29.2.3 第1课时 圆周角定理及其推论 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“圆周角定理及其推论”，涵盖圆周角定义、定理及“同弧等弧所对圆周角相等”“直径对直角”等核心推论。通过复习圆心角定义，对比顶点位置差异引出圆周角，构建前后知识衔接的学习支架。 其亮点在于以探究活动培养数学思维，如通过测量、分类证明（圆心在边、内部、外部）发展推理能力，结合生活应用题（如圆形展区监视器安装）渗透模型意识。题型梯度合理，从基础选择到综合解答，助力学生巩固，教师可直接用于课堂训练与课后巩固。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第二十九章 圆 29.2.3 第1课时 圆周角定理及其推论 2026年8月3日 29.2.3 第1课时 圆周角定理及其推论 同步练习题（全文1122字） 一、课时知识梳理（218字） 本节课重点掌握圆周角的定义、圆周角定理及基础推论，是圆中角度计算与几何证明的核心知识点。顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半。核心推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。本节课实现圆心角与圆周角的角度转化，是圆几何题型的基础工具。常见易错点：混淆圆周角与圆心角定义；忽略“同弧、等弧”前提乱套公式；误用直径对应的圆周角结论，混淆角度数量关系。 二、基础巩固选择题（每题6分，共30分，247字） 1. 下列角度符合圆周角定义的是（） A. 顶点在圆心，两边交圆 B. 顶点在圆上，两边与圆相交 C. 顶点在圆外，两边交圆 D. 顶点在圆内，两边交圆 2. 同弧所对的圆周角是圆心角的（） A. 2倍 B. 一半 C. 相等 D. 四倍 3. 半圆所对的圆周角的度数为（） A. 45° B. 60° C. 90° D. 180° 4. 在同圆中，同弧所对的圆周角（） A. 互补 B. 互余 C. 相等 D. 不相等 5. 若一个圆周角为90°，则它所对的弦是圆的（） A. 半径 B. 直径 C. 任意弦 D. 最长弧 三、填空题（每题6分，共30分，227字） 1. 顶点在________，两边与圆相交的角叫做圆周角。 2. 同弧或等弧所对的圆周角等于对应圆心角的________。 3. ________（或直径）所对的圆周角是90°。 4. 90°的圆周角所对的弦是圆的________。 5. 在同圆中，同弧所对的所有圆周角________。 四、解答应用题（共36分，430字） 1.（12分）根据圆周角基础概念作答： （1）准确写出圆周角的定义； （2）完整叙述圆周角定理内容； （3）区分同弧对应的圆心角与圆周角的数量关系。 2.（12分）基础角度计算：在⊙O中，弧AB所对的圆心角∠AOB=80°。 （1）求弧AB所对的圆周角的度数； （2）说明同弧能否对应多个不同度数的圆周角； （3）简述角度转化的解题依据。 3.（12分）综合推论应用：已知AB是⊙O的直径，点C在圆上。 （1）求∠ACB的度数，并说明理由； （2）若∠ABC=35°，求∠BAC的度数； （3）总结直径与圆周角题型的通用解题规律。 总字数统计：1122字 参考答案精简版 选择：1.B 2.B 3.C 4.C 5.B 填空：1.圆上；2.一半；3.半圆；4.直径；5.相等 解答： 1.(1)顶点在圆上，两边与圆相交的角为圆周角；(2)同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，等于对应圆心角的一半；(3)圆周角=1/2圆心角 2.(1)40°；(2)不能，同弧所对圆周角度数唯一；(3)依据圆周角定理进行角度换算 3.(1)90°，直径所对圆周角为直角；(2)55°；(3)遇直径找直角，利用直角三角形两锐角互余结合圆周角定理解题 （精准核对字符：全文1122字，贴合人教版29.2.3第1课时重难点，覆盖圆周角定义、圆周角定理、直径推论、角度计算，辨析易混概念，题型梯度合理，适配课堂训练与课后巩固作业） O O 圆心角 问题1： 上节课我们学习了圆心角，圆心角的定义是什么？ 顶点在圆心的角叫作圆心角. 问题2： 观察下图，它和圆心角有什么区别？ 顶点位置不同，一个在圆心、一个在圆上. O A B C 如图，在⊙O中，∠A的顶点在圆上，点B，C是∠A的两边与圆的交点. 像这样，顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫作圆周角. 1. 返回 下列选项中，∠BAC是圆周角的是(　　) B 举一反三 4 返回 2. 如图，点A，B，C，D都在圆上，弦BD交AC于点P，连接AB，AD，BC，则 所对的圆周角是_______________． ∠ACB和∠ADB 举一反三 思考：如图，连接BO，CO，得到圆心角∠BOC. 可以发现，圆周角 ∠BAC 与圆心角 ∠BOC 对着同一条弧 ， 它们之间是否存在一定的关系？ O A B C 探究 分别测量图中 所对的圆周角 ∠BAC 和圆心角 ∠BOC 的度数，它们之间有什么关系？ O A B C 115° 57.5° ∠BAC = ∠BOC. 是不是在同一个圆中，同弧所对的圆周角与圆心角都具有这样的关系呢？ 探究 利用信息技术工具，改变 ，测量 ∠BAC，∠BOC 的大小，上述关系是否仍然成立？ ∠BAC = ∠BOC. 你能证明你发现的结论吗？ 可以发现，圆心 O 与圆周角 ∠BAC 的位置关系有三种： 思考：圆心 O 与圆周角 ∠BAC 的位置关系有几种？ (3)圆心在圆周角的外部. (2)圆心在圆周角的内部； (1)圆心在圆周角的一条边上； 逐个完成证明吧！ (1)圆心在圆周角的一条边上； ∵ OA=OC， ∴∠A=∠C. 又∵ ∠BOC=∠A+∠C， ∴ ABOC. 思考：如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？ (2)圆心在圆周角的内部； 连接 AO 并延长交 ⊙O 于点 D，由第一种情况的结果，得 ∠BAD∠BOD， ∠CAD∠COD， ∴  (∠BOD+∠COD) 即 ∠BAC∠BOC. 思考：如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？ 思考：如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？ (3)圆心在圆周角的外部. 连接 AO 并延长交 ⊙O 于点 D，由第一种情况的结果，得 ∠BAD=∠BOD, ∠CAD=∠COD, ∴ ∠CAD-∠BAD=(∠COD-∠BOD)， 即 ∠BAC=∠BOC. 这样，就得到圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝50°，则∠A等于（ ） A.40° B.50° C.60° D.70° 解析：∵⊙O是△ABC的外接圆，OB=OC, ∴∠OBC=∠OCB=50°，∴∠BOC=80°， ∴∠A= ∠BOC= ×80°=40°. A 例2 思考：圆周角与弧、弦也有这样的关系吗？ 前面我们学习了圆心角、弧、弦三个量之间关系的结论，即： 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两个弦中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等（知一推二）. 返回 3. [湖南中考]如图，AB，AC为⊙O的两条弦，连接OB，OC，若∠A＝45°，则∠BOC的度数为(　　) A．60° B．75° C．90° D．135° C 举一反三 返回 4. [长沙中考]如图，AC，BC为⊙O的弦，连接OA，OB，OC.若∠AOB＝40°，∠OCA＝30°，则∠BCO的度数为(　　) A．40° B．45° C．50° D．55° C 举一反三 图(1) (1) 如图，连接 OA，OB. ∴ ∴∠C=∠D. ∵ 点 C，D 的位置具有任意性， ∴ 同弧所对的圆周角相等. 探究 (1) 如图(1)，在优弧上任取两点 C,D，同弧所对的圆周角∠C与∠D有什么关系？ 图(2) 探究 (2) 如图(2)，在  上任取 ，它们所对的圆周角 ∠E与∠F 有什么关系？ (2) 如图，连接 OA，OB，OC，OD. ∵ ，∴ ∠AOB=∠COD. 又 ∴∠E=∠F. ∵  和  的位置具有任意性， ∴ 等弧所对的圆周角相等. 进一步，可以得到下面的推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等. 探究 如图 ，在以点 O 为圆心的圆中，AB 为直径，在圆上任取一点 C，你能尝试求出圆周角∠ACB 的度数吗？ 在与 ∠ACB 相对的另一半圆上任取一点 D，连接 DC，DO，DA. ∵∠BCD=​∠BOD，∠ACD=​∠AOD，∠BOD+∠AOD=180°， ∴∠BCD+∠ACD=(∠BOD+∠AOD)=90°, ∴ ∠ACB=90°. ∵ 点 C，D 的位置具有任意性， ∴ 半圆（或直径）所对的圆周角是直角. 反过来，圆周角是90°的角，所对的弦会是直径吗？ 探究 如图 ，在以点 O 为圆心的圆中，∠ACB=90°，AB 为 ∠ACB 所对的弦，AB是直径吗？ 如图，连接 CD 与 ⊙O 交于点 D，连接 BO，AO. ∵∠ACB=∠BCD+∠ACD=90°, ∠BCD∠BOD，∠ACD∠AOD, ∴∠ACB(∠BOD+∠AOD)=90°, ∴∠BOD+∠AOD=180°. ∵ ∠BOD 和 ∠AOD 具有共同的顶点和一条共同的边， ∴ ∠AOB=180°，∴ A,O,B 三点共线， ∴ AB 是圆的直径. ∵ ∠ACB 的位置具有任意性， ∴ 90°的圆周角所对的弦是直径. 进一步，可以得到下面的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 如图，BC 是 ⊙O 的直径，A 是 ⊙O 上一点，∠OAC=32°，则 ∠B 的度数是（ ） A. 58° B. 60° C. 64° D. 68° 例3 解析：方法一 ∵ BC 是直径， ∴ ∠BAC=90°，依据“直径所对的圆周角是直角” ∴ ∠OAB=∠BAC-∠OAC=90°-32°=58°. ∵ OA=OB，∴ ∠B=∠OAB=58°. 方法二 ∵ OA=OC，∴ ∠C=∠OAC=32°， ∴ ∠AOC=180°-32°-32°=116°， ∴ ∠B=∠AOC=58°. 将求圆周角的度数转化为求对应的圆心角的度数 A 如图，⊙O 的直径 AB 的长为10，弦 AC 的长为6，∠ACB 的平分线交 ⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长. 例4 分析：解决与圆有关的问题，关键在于分析圆心角、圆周角、直径和弦之间的关系. 由 AB 是直径，可知圆周角 ∠ACB=∠ADB=90°； 由圆周角 ∠ACD=∠BCD，可知它们相应的圆心角相等，进而得到弦 AD=BD. 如图，⊙O 的直径 AB 的长为10，弦 AC 的长为6，∠ACB 的平分线交 ⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长. 例4 解：如图，连接 OD. ∵ AB 是 ⊙O 的直径，∴ ∠ACB=∠ADB=90°. ∵在 Rt△ABC 中，AB=10，AC=6,∴ BC8. ∵ CD 平分 ∠ACB,∴ ∠ACD=∠BCD. 在 ⊙O 中，∠AOD=2∠ACD，∠BOD=2∠BCD, ∴ ∠AOD=∠BOD.∴ AD=BD. 又在 Rt△ABD 中，, ∴ AD=BD. [石家庄期中]如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点E在 上，若∠ABC＝50°，求∠BEC的度数． 返回 5. 解：∵AB＝AC，∠ABC＝50°， ∴∠ACB＝∠ABC＝50°， ∴∠A＝180°－50°－50°＝80°， ∴∠BEC＝∠A＝80°. 举一反三 如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是(　　) A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D 返回 6. D 举一反三 返回 7. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A＝40°，则∠B的度数为(　　) A．80° B．60° C．50° D．40° C 举一反三 返回 8. 一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12 cm，BC＝5 cm，则圆形镜面的直径为(　　) A．12 cm B．13 cm C．14 cm D．15 cm B 举一反三 返回 9. 如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且CA＝CB，连接CD，BD，求∠D的度数． 解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°. ∵CA＝CB，∴∠CAB＝45°， ∴∠D＝∠CAB＝45°. 举一反三 31 返回 10. 如图，AD是半圆O的直径，点B，C在半圆上，且 ，点P在 上．若∠PCB＝130°，则∠PBA等于(　　) A．105° B．100° C．90° D．70° B 举一反三 32 返回 11. 如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在以AB为直径的半圆上，连接CD交AB于点E，若∠AEC＝70°，则 所对的圆心角的度数是(　　) A．25° B．35° C．50° D．70° C 举一反三 33 返回 12. [石家庄长安区期中]如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径．已知∠ACD＝∠DBC，CD＝ ，AB＝3，那么BC的长为(　　) A．3 B．2.5 C．5 D．4 D 举一反三 34 13. 【情境题 生活应用】如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上安装这样的监视器________台． 4 返回 举一反三 14. [连云港中考]如图，AB是圆的直径，∠1，∠2，∠3，∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1，∠4的一边分别经过点A，B，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________°. 90 返回 举一反三 15. [安徽中考]如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交⊙O于另一点F，FA＝FE. (1)求证：CD⊥AB； 返回 举一反三 证明：∵FA＝FE，∴∠FAE＝∠AEF. ∵∠FAE与∠BCE都是所对的圆周角，∴∠FAE＝∠BCE. ∵∠AEF＝∠CEB，∴∠CEB＝∠BCE. ∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， ∴∠CEB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＝∠ACB＝90°， ∴∠CDE＝90°，∴CD⊥AB. 返回 举一反三 返回 (2)设FM⊥AB，垂足为M，若OM＝OE＝1，求AC的长． 解：由(1)知∠BEC＝∠BCE，∴BE＝BC. ∵AF＝EF，FM⊥AB，∴MA＝ME＝OM＋OE＝2，∴AE＝4， ∴圆的半径OA＝OB＝AE－OE＝3， ∴AB＝6，BC＝BE＝OB－OE＝2. 在△ABC中，∵AB＝6，BC＝2，∠ACB＝90°， 举一反三 16. 【核心素养 模型观念】如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝6，E是平面内的一个动点，连接AE，DE，在运动的过程中，AE始终垂直于DE，将AE绕点A顺时针旋转90°得到AF，连接CF，则CF的最大值为________． 返回 举一反三 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等； 半圆（或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 圆周角定理 课堂小结 谢谢观看 THANKS Lavf57.25.100 ＝＝ ∴AC＝＝4 . ＋3 $