25.2.1 配方法（第2课时）课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“配方法解一元二次方程”，通过回顾上节课直接开平方法及旧题变形，引导学生发现一般方程需补充常数项转化为完全平方形式，搭建新旧知识学习支架。 其亮点在于以问题驱动探究，结合完全平方公式推理“一次项系数一半的平方”的补充方法，分层设计不同系数及无解例题，培养学生抽象能力与推理意识。课堂练习覆盖基础与综合应用，助力学生形成模型意识，教师可高效开展教学。

25.2.1配方法（第2课时） 2026-2027学年人教版数学九年级上册 第25章 一元二次方程 1 上节课我们学习了直接开平方法，知道形如 x2＝p 或 (x＋n)2＝p（ p≥0）的一元二次方程，可以用直接开平方的方法降次求解． 那么，对于任意一个一元二次方程，是否都能转化为这种可以直接降次的形式再求解呢？ 问题 回顾上节课课堂练习第（6）题：x2－4x＋4＝5，我们当时是如何求解这个方程的？ (x－2)2＝5 x2－4x＋4＝5 写成完全平方式 直接开平方 x－2＝ 一般形式 x2－4x－1＝0 能直接开平方求解吗？ 左边不是完全平方式，不能直接开平方求解. 问题 回顾上节课课堂练习第（6）题：x2－4x＋4＝5，我们当时是如何求解这个方程的？ (x－2)2＝5 x2－4x＋4＝5 写成完全平方式 一般形式 x2－4x－1＝0 ① ② 两个方程结构上有什么联系？为什么①可以化成完全平方式，②却不行？能不能通过适当变形，把②也转化为完全平方的形式？ 两个方程都含有x2－4x； 方程①左边有一个常数4，正好能构成完全平方式； 方程②左边缺少合适的常数． 问题 回顾上节课课堂练习第（6）题：x2－4x＋4＝5，我们当时是如何求解这个方程的？ (x－2)2＝5 x2－4x＋4＝5 写成完全平方式 一般形式 x2－4x－1＝0 ① ② 能否利用等式的性质，对方程②做恒等变形，补上合适的常数，构造出完全平方式？ 两个方程都含有x2－4x； 方程①左边有一个常数4，正好能构成完全平方式； 方程②左边缺少合适的常数． x2－4x＝1 移项 问题 回顾上节课课堂练习第（6）题：x2－4x＋4＝5，我们当时是如何求解这个方程的？ (x－2)2＝5 x2－4x＋4＝5 写成完全平方式 一般形式 x2－4x－1＝0 ① ② 能否利用等式的性质，对方程②做恒等变形，补上合适的常数，构造出完全平方式？ x2－4x＝1 移项 x2－4x＋4＝1＋4 两边同时加4 配方法 给方程“配”上适当的常数，使其左边成为完全平方式． 怎样解方程 x2＋6x＋4＝0？ 问题 分析：通过补充适当的常数，将原方程的左边转化为完全平方式，从而利用直接开平方法求解． 移项：x2＋6x ＝－4 ＋？ (x＋n)2＝p) 目标形式 转化的依据是什么？ 怎样解方程 x2＋6x＋4＝0？ 问题 完全平方公式 a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2． x2＋6x＋?＝－4 a2＝x2 a＝x 2ab＝6x b＝3 b2＝9 x2＋6x＋9＝－4＋9 两边同时加9 这个数由什么决定？ 2ab＝2×x×b＝6x 问题 x2＋6x＋9＝－4＋9 x2－4x＋4＝1＋4 将方程左边的二次三项式配成完全平方式时，所添常数恰好是“一次项系数一半的平方”，并且根据等式的基本性质，两边需同时加上这个数． 怎样解方程 x2＋6x＋4＝0？ 问题 解：移项，得 x2＋6x＝－4． 配方，得 x2＋6x＋32＝－4＋32， (x＋3)2＝5． 由此可得，x＋3＝ 完全平方形式 新知 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法． 配方法的基本思路：把方程化为 (x＋n)2＝p 的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解． 配方法的关键：当二次项系数为 1 时，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 例　解下列方程： （1）x2－8x＋1＝0；（2）2x2＋1＝3x；（3）3x2－6x＋4＝0． 分析：（1）移项，两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，直接开平方求解． 解：（1）移项，得 x2－8x＝－1． 配方，得 x2－8x＋42＝－1＋42， (x－4)2＝15． 由此可得 x－4＝ 例　解下列方程： （1）x2－8x＋1＝0；（2）2x2＋1＝3x；（3）3x2－6x＋4＝0． 解：（2）方法一： 移项，得 2x2－3x＝－1． 二次项系数化为 1，得 配方，得 由此可得 例　解下列方程： （1）x2－8x＋1＝0；（2）2x2＋1＝3x；（3）3x2－6x＋4＝0． 解：（2）方法二： 移项，得 2x2－3x＝－1． 配方，得 由此可得 计算繁琐，容易出错 例　解下列方程： （1）x2－8x＋1＝0；（2）2x2＋1＝3x；（3）3x2－6x＋4＝0． 先将二次项系数化为1的方法通用性更强、条理更清晰． 例　解下列方程： （1）x2－8x＋1＝0；（2）2x2＋1＝3x；（3）3x2－6x＋4＝0． 解：（3）移项，得 3x2－6x＝－4． 二次项系数化为 1，得 x2－2x＝ 配方，得 x2－2x＋12＝ 因为实数的平方不会是负数，所以 x 取任何实数时，(x－1)2 都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根． 先将二次项系数化为1，再利用配方法求解． 通过配方，可以将一元二次方程转化为 (x＋n)2＝p 的形式，结合以上三个方程的求解过程，说一说 (x＋n)2＝p 的根的情况是怎样的？ （2）当 p＝0 时，方程有两个相等的实数根： x1＝x2＝－n； （3）当 p＜0 时，因为对任意实数 x，都有(x＋n)2≥0，所以方程无实数根． （1）当 p＞0 时，方程有两个不等的实数根： x1＝－n＋ ，x2＝－n－ ； 归纳 利用配方法解一元二次方程的一般步骤 （1）移项：将常数项移到方程的右边； （2）化 1：二次项系数化为 1； （3）配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，方程左边化为完全平方式； （4）求解：直接开平方求解． 1．填空： （1）x2＋10x＋ ＝(x＋ )2； （2）x2－12x＋ ＝(x－ )2； （3）x2＋5x＋ ＝(x＋ )2； （4）x2－ x＋ ＝(x－ )2． 二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方． 25 5 36 6 解：（1）移项，得 x2＋10x＝－9． 配方，得 x2＋10x＋52＝－9＋52， (x＋5)2＝16． 由此可得 x＋5＝±4， x1＝－1，x2＝－9． 2．解下列方程： （1）x2＋10x＋9＝0； （2）x2－x－ 方程两边同时加上一次项系数一半的平方 解：（2）移项，得 x2－x＝ 配方，得 由此可得 2．解下列方程： （1）x2＋10x＋9＝0； （2）x2－x－ 方程两边同时加上一次项系数一半的平方 2．解下列方程： （3）3x2＋6x－4＝0； （4）4x2－6x－3＝0； 解：（3）移项，得 3x2＋6x＝4． 二次项系数化为 1，得 配方，得 由此可得 先将二次项系数化为1，再配方求解 2．解下列方程： （3）3x2＋6x－4＝0； （4）4x2－6x－3＝0； 解：（4）移项，得 4x2－6x＝3． 二次项系数化为 1，得 配方，得 由此可得 先将二次项系数化为1，再配方求解 2．解下列方程： （5）x2＋4x－9＝2x－11； （6）x(x＋4)＝8x＋4． 解：（5）移项，得 x2＋2x＝－2． 配方，得 x2＋2x＋12＝－2＋12， (x＋1)2＝－1． 因为实数的平方不会是负数，所以 x 取任何实数时，(x＋1)2 都是非负数，上式都不成立，所以原方程无实数根． 先移项整理，再利用配方法求解 2．解下列方程： （5）x2＋4x－9＝2x－11； （6）x(x＋4)＝8x＋4． 解：（6）去括号，移项，得 x2－4x＝4． 配方，得 x2－4x＋22＝4＋22， (x－2)2＝8． 由此可得 先移项整理，再利用配方法求解 配方法解一元二次方程 配方法的概念 配方法的关键 配方法的步骤 移项：将常数项移到方程的右边 化 1：二次项系数化为 1 配方：同加一次项系数一半的平方 求解：直接开平方求解 配成完全平方形式来解一元二次方程 方程两边同加一次项系数一半的平方 谢谢 $