3.3.1 垂径定理（第1课时）（题型专练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 本练习以垂径定理为核心，通过“基础证明—技能应用—综合拓展”三阶分层设计，覆盖定理直接应用、几何计算、实际建模等维度，实现从概念理解到问题解决的递进式巩固。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解层|垂径定理直接证明|6道证明题聚焦“垂直于弦的直径平分弦”核心性质，培养推理意识| |技能应用层|作图与几何计算|尺规作图（7题）结合弦长、半径、弦心距计算（20题），强化几何直观与运算能力| |综合拓展层|实际应用与多知识点融合|6道实际问题（筒车、桥洞等）及综合解答题，体现模型意识与应用能力|

3.3.1垂径定理（第1课时） 题型一：利用垂径定理进行基础证明 1．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）如图，已知点是的平分线上的一点，以为圆心的圆和角的两边分别交于点、和、．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：，理由如下： 过点分别作，，垂足分别为、， ，， 和是直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ． (2)证明：， ， ，， ， ． 【分析】（1）过点分别作，，则可知，且，则可证得，可得出． （2）由，可得，再根据垂径定理即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 2．（2025九年级上·全国·专题练习）已知：如图，在中，A、B、C、D是圆上四点，且，于点E，于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题的关键． 先根据垂径定理得出，再证明即可得出． 【详解】证明：∵，于点E， ∴， 同理可证：． ∵ ∴． ∵于E点，于点F ∴ 在与中 ， ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于C，D两点．求证：． 【答案】 证明：过作，垂足为E， ，， ， ． 【分析】本题考查了垂径定理，根据垂径定理证明即可． 【详解】略 4．（25-26九年级上·四川南充·期末）如图，是的直径，半径与弦平行，于．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查垂径定理，全等三角形的判定与性质，过作于，由垂径定理得到，，再证明，得到，则． 【详解】解：过作于， ∴，， ∵半径与弦平行，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，、是的弦，、分别为、的中点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了垂径定理，全等三角形的性质与判定，根据垂径定理求出，，推出，推出，根据等腰三角形的判定推出，进而证明得出，即可得证． 【详解】解：如图，连接 ∵点，分别为，的中点， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 6．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）如图，是的弦，半径，垂足为，，交延长线于点．求证：是的中点． 【答案】见解析 【分析】此题考查了垂径定理，等腰三角形的判定及性质，连接，根据垂径定理推出，根据直角三角形的性质及等腰三角形的判定推出，等量代换即可得解． 【详解】证明：如图，连接． ∵是的弦，半径， ∴D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即D为的中点． 题型二：垂径定理与尺规作图 1．（25-26九年级下·甘肃张掖·期中）如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交于点C，交弦于点D．已知，． (1)求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求（1）中所作圆的半径． (3)思考1：求残片所在的圆，关键是找出______，即两条弦的______． 思考2：求半径的长，可以作辅助线构造直角三角形，利用______定理求解． 【答案】(1)见解析 (2) (3)圆心，垂直平分线的交点，勾股 【分析】（1）由于是弦的垂直平分线，则圆心在直线上，因此连接，圆心在的垂直平分线上，故作的垂直平分线，交于点O，则点O就是所求的圆心，以为半径画圆即可得到所求的圆； （2）连接，设半径为，即，则，根据是的垂直平分线，得到，，因此在中，根据勾股定理构造方程，即可求出x的值，即为此残片所在圆的半径； （3）根据（1）（2）的解题思路即可解答． 【详解】（1）解：如图，为所求的圆． （2）解：连接， 设半径为，即， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴在中，， 即， 解得：， ∴此残片所在圆的半径为． （3）解：思考1：求残片所在的圆，关键是找出圆心，即两条弦的垂直平分线的交点． 思考2：求半径的长，可以作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求解． 2．（2026·甘肃酒泉·二模）在历史长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能利用自身所拥有的专业知识去修复文物，使其重获新生．相信同学们也能成为小小文物修复师．如图，要把残破的圆形文物片复制完整．已知弧上的三点A，B，C．    (1)用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法） (2)设是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R． 【答案】(1) 如图，点O即为所求．    (2)圆片的半径是 【分析】（1）分别作弦的垂直平分线，交于点O，即为所求； （2）连接交于点D，连接，，则有，，再利用勾股定理构造方程求半径R即可． 【详解】（1）略 （2）连接交于点D，连接，．    ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴，． 在中，， ∴． 在中，， ∴， 解得． ∴圆片的半径是． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在等腰中，． (1)请用尺规作图作出的外接圆；（不写作法及证明，应保留作图痕迹） (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图作圆，垂径定理，勾股定理． （1）分别作的垂直平分线，交于点O，以O为圆心，为半径作圆即可； （2）连接，交于D，连接，根据垂径定理得到，，根据勾股定理得到，则，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：如图，连接，交于D，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， 则， ∴， 解得：． 4．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）尺规作图，已知． (1)用直尺和圆规作这条弧的中点，保留作图痕迹． (2)若的拱高为2，弦，求这条弧所在的圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图―――线段的垂直平分线，垂径定理的推论，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理的推论以及勾股定理． （1）根据垂径定理的推论可得垂直平分弦的 平分弧，故即可作出弦的垂直平分线与弧的交点即为弧的中点； （2）设圆心为O，设，由作图可得，，，再对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）解：如图，点C即为所求： （2）解：如图2中，设圆心为O，设， 由作图可得，， 在中，由勾股定理得， 解得． 所在圆的半径为5． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知． (1)用无刻度直尺和圆规作的中点．（保留作图痕迹） (2)连接，圆圆认为，你认为圆圆的说法正确吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)圆圆的说法错误，理由见解析 【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线交于点P，点P即为所求； 利用三角形的三边关系判断即可． 本题考查作图，复杂作图，垂径定理，三角形三边关系． 【详解】（1）解：如图，由平分弦的直线过圆心且平分弦所对的弧可知，点P即为所求； （2）解：圆圆的说法错误． 理由：如图，连接， 点P在线段的垂直平分线上， ， ， ， 故圆圆的说法错误． 6．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，为的弦，请用尺规作图法在上找一点，连接，，使得是以为底边的等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，即为所求 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，垂径定理，作垂线；连接并延长交于点，过点作的垂线交于点，连接，则即为所求； 【详解】解：根据作图可得，，是的直径 ∴垂直平分， ∴， ∴是以为底边的等腰三角形． 7．（25-26九年级上·浙江·期中）如图是由小正方形构成的网格．每个小正方形的顶点叫作格点．经过两个格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图（保留画图痕迹，不写画法）． (1)在图中，画出劣弧的中点 (2)在图2的上找一点，使（点与点不重合）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，熟练应用垂径定理是解题的关键． （1）取格点，连接交于点，根据网格图可知，，由垂径定理可知，，点即为所求； （2）取格点，连接并延长交于点，根据网格图可知，，由垂径定理可知，，从而． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． （2）解：如图，点即为所求． 题型三：利用垂径定理求弦长 1．（2026·四川南充·中考真题）如图，为直径，弦于E，，则长为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，根据垂径定理求出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：为直径，，， ， 在中，． 2．（2026年5月福建省漳州市龙海区浮宫中学九年级练习试卷）在中，为一条弦（不是直径），过作交于点，交于点，．若的半径为5，则的长为（     ） A．10 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出的长度，再结合勾股定理求出半弦长，最后根据垂径定理得到弦的长度． 【详解】解：如图， 的半径为， ， ， ， ， 由垂径定理得，且， 在中，由勾股定理得：， ． 3．（2026·广东广州·二模）如图，的直径，是弦，，垂足为，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直径求出半径和的长，利用比例关系求出的长，在中利用勾股定理求出的长，最后根据垂径定理求出的长． 【详解】解：的直径， ， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴． 4．（25-26九年级下·湖南长沙·阶段检测）如图，在中，，以点C为圆心、为半径作圆，交于点D，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先，由勾股定理求出，然后，根据的等积变换求得，再运用勾股定理求得，最后，根据等腰三角形的“三线合一”得． 【详解】解：过点作于点， 连接， ∵， ，， ∴ ． ∵， ∴， ∴． 在中，由勾股定理，得． ∵， ， ∴． 题型四：利用垂径定理求直径或半径 1．（2026·河南安阳·一模）如图，是的弦，半径于点，若，，则半径的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理和勾股定理进行解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴， ∴则半径的长为． 2．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，点，，在上，垂直平分，交于点．若，则的半径为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 连接，根据垂径定理可得、、，在中，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：连接，如图， 垂直平分， 、、， ， ， 在中，，由勾股定理得：， 即， 解得， 的半径为． 3．（2026·重庆·模拟预测）如图，的直径弦于，若，，则的长为（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】连接，设，先用勾股定理求出，再在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 设， ，， ，， ， ， ， ， 解得， ， 4．（2026九年级上·四川南充·专题练习）如图，在中，直径垂直于弦，垂足为，若，，则的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据垂径定理求出，再根据勾股定理在中求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵直径垂直于弦，， ∴， 在中，， ∴． 5．（25-26九年级上·云南曲靖·期末）如图，为的直径，弦，垂足为点，连接，，若，，则的半径长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】此题考查垂径定理及勾股定理，理解题意是解决本题的关键． 设的半径是，由垂径定理得，根据勾股定理列得，即，求出即可． 【详解】解：设的半径是， 弦， ， ， ， ， ， ， 的半径长为5． 故选：A． 6．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，是的弦，半径于点，若，，则的长是（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，如图，先根据垂径定理得到，设的半径为r，则，，再利用勾股定理得到，然后解方程即可． 【详解】解：连接，如图， 半径于点D， ， 设的半径为r，则，， 在中，， 解得， 即的长为． 故选：D． 7．（2026·湖南长沙·三模）如图，AB是的直径，，，，则的半径长为___________． 【答案】4 【分析】利用垂径定理平分弦，算出；利用直角三角形内角和、等边对等角逐步推导；依托直角三角形性质和勾股定理列方程，求解半径． 【详解】解：连接，设直径与弦交于垂足． 是直径，， 垂直平分， ． ， ， 在中，， ． ， ， ． 在中，，， ． 设半径，则． 由勾股定理：， 代入得： ， ． 的半径长为4． 题型五：根据垂径定理求弦心距 1．（2026·湖南永州·二模）如图，直径，弦，垂足为．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接， 由垂径定理可得的长，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】如图，连接， 弦，， ， 在中，，， 根据勾股定理得：． 2．（2026·湖南长沙·一模）如图，是的直径，弦于点，连接，已知，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】A 【分析】根据垂径定理得到，设的长为x，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是的直径，弦于点， ∴， ∵， ∴， 设的长为x， 则， ∴， 解得：，（大于半径，舍去）． 即的长为2． 3．（2026·安徽宿州·一模）如图，已知的半径为10，弦，点C是上一点，且，则的长为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理求线段长度，熟练掌握垂径定理是解题关键．过点O作于点D，连接．根据垂径定理可知，从而在中，运用勾股定理求出线段的长，再在中，运用勾股定理求出线段的长． 【详解】解：如图，过点O作于点D，连接． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． 在中，． 故选：B． 4．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，是半径为的的弦，于点，交于点，若弦为，则______． 【答案】5 【分析】连接，根据垂径定理求得，进而在中，根据勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， 在中，， ∴ 5．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）如图是一条隧道的横截面，它是以点为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且米，的半径长为5米，则隧道的高为______米． 【答案】9 【分析】连接，根据垂径定理，勾股定理求解即可； 【详解】解：连接， 是中弦的中点， ， 米，的半径长为5米， ， 根据勾股定理，得， 故（米）． 6．（2026·浙江宁波·模拟预测）如图，是半圆的直径，为弦，于点，过点作交半圆于点，过点作于点．若，则的长为___________． 【答案】3 【分析】根据垂径定理求出，证明，推出，即可求出答案． 【详解】∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 7．（25-26九年级下·四川南充·阶段检测）如图，在中，为直径，为弦，D为的中点，过点D作于F，交于点E，若，，则的长为______． 【答案】3 【分析】连接，设与交于点，证明，，设圆的半径为，则,在中，由勾股定理列方程求出,可求出的长． 【详解】解：连接，设与交于点，如图， ∵是的直径，且， ∴，， 又D为的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴,， ∴， 设圆的半径为，则, 在中，， 即， ∴, ∴． 8．（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，在半径为的中，，弦于点，则等于_________． 【答案】5 【分析】根据垂径定理可知的长度，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意，, 由垂径定理可知：， ∵, 由勾股定理可得：． 9．（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图，已知是的弦，点C在弦上，，，，则圆心O到的距离为_____________． 【答案】12 【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理，掌握这两个定理是关键；过点O作于点E，则，，由勾股定理即可求得，从而求得结果． 【详解】解：如图，过点O作于点E， 则， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 即圆心O到的距离为； 故答案为：12． 10．（24-25九年级下·安徽宣城·自主招生）如图，已知的半径为4，一条直线经过圆心，另一条直线与分别交于点和点，，，则弦的弦心距等于________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质． 连接，，过作，根据已知得出，根据勾股定理求得，进而求得的长，即可求解． 【详解】解：，， ， 连接，，过作， ， ， ， 为等腰， ， ， ． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）如图，在中，直径于点，连接．已知的半径为，则的长为___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，先利用勾股定理求出，根据垂径定理求出，再利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵直径于点， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 题型六：垂径定理的实际应用 1．（25-26八年级下·山东滨州·期末）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，交于点，交于点，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 设筒车的半径为，则， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴，解得， ∴筒车的直径是． 2．（2026·广东汕头·三模）在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出圆形工件的半径． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为 ，连接． 中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故圆形工件的半径为 ， 3．（2026·河北邯郸·二模）如图，一种装饰盘由圆盘和支架组成，已知支架高，且、，垂足分别为点C、D．已知圆盘的半径为10，要使圆盘离桌面（所在直线）的最近距离为1，则支架和的距离为（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【分析】连接，，作于点，交于点，交于点，证明四边形是矩形，得出，，由垂径定理可得，由勾股定理可得，进而可求出的长． 【详解】解：如图，连接，，作于点，交于点，交于点， ， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 由题意得，， ∴． ∵圆盘的半径为10， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（2026·广西百色·三模）如图，化学实验中有一个底部呈球形的烧瓶，其截面圆中弦的长为，瓶内液体已经过半，最大深度，则球的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆的圆心为点，连接，利用垂径定理得出，设半径为，在中利用勾股定理列关于的方程，求解即可． 【详解】解：设圆的圆心为点， 如图，连接， 由题意得，， ， 设半径为，即， 则， 在中， ，即， 解得， 球的半径为：． 5．（2026·河南开封·二模）崇宁通宝是北宋时期的钱币如图①，其形状可抽象为一个带正方形孔的圆形几何模型，部分尺寸（单位：mm）如图②所示，这枚古钱币实体部分的面积（单位：）为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，正方形的性质，勾股定理，取圆心，过点作垂直正方形的边长于点，连接，可得，即得，再利用勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，取圆心，过点作垂直于正方形的边长于点，连接， 则， ∴， ∴， 圆的面积为， 正方形的面积为， 古钱币实体部分的面积等于圆的面积减去正方形的面积，即． 6．（2026·浙江杭州·二模）化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，液面宽的长为，则瓶内液体最大深度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，交于点，利用垂径定理得出，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ∴， 由勾股定理得， ∴． 题型一：垂径定理的综合解答 1．（2026·内蒙古通辽·三模）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：∵， ∴． 又∵于点， ∴． ∵是的半径，， ∴， ∴， ∴； (2)的半径是． 【分析】（1）根据等角对等边得到，根据三线合一得到，根据垂径定理得到，可知； （2）连接，根据垂径定理得到，，设的半径是，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接， ∵，为的弦， ∴，， ∴， 设的半径是， ∴， 解得． ∴的半径是． 2．（24-25九年级上·北京·期中）如图，是的直径，弦于点E，，若，求的长． 【答案】 【分析】连接，根据是的直径，弦于点E得，根据得，根据得，根据得，在中，根据勾股定理得，计算得，即可得． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径，弦于点E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，根据勾股定理得， ， ， ， ， ∴． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的三线合一、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键． （1）先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据垂径定理可得，然后根据线段和差即可得证； （2）连接，设的半径为，则，，再根据垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：∵，于点， ∴， 又∵是的半径，， ∴， ∴， 即． （2）解：如图，连接， 设的半径为，则， ∵， ∴， ∵是的半径，，， ∴， 在中，，即， 解得， 所以的半径为． 4．（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）如图，与关于直线对称，为圆心，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若为的中点且，求⊙的半径． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】本题考查了圆的垂径定理、轴对称的性质、菱形的判定定理以及勾股定理的应用，关键是结合轴对称性质得到线段的等量关系，利用垂径定理确定弦的中点，再通过设未知数结合勾股定理建立方程求解线段长度． （1）先根据轴对称的性质得到、，再由过圆心且，根据垂径定理推出，进而得到，由此证得四边形的四条边相等，依据四条边相等的四边形是菱形完成证明； （2）先由垂径定理求出的长度，结合为中点设，进而用表示出和半径，再在中根据勾股定理建立关于的方程，求解出的值后，代入计算即可得到⊙的半径． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称， ∴，； ∵为的圆心，， ∴， ∴； ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：设⊙的半径为， ∵，， ∴． ∵为的中点， ∴， 设，则． ∵与关于对称， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得， 即，解得． ∴．故⊙的半径为． 5．（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作于点，连接，根据垂径定理求出线段的长度，最后利用线段的和差进行求解即可； （2）结合（1）得，根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，连接， 根据垂径定理得，点为线段和的中点， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）解：如图所示，过点作于点，连接， 结合（1）得， 根据勾股定理得， ∴， ∴小圆的半径长为． 6．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，，是的两条弦，平分． (1)求证：； (2)若的半径为10，，求圆心到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、垂径定理和勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法以及垂径定理与勾股定理的结合是解题的关键． （1）连接、，利用角平分线得到角相等，结合圆的半径相等及等边对等角，用证明，从而推出． （2）作圆心到的垂线，构造直角三角形，利用垂径定理得到弦长的一半，再结合勾股定理计算圆心到弦的距离． 【详解】（1）解：连接，， 平分， ， , ，即， ， ， ； （2）解：过点作于， ， ， ∵在中，， ． 1．（2025·江苏常州·模拟预测）下列说法： ①三点确定一个圆； ②平分一条弦的直径垂直于这条弦； ③长度相等的弧是等弧； ④三角形只有一个外接圆． 其中真命题有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【详解】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ②平分一条弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ③长度相等的弧不一定是等弧，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ④三角形只有一个外接圆，正确，是真命题，符合题意． 真命题有1个． 2．（25-26九年级下·湖南·期中）如图，在中，的半径长为，圆心到的距离，则弦的长为（   ） A．8 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理的内容是解题的关键． 利用垂径定理得到，根据勾股定理求出长，进而求出长． 【详解】解：是的半径，， 、， 在中，由勾股定理得：， ． 3．（2026·云南文山·一模）如图，是的直径，是的弦，，垂足为，若，，则的长为（    ） A．13 B．12 C．10 D．8 【答案】D 【分析】利用垂径定理求出弦长的一半，再结合圆的半径，通过勾股定理求出相关线段的长度． 【详解】解：连接，如图， 因为是的直径，且， 可得． 由于， 所以． 在中，，， 根据勾股定理． 所以． 4．（2026·陕西咸阳·二模）桥洞是拱桥桥梁下方的孔洞结构，是桥梁工程的重要组成部分，如图所示，桥洞可看作是一段圆弧，桥洞下方水面为6米，拱顶到水面的距离为9米，则桥洞的半径为（   ） A．米 B．米 C．米 D．5米 【答案】D 【分析】根据垂径定理得出米，设桥洞的半径为r，则：米，根据勾股定理列出关于r的方程，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴（米）， 设桥洞的半径为r，则：米， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即桥洞的半径为5米． 5．（2026·江苏宿迁·一模）如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，最后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵为的直径，弦于，且， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴的面积为． 6．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，是的直径，且，为上一点，过作，交于点，交于点．若为中点，则的长为____________． 【答案】 【分析】连接，由垂径定理可得，最后结合勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， 是的直径，且，， ，， 为中点， ， 根据勾股定理，得， ． 7．（2026·陕西西安·模拟预测）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面半径为，油面宽为，如果再注入一些油后，油面宽变为，则油面上升了_________． 【答案】2 【分析】如图：设再注入一些油后，油面宽变为，则，过O作，利用垂径定理和勾股定理求出的长，进而求得即可解答． 【详解】解：如图：设再注入一些油后，油面宽变为，则，过O作， ∵， ∴，， ∴，， ∵，, ∴O、E、F三点共线， ∴，即油面上升了． 8．（2026·陕西汉中·一模）如图，为的弦，点为的中点，连接并延长交于点，连接，若，则的度数为_____． 【答案】/36度 【分析】连接，根据等边对等角得，根据垂径定理推论得，根据直角三角形性质得，根据角的和差关系得，再根据等边对等角即可求得答案． 【详解】解：连接， 则， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴． 9．（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，的直径垂直于弦，垂足为点E，F为上一点，．求与的大小． 【答案】 【分析】根据垂径定理求出，，求出，根据等腰三角形的性质得出即可． 【详解】解：∵的直径垂直于弦， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，拱门的上部是一段圆弧，其圆心O在线段上，点E是弧的中点，下部是宽为，高为的长方形，已知拱门最高处E距离地面的高度为，于点P，连接．求上部圆弧的半径的长． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，由题意得圆心在上，，设，，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：由题意得圆心O在上， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∴上部圆弧的半径是． 11．（25-26九年级上·浙江丽水·期末）图1是公路隧道，其轮廓是圆形的一部分，图2的是其示意图．某学习小组用一根长为的笔直竹竿去辅助测量，点在圆弧上，点在地面上，且，测得，． (1)若于点，求的长． (2)求公路隧道轮廓的最大高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂径定理与勾股定理的实际应用，关键是通过作辅助线构造矩形和直角三角形，利用“同圆半径相等”的性质设未知数列方程，将实际问题转化为几何线段计算． （1）利用垂径定理确定的中点，结合已知的长度，通过线段的差计算的长； （2）先作构造矩形转化线段，再用勾股定理分别表示两个直角三角形中的半径，根据半径相等列方程求，最后结合半径求出隧道最大高度． 【详解】（1）解：，， ， 又， ； （2）解：如图，过点作于点，连接、，延长交弧于点，． ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，． 由（1）知，故； 设，则． ∴． 在中，根据勾股定理，； 在中，同理得． ∵， ∴， 解得，即． 在中，， 即的半径． ∴； 答：公路隧道轮廓的最大高度为． 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.3.1垂径定理（第1课时) 利用垂径定理进行基础证明 垂径定理与尺规作图 利用垂径定理求弦长 ①基础达标题 利用垂径定理求直径或半径 根据垂径定理求弦心距 垂径定理的实际应用 日 垂径定理 ②能力提升题 垂径定理的综合解答 ③拓展培优题 高分冲刺题型 A 基础达标题 题型一：利用垂径定理进行基础证明 1.(25-26九年级下.山东聊城阶段检测)如图，已知点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆 和角的两边分别交于点A、B和C、D.求证： B 一E 0 D (I)∠OBA=∠OCD (2)AB=CD 1/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(2025九年级上全国.专题练习)已知：如图，在⊙O中，A、B、C、D是圆上四点，且AB=CD, OE⊥AB于点E,OF⊥CD于点F.求证：OE=OF B E 3.(25-26九年级上，安徽铜陵期中)如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C,D两点. 求证：AD=BC. B 4.(25-26九年级上四川南充期末)如图，AB是⊙O的直径，半径OC与弦BD平行，CE⊥AB于E. 求i证：0E=号BD D 5.(25-26九年级上江苏南京阶段检测)如图，AB、CD是⊙O的弦，M、N分别为AB、CD的中点， 且∠AMN=∠CNM.求证：AB=CD, B D 6.(24-25九年级上辽宁营口期中)如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB,垂足为H,BC⊥AB,交 AD延长线于点C.求证：D是AC的中点. 2/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D H B 题型二：垂径定理与尺规作图 1.（25-26九年级下.甘肃张掖，期中)如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交AB于点C, 交弦AB于点D.已知AB=24cm,CD=8cm, (1)求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹)； (2)求(1)中所作圆的半径 (3)思考1：求残片所在的圆，关键是找出，即两条弦的。 思考2：求半径的长，可以作辅助线构造直角三角形，利用定理求解. 2.（2026甘肃酒泉·二模)在历史长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能利用自身所拥 有的专业知识去修复文物，使其重获新生.相信同学们也能成为小小文物修复师.如图，要把残破的圆形 文物片复制完整.己知弧上的三点A,B,C. A B (1)用尺规作图法找出BAC所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法） (2)设△ABC是等腰三角形，底边BC=8cm,腰AB=5cm,求圆片的半径R. 3/18 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26九年级上浙江杭州阶段检测)如图，在等腰△ABC中，AB=AC. B (1)请用尺规作图作出△ABC的外接圆⊙O;(不写作法及证明，应保留作图痕迹) (2)若AB=10,BC=16,求⊙O的半径r. 4.(25-26九年级上浙江温州阶段检测)尺规作图，已知AB. B (1)用直尺和圆规作这条弧的中点，保留作图痕迹. (2)若AB的拱高为2，弦AB=8,求这条弧所在的圆的半径. 5.(25-26九年级上浙江杭州期中)如图，已知AB, B (1)用无刻度直尺和圆规作AB的中点P.(保留作图痕迹) (2)连接AB,AP,圆圆认为AB=2AP,你认为圆圆的说法正确吗？请说明理由. 6.(25-26九年级上·陕西渭南期中)如图，AB为⊙O的弦，请用尺规作图法在⊙O上找一点C,连接 AC,BC,使得△ABC是以AC为底边的等腰三角形.（保留作图痕迹，不写作法） B 7.（25-26九年级上·浙江期中)如图是由小正方形构成的网格.每个小正方形的顶点叫作格点.⊙O经 过A，B两个格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图（保留画图痕迹，不写画法）· 4/18 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B (1)在图中，画出劣弧AB的中点 (2)在图2的⊙O上找一点E,使BE=AB(点E与点A不重合)， 题型三：利用垂径定理求弦长 1.(2026四川南充，中考真题)如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于E,OB=CD=2,则OE长为 () A.1 B.V3 C.2 D.5 2.(2026年5月福建省漳州市龙海区浮宫中学九年级练习试卷)在⊙O中，AB为一条弦（不是直径）， 过O作OC⊥AB交⊙O于点C,交AB于点D,OD=DC.若⊙O的半径为5，则AB的长为() A.10 B.5 c.10V3 D.53 3.（2026广东广州二模)如图，⊙O的直径CD=10,AB是弦，AB⊥CD,垂足为M, OM:MC=2:3,则AB的长为() A.4 B.8 c.V21 D.221 4.(25-26九年级下湖南长沙.阶段检测)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm,BC=8cm,以点 5/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C为圆心、CA为半径作圆，交AB于点D,则AD的长为() D 36 A. 24 B. 5 cm C.3cm D.2cm 题型四：利用垂径定理求直径或半径 1.(2026河南安阳.一模)如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D,若AB=6cm,CD=2cm, 则半径OA的长为() B D 13 A.4cm B.5cm C. 4 cm 0. cm 4 2.(2026福建泉州模拟预测)如图，点A,B,D在⊙O上，CD垂直平分AB,交AB于点C.若 AB=CD=4,则⊙O的半径为() D A 3-2 B.2 c D.3 3.(2026重庆模拟预测)如图，⊙O的直径AB⊥弦CD于E,若CD=4,BD=5,则AB的长为 () 6/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A A.V/5 号 C.5 D.6 4.(2026九年级上四川南充专题练习)如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD,垂足为P,若CD=8, OP=3,则⊙O的半径为() O P D A.5 B.6 c.7 D.8 5.(25-26九年级上云南曲靖期末)如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD,垂足为点E,连接0A, OB,若DE=1,AB=6,则⊙O的半径长为() A B A.5 B.6 C.7 D.8 6.(25-26九年级上，浙江温州阶段检测)如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D,若AB=16, CD=4,则OC的长是() B A.5 B.6 C.8 D.10 7/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(2026湖南长沙三模)如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD,CD=43,∠ACD=60°，则⊙O 的半径长为 B 题型五：根据垂径定理求弦心距 1. (2026湖南永州二模)如图，⊙O直径CD=10,弦AB⊥CD,垂足为M.若AB=8,则OM= () M B A.2 B.3 C.4 D.5 2.(2026湖南长沙.一模)如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E,连接OA,已知 CD=10,AB=8,则DE的长为() D B A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 3.(2026安徽宿州一模)如图，已知⊙O的半径为10，弦AB=16,点C是AB上一点，且AC=4,则 OC的长为() 8/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.8 B.2V13 c.2V15 D.45 4.(2026湖南长沙模拟预测)如图，AB是半径为13的⊙O的弦，OD⊥AB于点C,交⊙O于点D, 若弦AB为24，则OC= 0 B 5.(25-26九年级下·湖南长沙期中)如图是一条隧道的横截面，它是以点O为圆心的圆的一部分，如果C 是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D,并且AB=6米，⊙O的半径长为5米，则隧道的高 CD为米. O C B 6.(2026浙江宁波模拟预测)如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于点D,过点O作 OE‖AC交半圆O于点E,过点E作EF⊥AB于点F.若AC=6,则OF的长为 C 7.(25-26九年级下.四川南充阶段检测)如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦，D为AC的中点，过 点D作DE⊥AB于F,交⊙O于点E,若AF=2,AC=8,则OF的长为· 9/18 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C 0 B 8.(25-26九年级上.福建泉州期末)如图，在半径为13cm的⊙O中，AB=24cm,弦OC⊥AB于点C, 则OC等于 cm. 9.(24-25九年级上·吉林松原期末)如图，已知AB是⊙O的弦，点C在弦AB上，AC=11cm, BC=21cm,OC=13cm,则圆心O到AB的距离为 cm. B 10.(24-25九年级下·安徽宣城自主招生)如图，已知⊙O的半径为4，一条直线AB经过圆心0，另一条 直线AC与⊙O分别交于点C和点D,∠A=25°，∠ABD=10°，则弦CD的弦心距等于 A 11.(25-26九年级上山东潍坊期中)如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E,连接 OC,OD,∠COD=90°.已知⊙O的半径为2，则BE的长为 10/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 题型六：垂径定理的实际应用 1.(25-26八年级下.山东滨州期末)如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代 劳动人民的智慧，点P表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆 心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB长为8m,筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度 为2m,则筒车的直径是() 水面4 B 图1 图2 A.8m B.10m c.12m D.13m 2.（2026广东汕头三模)在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小 明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A,B，连接AB,作AB的垂直平分线CD交AB于点D,交AB 于点C,测出AB=16cm,CD=4cm,则圆形工件的半径为() A.14cm B.12cm C.10cm D.8cm 3.(2026河北邯郸二模)如图，一种装饰盘由圆盘（⊙O)和支架(AC、BD)组成，已知支架高 AC=BD=3,且AC⊥CD、BD⊥CD,垂足分别为点C、D.已知圆盘的半径为10，要使圆盘离桌面 (CD所在直线)的最近距离为1，则支架AC和BD的距离CD为() 11/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 图1 图2 A.12 B.14 C.16 D.18 4.(2026广西百色·三模)如图，化学实验中有一个底部呈球形的烧瓶，其截面圆中弦AB的长为8cm, 瓶内液体已经过半，最大深度CD=8cm,则球的半径为() C 烧瓶、 0 D A.5cm B.4cm C.8cm D.10cm 5.(2026河南开封二模)崇宁通宝是北宋时期的钱币如图①，其形状可抽象为一个带正方形孔的圆形几 何模型，部分尺寸（单位：mm)如图②所示，这枚古钱币实体部分的面积（单位：mm)为(） ←10 图① 图② A.144T-100B.144π-10 c.169π-10 D.169π-100 6.(2026浙江杭州二模)化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体 最大纵截面如图所示，其半径为5cm,液面宽AB的长为8cm,则瓶内液体最大深度为() 12/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 B A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm B 能力提升题 题型一：垂径定理的综合解答 1. (2026内蒙古通辽三模)如图，∠A=∠B,AB交⊙O于点C,D,OE是半径，且OE⊥AB于点 F AC D B (1)求证：AC=BD; (2)若CD=8,EF=3,求⊙O的半径 2.(24-25九年级上.北京期中)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,CD=2OE,若AB=4, 求CD的长 B 3.(24-25九年级上湖北武汉期中)如图，OA=OB,AB交⊙O于点C,D,OE是半径，且OE⊥AB 于点F. 13/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：AC=BD: (2)若CD=12,EF=4,求⊙O的半径. 4.(25-26九年级上江西鹰潭期末)如图，AEB与ADB关于直线AB对称，O为圆心，OE⊥AB A (1)求证：四边形ADBE为菱形： (2)若D为OC的中点且AB=10cm,求⊙O的半径， 5.(25-26九年级上江西上饶期末)如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C,D 两点，AB=8,CD=6. 0 B (1)直接写出BD的长为 (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长. 6.(25-26九年级上·浙江杭州期末)如图，AB,AC是⊙O的两条弦，OA平分∠BAC. B (1)求证：AB=AC: (2)若⊙O的半径为10，AB=16,求圆心O到AB的距离. 14/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拓展培优题 1.(2025江苏常州模拟预测)下列说法： ①三点确定一个圆： ②平分一条弦的直径垂直于这条弦： ③长度相等的弧是等弧： ④三角形只有一个外接圆. 其中真命题有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2.(25-26九年级下·湖南期中)如图，在⊙O中，⊙O的半径长为4V2,圆心0到AB的距离0E=4, 则弦AB的长为() B A.8 B.8/2 C.4 D.492 3.(2026云南文山一模)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD,垂足为E,若 AB=26,CD=24,则BE的长为() D E A B C A.13 B.12 C.10 D.8 4.（2026陕西咸阳·二模)桥洞是拱桥桥梁下方的孔洞结构，是桥梁工程的重要组成部分，如图所示，桥 洞可看作是一段圆弧，桥洞下方水面AB为6米，拱顶C到水面AB的距离CH为9米，则桥洞的半径为 () 15/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.23米 B.2V5米 C.4.5米 D.5米 5.(2026江苏宿迁一模)如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E,BC=13,AE=3,则△ACB 的面积为() EO A.3 B.4 C.5 D.6 6.(2026陕西西安模拟预测)如图，AB是⊙O的直径，且AB=8,C为⊙O上一点，过C作CD⊥AB, 交AB于点D,交⊙O于点E.若D为OB中点，则CE的长为 B O D 7.（2026陕西西安模拟预测)在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为10cm, 油面宽AB为16cm,如果再注入一些油后，油面宽变为12cm,则油面AB上升了 cm. B 0 8.(2026陕西汉中.一模)如图，AB为⊙O的弦，点H为AB的中点，连接HO并延长交⊙O于点C,连 接OA、BC,若∠C=27°，则∠A的度数为 16/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 9.(25-26九年级下.全国课后作业)如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为点E,F为AB上一点， ∠CFD=100°.求∠CFE与∠DFE的大小. E B 10.(25-26九年级上广东广州期末)如图，拱门的上部是一段圆弧AD,其圆心O在线段EF上，点E 是弧AD的中点，下部是宽BC为4.8m,高AB为2.8m的长方形，己知拱门最高处E距离地面的高度EF为 4m,EF⊥AD于点P,连接AO.求上部圆弧的半径AO的长. E D D 11.(25-26九年级上浙江丽水期末)图1是公路隧道，其轮廓是圆形的一部分，图2的⊙O是其示意图. 某学习小组用一根长为7m的笔直竹竿CD去辅助测量，点C在圆弧上，点D在地面AB上，且CD⊥AB, 测得AB=8m,AD=1m. 0 AD E 图1 图2 (1)若OE⊥AB于点E,求DE的长 (2)求公路隧道轮廓的最大高度， 17/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18/18