25.1 一元二次方程的概念 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦九年级上册“一元二次方程的概念”，涵盖定义、一般形式及根的知识。通过雷锋雕像设计比例、矩形铁皮制作方盒等实际问题导入，衔接一元一次方程，引导学生对比发现未知数最高次数差异，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以实际情境培养数学眼光，通过问题探究与对比辨析发展数学思维，如用排球邀请赛问题抽象方程，表格对比一元一次与二次方程。实例丰富且注重应用，帮助学生形成模型意识，教师可借助清晰结构提升教学效率。

（人教版）九年级上 第二十五章 一元一次方程 25.1 一元二次方程的概念 22051 学习目标 1.理解同底数幂的乘法的性质，能正确地运用性质解决一些简单问题. 2.会用数学的思维推导“同底数幂的乘法的性质”，初步理解从特殊到一般，再由一般到特殊的认知规律. 22051 含30°角的直角三角形的性质 使用要点 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 内容 ①分清30 °的角所在的直角边 ②作辅助线，构造直角三角形 前提条件：直角三角形中 注意 ①倍长法；②截半法 证题方法 复习导入 22051 雷锋是共产主义战士、最美奋斗者，他无私奉献的精神影响了一代又一代的中国人．在国内有多处雷锋雕像，那么你知道这些雕像是怎么设计的吗？ 解：列方程得 整理得　x 2 + 2x - 4 = 0．① x 2 = 2(2 - x )， 想一想，上述方程与以往我们学过的方程有什么联系和区别？ 等量关系： AC：BC=BC：AB 即BC2=AB•AC 22051 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程. ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0) ax2 称为二次项, a 称为二次项系数. bx 称为一次项, b 称为一次项系数. c 称为常数项. 一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式是 22051 想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？ 当 a = 0 时 bx＋c = 0 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， ax2＋c = 0 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， ax2＋bx = 0 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ， ax2 = 0 总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数. 22051 问题1 有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 100cm 50cm x 3600cm2 解：设切去的正方形的边长为xcm， 则盒底的长为(100 − 2x)cm， 宽为(50 − 2x)cm， 根据方盒的底面积为3600cm2，得 化简，得 ② 该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 探究点1：一元二次方程的概念 22051 问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛? 解：设比赛组织者应邀请x个队参加比赛，根据题意，列方程： 化简，得： 该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ ③ 探究点1：一元二次方程的概念 22051 例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ） C 不是整式方程 含两个未知数 化简整理成 x2-3x+2=0 少了限制条件 a≠0 提示 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断. 22051 例2:a为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)ax2－x=2x2 (2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0. 解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程； (2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程. 方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值． 22051 方程①、②、③都不是一元一次方程.那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 特点: ①都是整式方程; ②都只含一个未知数; ③未知数的最高次数都是2. x2-75x＋350=0 ② x2 + 2x - 4 = 0 ① x2-x-56=0 ③ 探究点1：一元二次方程的概念 22051 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫作一元二次方程. 一元二次方程的概念 ax2+bx +c = 0(a，b，c为常数， a≠0) ax2 是二次项， a 是二次项系数； bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项. 一元二次方程的一般形式是 探究点1：一元二次方程的概念 22051 例3：将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10. 系数和项均包含前面的符号. 注意 22051 一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）. 练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解? -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4 解： 3和-2. 你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根. 22051 想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？ 当 a = 0 时 bx＋c = 0 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， ax2＋c = 0 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， ax2＋bx = 0 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ， ax2 = 0 总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数. 探究点1：一元二次方程的概念 22051 判断下列方程是否为一元二次方程？ (2) x3+ x2=36 (3)x+3y=36 (5) x+1=0 √ × × × × √ × × (1) x2+ x=36 注意：未限定a≠0 探究点1：一元二次方程的概念 22051 16 例4：已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根, 求 2a2+4a+2018的值. 解：由题意得 方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值． 22051 当堂练习 1. 下列哪些是一元二次方程？ √ × √ × × √ 3x+2=5x-2 x2=0 (x+3)(2x-4)=x2 3y2=(3y+1)(y-2) x2=x3+x2-1 3x2=5x-1 22051 一元一次方程 一元二次方程 一般式 相同点 不同点 思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？ ax=b (a≠0) ax2+bx+c=0 (a≠0) 整式方程，只含有一个未知数 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2 探究点1：一元二次方程的概念 22051 一元二次方程的根 使方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根. 试一试：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解? – 4， –3， –2， –1，0，1，2，3，4 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 x2 – x– 6 14 6 0 – 4 – 6 – 6 – 4 0 6 探究点2：一元二次方程的根 22051 2.填空： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 -2 1 3 1 3 -5 4 0 -5 3 -2 22051 4.已知方程5x²+mx-6=0的一个根为4，则ｍ的值为_______． 3.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0, 当k 　　　时，是一元二次方程． 当k 　　　时，是一元一次方程． ≠±1 ＝－1 22051 问题 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三条宽相等的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？ 32 20 x 探究点3：根据实际问题列一元二次方程 22051 1.若设小路的宽是xm， 则横向小路的面积是____m2， 纵向小路的面积是 m2,两者重叠的面积是 m2. 32x 2.由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意，列出方程吗？ 整理以上方程可得 思考： 2×20x 32×20−(32x＋2×20x)＋2x2=570 2x2 x2−36x＋35=0 32 20 x 探究点3：根据实际问题列一元二次方程 22051 5.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值. 解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得 32+3a+a=0 9+4a=0 4a=-9 22051 6.若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0，有一个根为0. 求m的值. 二次项系数不为零不容忽视 解：将x=0代入方程m2-4=0， 解得m= ±2. ∵ m+2 ≠0， ∴ m ≠-2， 综上所述：m =2. 22051 审 建立一元二次方程模型的一般步骤 设 找 列 审题，弄清已知量与未知量之间的关系 设未知数 找出等量关系 根据等量关系列方程 探究点3：根据实际问题列一元二次方程 22051 1.通过本课的学习，你学到了哪些内容？ 2.学习了本课你有何感想？ 请畅所欲言. 22051 28 一元二次方程 概念 是整式方程； 含一个未知数； 最高次数是2. 一般形式 ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件； 根 使方程左右两边相等的未知数的值. 22051 谢谢大家聆听 22051 $