解题大招50 平面向量的四大绝杀技：三点共线定理、爪子定理、基底大法、投影大法（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 以三点共线定理、爪子定理、基底大法、投影大法四大技法为核心，构建平面向量系统性解题体系，培养逻辑推理与数学抽象能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三点共线定理|1典例+3跟踪训练|利用系数和为1建立方程，实现向量向代数转化|从共线向量基本定理推导，解决多点共线问题| |爪子定理|1典例+3跟踪训练|知二求一的线性表示，中线特例公式应用|基于三角形线段比例关系，简化向量分解| |基底大法|1典例+3跟踪训练|基底转化、运算律化简、数学思想应用|以平面向量基本定理为核心，实现向量统一表示| |投影大法|1典例+3跟踪训练|数量积几何意义，投影向量与数量投影计算|连接数量积与几何投影，解决垂直、长度问题|

解题大招50 平面向量的四大绝杀技：三点共线定理、爪子定理、基底大法、投影大法 知识点01 三点共线定理与爪子定理 1．三点共线定理 若点，，互不重合，是，，三点所在平面上的任意一点，且满足，则，，三点共线． 证明：（1）由 ，，三点共线． 由得． 即，共线，故，，三点共线． (2)由，，三点共线． 由，，三点共线得共线，即存在实数使得． 故． 令， 则有． 2．“爪字”定理 在中，是上的点，如果， 则， 其中知二可求一． 如果是边上的中线，则． 知识点02 基底大法 1．平面向量基本定理 若，为两个不共线的向量，那么对于平面上任意向量，均存在唯一一对实数，，使得（其中，成为平面向量的一组基底简而言之，不共线的两个向量可以表示所有向量）． 2．若，， 则． 由此可见，只要知道基底的模与数量积，并将用基底表示出来，则可计算． 知识点03 投影大法 数量积与投影的关系（数量积的几何定义）： 向量数量积公式为，可变形为或，进而与向量投影找到联系． （1）数量积的投影定义：向量的数量积等于其中一个向量的模长乘另一个向量在该向量上的投影的数量，即（记为在上的投影的数量）． （2）投影的计算公式：由数量积的投影定义知投影也可利用数量积和模长进行求解，即数量积除以被投影向量的模长，如向量在向量上的投影的数量为. 题型01 爪子定理的应用 “爪子定理”的图示及性质： 已知在线段上，且，则 【典例1】（2026·云南昆明·模拟）在中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图所示： 由爪子定理可得 易知，故选：C 【跟踪训练】 1.（2026·山东济南·模拟）在中，为边的中点，，则（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·四川绵阳·期中）如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26高一下·陕西西安·期中）已知为所在平面内的一点，，，则（    ） A． B． C． D． 题型02 三点共线定理的应用 三点共线定理在平面向量中核心是：若A、B、C共线，则存在实数λ使向量OC=()OA+λOB.求解策略是首先识别条件中隐含的共线关系，将未知点向量转化为基向量线性组合.其次，利用系数和为1的性质建立方程，消参求值.最后，结合基底分解与待定系数法，实现向量问题向代数问题的转化，从而高效求解. 【典例2】（26-27高二上·广东揭阳·阶段检测）在中，为线段的中点，为线段上一点，，过点的直线分别交直线，于，两点，（），（），则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为为线段的中点，，所以， 又因为，，所以，即 ， 由三点共线定理可知，即， 又因为，，所以 当且仅当时取到最小值3. 【跟踪训练】 1．如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2．（24-25高一下·山东聊城·期末）在梯形中，，，，当点在内部运动时，的取值区间为，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河北承德·开学考试）如图，在中，，，且与交于点M，设，则（   ） A．0 B． C． D．1 题型03 基底大法的应用 基底大法解题步骤 (1)利用基底转化向量； (2)根据向量运算律化简目标； (3)运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想，三角函数思想等得出结论. 【典例3】（25-26高三上·辽宁大连·联考）已知在中， 为边的中点， (1)求的长; (2)求的值. 【解析】（1）已知， 则，. ， ， 则，即长. （2）为边的中点，， 又，且，. . 【跟踪训练】 1．（24-25高三上·湖南·阶段检测）在中，，点，满足，． (1)证明：； (2)若，求． 2．（24-25高三上·江苏扬州·期中）在中，已知，点D在边BC上，满足，设． (1)用表示； (2)求AD的长； (3)求． 3．（25-26高三上·江苏无锡·期中）在中，记角所对的边分别为，，为边上的中线． (1)求角； (2)若，求； (3)若在边上，且，与交于点，，求． 题型04 投影大法的应用 1．投影向量法：求投影向量时，根据定义由投影向量与投影所在的向量共线，问题转化为利用该向量的数量投影与投影所在向量方向上单位向量的积；特别注意：投影向量与数量投影的本质区别与联系； 2．数量投影的定义与求法 据图：如果令为向量的单位向量，那么向量在向量方向上的向量投影为：； 其中，实数（*）称为向量在向量方向上的数量投影. 【典例4】如图，中，，，是边上的高，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图中垂直可得：在上的投影为，所以，只需求出的高即可由已知可得，所以． 【跟踪训练】 1．已知为线段上一点，为直线外一点，为上一点，，，，，则的值为（ ） A． 2 B． 4 C． 3 D． 5 2．（多选）（24-25高三下·宁夏吴忠·期末）如图，某八角镂空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为，、为正八边形内的点（含边界），在上的投影向量为，则下列结论正确的是（      ）    A． B． C．的最大值为 D． 3．两个半径分别为的⊙，⊙，公共弦长为，如图所示，则____________． 1．（25-26高一下·安徽合肥·期中）如图，在矩形中，为边上靠近点的三等分点，为边上靠近点的四等分点，且线段交于点.若，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·吉林·期中）已知为所在平面内一点，并且满足，过的直线与，边分别交于，点，若，，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 3．如图，在中，点满足，为线段上的一点，若，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 4．如图所示，中为重心，过点，，，则（    ）    A．1 B．2 C． D．3 5．（2025·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 6．（25-26高一下·河北衡水·阶段检测）如图，在中，，，与交于点.若，则的值是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，，，，分别是，上的点，且，，连接，，交点为，连接，则的值为（    ）    A． B． C． D． 8．(多选)（24-25高三下·浙江衢州·期末）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形的边长为2，是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（    ）    A．若函数，则函数的最小值为 B．的最大值为 C．在方向上的投影向量为 D． 9．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则 10．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ． 11．（25-26高三上·云南昆明·阶段练习）已知⊙C的半径为1，是⊙C的一条弦，且，点是上一动点，则的最大值为 . 12．（26-27高二上·天津河北·开学考试）如图，在中，，，为上一点，且满足，则____________；若，则的最小值为____________． 13．（25-26高三上·江苏无锡·期中）如图，在平行四边形中，，，点是的中点，是线段上靠近点的三等分点，，设，． (1)若， ①用，表示，； ②求的大小； (2)若，且，求平行四边形的面积． 14．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，的内角，，的对边分别为，，，点满足，点在线段上，交于点． (1)若，，求的取值范围： (2)若，， ①求； ②若点满足，的面积为，求的最小值． 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解题大招50平面向量的四大绝杀技：三点共线定理、爪子定 理、基底大法、投影大法 题型01三点共线定理的应用 题型02爪子定理的应用 平面向量的四大绝杀技 题型03基底大法的应用 题型04投影大法的应用 知识梳理 知识点01三点共线定理与爪子定理 1.三点共线定理 若点A,B,C互不重合，P是A,B,C三点所在平面上的任意一点，且满足PC=xPA+yPB 则A,B,C三点共线台x+y=1. 证明：(1)由x+y=1→A,B,C三点共线.由x+y=1得PC=xPA+yPB= xPA+(1-x)PB→PC-PB=x(PA-PB)→BC=xBA.即BC,BA共线，故A,B,C三点共线 2)由A,B,C三点共线→x+y=1.由A,B,C三点共线得BC,BA共线，即存在实数x使 得BC=xBA.故PA-PB=x(P1-PB)→PC=xPA+-0PB.令y=1-x,则有x+y=1 1/37 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.“爪字”定理 AD=mAC+”AB 在△ABC中，D是BC上的点，如果BD日CD=m:n,则2m+nm+n,，其中 AD,AB,AC知二可求一.如果AD是BC边上的中线，则2 知识点02基底大法 1.平面向量基本定理 若9，为两个不共线的向量，那么对于平面上任意向量石，均存在唯一一对实数，入，使得 ā=名+2，（其中号，82成为平面向量的一组基底简而言之，不共线的两个向量可以表示所有向量）· 2.若ā=29+6，五=48+h8, 则a-6=(0C+乃36)(49+48)=4g+2,4,6+(么4+4)8·g. 由此可见，只要知道基底的模与数量积，并将ā，b用基底表示出来，则可计算·b。 知识点03投影大法 数量积与投影的关系（数量积的几何定义）： 向量d,b数量积公式为i.ablcos0,可变形为a:bd(⑥cos8)或a:6b(acos),进 而与向量投影找到联系. 2/37 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)数量积的投影定义：向量，b的数量积等于其中一个向量的模长乘另一个向量在该向量上的投 影的数量，即iba‖bcos日（记acos8为a在b上的投影的数量）， (2)投影的计算公式：由数量积的投影定义知投影也可利用数量积和模长进行求解，即数量积除以 ab acos0= 被投影向量的模长，如向量ā在向量b上的投影的数量为 典型解析 题型01爪子定理的应用 高分技 “爪子定理”的图示及性质： 己知D在线段BC上，且BD:CD=m:m,则 AD=-nAB+mAC m+n m+n 【典例1】(2026云南昆明模拟)在△ABC中，点D满足AD=4DB,则() A.CD-1C4+3CB 8.cD=3c+c6 4 4 4 4 C.CD-3CA+4CB .-a+ 【答案】C 【解析】如下图所示： 3/37 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 由爪子定理可得而-C+D-C+号=+aC+C0)-a+（a+C团)-号C+号C丽 CD=,+.4.CB 易知1+41+4，故选：C 【跟踪训练】 1(2025山东济南模)在1BC,E为B的点。而-号C,则0E-{) 3 B.名+兮c 3 AB+2AC 1 c.6 B-2AC 3 D.6 3 【答案】D 【解析】因为E为边4B的中点， BD=2DC 所以由爪子定理得 死-亚而--3孤*品0-。丽-号c 2.(25-26高一上四川绵阳期中)如图，在△ABC中，M为线段AB上的一点，CM=mCA+nCB(m, neR)且8W=4函，则() M B 4/37 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 41 5,n= 14 13 n=d B.m= A m= C.m=5,n=5 D.m= 4:n= 4 【答案】B AM-14B 【解析】因为BM=4MA,所以 4 CM=,4CA+,1CB=4C4+1CB 则由爪子定理得“1+4“1+4 5 5 5,n 4 1 故m= 5 故选：B. 3.(2526高一下陕西西安期中)己知M为AMBC所在平面内的一点，4W-号4丽，C正=2B,则 AE=() A.3 B+1AC 5 B.5 3 【答案】B 【你1G-2爪子定是前亚瓜+4C-号西付C 1+2 3 3 -×2B+4c=2B+4c 531 3 5 M B ●题型02三点共线定理的应用 5/37 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1- 三点共线定理在平面向量中核心是：若A、B、C共线，则存在实数入使向量OC=()OA+入OB.求解 策略是首先识别条件中隐含的共线关系，将未知点向量转化为基向量线性组合.其次，利用系数和为1的性 质建立方程，消参求值.最后，结合基底分解与待定系数法，实现向量问题向代数问题的转化，从而高效 求解 【典例2】(26-27高二上广东揭阳·阶段检测)在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点， AG=2GM /,过点C的直线分别交直线B,4C于P,巴两点，B=xMP(x>0),4C=y40( 41 y>0),则x+y的最小值为() P G B 以 C A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解折】因为M为线度BC的中点，4G=2G:所以4M-4G-(a6+4C). 又因为=xD·AC=0·所u4G4@.即4Gy@, 由三点共线定理可知(x+y)=1,即x+y=3, 南0.0，两u2+小+兰 x=2 当且仅当y=1时取到最小值3. 6/37 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【跟踪训练】 AN-NC 。P=mB+2AC 1.如图，在△ABC中， ,P是BN上的一点，若 11 则实数m的值为( 9 2 A.11 B.11 c.11 D.11 Ne P B 【答案】c 【解析】观察到B,P,N三点共线，利用“爪”字型图，可得 AN-INC AN-1 AP=mAB+nA,且m+n=L,由3 C 可得 4 1 AP=mAB+nAC 4P-m4B+2 C1.2 n= m=3 所以 4 ,由已知 正可得：4 11,所以11 2.（2425高-下山东聊城期末)在梯形ABCD中，AB1CD,AB=2CD,F=A6+号 ,当点p在 △BCD (a,b) 内部运动时， 九的取值区间为a,则a+b=() 7 17 A.6 B.12 c.2 19 D.12 【答案】C 【解析】如图： D 7/37 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 取正=写D,过E作EFIIAB:交BD于点G,交BC于点F 设G=人丽+号而，因为RC,》三点共线，所以不+兮1名号 设4=B+写4D,因为4C=)+D. 所以年F-c(玉6-号0，@-c--0 因为BC线所不0，房（-小-（引孙片0与-急 因为-+号D且点p在，BCD内运动，所以点p在线段Gr上，所以号<A<名 2 6 2 5 2.53 即a= 3,b=石所以a+b=。+二与 3621 3.(2526有=上河承悠开学考试)图，在。1BC中，正-号0，F-写4C,且加与CE交于点 3 M,设AM=xME+yM,则-2y=() EK M B 6 A.0 B.7 c. D.1 【答案】A 【解折】因为公、从、F三点共线，且证-子， 所以M=(-)+yF=多-列正+a 又因为C从、B三点共线，且4F-写4C 8/37 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以 AM=xAE+(1-x)AB=xAE+3(1-x)AF 可符-列压+y征=x+30-。 20-W=x 即y=31-x刘 9 解得 3 y=7 所以x-2y-9-2号=0 3 1 题型03基底大法的应用 基底大法解题步骤 (1)利用基底转化向量： (2)根据向量运算律化简目标； (③)运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想，三角函数思想等得出结论 【典例3】(25-26高三上辽宁大连联考)已知在。ABC中， D-8C,48=a4c=2∠B4C-答F为 边BC的中点， (1)求AD的长； (2)求AF.BD的值， 【解折】（④）已知BD=BC,AB=34C=2∠BAC=于 则a=4G=2,G.AC=TC-co-等=3x2x3】 而-8c→而-B-ac-→而-号+兮4c, 9/37 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m-居+兮cjg丽+号c+ad-号3+分+g2-号 9 9, /52-213 213 3,即AD长3 (2)F为边BC的中点，MF=aB+4C), 又“而-C,且C-C-:丽-c- FD-(+a0到ac-例-ac-2。-名 【跟踪训练】 1,(24-25高三上湖南阶段检测)在△MBC中，MB=BC,点DE满是BD=2DC5C-3 ，点，满足 (1)证明：AD=DE; 2)若∠ADE=2π 3,求cosB. 【解折】(1)设a=B1,6=BC,由AB=BC,得aH可， 由那-20C得D-号C-5.所以4D-D-M-6-a, 3 4C=Bc-BM-6-a由5aC=3,得4E-4c-6-d. 所E=正-0-6-0， mu西-传-小-d音a6+5-6-8-a+6 因为H6,所d=方，所西=DE,所以DHDE,即AD=DE. 10/37 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D (2)因为<ADE= 3,所以DA,DE=2 3 1-0-a-号6，Di=6-3a 3 il=m)0 a.B=acosB=m'cosB ni.nE=(a-子到j6-号司)-号a6-8-号3-grom8号m-号r-号moB- 3 3 3 D-i-38)--g-w cm-w-m m2 cos B 9 9 9 3 由(a知D1-D, Di-DEcoDi.D 因 号row8-号-传ro m信wa引传wjH 因6时0，a-子传k周) 化简得gc0sB=” 18,所以cosB=、 2.(24-25高三上江苏扬州期中)在△ABC中，己知4仁60，AB=3,AC=2,点D在边BC上，满足 BD=写BC,设B=mAC=i. 11/37 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)用m,i表示AD: (2)求AD的长： 3求DBC 【解折】4)因为4D=B+D=0+aC=+(4C-）号+兮4C AD-2m+ 1 n 3 3 B D A (2)由数量积的定义，可知mi=3x2xc0s=3, 3 自0=号m+,所以而-(+， 3 4→+ 。,4,4 知ADm+。1+。mn4+g9 9 9 3 )Dc=m+写a-网=号+a+写. m+3”+3mn=-子x9+×4+x3=-11 2-21→21→·2 1 1 所以 3 3 3 3 3 3 3.(25-26高三上江苏无锡期中)在△ABC中，记角A,B,C所对的边分别为a,b,C, acosC+asinC-b-2c0 AD BC 边上的中线。 (1)求角A; sinB 2 (2)若sinc=3,求tan∠BAD: B若E在边4B上，且BE=2EA=2,4D与CE交于点O, 点0,40-BC=4,求4D, 12/37 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解析】(1)因为cosC+V5 SasinC--b-2c=0 根据正弦定理，可得sin4cosC+V5 Ssin Asinc=sinB+2sinC sin=sin(C)=sin AcosC+cossinc V3sin Asin C cos Asin C+2sin C 因为C为三角形内角，所以sinC+0, 所以V5sinA-cosA=2 2m4-8-2 所以 又A为三角形内角，所以4-元=行A=”+=2红 62→ -263 (2)因为4D为BC边上的中线，所以氵 SABD =SACD 设B0=0,则2C--0.0到 40-sn040sng-0）cm0=bsm-0】 所以2 sinB b 2 又根据正弦定理，sincc3' 所以 m-2a0 所以3sinB=√3cos0+sin0s2sin0=√3cos0→tan0-V3 2 (3)如图， 13/37 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设40=D-6+4C), 因为E:0:C三点共线，故可设a0=m正+0-m)aC-写B+-m)4C 「2m 1 23 =月 2 又 2=1-m 3 m 4 又BE=2EA=2→AB=c=3 由40.BC-4→46+4C)(C-)=44-e)=4→h=5 由4D=(aB+AC). m-+g-w+2a+)-o-235x+2-? 0西-5 题型04投影大法的应用 1.投影向量法：求投影向量时，根据定义由投影向量与投影所在的向量共线，问题转化为利用该向量的 数量投影与投影所在向量方向上单位向量的积；特别注意：投影向量与数量投影的本质区别与联系： 2.数量投影的定义与求法 0= 据图：如果令a为向量a的单位向量，那么向量b在向量a方向上的向量投影为： 161cos<a,i>a-161cos<a,6。 -a a 其中，实数6cos<a,b>(*)称为向量万在向量a方向上的数量投影 【典例4】如图，△ABC中，AB=BC=4,∠ABC=30,AD是边BC上的高，则AD·AC=() 14/37 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.0B.4c.8D.-4 D 【答案】B 【解析】由图中垂直可得：AC在AD上的投影为AD1,所以D·ACAD?,只需求出△ABC的高 即可由已知可得AD ABI-si血B=2,所以AD·ACAD=4 【跟踪训练】 1.己知C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，I为PC上一点，PA-PB=4, PAc_P丽c丽-+C+ (2>0) BI·BA PA-PB=10,PAI PBI, ,则|BA的值为() A.2 B.4 C.3 D.5 【答案】c 【解析】从条件上判断很难用代数方式求解，所以考虑作图观察几何特点，则PA-PBHAB上10.由 PA·PCPB.PC BI·BA |PAPB及所求|BA|可想到投影与数量积的关系，即PC在PA,PB上的投影相等，即可 15/37 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Bi=BA+入 >0)→= AP 得到PC平分∠APB.再分析 AC AP AC AP AC'AP分别为AC,AP的单位向量，由平行四边形性质可得ACMP这个向量所在的直线平分 AC AP ∠PAC,而与ACAP1共线，从而A!平分∠PAC,由此可得I为△APB的内心，作出内切圆. Bi.BA 所求BA也可视为B在BA上的投影，即BF,由内切圆性质得： PDPE |AD曰AF IBFHBE1,所以IPA-PB=(PD1+ADD-(BE1+PED-AF-BF=4,且有 Bi.BABF=3 IAF+BFHAB10,可解得|BA D CF B 2.(多选)(2425高三下·宁夏吴忠·期末)如图，某八角镂空窗的边框呈正八边形.己知正八边形 ABCDEFGH 的边长为？，P、为正八边形内的点《含边界)，P在丽上的投影向量为 AB,则下列 结论正确的是() 16/37 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.AB.AG=-2√2 B.AB.AE=4 C.元的最大值为2+2V2 D.B.P∈[-22,4+2W 【答案】ABD (8-2)×180° 【解析】对于A选项，正八边形的内角为8 =135 ,易知HG⊥AB, G.亚（画+网-亚+8，c-网w135-2号 =-22 A对： 对于B选项，连接AE、BE,则AE为正八边形外接圆的一条直径，则AB⊥BE, 的 所以.BE=B(B+BE）丽+B:E=2+0=4,B对： 对于C选项，如下图所示： 17/37 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D ·O 巴在B方向上的投影向量为 N 由图形可知， 当P、O分别在线段HG、CD上时，元取最大值， 2Acos45°+AB 4x5+2 2 且的最大值为 AB 2 =2+1，C错： 对于D选项，过点H、C分别作AB的垂线，垂足分别为点M、N,如下图所示： F E G D P2 H M A B N 当点P在线段HG上时， Pcos(B,AP)取最小值， 此时， AB.AP=AB.AM=-AB.AM=-2x2=-2V2 当点P在线段CD上时，Fcos(B,P)取最大值， 此时， AB.AP=AB.AN=4BAN=ABAB+BN )=2x(2+2)=4+22 综上所述， BP[-22,4+2],D对 故选：ABD 3.两个半径分别为，的⊙M,⊙N,公共弦AB长为3，如图所示，则AM·AB+A·AB= 18/37 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B 【答案】9 【解析】AB为两个圆的公共弦，从而圆心M,N在弦AB的投影为AB的中点，进而AM,AN在AB 上的投影能够确定，所以考虑计算AM·AB和AN·AB时可利用向量的投影定义.取AB中点T,连接 MT,NT,由圆的性质得：MT⊥AB,NT⊥AB.所以 BB=2A6=9 ，所以 8刊8号.B+不B画 巩固提升 1.(25-26高一下·安徽合肥期中)如图，在矩形ABCD中，E为AD边上靠近点A的三等分点，F为AB 边上靠近点°的四等分点，且线段F交1C于点P者=a4D=6,则 6,则P=() D P F B 3+3 A.1413 -a+ 3+3b B.13a+13 196 D.416 -a+ 【答案】B 19/37 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ABCD AC=AB+AD=a+b 【解析】在矩形 中， 由题遮：E为D近的三等分点：版正=兮而-， F为AB靠近B的四等分点，故F=3B=3石 4 4 因为P在4C上，设 AP=AC=ā+b 又因为在F上，根据爪子定理，存在参数'使得：P=x4+-)E 代入正，征得：币=x子a+0-对63a+1-5 34 3 3 4 两个表达式对应系数相等：{ 2=1，联立得3北1x,解得4，代入得2一 3 43 13 2.(25-26高一下·吉林期中)已知G为△ABC所在平面内一点，并且满足GA+GB+GC=0,过G的直线 11 与AB'AC边分别交于M'N点，若B=xW,AC=yA,则x+y的最小值为() 4 A.3 B.3 C.2 D.4 【答案】B 【解析】如图，连结接AG并延长交BC于点D, 由GA+GB+GC=0可知，点G是△ABC的重心，则点D是BC的中点， G=子D=(aB+AC)=(M+)=4M+芳N 因为点M.G,N三点共线，所以写+号1，即x+=3,c>0,y>0 则功业号. 20/37 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 当y时，即x=y=2时，等号成立， 11 所以x+y的最小值为3 M G B 3.知阁，在AC,点D满起D-号4C,E为发段D的点，若征=B+AC,则的试大 3 值为() B 2 A.2 c.4 1 D.6 【答案】D 【解折】因为D-号4C,所以4C-D,所以正=x西+)4C=x+D, 显然x>0,y>0,又B,D,E三点共线，所以x+引=1， 2 1=x+3y≥23 由基本不等式 2一少折以> 当月仅当=多，即x分少时、等号度立 .3y 1 所以y的最大值为6。 4知图所不，ABCG为里，Po过G点，-m60n4C,则（) 21/37 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G D A.1 B.2 C② D.3 【答案】D 【折1段-6花6，电G-号0-引}+0+5 因为=m形.0=n1C,BG.0三点共线，则存在人，使得P=PG 即0-而-(G-a,即6--a6-作营。 -m= -m 3 所以 ,整理得 n=- 3 ,所以上+=3 3mn=m+n m n 5.(2025山东临沂三模)在平行四边形ABCD中，AB=3,AD=2,∠BAD=60°，P为边CD上一点， 若AP⊥BD,则线段AP的长为(·) √21 A.2 B.5 C.3 D.2V5 【答案】A AP=AD+AAB 【解析】设 如图， D C A B 因为AP⊥BD, 22/37 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以A那：BD-(D+B(D-8)=而°-B+(2-)B0=0 即4-91+-小32×0，解得= 6 所以护=D+上B】 6 36 3 43 22, 故选：A 6.(2526商一下河北衡水阶段检测如图，在△1BC中，B=2征，CB=3CD,D与CE交于点0. 考40-BC=,则把的值是（) AB E 5 25 6 A.2 B.3 C.2 D.√2 【答案】B 【解析】因为0在AD上，所以40与D共线，设40=2MD(0<1<),又CB=3CD】 所以0-写+号4C,40=0-B+C 又因为石-2正，所以正-号，又因为E·0:C三点共线，所以布在4：使得 EO=uEC(0<4<I)） 而A0=E+E0=AE+μBC-E+(AC-AE)=(1-4)E+uAC=I与上aB+uAC. 2 23/37 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1-4元 23 3 所以1 22 解得 1 4=2 4oac-(4+4cac-4-4.acg4+4C-4.ac-4 所以 4-6，所以29 8 7.(2526高-下照龙江哈尔滨期末)如图，在△MBC中，AB=4,4C=3,BC=,￡，P分别是 AB AC C上的点，且孤=2,4C=3C,连接CE,P,交点为D,达按4D,则os∠1D 的值为 () E D B V43 V21 57 1 A.19 B.7 C.19 D.7 【答案】c 【解析】因为AB=4,AC=3BC=V3 所以co8∠BAC=4B+4C2-BC2-16+9-13_1 2AB·AC =24=2,所以∠BAC=60° 法-：设B=6AC=6 因为点C,D,B共线，故存在实数又，使得CD=C正，即D-AC=A(征-AC) 24/37 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以4D=AE+1-A)4C=号2à+(-26.0 因为点B,D,F共线，故存在实数，使得BD=uBF,即D-AB=A(F-) 所以D=aF+-)4B-号6+1-a.② 由①②和平面向量的基本定理可知， 2解得 1-=4 =1’3 2 μ=4 所以D-+,=-服-=+6-a-5-a6-问s8c=6, 2 2 所西-+可-5.m6别-9，而m-存+-为 所以cOs∠ADB= AD.BD√57 AD BD 19. 法二：以C为原点，AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系， 如图，由题意易得A3,0),B1,2V3 ,因为E为AB中点， 所以E2N5),F(L,0）,易知BF上x轴，故BP的方程为x=1O。 y=kx 设直线CE的方程为 E A J= 6 把E点坐标代入得直线CE的方程为 2②， 25/37 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -m-a-9-(2 m-o-92-0 而-5m-而而氵. AD.BD57 cos∠ADB= AD BD 19. 8.(多选)(24-25高三下浙江衢州期末)窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图 1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图已知正八边形ABCDEFGH的边长为 2,P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是() 图1 图2 A.若函数D-x4丽，则函数f(x)的最小值为2+反 B、PAPB 的最大值为 2+8√2 AB C.AG在AB方向上的投影向量为2 OA+OC=30B 【答案】AB 26/37 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【解析】如图所示：以AE为y轴，GC为x轴建立直角坐标系， E D H B M A 0=-locl-JoD-O-JoF-l0G-lo-a 在A04B中，根据余弦定理可得，4=d+d-20xcos牙，整理得到。=4+2N万， 4 -o.rctao).号e0f9 对选项A: AD= 9受+a 4D-x4B-( 所 - 2a1+)+a1-x0 所以=0-网-号1-r+空0+对+a-亦 =V2+V√2)a2+(2-V2)a2x2-2a2x=V4x2-(8+4V2)x+12+8V2 =2Vx2-(2+V2)x+3+2W2 27/37 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以当1+之时，函数因有最小值为2+v2,4 对选项B:取AB的中点M,则PA+PB=2PM,PA-PB-=BA=2MA, (PA+PB)=4PM (PA-PB)=4MA 两式相减得：P1.PB=PM-M°-PM2-1 由正八边形的对称性知，当点P与点E或F重合时，PW最大 4 4 所以PA,PB的最大值为BW-1=13+8V2-1=12+8√5，B正确： AG·AB 2 a2+a2-2 2 所以AB 1 2 2a+a- 2, -a 2“ 即投影向量为2C错误： 对选项D:因为 1=0,-a）,oc=(a,0),所u01+oc=(a,-a）, 又 V30B= 。6 , 2 2, 所以OA+OC≠√50B,D错误 故选：AB 25天津高考真ABC中，D为4AB边中点，CE=CD,AB=dAC=b,则AE— 28/37 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6表示)，若征非5，B1CB,则正.而- 1-,2 【答案】 3； -15 【解析】如图， D 因为正-D,所以正-C-D-40C),所以亚-D+号C」 26 因为0为线段B的申点所似正=名+号C-8 6 30 四%四1c2,uE-信可+号6-5 正.西-店+-列-+6-号=0，所以后+66 所以a+4a-b=180 所正而-后a+66++66-+2a5-5) =2(+2a-6-2a2-6a-6）=2(a2-4i-6）=-15 10(203天津商考食题)在8c,BC-∠4：6,0-号服C正-0D,记丽=a.C-6, 用a,b表示A正= 一：若F-号8C,则花亦的最大值为 13 【答案】 24 29/37 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE+ED=AD 【解析】空1：因为E为CD的中点，则ED+EC=0可得AE+EC=AC, 两式相加，可得到2正=D+AC 即2证+6，则正-+5， 42 AF+FC=AC 空2：因为B-号8C,则2F+FC-0:可得F+FB=孤， 得到MF+FC+2(F+F丽)=4C+2 甲3F-+6日亚-号6 是正不-+居a+a+6+26） 于是 记AB=x,AC=y, 则孤-2云+a+26）2x+5m0+2)2r,g+2r 在△1BC中，根据余弦定理： BC2=x2+y2-2xy cos60=x2+y2-xy=1 于是 由r+2-9= x2+y2-xy=1≥2y-xy=y 和基本不等式， 故y≤1，当且仅当x=y=1取得等号， 13 则x=y=1时，A正AF有最大值24 30/37 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 11.(25-26高三上·云南昆明阶段练习)已知⊙C的半径为1，AB是⊙C的一条弦，且AB=1,点P是 ⊙C AP.AB 上一动点，则 的最大值为 3 【答案】2/1.5 【解析】设P在直线4B上的投影为点卫，则 AP.AB=A0 AB 所以当CP1A8且巴在射线B上时，. B最大， 又⊙C的半径为1，AB是OC的一条弦，且AB=1, 此时四边形ABPC为菱形且<ABP= 3, 所以0-Pc号，则.丽=g网=1+》 12,(2627高二上天津河北开学考试)如图，在ABC中，∠B1C- 3'AD=2DB,P为CD上一点， 且满足AP=m4C+B,则m= 1 3 :若AB.AC=4,则4丽的最小值为 31/37 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B O 1 【答案】 210.5 2 【解折】因为D=206,所以6=多D, 所似-mc+写丽=C兮而-c+而， 因为CB,D三点共线，由向量三点共线结论：者P=4C+)D,则x+y=1, 1 所以m+2l,所以m=2: 因为4B.4c-h04Ccos号=4，所以hB4d=4,得aC-8, 国为-传c+写西-号c+号丽+号c-ac亚+. 所以m-ad+兮+手 由基本不等式， 4ac+a≥24d-2xad- 当n当c-,d-45西-2 时取等号， 所矿≥号+考4，所以22，的最小值为2 13.(25-26高三上江苏无锡期中)如图，在平行四边形ABCD中，AB=4,AD=3,点E是AB的中点， F是线段4D上靠近有D的三等分点，G=BC,设丽=.历=6 D 32/37 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E )者1=2 , 0用8,6表示F,屁 ②求∠FEG的大小； (2刨若-了，且FBG=-1,求平行四边形ABCD的面积. 【解折】4)0由腿知BG-号C,=4,-3, 则-F-4正-名D-B=26-1a 3 2 32 3 3； @F6-(6-60+号9-号8-r-g9-16=0 F1G:即<5G- (2)若=3：则BG=E丽+BG=a+6 3 又F-6'a -35-24.EF.EG=-1 乐c-66-0+时列6+号8-0= 94 言a6+号x9-16=1,解得后6-6 9 4 osa,b= a.b61 而 d啊4x32,又a,6=∠Ae(0,,∠A 3, :.平行四边形ABCD的面积S=4x3xsin=6N3 33/37 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 14.(25-26高三上·黑龙江哈尔滨期中)如图，△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b，C,点D满 足m-子BC,点E在线段AB上，AD交CE于点0 3 E B D 国法A-子c=2·求AD的取位范： 2刨若E-号B 7 ,A0=元AD ①求九： ②老点0满足400C,AAC的面积为9：求的最小宜。 【解析】(a)由D-号C,所以D-B=aC-.即D+号4C 又因为A=3,c=2, -G+号-写+gc号c-5a西go4+g 4 C+ 4 46+ 4_4(6+b+ b 099 在AABC中，A=3(国定)，AB=c=2所以射线AC图定， 所以C点可以是射线AC上除A点之外的任意一点，都能构成满足条件的三角形ABC, 因此b=AC可以取一切正数，即b>0. A3 B 34/37 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所言6+b+小号，即而>号得0号 因北D份收位商阳仔+ 2)①因为C,E,0点共线，设c0=1CE,所以C而=(4E-AC)=7AB-1AC, 即oC=-号4B+Ac. 又和-0：白4知0-：号C,所似0-号+C. 3 0+oc-号+登c+号1ac-(合6+(+c 所以 (2_t=0 37 因为 AO+OC=AC ,所以22+1=1 ∫71-31=0，解得，1,7 3 2+3=32=31=g 因此-号 ②方法：由40-}D,则40=0D,又A0=0C,所以0D=0C, 3 2 4 2 又D-号aC,所以cD号BC,所以Da 3 3 设OD=1>0),则OC=21,在aOCD中， +(2-(8sge 由余弦定理得cos∠DOC= 2×t×2t 42 因为A0oD,所以som=2SwSo=Sm 3 又D-子BC,所以CD=Bc,Saa号c 1 3 3 因为61c的面积为9，则5m号o-号兮am 2 -21 9*9=2 35/37 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又Som=2 OCxODxsin∠DOC 22rsin∠D0C=sin∠D0C, 所以2=Psin∠DOC,则sin∠D0c= 2, 12 9 2)2 因为 ，所以 42 cos2∠DOC+sin2∠D0C=1 整理得r-9行+ 4+64=0, 81 英作关Tf信元=次质.则A一”-4款0日女+6小0 a4≥81×36a2≥9×6 ,解得0≥36 目关于2的元三次方程的两根之和00>0两根之积8：+64>0 所以023石时，方程9r-g+0+64=0定有正数解 3V6 故“的最小值为 2 21 2 方法二：因为。MBC的面积为g,同解法一得Saam-专Sm专×兮5ac ×9=2 9 设A0=x,OD=2x,OC=4x,∠COD=0, -32x4xm0=4rsm0.4s知0=2：r- 1 2sin0, 10-8cos8 由余弦定理得CD2=4x2+16x2-2x.4x.cos0=2x2(10-c0s0)= sin, 10-8cos0=it>0）.则10=8cos0+sin0=P+64sin(0+p）.sin(0+p)e-H 设 sine 所以10≤vP+64,解得26，即CD≥6，CD≥6 因为BD-号BC,所以a=BC=3CD:故a≥36， 3 3v6 因此“的最小值为N0。 36/37 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 37/37