项正确的是 A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如图，用直尺和圆规作的平分线，能说明的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·云南大理白族自·期中）如图，在中，和的平分线相交于点，则为（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·云南大理白族自·期中）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点D，E；再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点．若，则的面积是（     ） A. 28 B. 30 C. 33 D. 35 15．（25-26学年八上·云南华山中学·期中）如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（        ） A.  三条中线的交点处 B.  三条角平分线的交点处 C.  三条高所在直线的交点处 D.  三边的垂直平分线的交点处 16．（25-26学年八上·云南曲靖麒麟区·期中）如图，的三边、、的长分别是、、，点是三条角平分线的交点，则：：的值为（       ） A. ：： B. ：： C. ：： D. ：： 17．（25-26学年八上·云南曲靖麒麟区·期中）如图，在中，平分，若，则点D到的距离是（   ） A. 15 B. 10 C. 5 D. 4 18．（25-26学年八上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，若，则的长不可能是（       ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 19．（25-26学年八上·云南昆明东川区·期中）如图，在中，为边上的一点且，过点作，垂足分别是，求证：． 20．（25-26学年八上·云南昆明云南大学附属中学·期中）如图，在中，平分交于点D，平分交于点． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 21．（25-26学年八上·云南华山中学·期中）如图，在中，，点D，E分别在AC、AB上，BD平分，，AB=15，CD=4，的面积为　　　　　　　. 22．（25-26学年八上·云南大理白族自·期中）如图，，M是的中点，平分，求证：平分． 23．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如图，点P是内部的一点，点P到三边，，的距离，若，则的度数为　　　　　　　　　． 24．（25-26学年八上·云南昆明五华区莲华中学等学校·期中）如图，是平分线上的一点，若．试说明：． 25．（25-26学年八上·云南昆明五华区莲华中学等学校·期中）如图，在中，，平分交于点D，若，，则点D到的距离为　　　　　　　． 26．（25-26学年八上·云南昆明东川区·期中）（多选）如图,在Rt△ABC中,∠B=90°． 作出,∠BAC的平分线AM；要求：尺规作图,保留作图痕迹,不写作法 若∠BAC的平分线AM与BC交于点D,且D=3,AC=10,则DAC的面积为______． 27．（25-26学年八上·云南昭通绥江县·期中）如图，有一块三角形空地，，，，以的平分线为界，将该空地分成两块，其中空地用于种植辣椒，空地用于种植茄子（地边界和空隙面积忽略不计），分别求辣椒和茄子的种植面积． 28．（25-26学年八上·云南昆明五华区云南师范大学实验中学·期中）把两个同样大小的三角尺与像如图所示那样放置，M是与的交点，发现只要测得的长度，就可以得到点M到的距离，若，则点M到的距离是　　　　　． 29．（25-26学年八上·云南昆明云南大学附属中学·期中）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图①，在中，平分，，求证：； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图②，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图③，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题.    （1）根据以上材料，任选一种方法证明：； （2）如图④，四边形中，E是上一点，，，，探究，，之间的数量关系，并证明. 30．（25-26学年八上·云南曲靖麒麟区·期中）如图，于，于，若，．    （1）求证：平分； （2）已知，，求的长． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·云南昆明五华区莲华中学等学校·期中）下列说法正确的是（       ） A. 两个面积相等的图形一定是全等形 B. 两个等边三角形是全等形 C. 若两个图形的周长相等，则它们一定是全等形 D. 两个全等形的周长一定相等 【答案】D 【分析】 根据全等图形的判定和性质，对每个选项进行判断，即可得到答案． 【详解】 解：A、两个面积相等的图形，形状不一定相同，所以不一定是全等形，故A错误； B、两个等边三角形，边长不一定相等，所以不一定是全等形，故B错误； C、若两个图形的周长相等，形状不一定相同，所以它们不一定是全等形，故C错误； D、两个全等三角形的对应边相等，所以周长一定相等，故D正确． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了全等图形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等图形的定义和性质． 2．（25-26学年八上·云南昆明五华区莲华中学等学校·期中）下列各个选项中的两个图形属于全等形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是全等图形，掌握全等图形的概念是解决问题的关键． 利用全等图形的概念可得答案． 【详解】 解∶ A．两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； B．两个图形能完全重合，是全等图形，符合题意； C．两个图形大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； D．两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 故选∶B． 3．（25-26学年八上·云南昭通·期中）下列图形中，是全等图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了全等图形，解题时注意：能够完全重合的两个图形叫做全等图形．认真观察图形，找出大小或形状都一致的图形即可． 【详解】 解：由全等形的概念可知，是全等图形的是 ， 故选：D． 4．（25-26学年八上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）已知，，，则（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质，对应边和对应角相等．由，可知对应，对应． 【详解】 ∵， ∴，． 故选：A． 5．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）下列说法正确的是（     ） A. 周长相等的两个三角形一定全等 B. 全等的两个三角形周长一定相等 C. 任意两个三角形一定不全等 D. 等边三角形一定全等 【答案】B 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，只有三边长都相等的两个三角形全等（或满足其他全等条件），据此可判断A、C、D，根据全等三角形对应边相等即可判断B． 【详解】 解：A、周长相等的两个三角形不一定全等，例如一个三角形的三边长为，另一个三角形的三边长为，但是这两个三角形不全等，原说法错误，不符合题意； B、全等的两个三角形周长一定相等，原说法正确，符合题意； C、任意两个三角形可能全等，原说法错误，不符合题意； D、只有边长相等的等边三角形才全等，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 6．（25-26学年八上·云南大理白族自·期中）如图，，，，，则的长是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， 故选：D 【点睛】 此题考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等的性质． 7．（25-26学年八上·云南昆明五华区莲华中学等学校·期中）下图为两个全等三角形，则的度数是（   ） A.  B.  C.  D. 、、都可以 【答案】A 【分析】 根据三角形内角和定理计算出的度数，然后再根据全等三角形的对应角相等可得． 【详解】 解：根据三角形内角和可得    因为两个三角形全等， 所以 故选：A． 【点睛】 本题考查了三角形全等的性质，掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键. 8．（25-26学年八上·云南昆明五华区莲华中学等学校·期中）如图，，若，，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 由全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理得到，得到，即可得到答案． 【详解】 解：， ，， ， ， ， ， 故选：C． 9．（25-26学年八上·云南昆明五华区莲华中学等学校·期中）如图所示的两个三角形全等，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了三角形内角和性质，全等三角形的判定与性质，结合两个三角形全等，则，所以，即可作答． 【详解】 解：如图： ∵两个三角形全等， ∴， ∴， 故选：D． 10．（25-26学年八上·云南昆明东川区·期中）如图，若，四个点，，，在同一直线上，，，则的长是（       ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】A 【分析】 本题考查三角形全等的性质，根据可得，再根据等式的性质并结合图形即可求出答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∵四个点，，，在同一直线上， ∴， 故选：A． 11．（25-26学年八上·云南昭通绥江县·期中）如图，，下列说法不正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质即可判断，即两个全等三角形对应边相等，对应角相等． 【详解】 解：∵， ∴，，，， ∴，， 观察四个选项，选项B符合题意． 故选：B． 12．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）已知图中的两个三角形全等，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等，即可得出结果．找准对应角是解题的关键． 【详解】 解：由图可知，为边长为的对角， ∵两个三角形全等， ∴； 故选D． 13．（25-26学年八上·云南曲靖麒麟区·期中）如图，已知点D在上，点B在上，，，则BC的长为（     ） A. 7 B. 5 C. 12 D. 6 【答案】A 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质、线段的和与差等知识点，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 由全等三角形的性质可得，再根据线段的和差得到即可解答． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选A． 14．（25-26学年八上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）全等三角形的面积　　　　　　． 【答案】相等 【分析】 本题考查了全等三角形的定义． 全等三角形的定义表明它们形状和大小完全相同，因此面积相等． 【详解】 解：全等三角形是指两个三角形能够完全重合，对应边相等，对应角相等．面积是几何图形的大小的度量，由形状和大小决定，因此全等三角形的面积必然相等． 故答案为：相等． 15．（25-26学年八上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）如图，，若，则　　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质可知解答即可． 【详解】 解：∵， ∴， 故答案为：10． 16．（25-26学年八上·云南昆明东川区·期中）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，那么的度数为　　　　　　　． 【答案】F度 【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理以及全等三角形的性质，理解并掌握全等三角形的性质是解题关键．首先根据三角形内角和定理解得，再根据全等三角形的性质“对应角相等”，即可获得答案． 【详解】 解：如下图，根据三角形内角和可得， ∵两个全等三角形， ∴． 故答案为：． 17．（25-26学年八上·云南昆明第八中学·期中）如图，，点D在边上，若，，则　　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形得到，，最后根据求解即可． 【详解】 解：∵，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 18．（25-26学年八上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）如图，已知，若，，则的长度为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，线段和差的计算，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质得出，，根据，即可求解． 【详解】 解：∵，，， ∴，， ∴． 故答案为：． 19．（25-26学年八上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）如图，把三角形纸片沿折叠，点落在四边形内部点处， （1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角． （2）设的度数为，的度数为，那么的度数分别是多少(用含或的式子表示)？ （3）与之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律，并说明理由． 【答案】（1）△AED≌A’ED，∠A和∠A’，∠AED和∠A’ED，∠ADE=∠A’DE；（2）∠1=180°—2x°，∠2=180°—2y°；（3）2∠A=∠1+∠2 【分析】（1）根据折叠的性质，可得出△ADE≌△A′DE，再根据全等三角形的性质即可得出答案； （2）由折叠的性质得出，∠1+2∠AED=180°，∠2+2∠ADE=180°，从而得出∠1，∠2的度数； （3）由折叠的性质得出，∠A=∠A′，再由三角形的内角和定理得出∠A与∠1+∠2的关系． 【详解】（1）由折叠的性质得出△ADE≌△A′DE，∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，∠A=∠A′， （2）∵∠1+2∠AED=180°，∠2+2∠ADE=180°， ∴∠1=180°-2∠AED，∠2=180°-2∠ADE， ∵∠AED=x，∠ADE=y， ∴∠1=180°-2∠AED=180°-2x，∠2=180°-2∠ADE=180°-2y， （3）∵∠A′+∠A′DE+∠A′ED=180°， ∴∠A′DE+∠A′ED=180°-∠A′， ∵∠A=∠A′， ∴∠A′DE+∠A′ED=180°-∠A， ∵∠A′DE=∠ADE，∠A′ED=∠AED ∴∠ADE+∠AED=180°-∠A， ∵∠1+2∠AED=180°，∠2+2∠ADE=180°， ∴2（∠AED+∠ADE）=360°-∠1-∠2， ∴∠AED+∠ADE=180°-（∠1+∠2）， ∴∠A=（∠1+∠2）， ∴2∠A=∠1+∠2． 【点睛】考查了全等三角形的判定，以及三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180度，解题关键是利用了折叠的性质． 20．（25-26学年八上·云南昭通·期中）如图，在四边形中，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为，当与以，，为顶点的三角形全等时，点的运动速度为 　　　　　　 ． 【答案】或 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，设点的运动速度为，则，，，由于，则分两种情况：当时，则，；当时，则，，然后分别求解即可，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】 解：设点的运动速度为，则，，， ∵， ∴当时， ∴，时， ∴，， 解得：，； 当时， ∴，， ∴，， 解得：，， 综上所述，点的运动速度为或． 故答案为：或． 21．（25-26学年八上·云南昆明云南大学附属中学·期中）如图，，，，，垂足分别为A、B．点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿向点B运动；点Q从点B出发，以每秒a个单位的速度沿射线方向运动．点P、点Q同时出发，当以P、B、Q为顶点的三角形与全等时，a的值为　　　　　　． 【答案】2或 【分析】 本题考查全等三角形的应用，解答本题的关键是明确有两种情况，利用数形结合的思想解答． 根据题意，可以分两种情况讨论，第一种，第二种，然后分别求出相应的的值即可． 【详解】 解：当时，则，， ，， ，， ， ， 解得； 当时，则，，． ，， ，， ， 解得； 由上可得的值是2或， 故答案为：2或． 22．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如图，，若，，则的长度是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形全等的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据题意，可证，那么可证，从而可算得的长度，最后利用算得答案． 【详解】 解：， ， ， ，， ， 故答案为：． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他发现只带第③块去最省事，这是利用了全等三角形的判定方法（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 由题意易知带第③ 块去最省事是因为第③ 块碎片包含了这个三角形的两个角及一条边，所以最容易还原原三角形，进而问题可求解． 【详解】 解：只带第③ 块去最省事，这是利用了全等三角形的判定方法； 故选：B． 2．（25-26学年八上·云南红河州蒙自第二中学·期中）如图，在用直尺和圆规作一个角等于已知角中，判定△O'C'D'≌△OCD 的依据是（　　） A. SAS B. SSS C. AAS D. A SA 【答案】B 【分析】 利用基本作图得到OC=OD=O′C′=O′D′，CD=C′D′，然后根据全等三角形的判定方法进行判断． 【详解】 解：由作法得OC=OD=O′C′=O′D′，CD=C′D′，‘ 根据“SSS”可判断△O′C′D′≌△OCD． 故选：B． 【点睛】 本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定． 3．（25-26学年八上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（     ） A. 三边对应相等 B. 两边和其中一边的对角对应相等 C. 两角和它们的夹边对应相等 D. 两边和它们的夹角对应相等 【答案】B 【分析】 本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】 A. 三边对应相等的两三角形全等，不符合题意； B. 两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等，符合题意； C. 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，不符合题意； D. 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，不符合题意； 故选：B． 4．（25-26学年八上·云南曲靖麒麟区·期中）如图，用尺规作图“过点C作”的实质就是作，其作图依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】 解：由作法可知，，， ， ， ， 故选：B． 5．（25-26学年八上·云南昆明五华区莲华中学等学校·期中）如图，在和中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，要使，只需再添加的一个条件不可以是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 添加AC＝AD，利用SAS即可得到两三角形全等；添加∠D＝∠C，利用AAS即可得到两三角形全等，添加∠CBE＝∠DBE，利用ASA即可得到两三角形全等． 【详解】 解：A、添加AC＝AD，利用SAS即可得到两三角形全等，故此选项不符合题意； B、添加BC＝BD，不能判定两三角形全等，故此选项符合题意； C、添加∠D＝∠C，利用AAS即可得到两三角形全等，故此选项不符合题意； D、添加∠CBE＝∠DBE，利用ASA即可得到两三角形全等，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】 此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． 6．（25-26学年八上·云南昆明五华区莲华中学等学校·期中）如图，于点于点，若，则的理由是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由直角三角形全等的判定方法“”，即可判断． 【详解】 证明：于点，于点， ， 在和中， ， ， 的理由是． 故选：B． 【点睛】 本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法：． 7．（25-26学年八上·云南昆明东川区·期中）如图，在和中，点B，F，C，E在同一条直线上，，，添加下列一个条件，不能 判定的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有． 【详解】 解：∵， ∴，即， 添加条件，结合，，不可以利用证明，故A符合题意； 添加条件，结合，，可以利用证明，故B不符合题意； 添加条件，结合，，可以利用证明，故C不符合题意； 添加条件，结合，，可以利用证明，故D不符合题意； 故选：A． 8．（25-26学年八上·云南昭通绥江县·期中）小智不小心把一块三角形模具摔坏了，他带了图中阴影部分所示的那一半去商店就买回了和原来一模一样的三角形模具，这两个三角形模具完全相同的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和应用． 根据题干图判断即可． 【详解】 解：由图可知，阴影部分底边两边及其夹角是完整的， 即这两个三角形模具完全相同的依据是． 故选：C． 9．（25-26学年八上·云南昭通绥江县·期中）如图，在和中，，可直接用“”判定这两个三角形全等的条件是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【分析】 本题考查直角三角形全等的判定，解题的关键是掌握直角三角形的全等的判定方法． 根据全等三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】 解：在、中，， A、，，可以根据证明三角形全等，本选项符合题意； B、，，可以根据证明三角形全等，本选项不符合题意； C、，，可以根据证明三角形全等，本选项不符合题意； D、，，可以根据证明三角形全等，本选项不符合题意； 故选：A． 10．（25-26学年八上·云南昭通·期中）如图，用直尺和圆规作“一个角等于已知角”的原理是：因为，所以．由这种作图方法得到的和全等的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据作图得到OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，然后根据全等三角形的判定方法求解． 【详解】 解：由作法得OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′， 所以根据“SSS”可判断△D′O′C′≌△DOC． 故选：D． 【点睛】 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质． 11．（25-26学年八上·云南昭通·期中）如图，为的平分线，添下列条件后，不能证明的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了对全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定方法只有共5种，主要培养学生的辨析能力．根据“”对A进行判断；根据“”对B进行判断；根据“”对C进行判断； D选项符合，不能证明． 【详解】 解：由，利用可证明，所以A选项不符合题意； 由，利用可证明，所以B选项不符合题意； 由，利用可证明，所以C选项不符合题意； 由，符合，不能证明，所以D选项符合题意． 故选D． 12．（25-26学年八上·云南昆明云南大学附属中学·期中）如图，已知，添加以下条件仍不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据三角形全等的判定定理，逐一验证即可． 本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∵ ∴， 故A选项正确，不符合题意； ∵， ∵ ∴， 故B选项正确，不符合题意； ∵ ∴， 故D选项正确，不符合题意； ∵，不符合任何一定判定定理， 无法证明， 故C选项错误，符合题意； 故选：C． 13．（25-26学年八上·云南曲靖麒麟区·期中）如图，点，分别在线段，上，与相交于点，已知，现添加以下条件仍不能判定的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定定理以及发现隐含条件成为解答本题的关键．欲使，已知，，可根据全等三角形判定定理、、添加条件，逐一判断即可． 【详解】 解：，， A、添加，利用即可证明； B、添加，为，不能证明，所以此选项不能作为添加的条件； C、添加，利用即可证明； D、添加，利用即可证明． 故选：B． 14．（25-26学年八上·云南昆明第八中学·期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，由作图过程可得，，再加上公共边可利用定理判定． 【详解】 解：在和中 ， ∴， ∴， 故选：C． 15．（25-26学年八上·云南华山中学·期中）如图，，垂足分别为D、E，且，则与全等的直接理由是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题中的条件可得和是直角三角形，再根据条件，可根据定理判定． 【详解】 解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查三角形全等证明，掌握相关知识是解题的关键． 16．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如图，在中，，的角平分线交于点D，于点E，若与的周长分别为13和3，则的长为（　　） A. 10 B. 16 C. 8 D. 5 【答案】D 【分析】 证明，则，，由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】 解：由题意知，，， 又∵， ∴， ∴，， 由题意知，， ∴， 解得， 故选：D． 【点睛】 本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于明确线段之间的数量关系． 17．（25-26学年八上·云南大理白族自·期中）如图，，要使，可以添加下列选项中的（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的判定．分别添加将各选项后判断即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， A． ，则，∴； B． ，不能判定； C． ，不能判定； D． ，不能判定； 故选：A． 18．（25-26学年八上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（       ） A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①和②去 【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．根据题意配制的三角形与原三角形应该全等，故带去的碎块必须要保留原三角形的三个完整条件，通过观察即可发现：第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃． 【详解】 解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误； B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误； C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一条边，符合ASA判定，故C选项正确； D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误． 故选：C． 19．（25-26学年八上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）如图，已知，小慧想运用（）证明≌，则需要添加的一个条件是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据全等三角形的判定定理进行排除选项． 【详解】 解：由题意得：， ∴若添加，则有，即，通过“”证明，故A选项不符合题意； 若添加，则通过“”证明，故B选项符合题意； 若添加，则通过“”证明，故C选项不符合题意； 若添加，则不能证明，故D选项不符合题意； 故选：B． 20．（25-26学年八上·云南昆明五华区云南师范大学实验中学·期中）如图，在中，，点C的坐标为，点B的坐标为，则点A的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 如图：分别过A和B作轴于D，轴于E，由点C的坐标为，点B的坐标为可得，，，则；根据角之间的数量关系可得，再根据“角角边”得到，再根据全等三角形的性质得到、，即，再结合图确定A点的坐标即可． 【详解】 解：如图：分别过A和B作轴于D，轴于E， ∵点C的坐标为，点B的坐标为， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴、， ∴， ∴A点的坐标是． 故选A． 21．（25-26学年八上·云南红河州蒙自第二中学·期中）如图，在和中，点、、、在同一直线上，，，下列条件不能证明的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查全等三角形的判定，熟练掌握判定定理是关键．已知条件有一角和一边，结合选项的条件和全等的判定定理逐项分析即可． 【详解】 解：， ，即， A、，与已知条件组合为“”，不能判定，符合题意； B、由可得，与已知条件组合可用判定，不符合题意； C、由可得，与已知条件组合可用判定，不符合题意； D、由可得，与已知条件组合可用判定，不符合题意； 故选：A． 22．（25-26学年八上·云南昆明嵩明县·期中）如图，已知的六个元素，甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则其中与全等的三角形是（       ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙 【答案】B 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定．分别利用全等三角形的判定方法逐个判断即可． 【详解】 解：由图形知，中，边长为的对角为，邻角为，甲中，边长为的对角为， ∴甲中三角形与不一定全等； 乙中，，则边长为的对角为，邻角为， ∴乙中三角形与全等； 丙中，边长为的对角为，邻角为， ∴丙中三角形与全等； 综上可知：能和全等的是乙、丙． 故选：B． 23．（25-26学年八上·云南华山中学·期中）如图，在正方形中，，分别为，的中点，为对角线上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 连接，当点，，在同一直线上时，的最小值为长，依据，即可得到最小值等于线段的长． 【详解】 解：如图，连接， 由，，， 可得， ， ， 当点，，在同一直线上时， 的最小值为长， 此时，由，，， 可得， ， 最小值等于线段的长， 故选：D． 【点睛】 本题考查的是轴对称，最短路线问题，解题的关键是根据题意作出关于的对称点． 24．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解． 【详解】 解：根据题意得：，， A．若添加，满足边角边，能判定，故该选项不符合题意； B．若添加，满足斜边直角边对应相等，能判定，故该选项不符合题意； C．若添加，满足边边角，不能判定，故该选项符合题意； D．若添加，满足边边边，能判定，故该选项不符合题意； 故选：C． 25．（25-26学年八上·云南昆明五华区云南师范大学实验中学·期中）同学们学习完“全等三角形”的知识后，对以下题目进行了讨论，下面是四位同学的答案，其中错误的是（     ） ，_____（添加一个条件，使结论成立），可以得到． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定定理证明三角形全等是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理逐项分析判断即可． 【详解】 解：由，则： A、添加的条件是，根据可证明，故选项A不符合题意； B、添加的条件是，得，根据可证明，故选项B不符合题意； C、添加的条件是，根据不能证明，故选项C符合题意； D、添加的条件是，根据可证明，故选项D不符合题意． 故选：C． 26．（25-26学年八上·云南昆明五华区莲华中学等学校·期中）如图，在中，是边上的中线．求证是的角平分线． 证明：是的中线，． 在               和                 中                                 （       ） ∴（       ） ∴是的角平分线（       ）. 【答案】，，，，，，，全等三角形对应角相等，角平分线定义． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意证即可求证． 【详解】 证明：是的中线， ． 在和中 （） ∴（全等三角形对应角相等）， ∴是的角平分线（角平分线定义）． 27．（25-26学年八上·云南昆明五华区莲华中学等学校·期中）如图．，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）利用即可证明； （2）根据全等三角形对应边相等即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴． 28．（25-26学年八上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）如图，于P，，添加下列一个条件，能利用“”判定的条件是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握“”是解答本题的关键． 根据“”所需的条件分析即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴要利用“”判定的条件是． 故答案为：． 29．（25-26学年八上·云南昆明嵩明县·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明：如图， ， ，即， 在和中， ， ． 【分析】 此题考查全等三角形的判定，关键是根据证明与全等解答． 根据等式的性质得出，再根据全等三角形的判定解答即可． 【详解】 略 30．（25-26学年八上·云南昆明东川区·期中）（多选） 如图，已知AD∥BC，AD＝CB，AE＝ FC ，求证：∠D＝∠B 【答案】证明：∵AD∥BC， ∴∠A＝∠C． ∵AE＝CF， ∴AF＝CE． 在△ADF和△CBE中， AD＝CB，∠A＝∠C，AF＝CE， ∴△DAF≌△BCE（SAS）． ∴∠D＝∠B． 【分析】 由平行线的性质可得∠A＝∠C，已知AD＝BC，根据等式的性质得AF＝CE，从而可根据SAS判定△DAF≌△BCE，根据全等三角形的对应角相等即可求证． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角边相等的性质，本题中证明△DAF≌△BCE是解题的关键． 31．（25-26学年八上·云南昭通绥江县·期中）如图，是的中点，．求证：． 【答案】证明：是的中点， ， 在和中， ， 【分析】 根据是的中点，得到，再利用证明两个三角形全等． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了线段中点，三角形全等的判定，其中对三角形判定条件的确定是解决本题的关键． 32．（25-26学年八上·云南昭通·期中）如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D． 【答案】证明：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE． 在△ABF和△DCE中， ∴△ABF≌△DCE， ∴∠A＝∠D． 【分析】 由BE＝CF可得BF＝CE，再结合AB＝DC，∠B＝∠C可证得△ABF≌△DCE，问题得证． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握全等三角形的判定和性质． 33．（25-26学年八上·云南昆明云南大学附属中学·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证： （1） （2）． 【答案】（1） 证明：如图． ∵ ∴，即 在和中 ∴（）     （2） 证明：∵（已证） ∴（全等三角形对应角相等），即， ∴（等角对等边）．      【分析】 本题考查了三角形全等的判定（）、全等三角形的性质及等腰三角形的判定定理，解题的关键是通过已知条件推导相等线段，利用证明三角形全等，再结合全等性质与等腰三角形判定定理推导第二问中线段相等的结论． （1）由两边同时加得，结合已知和，根据判定定理可证； （2）利用（1）中三角形全等的性质得对应角（即），再根据等角对等边可直接得出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 34．（25-26学年八上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）如图，点B、F、C、E在一条直线上，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，先证明，再由平行线的性质得到，据此可证明结论． 【详解】 略 35．（25-26学年八上·云南曲靖麒麟区·期中）如图，点E，C在上，，，，求证． 【答案】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 【分析】 本题考查全等三角形的判定，根据题意可以证得，从而可以解答本题． 【详解】 略 36．（25-26学年八上·云南昆明第八中学·期中）如图，平分．求证：． 【答案】证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先根据角平分线得到，再由证明，即可得到． 【详解】 略 37．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）已知：如图，在同一直线上，，，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．由得到，再根据“”可得，即得，然后根据平行线的判定方法即可得到结论． 【详解】 略 38．（25-26学年八上·云南大理白族自·期中）如图，已知．求证：． 【答案】证明：， ， ， 在和中， ， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由可得，即可证明，根据三角形全等的性质，即可得出答案． 【详解】 略 39．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如图，的面积为，平分，，则的面积为　　　　． 【答案】 【分析】 延长交于，证明得到，再利用三角形的中线性质求解即可．本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的中线性质，熟知三角形的中线将该三角形分为两个面积相等的三角形是解答的关键． 【详解】 解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的面积为， ． 故答案为：5． 40．（25-26学年八上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）如图，已知，．求证：． 【答案】见解析 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的几种判定方法． 根据证明，即可得到． 【详解】 证明：∵，，， ∴， ∴． 41．（25-26学年八上·云南昆明五华区莲华中学等学校·期中）如图，已知，．求证：． 【答案】证明：在和中 ， ∴， ∴． 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，证明，即可得出结论． 【详解】 略 42．（25-26学年八上·云南昆明东川区·期中）在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，且，顶点、分别在轴、轴上． （1）如图，已知点，点在第四象限时，则点坐标为__________； （2）如图，点C、A分别在轴、轴的负半轴上，BC边交轴于点D，AB边交x轴于点，点在第一象限且点坐标为．求点坐标． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定及性质，坐标轴中点坐标的性质，点到坐标轴的距离：点P的坐标为，那么点P到x轴的距离为这点纵坐标的绝对值，即．点P到y轴的距离为这点横坐标的绝对值，即． （1）过B点作x轴垂线，垂足为D，由题意可证得，故，，，即可知B点坐标为； （2）过点作轴于点，则，证明，可得，从而得到，即可． (1) 小问详解： 解：过B点作x轴垂线，垂足为D， 由题意知：，，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故B点坐标为； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：如图，过点作轴于点，则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点在第一象限且点坐标为， ， ， ， ， 点在轴的负半轴上， ． 43．（25-26学年八上·云南昭通绥江县·期中）如图，为测量河流两岸，两点之间的距离，过点作，取的中点，再过点作，使点，，在同一条直线上，连接． （1）求证：； （2）若测得，，求，两点之间的距离． 【答案】（1） 证明：，， ， 点是的中点， ． 在和中， ， ；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）根据垂直的定义得到，根据点是的中点得到，进而根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到即可求出，两点之间的距离． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）得， ∴． ， ． 则，两点之间的距离为． 44．（25-26学年八上·云南昆明五华区云南师范大学实验中学·期中）如图，，，求证： 【答案】证明见解析 【分析】 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 先根据得，进而依据“”判定和全等即可得出结论． 【详解】 证明：， ， ． 在和中， ， ． ． 45．（25-26学年八上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）如图，EF=BC，DF=AC，DA=EB．求证：∠F=∠C． 【答案】证明：， ， 在和中， ， ， ． 【分析】 欲证明∠F＝∠C，只要证明△ABC≌△DEF(SSS)即可. 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定与性质. 46．（25-26学年八上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）为了测量一池塘两端之间的距离，同学们想出了如下的两种方案： 方案：如图，先在平地上取一个可直接到达的点，再连接，并分别延长至点，至点，使，，最后量出的长就是的距离． 方案：如图，过点作的垂线，在上取两点，使，接着过点作的垂线，在垂线上选一点，使三点在一条直线上，则测出的长就是的距离．问： （1）方案是否可行？请说明理由． （2）方案是否可行？请说明理由． （3）小明说在方案中，并不一定需要，只需要            就可以了，请把小明所说的条件补上． 【答案】（1） 解：方案可行 ． 理由如下： 在和中， ， ， ， 方案可行 ．     （2） 解：方案可行 ． 理由如下： ， 在和中， ， ， ， 方案可行 ．     （3）平行      【分析】 本题考查了全等三角形的判定定理及性质： （1）通过证明，利用全等三角形对应边相等即可判断； （2）通过证明，利用全等三角形对应边相等即可判断； （3）通过添加条件，利用判定证明，使得方案成立即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：平行． 平行于， ， 在和中， ， ， ． 47．（25-26学年八上·云南红河州蒙自第二中学·期中）我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”。如图，四边形是一个筝形，其中，.请说明：（1）；（2）垂直平分线段. 【答案】（1）证明：在和中， ， ∴. （2）证明：由（1）知， ∴ ∵， ∴垂直平分线段. 【分析】 （1）根据已知条件利用SSS即可证明全等； （2）由得到，再根据AD=CD利用等腰三角形的“三线合一”性质即可证得垂直平分线段. 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 此题考查三角形全等的判定定理及性质定理，熟记定理并熟练运用是关键. 48．（25-26学年八上·云南昆明嵩明县·期中）如图所示，A、B在一水池放入两侧，若BE=DE，∠B=∠D=90°，CD=10m，则水池宽AB=　　　　　m． 【答案】10 【分析】利用ASA得出△ABE≌△CDE（ASA），进而求出CD=AB即可得出答案． 【详解】在△ABE和△CDE中 ， ∴△ABE≌△CDE（ASA）， ∴CD=AB=10m． 故答案为10． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用，根据题意熟练应用全等三角形的判定方法是解题的关键． 49．（25-26学年八上·云南昆明嵩明县·期中）昆明大观楼位于昆明市西南部，南临滇池，始建于清朝康熙年间，是昆明市最具代表性的古建筑物之一．某数学研究小组的同学们把测量大观楼的高度作为一项课题活动，设计了如表所示的测量方案： 课题 测量大观楼的高度 成员 组长：组员： 测量工具 测角仪、皮尺等 测量示意图 测量说明 如图，，，甲同学在小树与楼之间的点处，分别测得、，发现与互余 测量数据 米，米 请你根据上述信息求出大观楼的高度． 【答案】大观楼的高度为21米 【分析】 本题主要考查了全等三角形的应用等知识点，先求解，再证明，利用全等三角形的性质可得答案，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决此题的关键． 【详解】 ∵米，米， ∴（米）， ∵，， ∴， ∴与互余， ∵与互余，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴（米）， 答：大观楼的高度为21米． 50．（25-26学年八上·云南曲靖麒麟区·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围．    【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 （1）直接写出图1中的取值范围：                             （2）猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． （3）如图3，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，倍长中线法； （1）延长使得，连接，先证明得到，在中，根据三角形三边关系即可求解； （2）由（1）中即可求解； （3）延长使得，连接，同（1）可得，进而判断出，进而证明，即可求解． (1) 小问详解： 解：延长使得，连接，如图2， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：； 由（1）得：， ∴，， ∴； (3) 小问详解： 解：； 延长使得，连接，如图，    由（1）得：， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 51．（25-26学年八上·云南华山中学·期中）如图1，在长方形中，，为边中点．动点从点开始，以的速度沿路线运动，到点停止．图2是点出发秒后，的面积随时间变化的图象．根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）______； （2）当点在上运动时，求的面积为时的值； （3）如图3，当点从点出发时，动点同时以的速度从点出发，沿边运动，当点运动到点时，、两点停止运动．当为何值时，与全等，请直接写出的值． 【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 本题考查了从函数图象获取信息，全等三角形的性质，三角形的面积公式． （1）根据图1和图2，结合点P运动时，面积的变化情况，进行解答即可； （2）根据，点P在上运动，的面积为，求出，得出，最后求出结果即可； （3）分和根据全等三角形的性质得出线段相等，进而建立方程组，解方程组，即可求解； (1) 小问详解： 解：∵，E为边中点， ∴， 根据图2可知，当点P运动时，的面积达到最大值，根据图1可知，当点P从点B开始运动，到达点C时，的面积达到最大值， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵，点P在上运动，的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：∵， ∴当与全等时，有两种情况， ①时，， ∴ ， 解得：； ②时，， ∴ ， 解得：； 综上分析可知：当或时，与全等． 52．（25-26学年八上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）如图，小强为了测量一楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点，，，测得与地面夹角，与地面夹角，且． （1）证明：； （2），，求大楼的高． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴；     （2）楼高是26米      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质的应用，解题关键是牢记它的判定与性质． （1）先求出，再证明全等； （2）利用全等三角形的性质得出即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵ ∴. ∵米，米， ∴(米)． 答：楼高是米． 53．（25-26学年八上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）如图，在中，，的角平分线交于点，过点作于点． （1）求证：； （2）若点在上，且，请判断、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明过程见解析     （2），理由见解析      【分析】 本题主要考查了三角形全等的综合应用，结合角平分线的性质证明是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，，证明，即可得证． （2）根据已知条件证明，得到，根据等量代换求解即可； (1) 小问详解： 证明：平分，， ，，， 在和中， ， ， ． (2) 小问详解： 解：，理由如下： 由（1）知：， 在和中， ， ， ， ， 由（1）可得：， ． 54．（25-26学年八上·云南昆明五华区云南师范大学实验中学·期中）【背景问题】：老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接由已知和作图能得到，所以． （1）请根据小明的方法思考，直接写出可能的长______（写一个即可）； 【感悟方法】：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）如图2，是的中线，交于E，交于F，．探究与的关系，并说明理由． 【深入探究】： （3）如图3，在和中，，，且，连接、，Q为中点，连接并延长交于K，，，则______． 【答案】（1）3或5； （2），理由如下： 延长到M，使，连接，如图2所示： 是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ∴， ∵， ； （3） 【分析】 （1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质得出，证出； （3）由“SAS”可证，可得，，由“”可证，可得，，由三角形的面积公式可求解． 【详解】 解：（1）延长至点E，使，连接， 则， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ∵， ∴ 即； 边的长度为奇数， 或5； （2）略 （3）延长到R，使得，连接、 点Q是的中点， ， 又，， ∴， ，， ∴， ∴， ，，， ，， ， ∴， ，， ， ， ， 即， ∴． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的三边关系等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 55．（25-26学年八上·云南昭通·期中）某校八年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． （1）如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E．可证得：___________________； （2）组员李明想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 【答案】（1），．     （2） （1）中的结论成立，证明如下： 如图② ： ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴．     （3） 证明：如图③ ：过点E作交的延长线于点N， ∵和都是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点M是的中点．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、同角的余角相等等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）如图① ：先说明，再说明，再运用可证明； （2）根据平角的性质可得，再根据三角形内角和定理可得，即，再运用可证明； ； （3）如图③ ：过点E作交的延长线于点N，，由等腰直角三角形可得，根据同角的余角相等得到，再根据和得到，即可证明得到，再由，得到，即可证明得到，即可证明结论． (1) 小问详解： 解：如图① ： ∵直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：，． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 56．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）为等腰直角三角形，，点D在边上（不与点A、B重合），以为腰作等腰直角，． （1）如图1，作，求证：； （2）在图2中，连接交于M，若，，求的值． （3）如图3，过点E作交的延长线于点H，过点D作，交于点G，连接，当点D在边上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值：若变化请说明理由． 【答案】（1） 证明：为等腰直角三角形，． ，， ， ， ， 在和中， ， ；     （2）2     （3）不变，1      【分析】 本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是选择恰当的判定条件证明三角形全等，并添加适当辅助线构造全等三角形． （1）根据等腰直角三角形的性质得到，再利用等角的余角相等得到，然后根据“”可证明； （2）由得到，再利用等腰直角三角形得到，得到，，接着利用“”证明，得到即可求解； （3）在上截取，先利用“”证明得到，，然后由，得到，进而求得，从而利用“”证明，得到，然后即可计算出的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：为等腰直角三角形， ， 由（1）可知，， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ； (3) 小问详解： 解：的值不会发生变化，且， 在上截取，如图， 在和中， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 57．（25-26学年八上·云南大理白族自·期中）如图，已知在中，，，，三点都在直线上，且有． （1）如图①，当时，线段____________； （2）如图②，当时，写出线段的数量关系，并说明理由； （3）如图③，，点的坐标为，点的坐标为，写出点的坐标． 【答案】（1）7     （2） ，理由如下， 是的一个外角， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ；     （3）点的坐标为．      【分析】 本题考查的是三角形全等的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据三角形的外角性质得到，证明，根据全等三角形的性质解答； （2）根据三角形的外角性质得到，证明，根据全等三角形的性质解答； （3）过点作轴于点，过点作轴于点，根据（1）的结论得到，根据全等三角形的性质解答即可． (1) 小问详解： 解：是的一个外角， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； 故答案为：7； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：过点作轴于点，过点作轴于点，     点的坐标为，点的坐标为， ，，， ， 由（1）可知，， ，， ， 点的坐标为． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·云南红河州蒙自第二中学·期中）如图，在中，，的平分线交于点，于点，若，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，即可求解． 【详解】 解：，即，平分，， ， 故选：B． 2．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】 本题主要考查了角平分线判定定理的应用．根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”，即可获得答案．理解到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】 解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 3．（25-26学年八上·云南昆明五华区莲华中学等学校·期中）如图，要在学校的一块三角形草坪上建一个文化牌，若要使文化牌到草坪三条边的距离相等，则这个文化牌的位置应选在（     ） A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三边的垂直平分线的交点 C. 三角形三条高所在直线的交点 D. 三角形三条角平分线的交点 【答案】D 【分析】 本题主要考查的是角的平分线的性质在实际生活中的应用；由于文化牌到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是三条角平分线的交点．由此即可确定文化牌位置． 【详解】 解：∵文化牌到草坪三条边的距离相等， ∴这个文化牌的位置应选在三角形三条角平分线的交点， 故选：D． 4．（25-26学年八上·云南昭通绥江县·期中）如图，在直线上作一点，使点在的内部，且点到射线和的距离相等，下列作图正确的是（       ） A.      B.          C.      D.      【答案】D 【分析】 本题考查了作角平分线及角平分线的性质定理；作出的平分线，与直线的交点P即为所求作的点． 【详解】 解：∵点到射线和的距离相等， ∴点在的平分线上， ∴作出的平分线，与直线的交点P即为所求作的点， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 5．（25-26学年八上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线交于点．若，，则的面积是（       ） A. 24 B. 12 C. 10 D. 11 【答案】B 【分析】 本题主要考查了角平分线的作法和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质． 过点作于点，利用角平分线的性质求解即可． 【详解】 解：如图，过点作于点， ∵，由作图可知，平分， ∴， ∴的面积是， 故选：B． 6．（25-26学年八上·云南昭通·期中）如图，平分，于点D，若，点E是边上一动点，关于线段叙述正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．过P点作于， 如图，根据角平分线的性质得到， 然后根据垂线段最短可对各选项进行判断． 【详解】 解：过P点作于， 如图， 平分， ， 点E是边上一动点， 根据垂线段最短可知： 故选D． 7．（25-26学年八上·云南昆明嵩明县·期中）下面是“作的角平分线”的尺规作图方法． （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；（2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；（3）画射线.射线即为所求． 上述方法通过判定得到．其中判定的依据是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质． 由题意可知，．又由即可证明．即可得到答案． 【详解】 解：根据角平分线的作法可知，，． 又∵， ∴． ∴，即射线即为的角平分线． 故选A． 8．（25-26学年八上·云南昆明嵩明县·期中）如图，已知平分，P是上一点，于点H，Q是射线上的一个动点，如，则长的最小值为（     ） A. 10 B. 5 C. 3 D. 2.5 【答案】B 【分析】 本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，当时，有最小值，利用角平分线的性质可得，即可解答，掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 【详解】 解：如图， 当时，有最小值， ∵平分，P是上一点，于点H，，， ∴， ∴的最小值为5， 故选：B． 9．（25-26学年八上·云南曲靖麒麟区·期中）纵横交错的公路和铁路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域.若建一个到三条道路的距离相等的物流仓储基地，则这个基地应该建在（       ） A. 的三条高线的交点 B. 的三条中线的交点 C. 的三条角平分线的交点 D. 的三边垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】 本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得到答案． 【详解】 解：到三条道路的距离相等的物流仓储基地， 这个基地应该建在的三条角平分线的交点， 故选：C． 10．（25-26学年八上·云南昆明第八中学·期中）如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点M和点N为圆心、大于线段一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点D，作射线；过点D作交于点E．若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，尺柜作图，由平行线的性质可求，由角平分线的定义得，然后再根据平行线的性质可得的度数． 【详解】 ∵，， ∴， 由作图可知，平分， ∴． ∵， ∴． 故选C． 11．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）点P在的平分线上，点P到边的距离等于5，D是边上的任意一点，则下列选项正确的是 A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点到的距离为5，再根据垂线段最短解答． 【详解】 解：∵点在的平分线上，点到边的距离等于5， ∴点到的距离为5， ∵点是边上的任意一点， ∴． 故选：B． 12．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如图，用直尺和圆规作的平分线，能说明的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据尺规作图的原理可证明求解． 本题考查了作图—基本作图，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【详解】 解：如图，连接，， 在和中， ， ∴ ∴， 故选：A． 13．（25-26学年八上·云南大理白族自·期中）如图，在中，和的平分线相交于点，则为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，角平分线的应用，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据题意，易得，利用角平分线得，结合三角形内角和定理，得到结果 ． 【详解】 解∶ ， ． 和的平分线相交于点， ，． ． ． 故选：B． 【点睛】 14．（25-26学年八上·云南大理白族自·期中）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点D，E；再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点．若，则的面积是（     ） A. 28 B. 30 C. 33 D. 35 【答案】D 【分析】 本题考查角平分线的性质、角平分线的作法，根据题意可得为的平分线，过点G作于点H，根据角平分线的性质可得，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】 解：过点G作于点H， 由作图可得，为的平分线， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 15．（25-26学年八上·云南华山中学·期中）如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（        ） A.  三条中线的交点处 B.  三条角平分线的交点处 C.  三条高所在直线的交点处 D.  三边的垂直平分线的交点处 【答案】B 【详解】 解：由角平分线上的点到角两边距离相等，可知凉亭应该在三角形三个内角的角平分线上，因为三角形三条角平分线交于一点，故此点即为凉亭的位置． 16．（25-26学年八上·云南曲靖麒麟区·期中）如图，的三边、、的长分别是、、，点是三条角平分线的交点，则：：的值为（       ） A. ：： B. ：： C. ：： D. ：： 【答案】A 【分析】 如图：过点作于点，于点，于点，根据角平分线的性质定理可知再由三角形的面积公式计算，再作比即可解答． 【详解】 解：如图，过点作于点，于点，于点，    点是三条角平分线的交点， ， ， ， ， ：：：：：：． 故选：． 【点睛】 本题主要考查角平分线的性质定理．正确作出辅助线、根据角平分线的性质定理得出是解题关键． 17．（25-26学年八上·云南曲靖麒麟区·期中）如图，在中，平分，若，则点D到的距离是（   ） A. 15 B. 10 C. 5 D. 4 【答案】C 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质，垂线段最短等知识点，解题的关键是掌握以上性质． 确定垂线段的长度为点到直线的距离，根据角平分线的性质进行求解即可． 【详解】 解：， 点D到的距离是点D到的垂线段的长度， ∵平分， ∴点D到的距离等于线段的长度， 即为5， 故选：C． 18．（25-26学年八上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，若，则的长不可能是（       ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【分析】 根据角平分线的性质得到点到的距离等于，根据垂线段最短得到，然后对各选项进行判断． 【详解】 解：平分，， 点到的距离等于，即点到的距离为5， ． 故选：D． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，掌握相关性质是解题的关键． 19．（25-26学年八上·云南昆明东川区·期中）如图，在中，为边上的一点且，过点作，垂足分别是，求证：． 【答案】证明：， ， 与是直角三角形， 在与中， ， ， ， ， 平分， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识，根据证明，得出，根据角平分线的判定证明平分，即可得证． 【详解】 略 20．（25-26学年八上·云南昆明云南大学附属中学·期中）如图，在中，平分交于点D，平分交于点． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识点． 掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和是等相关知识是解决本题的关键． （1）先由角平分线性质求出的度数，再根据外角与内角的关系得，，间关系，最后代入计算得结论； （2）先由三角形外角与内角的关系求出的度数，再由角平分线性质求出的度数，最后利用三角形内角和定理得结论． (1) 小问详解： 解：平分， 是的外角，， (2) 小问详解： 解：平分平分， 是的外角，， ， ， ． 21．（25-26学年八上·云南华山中学·期中）如图，在中，，点D，E分别在AC、AB上，BD平分，，AB=15，CD=4，的面积为　　　　　　　. 【答案】30． 【分析】先根据角平分线的性质得到DE=DC=4，然后根据三角形面积公式计算△ABD的面积． 【详解】∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，∴DE=DC=4，∴△ABD的面积15×4=30． 故答案为：30． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 22．（25-26学年八上·云南大理白族自·期中）如图，，M是的中点，平分，求证：平分． 【答案】证明：如图，作于，    ∵平分，，， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上， ∴平分． 【分析】 本题考查了角平分线的判定与性质，作于，由角平分线性质定理可得，结合题意推出，再由角平分线的判定定理判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 略 23．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如图，点P是内部的一点，点P到三边，，的距离，若，则的度数为　　　　　　　　　． 【答案】h度 【分析】 本题主要考查了角平分线的判定定理，三角形内角和定理应用，熟练掌握角平分线的判定定理，是解题的关键．根据点P到三边，，的距离，得出、是、的角平分线，然后根据三角形内角和定理，进行求解即可． 【详解】 解：∵点P到三边，，的距离， ∴、是、的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 24．（25-26学年八上·云南昆明五华区莲华中学等学校·期中）如图，是平分线上的一点，若．试说明：． 【答案】证明：如图，过点分别作于点，于点，        则， ∵是的平分线，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了角平分线的性质，补角性质，全等三角形的判定和性质，过点分别作于点，于点，由角平分线的性质可得，由补角性质可得，进而可证明，即可求证，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】 略 25．（25-26学年八上·云南昆明五华区莲华中学等学校·期中）如图，在中，，平分交于点D，若，，则点D到的距离为　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．由角平分线的性质可得点D到的距离等于，根据已知求得即可． 【详解】 解：∵，平分， ∴点D到的距离等于， ∵，， ∴， ∴点D到的距离是4． 故答案为：4． 26．（25-26学年八上·云南昆明东川区·期中）（多选）如图,在Rt△ABC中,∠B=90°． 作出,∠BAC的平分线AM；要求：尺规作图,保留作图痕迹,不写作法 若∠BAC的平分线AM与BC交于点D,且D=3,AC=10,则DAC的面积为______． 【答案】（1）∠BAC的平分线AM如图所示； ；（2）15. 【分析】 （1）利用基本作图，作∠BAC的平分线即可； （2）作DF⊥AC于F．利用角平分线的性质定理证明DF=DE=3，即可解决问题. 【详解】 （1）略 （2）作DF⊥AC于F． ∵DA平分∠BAC，DB⊥BA，DF⊥AC， ∴DB=DF=3， ∴S△DAC=•AC•DF=×10×3=15， 故答案为15． 【点睛】 本题考查作图-基本作图，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，学会添加常用辅助线. 27．（25-26学年八上·云南昭通绥江县·期中）如图，有一块三角形空地，，，，以的平分线为界，将该空地分成两块，其中空地用于种植辣椒，空地用于种植茄子（地边界和空隙面积忽略不计），分别求辣椒和茄子的种植面积． 【答案】辣椒的种植面积为，茄子的种植面积为． 【分析】 本题考查了角平分线的性质定理． 过点分别作于点，于点，根据角平分线的性质定理得到，设，根据等面积法求出，进而根据三角形面积公式计算即可． 【详解】 解：如图，过点分别作于点，于点． 平分， ． 设，则，解得． ，． 辣椒的种植面积为，茄子的种植面积为． 28．（25-26学年八上·云南昆明五华区云南师范大学实验中学·期中）把两个同样大小的三角尺与像如图所示那样放置，M是与的交点，发现只要测得的长度，就可以得到点M到的距离，若，则点M到的距离是　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查了角平分线的性质，先判断，然后根据角平分线的性质求解即可． 【详解】 解：过M作于H， 根据题意知：，， ∴， ∴， 又，，， ∴， 即点M到的距离是， 故答案为：5． 29．（25-26学年八上·云南昆明云南大学附属中学·期中）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图①，在中，平分，，求证：； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图②，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图③，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题.    （1）根据以上材料，任选一种方法证明：； （2）如图④，四边形中，E是上一点，，，，探究，，之间的数量关系，并证明. 【答案】（1） 证明：方法一，    ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；     （2） 解：，证明如下： 如图，在上截取，使得，连接，    　　　　　　　∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，　　　　 ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴．      【分析】 （1）本题考查角平分线的相关证明及三角形全等的判定与性质，根据角平分线及辅助线得到，的条件即可得到答案； （2）本题考查角平分线的相关证明及三角形全等的判定与性质，根据角平分线及辅助线得到的条件即可得到答案； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 30．（25-26学年八上·云南曲靖麒麟区·期中）如图，于，于，若，．    （1）求证：平分； （2）已知，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， 在和中 ∴ 平分     （2）      【分析】 本题考查了角平分线的性质定理的逆定理；运用角平分线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明，得到，从而得出结论； （2）先求出的长度，然后证明，得出，求解即可； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： 在和中 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $