3.3.2抛物线的几何性质(2) 同步练习 - 2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习聚焦抛物线几何性质，通过基础概念辨析、性质应用提升至综合问题解决，分层梯度清晰，适配新授课知识巩固与数学眼光、思维、语言核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|抛物线定义、焦点准线|选择1考查点到准线距离范围，填空9结合定义求点到y轴距离，夯实概念理解| |提升层|焦点弦性质、几何应用|选择2重心问题关联距离和，填空10焦点弦长求斜率，培养性质应用能力| |综合层|最值、实际建模|选择6垂直条件下的最值，解答13实际情境中抛物线方程与面积计算，发展逻辑推理与模型意识|

3．3.2　抛物线的几何性质(2) 建议用时：40分钟　答案P20　评价：________ 一、 单项选择题 1 设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是(　　) A. (6，＋∞) B. [6，＋∞) C. (3，＋∞) D. [3，＋∞) 2 (2025安徽期中)某校科技节中，同学们设计了一个抛物线型的卫星信号接收器，其镜面的剖面轮廓符合抛物线y2＝8x.为提高信号接收稳定性，需要在镜面剖面上安装三个信号源A，B，C，使得信号接收焦点F恰好是这三个信号源所组成的三角形的重心，则这三个信号源到焦点F的距离之和为(　　) A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 3 已知直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，若使AB＝2的直线l恰有2条，则p的取值范围为(　　) A. (0，1) B. (0，2) C. (1，＋∞) D. (2，＋∞) 4 已知点P在抛物线x2＝－5y上，且A(0，－3)，则PA的最小值为(　　) A. B. C. D. 5 (2025安徽联考)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，若抛物线上一点M满足MF＝4，∠OFM＝120°，则p的值为(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6 (2025重庆巴蜀中学期中)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，A，B是抛物线上异于原点O的两点，且OA⊥OB，则4FA＋FB的最小值为(　　) A. 21 B. 13 C. 10 D. 9 二、 多项选择题 7 (2025西定临洮期中)若方程2x2＋2y2＝m(x＋y－4)2表示的曲线是抛物线C，则下列结论中正确的是(　　) A. m＝1 B. 抛物线C的顶点坐标为(1，1) C. 抛物线C的焦点坐标为(2，2) D. 直线x＋y－4＝0为抛物线C的准线 8 (2025曲靖宣威一中模拟)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在y轴上，若线段FM的中点B在抛物线上，且点B到抛物线的准线的距离为，则下列结论中正确的是(　　) A. p＝ B. 点M的坐标为(0，2) B. C. S△MOF＝ D. 直线FM的方程为2x±y－2＝0 三、 填空题 9 (2025盐城期中)若曲线y＝x2上一点P到焦点的距离为4，则点P到y轴的距离为________． 10 (2025上海复旦大学附中期中)已知抛物线C：y2＝4x，PQ是过其焦点F的一条弦，若PQ＝6，则直线PQ的斜率为________． 11 (2025焦作期中)已知抛物线x2＝8y的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，若AF＝3，则BF＝________． 四、 解答题 12 (2025滨海新区太平村中学期中)倾斜角为60°的直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与抛物线C交于A，B两点．求： (1) 抛物线的焦点坐标和准线方程； (2) 直线l的方程； (3) AB的长． 13 (2025上海市西中学开学考试)有一块正方形菜地EFGH，EH所在直线是一条小河. 收获的蔬菜可送到点F或河边运走. 于是菜地分为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到点F较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到点F的距离相等. 现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为(1，0)，如图所示． (1) 直接写出菜地内的分界线C的方程； (2) 设M，N，P是分界线C上纵坐标分别为，1，的点，求六边形OMNPGF面积占正方形EFGH面积的百分比(结果精确到1%). 3.3.2　抛物线的几何性质(2) 1. D　由题意，得＝3.又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，故抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞). 2. C　由题意，得抛物线y2＝8x，焦点F(2，0)，因为点A，B，C在抛物线上，且F是△ABC的重心，所以xF＝＝2，即xA＋xB＋xC＝6，所以AF＋BF＋CF＝xA＋2＋xB＋2＋xC＋2＝12. 3. A　由题意，得抛物线的焦点为，通径长为2p，当AB垂直于x轴时，A，B两点的坐标为，此时ABmin＝2p<2，且p>0，即抛物线的焦点弦中，通径最短，所以0<p<1. 4. D　设点P的坐标为(x，y)，则x2＝－5y，且PA2＝x2＋(y＋3)2＝y2＋y＋9＝＋.因为y≤0，所以当y＝－时，PA2有最小值，所以PA的最小值为. 5. B　如图，过点M向准线作垂线，垂足为N，作FQ⊥MN，垂足为Q.由题意，得四边形NQFT是矩形，故NQ＝TF＝p，NQ∥TF.因为∠OFM＝120°，所以∠QMF＝60°，则MQ＝MF.由抛物线的定义，得MF＝MN＝4，所以p＋MF＝p＋2＝4，解得p＝2. 6. A　由题意，设点A，B，因为OA⊥OB，所以·＝0，所以＋y1y2＝0.因为A，B是抛物线上异于原点O的两点，所以y1y2＝－16.又因为抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，所以4FA＋FB＝4＋－(－1)＝y＋＋5≥2＋5＝2×8＋5＝21，当且仅当y＝时，等号成立，此时 4FA＋FB取得最小值为21. 7. ABD　由题意，得m>0，方程2x2＋2y2＝m(x＋y－4)2可化为＝|x＋y－4|，几何意义为点(x，y)到(0，0)的距离是点(x，y)到直线x＋y－4＝0的距离的倍．又方程表示的曲线为抛物线，所以＝1，解得m＝1，故A正确；由抛物线的定义可知，抛物线C的焦点F坐标为(0，0)，故C错误；由抛物线的定义可知，抛物线C的准线方程为x＋y－4＝0，故D正确；经过焦点(0，0)且与直线x＋y－4＝0垂直的直线方程为y＝x，即曲线C的对称轴为y＝x，设直线y＝x与直线x＋y－4＝0的交点为P，联立解得所以点P的坐标为(2，2).又抛物线C的顶点为线段FP的中点，所以抛物线C的顶点坐标为(1，1)，故B正确．故选ABD. 8. AD　如图，由题意，得抛物线的焦点为F，准线为x＝－，设点B的坐标为(m，n)，因为B为线段FM的中点，所以m＝＝，n＝，即yM＝2n.由点B到抛物线准线的距离为，得－＝，解得p＝，故A正确；由A得抛物线方程为y2＝2x，m＝，则n2＝2×，故n＝±1，yM＝±2，所以点M的坐标为(0，2)或(0，－2)，故B错误；△MOF的面积为|yM|·OF＝×2×＝，故C错误；由点F，M(0，2)或M(0，－2)，得直线MF的方程为y－0＝±2，即2x±y－2＝0，故D正确．故选AD. 9. 2　由题意，得抛物线y＝x2，即x2＝4y的准线方程为y＝－1. 设点P(x0，y0)，由抛物线的定义可知PF＝y0＋1＝4，即y0＝3. 由抛物线方程可得x＝4y0＝12，即|x0|＝2，所以点P到y轴的距离为2. 10. ±　设直线PQ的倾斜角为α，2p＝4，所以PQ＝＝＝6，所以sinα＝，cos α＝±，所以tan α＝±，所以直线PQ的斜率为±. 11. 6　如图，设直线与抛物线准线交于点P，抛物线准线与y轴交于点E，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为D，C.由抛物线的定义可得AF＝AD＝3，EF＝4.设BF＝BC＝t，由△PAD∽△PFE，得＝，即＝，解得PA＝9.又△PEF∽△PCB，所以＝，即＝，解得t＝6，即BF＝6. 12. (1) 由抛物线C：y2＝4x，得p＝2， 则焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1. (2) 直线l的方程为y＝(x－1)，即x－y－＝0. (3) 联立消去y并整理，得3x2－10x＋3＝0， 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝， 故AB＝x1＋x2＋p＝＋2＝. 13. (1) 易知EH：x＝－1，利用抛物线的定义可知曲线C为抛物线，F(1，0)为其焦点， 所以抛物线C：y2＝4x. (2) 如图，作PA⊥GF，NB⊥GF，MD⊥GF， 易知M，N，P， MD＝1－＝，NB＝1－＝，PA＝1－＝， GA＝2－＝，AB＝2－1－＝，BD＝1－＝，DF＝， 所以S六边形OMNPGF＝S△GPA＋S梯形APNB＋S梯形NBDM＋S梯形MDFO＝××＋××＋××＋××＝. 又正方形EFGH的面积为4，所以面积比为≈33%. 学科网（北京）股份有限公司 $