25.1一元二次方程的概念课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式及解，通过人体雕像设计、矩形铁皮制方盒等现实问题导入，衔接一元一次方程等旧知，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以问题驱动探究，如排球邀请赛问题引导学生用数学眼光抽象等量关系，通过归纳方程共同点培养推理意识，类比一元一次方程形成一般形式强化模型意识。助力学生提升数学思维，教师可依托实例优化教学。

25.1一元二次方程的概念 2026-2027学年人教版数学九年级上册 第25章 一元二次方程 1 1．一元一次方程： 只含有一个未知数，含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是 1．一般形式是 ax＋b＝0（a≠0）． 2．二元一次方程： 含有两个未知数，含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是 1．一般形式是 ax＋by＋c＝0（a≠0，b≠0）． 3．分式方程： 分母中含有未知数的方程．如 ＝5． 我们在七年级学习了一元一次方程、二元一次方程（组），在八年级学习了分式方程，知道方程是一类应用广泛的数学模型，常用来刻画并解决现实生活中存在等量关系的问题． 本章我们将学习一类新的方程．章引言中提出了一个关于人体雕像设计的问题，我们一起来看一看． 在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感．如果某人体雕像全身长为 5 m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？ 问题 A C B AC BC AB AB＝5 AC ∶BC＝BC ∶5 BC2＝5AC 比例的性质 x 5－x x2＝5(5－x) x2＋5x－25＝0 整理，化简 ① 只有一个未知数 x； ② 未知数的最高次数为 2． 如图，有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm．在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为 3 600 cm2，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？ 问题1 100 50 分析：制作无盖方盒时，盒底的长和宽与原铁皮边长、剪去的正方形边长存在怎样的数量关系？ x 100－2x 50－2x (100－2x)(50－2x )＝3 600 如图，有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm．在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为 3 600 cm2，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？ 问题1 100 50 x 100－2x 50－2x (100－2x)(50－2x )＝3 600 x2－75x＋350＝0 ① 只有一个未知数 x； ② 未知数的最高次数为 2． 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛 1 场）．根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 问题2 分析：设有 x 支球队参赛，则每支球队要与其他(x－1)支球队各赛 1 场．比赛的总场次是否为 x(x－1)? 每场比赛都被重复计算了两次 A → B B → A 实际总场次为 共 28 场比赛 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛 1 场）．根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 问题2 整理，化简 x2－x－56＝0 ① 只有一个未知数 x； ② 未知数的最高次数为 2． 观察上述三个方程，它们有什么共同点？ 问题3 ① x2＋5x－25＝0； ② x2－75x＋350＝0； ③ x2－x－56＝0． 共同点：1.只含有一个未知数 x; 2.未知数 x 的最高次数是 2; 3.都是整式方程． 如何判断？ 含未知数的式子都是整式，没有出现分母中含有未知数的情况 新知 一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是 2，这样的方程叫作一元二次方程． 一元一次方程 一般形式 ax＋b＝0（a≠0） ax2＋bx＋c＝0（a≠0） 一般形式 一元二次方程 类比 一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）． 问题4 当 a＝0 时，方程转化为 bx＋c＝0．(一元一次方程) 为什么要规定a≠0？ 是否可以为0？ 当 b＝0，c＝0 时，方程可以写成 ax2＝0． 当 b＝0，c≠0 时，方程可以写成 ax2＋c＝0． 当 b≠0，c＝0 时，方程可以写成 ax2＋bx＝0． 一元二次方程的特殊形式 ax2＋bx＋c＝0（a≠0），b 和 c 为任意实数． 问题4 二次项 一次项 常数项 一次项系数 二次项系数 举例：3x2－4x－5＝0． 二次项：3x2；二次项系数：3； 一次项：－4x；一次项系数：－4； 常数项：－5． 确定系数时要包括前面的符号． 判断下列式子是否是一元二次方程？若不是，请说明理由． 练习 （1）ax2＋bx＋c＝0； （2） （3） （4）x2－3x＝x(x＋2)； （5）x3－3x2＋1＝0． a可能等于0 × 分式 × √ 化简后，得－5x＝0 × 最高次数为3 × 判断一个方程是否为一元二次方程时，不能直接依据原始形式判断，需要先对方程化简：通过去分母、去括号、移项、合并同类项整理方程，再对照定义作出判断． 一元二次方程的四个特征 归纳 （1）只含有一个未知数； （2） 未知数的最高次数为 2； （3）含有未知数的项为整式； （4） 二次项前的系数不为 0． 我们已经掌握了一元二次方程的概念，了解了它的一般形式，和一元一次方程一样，一元二次方程同样存在能使等式成立的未知数的值，也就是方程的解，下面我们一起来探究一元二次方程解的概念． 对于刚才得到的方程 x2－x－56＝0，下列哪些数是这个方程的解？为什么？ 问题5 当 x＝－7 时，(－7)2－(－7)－56＝49＋7－56＝0， 所以 x＝－7 是该方程的解； 当 x＝0 时，02－0－56＝0－0－56＝－56≠0， 所以 x＝0 不是该方程的解； －7，0，3，5，8． 使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解． 对于刚才得到的方程 x2－x－56＝0，下列哪些数是这个方程的解？为什么？ 问题5 当 x＝3 时，32－3－56＝9－3－56＝－50≠0， 所以 x＝3 不是该方程的解； 当 x＝5 时，52－5－56＝25－5－56＝－36≠0， 所以 x＝5 不是该方程的解； 当 x＝8 时，82－8－56＝64－8－56＝0， 所以 x＝8 是该方程的解． 使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解． －7，0，3，5，8． 新知 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根． 例　将方程 3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 分析：把一元二次方程化为一般形式的步骤： 解：去括号，得 3x2－3x＝5x＋10． 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2－8x－10＝0． 它的二次项系数为 3，一次项系数为－8，常数项为－10． 去括号 移项 合并同类项 按未知数的次数降幂排列 解：（1）一般形式为 5x2－4x－1＝0． 它的二次项系数为 5，一次项系数为－4，常数项为－1； （2）一般形式为 4x2－81＝0． 它的二次项系数为 4，一次项系数为 0，常数项为－81； 1．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）5x2－1＝4x； （2）4x2＝81； ax2＋bx＋c＝0（a≠0） 在一元二次方程中，写系数时要连同前面的符号一起写．若方程中不存在某一项，则它的系数为 0． 解：（3）去括号，得 4x2＋8x＝25． 移项，得一般形式为 4x2＋8x－25＝0． 它的二次项系数为 4，一次项系数为 8，常数项为－25； （4）去括号，得 3x2＋3x－2x－2＝5x－2． 移项、合并同类项，得一般形式为 3x2－4x＝0． 它的二次项系数为 3，一次项系数为－4，常数项为 0． 1．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： （3）4x(x＋2)＝25； （4）(3x－2)(x＋1)＝5x－2． ax2＋bx＋c＝0（a≠0） 2．根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： （1）4 个完全相同的正方形面积之和是 25，求正方形的边长； （2）一个矩形的长比宽多 2，面积是 100，求矩形的长； 解：（1）设正方形的边长为 x，根据题意列方程，得 4x2＝25， 化为一般形式，为 4x2－25＝0； （2）设矩形的长为 x，根据题意列方程，得 x(x－2)＝100， 化为一般形式,为 x2－2x－100＝0； 解：（3）设较短一段木条的长为 xm，根据题意列方程，得 x·1＝(1－x)2，化为一般形式，为 x2－3x＋1＝0． 2．根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： （3）把长为 1m 的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方．求较短一段的长． 一元二次方程 概念 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解（根） 解（根） 一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是 2，这样的方程叫作一元二次方程 一般形式 ax2＋bx＋c＝0（a≠0） $