25.2.2 公式法 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的公式法，核心内容包括根的判别式及求根公式。课堂导入通过复习配方法的定义、步骤及应用搭建学习支架，引导学生从配方法解特殊方程过渡到推导一般式方程的解，形成从特殊到一般的知识脉络。 其亮点在于以推导求根公式为主线，渗透转化与化归思想，通过分类讨论判别式取值培养学生的抽象能力和推理能力。如含字母系数方程的变式题，强化应用意识。学生能提升代数推理和运算能力，教师可借助完整流程和丰富例题高效教学。

（人教版）九年级上 第二十五章 一元一次方程 25.2.2 公式法 22051 2 1.经历“配方法解一般式方程→推导求根公式→归纳解题步骤→应用 解题”的完整过程，体会从特殊到一般、转化与化归的数学思想。通 过分类讨论判别式的取值情况，培养分类探究、归纳总结的学习能 力，提升代数推理和运算能力. 学习目标 22051 配方法 定义 通过配成完全平方的形式解一元二次方程的方法. 步骤 一.移常数项； 二.配方[配上 ]； 三.写成（x+n)2=p (p ≥0); 四.直接开平方法解方程. 特别提醒： 在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式. 应用 求代数式的最值或证明 复习导入 22051 探究 任何一个一元二次方程都可以化成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0). 能否用配方法得出它的解呢？ 我们根据用配方法解一元二次方程的经验解决这个问题. 移项，得 二次项系数化为 1，得 新知讲解 22051 探究 配方，得 即 任何一个一元二次方程都可以化成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0). 能否用配方法得出它的解呢？ 22051 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 没有实数根 两个实数根 判别式的情况 根的情况 我们把b2−4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“Δ”表示，即 Δ= b2−4ac. Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 Δ ≥ 0 探究点1：一元二次方程的根的判别式 22051 6 按要求完成下列表格： 的值 0 4 根的 情况 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个不相等的实数根 Δ 探究点1：一元二次方程的根的判别式 22051 7 探究 因为a≠0，所以4a2>0.式子 b2– 4ac 的值有以下三种情况： （1）当 b2–4ac>0 时，>0，由①得 x + =± . 方程有两个不相等的实数根 x1 = ，x2 = . 22051 探究 （2）当 b2–4ac=0 时，=0，由①可知，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = – . （3）当 b2–4ac<0 时，<0，由①可知(x + )2 <0，而 x取任何实数都不能使 (x + )2 <0 成立，因此方程无实数根. 22051 例1 已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是( ) A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根 C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定 解析：原方程变形为x2+x−1=0. ∵b2−4ac=1−4×1×(−1)=5＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根，故选B. B 探究点1：一元二次方程的根的判别式 22051 10 例2 不解方程，判断下列方程的根的情况． （1）3x2+4x−3=0； （2）4x2=12x−9. 解：（1）3x2+4x−3=0，a=3，b=4，c=−3， ∴b2−4ac=42−4×3×(−3)=52＞0. ∴方程有两个不相等的实数根． （2）方程化为：4x2−12x+9=0， ∴b2−4ac=(−12)2−4×4×9=0. ∴方程有两个相等的实数根． 探究点1：一元二次方程的根的判别式 22051 判别式的情况 一元二次方程根的情况 两个不相等实数根 两个相等实数根 没有实数根 两个实数根 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 Δ≥0 一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2－4ac． ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 22051 试一试 一元二次方程 Δ的值 根的情况 按要求填表： 0 4 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个不相等的实数根 22051 判断一元二次方程根的情况的方法： 方程整理为一般形式 ax2+bx+c=0 b2 −4ac > 0 b2− 4ac = 0 b2− 4ac＜ 0 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 探究点1：一元二次方程的根的判别式 【归纳总结】 22051 例3 若关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是( ) A.q≤4 B.q≥4 C.q<16 D.q>16 C 解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2−4ac>0，即 .解得q＜16，故选C. 探究点1：一元二次方程的根的判别式 22051 15 求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的结果．解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 当Δ≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式． 22051 一化：把一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0). 二定：确定a,b,c的值，不要漏掉符号. 三算：计算 △=b2-4ac 确定方程根的情况 四求： 当△>0 时，方程有两个不相等的实数根; 当△=0 时，方程有两个相等的实数根; 当△<0 时，方程无实数根. 用公式法解一元二次方程的步骤 22051 【变式题】二次项系数含字母 若关于x的一元二次方程kx2−2x−1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A.k>−1 B.k>−1且k≠0 C.k<1 D.k<1且k≠0 B 方法指导： 当一元二次方程二次项系数为字母时，一定要注意二次项系数不为0，再根据根的判别式求字母的取值范围. 方程有两个不相等的实数根 分析： 二次项系数不为0 k≠0 k>−1且k≠0 探究点1：一元二次方程的根的判别式 22051 18 【变式题】删除限制条件“二次” 若关于x的方程kx2 − 2x −1=0有实数根，则k的取值范围是( ) A.k≥ −1 B.k≥ −1且k≠0 C.k<1 D.k<1且k≠0 分析： 分类讨论 k=0 k≠0 原方程变形为 −2x−1=0，有实数根 b2 − 4ac≥0 k≥ −1 A 探究点1：一元二次方程的根的判别式 22051 公式法求解一元二次方程的两点注意 （1）必须先将方程化成一般形式，再确定a，b，c的值． （2）当b2－4ac≥0时，方程有实数根； 当b2－4ac＜0时，求根公式不成立，此时方程无实数根． 22051 2．一元二次方程x2－5x＋7＝0的根的情况是（　　） A A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 　D．有两个实数根 1. 利用求根公式求5x2+=6x的根时，a，b，c的值分别是（ ）   C 课堂练习 22051 公式法解方程的步骤： 1.变形：化已知方程为一般形式； 2.确定系数：用a，b，c写出各项系数； 3.计算：b2−4ac的值； 4.判断：若b2−4ac ≥0，则利用求根公式求出； 若b2−4ac<0，则方程没有实数根. 探究点3：运用公式法解一元二次方程 【归纳总结】 22051 22 3．若关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个相等的实数根，则 (　 ) A．k＝－4　　　　B．k＝4　　　C．k≥－4　　　　D．k≥4 B 4．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是关于x的方程x2－6x＋8＝0的一个解，则这个三角形的周长为_______． 13 22051 1.通过本课的学习，你学到了哪些内容？ 2.学习了本课你有何感想？ 请畅所欲言. 22051 24 公式法 求根公式 步骤 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（Δ值）； 四判（方程根的情况）； 五代（求根公式计算）. 根的判别式b2−4ac 务必将方程化为一般形式 22051 谢谢大家聆听 22051 $