25.2.1 配方法 第2课时 (课件) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦配方法解一元二次方程，通过复习完全平方公式，结合填空探索常数项与一次项系数关系，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生理解配方原理。 其亮点是以问题链驱动探究，通过“一移二化三配四开五解”步骤归纳培养数学思维中的推理意识和运算能力，结合例题、练习及模型观念的第n个方程求解，学生能发展有条理的解题能力，教师可通过结构化内容提升教学效率。

复习回顾 完全平方公式： a2 + 2ab + b2 = ( ______ )2 a2 – 2ab + b2 = ( ______ )2 a + b a – b 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍. 人教版九年级上册 25.2 降次——解一元二次方程 第二十五章 一元二次方程 25.2.1 配方法 第2课时 配方法 填空： （1）x2 + 10x + ___ = ( x + ___ )2； （2）x2 – 12x + ___ = ( x – ___ )2； （3）x2 + 5x + ___ = ( x + ___ )2； （4）x2 – x + ___ = ( x – ___ )2. 25 5 36 6 观察这几个式子，你发现了什么规律？ x2±2mx+(m)2=(x±m)2 二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方. 探索新知 怎样解方程 x2+6x+4=0？ 问题1：怎样把方程变成 (x+n)2=p 的形式呢？ x2+6x+4=0 x2+6x= – 4 移项 x2+6x+9= – 4+9 两边都加9 使左边配成 x2+2mx+m2的形式 (x+3)2=5 左边写成完全平方形式 问题2：为什么在方程 x2+6x= – 4 的两边加9？加其他数行吗？ 不行，因为只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能配成完全平方式. 知识点1 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 像上面那样，通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 基本思路：把方程化为 (x+n)2=p 的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解. 方法：在方程两边都加上一次项系数一半的平方. 注意：在二次项系数为1的前提下进行的. 知识点1 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 怎样解方程 x2+6x+4=0？ x2+6x+4=0 x2+6x= – 4 移项 x2+6x+9= – 4+9 两边都加9 使左边配成 x2+2mx+m2的形式 (x+3)2=5 左边写成完全平方形式 x+3=± 降次 x1= – 3+， x2= – 3 – x+3=，或x+3= – 解一次方程 知识点1 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 例2 解下列方程： x2 – 8x+1 = 0； 解：（1）移项，得 x2 – 8x = –1. 配方，得 x2 – 8x+42 = –1+42， (x – 4)2 = 15. 由此可得 x – 4 = ±， x1=4+，x2=4 – . 例题解析 解方程：x2－2x－4＝0. 解：移项，得x2－2x＝4. 配方，得x2－2x＋12＝4＋12， （x－1）2＝5. 由此可得x－1＝± ， x1＝1＋ ，x2＝1－ . 解：移项，得x2－2x＝4. 配方，得x2－2x＋12＝4＋12， （x－1）2＝5. 由此可得x－1＝± ， x1＝1＋ ，x2＝1－ . 对应练习 例3 解下列方程： （1）2x2 +1=3x； （2）3x2 – 6x+4=0. 解：（1）移项，得 2x2 – 3x = – 1. 二次项系数化为1，得 x2 – x = – . 配方，得 x2 – x + ()2 = – + ()2 ， (x – )2 = . 由此可得 x – = ±，x1=1，x2= . 知识点2 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 例3 解下列方程： （1）2x2 +1=3x； （2）3x2 – 6x+4=0. 解：（2）移项，得 3x2 – 6x = – 4. 二次项系数化为1，得 x2 – 2x = – . 配方，得 x2 – 2x + 12 = – + 12 ， (x – 1)2 = – . 因为实数的平方不会是负数，所以 x 取任何实数时， (x – 1)2都是非负数，上式都不成立，所以原方程无实数根. 知识点2 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 归纳总结 用配方法解 一元二次方程 将常数项移到方程的右边 二次项系数化为1 利用平方根的意义直接开平方 解两个一元一次方程 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 一移 二化 三配 四开 五解 解方程：2x2＋4x－2＝0. 解：移项，得2x2＋4x＝2. 二次项系数化为1，得x2＋2x＝1. 配方，得x2＋2x＋12＝1＋12， （x＋1）2＝2. 由此可得x＋1＝± ， x1＝－1＋ ，x2＝－1－ . 解：移项，得2x2＋4x＝2. 二次项系数化为1，得x2＋2x＝1. 配方，得x2＋2x＋12＝1＋12， （x＋1）2＝2. 由此可得x＋1＝± ， x1＝－1＋ ，x2＝－1－ . 对应练习 一般地，一元二次方程可以通过配方转化为 (x+n)2=p 的形式. 归纳总结 （1）当 p>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根 x1 = – n + ，x2 = – n – ； （2）当 p=0 时，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = – n ； （3）当 p<0 时，因为对任意实数x，都有(x+n)2 ≥ 0，所以方程无实数根. 1. 填空： (1)x2＋8x＋ ＝(x＋ )2； (2)x2－7x＋ 　 　＝ . 16　 4　 　 课堂练习 A层 基础练 2. 若将一元二次方程x2＋8x－9＝0化成(x＋m)2＝n的形式， 则m，n的值分别是(　A　) A. 4，25 B. －4，25 C. －2，5 D. －8，73 A A层 基础练 3. 解下列方程： (1)x2＋6x＋5＝0； 解：(1)移项，得x2＋6x＝－5. 配方，得x2＋6x＋32＝－5＋32， (x＋3)2＝4. 由此可得x＋3＝±2， x1＝－1，x2＝－5. 解：(1)移项，得x2＋6x＝－5. 配方，得x2＋6x＋32＝－5＋32， (x＋3)2＝4. 由此可得x＋3＝±2， x1＝－1，x2＝－5. A层 基础练 (2) x2－6x－7＝0； (2)二次项系数化为1，得x2－12x－14＝0. 移项，得x2－12x＝14. 配方，得x2－12x＋62＝14＋62， (x－6)2＝50. 由此可得x－6＝±5 ， x1＝6＋5 ，x2＝6－5 . (2)二次项系数化为1，得x2－12x－14＝0. 移项，得x2－12x＝14. 配方，得x2－12x＋62＝14＋62， (x－6)2＝50. 由此可得x－6＝±5 ， x1＝6＋5 ，x2＝6－5 . 3. 解下列方程： A层 基础练 (3)4x2＋6x－3＝0. (3)移项，得4x2＋6x＝3. 二次项系数化为1，得x2＋ x＝ . 配方，得x2＋ x＋ ＝ ＋ ， ＝ . 由此可得x＋ ＝± ， 3. 解下列方程： x1＝ ，x2＝ . A层 基础练 4. 若规定两数a，b通过运算“※”得4ab，即a※b＝4ab. 例如2※6＝4×2×6＝48，则： (1)2※ 的值为 　16 　； (2)若x※x＋2※x－2※4＝0，则x的值为 ⁠. 16 　 2或－4　 B层 提升练 5. 求证：无论m为何值，关于x的方程(m2－4m＋5)x2＋2x－ 7＝0都是一元二次方程. 证明：∵m2－4m＋5＝(m2－4m＋4)＋1＝(m－2)2＋1≥1， ∴m2－4m＋5≠0. ∴无论m为何值，关于x的方程(m2－4m＋5)x2＋2x－7＝0都 是一元二次方程. 证明：∵m2－4m＋5＝(m2－4m＋4)＋1＝(m－2)2＋1≥1， ∴m2－4m＋5≠0. ∴无论m为何值，关于x的方程(m2－4m＋5)x2＋2x－7＝0都 是一元二次方程. B层 提升练 6. (核心素养·模型观念)有n个方程： x2＋2x－8＝0； x2＋2×2x－8×22＝0； … x2＋2nx－8n2＝0. 小静同学解第1个方程x2＋2x－8＝0的步骤如下： 解：移项，得x2＋2x＝8.…………………………① 等号两边同时加上1，得x2＋2x＋1＝8＋1.……② 配方，得(x＋1)2＝9，……………………………③ x＋1＝±3.………………………………………④ 由此可得x＝1±3，………………………………⑤ x1＝4，x2＝－2.…………………………………⑥ (1)小静的解法是从步骤 (填序号)开始出现错误的；(2)解：移项，2， (x＋n)2＝9n2. 由此可得x＋n＝±3n， x1＝2n，x2＝－4n. ⑤　 C层 拓展练 (2)用配方法解第n个方程：x2＋2nx－8n2＝0.(用含n的式子 表示方程的根) (2)解：移项，得x2＋2nx＝8n2. 配方，得x2＋2nx＋n2＝8n2＋n2， (x＋n)2＝9n2. 由此可得x＋n＝±3n， x1＝2n，x2＝－4n. (2)解：移项，得x2＋2nx＝8n2. 配方，得x2＋2nx＋n2＝8n2＋n2， (x＋n)2＝9n2. 由此可得x＋n＝±3n， x1＝2n，x2＝－4n. C层 拓展练 $