3.1.2椭圆的几何性质课时练习2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过A级基础巩固、B级能力提升、C级素养创新三层设计，构建椭圆几何性质从概念理解到综合应用再到创新探究的完整巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|椭圆定义、短轴长、焦点、离心率等基础概念|以选择填空为主，直接考查定义辨析与公式应用，如短轴长计算、离心率比较，培养数学抽象能力| |B级|椭圆方程综合应用、离心率计算、焦点三角形等|结合多知识点，如椭圆与正方形几何关系、蒙日圆定理应用，发展逻辑推理与运算能力| |C级|动态点轨迹、参数范围、几何证明等创新情境|设置探究性问题，如动点距离最值、钝角条件下参数范围，体现数学建模与创新意识|

3.1.2　椭圆的几何性质 1.已知椭圆＋=1，则它的短轴长为(　　) A.2　　 B.4　　 C.6　　 D.8 2.已知F1，F2分别为椭圆＋=1的左、右焦点，A为上顶点，则△AF1F2的面积为(　　) A.6　　 B.15 C.6　　 D.3 3.已知椭圆x2＋2y2=2与2x2＋y2=1，则两个椭圆(　　) A．有相同的长轴与短轴　 B．有相同的焦距 C．有相同的焦点　　 D．有相同的离心率 4.下列四个椭圆的形状中，最接近于圆的椭圆是(　　) A．＋=1　　 B．＋=1 C．＋=1　　 D．＋=1 5.若椭圆C：＋=1的离心率为，则椭圆C的长轴长为(　　) A．6　　 B．或2 C．2　　 D．2或2 6.已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若△ABC是正三角形，则椭圆D的离心率是(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 7.写出一个焦点在x轴上，且离心率为的椭圆的标准方程：　　　　　　　　　　． 8.设P是椭圆C：＋=1(a＞)上任意一点，F为C的右焦点，|PF|的最小值为，则椭圆C的离心率为　　　　　　． 9.已知椭圆C1与椭圆C2：＋=1具有共同的焦点F1，F2，点P在椭圆C1上，PF1⊥PF2，　　　　．在下面三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并作答． ①椭圆C1经过点(5，0)；②椭圆C1的短轴长为10；③椭圆C1的离心率为． (1)求椭圆C1的标准方程； (2)求△PF1F2的面积． B级　关键能力提升练 10.已知椭圆的中心在原点，对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，则这个椭圆的方程为(　　) A．＋=1 B．＋=1或＋=1 C．＋=1 D．＋=1 11.椭圆＋=1与椭圆＋=1(0＜k＜9)的关系为(　　) A．有相同的长轴长与短轴长 B．有相同的离心率 C．有相同的焦点 D．有相同的焦距 12.设F1，F2是椭圆E：＋=1(a＞b＞0)的两个焦点，P为直线y=a上一点，△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E的离心率为　　　　． 13.“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C：＋=1(a＞0)的离心率为，则椭圆C的蒙日圆的方程为　　　　． 14. 如图，设椭圆＋=1(a＞b＞0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，短轴的上端点为B，短轴上的两个三等分点为P，Q，且四边形F1PF2Q为正方形． (1)求椭圆的离心率； (2)若过点B作此正方形的外接圆的切线在x轴上的一个截距为－，求此椭圆的方程． C级　学科素养创新练 15.(2025扬州高二质检)已知点P是椭圆C：＋=1(a＞b＞0)上的动点，点A是椭圆C的上顶点．当P为下顶点时，|PA|取到最大值2b，则椭圆C的离心率的取值范围为　　　　． 16.已知椭圆C的离心率为，焦点F1(－2，0)，F2(2，0)． (1)求椭圆C的方程； (2)已知A(－3，0)，B(3，0)，若P(xP，yP)是椭圆C在第一象限部分上的一动点，且∠APB是钝角，求xP的取值范围． 答案： 1.B　2.D 3.D　解析　将椭圆方程x2＋2y2=2整理得＋y2=1，其焦点在x轴上，a1=，b1=1，则c1==1，所以e1===． 将椭圆方程2x2＋y2=1整理得＋y2=1，其焦点在y轴上，a2=1，b2=，则c2==，所以e2===．故选D． 4.B　解析　椭圆＋=1的离心率e1==，椭圆＋=1的离心率e2==，椭圆＋=1的离心率e3==，椭圆＋=1的离心率e4==，显然0＜e2＜e4＜e1=e3＜1，所以最接近于圆的椭圆是＋=1. 5.D　解析　当焦点在y轴上时，由e==，解得m=，符合题意，此时椭圆C的长轴长为2；当焦点在x轴上时，由e==，解得m=6，符合题意，此时椭圆C的长轴长为2=2．故选D． 6.C　解析　因为△ABC是正三角形，所以2b=，即a2=3b2，即=，所以e===． 7.＋y2=1(答案不唯一)　解析　设椭圆的标准方程为＋=1(a＞b＞0)，则e==，所以a2=3b2.令b=1，则a2=3.所以满足题意的一个椭圆的标准方程为＋y2=1. 故答案为＋y2=1(答案不唯一)． 8.　解析　P是椭圆C：＋=1(a＞)上任意一点，F为C的右焦点，|PF|的最小值为，可得a－c=，所以a－=，即a－=，所以(a－)2=a2－6，解得a=2，所以e===． 9.解　(1)由题意，设椭圆C1的方程为＋=1(a＞b＞0)． 因为椭圆C1与椭圆C2：＋=1具有共同的焦点，则c2=25. 选①，由已知可得a=5，则b2=25，所以椭圆C1的方程为＋=1. 选②，由已知可得b=5，则a2=50，所以椭圆C1的方程为＋=1. 选③，由已知可得=，则a2=50，所以b2=25，所以椭圆C1的方程为＋=1. (2)由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|=2a=10．① 又因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2＋|PF2|2=4c2=100，② 由①②，得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|•|PF2|=100＋2|PF1|•|PF2|=200， 解得|PF1|•|PF2|=50，因此S△PF1F2=|PF1|•|PF2|=25. 10.B　解析　设短轴的一个端点为P，两个焦点分别为F1，F2， ∵△PF1F2为正三角形， ∴|OP|=|F1F2|，可得b=c，即=c．① 又椭圆的焦点到椭圆上点的最短距离为，即a－c=，② 联立①②，可得a=2，c=，b==3. 因此a2=12，b2=9，可得椭圆的标准方程为＋=1或＋=1.故选B． 11.D　解析　对于椭圆＋=1，则a1=5，b1=3，c1==4，且焦点在x轴上，所以长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，焦点为(±4，0)，离心率为．对于椭圆＋=1，因为0＜k＜9，则0＜9－k＜9＜16＜25－k＜25，可得a2=，b2=，c2==4，且焦点在y轴上， 所以长轴长为2＜10，短轴长为2＜6，焦距为8，焦点为(0，±4)，离心率为＞，所以ABC错误，D正确． 12.　解析　如图所示，由图知∠PF1F2=∠F2PF1=30°， 所以∠GF2P=60°，|F2F1|=|PF2|=2c．又因为|OG|=a，|OF2|=c，所以|GF2|=a－c， 所以在Rt△GF2P中，由=cos 60°得=，解得=，所以椭圆E的离心率为． 故答案为． 13.x2＋y2=17　解析　因为椭圆C：＋=1(a＞0)的离心率为，则=，解得a=8，即椭圆C的方程为＋=1，于是椭圆的上顶点A(0，2)，右顶点B(3，0)，经过A，B两点的椭圆的切线方程分别为y=2，x=3，则两条切线的交点坐标为(3，2)，显然这两条切线互相垂直，因此点(3，2)在椭圆C的蒙日圆上，圆心为椭圆C的中心O，椭圆C的蒙日圆半径r==，所以椭圆C的蒙日圆方程为x2＋y2=17. 14.解　(1)由题意，知P(0，)，F1(－c，0)．因为四边形F1PF2Q为正方形，所以c=，即b=3c，所以b2=9c2，即a2=10c2，所以离心率e=． (2)由(1)知B(0，3c)，由几何关系可求得一条切线的斜率为2， 所以切线方程为y=2x＋3c．因为切线在x轴上的截距为－，所以c=1，所以椭圆的方程为＋=1. 15.(0，]　解析　由题意，A(0，b)，设P(x0，y0)，因为＋=1，a2=b2＋c2，所以|PA|2=＋(y0－b)2=a2(1－)＋(y0－b)2=－(y0＋)2＋＋a2＋b2，－b≤y0≤b，因为当y0=－b时，|PA|2取得最大值，所以－≤－b，可得a2≥2c2，即0＜e≤． 故答案为(0，]． 16.解　(1)依题意，得c=2.由=，得a=3，b==，所以椭圆C的方程为＋=1. (2)依题意，得=(－3－xP，－yP)，=(3－xP，－yP)． 因为∠APB是钝角，所以•=－9＋＜0.　① 因为P(xP，yP)是椭圆C在第一象限部分上的一动点，所以0＜xP＜3，且＋=1，则=5(1－)．　② 将②代入①，得－9＋5－=－4＜0，＜9，－3＜xP＜3，则0＜xP＜3，所以xP的取值范围是(0，3)． 学科网（北京）股份有限公司 $