2026-2027学年苏科版九年级数学上学期9月学情自测卷.(测试范围：第1～2章).

**基本信息** 以虎溪公园游客增长、过氧乙酸消毒等真实情境为载体，通过解方程、函数综合等分层设计，考查一元二次方程与反比例函数核心知识，体现数学眼光与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|一元二次方程系数、反比例函数图像性质|第7题结合社会热点考查增长率模型| |填空题|6/18|配方法、根与系数关系、函数图像平移|第14题以两位数问题考查方程应用| |解答题|8/72|方程解法、函数综合、动点面积、实际应用|第22题通过消毒含药量问题融合正反比例函数，第19题动点问题发展几何直观|

2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（    ） A．2， B．2，1 C．2，或，1 D．2，0 2．已知反比例函数的图像经过点，则下列结论正确的是（     ） A． B．图像在第一、三象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．点不在该图像上 3．关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．该反比例函数图象经过点 B．y随x的增大而增大 C．该反比例函数图象关于原点O成中心对称 D．该反比例函数图象在第一、第四象限 4．如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 5．观察下列表格，一元二次方程的其中一个解的取值范围是（    ） x 0 1 2 3 4 13 30 49 A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，若直线不经过第二象限，则关于的一元二次方程的实数根的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．0或1个 D．1或2个 7．福清市虎溪公园是福州市首个3.0版的城市公园，自2024年10月1日开放后，深受市民的喜爱．已知该公园今年三月份共接待游客25万人次，五月份共接待游客64万人次，设每月的平均增长率为x，则可列方程（     ） A． B． C． D． 8．若反比例函数的图象经过点，则一次函数与在同一坐标系中的大致图象是（     ） A． B． C． D． 9．已知反比例函数的图象如图所示，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 二、填空题填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 12．已知是关于的一元二次方程的两个实数根，且满足，则___________． 13．将点向上平移个单位长度落到函数的图象上，则的值为__． 14．一个两位数，十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字和十位数字交换后得到的两位数的平方，所得数值比原来的两位数大138，则原来的两位数为_______． 15．如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为），现打算沿墙围一个面积为的矩形花圃．设花圃的长为，宽为，则关于的函数表达式是_________，自变量的取值范围是_________． 16．如图所示，点是反比例函数（）图象上的任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，点，在轴上，则的面积为________． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．解方程： (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 18．已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根． 19．如图所示，在中，厘米，厘米，，点P从点A开始沿边向点B以1厘米秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿边向点C以2厘米秒的速度移动（到达点C即停止运动），如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，的面积等于100平方厘米? 20．某小区要围建一个矩形露天电动车停放区，停放区的一侧依靠一段长度为的小区外墙，其余三边使用金属护栏搭建．在平行于外墙的这一侧护栏上预留两扇出入口，每扇出入口宽度都是，已知金属护栏总长，设垂直于外墙的一边长度为． (1)当时，若该电动车停放区的占地面积为，求； (2)当外墙长度足够大时，该矩形停放区的占地面积能否达到？ 21．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式及的面积； (2)根据图象直接写出不等式的解集； 22．过氧乙酸消毒剂是一种广谱、高效、环保型的消毒剂，比如在食品加工、医院病房、住宅、衣柜等区域均有很好的杀菌效果．对房间进行消毒时，采用浓度为的过氧乙酸消毒溶液进行喷雾消毒，每立方米空气中的含药量不低于8毫升且持续7分钟以上，能够达到最佳的消毒效果．李某进行消毒时，室内每立方米空气中的含药量y（毫升）与喷洒消毒液的时间x（分钟）成正比例关系，喷洒完成后，y与x成反比例关系（如图所示）．已知喷洒消毒液用时6分钟，此时室内每立方米空气中的含药量为16毫升． (1)分别求出当和时，y与x之间的函数关系式； (2)通过计算说明，李某此次消毒能否达到最佳消毒效果． 23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴相交于点，，与反比例函数的图像相交于点．已知点，的坐标分别为，． (1)求一次函数、反比例函数的表达式． (2)点在反比例函数的图像上，且点与点不重合．作射线，交坐标轴于点，连接，．若，求点的坐标． 24．在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点． (1)求，的值； (2)已知点是轴上一动点，过点作平行于轴的直线，交直线于点，交函数的图象于点．若，结合图象，直接写出的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（    ） A．2， B．2，1 C．2，或，1 D．2，0 【答案】C 【分析】先将一元二次方程化为一般形式，再根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数的定义，求解即可． 【详解】解：∵， 整理得，， 此时二次项系数为，一次项系数为； ∵， 整理得，， 此时二次项系数为，一次项系数为， ∴一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为，或，． 2．已知反比例函数的图像经过点，则下列结论正确的是（     ） A． B．图像在第一、三象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．点不在该图像上 【答案】C 【分析】首先利用待定系数法求得的值，进而可得该函数解析式，结合反比例函数的图像与性质逐项分析判断即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴，即该函数解析式为， ∴该函数图像在二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， 当时，，即点在该函数图像上， ∴选项A、B、D错误，不符合题意，选项C正确，符合题意． 3．关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．该反比例函数图象经过点 B．y随x的增大而增大 C．该反比例函数图象关于原点O成中心对称 D．该反比例函数图象在第一、第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，求出时的函数值即可判断A；根据函数解析式可判断函数图象所在的象限和在每个象限内的增减性，据此可判断B和D；由反比例函数的对称性可判断C． 【详解】解：当时，，故该反比例函数图象不经过点，故A说法错误，不符合题意； ∵， ∴该反比例函数图象在第二和第四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，故B和D说法都错误，不符合题意； 该反比例函数图象关于原点O成中心对称，故C说法正确符合题意； 故选：C． 4．如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图像的对称性求解即可． 【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，， ∴A，B两点关于原点对称， ∵点A的坐标是， 点B的坐标为． 5．观察下列表格，一元二次方程的其中一个解的取值范围是（    ） x 0 1 2 3 4 13 30 49 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解.的解是二次函数图象与x轴的交点的横坐标，再利用二次函数的增减性可估算解的范围． 【详解】解：观察表格可得： 当时，， 当时，， 从到的这个过程中图象一定会与x轴的相交， 所以的一个解的范围为． 故选：B． 6．在平面直角坐标系中，若直线不经过第二象限，则关于的一元二次方程的实数根的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．0或1个 D．1或2个 【答案】B 【分析】先由一次函数图象不经过第二象限得出a的取值范围，结合一元二次方程二次项系数不为0的条件确定，再通过根的判别式判断实根个数． 【详解】解：∵直线不经过第二象限， ． ∵方程是一元二次方程， ． ． ． ∴该方程有2个不相等的实数根． 7．福清市虎溪公园是福州市首个3.0版的城市公园，自2024年10月1日开放后，深受市民的喜爱．已知该公园今年三月份共接待游客25万人次，五月份共接待游客64万人次，设每月的平均增长率为x，则可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】明确三月到五月共2次月增长，以三月游客量为基数，结合五月游客量列方程． 【详解】解：三月份接待游客25万人次，每月平均增长率为，则四月份接待游客万人次，五月份接待游客万人次． ∵五月份接待游客64万人次， ∴可列方程． 8．若反比例函数的图象经过点，则一次函数与在同一坐标系中的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用待定系数法算出反比例函数k的值，再根据k的值确定反比例函数所在象限，根据k的值确定一次函数解析式，根据一次函数解析式确定一次函数图象所在象限，即可选出答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点 ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∴图象在第二、四象限内， ∵， ∴一次函数为， ∴图象经过第一、三、四象限， 联立两函数解析式可得：， 则， ∵， ∴两函数图象无交点， 综上：选项D符合题意． 9．已知反比例函数的图象如图所示，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，求出反比例函数图象经过点和时的k值，再根据越大，图象越远离坐标轴求解即可． 【详解】解：根据图象，将点代入代入中，得， 将点代入中，得， 由图象知，的取值范围是， 故选：B． 10．如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】先求出反比例函数的解析式，再根据其比例系数求出的面积即可． 【详解】解：∵反比例函数过点， ∴ 解得， ∴， ∵点P是函数图象上任意一点，且轴， ∴． 二、填空题填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 【答案】14 【分析】先移项将常数项移到等号右侧，再对左侧配方，对比形式即可得到的值． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， ∵一次项系数为，其一半的平方为， ∴方程两边同时加，得， 整理，得， ∴． 12．已知是关于的一元二次方程的两个实数根，且满足，则___________． 【答案】 【分析】先根据方程有两个实数根得到判别式非负，再利用根与系数的关系表示和，代入已知等式求解，最后根据判别式舍去不符合的解即可． 【详解】解：∵ ，是方程的两个实数根， ∴ 判别式， 即， 根据根与系数的关系得，， ∵，即， ∴， 解得或， 当时，，不存在两个实数根，舍去， 当时，，符合条件， 因此． 13．将点向上平移个单位长度落到函数的图象上，则的值为__． 【答案】 【分析】先根据点平移的坐标变化规律得到平移后点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，将点坐标代入反比例函数解析式求解的值即可． 【详解】解：根据点平移的坐标变化规律，向上平移个单位长度，横坐标不变，纵坐标加，可得平移后点的坐标为， 平移后的点落在函数的图象上， 将代入得 ，即 ， 解得． 14．一个两位数，十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字和十位数字交换后得到的两位数的平方，所得数值比原来的两位数大138，则原来的两位数为_______． 【答案】31 【分析】设原来两位数的个位数字为，根据数位表示法表示出原两位数和交换后的新两位数，根据题意给出的等量关系列一元二次方程，结合数字的性质舍去不合理的解即可得到结果． 【详解】解：设原来两位数的个位数字为，则十位数字为， 原来的两位数为，交换个位和十位后的新两位数为， 根据题意可得， 解得（舍去），， ， 十位数字为， 原来的两位数为． 15．如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为），现打算沿墙围一个面积为的矩形花圃．设花圃的长为，宽为，则关于的函数表达式是_________，自变量的取值范围是_________． 【答案】， 【分析】此题考查根据实际问题列函数关系式，理解题意掌握长方形的面积公式是解题的关键．根据长方形的面积长宽，可得，进而得出y关于x的函数表达式，再根据围墙可利用的最大长度为求得x的取值范围． 【详解】解：解：由题意得，即． ∵围墙可利用的最大长度为， ∴， 故答案为：，． 16．如图所示，点是反比例函数（）图象上的任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，点，在轴上，则的面积为________． 【答案】 9 【分析】连接、，设交轴于点，利用反比例函数系数的几何意义分别求出和的面积，进而得到的面积，最后根据平行四边形面积与三角形面积的关系求解． 【详解】解：连接、，设交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．解方程： (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， ， ∴， 解得； （2）解：， ， ， ∴， ∴， 解得； （3）解：， ∵， ∴， ∴， 解得； （4）解：， ， ， 整理得，即或， 解得． 18．已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根． 【答案】(1)证明：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴ ， ∵不论为何值，，即， ∴不论为何值，该方程总有两个实数根； (2)，方程的另一个根为． 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）先把代入原方程求解m，代入原方程，求解另一个根即可． 【详解】（1）略 （2）解：把代入，得： ， 解得：． 则方程为， 方程变为：， 或， 解得：，， ∴方程的另外一个根为2． 19．如图所示，在中，厘米，厘米，，点P从点A开始沿边向点B以1厘米秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿边向点C以2厘米秒的速度移动（到达点C即停止运动），如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，的面积等于100平方厘米? 【答案】经过秒或秒，的面积等于100平方厘米 【分析】设运动时间为t秒，根据题意和三角形面积公式进行分类讨论求解即可． 【详解】解：设运动时间为t秒， 当时，依题意，得 解得，（不合题意，舍去）； 当时，依题意，得 解得． ∴经过秒或秒，的面积等于100平方厘米． 20．某小区要围建一个矩形露天电动车停放区，停放区的一侧依靠一段长度为的小区外墙，其余三边使用金属护栏搭建．在平行于外墙的这一侧护栏上预留两扇出入口，每扇出入口宽度都是，已知金属护栏总长，设垂直于外墙的一边长度为． (1)当时，若该电动车停放区的占地面积为，求； (2)当外墙长度足够大时，该矩形停放区的占地面积能否达到？ 【答案】(1) (2)该矩形停车区的占地面积不能达到 【分析】（1）当时，利用平行于墙的边长不能超过墙长列出限制条件，再根据面积为列方程求解． （2）令矩形面积等于，再判断一元二次方程是否有解，从而判断能否达到该面积． 【详解】（1）解：由题意可知，垂直于外墙的边长． 金属护栏总长为 ，且平行于外墙的一侧预留两个 宽的门． 所以平行于墙的边长为 当 时，可得， 解得， 由该电动车停放区的占地面积为， 可得，整理得 解得 因为 必须满足 ，所以 不符合题意，舍去． 所以， 所以，当时，若该电动车停放区的占地面积为， 的值为 ． （2）解：当外墙长度 足够大时，平行于墙的边长 为 ， 可得，解得， 又因为边长必须为正数， 所以 当矩形停放区的占地面积为时， 可得，整理得， 因为， 所以方程无实数解， 即该矩形停车区的占地面积不能达到 ． 21．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式及的面积； (2)根据图象直接写出不等式的解集； 【答案】(1)，4 (2)或 【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得m的值，将点B的坐标代入反比例函数的解析式，即可求得n的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）由函数图象知不等式的解集为反比例函数图象在一次函数图象上方时，自变量x的取值范围，结合两点的坐标即可解答． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点， ∴， 解得：，， ∴，， ∴， 解得：， ∴一次函数为． 如图，记与轴的交点为， ∴， ∵，， ∴的面积为． （2）解：∵，， 结合图象可得不等式的解集为：或． 22．过氧乙酸消毒剂是一种广谱、高效、环保型的消毒剂，比如在食品加工、医院病房、住宅、衣柜等区域均有很好的杀菌效果．对房间进行消毒时，采用浓度为的过氧乙酸消毒溶液进行喷雾消毒，每立方米空气中的含药量不低于8毫升且持续7分钟以上，能够达到最佳的消毒效果．李某进行消毒时，室内每立方米空气中的含药量y（毫升）与喷洒消毒液的时间x（分钟）成正比例关系，喷洒完成后，y与x成反比例关系（如图所示）．已知喷洒消毒液用时6分钟，此时室内每立方米空气中的含药量为16毫升． (1)分别求出当和时，y与x之间的函数关系式； (2)通过计算说明，李某此次消毒能否达到最佳消毒效果． 【答案】(1) (2)能，理由如下： 当时，， 当时， ∴， ∴李某此次消毒能达到最佳效果． 【分析】（1）由求正比例函数关系式，代入反比例函数，求反比例函数关系式； （2）分别把代入正比例函数关系式和反比例函数关系式，求出相应的时间，再把时间差和7分钟比较，超过7分钟则能达到消毒的效果． 【详解】（1）由题意：设时，， 把点代入得：， ， ∴ 设时，， 把点代入得：， ， ∴ ∴y与x的函数关系式为； （2）略 23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴相交于点，，与反比例函数的图像相交于点．已知点，的坐标分别为，． (1)求一次函数、反比例函数的表达式． (2)点在反比例函数的图像上，且点与点不重合．作射线，交坐标轴于点，连接，．若，求点的坐标． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为． (2)点的坐标为或． 【分析】（1）将点，的坐标分别代入即可求得，的值，将点的坐标代入即可求得的值，从而可得一次函数与反比例函数的表达式． （2）分射线交轴于点和射线交轴于点两种情况进行讨论，结合，即可得到，两点的横（或纵）坐标关系，进而可求得点的坐标． 【详解】（1）解：将点，的坐标分别代入， 得解得 一次函数的表达式为． 将点的坐标代入，得， 反比例函数的表达式为． （2）解：分情况讨论： ①当射线交轴于点时，如图 ， ， ， 将代入，得， 点的坐标为； ②当射线交轴于点时，如图 ， ， ， 将代入，得， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 24．在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点． (1)求，的值； (2)已知点是轴上一动点，过点作平行于轴的直线，交直线于点，交函数的图象于点．若，结合图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）把交点横坐标代入直线解析式求出，得到交点的完整坐标，再代入反比例函数算出； （2）用表示出 、的坐标，进而表示出、，分情况讨论去掉绝对值符号，根据列方程求出，再结合图象求解． 【详解】（1）解：∵位于直线上， ∴， ∴点的坐标为， 代入， 可得． （2）解：据（1）可知，则函数的解析式为， 对于直线，令，， 对于，令，， 则点的坐标为，点的坐标为， 可得，， 当，点、位于第一象限， 则，， 当，可得， 解得或（不合题意，舍去）， 如图， 若要，则； 当，点、位于第一象限， 则，， 当，可得，即， 由可知无解，不符合题意； 当，点、位于第三象限， 则，， 当，可得， 解得或（不合题意，舍去）， 如图， 若要，则， 综上 的取值范围为或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $