专题05 一元一次方程（期中真题汇编，云南专用）七年级数学上学期

**基本信息** 云南多校七上期中试题汇编，聚焦一元一次方程4大高频考点，基础题与综合题结合，如解一元一次方程及数轴动点问题。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约4题|从算式到方程、等式性质、幻方、行程|结合数轴几何直观，如考点03数轴点距离题| |填空|约5题|解方程、代数式求值、幻方、比例|注重基础计算，如考点03解方程填空题| |解答|约8题|解方程、绝对值化简、动点问题、利润问题|综合题层次分明，如考点04含数轴动点的行程综合题|

专题05 一元一次方程 4大高频考点概览 考点01 从算式到方程 考点02 等式的性质 考点03 解一元一次方程 考点04 实际问题与一元一次方程 考点01 从算式到方程 1．（25-26学年七上·云南昆明第十中学）已知是关于x的一元一次方程，则m的值为（     ） A.  B.  C. 2 D. 4 考点02 等式的性质 1．（25-26学年七上·云南昆明第十中学）下列运用等式的性质变形正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 考点03 解一元一次方程 1．（25-26学年七上·云南临沧临翔区·期中）如图，点B，C，A是数轴上从左到右排列的三个点，其中B和C互为相反数，小明同学用尺子测得点A和点C之间的距离为，点A和点B之间的距离为，则数轴上将点C所对应的数精确到十分位约为（       ） A. 0.75 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.5 2．（25-26学年七上·云南昆明·期中）方程的解　　　　　　　． 3．（25-26学年七上·云南弥城初中教·期中）若，则　　　　　　． 4．（25-26学年七上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）解下列方程 （1） （2） 5．（25-26学年七上·云南昆明第十中学）已知关于的方程的解是，则的值为　　　　　　　． 6．（25-26学年七上·云南昆明东川区·期中）阅读下面材料并解决有关问题： 我们知道： ，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得（称分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①；②；③． 从而化简代数式可分以下3种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； 综上讨论，原式 通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）化简时，先确定零点值分别为___________和___________． （2）仿照上面的做法，化简． 考点04 实际问题与一元一次方程 1．（25-26学年七上·云南昆明第二中学·期中）把夏禹时代的“洛书”用数学符号翻译出来就是一个三阶幻方，它的每行.每列.每条对角线上三个数之和均相等，那么幻方中的值是（        ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年七上·云南昆明·期中）若两个动点同时在数轴上做匀速运动，它们的运动时间以及位置记录如表，则两点相距9个单位长度时，时间是（     ） 时间 0 4 点的位置 10 点的位置 12 A. 1 B. 1或3 C. 2 D. 2或4 3．（25-26学年七上·云南曲靖部分学校·期中）某商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，那么该商店卖出这两件衣服总的是（   ） A. 盈利16元 B. 亏损16元 C. 盈利20元 D. 亏损20元 4．（25-26学年七上·云南昭通昭阳区·期中）如图所示，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和均相等，则的值是　　　　　　． 4 0 a 5．（25-26学年七上·云南昆明·期中）如图，将一个长为12，宽为4的长方形等比例缩小得到一个长为，宽为3的小长方形，则　　　　　　　． 6．（25-26学年七上·云南自治州蒙自·期中）【阅读】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如，表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以转化为，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 （1）______； （2）利用数轴，解决下列问题： ①若，则______； ②若，请直接写出所有的整数：______； ③是否存在有理数x，使得式子有最大值？如果存在，写出一个符合条件的x的值及式子的最大值；如果不存在，说明理由． 7．（25-26学年七上·云南昆明第十中学）如图，在数轴上点A表示数，点B表示数，点C表示数，是多项式 的一次项系数，是最大的负整数，单项式的次数为． （1）___________，___________，___________； （2）若点A与点D之间的距离表示为，点B与点D之间的距离表示为，请在数轴上找一点D，使，则点D表示的数是___________； （3）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A和点B分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒个单位长度的速度向左运动，点C到达原点后立即以原速度向右运动，秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为BC．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若改变，请说明理由；若不变，请求其值． 8．（25-26学年七上·云南昆明八中教·期中）已知，两点在数轴上所表示的数分别为，，且，满足：．                  图1                                                                                                                                备图 （1）求、的值； （2）情境：有一个玩具火车如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为．则玩具火车的长为________个单位长度；应用：如图1所示，当火车匀速向右运动时，若火车从车头到车尾完全经过点需要2秒，则火车的速度为每秒_________个单位长度； （3）在（2）的条件下，当火车匀速向右运动，同时点和点从、出发，分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为，点、间的距离用表示，点、间的距离用表示，是否存在常数使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出和这个定值：若不存在请说明理由． 9．（25-26学年七上·云南大理州下关·期中）如图，点表示的数是，点表示的数是，满足，动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）直接写出___________，___________； （2）若点、同时出发，问点运动多少秒时追上点？ （3）若点、速度不变，分别从点、同时向右运动，同时点从原点以每秒7个单位的速度向右运动，当时，请求出的值． 10．（25-26学年七上·云南昆明第二中学·期中）已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且，A、B之间的距离记为或，请回答问题： （1）直接写出a，b，的值，______，______，______． （2）设点P在数轴上对应的数为x，若，则______． （3）如图，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为，动点P表示的数为x．    ①若点P在点M、N之间，则______； ②若，则______； ③若点A，B分别从点M，N同时出发，点A以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，B到点M后立刻原速返回，设运动时间为秒． 求t为何值时，点A与B相距5个单位长度？ 11．（25-26学年七上·云南临沧临翔区·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如，的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离，因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 【探究发现】 如图，数轴上，点A，B，P分别表示数，2，x，因为的几何意义是线段PA与PB的长度之和，当点P在线段AB上时，，而当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以当点P在线段AB上时，有最小值，最小值是3． （1）【解决问题】 ①填空：若，则x的值为______； ②直接写出式子的最大值为______； ③若代数式的最小值是2，则m的值为______； （2）【合理建模】已知一个点P在两点之间，且到一个点的距离是到另一个点的距离的3倍，那么称这个点P是点A、B的“梦幻点”．现已知在数轴上，点P从A出发向右运动，到B停止，点A，B，P分别表示数，2，，当点P为何值时，其中一个点是另外两个点的“梦幻点”？ （3）【应用升级】已知小帅和小美同时从点A和点B向正方向跑步，小帅的速度是每秒3个单位长度，小美的速度是每秒1.5个单位长度．小帅出发时还带了一条小狗，小狗以每秒6个单位长度匀速向右运动，当小狗追上小美时掉头匀速向左运动、遇到小帅时又掉头匀速向右运动，依次进行下去．请问：小帅和小美相遇时，小狗所在位置的对应的数是多少？小狗运动的总路程是多少？ 12．（25-26学年七上·云南弥城初中教·期中）如图，数轴上有三个点，分别表示数，，16，有两条动线段和（点与点重合，点与点重合，且点在点的左边，点在点的左边），，，线段以每秒1个单位的速度从点开始向右匀速运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点开始向右匀速运动．当点运动到点时，线段立即以相同的速度返回；当点回到点时，线段同时停止运动．设运动时间为秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变）． （1）两线段运动前，点表示的数为______，点表示的数为______． （2）在整个运动过程中，当时，求出点表示的数． （3）在整个运动过程中，当两条线段有重合部分时，速度均变为原来的一半，当重合部分消失后，速度恢复，请直接写出当线段和重合部分长度为1时所对应的的值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次方程 4大高频考点概览 考点01 从算式到方程 考点02 等式的性质 考点03 解一元一次方程 考点04 实际问题与一元一次方程 考点01 从算式到方程 1．（25-26学年七上·云南昆明第十中学）已知是关于x的一元一次方程，则m的值为（     ） A.  B.  C. 2 D. 4 【答案】B 【分析】 本题考查根据一元一次方程的定义，求参数的值，根据题意，得到且，进行求解即可． 【详解】 解：由题意，得：且， ∴； 故选B． 考点02 等式的性质 1．（25-26学年七上·云南昆明第十中学）下列运用等式的性质变形正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【分析】 本题考查的是等式的基本性质．利用等式的性质对每个式子进行变形即可得出答案． 【详解】 解：A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项符合题意； D、若，时，则，故本选项不符合题意． 故选：C． 考点03 解一元一次方程 1．（25-26学年七上·云南临沧临翔区·期中）如图，点B，C，A是数轴上从左到右排列的三个点，其中B和C互为相反数，小明同学用尺子测得点A和点C之间的距离为，点A和点B之间的距离为，则数轴上将点C所对应的数精确到十分位约为（       ） A. 0.75 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.5 【答案】C 【分析】 本题主要考查数轴上点之间的距离．设点C所表示的数为，点B所表示的数为，根据两点间距离公式列式得到，据此求解即可． 【详解】 解：设点C所表示的数为， ∵B和C互为相反数， ∴点B所表示的数为， 由题意得， 解得， ∴点C所表示的数为． 故选：C． 2．（25-26学年七上·云南昆明·期中）方程的解　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元一次方程的解法，先移项，再合并同类项，最后系数化1即可求解． 【详解】 解： ， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得． 故答案为：0.6 3．（25-26学年七上·云南弥城初中教·期中）若，则　　　　　　． 【答案】5或 【分析】 该题考查了绝对值，根据绝对值的定义，一个数的绝对值等于5，则这个数可以是5或． 【详解】 解：由绝对值的定义可知，表示数x到原点的距离为5， 因此或． 故答案为：5或． 4．（25-26学年七上·云南玉溪玉溪第四中学·期中）解下列方程 （1） （2） 【答案】（1）      （2）       【分析】 本题考查了一元一次方程的解法，解题的关键是熟练掌握去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）先移项使含未知数的项在等号的左边、常数项在等号的右边，再合并同类项，最后系数化为1，解答即可； （2）先去括号，再移项、合并同类项、系数化为1，解答即可． (1) 小问详解： 解：， 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得：； (2) 小问详解： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得：． 5．（25-26学年七上·云南昆明第十中学）已知关于的方程的解是，则的值为　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题主要考查了解一元一次方程以及一元一次方程的解，先根据解的定义得出，然后解关于m的一元一次方程即可得出答案． 【详解】 解：∵是方程的解， ∴， 解得：， 故答案为：3． 6．（25-26学年七上·云南昆明东川区·期中）阅读下面材料并解决有关问题： 我们知道： ，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得（称分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①；②；③． 从而化简代数式可分以下3种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； 综上讨论，原式 通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）化简时，先确定零点值分别为___________和___________． （2）仿照上面的做法，化简． 【答案】（1）     （2） 【分析】 本题考查了绝对值的性质，化简绝对值，解一元一次方程，理解零点值的定义是解题的关键． （1）令和，即可求解； （2）根据零点值分、和三种情况解答即可求解． (1) 小问详解： 解：当时，； 当时，； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由题意， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 综上， ． 考点04 实际问题与一元一次方程 1．（25-26学年七上·云南昆明第二中学·期中）把夏禹时代的“洛书”用数学符号翻译出来就是一个三阶幻方，它的每行.每列.每条对角线上三个数之和均相等，那么幻方中的值是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】根据题意列出一元一次方程，即可求解. 【详解】依题意得5+4+9=5+3+a 解得a=10 故选C. 【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程即可求解. 2．（25-26学年七上·云南昆明·期中）若两个动点同时在数轴上做匀速运动，它们的运动时间以及位置记录如表，则两点相距9个单位长度时，时间是（     ） 时间 0 4 点的位置 10 点的位置 12 A. 1 B. 1或3 C. 2 D. 2或4 【答案】B 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用．根据路程、速度、时间的关系，先求出A和B的速度，再得出A的位置为，B的位置为，利用距离为9建立方程求解． 【详解】 解：点的速度，方向沿x轴的负方向， 点的速度，方向沿x轴的正方向， ∴t秒后，A的位置为，B的位置为， 由题意得， 解得或3． 故选：B． 3．（25-26学年七上·云南曲靖部分学校·期中）某商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，那么该商店卖出这两件衣服总的是（   ） A. 盈利16元 B. 亏损16元 C. 盈利20元 D. 亏损20元 【答案】B 【分析】 本题主要考查一元一次方程的应用．已知售价，需算出这两件衣服的进价，让总售价减去总进价就算出了总的盈亏． 【详解】 设盈利衣服的成本为元，亏损衣服的成本为元。 ∵ 盈利，卖出价120元， ∴ ， 解得 ， ∵ 亏损，卖出价120元， ∴ ， 解得 ， 总成本为 元， 总售价为 元， ∵ ， ∴ 亏损元。 故选：B． 4．（25-26学年七上·云南昭通昭阳区·期中）如图所示，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和均相等，则的值是　　　　　　． 4 0 a 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的应用，通过已知第二行的数求出幻和，再根据幻和与各行、列、对角线的和相等关系，列方程求解未知数即可． 【详解】 解：∵三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和均相等， ∴， 解得：． 故答案为：． 5．（25-26学年七上·云南昆明·期中）如图，将一个长为12，宽为4的长方形等比例缩小得到一个长为，宽为3的小长方形，则　　　　　　　． 【答案】9 【分析】 本题考查了一元一次方程的几何应用，根据将一个长为12，宽为4的长方形等比例缩小得到一个长为，宽为3的小长方形，进行列出方程，再解方程，即可作答． 【详解】 解：依题意，将一个长为12，宽为4的长方形等比例缩小得到一个长为，宽为3的小长方形， ∴ ∴ ∴， 故答案为：9 6．（25-26学年七上·云南自治州蒙自·期中）【阅读】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如，表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以转化为，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 （1）______； （2）利用数轴，解决下列问题： ①若，则______； ②若，请直接写出所有的整数：______； ③是否存在有理数x，使得式子有最大值？如果存在，写出一个符合条件的x的值及式子的最大值；如果不存在，说明理由． 【答案】（1）4 （2）①或2；②，，0，1，2，3；③存在最大值为4，此时x的值可以是6（大于或等于3的所有值均可） 【分析】 （1）根据题目中的式子和绝对值的定义可以解答本题； （2）①根据绝对值的定义可以解答本题；②根据绝对值的定义可以解答本题；③根据绝对值的定义和分类讨论的数学思想可以解答本题． 本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确绝对值的定义，利用绝对值的知识和分类讨论的数学思想解答． 【详解】 （1）解：， 故答案为：4； （2）① ∵， 或， 解得，或， 故答案为：2或； ②， 当时， ，得（舍去）， 当时， ， 当时， ，得（舍去）， 由上可得，符合要求的整数是，，0，1，2，3， 故答案为：，，0，1，2，3． ③要使有最大值，则可知为与3之间的距离， 即最大值为：，此时的值可以是6（大于或等于3的所有值均可）． 7．（25-26学年七上·云南昆明第十中学）如图，在数轴上点A表示数，点B表示数，点C表示数，是多项式 的一次项系数，是最大的负整数，单项式的次数为． （1）___________，___________，___________； （2）若点A与点D之间的距离表示为，点B与点D之间的距离表示为，请在数轴上找一点D，使，则点D表示的数是___________； （3）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A和点B分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒个单位长度的速度向左运动，点C到达原点后立即以原速度向右运动，秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为BC．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若改变，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】（1），，2     （2）或     （3） 由题意可得：t秒钟过后， ① 当时，点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上所表示的数为，点C在数轴上所表示的数为， ， 即当时，的值会随着t的变化而变化， ② 当时，点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上所表示的数为，点C在数轴上所表示的数为， ， 即当时，的值不会随着t的变化而变化，其值为定值16， 综上，当时，的值会随着t的变化而变化，时，的值不会随着t的变化而变化，其值为定值16．      【分析】 （1）根据多项式的项，单项式的次数及负整数的概念确定a，b，c的值； （2）分两种情况当D点位于A，B之间时，设D为x，当D点位于A点左侧时，设D为y，根据两点间距离公式分别求得和的长，从而得出结果； （3）根据运动方向和运动速度分别表示出点A，点B，点C在数轴上坐标是的数，然后根据两点间距离公式表示出和的长，从而利用整式的加减运算法则进行化简求值． (1) 小问详解： 解：是多项式 的一次项系数，b是最大的负整数，单项式的次数为， ， 故答案为：，，2； (2) 小问详解： 当D点位于A，B之间时，设D为x， 则， ，即 当D点位于A点左侧时，设D为y， 则， ，即 故答案为：或； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题查看数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，多项式的项，单项式的系数和次数及整式加减的应用，理解多项式的项和单项式系数及次数的概念，利用分类讨论思想解题是关键． 8．（25-26学年七上·云南昆明八中教·期中）已知，两点在数轴上所表示的数分别为，，且，满足：．                  图1                                                                                                                                备图 （1）求、的值； （2）情境：有一个玩具火车如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为．则玩具火车的长为________个单位长度；应用：如图1所示，当火车匀速向右运动时，若火车从车头到车尾完全经过点需要2秒，则火车的速度为每秒_________个单位长度； （3）在（2）的条件下，当火车匀速向右运动，同时点和点从、出发，分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为，点、间的距离用表示，点、间的距离用表示，是否存在常数使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出和这个定值：若不存在请说明理由． 【答案】（1）     （2）；     （3）存在；，定值为      【分析】 （1）根据得，计算即可． （2）① 设A表示的数为, B表示的数为,小火车的长度为,根据题意，，，建立方程计算即可． ② 根据① 得，火车完全经过点M需要2秒，点A运动路程为单位长度，利用速度=路程÷时间计算即可． （3）设玩具火车运动的时间为t秒，则点B运动到点的距离为个单位长度，此时点表示的数是，继而得到，根据题意，得到点表示的数是，点表示的数是，继而表示，代入化简，令t的系数为零计算即可． (1) 小问详解： ∵， ∴， ∴． (2) 小问详解： 设A表示的数为, B表示的数为，小火车的长度为, 根据题意，得，，， ∴， ∴， 解得， 即玩具火车长3个单位长度， ∵，火车完全经过点M需要2秒， 故点A运动路程为3单位长度， ∴玩具火车的速度为：（单位长度/秒） 故答案为：3，． (3) 小问详解： 存在，，理由如下： 设玩具火车运动的时间为t秒，则点B运动到点的距离为个单位长度，此时点表示的数是， ∴， 根据题意，得到点表示的数是，点表示的数是， ∴， ∴， ∵常数k使得的值与它们的运动时间无关， ∴， 解得， 故， 故当时，常数k使得的值与它们的运动时间无关，此时值为． 【点睛】 本题考查了数轴的动点问题，两点间的距离，数轴上的点与数的关系，多项式的无关计算，一元一次方程的应用，熟练掌握动点运动的规律和多项式的无关计算是解题的关键． 9．（25-26学年七上·云南大理州下关·期中）如图，点表示的数是，点表示的数是，满足，动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）直接写出___________，___________； （2）若点、同时出发，问点运动多少秒时追上点？ （3）若点、速度不变，分别从点、同时向右运动，同时点从原点以每秒7个单位的速度向右运动，当时，请求出的值． 【答案】（1），     （2）点P运动9秒时追上点Q     （3）      【分析】 本题考查了数轴上动点问题以及两点之间的距离、一元一次方程的应用、绝对值的非负性． （1）根据绝对值的非负性可得到结果． （2）先分别用t表示出点P和点Q，根据两数相同可得方程，再求解即可． （3）先分别用t表示出点P和点Q以及点R，分别用t表示出，然后化简，根据可求得结果． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 解得：． (2) 小问详解： 解：当运动时间为t秒时，点Q表示的数为，点P表示的数为， 由题意可得， 解得：， ∴点P运动9秒时追上点Q． (3) 小问详解： 解：当运动时间为t秒时，点Q表示的数为，点P表示的数为，点R表示的数为， ∴，， ∴， ∵， ∴，且， ∴， 解得：． 10．（25-26学年七上·云南昆明第二中学·期中）已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且，A、B之间的距离记为或，请回答问题： （1）直接写出a，b，的值，______，______，______． （2）设点P在数轴上对应的数为x，若，则______． （3）如图，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为，动点P表示的数为x．    ①若点P在点M、N之间，则______； ②若，则______； ③若点A，B分别从点M，N同时出发，点A以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，B到点M后立刻原速返回，设运动时间为秒． 求t为何值时，点A与B相距5个单位长度？ 【答案】（1），，；     （2），；     （3）：①；②或；③      【分析】 （1）根据非负式子和为0它们分别等于0直接求解即可得到答案； （2）根据绝对值性质展开求解即可得到答案； （3）① 根据绝对值性质展开求解即可得到答案；② 分x代表的点在点N左边和点M右边两类讨论求解即可得到答案；③ 根据得到相距5个单位长度只能在点B返回时出现，且是在相遇之后，结合路程问题列式求解即可得到答案； (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：，，； (2) 小问详解： 解：∵， ∴或， 解得：或， 故答案为：，； (3) 小问详解： ① 解：∵点P在点M、N之间， ∴， ∴， 故答案为：； ② 解：当x代表的点在点N左边时， ∵， ∴， 解得：， 当x代表的点在点M右边时， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：或； ③ 解：由题意可得， ∵，点B的速度大于点A的速度， ∴相距5个单位长度只能在点B返回时出现，且是在相遇之后， ∴， 解得：， 答：时，点A与B相距5个单位长度； 【点睛】 本题主要考查数轴上两点间距离关系及动点问题，解题的关键是熟练掌握数轴上A、B之间的距离记为或及注意分类讨论． 11．（25-26学年七上·云南临沧临翔区·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如，的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离，因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 【探究发现】 如图，数轴上，点A，B，P分别表示数，2，x，因为的几何意义是线段PA与PB的长度之和，当点P在线段AB上时，，而当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以当点P在线段AB上时，有最小值，最小值是3． （1）【解决问题】 ①填空：若，则x的值为______； ②直接写出式子的最大值为______； ③若代数式的最小值是2，则m的值为______； （2）【合理建模】已知一个点P在两点之间，且到一个点的距离是到另一个点的距离的3倍，那么称这个点P是点A、B的“梦幻点”．现已知在数轴上，点P从A出发向右运动，到B停止，点A，B，P分别表示数，2，，当点P为何值时，其中一个点是另外两个点的“梦幻点”？ （3）【应用升级】已知小帅和小美同时从点A和点B向正方向跑步，小帅的速度是每秒3个单位长度，小美的速度是每秒1.5个单位长度．小帅出发时还带了一条小狗，小狗以每秒6个单位长度匀速向右运动，当小狗追上小美时掉头匀速向左运动、遇到小帅时又掉头匀速向右运动，依次进行下去．请问：小帅和小美相遇时，小狗所在位置的对应的数是多少？小狗运动的总路程是多少？ 【答案】（1）①；②6；③或；     （2）点P为或时，其中一个点是另外两个点的“梦幻点”；     （3）小狗所在位置对应数为8，小狗运动的总路程为20个单位长度．      【分析】 本题主要考查了数轴上两点的距离，绝对值的几何意义，化简绝对值，解一元一次方程． （1）① 根据绝对值的几何意义求解即可； ② 分情况讨论，去掉绝对值符号，进而求解； ③ 根据题意得，即可求解； （2）分情况进行讨论：利用“梦幻点”的定义分别列式计算即可． （3）先求出小帅追上小美所花的时间，从而即可得出小帅追上小美的位置对应的数以及小狗运动路程． (1) 小问详解： 解：① 若，则x的值为， 故答案为：； ② 当时，； 当时，，当，的最大值为； 当时，； 综上，的最大值为； 故答案为：6； ③表示x所对应的点到和所对应的点的距离之和， 当x在和之间时，有最小值，最小值为， ∵代数式的最小值是2， ∴， 解得：或， 故答案为：或； (2) 小问详解： 解：∵点P在两点A、B之间，∴， ① 当时，由题意得，解得； ② 当时，由题意得，解得； 综上，点P为或时，其中一个点是另外两个点的“梦幻点”； (3) 小问详解： 解：小帅追上小美所花的时间为：（秒）， ∴小帅追上小美的位置对应的数为：， ∵小狗以每秒6个单位的速度匀速向右运动，当小狗追上小美时掉头匀速向左运动，当小狗遇上小帅时掉头匀速向右运动，依次进行下去， ∴当小帅追上小美时，小狗运动路程为， 故小狗所在位置对应数为8，小狗运动的总路程为20个单位长度． 12．（25-26学年七上·云南弥城初中教·期中）如图，数轴上有三个点，分别表示数，，16，有两条动线段和（点与点重合，点与点重合，且点在点的左边，点在点的左边），，，线段以每秒1个单位的速度从点开始向右匀速运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点开始向右匀速运动．当点运动到点时，线段立即以相同的速度返回；当点回到点时，线段同时停止运动．设运动时间为秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变）． （1）两线段运动前，点表示的数为______，点表示的数为______． （2）在整个运动过程中，当时，求出点表示的数． （3）在整个运动过程中，当两条线段有重合部分时，速度均变为原来的一半，当重合部分消失后，速度恢复，请直接写出当线段和重合部分长度为1时所对应的的值． 【答案】（1），     （2）当时，点M表示的数是或2；     （3）重合部分长度为1时所对应的t的值是5或9或18或20．      【分析】 本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，能用含t的代数式表示点运动后所表示的数． （1）由，，再利用点与点重合，点与点重合，且点在点的左边，点在点的左边可得答案； （2）当时，Q表示的数是，P表示的数是，M表示的数是，，此时，当时，Q表示的数是，P表示的数是，M表示的数是， （3）当从A向C运动时，或，当从C向A运动时，或，解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 解：∵数轴上有三个点，分别表示数，，16，有两条动线段和（点与点重合，点与点重合，且点在点的左边，点在点的左边），，， ∴对应的数为，对应的数为； (2) 小问详解： 解：当时，Q表示的数是，P表示的数是，M表示的数是， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 此时 当时，Q表示的数是，P表示的数是，M表示的数是， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 此时， ∴当时，点M表示的数是或2； (3) 小问详解： 解：当从A向C运动时， 时，与开始有重合部分，有重合部分时，Q表示的数为，P表数为，M表示的数为，N表示的数是， 若线段和重合部分长度为1， 则 或， 解得或， 由 得， ∴当时，与的重合部分消失，恢复原来的速度，此时Q表示的数是1， 再过（秒），Q到达C，此时， 则M所在点表示的数是，N所在点表示的数4， 当从C向A运动时， ∴重合时，， 解得：， 此时对应的数为：，为，为， 当时，与开始有重合部分，有重合部分后， Q表示的数为，表示的数为， M表示的数为，N表示的数是， 若线段和重合部分长度为1， 或， 解得或， ∴重合部分长度为1时所对应的t的值是或或18或20． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次方程 考点01 从算式到方程 考点02 等式的性质 考点03 解一元一次方程 考点04 实际问题与一元一次方程 考点01 从算式到方程 1．B 考点02 等式的性质 1．C 考点03 解一元一次方程 1．C 2．【答案】 【分析】 本题考查了一元一次方程的解法，先移项，再合并同类项，最后系数化1即可求解． 【详解】 解： ， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得． 故答案为：0.6 3．【答案】5或 【分析】 该题考查了绝对值，根据绝对值的定义，一个数的绝对值等于5，则这个数可以是5或． 【详解】 解：由绝对值的定义可知，表示数x到原点的距离为5， 因此或． 故答案为：5或． 4．【答案】（1）      （2）       【分析】 本题考查了一元一次方程的解法，解题的关键是熟练掌握去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）先移项使含未知数的项在等号的左边、常数项在等号的右边，再合并同类项，最后系数化为1，解答即可； （2）先去括号，再移项、合并同类项、系数化为1，解答即可． (1) 小问详解： 解：， 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得：； (2) 小问详解： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得：． 5．【答案】3 【分析】 本题主要考查了解一元一次方程以及一元一次方程的解，先根据解的定义得出，然后解关于m的一元一次方程即可得出答案． 【详解】 解：∵是方程的解， ∴， 解得：， 故答案为：3． 6．【答案】（1）     （2） 【分析】 本题考查了绝对值的性质，化简绝对值，解一元一次方程，理解零点值的定义是解题的关键． （1）令和，即可求解； （2）根据零点值分、和三种情况解答即可求解． (1) 小问详解： 解：当时，； 当时，； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由题意， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 综上， ． 考点04 实际问题与一元一次方程 1．C 2．B 3．B 4．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的应用，通过已知第二行的数求出幻和，再根据幻和与各行、列、对角线的和相等关系，列方程求解未知数即可． 【详解】 解：∵三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和均相等， ∴， 解得：． 故答案为：． 5．【答案】9 【分析】 本题考查了一元一次方程的几何应用，根据将一个长为12，宽为4的长方形等比例缩小得到一个长为，宽为3的小长方形，进行列出方程，再解方程，即可作答． 【详解】 解：依题意，将一个长为12，宽为4的长方形等比例缩小得到一个长为，宽为3的小长方形， ∴ ∴ ∴， 故答案为：9 6．【答案】（1）4 （2）①或2；②，，0，1，2，3；③存在最大值为4，此时x的值可以是6（大于或等于3的所有值均可） 【分析】 （1）根据题目中的式子和绝对值的定义可以解答本题； （2）①根据绝对值的定义可以解答本题；②根据绝对值的定义可以解答本题；③根据绝对值的定义和分类讨论的数学思想可以解答本题． 本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确绝对值的定义，利用绝对值的知识和分类讨论的数学思想解答． 【详解】 （1）解：， 故答案为：4； （2）① ∵， 或， 解得，或， 故答案为：2或； ②， 当时， ，得（舍去）， 当时， ， 当时， ，得（舍去）， 由上可得，符合要求的整数是，，0，1，2，3， 故答案为：，，0，1，2，3． ③要使有最大值，则可知为与3之间的距离， 即最大值为：，此时的值可以是6（大于或等于3的所有值均可）． 7．【答案】（1），，2     （2）或     （3） 由题意可得：t秒钟过后， ① 当时，点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上所表示的数为，点C在数轴上所表示的数为， ， 即当时，的值会随着t的变化而变化， ② 当时，点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上所表示的数为，点C在数轴上所表示的数为， ， 即当时，的值不会随着t的变化而变化，其值为定值16， 综上，当时，的值会随着t的变化而变化，时，的值不会随着t的变化而变化，其值为定值16．      【分析】 （1）根据多项式的项，单项式的次数及负整数的概念确定a，b，c的值； （2）分两种情况当D点位于A，B之间时，设D为x，当D点位于A点左侧时，设D为y，根据两点间距离公式分别求得和的长，从而得出结果； （3）根据运动方向和运动速度分别表示出点A，点B，点C在数轴上坐标是的数，然后根据两点间距离公式表示出和的长，从而利用整式的加减运算法则进行化简求值． (1) 小问详解： 解：是多项式 的一次项系数，b是最大的负整数，单项式的次数为， ， 故答案为：，，2； (2) 小问详解： 当D点位于A，B之间时，设D为x， 则， ，即 当D点位于A点左侧时，设D为y， 则， ，即 故答案为：或； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题查看数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，多项式的项，单项式的系数和次数及整式加减的应用，理解多项式的项和单项式系数及次数的概念，利用分类讨论思想解题是关键． 8．【答案】（1）     （2）；     （3）存在；，定值为      【分析】 （1）根据得，计算即可． （2）① 设A表示的数为, B表示的数为,小火车的长度为,根据题意，，，建立方程计算即可． ② 根据① 得，火车完全经过点M需要2秒，点A运动路程为单位长度，利用速度=路程÷时间计算即可． （3）设玩具火车运动的时间为t秒，则点B运动到点的距离为个单位长度，此时点表示的数是，继而得到，根据题意，得到点表示的数是，点表示的数是，继而表示，代入化简，令t的系数为零计算即可． (1) 小问详解： ∵， ∴， ∴． (2) 小问详解： 设A表示的数为, B表示的数为，小火车的长度为, 根据题意，得，，， ∴， ∴， 解得， 即玩具火车长3个单位长度， ∵，火车完全经过点M需要2秒， 故点A运动路程为3单位长度， ∴玩具火车的速度为：（单位长度/秒） 故答案为：3，． (3) 小问详解： 存在，，理由如下： 设玩具火车运动的时间为t秒，则点B运动到点的距离为个单位长度，此时点表示的数是， ∴， 根据题意，得到点表示的数是，点表示的数是， ∴， ∴， ∵常数k使得的值与它们的运动时间无关， ∴， 解得， 故， 故当时，常数k使得的值与它们的运动时间无关，此时值为． 【点睛】 本题考查了数轴的动点问题，两点间的距离，数轴上的点与数的关系，多项式的无关计算，一元一次方程的应用，熟练掌握动点运动的规律和多项式的无关计算是解题的关键． 9．【答案】（1），     （2）点P运动9秒时追上点Q     （3）      【分析】 本题考查了数轴上动点问题以及两点之间的距离、一元一次方程的应用、绝对值的非负性． （1）根据绝对值的非负性可得到结果． （2）先分别用t表示出点P和点Q，根据两数相同可得方程，再求解即可． （3）先分别用t表示出点P和点Q以及点R，分别用t表示出，然后化简，根据可求得结果． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 解得：． (2) 小问详解： 解：当运动时间为t秒时，点Q表示的数为，点P表示的数为， 由题意可得， 解得：， ∴点P运动9秒时追上点Q． (3) 小问详解： 解：当运动时间为t秒时，点Q表示的数为，点P表示的数为，点R表示的数为， ∴，， ∴， ∵， ∴，且， ∴， 解得：． 10．【答案】（1），，；     （2），；     （3）：①；②或；③      【分析】 （1）根据非负式子和为0它们分别等于0直接求解即可得到答案； （2）根据绝对值性质展开求解即可得到答案； （3）① 根据绝对值性质展开求解即可得到答案；② 分x代表的点在点N左边和点M右边两类讨论求解即可得到答案；③ 根据得到相距5个单位长度只能在点B返回时出现，且是在相遇之后，结合路程问题列式求解即可得到答案； (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：，，； (2) 小问详解： 解：∵， ∴或， 解得：或， 故答案为：，； (3) 小问详解： ① 解：∵点P在点M、N之间， ∴， ∴， 故答案为：； ② 解：当x代表的点在点N左边时， ∵， ∴， 解得：， 当x代表的点在点M右边时， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：或； ③ 解：由题意可得， ∵，点B的速度大于点A的速度， ∴相距5个单位长度只能在点B返回时出现，且是在相遇之后， ∴， 解得：， 答：时，点A与B相距5个单位长度； 【点睛】 本题主要考查数轴上两点间距离关系及动点问题，解题的关键是熟练掌握数轴上A、B之间的距离记为或及注意分类讨论． 11．【答案】（1）①；②6；③或；     （2）点P为或时，其中一个点是另外两个点的“梦幻点”；     （3）小狗所在位置对应数为8，小狗运动的总路程为20个单位长度．      【分析】 本题主要考查了数轴上两点的距离，绝对值的几何意义，化简绝对值，解一元一次方程． （1）① 根据绝对值的几何意义求解即可； ② 分情况讨论，去掉绝对值符号，进而求解； ③ 根据题意得，即可求解； （2）分情况进行讨论：利用“梦幻点”的定义分别列式计算即可． （3）先求出小帅追上小美所花的时间，从而即可得出小帅追上小美的位置对应的数以及小狗运动路程． (1) 小问详解： 解：① 若，则x的值为， 故答案为：； ② 当时，； 当时，，当，的最大值为； 当时，； 综上，的最大值为； 故答案为：6； ③表示x所对应的点到和所对应的点的距离之和， 当x在和之间时，有最小值，最小值为， ∵代数式的最小值是2， ∴， 解得：或， 故答案为：或； (2) 小问详解： 解：∵点P在两点A、B之间，∴， ① 当时，由题意得，解得； ② 当时，由题意得，解得； 综上，点P为或时，其中一个点是另外两个点的“梦幻点”； (3) 小问详解： 解：小帅追上小美所花的时间为：（秒）， ∴小帅追上小美的位置对应的数为：， ∵小狗以每秒6个单位的速度匀速向右运动，当小狗追上小美时掉头匀速向左运动，当小狗遇上小帅时掉头匀速向右运动，依次进行下去， ∴当小帅追上小美时，小狗运动路程为， 故小狗所在位置对应数为8，小狗运动的总路程为20个单位长度． 12．【答案】（1），     （2）当时，点M表示的数是或2；     （3）重合部分长度为1时所对应的t的值是5或9或18或20．      【分析】 本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，能用含t的代数式表示点运动后所表示的数． （1）由，，再利用点与点重合，点与点重合，且点在点的左边，点在点的左边可得答案； （2）当时，Q表示的数是，P表示的数是，M表示的数是，，此时，当时，Q表示的数是，P表示的数是，M表示的数是， （3）当从A向C运动时，或，当从C向A运动时，或，解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 解：∵数轴上有三个点，分别表示数，，16，有两条动线段和（点与点重合，点与点重合，且点在点的左边，点在点的左边），，， ∴对应的数为，对应的数为； (2) 小问详解： 解：当时，Q表示的数是，P表示的数是，M表示的数是， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 此时 当时，Q表示的数是，P表示的数是，M表示的数是， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 此时， ∴当时，点M表示的数是或2； (3) 小问详解： 解：当从A向C运动时， 时，与开始有重合部分，有重合部分时，Q表示的数为，P表数为，M表示的数为，N表示的数是， 若线段和重合部分长度为1， 则 或， 解得或， 由 得， ∴当时，与的重合部分消失，恢复原来的速度，此时Q表示的数是1， 再过（秒），Q到达C，此时， 则M所在点表示的数是，N所在点表示的数4， 当从C向A运动时， ∴重合时，， 解得：， 此时对应的数为：，为，为， 当时，与开始有重合部分，有重合部分后， Q表示的数为，表示的数为， M表示的数为，N表示的数是， 若线段和重合部分长度为1， 或， 解得或， ∴重合部分长度为1时所对应的t的值是或或18或20． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $