专题03 轴对称（期中真题汇编，云南专用）八年级数学上学期

**基本信息** 聚焦轴对称专题，精选云南多地期中真题，覆盖5大高频考点，融合剪纸、汉字、交通标志等文化与生活情境，梯度设计基础到综合应用。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|30+|轴对称识别、等腰三角形性质|以“剪纸非遗”“中秋祝福”等文化素材考查轴对称图形| |填空|15+|垂直平分线性质、坐标对称|结合“城市品牌标志”“数学史图形”设计情境| |解答|20+|作图、证明与计算|综合“尺规作图”“动点问题”考查推理与几何直观|

专题03 轴对称 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·云南昆明东川区·期中）剪纸是我国最古老的民间艺术之一，被列入第四批《人类非物质文化遗产代表作名录》，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故错误； B、不是轴对称图形，故错误； C、不是轴对称图形，故错误； D、是轴对称图形，故正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 2．（25-26学年八上·云南昭通绥江县·期中）下列交通标志图案中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】 解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 3．（25-26学年八上·云南昆明五华区云南师范大学实验中学·期中）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广，下列四个选项中，是轴对称图形的为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义即可求解． 【详解】 解：根据轴对称图形的定义可得只有“中”字是轴对称图形，符合题意， 故选：C． 4．（25-26学年八上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）下列四个“玉溪”的城市品牌标志的简图中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查轴对称图形，一个图形沿一条直线翻折，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此进行判断即可. 【详解】 解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形 ，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选C. 5．（25-26学年八上·云南红河州蒙自第二中学·期中）中华文化，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，轴对称图形是（     ） A. 期 B. 中 C. 考 D. 试 【答案】B 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】 解：A、“期”不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、“中”是轴对称图形，故此选项符合题意； C、“考”不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、“试”不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选B． 6．（25-26学年八上·云南昭通·期中）下面四个汉字中是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据轴对称图形的概念判断即可． 本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【详解】 解：A．“我”字不是轴对称图形，不符合题意； B．“爱”字不是轴对称图形，不符合题意； C．“中”字是轴对称图形，符合题意； D．“国”字不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 7．（25-26学年八上·云南昆明云南大学附属中学·期中）未来计算机发展方向是让计算机能看、能听、能说、会思考！下列表示计算机视觉交互应用的图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】A 【分析】 将图形沿某一条直线对折，直线两边的图形能完全重合的图形是轴对称图形，据此进行逐一判断即可． 【详解】 A.    沿此直线对折，两边能完全重合，是轴对称图形，故此项正确； 选项B、C、 D均找不到一条直线对折，使得直线两边的图形能完全重合，所以都不是轴对称图形，故此三项均错误； 故选：A． 【点睛】 本题考查了轴对称图形的定义，理解定义是解题的关键． 8．（25-26学年八上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（       ） A. 等腰三角形 B. 正方形 C. 圆 D. 平行四边形 【答案】D 【分析】 利用轴对称图形的定义进行解答即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】 解：A．等腰三角形是轴对称图形，故此选项不合题意； B．正方形是轴对称图形，故此选项不合题意； C．圆是轴对称图形，故此选项不合题意； D．平行四边形不是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】 此题主要考查了轴对称图形，熟记定义是解答本题的关键． 9．（25-26学年八上·云南昆明嵩明县·期中）在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中不是轴对称图形的是（       ） A. 等角螺旋线 B. 心形线 C. 四叶玫瑰线 D. 蝴蝶曲线 【答案】A 【分析】 根据轴对称图形的概念，对选项逐个判断即可． 【详解】 解：A、不是轴对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意； 故选：A 【点睛】 本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键． 10．（25-26学年八上·云南曲靖麒麟区·期中）下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（     ） A.  笛卡尔心形线 B.  赵爽弦图 C.  莱洛三角形 D.  科克曲线 【答案】B 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】 解：A、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、它不是轴对称图形，故此选项符合题意； C、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 11．（25-26学年八上·云南昆明第八中学·期中）下列4个汉字中，从数学的角度可以看作轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据轴对称图形的意义，对四个汉字逐一分析，再作判断． 【详解】 解： 不能看作轴对称图形，故A不符合； 不能看作轴对称图形，故B不符合； 能看作轴对称图形，故C符合； 不能看作轴对称图形，故D不符合， 故选：C． 12．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）在以下四个标志中，轴对称图形是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟知定义是解题的关键．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】 解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C. 是轴对称图形，故本选项正确； D. 不是轴对称图形，故本选项错误； 故选：C． 13．（25-26学年八上·云南大理白族自·期中）下面四个图标中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．由此即可求解． 【详解】 解：选项，是轴对称图形，符合题意； 选项，不是轴对称图形，不符合题意； 选项，不是轴对称图形，不符合题意； 选项，不是轴对称图形，不符合题意； 故选：． 【点睛】 本题主要考查轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义，找到对称轴是解题的关键． 14．（25-26学年八上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）中秋节是我国四大传统节日之一，起源于先秦，流传至今，经久不息．下列中秋祝福中．可以看作是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查轴对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形的定义． 如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行解答即可． 【详解】 解：A．是轴对称图形，符合题意； B．不是轴对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 15．（25-26学年八上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）如图，是轴对称图形，是其对称轴，如果，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了轴对称图形．根据轴对称图形对应角相等，即可求解． 【详解】 解：∵是轴对称图形，是其对称轴， ∴和是对应角， ∴， 故选：A． 16．（25-26学年八上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）如图，与关于直线对称，则以下结论中不一定正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的性质，① 如果两个图形关于某直线对称，那么这两个图形全等；② 如果两个图形关于某直线对称，那么对应线段或者平行，或者共线，或者相交于对称轴上一点；③ 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线．根据轴对称的性质作答即可． 【详解】 解：∵与关于直线对称， ∴，， ∴， 根据现有条件无法得到， 故选：B． 17．（25-26学年八上·云南华山中学·期中）下列四个图标中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】直接根据轴对称图形的概念分别解答得出答案． 【详解】A、不是轴对称图形，不合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 18．（25-26学年八上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）轴对称图形中，对应点连线被对称轴　　　　　　． 【答案】垂直平分 【分析】 本题考查了轴对称的基本性质，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分．据此求解答即可． 【详解】 在轴对称图形中，任何一对对应点连线都被对称轴垂直平分，这是轴对称的基本性质．因此，对应点连线被对称轴垂直平分． 故答案为：垂直平分． 19．（25-26学年八上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）如图，是轴对称图形，对称轴是． （1）找出所有对应点、对应边、对应角． （2）如果，求和． （3）如果，求． 【答案】（1）对应点：B和C，对应边：和和，对应角：和和和     （2）     （3）      【分析】 本题考查了轴对称图形的特征，熟记相关结论即可； （1）根据图形即可求解； （2）轴对称图形的对应边相等，对应角相等，据此即可求解； （3）轴对称图形的对应边相等，对应角相等，据此即可求解； (1) 小问详解： 解：由题意得：对应点：B和C，对应边：和和，对应角：和和和 (2) 小问详解： 解：∵是轴对称图形，对称轴是． ∴（对应边相等），（对应角相等）， ∵， ∴； (3) 小问详解： 解：∵是轴对称图形，对称轴是． ∴（对应边相等）， ∵， ∴； 考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）轴对称图形的对称轴（     ） A. 只有一条 B. 至少有一条 C. 至多有一条 D. 可能没有 【答案】B 【分析】 本题考查了轴对称图形的定义． 轴对称图形必须至少有一条对称轴，否则不满足定义． 【详解】 ∵轴对称图形是指存在一条直线，使图形沿该直线对折后两部分完全重合， ∴每个轴对称图形都至少有一条对称轴． 选项A错误，如圆有无数条对称轴； 选项C错误，如矩形有两条对称轴； 选项D错误，因为轴对称图形必须有对称轴． 故正确答案为B． 故选：B． 2．（25-26学年八上·云南大理白族自·期中）如图，在中，垂直平分．若，，则的长是（     ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【分析】 该题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得出，即可求解． 【详解】 解：∵垂直平分， ∴， ∴， 故选：A． 3．（25-26学年八上·云南昆明东川区·期中）如图，已知AB＝AC，AB＝6，BC＝4，分别以A、B两点为圆心，大于AB的长为半径画圆弧，两弧分别相交于点E、F，直线EF与AC相交于点D，则△BDC的周长为（　　） A. 15 B. 13 C. 11 D. 10 【答案】D 【分析】 利用基本作图得到MN垂直平分AB，利用线段垂直平分线的定义得到DA＝DB，然后利用等线段代换得到△BDC的周长＝AC+BC． 【详解】 解：由作法得MN垂直平分AB， ∴DA＝DB， ∴△BDC的周长＝DB+DC+BC＝DA+DC+BC＝AC+BC＝6+4＝10． 故选：D． 【点睛】 本题考查线段垂直平分线的性质，能够识别出MN垂直平分AB是解题的关键． 4．（25-26学年八上·云南昭通绥江县·期中）在下列图形中，（　　）的对称轴的条数最多． A. 一般等腰三角形 B. 长方形 C. 等边三角形 D. 正方形 【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称图形的概念，解题关键是理解概念并熟记常见几何图形的对称轴数量． 根据轴对称图形的定义“平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫轴对称图形，这条直线叫做对称轴”判断即可得出结论． 【详解】 解：A、一般等腰三角形有一条对称轴； B、长方形有两条对称轴； C、等边三角形有三条对称轴； D、正方形有四条对称轴； 故选：D． 5．（25-26学年八上·云南昆明五华区云南师范大学实验中学·期中）如图，中边的垂直平分线分别交于点D、E，，的周长为，则的周长是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解答此题的关键．根据垂直平分线的性质可得，再根据已知条件即可求出的周长． 【详解】 解：垂直平分线段， ， 的周长为， ， ， 又， ， ，即的周长是． 故选：B． 6．（25-26学年八上·云南昆明云南大学附属中学·期中）在寻宝游戏中有一线索：宝藏埋藏点P在图1中的小路上，且到河岸，的距离相等．依据线索甲、乙、丙三人各自在藏宝图中标记了点P（如图2所示），则能找到宝藏的是（       ） A. 只有甲 B. 只有乙 C. 只有丙 D. 甲和乙 【答案】B 【分析】 本题考查了垂线，角的平分线，线段的垂直平分线，熟练掌握基本作图是解题的关键． 【详解】 根据题意，甲作的是的垂线，乙作的是的平分线，丙作的是线段的垂直平分线， 而点P一定是在的角平分线与的交点处， 故选B． 7．（25-26学年八上·云南昆明云南大学附属中学·期中）如图，在中，DE是AC的垂直平分线，，且的周长为，则的周长为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】 解：∵DE是AC的垂直平分线，AC＝6cm， ∴DA＝DC， ∵△ABD的周长为13cm， ∴AB＋BD＋AD＝AB＋BD＋DC＝AB＋BC＝13cm， ∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝19cm， 故选：B． 【点睛】 本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 8．（25-26学年八上·云南昆明第八中学·期中）下列命题的逆命题是假命题的是（     ） A. 在角的内部，角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B. 等腰三角形的两底角相等 C. 有两边相等的三角形是等腰三角形 D. 两个全等三角形的面积相等 【答案】D 【分析】 此题考查命题，正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，正确确定每个命题的逆命题是解此题的关键．先确定每个命题的逆命题，再对每个选项依次判定即可解答． 【详解】 解：A、逆命题为：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，是真命题，不符合题意. B、逆命题为：两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题，不符合题意； C、逆命题为：等腰三角形有两条边相等，是真命题，不符合题意； D、.逆命题为：面积相等的两个三角形是全等三角形，是假命题，符合题意； 故选：D． 9．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为（            ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】C 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质，准确推导出全等三角形并理解线段垂直平分线的性质是解题关键．由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得． 【详解】 解：为的中点， ， ， ，， 在与中， ， ， ，， ， ，， ， 故选：C． 10．（25-26学年八上·云南昭通绥江县·期中）下列命题的逆命题成立的是（       ） A. 同旁内角互补，两直线平行 B. 若实数，则 C. 全等三角形的周长相等 D. 若实数，则 【答案】A 【分析】 本题考查了判断命题的真假，逆命题． 先根据逆命题是将原命题的题设和结论互换后得到的新命题，再判断每个选项的逆命题是否成立． 【详解】 解：A．原命题为“同旁内角互补，两直线平行”，其逆命题为“两直线平行，同旁内角互补”．根据平行线的性质可知逆命题成立； B．原命题为“若，则”，其逆命题为“若，则”．但时，a与b可能相等或互为相反数（如），故逆命题不成立； C．原命题为“全等三角形的周长相等”，其逆命题为“周长相等的三角形是全等三角形”．但周长相等的三角形不一定全等（如边长3，4，5与4，4，4的三角形周长均为12但不全等），故逆命题不成立； D．原命题为“若，则”，其逆命题为“若，则”．但时，a可能小于b（如），故逆命题不成立； ∴只有选项A的逆命题成立． 故选：A． 11．（25-26学年八上·云南昭通绥江县·期中）如图，线段与关于直线对称，交直线于点，连接，，下列说法不正确的是（       ） A.  B. 和关于直线成轴对称 C. 直线是线段的垂直平分线 D.  【答案】A 【分析】 本题考查轴对称的性质，轴对称的核心性质包括：对称轴垂直平分对应点连线、两侧图形全等、对应点到对称轴距离相等，以及对称轴上的点位置不变．根据轴对称的性质可直接得出答案． 【详解】 解：A、直线与不一定平行，该选项符合题意； B、和关于直线成轴对称，该选项不符合题意； C、直线是线段的垂直平分线，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意； 故选：A． 12．（25-26学年八上·云南红河州蒙自第二中学·期中）如图，在中，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点D，交于点O，连接，若的周长比的周长大则的长为（    ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【分析】 本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的作法．利用基本作图得到垂直平分，则，，利用等量代换得到的周长，再利用的周长比的周长大14得到，从而得到的长． 【详解】 解：由作图得垂直平分， ，， 的周长， 的周长，的周长比的周长大14， ， ， 故选：C． 13．（25-26学年八上·云南昭通·期中）如图，，，下列判断正确的是（     ） A. CD垂直平分AB B. AB垂直平分CD C. CD平分 D.  【答案】B 【分析】 本题需要根据线段垂直平分线的判定定理，分析点A和点B与线段的位置关系，从而判断选项的正确性． 【详解】 因为， 根据线段垂直平分线的判定定理，可知点A在线段的垂直平分线上. 又因为， 同理可得点B也在线段的垂直平分线上.由于两点确定一条直线， 所以直线就是线段CD的垂直平分线， 即垂直平分． 选项A：应该是垂直平分，不是垂直平分，该选项错误； 选项B：由上述推理可知，该选项正确，符合题意； 选项C：仅根据已知条件，无法得出平分，该选项错误； 选项D：已知条件中没有足够的信息能推出，该选项错误． 故答案选：B. 【点睛】 本题考查了线段垂直平分线的判定定理，掌握到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，以及两点确定一条直线是解题的关键． 14．（25-26学年八上·云南华山中学·期中）已知（），用尺规作图的方法在上确定一点，使．符合要求的作图痕迹是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了垂直平分线的性质和尺规作图，熟练掌握垂直平分线的内容是解题的关键； 先将转化为，再依据线段垂直平分线的性质分析各选项作图痕迹是否满足． 【详解】 解：A、由作图痕迹得出：，无法推出，不符合题意； B、由作图痕迹得出：，无法推出，不符合题意； C、由作图痕迹得出：，无法推出，不符合题意； D、由作图痕迹得出：，可以推出，符合题意； 故选： D． 15．（25-26学年八上·云南大理白族自·期中）下列命题中，原命题和逆命题互为逆定理的是（     ） A. 成轴对称的两个图形全等 B. 直角三角形两锐角互余 C. 对顶角相等 D. 全等三角形的面积相等 【答案】B 【分析】 本题考查了命题与逆命题、轴对称图形、直角三角形的性质、全等三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．先写出原命题的逆命题，再根据轴对称图形、直角三角形的性质、全等三角形的性质、对顶角的性质判断原命题与逆命题的真假即可得． 【详解】 解：A、原命题：成轴对称的两个图形全等，是真命题；逆命题：全等的两个图形是轴对称图形，是假命题；则此项不符合题意； B、原命题：直角三角形两锐角互余，是真命题；逆命题：两锐角互余的三角形是直角三角形（理由是三角形内角和，若两锐角互余，则第三个角为），是真命题；则此项符合题意； C、原命题：对顶角相等，是真命题；逆命题：相等的角是对顶角，是假命题；则此项不符合题意； D、原命题：全等三角形的面积相等，是真命题；逆命题：面积相等的三角形是全等三角形，是假命题；则此项不符合题意； 故选：B． 16．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，根据垂直平分线的性质和角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质进行判断即可． 【详解】 根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线， ， ， ， 综上，正确的是A、C、D选项， 故选：B． 【点睛】 本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 17．（25-26学年八上·云南红河州蒙自第二中学·期中）“等腰三角形的两个底角相等．”请写出它的逆命题：　　　　　　　　　　． 【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【分析】 根据互逆命题的定义，将原命题的题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题 【详解】 解：将原命题改写为“如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等”， 其中题设为“一个三角形是等腰三角形”，结论为“这个三角形的两个底角相等”， 互换题设和结论后，得到逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形” 18．（25-26学年八上·云南昭通·期中）已知命题：“同位角相等”它的逆命题是　　　　　　　　　　　　　 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是同位角 【分析】 本题考查了逆命题的问题，交换原命题的题设与结论得到它的逆命题，掌握逆命题的定义是解题的关键． 【详解】 解：“同位角相等”的逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是同位角． 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是同位角． 19．（25-26学年八上·云南红河州蒙自第二中学·期中）在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，的周长为20，求的周长． 【答案】（1） 证明：∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴是等腰三角形；     （2）32      【分析】 本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的定义．掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键． （1）根据线段垂直平分线的性质可直接得出，即证明是等腰三角形； （2）由线段垂直平分线的性质可得出，再根据的周长为20，结合（1）即可求出，进而即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵的垂直平分线交于点D， ∴． ∵的周长为20，， ∴， ∴的周长． 20．（25-26学年八上·云南昭通·期中）如图，． （1）作边的垂直平分线交于点D，交于点E．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连结，若的周长为15，且，求的周长． 【答案】（1） 如图：      （2）10      【分析】 本题考查尺规作图（垂直平分线）和线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，并利用该性质进行周长计算． （1）用尺规作图法作出边的垂直平分线； （2）利用线段垂直平分线的性质将的周长转化为，再结合的周长求解． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 解：连接， ∵由（1）知垂直平分， ， 的周长为15，且， 即， ， 的周长， ， ， 答：的周长是10． 21．（25-26学年八上·云南昆明第八中学·期中）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． （1）求证：； （2）若的周长为，，求的长． 【答案】（1） 证明：垂直平分， ， ， 是的垂直平分线， ， ；     （2）      【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质，可，再根据，得到是的垂直平分线，等量代换，即可； （2）根据题意，则，求出，再根据，得到，最后根据求出结论即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的周长为， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 22．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线交于点P．求证：点P在线段的垂直平分线上． 【答案】证明：如图所示：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上． 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键；连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可． 【详解】 略 23．（25-26学年八上·云南昭通绥江县·期中）如图，在中，线段，的垂直平分线，分别交于点G，H，，相交于点F，若线段的长为8，则的周长为　　　　　　． 【答案】8 【分析】 由线段的垂直平分线的性质可得，，进而得到的周长，即可求解． 【详解】 解：∵分别是的垂直平分线， ∴，， ∴的周长． 24．（25-26学年八上·云南昆明嵩明县·期中）如图所示，在中，，，，分别以A，B为圆心，为半径画弧，两弧分别交于E，F，直线交于点D，连接，则的周长等于　　　　　　　　　　　 ． 【答案】7 【分析】 本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线，可得，则的周长为． 【详解】 解：由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线， ∴． ∴的周长为． 故答案为：7． 25．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如图，中，，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且．若周长为，，，　　　　　　　cm． 【答案】1 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定．先根据线段垂直平分线的性质和判定得，再根据的周长为，，求出，然后等量代换可得答案． 【详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵的周长为，， ∴， ∴， 则， ∴， 即． 故答案为：． 26．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如图，中，平分且平分，于E，于F． （1）求证：； （2）探究和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；     （2），理由见解析．      【分析】 本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确找出全等三角形是解题关键． （1）连接，先证出，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先证出，根据全等三角形的性质可得，进一步利用线段的和差进行证明即可． (1) 小问详解： 证明：如图，连接， 且平分， ， 平分，于E，于F， ，， 在与中， ， ， ． (2) 小问详解： 解∶，理由如下∶ 平分，于E，于F， ，， ， ， ， ， ， ， ． 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·云南昆明东川区·期中）点关于轴对称的点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查关于y轴对称点的坐标性质：横坐标互为相反数，纵坐标不变．根据关于y轴对称点的坐标性质解答即可． 【详解】 解：点关于轴对称的点的坐标是． 故选：C 2．（25-26学年八上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标特征是：横坐标变为原数的相反数，纵坐标不变． 【详解】 解：点关于轴对称的点的坐标是， 故选：A． 3．（25-26学年八上·云南红河州蒙自第二中学·期中）已知点，则点关于轴的对称点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征，根据点关于轴对称时，横坐标不变，纵坐标变为相反数，即可求解． 【详解】 解：点与关于轴对称， 的坐标为， 故选：A． 4．（25-26学年八上·云南昆明云南大学附属中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了平面直角坐标系中关于y轴对称的点的变化规律．掌握“关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数”是解题的关键．根据平面直角坐标系中关于y轴对称的规律：纵坐标不变，横坐标互为相反数即可得出结果． 【详解】 解：点关于轴对称， 它的对称点的坐标为：， 故答案为：A. 5．（25-26学年八上·云南昆明第八中学·期中）在平面直角坐标系xOy中，点关于x轴的对称点的坐标为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据若两点关于轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】 解：点关于x轴的对称点的坐标为（-2，-3）． 故选：C 【点睛】 本题主要考查了平面直角坐标系内点关于坐标轴对称的特征，熟练掌握若两点关于轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数；若两点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键． 6．（25-26学年八上·云南昭通·期中）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换．若原来点A的坐标是，经过2025次变换后所得的点A的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了坐标的规律探索，关于坐标轴对称的点的坐标特征，根据题意发现一般规律是解题关键． 结合关于坐标轴对称的点的坐标特征，得出一般规律：点A的坐标每四次循环一次，依次为、、、，据此即可得出答案． 【详解】 解：由题意可知， 第一次轴对称变换后，点A的坐标是：， 第二次轴对称变换后，点A的坐标是：， 第三次轴对称变换后，点A的坐标是：， 第四次轴对称变换后，点A的坐标是：， ……， 观察可知，点A的坐标每四次循环一次， 依次为、、、， ∵， ∴经过2025次变换后所得的点A的坐标是， 故选：C． 7．（25-26学年八上·云南昆明五华区云南师范大学实验中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了坐标与图形变换，掌握点关于坐标轴对称的规律是解题的关键． 根据点关于轴对称的规律：原坐标为，对称后的坐标为，据此回答即可． 【详解】 解：点关于轴对称的点的坐标为， 故答案为：． 8．（25-26学年八上·云南昆明嵩明县·期中）在平面直角坐标系中，若点M（2，1）关于y轴对称的点的坐标为　　　　　　　　． 【答案】（-2，1） 【分析】 根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；即点（x,y）关于y轴的对称点的坐标是（-x,y）即可得到点M（2，1）关于y轴对称的点的坐标． 【详解】 解：点M（2，1）关于y轴的对称点的坐标是（-2，1）， 故答案为：（-2，1）． 【点睛】 此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，比较容易，关键是熟记规律：（1）关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．（2）关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 9．（25-26学年八上·云南曲靖麒麟区·期中）若点和点关于y轴对称，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题主要考查了关于轴对称的点的坐标规律，关键是熟练掌握点的变化规律． 关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 【详解】 解：∵点和点关于y轴对称， ∴，， 当，时， ， 故答案为：． 10．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）已知直角坐标系中点和点关于轴对称，则　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查坐标与轴对称，根据关于x轴对称的点的横坐标互为相同，纵坐标互为相反数，求出的值，进一步计算即可． 【详解】 解：∵和点关于轴对称， ∴， ∴； 故答案为：． 11．（25-26学年八上·云南昆明东川区·期中）如图：各个顶点的坐标为：．    （1）在坐标系中画出与关于轴对称的，并写出的坐标． （2）求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求；         （2）      【分析】 本题主要考查图形与坐标—轴对称，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称的特征是解题的关键． （1）根据轴对称的关系画出点，再连接出图形； （2）利用长方形的面积减去其周围的三角形面积求出的面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：． 12．（25-26学年八上·云南昭通绥江县·期中）点关于轴对称的点的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特点，根据关于对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可求解，掌握关于坐标轴对称的点的坐标特点是解题的关键． 【详解】 解：点关于轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 13．（25-26学年八上·云南昭通·期中）如图，三个顶点的坐标分别为、、 （1）若与关于轴成轴对称，作出；并计算的面积． （2）若P为y轴上一点，使得最小，在图中作出点P，并写出P点的坐标为______． 【答案】（1） 即为所求，如下图：      （2）       【分析】 本题考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路径问题，解决本题的关键是根据轴对称的性质准确作出点． （1）根据轴对称的性质即可作出，根据割补法即可求得三角形面积； （2）作出点关于轴的对称点，连接交轴于点，根据轴对称的性质，此时有最小值． (1) 小问详解： 解：∵点关于轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴点、、关于轴对称的点、、，依次连接，，， ． (2) 小问详解： 解：作出点关于轴的对称点，连接交轴于点， ∵， ∴，此时有最小值； 故点即为所求，点的坐标为， 故答案为：． 14．（25-26学年八上·云南大理白族自·期中）如图，在平面直角坐标系中． （1）请画出关于y轴对称的，并写出的坐标； （2）在轴上找到一点，使的值最小，请标出点在坐标轴上的位置． 【答案】（1） 如图所示：即为所求；     ，     （2） 如图所示，点P即为所求点．     【分析】 本题主要考查的是画轴对称图形，坐标与图形，利用轴对称的性质确定线段之和最小时点的位置，熟练的作图是解本题的关键． （1）根据轴对称的定义分别关于轴对称的点，再顺次连接，最后确定的坐标即可； （2）取关于轴的对称点，连接交轴于，则点P即为所求点． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：取关于轴的对称点，连接交轴于，则点P即为所求点． 连接， 根据轴对称可知， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小． 15．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，则实际时间是　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了轴对称及性质，平面镜成像，关键在于利用“像与物体关于镜面对称（左右相反）”这一特性，通过将镜子中的像进行左右翻转来确定实际时间．平面镜成像时，像与物体关于镜面对称，即像和物体左右相反，要得到实际时间，需将镜子中看到的电子钟像进行左右翻转，从而确定实际显示的时间。 【详解】 解：平面镜成像遵循“像与物体关于镜面对称”的规律，这意味着镜子中呈现的像和实际物体在左右方向上是相反的， 对镜子中的像进行左右翻转观察镜子中电子钟的像，将其左右翻转后，得到的数字组合即为实际时间，由此可知实际时间为：． 故答案为：． 16．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：、、． （1）在图中作，使和关于y轴对称； （2）写出点、、的坐标：（____，____）（____，____）（____，____） （3）点P是x轴上一个动点，请在图中画出点P，使得最小． 【答案】（1） 如图，即为所求，      （2）     （3）如图，点P即为所求．      【分析】 本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题、点的坐标，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质画图即可． （2）由图可得点、、的坐标． （3）连接关于x轴的对称点和点C，交轴于点，则点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）可知， ， 故答案为： (3) 小问详解： 略 17．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）已知点和和关于轴对称，则的值为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系； 根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，先求得，的值，再求代数式的值即可． 【详解】 解：依题意，， 解得：， 则， 故答案为． 18．（25-26学年八上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）若点与点关于轴对称，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标关系是解题关键． 利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数求得m、n的值，再代入计算可得． 【详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， 故答案为：． 19．（25-26学年八上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．    （1）画出先向下平移5个单位长度，再向左平移3个单位长度后得到的图形，并写出的坐标； （2）画出关于轴的对称图形，并写出的坐标． 【答案】（1）图见解析，     （2）图见解析，      【分析】 本题考查了点的对称性与平移，读懂题意，掌握在平面直角坐标系中作图的方法是解题关键． （1）根据点坐标的平移，先画出，，三点的位置，再顺次连接即可得，最后根据点在网格中的位置可得它的坐标． （2）先根据点的对称性，画出，，三点的位置，再顺次连接即可得，最后根据点在网格中的位置可得它的坐标． (1) 小问详解： 解：先画出，，三点的位置，再顺次连接即可得，如图即为所求，    观察图形可知：点的坐标为． (2) 小问详解： 解：画出，，三点的位置，再顺次连接即可得，如图即为所求，    观察图形可知：点的坐标为． 20．（25-26学年八上·云南昭通绥江县·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中画出与关于轴对称的； （2）在轴上有一点，使得的值最小，请在图中标出点的位置，并写出点的坐标（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1） 作图如图所示：      （2） 作图如图所示， 点的坐标为      【分析】 本题考查了作轴对称图形，轴对称的性质，写出平面直角坐标系中点的坐标． （1）根据关于轴对称的特征作图即可； （2）连接即可，根据平面直角坐标系可知点的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 21．（25-26学年八上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上． （1）画出关于轴对称的，并写出点，，的坐标； （2）在轴上找一点，使得的值最小（保留作图痕迹）． 【答案】（1） 解：如图，即为所求作： ，，；，，     （2） 解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求作： 【分析】 本题主要考查了画轴对称图形，写出直角坐标系中点的坐标，轴对称中的光线反射问题（最短路线问题）等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据“关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同”求出、、对应点的坐标，再描出，，，然后顺次连接即可； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求作． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 22．（25-26学年八上·云南红河州蒙自第二中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形； （2）求出的面积； （3）在轴上找一点，使得的和最小．（保留作图痕迹） 【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）     （3） 点即为所求． 【分析】 本题考查了作图——轴对称变换，轴对称−最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质作出点，，关于轴的对称点，，，再顺次连接即可； （2）根据网格利用割补法即可求出的面积； （3）作关于轴对称的对称点，连接交轴于点，可得，则，当、、共线时，的和最小为，点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积为； (3) 小问详解： 略 23．（25-26学年八上·云南昆明云南大学附属中学·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）请在图中画出关于轴对称的，并求出它的面积为_____； （2）请在轴上确定一点，使的周长最小．（不写作法，保留痕迹） 【答案】（1）如图， 即为所求．它的面积为     （2） 解：如图，作点B关于y轴的对称点，连接交轴于点，连接，点即为所求． 【分析】 本题考查了轴对称变换，三角形的面积，坐标与图形，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会利用轴对称解决最短问题． （1）利用轴对称的性质分别作出，，的对应点，，即可，利用分割法的思想，将三角形的面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可． （2）连接交轴于点，连接，点即为所求． (1) 小问详解： 解： 的面积为． 故答案为：． (2) 小问详解： 略 24．（25-26学年八上·云南曲靖麒麟区·期中）如图，三个顶点的坐标分别为、、． （1）若与关于轴成轴对称，请作出； （2）写出点的坐标：________； （3）求出的面积． 【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2）     （3）      【分析】 本题考查根据轴对称变换作图和三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握以上基本知识． （1）作出各点关于轴的对称点，再顺次连接各点，即在图中得到； （2）根据点所在坐标系中的位置写出其坐标即可； （3）利用割补法，根据点、点和点三个点所在正方形的面积减去三个点所在三角形的面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）图可知，点的坐标为； (3) 小问详解： 解：由题意得，． 25．（25-26学年八上·云南昆明第八中学·期中）如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是1． （1）画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）写出的面积； （3）在x轴上找出点P，使最小，并直接写出P点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）     （3）如图，点即为所求， 点的坐标为      【分析】 （）根据轴对称的性质，分别找到点关于轴的对称点，顺次连接，得到，即为所求； （）根据割补法即可求解； （）先找到点关于轴的对称点，连接，与相交于点，点即为所求； 本题考查了作轴对称图形，图形与坐标，掌握轴对称图形的性质及最短路径问题是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积； (3) 小问详解： 解：由图可得，点的坐标为． 理由：∵点和关于轴对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小． 26．（25-26学年八上·云南华山中学·期中）如图，点与点关于直线对称，则　　　　　　． 【答案】-5 【分析】 根据点与点关于直线对称求得a，b的值，最后代入求解即可． 【详解】 解：∵点与点关于直线对称 ∴a=-2，,解得b=-3 ∴a+b=-2+（-3）=-5 故答案为-5． 【点睛】 本题考查了关于y=-1对称点的性质，根据对称点的性质求得a、b的值是解答本题的关键． 27．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）已知点，． （1）若点M、N关于x轴对称，试求a，b的值； （2）若点M、N关于y轴对称，试求． 【答案】（1）     （2）1      【分析】 本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． （1）根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可； （2）根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程组求解即可． (1) 小问详解： 解：、关于轴对称， ， 解得 ； (2) 小问详解： 解：、关于轴对称， ， 解得 ， ． 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·云南昭通·期中）如图：在中，，，，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据含30度角的直角三角形的性质即可求出答案． 【详解】 解：直角三角形中，30度所对的边的长度是斜边的一半， 所以. 故选：D． 【点睛】 本题考查含30度角的直角三角形，解题的关键是熟练运用30度角的直角三角形的性质，本题属于基础题型． 2．（25-26学年八上·云南曲靖麒麟区·期中） 如图，在中，，是边上的中线，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据题意可得是等腰三角形，根据三线合一可知，据此即可求解． 【详解】 解：∵，为边上的中线， ∴，， ∵， ∴． 故选：B． 3．（25-26学年八上·云南大理白族自·期中）如图，在中，，，则的长为（       ） A. 4 B. 6 C. 3 D. 5 【答案】D 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定，解答本题的关键是掌握等角对等边．根据等腰三角形的判定可得，继而得出的长． 【详解】 解：∵， ∴． 故选：D 4．（25-26学年八上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只需找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（       ） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 垂直平分线的性质 D. 等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质：等腰三角形的“三线合一”，即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴是等腰三角形， ∵点D是的中点， ∴， ∴工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”． 故选：D． 5．（25-26学年八上·云南昆明五华区莲华中学等学校·期中）如图，在中，，是高，，，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【分析】 本题考查了含30度角直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余．首先求出，然后求出，然后根据含30度角直角三角形的性质求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴在中，． 故选：B． 6．（25-26学年八上·云南昆明东川区·期中）如图，是等边三角形，为中线，为上一点，连接，有，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，先根据等边三角形的性质得，，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】 解：∵为等边三角形， ∴． ∵是等边三角形的中线， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：C． 7．（25-26学年八上·云南昆明东川区·期中）若等腰三角形的一个外角是，则底角是（     ） A.  B. 或 C.  D. 或 【答案】A 【分析】 根据三角形外角的定义和性质，以及等腰三角形的性质进行解答即可． 【详解】 解：若这个是等腰三角形底角的外角，则两个底角都是，这和三角形内角和矛盾，此种情况舍去；所以角是顶角的外角， ∵等腰三角形的两个底角相等，三角形的一个外角等于和它不相邻的内角和， ∴两个底角都是． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了三角形外角的定义与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质，注意分类讨论． 8．（25-26学年八上·云南昭通绥江县·期中）如图1是我国古代建筑中常见的梁架示意图，其顶部可看作如图2所示的，，于点，若的长为，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形三线合一． 直接根据等腰三角形三线合一作答即可． 【详解】 解：∵，， ∴点是的中点， ∴． 故选：C． 9．（25-26学年八上·云南昭通绥江县·期中）在中，，，若，则的长为（       ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【分析】 本题主要考查了直角三角形的性质．根据直角三角形中，30度角所对的直角边长度等于斜边长度的一半，即可求解． 【详解】 解：在中，，，， ∴． 故选：D． 10．（25-26学年八上·云南昆明五华区云南师范大学实验中学·期中）如图，在中，，，，是高，则的长为（       ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【分析】 本题主要运用直角三角形的性质，即在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半，通过角度关系得到边的关系，进而求解线段长度． 【详解】 解：∵，是高，， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 11．（25-26学年八上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）玉溪青花街的店铺招牌设计常常蕴含数学美．一个招牌的框架是等腰三角形，若等腰三角形的一个外角是，则它的底角的度数是（       ） A.  B.  C. 或 D.  【答案】C 【分析】 本题考查了外角，等腰三角形的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 等腰三角形的一个外角为，需分情况讨论该外角对应的是顶角还是底角的外角，进而求出底角的度数． 【详解】 解：当顶角的外角为时， ∴顶角为， ∴等腰三角形两底角之和为：， ∵等腰三角形两底角相等， ∴等腰三角形的底角度数为； 当底角的外角为， ∴等腰三角形的底角为：； 综上，底角可能为或， 故选：C． 12．（25-26学年八上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）如图，中，为线段AB的垂直平分线，交于点E，交于D，连接，若，则的长为(   ) A. 6 B. 3 C. 4 D. 2 【答案】B 【分析】 利用垂直平分线的性质得到AD=BD=6，∠A=∠ABD=30°，再根据∠C=90°得到∠CBD=30°，从而根据30°所对的直角边是斜边的一半得到结果. 【详解】 解：∵DE垂直平分AB， ∴AD=BD=6，∠A=∠ABD=30°， ∵∠C=90°， ∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=30°， ∴CD=BD=3， 故选B. 【点睛】 本题考查了垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握含30°角的直角三角形的性质，即在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． 13．（25-26学年八上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）如图，在中，，是的中点，下列结论中不正确的是（       ） A.  B.  C. 平分 D.  【答案】D 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的“三线合一”“等边对等角”的性质解题是关键．由，是的中点，可得，平分，，即可作出判断． 【详解】 解：对于选项B与C： ∵，是的中点， ∴，平分． ∴选项B与C正确． 对于选项A： ∵， ∴． ∴选项A正确． 对于选项D： 根据题目已知条件，无法得到． ∴选项D不正确． 故选：D． 14．（25-26学年八上·云南昆明云南大学附属中学·期中）等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（　　） A. 65° B. 65°或80° C. 50°或65° D. 40° 【答案】C 【分析】 已知给出了一个内角是50°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还要用内角和定理去验证每种情况是不是都成立． 【详解】 解：当50°是等腰三角形的顶角时，则底角为（180°﹣50°）×=65°； 当50°是底角时也可以． 故选C． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 15．（25-26学年八上·云南曲靖麒麟区·期中）若等腰三角形有一个外角为，则这个等腰三角形的顶角是（     ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】D 【分析】 本题考查三角形的内角和定理及外角性质、等腰三角形的性质，分两种情况，利用等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理求解即可． 【详解】 解：若等腰三角形的一个底角的外角为，则底角的度数为， ∴顶角的度数为； 若等腰三角形的顶角的外角为，则顶角的度数为， 综上，这个等腰三角形的顶角是或． 故选：D． 16．（25-26学年八上·云南昆明第八中学·期中）如图，在中，，，垂直平分.如果，那么的长为（     ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的性质；由线段垂直平分线的性质得，进而有，则有； 进一步由含30度角直角三角形的性质求得，最后可求得结果． 【详解】 解：∵垂直平分， ∴， ∴； ∴； ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 17．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如果等腰三角形的其中一个角为，那么它的底角为（     ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分角为顶角和底角两种情况解答即可，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】 解：当角为顶角时，底角为； 当为底角时，底角为； ∴底角为或， 故选：． 18．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（     ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的定义，根据题意、画出符合实际条件的图形以及掌握数形结合的思想是解答本题的关键． 根据题意并结合图形，分为等腰底边和为等腰的腰两种情况分别解答即可． 【详解】 解：如图：分情况讨论： ①为等腰底边时，符合条件的C点有0个； ②为等腰的腰时，符合条件的C点有8个； 故共有8个点． 故选：D． 19．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如图，在中，，，面积是12，的垂直平分线分别交，边于点E，F．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值是（　　） A. 8 B. 3 C. 6 D. 4 【答案】A 【分析】 本题考查了轴对称—最短路线问题，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，连接，，由，点是边的中点，则，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，当三点共线时，即的长为的最小值，由此即可得出结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：连接，， ∵，点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点关于直线的对称点为点， ∴当三点共线时，即的长为的最小值， ∴的周长最短， 故选：A． 20．（25-26学年八上·云南昆明五华区莲华中学等学校·期中）如图，在中，平分，平分，经过点，与、相交于点、，且．若，，，那么的周长是（       ） A. 7 B. 12 C. 14 D. 24 【答案】C 【分析】 先根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，同样的方法可得，从而可得，最后根据三角形的周长公式即可得． 【详解】 解：平分， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ， 的周长是， 故选：C． 【点睛】 本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键． 21．（25-26学年八上·云南昭通绥江县·期中）在平面内有一条线段，在该平面内找一点，使得是等腰直角三角形，且点为直角顶点，满足条件的点的个数为（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【分析】 本题主要考查等腰直角三角形的判断，点C需满足，即点C在的垂直平分线上，共有两2个． 【详解】 ∵是等腰直角三角形，且C为直角顶点， ∴． ∴点C在的垂直平分线上． 又， 故满足条件的点有2个 故选B 22．（25-26学年八上·云南昆明五华区云南师范大学实验中学·期中）如图，ABC是等腰三角形，点O 是底边BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等腰三角形ABC的腰长为5，面积为12，则OE+OF的值为 A. 4 B.  C. 15 D. 8 【答案】B 【分析】 连接AO，根据S△ABC=S△ABO+S△AOC，结合AB=AC=5，利用三角形面积公式进行求解即可. 【详解】 连接AO，如图， ∵AB=AC=5， ∴S△ABC=S△ABO+S△AOC=AB•OE+AC•OF=OE+OF=12， ∴OE+OF=， 故选 B． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，正确添加辅助线将三角形分成两个小三角形并正确地表示面积是解题的关键. 23．（25-26学年八上·云南昆明第八中学·期中）在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（     ） A.  B.  C.  D. 平分 【答案】B 【分析】 本题考查三线合一，根据三线合一，进行判断即可． 【详解】 解：当时， ∵点在上， ∴， ∴， ∴；故选项A不符合题意； ∵， ∴，不能得到；故选项B符合题意； ∵， ∴当或平分时，；故选项C，D均不符合题意； 故选B 24．（25-26学年八上·云南昆明第八中学·期中）已知是等腰底边上的高，若点F到直线的距离为3，则点F到直线的距离为（       ） A.  B. 2 C.  D. 3 【答案】D 【分析】 本题考查等腰三角形的性质和角平分线的性质．利用等腰三角形“三线合一”得出是角平分线，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等，直接求解即可． 【详解】 解：∵是等腰底边上的高， ∴平分（等腰三角形三线合一）． ∵点在上，且是的角平分线， ∴点到直线的距离等于点到直线的距离（角平分线上的点到角两边的距离相等）． 又∵点到直线的距离为3， ∴点到直线的距离为3． 故选：D． 25．（25-26学年八上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）已知等腰三角形的一内角度数为40°，则它的顶角的度数为(　　) A. 40° B. 80° C. 100° D. 40°或100° 【答案】D 【详解】①若40°是顶角，则底角==70°；②若40°是底角，那么顶角 =180°﹣2×40°=100°．故选D． 26．（25-26学年八上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）如图，在中，，D是的中点，连接．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】 本题考查了全等三角形的判定及平角的定义，利用等腰三角形三线合一的性质，通过全等三角形证明角的关系，进而证明垂直即可． 【详解】 证明：∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 27．（25-26学年八上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）在中，，，斜边的长为4，则长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了角直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握角所对的直角边等于斜边的一半． 根据角直角三角形的性质即可求解． 【详解】 解：∵，，斜边的长为4， ∴， 故答案为：2． 28．（25-26学年八上·云南昆明东川区·期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，分腰长为和两种情况，依据三角形三边关系，分类讨论即可得到答案． 【详解】 解：当腰长为时，，三角形不存在； 当腰长为时，符合三角形两边之和大于第三边，所以这个三角形的周长为；   故答案为： ． 29．（25-26学年八上·云南昆明东川区·期中）如图，在中，已知和的平分线相交于点F，过F作，交于点D，交于点E，若，则线段的长为　　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查了角平分线以及平行线性质,等角对等边，掌握以上知识是解题关键． 题干要求线段的长，根据和的平分线相交于点，且得到，从而进行分析即可求解． 【详解】 解：∵和的平分线相交于点， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 30．（25-26学年八上·云南昆明东川区·期中）如图，中，，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角的性质以及等腰三角形的性质．此类题目考查学生分析各角之间关系的能力，运用所学的三角形知识点求解． 根据等腰三角形的性质可得，，设，则，再由三角形外角的性质可得，然后根据三角形内角和定理，求出x的值，即可． 【详解】 解：， ， ， ， ， 设，则． ， ， ， 在中：， ， 解得：， ． 31．（25-26学年八上·云南昆明东川区·期中）如图，嘉琪想测量一座古塔的高度，在处测得，再往前行进到达处，测得，点A，B，D在同一条直线上，根据测得的数据，这座古塔的高度为　　　　　　　　　　． 【答案】30 【分析】 本题考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质和含30度角直角三角形的性质，先根据三角形外角的性质得出，可得，再根据直角三角形中，30度角所对直角边长度等于斜边的一半即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：30 32．（25-26学年八上·云南昆明五华区云南师范大学实验中学·期中）在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，求　　　　　　　　　　　． 【答案】12 【分析】 本题考查了角平线的定义、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，进而可得，然后进行计算即可解答，熟练掌握利用角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴ = =， 故答案为：12． 33．（25-26学年八上·云南昆明五华区云南师范大学实验中学·期中）如图，在中，，平分，且， （1）过作垂足为，求证： （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴；     （2）2      【分析】 本题主要考查直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握含30度的直角三角形的性质． （1）根据等腰三角形的性质直接得到结论； （2）先求出，再根据直角三角形的性质即可得到答案 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 34．（25-26学年八上·云南昆明第八中学·期中）已知△ABC是等腰三角形．若∠A=40°，则△ABC的顶角度数是　　　　． 【答案】40°或100° 【分析】 分∠A为三角形顶角或底角两种情况讨论，即可求解． 【详解】 解：当∠A为三角形顶角时，则△ABC的顶角度数是40°； 当∠A为三角形底角时，则△ABC的顶角度数是180°-40°-40°=100°； 故答案为：40°或100°． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，此类题目，难点在于要分情况讨论． 35．（25-26学年八上·云南大理白族自·期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，则AB长为　　　　　． 【答案】4. 【分析】根据直角三角形的性质，因为∠B=30°，可得AC为斜边AB的一半，即可得出结论． 【详解】在△ABC中，∵∠C=90°，∠B=30°，AC=2， ∴AB=2AC=4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，即30°所对的直角边等于斜边的一半． 36．（25-26学年八上·云南大理白族自·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点． （1）求∠B的度数．（2）若DE＝5，求BC的长． 【答案】（1）∠B＝30°；（2）BC＝15 【分析】 （1）由DE为中垂线，可知∠B=∠2，AD是角平分线，可得∠1=∠2，由此知三角相等，三角之和为90º，可求∠B， （2）由角平分线性质得CD=DE，由∠B=30º，利用30度角的直角三角形，可知DB=2DE，再求BC即可． 【详解】 解：（1）∵DE⊥AB于点E，E为AB的中点， ∴DE是线段AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∴∠2＝∠B， ∵∠C＝90°， ∴∠B＝∠1＝∠2＝=30°； （2）∵DE⊥AB，∠B＝30°， ∴BD＝2DE＝10， ∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DC＝DE＝5， ∴BC＝CD+BD＝15． 【点睛】 本题考查求直角三角形的锐角度数和直角边的长，关键是掌握线段垂直平分线的判定与性质，角平分线的性质，和30º角的直角三角形的性质． 37．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如图，在中，，点D在边上，连接，，E是延长线上一点，且，，连接，则求的度数为　　　　　　　． 【答案】度 【分析】 由等边对等角得，从而，可得，然后根据即可求解． 此题考查了等边对等角、三角形外角的性质等知识，熟练掌握等边对等角是关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 38．（25-26学年八上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）如图，是的边上的一点，，，．求的度数． 【答案】 【分析】 本题主要考查了等边对等角，三角形外角的性质，三角形内角和定理，根据等边对等角和三角形外角的性质可得，再根据三角形内角和定理可得的度数． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 39．（25-26学年八上·云南昭通绥江县·期中）如图，在中，平分，交于点D，点E在上，连接．已知，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析     （2）8      【分析】 （1）由三角形内角和定理求出，得到，即可推出； （2）由角平分线和平行线的性质得到，推出，然后由等角对等边求解即可． (1) 小问详解： 证明：在中，，， ∴． ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 40．（25-26学年八上·云南昆明五华区莲华中学等学校·期中）如图，中，，，是的高，将沿折叠得到，点落在线段上． （1）求的度数． （2）过点作的平分线交于点，若，求的长． 【答案】（1）     （2）4      【分析】 本题考查直角三角形性质，折叠性质，等腰三角形的性质，解题词关键是熟练掌握直角三角形性质，折叠性质，等腰三角形的性质． （1）本题考查了直角三角形性质及折叠的性质，先由三角形内角和定理求出，再由直角三角形的性质求出，再根据折叠的性质得出； （2）本题考查了折叠性质及等腰三角形三线合一性质，先计算出，再由，得到．然后根据等腰三角形三线合一性质得出，即可求解． (1) 小问详解： ，， ， 是的高， ， ， 将沿折叠得到， ， ． (2) 小问详解： 由（1）知， ． ， ， ． 平分， ． ， ． 41．（25-26学年八上·云南昆明西山区·期中）如图，是的角平分线，在上取点，使． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．     （2）      【分析】 本题主要考查角平分线性质，三角形内角和定理，平行线的性质定理； （1）根据角平分线性质得到，根据，得到，求出，即可证出结论； （2）根据三角形内角和定理得到，根据，得到，根据角平分线得到，推出，即可求出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 42．（25-26学年八上·云南昭通绥江县·期中）在等腰三角形中，为顶角，其中两个内角的度数之比为，求的度数． 【答案】或 【分析】 本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，分三个内角的度数之比为或两种情况进行讨论求解即可． 【详解】 解：在等腰三角形中，两个内角的度数之比为， 三个内角的度数之比为或． 或， 的度数为或． 43．（25-26学年八上·云南昭通·期中）如图，在中，，，垂足分别是E，F，． （1）求证：平分； （2）若，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：，，， 平分，     （2） 等腰三角形，理由如下： 解：是的中点， ， ， 与为直角三角形 在和中， ， ， ， 为等腰三角形．      【分析】 本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据角平分线的性质判断即可； （2）根据全等三角形的判定和性质得出，确定，再由等腰三角形的判定证明即可． (1) 小问详解： 证明：略； (2) 小问详解： 略． 44．（25-26学年八上·云南昆明云南大学附属中学·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，交于点F．求证：． 【答案】证明：连接， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【分析】 本题考查的是线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形．连接，求出，再根据可求出的度数，由直角三角形的性质即可求出．掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】 略 45．（25-26学年八上·云南曲靖麒麟区·期中）已知：如图，是等腰直角三角形，直线经过点，直线，直线，垂足分别为． （1）求证：； （2）探究与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）证明：∵是等腰直角三角形，直线，直线， ∴， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴；     （2） ，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴．      【分析】 此题主要考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，证明两个三角形全等是解决本题的关键． （1）根据题意可得，再通过角的转化可得，则可以利用证明； （2）根据可得，进而即可得到解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 46．（25-26学年八上·云南曲靖麒麟区·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D．若，则的长为　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，含度角的直角三角形的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，再根据等边对等角和三角形外角的性质推出，则． 【详解】 解：∵的垂直平分线交于点D，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 47．（25-26学年八上·云南昆明第八中学·期中）【实践课题】如图1，测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具． 【实践活动】甲小组选择合适的点B，C，Q，使得A，B，C在同一条直线上，且，，当P，B，Q在同一条直线上时，只需测量的长即可，画出示意图，如图2． （1）甲小组的方案正确吗？请说明理由． 【交流研讨】在研讨会上，乙小组提出另一种方案：在点A的右侧取一点D，测得，改变点D的位置，当时，只需测量的长即可，画出示意图，如图3． （2）乙小组的方案用到了________．（填序号） ①等角对等边       ②垂线段最短       ③等腰三角形“三线合一” 【答案】（1）正确，理由如下： 当P，B，Q在同一条直线上时， ∵A，B，C在同一条直线上， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴只需测量的长即可； （2）① 【分析】 本题考查全等三角形的应用，等角对等边，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明，得到，即可； （2）根据三角形的内角和定理，推出，等角对等边得到即可． 【详解】 解：（1）略 （2）∵，， ∴， ∴， ∴，即乙小组的方案用到了等角对等边； 故答案为：① ． 48．（25-26学年八上·云南华山中学·期中）如图，在 中， ，点D、E分别在上，，、相交于点 O．    （1）求证： （2）连接， 求证： 【答案】（1） 证明：在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．     （2） 证明：连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质和等腰三角形的判定与性质． （1）由“”可证，由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，可证，可得． （2）根据“”证明与全等，进而利用全等三角形的性质和等腰三角形的三线合一的性质解答即可． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 略． 49．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如图，在中，，． （1）求证：； （2）若是的中线，求证：是的中点． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；     （2） 证明：∵，是的中线， ∴， ∴， ∵， 由（1）知：，， ∴， ∴， ∴，即是的中点．      【分析】 本题考查等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等边对等角，等角对等边是解题的关键： （1）等边对等角，得到，平行线的性质，得到，进而得到，即可得证； （2）根据三线合一和等角的余角相等，得到，进而得到，结合（1）中结论，得到，即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 50．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如图，中，，和分别是和的垂直平分线，则　　　　　　　　 ． 【答案】$度 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，利用整体思想求解是解题的关键．由线段垂直平分线的性质知，得，从而得出答案． 【详解】 解：∵和分别是和的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 51．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如图，在边长为1的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的，利用无刻度直尺作图． （1）画，使它与关于直线l对称； （2）在直线l上作点P，使的值最小； （3）在直线l上找一点Q，使点Q到、两边的距离相等． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； ；     （2） 解：如图，点P即为所求． ；     （3） 解：如图，点Q即为所求． ．      【分析】 本题考查了画轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的画法和等腰三角形的判定和性质是解题关键． （1）先分别画出点A，B，C关于直线的对称点，再顺次连接即可得； （2）连接，与直线l的交点即为点P，再证明为直角三角形，即可得的度数； （3）根据等腰三角形三角形合一即可得到点Q． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 52．（25-26学年八上·云南大理白族自·期中）如图，在中，，是边上的中线，且，的垂直平分线交于F，交于M．    （1）求的度数． （2）证明：是等边三角形． 【答案】（1）     （2） 证明：∵的垂直平分线交于F，交于M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴是等边三角形．      【分析】 （1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出和，求出，即可求出答案； （2）求出，根据等腰三角形的性质求出，求出和，根据等边三角形的判定得出即可． (1) 小问详解： 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，是边上的中线， ∴， ∴， ∴． (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了线段垂直平分线性质，等边三角形的性质和判定，等腰三角形“三线合一”的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 53．（25-26学年八上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）如图，在中，，，，，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，到达点时，停止运动，设运动的时间为秒． （1）当点在上时，求的长；（用的代数式表示） （2）当运动时间为4秒时，求的面积； （3）当点在边上运动时，是否存在一个值，使得是以或为底边的等腰三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）存在，的值为或      【分析】 本题考查了列代数式，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识点． （1）根据即可列代数式； （2）先求出，再由三角形面积公式求解； （3）当以为底时，根据等腰三角形的判定与性质得到，则；当以为底时，则，则． (1) 小问详解： 解：由题意得， (2) 小问详解： 解：当时，，此时点在上， ∴的面积； (3) 小问详解： 解：存在，理由如下： 当以为底时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当以为底时，则， ∴， 综上：存在，的值为或． 54．（25-26学年八上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交边、于点、，过点作于点，且为线段的中点． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析     （2）      【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角直角三角形的性质，三角形的外角定理等知识点． （1）连接，可得垂直平分，而垂直平分，那么； （2）由等腰三角形的性质得到，再由三角形的外角定理得到，那么，再由角直角三角形的性质即可求解，那么． (1) 小问详解： 证明：连接， ∵于点D，且D为线段的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 考点05 等边三角形 1．（25-26学年八上·云南昆明东川区·期中）下列对的判断，错误的是（       ） A. 若，则是直角三角形 B. 若，，则 C. 若，，则是等边三角形 D. 若，，则是等腰三角形 【答案】B 【分析】 根据答案选项的条件逐一判断即可． 【详解】 解：A．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，，所以△ABC是直角三角形，正确，故选项不符合题意； B．若AB＝BC，∠C＝50°，所以∠A＝∠C＝50°，那么∠B＝80°，故 选项错误，符合题意； C．若AB＝BC，∠A＝60°，所以∠A＝∠C＝60°，∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形，正确，故选项不符合题意； D．若∠A＝20°，∠C＝80°，所以∠B＝80°，∠C＝∠B＝80°，所以△ABC是等腰三角形，正确，故选项不符合题意 . 故选：B． 【点睛】 本题考查了解三角形的相关知识，根据已知条件解出三角形中的角是解题的关键． 2．（25-26学年八上·云南红河州蒙自第二中学·期中）如图，是等边三角形，，，那么的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查等边三角形的性质，解题的关键是掌握相关的性质．由等边三角形的性质可得，根据，可得为的中点，即可求解． 【详解】 解：是等边三角形，，， ，为的中点， ， 故选：B． 3．（25-26学年八上·云南红河州蒙自第二中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是，以为边在其右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，再过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，…，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据点A的坐标是，以为边在右侧作等边，过点作x轴的垂线，垂足为点，得到点纵坐标是 ，根据以为边在右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为点，得到点纵坐标是 ，以此类推得点的纵坐标是，从而完成求解． 【详解】 解：点A的坐标是，以为边在右侧作等边，过点作x轴的垂线，垂足为点， ，， ，点纵坐标是 ， 以为边在右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为点， ，， ， 点纵坐标是 ，即， 以为边在右侧作等边三角形， 同理，得点纵坐标是 ， 按此规律继续作下去，得：点的纵坐标是，即， 故选：． 【点睛】 本题考查了坐标规律探究，解题的关键是熟练掌握直角坐标系、等边三角形、垂线、图形和数字规律、含角的直角三角形的性质． 4．（25-26学年八上·云南昭通·期中）在中，如果，那么，，的大小关系为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了三角形的概念，掌握“在三角形中，大边对大角”知识是解题的关键． 先根据三角形概念得到、、的对角分别为、、，再根据得出结论． 【详解】 解：∵在中， ， 又∵、、的对角分别为、、， ∴． 故选：B． 5．（25-26学年八上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）在中，，则的长为（     ） A. 10 B. 5 C. 12 D. 6 【答案】A 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质和判定， 先根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”证明是等边三角形，再根据等边三角形的性质得出答案． 【详解】 解：∵， ∴是等边三角形， ∴． 故选：A． 6．（25-26学年八上·云南昆明云南大学附属中学·期中）如图，和都是等边三角形，且点，，在一条直线上，连接，相交于点，与，分别交于点，，连接，．下列说法中正确的有（       ） ①；②是等边三角形；③平分；④． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【分析】 ① 根据等边三角形性质得出，求出，根据推出两三角形全等和8字形即可作判断；② ④ 由“”可证，可得，可得判断；③ 如图1，过点作于点于点，证明，根据角平分线的逆定理可作判断． 【详解】 解：① ∵和都是等边三角形， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ，故① 正确； ② ∵， ，故④ 正确； ， ， ∴是等边三角形；故② 正确； ③ 如图1，过点作于点于点， ， ， ， ， ， 平分，故③ 正确； 本题正确的有① ② ③ ④ ，共4个； 故选：A． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质和判定，角平分线的判定等知识，掌握全等三角形的判定是解本题的关键． 7．（25-26学年八上·云南昆明第八中学·期中）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地． 甲：，路程为．乙：，路程为．丙：，路程为． 下列关系正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了等边三角形的性质、三角形三边之间关系，解题的关键是通过设的长度为a，结合图形性质分别计算三人的路程并比较． 设，利用等边三角形性质得出甲、乙的路程均为，分析四边形，得出丙的路程小于，比较得出． 【详解】 设的长度为a，因为有两个角是，故是等边三角形， ∴； 由于和是等边三角形，设的边长为m， 可得， ∴； 丙路程中，延长与，交于点I（如图）， ∵，两边同加得， ∴，又 ∴，又， 因此，，只有D选项正确． 故选：D． 8．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如图，过等边的顶点、、依次作、、的垂线、、，三条垂线围成，若，则的周长为（       ） A. 12 B. 18 C. 20 D. 24 【答案】B 【分析】 此题考查了等边三角形的判定与性质，所对的直角边等于斜边的一半，全等三角形的判定与性质． 先由是等边三角形，推出，由此可以证明是等边三角形．接着在中，由“所对的直角边等于斜边的一半”求出，再用证明，得到，最后即可求出的周长． 【详解】 解：， ， 是等边三角形， ，， ， ∵， ， 同理：， 是等边三角形． ． 在中，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 的周长为． 故选：B． 9．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交、于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值是（       ）． A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短线段问题，将的最小值转化为的长是解题关键．连接、，根据等腰三角形三线合一的性质，求出，再根据垂直平分线的性质，得到，从而得出的最小值为的长，即可求出周长的最小值． 【详解】 解：如图，连接、， 等腰的底边，D为边的中点， ，， 面积为， ， ， 垂直平分， ， ， 的最小值为的长， 周长的最小值是， 故选：C． 10．（25-26学年八上·云南大理白族自·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，按此规律继续作下去，得到等边三角形AI，则点的纵坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查了点的坐标规律变化，涉及到等边三角形的性质，利用含的直角三角形的最短边是斜边的一半解题即可． 【详解】 解：∵三角形为等边三角形，轴， ，， ， 同理得：，…… 综上可得：， 则点 的纵坐标为 ， 故选：A． 11．（25-26学年八上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA+PB最短．下面四种选址方案符合要求的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】根据轴对称的性质和线段的性质即可得到结论． 【详解】解：根据题意得，在公路l上选取点P，使PA+PB最短． 则选项A 符合要求， 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称的性质的运用，最短路线问题数学模式的运用，也考查学生的作图能力，运用数学知识解决实际问题的能力． 12．（25-26学年八上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）如图，已知等边三角形的边长为1，按图中所示的规律摆放，用2025个这样的三角形拼接而成的四边形的周长是（       ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】D 【分析】 本题主要考查了整式找规律，准确分析计算是解题的关键． 通过观察所给图形，找出用不同数量等边三角形拼接而成的四边形周长规律，进而根据规律求解用个这样的三角形拼接而成的四边形的周长． 【详解】 由所给图形可知， 用个这样的三角形拼接而成的四边形的周长为：； 用个这样的三角形拼接而成的四边形的周长为：； 用个这样的三角形拼接而成的四边形的周长为：； ， 用个这样的三角形拼接而成的四边形的周长为（为大于的正整数）， 当时，； 用个这样的三角形拼接而成的四边形的周长为； 故选． 13．（25-26学年八上·云南昭通·期中）如图，是等边三角形的高，以为斜边作等腰直角三角形，则的度数为　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查三线合一，等边对等角，根据等边三角形的性质，得到，等腰直角三角形的性质，得到，角的和差关系即可得出结果． 【详解】 解：∵是等边三角形的高， ∴， ∵以为斜边作等腰直角三角形， ∴， ∴； 故答案为：． 14．（25-26学年八上·云南曲靖麒麟区·期中）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=　　度． 【答案】15 【分析】 根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数． 【详解】 ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∵CG=CD， ∴∠CDG=∠CGD=30°， ∵DF=DE， ∴∠E=∠DFE=15°． 故答案为：15． 【点睛】 本题考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练运用等边对等角是关键． 15．（25-26学年八上·云南大理白族自·期中）已知，，是的三边长． （1）若，，满足，试判断的形状； （2）化简： 【答案】（1）是等边三角形     （2）      【分析】 （1）根据题意可得且，进而可以判断三角形的形状； （2）根据三角形的三边关系可得，进而化简绝对值即可． (1) 小问详解： 解：， 且， 是等边三角形； (2) 小问详解： 解：，，是的三边长，， ． 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，绝对值的非负性，掌握以上知识是解题的关键． 16．（25-26学年八上·云南昆明五华区莲华中学等学校·期中）（多选）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状． 【答案】（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m， ∴∠BDA＝∠CEA=90°． ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°． ∵∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD． 又AB=AC， ∴△ADB≌△CEA（AAS）． ∴AE=BD，AD=CE． ∴DE=AE+AD=BD+CE； （2）成立．证明如下： ∵∠BDA =∠BAC=， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°-． ∴∠DBA=∠CAE． ∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC， ∴△ADB≌△CEA（AAS）． ∴AE=BD，AD=CE． ∴DE=AE+AD=BD+CE； （3）△DEF为等边三角形 【分析】 （1）因为DE=DA+AE，故由全等三角形的判定AAS证△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE； （2）成立，仍然通过证明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD； （3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA =∠CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=60°，FB=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）△DEF为等边三角形．理由如下： 由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA =∠CAE， ∵△ABF和△ACF均为等边三角形， ∴∠ABF=∠CAF=60°． ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF． ∴∠DBF=∠FAE． ∵BF=AF， ∴△DBF≌△EAF（SAS）． ∴DF=EF，∠BFD=∠AFE． ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°． ∴△DEF为等边三角形． 【点睛】 此题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定． 17．（25-26学年八上·云南昆明东川区·期中）【问题初探】 如图1，已知为等边三角形，点为边上一动点（点不与点，点重合）．以为边向右侧作等边，连接． （1）求证：； （2）猜想并证明①与的位置关系；②线段、、之间的数量关系． 【类比探究】 （3）如图2，若点在边的延长线上，其它条件不变，随着动点的运动位置不同，猜想（2）的两个结论是否还成立？若成立，说明理由；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵和是等边三角形 ∴，， ∴ 即 在和中 ∴ （2）①；②； （3）① 平行成立② 不成立，应为 理由：∵和是等边三角形 ∴，， ∵ ∴ 即 在和中 ∴ ∴， ∴ ∴ ∵， ∴． 【分析】 本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质， （1）根据等边三角形的性质得到，，，进而得到，根据“”即可证明； （2）由得到，，从而，即可得到，根据线段的和差可得； （3）同（1）可证，得到，，从而，即可得到，根据线段的和差得到，即可解答． 【详解】 （1）证明：略； （2）①；② 理由：由（1）得 ∴， ∴ ∴ ∴， ∴； （3）略． 18．（25-26学年八上·云南昆明五华区云南师范大学实验中学·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高，连接交于点O． （1）求证：垂直平分； （2）若是等边三角形，求证：． 【答案】（1） 证明：是的角平分线，，， ，，， ， ． ∵， ∴ ∴，， 垂直平分；     （2） 证明：是等边三角形， ． 平分，， ，， 又， ． ，， ， ， ．      【分析】 本题考查角平分线的定义和性质定理，线段垂直平分线的判定，三角形全等的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质．解题的关键是能够综合运用上述知识． （1）由角平分线的性质定理可证，即得出，从而可证，即得出，，即可得出结论； （2）由题意可求出，再根据角平分线的定义得出，，最后结合含30度角的直角三角形的性质求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 19．（25-26学年八上·云南昆明五华区云南师范大学实验中学·期中）作图题： （1）如图1，的三个顶点的坐标分别为．请作出关于x轴对称的，并写出点坐标：______；    （2）如图2，已知点A是直线l外一点，用直尺与圆规在直线l上作点，使得为等边三角形（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1） 如图，即为所求，          （2） 如图，即为所求， 【分析】 （1）先作出点关于x轴对称的点，然后顺次连接可得，再根据坐标系写出点坐标； （2）先过A点作于H点，再以点A、H为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点D，接着作的平分线，交直线l于B点，然后截取，则满足条件 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由作法可知，， 是等边三角形， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形． 【点睛】 本题主要考查坐标与图形变换，轴对称的性质，尺柜作图，等边三角形的判定与性质，解题的关键是作出对应点的位置． 20．（25-26学年八上·云南红河州蒙自第二中学·期中）如图，在中，，，则的度数是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识．由题意可得是等边三角形，推出，由可得，最后根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】 解：，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 21．（25-26学年八上·云南昆明嵩明县·期中）如图在平面直角坐标系中，点的坐标为），以线段为边在第四象限内作等边三角形，点为轴正半轴上一动点，连接，以线段为边在第四象限内作等边三角形，连接并延长，交轴于点． （1）求证：； （2）点在运动过程中，的度数是否发生变化？如果不变请求出的度数，如果变化，请说明理由； （3）当点运动到什么位置时，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？并说明理由． 【答案】（1）证明：，为等边三角形， ，，， ， ， （2）的度数不会发生变化，60°， 理由如下：是等边三角形，， ，， ， （3），理由： ，， 又，， ，， 当为等腰三角形时，、是腰， 在中，，，， ，，即， 此时以、、为顶点的三角形为等腰三角形． 【分析】 （1）先根据等边三角形的性质得∠OBA=∠CBD=60°，OB=BA，BC=BD，则∠OBC=∠ABD，然后可根据“SAS”可判定△OBC≌△ABD； （2）由△AOB是等边三角形知∠BOA=∠OAB=60°，再由△OBC≌△ABD知∠BAD=∠BOC=60°，根据∠CAD=180°-∠OAB-∠BAD可得结论； （3）先根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质，求得∠EAC=120°，进而得出以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，最后根据Rt△AOE中，OA=2，∠OEA=30°，求得AC=AE=4，据此得到OC=6，即可得出点C的位置． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】 本题是三角形的综合问题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的运用．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．解决本题的关键是利用等腰三角形的性质求出点C的坐标． 22．（25-26学年八上·云南昆明嵩明县·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）作关于直线轴的对称图形，且写出的坐标； （2）在轴上画出点，使得最小； （3）求出的面积． 【答案】（1）如图，即为所作，      （2）如图，点P即为所作；     （3）      【分析】 本题考查作图—轴对称变换，坐标与图形的变化—轴对称，利用网格求三角形面积．熟练掌握轴对称的性质并利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据轴对称的性质作图即可，由图即可直接得出的坐标； （2）连接，则与y轴的交点即为点P； （3）根据割补法求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：． 23．（25-26学年八上·云南华山中学·期中）在平面直角坐标系中，已知，，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标． （2）求的面积． （3）在y轴上找一点P（保留作图痕迹），使的值最小，请写出点P的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求，      （2）     （3） 解：如上图所示，点即为所求，．      【分析】 本题主要考查了作图轴对称变换，轴对称最短路线问题，三角形的面积等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，即可画出； （2）利用所在的矩形面积减去周围三个三角形面积即可； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于，从而解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积； (3) 小问详解： 略 24．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如图，点E在的外部，点D边上，交于点F，若，，． （1）求证：； （2）若，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴．     （2）是等边三角形． 理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形．      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理以及等边三角形的判定等知识． （1）由结合可得，即可证得，由此即可得到； （2）由可得，由可得，，进而可得，由此即可得到，这样结合即可得到是等边三角形. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 25．（25-26学年八上·云南昭通绥江县·期中）如图，，分别是等边三角形的两边，上的点，且．线段，相交于点，连接．过点作于点． （1）若，则的度数为___________； （2）小智认为，小华认为，你赞同谁的观点？请说明理由； （3）当时，若，求的长． 【答案】（1）     （2） 解：赞同小智的观点；理由如下： ∵等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴小智的观点正确；     （3）．      【分析】 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角的性质、30度角的直角三角形的性质． （1）由等边三角形的性质即可得出答案； （2）由等边三角形的性质证明得出，再根据三角形外角的定义及性质即可得出答案； （3）证明，求得，利用30度角的直角三角形的性质即可得出答案． (1) 小问详解： 解：∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 26．（25-26学年八上·云南昆明第八中学·期中）如图，在中，，外角的平分线与外角的平分线相交于点P，延长交的延长线于点D，延长交延长线于点E． （1）当时，________； （2）求的度数； （3）求证：． 【答案】（1）60     （2）     （3） 证明：在上截取，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义，等边三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． （1）证明为等边三角形，进而得到，根据外角的定义，结合角平分线的定义，得到，三角形的内角和定理求出即可； （2）先根据三角形的内角和定理求得，再根据平角定义求得，再根据角平分线的定义推导，进而根据三角形的内角和定理求解即可； （3）在上截取，连接，先证明得到，，再证明，，进而证明得到，然后由可得结论． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵外角的平分线与外角的平分线相交于点P， ∴， ∴； 故答案为：60； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵外角的平分线与外角的平分线相交于点P， ∴，， ∴， ∴； (3) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 轴对称 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·云南昆明东川区·期中）剪纸是我国最古老的民间艺术之一，被列入第四批《人类非物质文化遗产代表作名录》，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（       ）． A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·云南昭通绥江县·期中）下列交通标志图案中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·云南昆明五华区云南师范大学实验中学·期中）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广，下列四个选项中，是轴对称图形的为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）下列四个“玉溪”的城市品牌标志的简图中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·云南红河州蒙自第二中学·期中）中华文化，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，轴对称图形是（     ） A. 期 B. 中 C. 考 D. 试 6．（25-26学年八上·云南昭通·期中）下面四个汉字中是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·云南昆明云南大学附属中学·期中）未来计算机发展方向是让计算机能看、能听、能说、会思考！下列表示计算机视觉交互应用的图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（       ） A.      B.      C.      D.      8．（25-26学年八上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（       ） A. 等腰三角形 B. 正方形 C. 圆 D. 平行四边形 9．（25-26学年八上·云南昆明嵩明县·期中）在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中不是轴对称图形的是（       ） A. 等角螺旋线 B. 心形线 C. 四叶玫瑰线 D. 蝴蝶曲线 10．（25-26学年八上·云南曲靖麒麟区·期中）下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（     ） A.  笛卡尔心形线 B.  赵爽弦图 C.  莱洛三角形 D.  科克曲线 11．（25-26学年八上·云南昆明第八中学·期中）下列4个汉字中，从数学的角度可以看作轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）在以下四个标志中，轴对称图形是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·云南大理白族自·期中）下面四个图标中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）中秋节是我国四大传统节日之一，起源于先秦，流传至今，经久不息．下列中秋祝福中．可以看作是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）如图，是轴对称图形，是其对称轴，如果，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）如图，与关于直线对称，则以下结论中不一定正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年八上·云南华山中学·期中）下列四个图标中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年八上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）轴对称图形中，对应点连线被对称轴　　　　　　． 19．（25-26学年八上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）如图，是轴对称图形，对称轴是． （1）找出所有对应点、对应边、对应角． （2）如果，求和． （3）如果，求． 考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）轴对称图形的对称轴（     ） A. 只有一条 B. 至少有一条 C. 至多有一条 D. 可能没有 2．（25-26学年八上·云南大理白族自·期中）如图，在中，垂直平分．若，，则的长是（     ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 3．（25-26学年八上·云南昆明东川区·期中）如图，已知AB＝AC，AB＝6，BC＝4，分别以A、B两点为圆心，大于AB的长为半径画圆弧，两弧分别相交于点E、F，直线EF与AC相交于点D，则△BDC的周长为（　　） A. 15 B. 13 C. 11 D. 10 4．（25-26学年八上·云南昭通绥江县·期中）在下列图形中，（　　）的对称轴的条数最多． A. 一般等腰三角形 B. 长方形 C. 等边三角形 D. 正方形 5．（25-26学年八上·云南昆明五华区云南师范大学实验中学·期中）如图，中边的垂直平分线分别交于点D、E，，的周长为，则的周长是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·云南昆明云南大学附属中学·期中）在寻宝游戏中有一线索：宝藏埋藏点P在图1中的小路上，且到河岸，的距离相等．依据线索甲、乙、丙三人各自在藏宝图中标记了点P（如图2所示），则能找到宝藏的是（       ） A. 只有甲 B. 只有乙 C. 只有丙 D. 甲和乙 7．（25-26学年八上·云南昆明云南大学附属中学·期中）如图，在中，DE是AC的垂直平分线，，且的周长为，则的周长为（   ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·云南昆明第八中学·期中）下列命题的逆命题是假命题的是（     ） A. 在角的内部，角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B. 等腰三角形的两底角相等 C. 有两边相等的三角形是等腰三角形 D. 两个全等三角形的面积相等 9．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为（            ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 10．（25-26学年八上·云南昭通绥江县·期中）下列命题的逆命题成立的是（       ） A. 同旁内角互补，两直线平行 B. 若实数，则 C. 全等三角形的周长相等 D. 若实数，则 11．（25-26学年八上·云南昭通绥江县·期中）如图，线段与关于直线对称，交直线于点，连接，，下列说法不正确的是（       ） A.  B. 和关于直线成轴对称 C. 直线是线段的垂直平分线 D.  12．（25-26学年八上·云南红河州蒙自第二中学·期中）如图，在中，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点D，交于点O，连接，若的周长比的周长大则的长为（    ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 13．（25-26学年八上·云南昭通·期中）如图，，，下列判断正确的是（     ） A. CD垂直平分AB B. AB垂直平分CD C. CD平分 D.  14．（25-26学年八上·云南华山中学·期中）已知（），用尺规作图的方法在上确定一点，使．符合要求的作图痕迹是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·云南大理白族自·期中）下列命题中，原命题和逆命题互为逆定理的是（     ） A. 成轴对称的两个图形全等 B. 直角三角形两锐角互余 C. 对顶角相等 D. 全等三角形的面积相等 16．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年八上·云南红河州蒙自第二中学·期中）“等腰三角形的两个底角相等．”请写出它的逆命题：　　　　　　　　　　． 18．（25-26学年八上·云南昭通·期中）已知命题：“同位角相等”它的逆命题是　　　　　　　　　　　　　 19．（25-26学年八上·云南红河州蒙自第二中学·期中）在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，的周长为20，求的周长． 20．（25-26学年八上·云南昭通·期中）如图，． （1）作边的垂直平分线交于点D，交于点E．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连结，若的周长为15，且，求的周长． 21．（25-26学年八上·云南昆明第八中学·期中）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． （1）求证：； （2）若的周长为，，求的长． 22．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线交于点P．求证：点P在线段的垂直平分线上． 23．（25-26学年八上·云南昭通绥江县·期中）如图，在中，线段，的垂直平分线，分别交于点G，H，，相交于点F，若线段的长为8，则的周长为　　　　　　． 24．（25-26学年八上·云南昆明嵩明县·期中）如图所示，在中，，，，分别以A，B为圆心，为半径画弧，两弧分别交于E，F，直线交于点D，连接，则的周长等于　　　　　　　　　　　 ． 25．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如图，中，，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且．若周长为，，，　　　　　　　cm． 26．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如图，中，平分且平分，于E，于F． （1）求证：； （2）探究和的数量关系，并说明理由． 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·云南昆明东川区·期中）点关于轴对称的点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·云南红河州蒙自第二中学·期中）已知点，则点关于轴的对称点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·云南昆明云南大学附属中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·云南昆明第八中学·期中）在平面直角坐标系xOy中，点关于x轴的对称点的坐标为（   ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·云南昭通·期中）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换．若原来点A的坐标是，经过2025次变换后所得的点A的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·云南昆明五华区云南师范大学实验中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为　　　　　　　　　　　　． 8．（25-26学年八上·云南昆明嵩明县·期中）在平面直角坐标系中，若点M（2，1）关于y轴对称的点的坐标为　　　　　　　　． 9．（25-26学年八上·云南曲靖麒麟区·期中）若点和点关于y轴对称，则　　　　　　． 10．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）已知直角坐标系中点和点关于轴对称，则　　　　　　　　　　　　． 11．（25-26学年八上·云南昆明东川区·期中）如图：各个顶点的坐标为：．    （1）在坐标系中画出与关于轴对称的，并写出的坐标． （2）求的面积． 12．（25-26学年八上·云南昭通绥江县·期中）点关于轴对称的点的坐标是　　　　　　． 13．（25-26学年八上·云南昭通·期中）如图，三个顶点的坐标分别为、、 （1）若与关于轴成轴对称，作出；并计算的面积． （2）若P为y轴上一点，使得最小，在图中作出点P，并写出P点的坐标为______． 14．（25-26学年八上·云南大理白族自·期中）如图，在平面直角坐标系中． （1）请画出关于y轴对称的，并写出的坐标； （2）在轴上找到一点，使的值最小，请标出点在坐标轴上的位置． 15．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，则实际时间是　　　　　　　　　　　　　． 16．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：、、． （1）在图中作，使和关于y轴对称； （2）写出点、、的坐标：（____，____）（____，____）（____，____） （3）点P是x轴上一个动点，请在图中画出点P，使得最小． 17．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）已知点和和关于轴对称，则的值为　　　　　　　　　． 18．（25-26学年八上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）若点与点关于轴对称，则　　　　　　． 19．（25-26学年八上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．    （1）画出先向下平移5个单位长度，再向左平移3个单位长度后得到的图形，并写出的坐标； （2）画出关于轴的对称图形，并写出的坐标． 20．（25-26学年八上·云南昭通绥江县·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中画出与关于轴对称的； （2）在轴上有一点，使得的值最小，请在图中标出点的位置，并写出点的坐标（保留作图痕迹，不写作法） 21．（25-26学年八上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上． （1）画出关于轴对称的，并写出点，，的坐标； （2）在轴上找一点，使得的值最小（保留作图痕迹）． 22．（25-26学年八上·云南红河州蒙自第二中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形； （2）求出的面积； （3）在轴上找一点，使得的和最小．（保留作图痕迹） 23．（25-26学年八上·云南昆明云南大学附属中学·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）请在图中画出关于轴对称的，并求出它的面积为_____； （2）请在轴上确定一点，使的周长最小．（不写作法，保留痕迹） 24．（25-26学年八上·云南曲靖麒麟区·期中）如图，三个顶点的坐标分别为、、． （1）若与关于轴成轴对称，请作出； （2）写出点的坐标：________； （3）求出的面积． 25．（25-26学年八上·云南昆明第八中学·期中）如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是1． （1）画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）写出的面积； （3）在x轴上找出点P，使最小，并直接写出P点的坐标． 26．（25-26学年八上·云南华山中学·期中）如图，点与点关于直线对称，则　　　　　　． 27．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）已知点，． （1）若点M、N关于x轴对称，试求a，b的值； （2）若点M、N关于y轴对称，试求． 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·云南昭通·期中）如图：在中，，，，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·云南曲靖麒麟区·期中） 如图，在中，，是边上的中线，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·云南大理白族自·期中）如图，在中，，，则的长为（       ） A. 4 B. 6 C. 3 D. 5 4．（25-26学年八上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只需找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（       ） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 垂直平分线的性质 D. 等腰三角形的“三线合一” 5．（25-26学年八上·云南昆明五华区莲华中学等学校·期中）如图，在中，，是高，，，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6．（25-26学年八上·云南昆明东川区·期中）如图，是等边三角形，为中线，为上一点，连接，有，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·云南昆明东川区·期中）若等腰三角形的一个外角是，则底角是（     ） A.  B. 或 C.  D. 或 8．（25-26学年八上·云南昭通绥江县·期中）如图1是我国古代建筑中常见的梁架示意图，其顶部可看作如图2所示的，，于点，若的长为，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·云南昭通绥江县·期中）在中，，，若，则的长为（       ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 10．（25-26学年八上·云南昆明五华区云南师范大学实验中学·期中）如图，在中，，，，是高，则的长为（       ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 11．（25-26学年八上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）玉溪青花街的店铺招牌设计常常蕴含数学美．一个招牌的框架是等腰三角形，若等腰三角形的一个外角是，则它的底角的度数是（       ） A.  B.  C. 或 D.  12．（25-26学年八上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）如图，中，为线段AB的垂直平分线，交于点E，交于D，连接，若，则的长为(   ) A. 6 B. 3 C. 4 D. 2 13．（25-26学年八上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）如图，在中，，是的中点，下列结论中不正确的是（       ） A.  B.  C. 平分 D.  14．（25-26学年八上·云南昆明云南大学附属中学·期中）等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（　　） A. 65° B. 65°或80° C. 50°或65° D. 40° 15．（25-26学年八上·云南曲靖麒麟区·期中）若等腰三角形有一个外角为，则这个等腰三角形的顶角是（     ） A.  B.  C. 或 D. 或 16．（25-26学年八上·云南昆明第八中学·期中）如图，在中，，，垂直平分.如果，那么的长为（     ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 17．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如果等腰三角形的其中一个角为，那么它的底角为（     ） A.  B.  C. 或 D. 或 18．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（     ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 19．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如图，在中，，，面积是12，的垂直平分线分别交，边于点E，F．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值是（　　） A. 8 B. 3 C. 6 D. 4 20．（25-26学年八上·云南昆明五华区莲华中学等学校·期中）如图，在中，平分，平分，经过点，与、相交于点、，且．若，，，那么的周长是（       ） A. 7 B. 12 C. 14 D. 24 21．（25-26学年八上·云南昭通绥江县·期中）在平面内有一条线段，在该平面内找一点，使得是等腰直角三角形，且点为直角顶点，满足条件的点的个数为（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 22．（25-26学年八上·云南昆明五华区云南师范大学实验中学·期中）如图，ABC是等腰三角形，点O 是底边BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等腰三角形ABC的腰长为5，面积为12，则OE+OF的值为 A. 4 B.  C. 15 D. 8 23．（25-26学年八上·云南昆明第八中学·期中）在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（     ） A.  B.  C.  D. 平分 24．（25-26学年八上·云南昆明第八中学·期中）已知是等腰底边上的高，若点F到直线的距离为3，则点F到直线的距离为（       ） A.  B. 2 C.  D. 3 25．（25-26学年八上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）已知等腰三角形的一内角度数为40°，则它的顶角的度数为(　　) A. 40° B. 80° C. 100° D. 40°或100° 26．（25-26学年八上·云南临沧临翔区一类部分学校·期中）如图，在中，，D是的中点，连接．求证：． 27．（25-26学年八上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）在中，，，斜边的长为4，则长为　　　　　　． 28．（25-26学年八上·云南昆明东川区·期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是　　　　　　． 29．（25-26学年八上·云南昆明东川区·期中）如图，在中，已知和的平分线相交于点F，过F作，交于点D，交于点E，若，则线段的长为　　　　　　　　． 30．（25-26学年八上·云南昆明东川区·期中）如图，中，，求的度数． 31．（25-26学年八上·云南昆明东川区·期中）如图，嘉琪想测量一座古塔的高度，在处测得，再往前行进到达处，测得，点A，B，D在同一条直线上，根据测得的数据，这座古塔的高度为　　　　　　　　　　． 32．（25-26学年八上·云南昆明五华区云南师范大学实验中学·期中）在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，求　　　　　　　　　　　． 33．（25-26学年八上·云南昆明五华区云南师范大学实验中学·期中）如图，在中，，平分，且， （1）过作垂足为，求证： （2）若，求的长． 34．（25-26学年八上·云南昆明第八中学·期中）已知△ABC是等腰三角形．若∠A=40°，则△ABC的顶角度数是　　　　． 35．（25-26学年八上·云南大理白族自·期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，则AB长为　　　　　． 36．（25-26学年八上·云南大理白族自·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点． （1）求∠B的度数．（2）若DE＝5，求BC的长． 37．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如图，在中，，点D在边上，连接，，E是延长线上一点，且，，连接，则求的度数为　　　　　　　． 38．（25-26学年八上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）如图，是的边上的一点，，，．求的度数． 39．（25-26学年八上·云南昭通绥江县·期中）如图，在中，平分，交于点D，点E在上，连接．已知，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 40．（25-26学年八上·云南昆明五华区莲华中学等学校·期中）如图，中，，，是的高，将沿折叠得到，点落在线段上． （1）求的度数． （2）过点作的平分线交于点，若，求的长． 41．（25-26学年八上·云南昆明西山区·期中）如图，是的角平分线，在上取点，使． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 42．（25-26学年八上·云南昭通绥江县·期中）在等腰三角形中，为顶角，其中两个内角的度数之比为，求的度数． 43．（25-26学年八上·云南昭通·期中）如图，在中，，，垂足分别是E，F，． （1）求证：平分； （2）若，判断的形状，并说明理由． 44．（25-26学年八上·云南昆明云南大学附属中学·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，交于点F．求证：． 45．（25-26学年八上·云南曲靖麒麟区·期中）已知：如图，是等腰直角三角形，直线经过点，直线，直线，垂足分别为． （1）求证：； （2）探究与的数量关系，并证明你的结论． 46．（25-26学年八上·云南曲靖麒麟区·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D．若，则的长为　　　　　． 47．（25-26学年八上·云南昆明第八中学·期中）【实践课题】如图1，测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具． 【实践活动】甲小组选择合适的点B，C，Q，使得A，B，C在同一条直线上，且，，当P，B，Q在同一条直线上时，只需测量的长即可，画出示意图，如图2． （1）甲小组的方案正确吗？请说明理由． 【交流研讨】在研讨会上，乙小组提出另一种方案：在点A的右侧取一点D，测得，改变点D的位置，当时，只需测量的长即可，画出示意图，如图3． （2）乙小组的方案用到了________．（填序号） ①等角对等边       ②垂线段最短       ③等腰三角形“三线合一” 48．（25-26学年八上·云南华山中学·期中）如图，在 中， ，点D、E分别在上，，、相交于点 O．    （1）求证： （2）连接， 求证： 49．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如图，在中，，． （1）求证：； （2）若是的中线，求证：是的中点． 50．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如图，中，，和分别是和的垂直平分线，则　　　　　　　　 ． 51．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如图，在边长为1的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的，利用无刻度直尺作图． （1）画，使它与关于直线l对称； （2）在直线l上作点P，使的值最小； （3）在直线l上找一点Q，使点Q到、两边的距离相等． 52．（25-26学年八上·云南大理白族自·期中）如图，在中，，是边上的中线，且，的垂直平分线交于F，交于M．    （1）求的度数． （2）证明：是等边三角形． 53．（25-26学年八上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）如图，在中，，，，，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，到达点时，停止运动，设运动的时间为秒． （1）当点在上时，求的长；（用的代数式表示） （2）当运动时间为4秒时，求的面积； （3）当点在边上运动时，是否存在一个值，使得是以或为底边的等腰三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 54．（25-26学年八上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交边、于点、，过点作于点，且为线段的中点． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 考点05 等边三角形 1．（25-26学年八上·云南昆明东川区·期中）下列对的判断，错误的是（       ） A. 若，则是直角三角形 B. 若，，则 C. 若，，则是等边三角形 D. 若，，则是等腰三角形 2．（25-26学年八上·云南红河州蒙自第二中学·期中）如图，是等边三角形，，，那么的长为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·云南红河州蒙自第二中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是，以为边在其右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，再过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，…，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·云南昭通·期中）在中，如果，那么，，的大小关系为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）在中，，则的长为（     ） A. 10 B. 5 C. 12 D. 6 6．（25-26学年八上·云南昆明云南大学附属中学·期中）如图，和都是等边三角形，且点，，在一条直线上，连接，相交于点，与，分别交于点，，连接，．下列说法中正确的有（       ） ①；②是等边三角形；③平分；④． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 7．（25-26学年八上·云南昆明第八中学·期中）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地． 甲：，路程为．乙：，路程为．丙：，路程为． 下列关系正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如图，过等边的顶点、、依次作、、的垂线、、，三条垂线围成，若，则的周长为（       ） A. 12 B. 18 C. 20 D. 24 9．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交、于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值是（       ）． A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 10．（25-26学年八上·云南大理白族自·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，按此规律继续作下去，得到等边三角形AI，则点的纵坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA+PB最短．下面四种选址方案符合要求的是（　　） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·云南文山壮族苗族自治州砚山县·期中）如图，已知等边三角形的边长为1，按图中所示的规律摆放，用2025个这样的三角形拼接而成的四边形的周长是（       ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 13．（25-26学年八上·云南昭通·期中）如图，是等边三角形的高，以为斜边作等腰直角三角形，则的度数为　　　　　　　　　　　　． 14．（25-26学年八上·云南曲靖麒麟区·期中）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=　　度． 15．（25-26学年八上·云南大理白族自·期中）已知，，是的三边长． （1）若，，满足，试判断的形状； （2）化简： 16．（25-26学年八上·云南昆明五华区莲华中学等学校·期中）（多选）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状． 17．（25-26学年八上·云南昆明东川区·期中）【问题初探】 如图1，已知为等边三角形，点为边上一动点（点不与点，点重合）．以为边向右侧作等边，连接． （1）求证：； （2）猜想并证明①与的位置关系；②线段、、之间的数量关系． 【类比探究】 （3）如图2，若点在边的延长线上，其它条件不变，随着动点的运动位置不同，猜想（2）的两个结论是否还成立？若成立，说明理由；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由． 18．（25-26学年八上·云南昆明五华区云南师范大学实验中学·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高，连接交于点O． （1）求证：垂直平分； （2）若是等边三角形，求证：． 19．（25-26学年八上·云南昆明五华区云南师范大学实验中学·期中）作图题： （1）如图1，的三个顶点的坐标分别为．请作出关于x轴对称的，并写出点坐标：______；    （2）如图2，已知点A是直线l外一点，用直尺与圆规在直线l上作点，使得为等边三角形（不写作法，保留作图痕迹）． 20．（25-26学年八上·云南红河州蒙自第二中学·期中）如图，在中，，，则的度数是　　　　　． 21．（25-26学年八上·云南昆明嵩明县·期中）如图在平面直角坐标系中，点的坐标为），以线段为边在第四象限内作等边三角形，点为轴正半轴上一动点，连接，以线段为边在第四象限内作等边三角形，连接并延长，交轴于点． （1）求证：； （2）点在运动过程中，的度数是否发生变化？如果不变请求出的度数，如果变化，请说明理由； （3）当点运动到什么位置时，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？并说明理由． 22．（25-26学年八上·云南昆明嵩明县·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）作关于直线轴的对称图形，且写出的坐标； （2）在轴上画出点，使得最小； （3）求出的面积． 23．（25-26学年八上·云南华山中学·期中）在平面直角坐标系中，已知，，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标． （2）求的面积． （3）在y轴上找一点P（保留作图痕迹），使的值最小，请写出点P的坐标． 24．（25-26学年八上·云南昆明第三中学·期中）如图，点E在的外部，点D边上，交于点F，若，，． （1）求证：； （2）若，判断的形状，并说明理由． 25．（25-26学年八上·云南昭通绥江县·期中）如图，，分别是等边三角形的两边，上的点，且．线段，相交于点，连接．过点作于点． （1）若，则的度数为___________； （2）小智认为，小华认为，你赞同谁的观点？请说明理由； （3）当时，若，求的长． 26．（25-26学年八上·云南昆明第八中学·期中）如图，在中，，外角的平分线与外角的平分线相交于点P，延长交的延长线于点D，延长交延长线于点E． （1）当时，________； （2）求的度数； （3）求证：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 轴对称 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．D 2．C 3．C 4．C 5．B 6．C 7．A 8．D 9．A 10．B 11．C 12．C 13．A 14．A 15．A 16．B 17．B 18．【答案】垂直平分 【分析】 本题考查了轴对称的基本性质，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分．据此求解答即可． 【详解】 在轴对称图形中，任何一对对应点连线都被对称轴垂直平分，这是轴对称的基本性质．因此，对应点连线被对称轴垂直平分． 故答案为：垂直平分． 19．【答案】（1）对应点：B和C，对应边：和和，对应角：和和和     （2）     （3）      【分析】 本题考查了轴对称图形的特征，熟记相关结论即可； （1）根据图形即可求解； （2）轴对称图形的对应边相等，对应角相等，据此即可求解； （3）轴对称图形的对应边相等，对应角相等，据此即可求解； (1) 小问详解： 解：由题意得：对应点：B和C，对应边：和和，对应角：和和和 (2) 小问详解： 解：∵是轴对称图形，对称轴是． ∴（对应边相等），（对应角相等）， ∵， ∴； (3) 小问详解： 解：∵是轴对称图形，对称轴是． ∴（对应边相等）， ∵， ∴； 考点02 线段的垂直平分线 1．B 2．A 3．D 4．D 5．B 6．B 7．B 8．D 9．C 10．A 11．A 12．C 13．B 14．D 15．B 16．B 17．【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【分析】 根据互逆命题的定义，将原命题的题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题 【详解】 解：将原命题改写为“如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等”， 其中题设为“一个三角形是等腰三角形”，结论为“这个三角形的两个底角相等”， 互换题设和结论后，得到逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形” 18．【答案】如果两个角相等，那么这两个角是同位角 【分析】 本题考查了逆命题的问题，交换原命题的题设与结论得到它的逆命题，掌握逆命题的定义是解题的关键． 【详解】 解：“同位角相等”的逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是同位角． 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是同位角． 19．【答案】（1） 证明：∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴是等腰三角形；     （2）32      【分析】 本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的定义．掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键． （1）根据线段垂直平分线的性质可直接得出，即证明是等腰三角形； （2）由线段垂直平分线的性质可得出，再根据的周长为20，结合（1）即可求出，进而即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵的垂直平分线交于点D， ∴． ∵的周长为20，， ∴， ∴的周长． 20．【答案】（1） 如图：      （2）10      【分析】 本题考查尺规作图（垂直平分线）和线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，并利用该性质进行周长计算． （1）用尺规作图法作出边的垂直平分线； （2）利用线段垂直平分线的性质将的周长转化为，再结合的周长求解． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 解：连接， ∵由（1）知垂直平分， ， 的周长为15，且， 即， ， 的周长， ， ， 答：的周长是10． 21．【答案】（1） 证明：垂直平分， ， ， 是的垂直平分线， ， ；     （2）      【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质，可，再根据，得到是的垂直平分线，等量代换，即可； （2）根据题意，则，求出，再根据，得到，最后根据求出结论即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的周长为， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 22．【答案】证明：如图所示：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上． 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键；连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可． 【详解】 略 23．【答案】8 【分析】 由线段的垂直平分线的性质可得，，进而得到的周长，即可求解． 【详解】 解：∵分别是的垂直平分线， ∴，， ∴的周长． 24．【答案】7 【分析】 本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线，可得，则的周长为． 【详解】 解：由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线， ∴． ∴的周长为． 故答案为：7． 25．【答案】1 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定．先根据线段垂直平分线的性质和判定得，再根据的周长为，，求出，然后等量代换可得答案． 【详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵的周长为，， ∴， ∴， 则， ∴， 即． 故答案为：． 26．【答案】（1）见解析；     （2），理由见解析．      【分析】 本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确找出全等三角形是解题关键． （1）连接，先证出，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先证出，根据全等三角形的性质可得，进一步利用线段的和差进行证明即可． (1) 小问详解： 证明：如图，连接， 且平分， ， 平分，于E，于F， ，， 在与中， ， ， ． (2) 小问详解： 解∶，理由如下∶ 平分，于E，于F， ，， ， ， ， ， ， ， ． 考点03 画轴对称的图形 1．C 2．A 3．A 4．A 5．C 6．C 7．【答案】 【分析】 本题考查了坐标与图形变换，掌握点关于坐标轴对称的规律是解题的关键． 根据点关于轴对称的规律：原坐标为，对称后的坐标为，据此回答即可． 【详解】 解：点关于轴对称的点的坐标为， 故答案为：． 8．【答案】（-2，1） 【分析】 根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；即点（x,y）关于y轴的对称点的坐标是（-x,y）即可得到点M（2，1）关于y轴对称的点的坐标． 【详解】 解：点M（2，1）关于y轴的对称点的坐标是（-2，1）， 故答案为：（-2，1）． 【点睛】 此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，比较容易，关键是熟记规律：（1）关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．（2）关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 9．【答案】 【分析】 此题主要考查了关于轴对称的点的坐标规律，关键是熟练掌握点的变化规律． 关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 【详解】 解：∵点和点关于y轴对称， ∴，， 当，时， ， 故答案为：． 10．【答案】 【分析】 本题考查坐标与轴对称，根据关于x轴对称的点的横坐标互为相同，纵坐标互为相反数，求出的值，进一步计算即可． 【详解】 解：∵和点关于轴对称， ∴， ∴； 故答案为：． 11．【答案】（1） 如图，即为所求；         （2）      【分析】 本题主要考查图形与坐标—轴对称，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称的特征是解题的关键． （1）根据轴对称的关系画出点，再连接出图形； （2）利用长方形的面积减去其周围的三角形面积求出的面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：． 12．【答案】 【分析】 本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特点，根据关于对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可求解，掌握关于坐标轴对称的点的坐标特点是解题的关键． 【详解】 解：点关于轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 13．【答案】（1） 即为所求，如下图：      （2）       【分析】 本题考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路径问题，解决本题的关键是根据轴对称的性质准确作出点． （1）根据轴对称的性质即可作出，根据割补法即可求得三角形面积； （2）作出点关于轴的对称点，连接交轴于点，根据轴对称的性质，此时有最小值． (1) 小问详解： 解：∵点关于轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴点、、关于轴对称的点、、，依次连接，，， ． (2) 小问详解： 解：作出点关于轴的对称点，连接交轴于点， ∵， ∴，此时有最小值； 故点即为所求，点的坐标为， 故答案为：． 14．【答案】（1） 如图所示：即为所求；     ，     （2） 如图所示，点P即为所求点．     【分析】 本题主要考查的是画轴对称图形，坐标与图形，利用轴对称的性质确定线段之和最小时点的位置，熟练的作图是解本题的关键． （1）根据轴对称的定义分别关于轴对称的点，再顺次连接，最后确定的坐标即可； （2）取关于轴的对称点，连接交轴于，则点P即为所求点． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：取关于轴的对称点，连接交轴于，则点P即为所求点． 连接， 根据轴对称可知， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小． 15．【答案】 【分析】 本题考查了轴对称及性质，平面镜成像，关键在于利用“像与物体关于镜面对称（左右相反）”这一特性，通过将镜子中的像进行左右翻转来确定实际时间．平面镜成像时，像与物体关于镜面对称，即像和物体左右相反，要得到实际时间，需将镜子中看到的电子钟像进行左右翻转，从而确定实际显示的时间。 【详解】 解：平面镜成像遵循“像与物体关于镜面对称”的规律，这意味着镜子中呈现的像和实际物体在左右方向上是相反的， 对镜子中的像进行左右翻转观察镜子中电子钟的像，将其左右翻转后，得到的数字组合即为实际时间，由此可知实际时间为：． 故答案为：． 16．【答案】（1） 如图，即为所求，      （2）     （3）如图，点P即为所求．      【分析】 本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题、点的坐标，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质画图即可． （2）由图可得点、、的坐标． （3）连接关于x轴的对称点和点C，交轴于点，则点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）可知， ， 故答案为： (3) 小问详解： 略 17．【答案】 【分析】 本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系； 根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，先求得，的值，再求代数式的值即可． 【详解】 解：依题意，， 解得：， 则， 故答案为． 18．【答案】 【分析】 此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标关系是解题关键． 利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数求得m、n的值，再代入计算可得． 【详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， 故答案为：． 19．【答案】（1）图见解析，     （2）图见解析，      【分析】 本题考查了点的对称性与平移，读懂题意，掌握在平面直角坐标系中作图的方法是解题关键． （1）根据点坐标的平移，先画出，，三点的位置，再顺次连接即可得，最后根据点在网格中的位置可得它的坐标． （2）先根据点的对称性，画出，，三点的位置，再顺次连接即可得，最后根据点在网格中的位置可得它的坐标． (1) 小问详解： 解：先画出，，三点的位置，再顺次连接即可得，如图即为所求，    观察图形可知：点的坐标为． (2) 小问详解： 解：画出，，三点的位置，再顺次连接即可得，如图即为所求，    观察图形可知：点的坐标为． 20．【答案】（1） 作图如图所示：      （2） 作图如图所示， 点的坐标为      【分析】 本题考查了作轴对称图形，轴对称的性质，写出平面直角坐标系中点的坐标． （1）根据关于轴对称的特征作图即可； （2）连接即可，根据平面直角坐标系可知点的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 21．【答案】（1） 解：如图，即为所求作： ，，；，，     （2） 解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求作： 【分析】 本题主要考查了画轴对称图形，写出直角坐标系中点的坐标，轴对称中的光线反射问题（最短路线问题）等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据“关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同”求出、、对应点的坐标，再描出，，，然后顺次连接即可； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求作． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 22．【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）     （3） 点即为所求． 【分析】 本题考查了作图——轴对称变换，轴对称−最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质作出点，，关于轴的对称点，，，再顺次连接即可； （2）根据网格利用割补法即可求出的面积； （3）作关于轴对称的对称点，连接交轴于点，可得，则，当、、共线时，的和最小为，点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积为； (3) 小问详解： 略 23．【答案】（1）如图， 即为所求．它的面积为     （2） 解：如图，作点B关于y轴的对称点，连接交轴于点，连接，点即为所求． 【分析】 本题考查了轴对称变换，三角形的面积，坐标与图形，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会利用轴对称解决最短问题． （1）利用轴对称的性质分别作出，，的对应点，，即可，利用分割法的思想，将三角形的面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可． （2）连接交轴于点，连接，点即为所求． (1) 小问详解： 解： 的面积为． 故答案为：． (2) 小问详解： 略 24．【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2）     （3）      【分析】 本题考查根据轴对称变换作图和三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握以上基本知识． （1）作出各点关于轴的对称点，再顺次连接各点，即在图中得到； （2）根据点所在坐标系中的位置写出其坐标即可； （3）利用割补法，根据点、点和点三个点所在正方形的面积减去三个点所在三角形的面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）图可知，点的坐标为； (3) 小问详解： 解：由题意得，． 25．【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）     （3）如图，点即为所求， 点的坐标为      【分析】 （）根据轴对称的性质，分别找到点关于轴的对称点，顺次连接，得到，即为所求； （）根据割补法即可求解； （）先找到点关于轴的对称点，连接，与相交于点，点即为所求； 本题考查了作轴对称图形，图形与坐标，掌握轴对称图形的性质及最短路径问题是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积； (3) 小问详解： 解：由图可得，点的坐标为． 理由：∵点和关于轴对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小． 26．【答案】-5 【分析】 根据点与点关于直线对称求得a，b的值，最后代入求解即可． 【详解】 解：∵点与点关于直线对称 ∴a=-2，,解得b=-3 ∴a+b=-2+（-3）=-5 故答案为-5． 【点睛】 本题考查了关于y=-1对称点的性质，根据对称点的性质求得a、b的值是解答本题的关键． 27．【答案】（1）     （2）1      【分析】 本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． （1）根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可； （2）根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程组求解即可． (1) 小问详解： 解：、关于轴对称， ， 解得 ； (2) 小问详解： 解：、关于轴对称， ， 解得 ， ． 考点04 等腰三角形 1．D 2．B 3．D 4．D 5．B 6．C 7．A 8．C 9．D 10．A 11．C 12．B 13．D 14．C 15．D 16．C 17．C 18．D 19．A 20．C 21．B 22．B 23．B 24．D 25．D 26．【答案】证明见解析 【分析】 本题考查了全等三角形的判定及平角的定义，利用等腰三角形三线合一的性质，通过全等三角形证明角的关系，进而证明垂直即可． 【详解】 证明：∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 27．【答案】 【分析】 本题考查了角直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握角所对的直角边等于斜边的一半． 根据角直角三角形的性质即可求解． 【详解】 解：∵，，斜边的长为4， ∴， 故答案为：2． 28．【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，分腰长为和两种情况，依据三角形三边关系，分类讨论即可得到答案． 【详解】 解：当腰长为时，，三角形不存在； 当腰长为时，符合三角形两边之和大于第三边，所以这个三角形的周长为；   故答案为： ． 29．【答案】5 【分析】 本题考查了角平分线以及平行线性质,等角对等边，掌握以上知识是解题关键． 题干要求线段的长，根据和的平分线相交于点，且得到，从而进行分析即可求解． 【详解】 解：∵和的平分线相交于点， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 30．【答案】 【分析】 本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角的性质以及等腰三角形的性质．此类题目考查学生分析各角之间关系的能力，运用所学的三角形知识点求解． 根据等腰三角形的性质可得，，设，则，再由三角形外角的性质可得，然后根据三角形内角和定理，求出x的值，即可． 【详解】 解：， ， ， ， ， 设，则． ， ， ， 在中：， ， 解得：， ． 31．【答案】30 【分析】 本题考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质和含30度角直角三角形的性质，先根据三角形外角的性质得出，可得，再根据直角三角形中，30度角所对直角边长度等于斜边的一半即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：30 32．【答案】12 【分析】 本题考查了角平线的定义、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，进而可得，然后进行计算即可解答，熟练掌握利用角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴ = =， 故答案为：12． 33．【答案】（1） 证明：∵，， ∴；     （2）2      【分析】 本题主要考查直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握含30度的直角三角形的性质． （1）根据等腰三角形的性质直接得到结论； （2）先求出，再根据直角三角形的性质即可得到答案 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 34．【答案】40°或100° 【分析】 分∠A为三角形顶角或底角两种情况讨论，即可求解． 【详解】 解：当∠A为三角形顶角时，则△ABC的顶角度数是40°； 当∠A为三角形底角时，则△ABC的顶角度数是180°-40°-40°=100°； 故答案为：40°或100°． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，此类题目，难点在于要分情况讨论． 35．【答案】4. 【分析】根据直角三角形的性质，因为∠B=30°，可得AC为斜边AB的一半，即可得出结论． 【详解】在△ABC中，∵∠C=90°，∠B=30°，AC=2， ∴AB=2AC=4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，即30°所对的直角边等于斜边的一半． 36．【答案】（1）∠B＝30°；（2）BC＝15 【分析】 （1）由DE为中垂线，可知∠B=∠2，AD是角平分线，可得∠1=∠2，由此知三角相等，三角之和为90º，可求∠B， （2）由角平分线性质得CD=DE，由∠B=30º，利用30度角的直角三角形，可知DB=2DE，再求BC即可． 【详解】 解：（1）∵DE⊥AB于点E，E为AB的中点， ∴DE是线段AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∴∠2＝∠B， ∵∠C＝90°， ∴∠B＝∠1＝∠2＝=30°； （2）∵DE⊥AB，∠B＝30°， ∴BD＝2DE＝10， ∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DC＝DE＝5， ∴BC＝CD+BD＝15． 【点睛】 本题考查求直角三角形的锐角度数和直角边的长，关键是掌握线段垂直平分线的判定与性质，角平分线的性质，和30º角的直角三角形的性质． 37．【答案】度 【分析】 由等边对等角得，从而，可得，然后根据即可求解． 此题考查了等边对等角、三角形外角的性质等知识，熟练掌握等边对等角是关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 38．【答案】 【分析】 本题主要考查了等边对等角，三角形外角的性质，三角形内角和定理，根据等边对等角和三角形外角的性质可得，再根据三角形内角和定理可得的度数． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 39．【答案】（1）见解析     （2）8      【分析】 （1）由三角形内角和定理求出，得到，即可推出； （2）由角平分线和平行线的性质得到，推出，然后由等角对等边求解即可． (1) 小问详解： 证明：在中，，， ∴． ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 40．【答案】（1）     （2）4      【分析】 本题考查直角三角形性质，折叠性质，等腰三角形的性质，解题词关键是熟练掌握直角三角形性质，折叠性质，等腰三角形的性质． （1）本题考查了直角三角形性质及折叠的性质，先由三角形内角和定理求出，再由直角三角形的性质求出，再根据折叠的性质得出； （2）本题考查了折叠性质及等腰三角形三线合一性质，先计算出，再由，得到．然后根据等腰三角形三线合一性质得出，即可求解． (1) 小问详解： ，， ， 是的高， ， ， 将沿折叠得到， ， ． (2) 小问详解： 由（1）知， ． ， ， ． 平分， ． ， ． 41．【答案】（1） 证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．     （2）      【分析】 本题主要考查角平分线性质，三角形内角和定理，平行线的性质定理； （1）根据角平分线性质得到，根据，得到，求出，即可证出结论； （2）根据三角形内角和定理得到，根据，得到，根据角平分线得到，推出，即可求出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 42．【答案】或 【分析】 本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，分三个内角的度数之比为或两种情况进行讨论求解即可． 【详解】 解：在等腰三角形中，两个内角的度数之比为， 三个内角的度数之比为或． 或， 的度数为或． 43．【答案】（1） 证明：，，， 平分，     （2） 等腰三角形，理由如下： 解：是的中点， ， ， 与为直角三角形 在和中， ， ， ， 为等腰三角形．      【分析】 本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据角平分线的性质判断即可； （2）根据全等三角形的判定和性质得出，确定，再由等腰三角形的判定证明即可． (1) 小问详解： 证明：略； (2) 小问详解： 略． 44．【答案】证明：连接， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【分析】 本题考查的是线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形．连接，求出，再根据可求出的度数，由直角三角形的性质即可求出．掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】 略 45．【答案】（1）证明：∵是等腰直角三角形，直线，直线， ∴， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴；     （2） ，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴．      【分析】 此题主要考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，证明两个三角形全等是解决本题的关键． （1）根据题意可得，再通过角的转化可得，则可以利用证明； （2）根据可得，进而即可得到解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 46．【答案】3 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，含度角的直角三角形的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，再根据等边对等角和三角形外角的性质推出，则． 【详解】 解：∵的垂直平分线交于点D，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 47．【答案】（1）正确，理由如下： 当P，B，Q在同一条直线上时， ∵A，B，C在同一条直线上， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴只需测量的长即可； （2）① 【分析】 本题考查全等三角形的应用，等角对等边，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明，得到，即可； （2）根据三角形的内角和定理，推出，等角对等边得到即可． 【详解】 解：（1）略 （2）∵，， ∴， ∴， ∴，即乙小组的方案用到了等角对等边； 故答案为：① ． 48．【答案】（1） 证明：在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．     （2） 证明：连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质和等腰三角形的判定与性质． （1）由“”可证，由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，可证，可得． （2）根据“”证明与全等，进而利用全等三角形的性质和等腰三角形的三线合一的性质解答即可． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 略． 49．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；     （2） 证明：∵，是的中线， ∴， ∴， ∵， 由（1）知：，， ∴， ∴， ∴，即是的中点．      【分析】 本题考查等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等边对等角，等角对等边是解题的关键： （1）等边对等角，得到，平行线的性质，得到，进而得到，即可得证； （2）根据三线合一和等角的余角相等，得到，进而得到，结合（1）中结论，得到，即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 50．【答案】$度 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，利用整体思想求解是解题的关键．由线段垂直平分线的性质知，得，从而得出答案． 【详解】 解：∵和分别是和的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 51．【答案】（1） 解：如图，即为所求； ；     （2） 解：如图，点P即为所求． ；     （3） 解：如图，点Q即为所求． ．      【分析】 本题考查了画轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的画法和等腰三角形的判定和性质是解题关键． （1）先分别画出点A，B，C关于直线的对称点，再顺次连接即可得； （2）连接，与直线l的交点即为点P，再证明为直角三角形，即可得的度数； （3）根据等腰三角形三角形合一即可得到点Q． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 52．【答案】（1）     （2） 证明：∵的垂直平分线交于F，交于M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴是等边三角形．      【分析】 （1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出和，求出，即可求出答案； （2）求出，根据等腰三角形的性质求出，求出和，根据等边三角形的判定得出即可． (1) 小问详解： 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，是边上的中线， ∴， ∴， ∴． (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了线段垂直平分线性质，等边三角形的性质和判定，等腰三角形“三线合一”的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 53．【答案】（1）     （2）     （3）存在，的值为或      【分析】 本题考查了列代数式，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识点． （1）根据即可列代数式； （2）先求出，再由三角形面积公式求解； （3）当以为底时，根据等腰三角形的判定与性质得到，则；当以为底时，则，则． (1) 小问详解： 解：由题意得， (2) 小问详解： 解：当时，，此时点在上， ∴的面积； (3) 小问详解： 解：存在，理由如下： 当以为底时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当以为底时，则， ∴， 综上：存在，的值为或． 54．【答案】（1）见解析     （2）      【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角直角三角形的性质，三角形的外角定理等知识点． （1）连接，可得垂直平分，而垂直平分，那么； （2）由等腰三角形的性质得到，再由三角形的外角定理得到，那么，再由角直角三角形的性质即可求解，那么． (1) 小问详解： 证明：连接， ∵于点D，且D为线段的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 考点05 等边三角形 1．B 2．B 3．C 4．B 5．A 6．A 7．D 8．B 9．C 10．A 11．A 12．D 13．【答案】 【分析】 本题考查三线合一，等边对等角，根据等边三角形的性质，得到，等腰直角三角形的性质，得到，角的和差关系即可得出结果． 【详解】 解：∵是等边三角形的高， ∴， ∵以为斜边作等腰直角三角形， ∴， ∴； 故答案为：． 14．【答案】15 【分析】 根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数． 【详解】 ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∵CG=CD， ∴∠CDG=∠CGD=30°， ∵DF=DE， ∴∠E=∠DFE=15°． 故答案为：15． 【点睛】 本题考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练运用等边对等角是关键． 15．【答案】（1）是等边三角形     （2）      【分析】 （1）根据题意可得且，进而可以判断三角形的形状； （2）根据三角形的三边关系可得，进而化简绝对值即可． (1) 小问详解： 解：， 且， 是等边三角形； (2) 小问详解： 解：，，是的三边长，， ． 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，绝对值的非负性，掌握以上知识是解题的关键． 16．【答案】（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m， ∴∠BDA＝∠CEA=90°． ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°． ∵∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD． 又AB=AC， ∴△ADB≌△CEA（AAS）． ∴AE=BD，AD=CE． ∴DE=AE+AD=BD+CE； （2）成立．证明如下： ∵∠BDA =∠BAC=， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°-． ∴∠DBA=∠CAE． ∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC， ∴△ADB≌△CEA（AAS）． ∴AE=BD，AD=CE． ∴DE=AE+AD=BD+CE； （3）△DEF为等边三角形 【分析】 （1）因为DE=DA+AE，故由全等三角形的判定AAS证△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE； （2）成立，仍然通过证明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD； （3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA =∠CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=60°，FB=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）△DEF为等边三角形．理由如下： 由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA =∠CAE， ∵△ABF和△ACF均为等边三角形， ∴∠ABF=∠CAF=60°． ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF． ∴∠DBF=∠FAE． ∵BF=AF， ∴△DBF≌△EAF（SAS）． ∴DF=EF，∠BFD=∠AFE． ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°． ∴△DEF为等边三角形． 【点睛】 此题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定． 17．【答案】（1）证明：∵和是等边三角形 ∴，， ∴ 即 在和中 ∴ （2）①；②； （3）① 平行成立② 不成立，应为 理由：∵和是等边三角形 ∴，， ∵ ∴ 即 在和中 ∴ ∴， ∴ ∴ ∵， ∴． 【分析】 本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质， （1）根据等边三角形的性质得到，，，进而得到，根据“”即可证明； （2）由得到，，从而，即可得到，根据线段的和差可得； （3）同（1）可证，得到，，从而，即可得到，根据线段的和差得到，即可解答． 【详解】 （1）证明：略； （2）①；② 理由：由（1）得 ∴， ∴ ∴ ∴， ∴； （3）略． 18．【答案】（1） 证明：是的角平分线，，， ，，， ， ． ∵， ∴ ∴，， 垂直平分；     （2） 证明：是等边三角形， ． 平分，， ，， 又， ． ，， ， ， ．      【分析】 本题考查角平分线的定义和性质定理，线段垂直平分线的判定，三角形全等的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质．解题的关键是能够综合运用上述知识． （1）由角平分线的性质定理可证，即得出，从而可证，即得出，，即可得出结论； （2）由题意可求出，再根据角平分线的定义得出，，最后结合含30度角的直角三角形的性质求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 19．【答案】（1） 如图，即为所求，          （2） 如图，即为所求， 【分析】 （1）先作出点关于x轴对称的点，然后顺次连接可得，再根据坐标系写出点坐标； （2）先过A点作于H点，再以点A、H为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点D，接着作的平分线，交直线l于B点，然后截取，则满足条件 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由作法可知，， 是等边三角形， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形． 【点睛】 本题主要考查坐标与图形变换，轴对称的性质，尺柜作图，等边三角形的判定与性质，解题的关键是作出对应点的位置． 20．【答案】 【分析】 本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识．由题意可得是等边三角形，推出，由可得，最后根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】 解：，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 21．【答案】（1）证明：，为等边三角形， ，，， ， ， （2）的度数不会发生变化，60°， 理由如下：是等边三角形，， ，， ， （3），理由： ，， 又，， ，， 当为等腰三角形时，、是腰， 在中，，，， ，，即， 此时以、、为顶点的三角形为等腰三角形． 【分析】 （1）先根据等边三角形的性质得∠OBA=∠CBD=60°，OB=BA，BC=BD，则∠OBC=∠ABD，然后可根据“SAS”可判定△OBC≌△ABD； （2）由△AOB是等边三角形知∠BOA=∠OAB=60°，再由△OBC≌△ABD知∠BAD=∠BOC=60°，根据∠CAD=180°-∠OAB-∠BAD可得结论； （3）先根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质，求得∠EAC=120°，进而得出以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，最后根据Rt△AOE中，OA=2，∠OEA=30°，求得AC=AE=4，据此得到OC=6，即可得出点C的位置． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】 本题是三角形的综合问题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的运用．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．解决本题的关键是利用等腰三角形的性质求出点C的坐标． 22．【答案】（1）如图，即为所作，      （2）如图，点P即为所作；     （3）      【分析】 本题考查作图—轴对称变换，坐标与图形的变化—轴对称，利用网格求三角形面积．熟练掌握轴对称的性质并利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据轴对称的性质作图即可，由图即可直接得出的坐标； （2）连接，则与y轴的交点即为点P； （3）根据割补法求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：． 23．【答案】（1） 解：如图所示，即为所求，      （2）     （3） 解：如上图所示，点即为所求，．      【分析】 本题主要考查了作图轴对称变换，轴对称最短路线问题，三角形的面积等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，即可画出； （2）利用所在的矩形面积减去周围三个三角形面积即可； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于，从而解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积； (3) 小问详解： 略 24．【答案】（1） 证明：∵，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴．     （2）是等边三角形． 理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形．      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理以及等边三角形的判定等知识． （1）由结合可得，即可证得，由此即可得到； （2）由可得，由可得，，进而可得，由此即可得到，这样结合即可得到是等边三角形. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 25．【答案】（1）     （2） 解：赞同小智的观点；理由如下： ∵等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴小智的观点正确；     （3）．      【分析】 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角的性质、30度角的直角三角形的性质． （1）由等边三角形的性质即可得出答案； （2）由等边三角形的性质证明得出，再根据三角形外角的定义及性质即可得出答案； （3）证明，求得，利用30度角的直角三角形的性质即可得出答案． (1) 小问详解： 解：∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 26．【答案】（1）60     （2）     （3） 证明：在上截取，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义，等边三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． （1）证明为等边三角形，进而得到，根据外角的定义，结合角平分线的定义，得到，三角形的内角和定理求出即可； （2）先根据三角形的内角和定理求得，再根据平角定义求得，再根据角平分线的定义推导，进而根据三角形的内角和定理求解即可； （3）在上截取，连接，先证明得到，，再证明，，进而证明得到，然后由可得结论． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵外角的平分线与外角的平分线相交于点P， ∴， ∴； 故答案为：60； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵外角的平分线与外角的平分线相交于点P， ∴，， ∴， ∴； (3) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $