九年级数学上学期9月学情自测（新教材沪科版21-22章：二次函数与反比例函数+相似形，高效培优·提升卷）

**基本信息** 2026-2027学年八年级数学9月学情自测，聚焦沪科版八上反比例函数与二次函数，以喷灌系统、泡茶水温等真实情境设计问题，体现用数学眼光观察现实世界、用模型意识解决实际问题的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|反比例函数性质、二次函数图像变换|第3题结合函数图像辨析，考查几何直观| |填空题|6/12|二次函数与x轴交点、函数定义|第16题喷灌系统水柱问题，渗透空间观念| |解答题|8/72|函数建模、利润计算、图形综合|第24题陕北窑洞抛物线建模，融合文化传承与应用意识；第23题工厂利润问题，体现运算能力与推理意识|

2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D C A D D D C B D B B 二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。 13．5或-1 14．2 15．-1 16．6 17．±2 18．－ 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分） 【详解】（1）解：∵y是x的反例函数， ∴设y= (k≠0)， 当x=2时，y=6． ∴k=xy=12， ∴y=； （2）解：∵y=， ∴当x=4时，y=3． 20.（6分） 【详解】（1）解：∵点B在抛物线上， ∴1=a×1， ∴a=1， ∴ y=x2 . （2）由题意得：-x+2=x2 得 -2 ∴C(-2，4) ∴ （3）-2＜x＜1 21.（8分） 【详解】（1）解：∵ 函数与 y轴的交点在x轴上方， ∴ x=0，y=m-1 ∴ m-1＞0 ∴ m＞1 则m的取值范围是m＞1. （2）解：∵ ∴ a=1，b=2m，c=m-1 ∴ ∵ （2m-1）2≥0， ∴ （2m-1）2+3≥3 ∴ ∴ 不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点. 22.（8分） 【详解】（1）解：停止加热时，设 ， 由题意得：50＝ ， 解得：k＝900， ∴y＝ ， 当y＝100时，解得：x＝9， ∴C点坐标为(9，100)， ∴B点坐标为(8，100)， 当加热烧水时，设y＝ax+20， 由题意得：100＝8a+20， 解得：a＝10， ∴当加热烧水，函数关系式为y＝10x+20(0≤x≤8)； 当停止加热，得y与x的函数关系式 为y＝100(8＜x≤9)；y＝ (9＜x≤45)； （2）解：把y＝90代入y＝ ，得x＝10， 因此从烧水开到泡茶需要等待10﹣8＝2分钟． 23.（10分） 【详解】（1）解：设y与x的函数解析式为y=kx+b，根据题意得 解之： ∴y=-2x+100， 当x=35时y=-2×35+100=30， 设三月份每件产品的成本是a元，根据题意得 30（35-a）=450 解之：a=20. 答：三月份每件产品的成本是20万元 （2）解：根据题意得 w=[x-（20-14）]y=（x-6）（-2x+100）-450=-2（x-28）2+518 ∵四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元， ∴25≤x≤30， ∵a=-2，抛物线的开口向下， ∴当25≤x＜28时，y随x的增大而增大，28＜x≤30时，y随x的增大而减小， ∴当x=25时，w有最小值=-2（25-28）2+518=500 ∴ 最少利润是500万元 24.（10分） 【详解】（1）解：∵在矩形中，米，米， ∴米，米， ∴，，， ∴抛物线的对称轴是直线， 又∵窑洞的最高点(抛物线的顶点)高地面的距离为米， ∴， 设抛物线的解析式是：， 将点C代入得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：设这个正方形窗户 的边长为米， 即， ∴点G的纵坐标是：(米)， 由抛物线和正方形的对称性可知：， ∴(米)， ∴点G的横坐标是：(米)， ∴， 将点G代入抛物线解析式得：， 解得：(舍去) ∴这个正方形窗户的边长为1米． 25.（12分） 【详解】（1）解：将点A的坐标为代入直线中， 得， 解得：， ， ， B的坐标为 （2）解：如图，作轴于点E，轴于点F，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点G，则即为的最小值， ， ， ， 设的解析式为， ， ， 解得： ， 解析式为， 当时，， ； （3）解：存在．理由如下： 当点P在x轴上时，如图， 设点 的坐标为 ，过点B作轴于点M， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 经检验符合题意， ∴点 的坐标为； 当点P在y轴上时，过点B作轴于点N，如图2， 设点 的坐标为， 四边形是矩形， ， ，， ， ， 即， ， 经检验符合题意， ∴点的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或． 26．（12分） 【详解】（1）解：把A（1，0）、B（3，0）代入y＝x2＋bx＋c 得 解得 ∴y＝x2-4x＋3； （2）解：令x=0，得y＝3 ∴C（0，3） 设直线BC的解析式为y=kx+b 把B（3，0）、C（0，3）代入得 解得 ∴直线BC的解析式为y=-x+3 ∵点D的横坐标为m， ∴D（m，m2-4m＋3）、F （m，-m＋3） ∴FD=（-m＋3）-（m2-4m＋3）=- m2+3m ∵A（1，0）、B（3，0） ∴AB=2 ∵四边形ADBF面积为=- m2+3m=-（m-）2+ ∴当m=时，四边形ADBF面积的最大值为； （3）如图， 由（2）可得D（，）、F（，） 将四边形ADBF沿直线DE向上平移得到四边形A1D1B1F1，设沿直线DE向上平移h个单位 故A1（1，h）、B1（3，h）、D1（，+h）、F1（，+h） ∵直线A1D1与直线AF交于点H，D1HA1H，AA1DF ∴△AA1H∽△FD1H ∴= ∴ ∵F=-（+h）=-h，A1A=h ∴ 解得h= ∴A1（1，）、B1（3，）、D1（，）、F1（，3） 设直线B1F1的解析式为y=px+q 把B1（3，）、F1（，3）代入得，解得 ∴直线B1F1的解析式为y=-x+ 设P点的坐标为（x，x2-4x＋3）， ∵点P、Q、B、B1为顶点的四边形是平行四边形 ∴PQBB1，PQ=BB1=， ∴Q点坐标为（x，-x+） ∵PQ=， 故 解得x1=0，x2=3，x3=，x4= ∵点P在B点左侧的抛物线上， ∴x1=0，x3= 故点P的横坐标为0或． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材沪科版九年级上册第二十一章~第二十二章。 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.关于反比例函数，下列说法错误的是（　　） A．图象经过点(1，﹣3) B．y随x的增大而增大 C．图象关于原点对称 D．图象与坐标轴没有交点 【答案】B 【详解】解：A、反比例函数，当x＝1时y＝﹣3，说法正确，故本选项不符合题意； B、反比例函数中k＝﹣3＜0，则该函数图象经过第二、四象限，需要强调在每个象限内y随x的增大而增大，故说法错误，本选项符合题意； C、反比例函数的图象关于原点对称，说法正确，故本选项不符合题意； D、图象与坐标轴没有交点，说法正确，故本选项不符合题意． 故答案为：B． 2.将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（　　） A．y=﹣2（x+1）2﹣1 B．y=﹣2（x+1）2+3 C．y=﹣2（x﹣1）2﹣1 D．y=﹣2（x﹣1）2+3 【答案】D 【详解】解；将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为y=﹣2（x﹣1）2+3， 故答案为：D． 3.一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、由函数的图象可知，由函数的图象可知，相矛盾，∴A不符合题意； B、由函数的图象可知，由函数的图象可知，∴B不符合题意； C、由函数的图象可知，由函数的图象可知，∴C符合题意； D、由函数的图象可知，，一次函数与轴交与负半轴，相矛盾，故错误，∴D不符合题意； 故答案为：C． 4.在反比例函数图象的每一支曲线上，y的值都随x值的增大而减小，则常数k的取值范围是（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵反比例函数图像的每一支曲线上，y的值都随x值的增大而减小， ∴k-3>0， ∴k>3， 故答案为：A. 5.若点在抛物线上，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 抛物线 ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=-2， -2-（-4）=2，-1-（-2）=1，1-（-2）=3， ∵3＞2＞0， ∴ . 故答案为：D. 6.某闭合电路中，电源的电压为定值，电流与电阻成反比例．如图所示的是该电路中电流与电阻之间的函数关系的图象，则用电阻表示电流的函数解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设反比例函数的解析式为（）， 由图象可知，函数经过点， ∴，得 ∴反比例函数解析式为． 即用电阻R表示电流I的函数解析式为 故答案为：D. 7.已知二次函数 的图象如图所示，有下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：抛物线与x轴有两个不同的交点，因此b2-4ac＞0，故①符合题意； 抛物线开口向上，因此a＞0，对称轴为x=1＞0，a、b异号，因此b＜0，抛物线与y轴交在负半轴，因此c＜0，所以abc＞0，故②符合题意； 由图象可知，当x=-2时，y=4a-2b+c＞0，故③符合题意； ∵对称轴x=- =1 ∴-b=2a 当x=-1时，y=a-b+c＜0， ∴a+2a+c＜0，即 ，故④符合题意； 综上所述，符合题意结论有：①②③④ 故答案为：D． 8.如图，在反比例函数 （x＞0）的图象上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1＋S2＋S3＝（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】解：平移后如图， 当x=4时y=， ∴矩形AOCB的面积为1×=； 当x=1时y=2， ∴S1＋S2＋S3+S矩形AOCB=2 ∴S1＋S2＋S3=2-=. 故答案为： 9.我们知道函数的图象可以由反比例函数的图象左右平移得到，下列关于的图象的性质： ①的图象可以由的图象向右平移3个单位长度得到； ②的图象关于点对称； ③的图象关于直线对称； ④若，根据图象可知，的解集是． 其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．①②④ 【答案】B 【详解】解：①的图象可以由的图象向左平移3个单位长度得到，结论错误； ②的图象关于对称，当时，，的图象关于点对称；结论正确； ③的图象关于直线对称，的图象关于直线对称；结论正确； ④如图， 根据图象可知，的解集是；结论错误； 正确的有②③； 故答案为：B． 10.如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在中， 当，， 解得，， ，， 当时，， ∴原抛物线与轴交点坐标为， ∴翻折后与y轴的交点坐标为， 当直线经过点B时，直线与新图有3个交点，如图所示： 把代入中，得， ∵抛物线翻折到x轴下方的部分的解析式为：， ∴翻折后的部分解析式为：， 当直线与抛物线只有一个交点C时， 直线与图象有3个交点， 把代入中， 得到方程有两个相等的实数根， 整理得， ∴， 解得， ∴当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是． 故答案为：D． 11.已知二次函数的图像过点，对称轴为直线．下列四个结论：①；②若点，均在该二次函数图象上，则；③若m为任意实数，则；④对于任何实数k，关于x的方程必有两个不相等的实数根，其中正确的（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【详解】解：二次函数的图象经过点，对称轴为直线， 二次函数的图象经过点， 即时，， ，故①正确； ， 点，关于直线对称， ，故②正确； 二次函数的图象过点和， ， 解得， ， 当时，抛物线开口向上，当时，为最小值， 若为任意实数，则； 当时，抛物线开口向下，当时，为最大值， 若为任意实数，则； 故③错误； 由得， ， 又，， 得，， 则△， 关于的方程必有两个不相等的实数根， 故④正确． 故选：B． 12.在平面直角坐标系中，二次函数（都是正整数）的图象与轴有两个不同的交点．若和都大于1，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D．的最小值是25 【答案】B 【详解】解：如图， ∵二次函数（都是正整数）的图象与轴有两个不同的交点． ∴是的两个实数根， ∵都是正整数， ∴，，抛物线的开口向上，对称轴直线在轴的左侧， ∵和都大于1， ∴，， ∴对称轴在的左侧，， ∴，，故B选项错误，符合题意； ∴，故A选项正确，不符合题意， ∴当时，， 则，故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵都是正整数， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵都是正整数，， ∴的最小值为1， 当时，， ∴， ∴， ∴的最小值为5， ∵， ∴的最小值也为5， ∴的最小值为：；故D选项正确，不符合题意； 故答案为：B． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13.抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标为-5和1，则方程ax2－bx＋c=0的解为　 　． 【答案】5或-1 【详解】解：∵抛物线y= ax2+bx+c（a≠0） 的图象与x轴交点的横坐标为-5和1， 又∵抛物线y= ax2+bx+c的对称轴是，而抛物线y=ax2－bx＋c的对称轴是， ∴两抛物线开头方向，形状都相同，又关于y轴对称， ∴两抛物线与x轴的交点也关于y轴对称， ∴抛物线y=ax2－bx＋c的图象与x轴交点的横坐标为5和-1， 即方程 ax2－bx＋c=0 的解为x1=5，x2=-1. 故答案为：5或-1. 14.若函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为　 　． 【答案】2 【详解】解：由题意，得，解得m=2 故答案为：2. 15.二次函数与x轴交于两点，且，则k的值为　 　． 【答案】 【详解】解：因为二次函数与x轴交于两点， 可得是方程的两根， 由根与系数的关系，可得， 又因为，可得， 解得 当时，方程可化为，，符合题意； 当时，方程可化为，，不符合题意， 所以k的值为． 故答案为：． 16.如图1为喷灌系统，工作时，其侧面示意图如图2所示．升降杆垂直于地面，喷射的水柱呈抛物线，喷头H能在升降杆上调整高度，将喷头调整至离地面2米高时，喷射的水柱距升降杆1米处达到最高，高度为米．将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变，此时喷射的水柱落地点与O的距离为　 　米． 【答案】 【详解】解：以直线作为轴，以地面为轴， 由题意可得，抛物线的顶点为，经过点， ∴设抛物线解析式为， 将代入可得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∵将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变， ∴调高后的抛物线解析式为，即， 将代入得，， 整理得：， ， 解得：，（舍去）， ∴将喷头再调高4米后，喷射的水柱落地点与O的距离为6米， 故答案为：． 17.已知函数的图象与轴只有一个交点，则　 　． 【答案】 【详解】解：①当k=2时， 函数变为：y=-4x+3， ∴y=-4x+3与x轴只有一个交点； 当k≠2时， ∵函数的图象与轴只有一个交点， ∴Δ=(-2k)2-4(k-2)(k+1)=0， 解得k =-2； 当k=±2时，函数y=(k-2)x2-2kx+(k+1)的图象与x轴只有一个交点； 故答案为：±2. 18.如图，在平面直角坐标系中，点A，点B都在双曲线y＝(k≠0)上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为－1，∠AOB＝∠ABO＝45°，则k的值为___________ 【答案】－ 【详解】过A作AM⊥y轴于M，过B作BD⊥x轴于D，直线BD与AM交于点N，如图所示， 则∠AMO＝∠ODN＝∠MOD＝90°，∴四边形OMND是矩形，∠AOM＋∠OAM＝90°，∴OD＝MN，DN＝OM，∠BNA＝90°.∵∠AOB＝∠OBA＝45°，∴OA＝BA，∠OAB＝90°，∴∠OAM＋∠BAN＝90°，∴∠AOM＝∠BAN.把x＝－1代入y＝，得y＝－k，∴A(－1，－k)．∵双曲线y＝在第二象限，∴k<0，∴AM＝1，OM＝－k.∵∠AMO＝∠BNA＝90°，∠AOM＝∠BAN，OA＝BA，∴△AOM≌△BAN(AAS)，∴AM＝BN＝1，OM＝AN＝－k，∴OD＝1－k，BD＝OM－BN＝－k－1，∴B(－1＋k，－k－1)．∵双曲线y＝(k≠0)经过B，且k<0，∴－k－1＝，解得k1＝(舍)，k2＝＝－.经检验，k＝－是方程的解． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19.（6分）已知y是x的反比例函数，并且当x=2时，y=6． （1）求y关于x的函数解析式； （2）当x=4时，求y的值． 【详解】（1）解：∵y是x的反例函数， ∴设y= (k≠0)， 当x=2时，y=6． ∴k=xy=12， ∴y=； （2）解：∵y=， ∴当x=4时，y=3． 20.（6分）如图，直线y=﹣x+2过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y=ax2交于B，C两点，点B坐标为（1，1）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）连结OC，求出△AOC的面积． （3）当 -x+2＞ax2 时，请观察图像直接写出x的取值范围. 【详解】（1）解：∵点B在抛物线上， ∴1=a×1， ∴a=1， ∴ y=x2 . （2）由题意得：-x+2=x2 得 -2 ∴C(-2，4) ∴ （3）-2＜x＜1 21.（8分）已知函数（m为常数）. （1）若该函数图象与y轴的交点在x轴上方，求m的取值范围； （2）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点. 【详解】（1）解：∵ 函数与 y轴的交点在x轴上方， ∴ x=0，y=m-1 ∴ m-1＞0 ∴ m＞1 则m的取值范围是m＞1. （2）解：∵ ∴ a=1，b=2m，c=m-1 ∴ ∵ （2m-1）2≥0， ∴ （2m-1）2+3≥3 ∴ ∴ 不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点. 22.（8分）泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y(℃)与时间x(min)近似于反比例函数关系(如图)．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃． （1）分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围： （2）从水壶中的水烧开(100℃)降到90℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？ 【详解】（1）解：停止加热时，设 ， 由题意得：50＝ ， 解得：k＝900， ∴y＝ ， 当y＝100时，解得：x＝9， ∴C点坐标为(9，100)， ∴B点坐标为(8，100)， 当加热烧水时，设y＝ax+20， 由题意得：100＝8a+20， 解得：a＝10， ∴当加热烧水，函数关系式为y＝10x+20(0≤x≤8)； 当停止加热，得y与x的函数关系式 为y＝100(8＜x≤9)；y＝ (9＜x≤45)； （2）解：把y＝90代入y＝ ，得x＝10， 因此从烧水开到泡茶需要等待10﹣8＝2分钟． 23.（10分）某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表： 每件售价x/万元 … 24 26 28 30 32 … 月销售量y/件 … 52 48 44 40 36 … 该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元． （1）求：三月份每件产品的成本是多少万元？ （2）四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元． 【详解】（1）解：设y与x的函数解析式为y=kx+b，根据题意得 解之： ∴y=-2x+100， 当x=35时y=-2×35+100=30， 设三月份每件产品的成本是a元，根据题意得 30（35-a）=450 解之：a=20. 答：三月份每件产品的成本是20万元 （2）解：根据题意得 w=[x-（20-14）]y=（x-6）（-2x+100）-450=-2（x-28）2+518 ∵四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元， ∴25≤x≤30， ∵a=-2，抛物线的开口向下， ∴当25≤x＜28时，y随x的增大而增大，28＜x≤30时，y随x的增大而减小， ∴当x=25时，w有最小值=-2（25-28）2+518=500 ∴ 最少利润是500万元 24.（10分）陕北窑洞，具有十分浓厚的民俗风情和土气息． 如图所示，某窑洞口的下部近似为矩形 ，上部近似为一条抛物线． 已知 米，米，窑洞的最高点 (抛物线的顶点)高地面 的距离为 米． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式； （2）若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户，使得点 在矩形 的边上，点 在抛物线上，那么这个正方形窗户 的边长为多少米？ 【详解】（1）解：∵在矩形中，米，米， ∴米，米， ∴，，， ∴抛物线的对称轴是直线， 又∵窑洞的最高点(抛物线的顶点)高地面的距离为米， ∴， 设抛物线的解析式是：， 将点C代入得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：设这个正方形窗户 的边长为米， 即， ∴点G的纵坐标是：(米)， 由抛物线和正方形的对称性可知：， ∴(米)， ∴点G的横坐标是：(米)， ∴， 将点G代入抛物线解析式得：， 解得：(舍去) ∴这个正方形窗户的边长为1米． 25.（12分）如图，直线与双曲线交于A，两点，点A的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连结并延长交轴于点，且． （1）求的值，并直接写出点的坐标； （2）点是轴上的动点，连结，，求的最小值和点坐标； （3）是坐标轴上的点，是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：将点A的坐标为代入直线中， 得， 解得：， ， ， B的坐标为 （2）解：如图，作轴于点E，轴于点F，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点G，则即为的最小值， ， ， ， 设的解析式为， ， ， 解得： ， 解析式为， 当时，， ； （3）解：存在．理由如下： 当点P在x轴上时，如图， 设点 的坐标为 ，过点B作轴于点M， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 经检验符合题意， ∴点 的坐标为； 当点P在y轴上时，过点B作轴于点N，如图2， 设点 的坐标为， 四边形是矩形， ， ，， ， ， 即， ， 经检验符合题意， ∴点的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或． 26．（12分）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC，点D是第四象限抛物线上一点，过点D作DE⊥x，轴于点E，交线段BC于点F，连接AD、AF、BD． （1）求抛物线的表达式； （2）设点D的横坐标为m，求四边形ADBF面积的最大值； （3）在（2）的条件下，将四边形ADBF沿直线DE向上平移得到四边形A1D1B1F1（A、D、B、F的对应点分别为A1、D1、B1、F1），直线A1D1与直线AF交于点H．点P在B点左侧的抛物线上，点Q在直线B1F1上，当以点P、Q、B、B1为顶点的四边形是平行四边形，且D1HA1H时，请直接写出点P的横坐标． 【详解】（1）解：把A（1，0）、B（3，0）代入y＝x2＋bx＋c 得 解得 ∴y＝x2-4x＋3； （2）解：令x=0，得y＝3 ∴C（0，3） 设直线BC的解析式为y=kx+b 把B（3，0）、C（0，3）代入得 解得 ∴直线BC的解析式为y=-x+3 ∵点D的横坐标为m， ∴D（m，m2-4m＋3）、F （m，-m＋3） ∴FD=（-m＋3）-（m2-4m＋3）=- m2+3m ∵A（1，0）、B（3，0） ∴AB=2 ∵四边形ADBF面积为=- m2+3m=-（m-）2+ ∴当m=时，四边形ADBF面积的最大值为； （3）如图， 由（2）可得D（，）、F（，） 将四边形ADBF沿直线DE向上平移得到四边形A1D1B1F1，设沿直线DE向上平移h个单位 故A1（1，h）、B1（3，h）、D1（，+h）、F1（，+h） ∵直线A1D1与直线AF交于点H，D1HA1H，AA1DF ∴△AA1H∽△FD1H ∴= ∴ ∵F=-（+h）=-h，A1A=h ∴ 解得h= ∴A1（1，）、B1（3，）、D1（，）、F1（，3） 设直线B1F1的解析式为y=px+q 把B1（3，）、F1（，3）代入得，解得 ∴直线B1F1的解析式为y=-x+ 设P点的坐标为（x，x2-4x＋3）， ∵点P、Q、B、B1为顶点的四边形是平行四边形 ∴PQBB1，PQ=BB1=， ∴Q点坐标为（x，-x+） ∵PQ=， 故 解得x1=0，x2=3，x3=，x4= ∵点P在B点左侧的抛物线上， ∴x1=0，x3= 故点P的横坐标为0或． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材沪科版八年级上册第二十一章~第二十二章。 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.关于反比例函数，下列说法错误的是（　　） A．图象经过点(1，﹣3) B．y随x的增大而增大 C．图象关于原点对称 D．图象与坐标轴没有交点 2.将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（　　） A．y=﹣2（x+1）2﹣1 B．y=﹣2（x+1）2+3 C．y=﹣2（x﹣1）2﹣1 D．y=﹣2（x﹣1）2+3 3.一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 4.在反比例函数图象的每一支曲线上，y的值都随x值的增大而减小，则常数k的取值范围是（　　）． A． B． C． D． 5.若点在抛物线上，则（　　） A． B． C． D． 6.某闭合电路中，电源的电压为定值，电流与电阻成反比例．如图所示的是该电路中电流与电阻之间的函数关系的图象，则用电阻表示电流的函数解析式为（ ） A． B． C． D． 7.已知二次函数 的图象如图所示，有下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8.如图，在反比例函数 （x＞0）的图象上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1＋S2＋S3＝（　　） A．1 B． C． D．2 9.我们知道函数的图象可以由反比例函数的图象左右平移得到，下列关于的图象的性质： ①的图象可以由的图象向右平移3个单位长度得到； ②的图象关于点对称； ③的图象关于直线对称； ④若，根据图象可知，的解集是． 其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．①②④ 10.如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 11.已知二次函数的图像过点，对称轴为直线．下列四个结论：①；②若点，均在该二次函数图象上，则；③若m为任意实数，则；④对于任何实数k，关于x的方程必有两个不相等的实数根，其中正确的（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 12.在平面直角坐标系中，二次函数（都是正整数）的图象与轴有两个不同的交点．若和都大于1，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D．的最小值是25 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13.抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标为-5和1，则方程ax2－bx＋c=0的解为　 　． 14.若函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为　 　． 15.二次函数与x轴交于两点，且，则k的值为　 　． 16.如图1为喷灌系统，工作时，其侧面示意图如图2所示．升降杆垂直于地面，喷射的水柱呈抛物线，喷头H能在升降杆上调整高度，将喷头调整至离地面2米高时，喷射的水柱距升降杆1米处达到最高，高度为米．将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变，此时喷射的水柱落地点与O的距离为　 　米． 17.已知函数的图象与轴只有一个交点，则　 　． 18.如图，在平面直角坐标系中，点A，点B都在双曲线y＝(k≠0)上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为－1，∠AOB＝∠ABO＝45°，则k的值为___________ 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19.（6分）已知y是x的反比例函数，并且当x=2时，y=6． （1）求y关于x的函数解析式； （2）当x=4时，求y的值． 20.（6分）如图，直线y=﹣x+2过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y=ax2交于B，C两点，点B坐标为（1，1）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）连结OC，求出△AOC的面积． （3）当 -x+2＞ax2 时，请观察图像直接写出x的取值范围. 21.（8分）已知函数（m为常数）. （1）若该函数图象与y轴的交点在x轴上方，求m的取值范围； （2）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点. 22.（8分）泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y(℃)与时间x(min)近似于反比例函数关系(如图)．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃． （1）分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围： （2）从水壶中的水烧开(100℃)降到90℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？ 23.（10分）某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表： 每件售价x/万元 … 24 26 28 30 32 … 月销售量y/件 … 52 48 44 40 36 … 该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元． （1）求：三月份每件产品的成本是多少万元？ （2）四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元． 24.（10分）陕北窑洞，具有十分浓厚的民俗风情和土气息． 如图所示，某窑洞口的下部近似为矩形 ，上部近似为一条抛物线． 已知 米，米，窑洞的最高点 (抛物线的顶点)高地面 的距离为 米． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式； （2）若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户，使得点 在矩形 的边上，点 在抛物线上，那么这个正方形窗户 的边长为多少米？ 25.（12分）如图，直线与双曲线交于A，两点，点A的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连结并延长交轴于点，且． （1）求的值，并直接写出点的坐标； （2）点是轴上的动点，连结，，求的最小值和点坐标； （3）是坐标轴上的点，是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 26．（12分）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC，点D是第四象限抛物线上一点，过点D作DE⊥x，轴于点E，交线段BC于点F，连接AD、AF、BD． （1）求抛物线的表达式； （2）设点D的横坐标为m，求四边形ADBF面积的最大值； （3）在（2）的条件下，将四边形ADBF沿直线DE向上平移得到四边形A1D1B1F1（A、D、B、F的对应点分别为A1、D1、B1、F1），直线A1D1与直线AF交于点H．点P在B点左侧的抛物线上，点Q在直线B1F1上，当以点P、Q、B、B1为顶点的四边形是平行四边形，且D1HA1H时，请直接写出点P的横坐标． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $