29.2.3圆周角(第1课时 圆周角定理)（教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦圆周角定义、定理及推论，通过对比圆心角与圆周角的顶点位置和两边关系导入新课，结合知识回顾中圆心角、弧、弦的关系，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以“特殊到一般”探究定理，分圆心在角的边上、内部、外部三种情况证明，体现分类讨论和转化思想，发展逻辑推理和几何直观。用符号语言表达定理，结合典例和真题提升应用，帮助学生深化理解，教师可高效教学。

29.2圆的有关性质 29.2.3 圆周角 第1课时　圆周角定理 第二十九章 圆 人教版(新教材)·九年级上册 学 习 目 标 1 2 4 理解圆周角的定义：能准确识别并指出图形中的圆周角，能正确区分圆周角与圆心角. 掌握圆周角定理：能准确叙述圆周角定理，理解定理证明中的分类讨论思想，并能用符号语言进行表达. 发展核心素养：经历“特殊到一般”的探究过程，体会分类讨论和转化思想，发展逻辑推理和几何直观能力. 3 初步运用定理：能运用圆周角定理进行简单的角度计算. 1.什么叫圆心角? 顶点在圆心的角叫圆心角 2. 圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？ 在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。 O A B 知识回顾 3. 如图，∠AOB的顶点在哪里？它所对的弧是哪条？ ∠AOB的顶点圆心， 它所对的弧是 导入新课 C 5.∠ACB的两边与圆有什么关系？ 4.如图，在⊙O上取一点C，连接AC、BC，形成∠ACB. ∠ACB的顶点与∠AOB的顶点位置有什么不同？ ∠AOB顶点在圆心O，∠ACB顶点在圆周上的点C. 两边分别交圆于A、B两点，即两边都与圆相交 O A B 与圆有关的另一个重要角 圆周角 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的定义 圆周角的条件 导入新课 辨析：判断下图中哪些是圆周角，哪些不是，并说明理由. （1） （3） （2） （4） （3）顶点在圆内，不在圆上； （2）顶点在圆上但一边与圆不相交； （1）顶点在圆外. ①顶点在圆上； ②两边都和圆相交. 新知探究 探究点1 从特殊到一般猜想圆周角定理 C O A B 议一议 （1）圆周角∠ACB与圆心角∠AOB对着同一条弧是哪段弧？ （2）点C位置不同时，圆周角∠ACB与圆心角∠AOB之间的位置有什么变化？它们之间是否存在某种固定的数量关系？ C O A B C O A B C O A B 猜想：同弧所对的圆心角与圆周角是2倍关系 新知探究 探究点1 从特殊到一般猜想圆周角定理 特殊情形1——直径所对的圆周角（圆心在圆周角的一条边上） O C A B 你的发现： 图中∠AOB= ； 度量结果： ； ∠ACB = ∠AOB = ×180°= 90° 探 究 (1)在⊙O中，AB是直径，点C在圆上，连接AC、BC。请大家画符合条件的图，并用量角器量一量∠ACB的度数.大家有什么发现？ D 图中所对的圆心角 。 图中所对的圆周角 。 ∠ACB= ∠AOB ∠ACB = 90° 180° ∠ACB ∠AOB 一弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的 。 一半 O 新知探究 探究点1 从特殊到一般猜想圆周角定理 特殊情形2——一般弧所对的圆周角： 在⊙O中，取弧（非半圆），在弧AB上任取一点C，连接AC、BC，测量∠ACB；同时测量圆心角∠AOB. 发现：∠ACB始终等于∠AOB的一半. C A B ∠ACB = ∠AOB 探 究 猜想：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 怎样证明猜想是正确的呢？ 新知探究 探究点2 定理的证明 思考 证明：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 已知：在⊙O中， 所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC. 求证：∠BAC = ∠BＯC. C O A B C O A B C O A B 问题分析 根据刚才的画图你发现圆心O与圆周角∠ACB的位置关系能分成几种情况？ 情况1：圆心O在∠BAC的一边上； 情况2：圆心O在∠BAC的内部； 情况3：圆心O在∠BAC的外部； 新知探究 探究点2 定理的证明 证明：情况1（圆心在角的一边上） ： 如图，圆心O在边AB上. ∵ OA = OC（半径相等）， ∴ ∠A= ∠C（等边对等角）. 又 ∵ ∠BOC是△OAC的外角， ∴ ∠BOC= ∠Ａ+ ∠C = 2∠Ａ， ∴ ∠BAC =∠ BOC 已知：在⊙O中， 所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC. 求证：∠BAC = ∠BＯC. 思考 证明：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. C O A B 新知探究 探究点2 定理的证明 证明：情况1（圆心在角的一边上） ： 已知：在⊙O中， 所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC. 求证：∠BAC = ∠BＯC. 思考 证明：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. C O A B OA = OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠Ａ+ ∠C = 2∠Ａ ∠A=∠ BOC 在证明时因果关系也可以用“”进行， 符号“”读作“推出”， “AB”表示由条件A 推出结论B. 证明的第二种格式 新知探究 探究点2 定理的证明 情况2（圆心在角的内部） ： 如图，连接ＡO并延长交⊙O于D. 由情况1可知: ∠BAD=∠BOD，∠DAC=∠DOC. ∴ ∠BAC = ∠BAD + ∠DAC = ∠BOD +∠DOC = （∠BOD＋∠DOC） = ∠BOC. 已知：在⊙O中， 所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC. 求证：∠BAC = ∠BＯC. 思考 证明：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. C O A B D 新知探究 探究点2 定理的证明 情况3（圆心在角的外部） ： 如图，连接AO并延长交⊙O于D， 由情况1可知： ∠CAD= ∠DOC， ∠BAD = ∠BOD， ∴ ∠BAC = ∠CAD－∠BAD =－ ∠BOD = （∠DOC－∠BOD） = ∠BOC. 已知：在⊙O中， 所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC. 求证：∠BAC = ∠BＯC. 思考 证明：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. C O A B D 新知探究 探究点2 定理的证明 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 归一归 圆周角定理： ∵ ∠CAB和∠BOC都对， ∴ ∠BAC = ∠BOC . 几何符号语言： 新知探究 探究点3 定理的推论 思考 C2 O A B C3 C1 （1）如图， ∠C1 、∠C2、 ∠C3相等吗？为什么？ ∵∠C1 、∠C2、 ∠C3都是所对的圆周角 ∴∠C1 =∠C2=∠C3=∠AOB 结论：同弧所对的圆周角相等 C2 O C D A B C1 （2）如图， = ,∠C1 、∠C2、 相等吗？为什么？ ∵ = ∴∠AOB=∠COD ∴ ∠C1 =∠AOB=∠COD=∠C2 结论：等弧所对的圆周角相等 新知探究 探究点3 定理的推论 半圆（或直径）所对的圆周角是多少度？ 90°的圆周角所对的弦是什么样的弦？为什么？ 思考 C2 O A B C3 C1 ∟ ∟ ∟ ∠C1 =∠C2=∠C3=∠AOB=×180°= 90° 结论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 结论：90°的圆周角所对的弦是直径. 反过来也是成立的 ∵ AB是直径 ∴ ∠ACB=900 O A B C ∟ ∵ ∠ACB=900 ∴ AB是直径 几何符号语言： 推论1 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径. 新知探究 探究点3 定理的推论 归一归 圆周角定理的推论 C O A B 用于找相等的角 用于判断某个圆周角是否是直角 用于判断某条线是否过圆心 新知探究 探究点3 定理的推论 如图，⊙O 的直径AB的长为10，弦AC的长为6，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求 BC，AD，BD的长. O A B C D 思考 问题分析 解决与圆有关的问题，关键在于分析圆心角、圆周角、直径和弦之间的关系 看直径找直角： AB是直径 看弧找等角（圆周角，圆心角），等角找等弦： 圆周角∠ACD=∠BCD 圆周角∠ACD=∠BCD 相应的圆心角相等 弦AD=BD 新知探究 探究点3 定理的推论 解：如图 ，连接OD. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=∠ADB=90°. ∵在Rt∠ABC中， AB=10，AC=6， ∴BC==8 ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD. O A B C D 如图，⊙O 的直径AB的长为10，弦AC的长为6，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求 BC，AD，BD的长. 思考 在⊙O中，∠AOD=2∠ACD，∠BOD=2∠BCD， ∴∠AOD=∠BOD. ∴AD=BD. 又在Rt△ABD中，AD²+BD²=AB²， :AD=BD＝AB=5. 典例分析 例1．如图，为的直径，弦于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． （1）根据等弧对等角证明即可； （2）连接，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，然后计算即可． O A E C D B 问题分析 本题考查了垂径定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识． 典例分析 例1．如图，为的直径，弦于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． O A E C D B 问题解答 解:（1）∵是的直径，， ∴． ∴ （2）连接， ∵，∴． ∵直径， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴． 新知巩固 【教材P129】 （1） （2） （3） （4） （5） 解：(1)(2)中的角的顶点不在圆上， (4)(5)中的角的两边至少有一条不与圆相交， (3)中的角的顶点在圆上，两边都与圆相交. 故(3)中的角是圆周角. 1. 判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由： 新知巩固 2. 如图，OA，OB，OC 都是 ⊙O 的半径，∠AOB = 2∠BOC. 求证：∠ACB = 2∠BAC. 证明：∵ ∠AOB = 2∠BOC ∠ACB = ∠AOB， ∴∠ACB = ∠BOC ∵ ∠BAC = ∠BOC， ∴ ∠BAC = ∠ACB ∴ ∠ACB = 2∠BAC. 【教材P129】 O A B C 拓展提升 1.如图，在中，，以为直径作，交于点，交于点． (1)求证：点是边的中点． (2)记的度数为，的度数为．探究与的数量关系． （1）解：证明：如图，连接， ∵是的直径，点在圆上， ∴， 即， ∵，即是等腰三角形， ∴， ∴点是的中点； 拓展提升 1.如图，在中，，以为直径作，交于点，交于点． (1)求证：点是边的中点． (2)记的度数为，的度数为．探究与的数量关系． （2）解：， 如图所示，连接， ∵的度数为，∴， ∵，∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 真题感知 1（2026年河北省）.如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 解：如图，连接并延长交于点E，连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． E C 真题感知 2（2026年河南）.如图，为的直径，，为上两点，，则的度数为_________． 解：∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 真题感知 3．（2026四川省成都）如图，点在以为直径的上，连接，，过点作，垂足为，在圆上取一点，使连接，． (1)求证：. (1)证明：∵为的直径， ∴， 即 又∵， ∴ ∵ ∴ ∴. 课堂小结 ＊圆周角定义： 顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角. ＊圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. ＊圆周角推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等 半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径. ＊常用方法： 看到圆周角→找同弧所对的圆心角→利用2倍关系计算. 知识与技能 课堂小结 ►分类讨论： 证明圆周角定理时，按圆心与圆周角的三种位置关系分类，体现逻辑的严密性. ►转化思想： 情况2、3通过作辅助线转化为情况1，体现“化未知为已知”. ►从特殊到一般： 从“直径所对圆周角”的特殊情形猜想并验证一般定理. 思想与方法 课堂小结 ＊概念判断：圆周角必须具备两个条件 ——①顶点在圆上；②两边都与圆相交，缺一不可 ＊应用定理时忽略 “同弧或等弧” 条件，直接认为相等的弦所对圆周角相等 ＊使用直径→直角时，漏掉 “圆周角” 这个前提 ＊图形没给全，默认圆周角在优弧一侧，漏掉分类讨论 易错点提醒 课后练习 教材P129.3 4. 如图，你能用三角尺确定一张圆形纸片的圆心吗？ 有几种方法？与同学交流一下. 解：根据 90º 的圆周角所对的弦是直径，两直径的交点即是圆心. 课堂练习 ∟ ∟ 课后练习 O A B C 3. 如图，⨀𝑶中，OA⊥BC，∠AOB=50°.求∠ADC的度数. D 解：连结OC ∵⨀𝑶中，OA⊥BC ∴ ∴ ∠COA=∠AOB=50° ∴∠ADC=∠COA= 25 ° 习题 29.2 课本p132页 课后练习 4.如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，哪个是合格的？为什么？ 解:第二个是合格的， 根据90°的圆周角所对的弧是半圆可得。 习题 29.2 课本p132页 课后练习 10. 如图，A，P，B，C是⨀𝑶上的四个点，∠APC=∠CPB=60°. 判断△ABC的形状，并证明你的结论. · 解:△ABC是等边三角形 证明如下: ∠ABC = ∠APC = 60°， ∠BAC =∠CPB=60°, ∠ACB=180°－∠ABC－∠BAC=60° ∴∠ABC是等边三角形. O A B C P 习题 29.2 课本p132页 课后练习 11.如图，AD，BC是O上的两条弦，AD=BC，判断AB和CD的长是否相等，并证明你的结论. O A B C D 习题 29.2 课本p133页 证明: AB和CD的长相等，理由如下 ∵AD=BC ∴ ∴ ∴ ∴DC=AB 谢谢聆听 $null