第11章 整式的乘除（复习课件）数学新教材沪教版五四制七年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了整式乘除的核心知识，包括幂的运算性质、整式乘除法则及乘法公式，通过知识图谱将各节内容按“整式乘法-乘法公式-整式除法”逻辑串联，构建完整知识网络。 其亮点在于分层设计复习目标与题型训练，如通过“同底数幂乘除”基础题型到“乘法公式综合应用”能力题，结合实际问题培养运算能力与模型意识，帮助学生巩固知识，教师可精准把握学情提升复习效率。

第11章 整式的乘除 复习课件 沪教版·七年级数学上册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 01 02 03 04 基础达标 能力提升 素养目标 理解幂的意义 理解乘方、幂、底数 和指数的意义，能说 出幂的运算性质。 注意零次幂的条件。 掌握乘除法则 掌握整式乘法，会用单项式作除式进行整式除法。 逐项运算不漏项，正确处理符号。 运用乘法公式 理解平方差公式与 完全平方公式。 能识别公式结构， 进行计算和推理。 解决实际问题 能用整式表示面积等数量关系。 先化简，再求值。 用乘法检验除法。 单元重点难点 重 点 难 点 重点 1．掌握幂的运算性质及整式乘除法则。 2．理解并运用平方差公式与完全平方公式。 3．能按顺序进行整式混合运算、化简求值。 1．区分幂相乘、幂的乘方、积的乘方与幂相除。 2．识别公式结构，处理整体代入和负号变化。 3．根据面积等数量关系列式，用乘法公式化简。 4．逐项相乘、逐项相除时不漏项，注意除数非零。 知识图谱 整式的乘除 11.1 整式的乘法 ① 同底数幂的乘法　② 幂的乘方　③ 积的乘方 ④ 单项式乘单项式、单项式乘整式 ⑤ 整式与整式相乘 幂的性质＋分配律 11.2 乘法公式 ① 平方差公式　② 完全平方公式 ③ 公式综合运用　④ 公式应用 识别结构，整体代入 11.3 整式的除法 ① 同底数幂的除法（含零次幂） ② 单项式除以单项式　③ 整式除以单项式 除数非零，乘法检验 知识串讲 01　同底数幂的乘法 ➤ 乘方、幂与同底数幂的乘法性质 一般地，将 个 相乘的运算叫作乘方， 记作 ，乘方的结果叫作幂．在 中， 叫作底数，正整数 叫作指数． 同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 、 是正整数）． ① 规定：当 时，。 ② 三个同底数幂：、、 都是正整数）。 ▲ 易错提醒 ① 乘法与加法要分清：，。 ② 的指数是1；底数为负数或整式时，先看清括号。 知识串讲 02　幂的乘方 ➤ 幂的乘方性质 幂的乘方，底数不变，指数相乘． 、 是正整数）． 理解与运用 ① 运算依据：先按乘方的意义，写成 个 相乘。 ② 同底数幂相乘， 个指数 相加，得到 。 ③ 例：。 ▲ 易错提醒 ① ，与 不同。 ② 外层乘方作用于括号内整个幂；多个乘方的指数逐个相乘, 知识串讲 03　积的乘方 ➤ 积的乘方性质 积的乘方，等于乘方的积． 是正整数）． 理解与运用 ① 三个因子： 是正整数）。 ② 例：。 ▲ 易错提醒 ① 系数也要乘方：，不能写成。 ② 负数的奇次幂为负，偶次幂为正；每个因子都要乘方。 知识串讲 04　单项式的乘法 ➤ 单项式的乘法 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘． 单项式乘整式，用单项式乘整式的每一项，再把所得的积相加． 理解与运用 ① 单项式相乘可用乘法交换律、结合律，单项式乘整式用分配律。 ② 例：。 ▲ 易错提醒 ① 系数相乘时，注意符号法则：同号得正，异号得负。 ② 单项式要乘遍每一项，包括常数项。 知识串讲 05　整式与整式相乘 ➤ 整式与整式相乘的法则 整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式中的每一项，再把所得的积相加． 理解与运用 ① 运算依据：连续运用分配律，把整式乘法转化为单项式乘法。 ② 两个两项式相乘，合并前应有四个积，再判断同类项。 ③ 例：。 ▲ 易错提醒 ① 两项式乘两项式，合并前应得到四个积，不能只乘首尾两项。 ② 先逐项相乘再合并同类项。 知识串讲 06　平方差公式 ➤ 平方差公式 两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方的差． ． 理解与运用 ① 由整式乘法展开， 与 互相抵消，余下平方的差。 ② 两个因式中，一部分相同，另一部分互为相反数。 ③ 例：。 ▲ 易错提醒 ① 先找两个因式中相同的部分和互为相反数的部分，再确定平方的先后。 ② 系数；平方差公式的结果是两项。 知识串讲 07　完全平方公式 ➤ 完全平方公式 两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方的和，加上（或减去）这两个数的积的两倍． ， ． 理解与运用 ① 对照三项：两端为平方项，中间为两部分乘积的两倍。 ② 例：。 ▲ 易错提醒 ① 不能漏掉中间项；展开后一般为三项。 ② 的末项是；每一部分的系数都要平方。 知识串讲 08　乘法公式的综合运用 ➤ 乘法公式的选择与组合 平方差公式与完全平方公式是常用的乘法公式． 理解与运用 ① 先按结构选公式：和与差的积用平方差，和或差的平方用完全平方。 ② 例：。 ③ 例：。 ▲ 易错提醒 ① 必要时选择整体代入， 可看作 。 ② 括号前的负号要乘遍每一项，注意括号内的符号要变号。 知识串讲 09　乘法公式的应用 ➤ 利用乘法公式求值 利用乘法公式，可以较简便地求某些代数式的值和计算． ① 将两个完全平方展开式相加或相减，可消去中间项或平方项。 ② 已知 、 时，可用 。 ③ 求剩余面积时，先用大图形面积减去被挖去部分的面积。 ▲ 易错提醒 ① 已知 、 时，可以直接求 ，不必先求 、。 ② 面积问题先列式，再用公式化简；圆的面积要用半径计算。 理解与运用 知识串讲 10　同底数幂的除法 ➤ 同底数幂的除法性质与零次幂 同底数幂相除，底数不变，指数相减． 、 是正整数且 ，． ，即任何不等于零的数的零次幂都等于1． 理解与运用 ① 指数相减为0时，使用零次幂的规定。 ② 例：。 ▲ 易错提醒 ① 除数不能为0；底数是一个整式时，也要保证这个整体不为0。 ② ，结果不是0；乘除混合运算按顺序处理。 知识串讲 11　单项式除以单项式 ➤ 单项式除以单项式的法则 两个单项式相除，把系数和同底数幂分别相除． ， 理解与运用 ① 除法是乘法的逆运算，可用“商除式被除式”进行检验。 ②注意区分“同底数幂相除”与“合并同类项”：前者指数相减，后者系数相加、字母部分不变，两者不可混淆。 ▲ 易错提醒 ① 系数相除，不是相减；同底数幂的指数才相减。 ② 相同因式相除得1，不能记作0。 知识串讲 12　整式除以单项式 ➤ 整式除以单项式的法则 整式除以单项式，先用整式的每一项除以单项式，再把所得的商相加． 理解与运用 ① 运算依据：除法是乘法的逆运算，所得的商乘除式应还原被除式。 ② 例：。 ③ 混合运算中先处理乘方，再按运算顺序完成乘除和加减。 ▲ 易错提醒 ① 每一项都要除以同一个单项式，不能只除第一项。 ② 负单项式作除数时逐项处理符号，即变号。 题型全解 题型01 同底数幂的乘法 例01　选择题 下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 A：指数应相加，结果是 。 B： 与 不是同类项，不能合并。 C：。D：结果应为 。 题型全解 题型01 同底数幂的乘法 例02　简答题 计算：。 【答案】 【解析】 原式 。先做乘法，再合并同类项。 考点串讲 题型01 同底数幂的乘法 方法总结 方法1 同底相乘，指数相加 ① 单个字母的指数是1。 ② 同底数幂相乘，底数保持不变，将各因子的指数相加。 ③ 三个或更多同底数幂相乘，可依次相乘，要把指数加在一起。 方法2 先定符号，再合并同类项 ① 先看清负号和括号，按有理数乘法法则确定符号。 ② 计算每个乘积中的同底数幂，把乘法运算完成。 ③ 含加减运算时，最后合并同类项；只把系数相加减。 题型全解 题型02 幂的乘方 例03　填空题 填空：； 。 【答案】；。 【解析】 。 。 题型全解 题型02 幂的乘方 例04　判断改错题 小明计算：。 他的计算是否正确？请说明理由并写出正确结果。 【答案】不正确，正确结果为 。 【解析】 ，。 与 不是同类项，不能合并。 考点串讲 题型02 幂的乘方 方法总结 方法1 先辨运算，再用性质 ① 幂的乘方将指数相乘；同底数幂相乘将指数相加。 ② 乘方与乘法混合时，先算各个幂的乘方，再做乘法。 ③ 含加减运算时，先完成乘方和乘法，再判断能否合并同类项。 方法2 把相同整式看作底数 ① 找出括号中相同的整式，把它作为一个整体。 ② 保留这个底数，将内层和外层指数相乘。 ③ 多个幂继续相乘时，确认底数相同后，再把所得指数相加。 题型全解 题型03 积的乘方 例05　选择题 的计算结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 。 系数也要乘方， 的指数为。 题型全解 题型03 积的乘方 例06　简答题 计算：。 结果用幂的形式表示。 【答案】 【解析】 原式 。 把 看作一个整体，先乘方，再合并同类项。 考点串讲 题型03 积的乘方 方法总结 方法1 每个因子分别乘方 ① 将积中的系数和每个字母因式分别乘方。 ② 遇到幂的乘方，把原指数与外面的指数相乘。 ③ 把各因子的乘方结果相乘，写出最后的系数和字母部分。 方法2 先判符号，再整理结果 ① 先看清负号是否在括号内，确定需要乘方的底数。 ② 负数的奇次幂为负，偶次幂为正；系数也必须乘方。 ③ 先完成乘方和乘法，再合并同类项；相同整式可整体保留。 题型全解 题型04 单项式的乘法 例07　填空题 。 【答案】 【解析】 系数：。 字母：，， 保留。 因此积为。 题型全解 题型04 单项式的乘法 例08　简答题 计算：。 【答案】 【解析】 原式 。 三个积对应括号内三项，常数项1也要参与相乘。 考点串讲 题型04 单项式的乘法 方法总结 方法1 系数与字母分别相乘 ① 把各系数相乘，先确定积的符。 ② 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 ③ 只在一个因式中出现的字母，连同原来的指数保留。 方法2 按分配律逐项相乘 ① 单项式与整式的每一项相乘，常数项也要乘到。 ② 各项带着原来的符号参与运算，逐项写出乘积。 ③ 把所得的积相加，能合并的同类项再合并。 题型全解 题型05 整式与整式相乘 例09　选择题 展开后， 项的系数是（ ） A． B．2 C．5 D．8 【答案】C 【解析】 。 一次项为，系数是5。 题型全解 题型05 整式与整式相乘 例10　应用题 一个长方形相框的外部长为 厘米、宽为 厘米，四周框宽 均为 厘米，。求内部长方形的面积。 【答案】平方厘米。 【解析】 内部长为 ，宽为 。 面积 平方厘米）。 考点串讲 题型05 整式与整式相乘 方法总结 方法1 逐项配对，避免漏乘 ① 固定一个整式中的一项，依次乘另一个整式的每一项。 ② 再换到下一项，直到每一项都完成相乘；每项保留原符号。 ③ 将所有的积相加，检查同类项并合并。 方法2 面积问题先确定边长 ① 根据图形写出实际边长；四周等宽的相框要扣除两侧框宽。 ② 用长乘宽列出面积式，保留括号，明确相乘的两个整式。 ③ 按整式乘法展开并合并同类项，最后写清面积和单位。 题型全解 题型06 平方差公式 例11　选择题 下列各式中，不能直接用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 A、B、D 都有一部分相同、另一部分互为相反数。 C 中，两个因式互为相反数， 其积是，不能直接用平方差公式。 题型全解 题型06 平方差公式 例12　简答题 计算：。 【答案】 【解析】 原式 。相同部分是。 考点串讲 题型06 平方差公式 方法总结 方法1 找相同部分与相反部分 ① 观察两个因式，找出相同部分和互为相反数的部分。 ② 必要时交换项的位置，写成的结构。 ③ 用相同部分的平方，减去相反部分的平方，注意先后顺序。 方法2 把式子整体代入公式 ① 公式中的 、 可用数或整式代替，先确定各自对应的整体。 ② 分别计算两个整体的平方，系数与字母都要平方。 ③ 按平方差相减；遇到相同部分为负式时，平方后再处理符号。 题型全解 题型07 完全平方公式 例13　判断改错题 判断并改正： （1）； （2）。 【答案】两式都错，分别为 、。 【解析】 （1）漏掉中间项。 （2）最后一项是，前面的符号应为。 题型全解 题型07 完全平方公式 例14　简答题 计算：。 【答案】 【解析】 原式 。 考点串讲 题型07 完全平方公式 方法总结 方法1 按三项结构展开 ① 先认清参与和或差的两部分，分别计算它们的平方。 ② 中间项写两部分乘积的两倍，按和或差确定符号。 ③ 把三项相加减，检查是否漏掉中间项，末项是否为正号。 方法2 先整理负号，再用公式 ① 当括号中的各项都有负号时，可先提出一个负号。 ② 互为相反数的式子平方相同，可将化为。 题型全解 题型08 乘法公式的综合运用 例15　计算题 用乘法公式计算：。 【答案】 【解析】 。 题型全解 题型08 乘法公式的综合运用 例16　简答题 计算：。 【答案】 【解析】 原式 。 考点串讲 题型08 乘法公式的综合运用 方法总结 方法1 分组形成公式结构 ① 观察多项式，将几项组合成一个整体，凑成和差积或完全平方。 ② 把分组后的整体代入公式，再处理组内的乘方与乘法。 ③ 去括号时注意括号前的负号，最后合并同类项。 方法2 选择公式作简便计算 ① 先选取附近的整十或整百数，把原数写成它与一个数的和或差。 ② 两个数关于同一个数一增一减时，用平方差公式。 ③ 求一个数的平方时，可用完全平方公式，算全平方项和中间项。 题型全解 题型09 乘法公式的实际应用 例17　填空题 已知 ，，则 ，。 【答案】；1。 【解析】 。 。 题型全解 题型09 乘法公式的实际应用 例18　应用题 边长为 的正方形纸片，剪去一块边长为 的正方形 纸片，。求剩余部分的面积。 【答案】 【解析】 剩余面积 。先列面积差，再用完全平方公式。 考点串讲 题型09 乘法公式的实际应用 方法总结 方法1 用已知整体表示所求式 ① 先观察已知的是和、积，还是和与差的平方。 ② 利用完全平方公式，将所求式改写为含这些已知整体的式子。 ③ 整体代入数值再计算；有两个展开式时，可先尝试相加或相减。 方法2 图形面积先列后化 ① 明确图中各部分的边长；给出圆的直径时，先换成半径。 ② 用大图形面积减去挖去的面积，逐项列出式子。 ③ 用乘法公式展开并合并同类项，按题目要求保留或写出单位。 题型全解 题型10 同底数幂的除法 例19　选择题 已知 ，下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 同底数幂相除，指数相减：。 。其余选项不符合除法性质。 题型全解 题型10 同底数幂的除法 例20　简答题 计算：。 其中 是正整数，，结果写成展开式。 【答案】 【解析】 原式 。 考点串讲 题型10 同底数幂的除法 方法总结 方法1 先查条件，再减指数 ① 确认是同底数幂相除，并检查除数不为零。 ② 底数保持不变，用被除式的指数减去除式的指数。 ③ 底数是一个整式时，将它整体保留；需要时再用乘法公式展开。 方法2 零次幂与运算顺序 ① 指数相减为0时，使用非零数的零次幂等于1。 ② 乘方与乘除混合时先算乘方，同级乘除按从左到右计算。 ③ 负号在乘方外面时，先乘方再添负号，避免混淆底数。 题型全解 题型11 单项式除以单项式 例21　填空题 。 其中 ，。 【答案】 【解析】 系数：。 字母：，， 保留。 因此商为。 题型全解 题型11 单项式除以单项式 例22　简答题 已知 ，求单项式 A。 其中 ，。 【答案】 【解析】 由“被除式除式商”，得 。 检验：。 考点串讲 题型11 单项式除以单项式 方法总结 方法1 分开处理系数与字母 ① 先计算系数的商，按有理数除法确定符号。 ② 同底数幂分别相除，底数不变，指数相减。 ③ 只在被除式中出现的字母因式保留；相同非零因式相除得1。 方法2 用乘法关系求式并检验 ① 已知除式和商时，用“被除式除式商”求被除式。 ② 求出商后，将商与除式相乘，按单项式乘法整理。 ③ 把所得积与被除式比较，并检查题目中的非零条件。 题型全解 题型12 整式除以单项式 例23　简答题 计算：。 其中 ，。 【答案】 【解析】 原式 。 题型全解 题型12 整式除以单项式 例24　化简求值题 先化简，再求值：， 其中 。 【答案】化简为，值为15。 【解析】 原式 。 当 时，原式。 考点串讲 题型12 整式除以单项式 方法总结 方法1 逐项相除，再把商相加 ① 将整式的每一项连同符号，分别除以同一个单项式。 ② 每一项的商按单项式除法计算，不遗漏常数结果。 ③ 把所得的商相加，合并同类项；再用乘法检验。 方法2 按顺序化简求值 ① 先看清括号和除式的范围，检查除数非零的条件。 ② 按乘方、乘除、加减的顺序化简，同级乘除从左到右。 ③ 代入满足条件的数值再计算，负数代入时添上括号。 针对训练 训练01　判断改错题 判断下列计算是否正确，错误的请改正。 （1）；（2）； （3）。 【答案】，；（2），；（3）√。 【解析】 乘同底数幂时指数相加， 的指数是1。 同类项相加时只把系数相加，字母及其指数不变。 针对训练 训练02　填空题 （1）。 （2）。 【答案】；（2）。 【解析】 （1）指数为。 （2）先得 ，再将指数相加，得 。 针对训练 训练03　判断改错题 判断下列计算是否正确，错误的请改正。 （1）； （2）。 【答案】，应为；（2）√。 【解析】 （1）系数3也要平方，。 （2）系数的立方为，字母部分为 。 针对训练 训练04　计算题 计算： （1）； （2）。 【答案】；（2）。 【解析】 （1）先算，再与 相乘。 （2）将 分别乘 、、，三个积再相加。 针对训练 训练05　简答题 计算：。 【答案】 【解析】 原式 。 合并前有四个积，其中 与 是同类项。 针对训练 训练06　填空题 （1）。 （2）。 【答案】；（2）。 【解析】 （1）相同部分为，结果为。 （2）先写成，再用公式。 针对训练 训练07　选择题 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 。 针对训练 训练08　计算题 用乘法公式计算： （1）；（2）。 【答案】（1）10404；（2）。 【解析】 （1）。 （2）先得，再用平方差公式得 。 针对训练 训练09　简答题 已知，， 求 与 的值。 【答案】，。 【解析】 两式相加：，所以 。 两式相减：，所以 。 针对训练 训练10　填空题 （1）。 （2）。 （3）。 【答案】；（2）1；（3）1。 【解析】 （1）指数。 （2），零次幂为1。（3）。 针对训练 训练11　选择题 的商为（ ） 其中 ，。 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ，，。 只在被除式中出现，应保留，所以商是。 针对训练 训练12　化简求值题 先化简，再求值：， 其中 。 【答案】化简为，值为4。 【解析】 原式。 当 时，原式。 单元总结/易错复盘 核心知识 ① 幂的运算性质。 ② 整式乘法与单项式作除式的除法。 ③ 平方差公式与完全平方公式。 易错复盘 ① 乘方时系数也要乘方。 ② 完全平方不漏中间项。 ③ 逐项乘除不漏项。 ④ 除数非零，相同非零因式相除得1。 思想方法 ① 由数到式，运用交换律、结合律与分配律。 ② 观察结构，把整式看作整体。 ③ 先列式、再化简，用乘法检验除法。 沪教版·七年级数学上册（新教材） 谢谢聆听 $