2.6.2双曲线的几何性质（教学课件）高二数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦双曲线的几何性质，系统讲解范围、对称性、顶点、实轴虚轴、渐近线及离心率等核心知识。课堂导入通过类比椭圆“方程→性质”的研究路径，引导学生迁移探究方法，搭建前后知识衔接的学习支架。 其亮点在于以互动探究为主线，通过特例方程推导性质，渗透数学抽象与逻辑推理素养。结合数形结合（如渐近线的几何直观与代数论证）和极限思想，小结梳理知识结构与思想方法，助力学生深化理解，教师可高效开展教学。

第二章 平面解析几何 2.6.2双曲线的几何性质 2.6双曲线及其方程 【新教材】人教B版·高二选修第一册 学 习 目 标 1 2 3 了解双曲线的简单几何性质：范围、对称性、顶点、实轴长与虚轴长等； 理解离心率的定义、取值范围（e＞1）和渐近线方程； 能由双曲线的标准方程求其几何性质，能根据几何性质求双曲线的标准方程，并解决简单问题。 结合图象直观理解渐近线、范围等性质的几何意义； 逻辑推理：类比椭圆的研究方法，经历”方程 → 性质 → 图象”的探究与推证过程； 数学运算：熟练进行由方程求性质、由性质求方程的有关运算； 数学抽象：体会数形结合、类比与转化的思想方法。 重点：双曲线范围、对称性、顶点、渐近线、离心率的理解与应用； 难点：渐近线概念的理解与推导；由几何性质求标准方程（焦点位置判断）。 类比迁移 1. 回顾椭圆性质的研究路径：由标准方程出发，依次研究了范围、对称性、顶点、离心率——“用代数方法研究曲线几何性质”； 2. 设问：双曲线与椭圆同属圆锥曲线，能否沿用同一研究路径？ 类比椭圆，应从双曲线的标准方程出发研究哪些性质？ 3.建筑为何采用双曲线形状、它有什么独特的几何特征” 目标一：焦点在x轴上的双曲线的范围 特例 知识讲解 互动探究 新课引入 思考：已知双曲线 C 的方程，根据这个方程完成下面任务： (1) 观察方程中 x 与 y 是否有取值范围，由此指出双曲线 C 在平面直角坐标系中的位置特征； 因为实数的平方是一个非负数，所以在方程 =1 中，必有 ⩾1，即 x⩽-1 或 x⩾1。由此可知，双曲线 C 位于直线 x=-1 与 x=1 所夹平面区域的外侧，如图所示。 5 范围 ①从“形”的角度看，双曲线在直线 与 所夹平面区域的外侧，即双曲线在不等式 与 所表示的平面区域内，而在直线 与 所夹的平面区域内没有图像。 ②从“数”的角度看，双曲线上点的坐标满足 ，即 ，所以 或 。这说明双曲线在不等式 与 所表示的平面区域内。 特别提醒 (1) 双曲线的范围说明双曲线是非封闭曲线，而椭圆则是封闭曲线。 (2) 当 无限增大时， 也无限增大，即双曲线的各支是向外无限延展的。 目标二 ：焦点在x轴上的双曲线的对称性 特例 知识讲解 互动探究 新课引入 思考：已知双曲线 C 的方程为 =1，根据这个方程完成下面任务 (2) 指出双曲线 C 是否关于 x 轴、y 轴、原点对称； 因为如果 (x,y) 是方程 =1 的一组解, 则不难看出, (-x,y), (x,-y), (-x,-y) 都是方程的解, 这说明双曲线 C 关于 y 轴、x 轴、坐标原点对称, 这也可从上图中看出来. 9 对称性 ① 从“形”的角度看,双曲线与椭圆一样,既是轴对称图形,又是中心对称图形。 ② 从“数”的角度看,以 代替 可得双曲线关于 轴对称;以 代替 , 代替 可得双曲线关于 轴对称;以 代替 , 代替 可得双曲线关于原点对称。即 轴、 轴是双曲线的对称轴,原点是双曲线的对称中心。双曲线的对称中心也称为双曲线的中心。 目标三：焦点在x轴上的双曲线的顶点和延展性 特例 知识讲解 互动探究 新课引入 已知双曲线 C 的方程为 =1，根据这个方程完成下面任务： (3) 指出双曲线 C 与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标； (4) 如果 (x,y) 满足双曲线 C 的方程，说出当 |x| 增大时，|y| 将怎样变化，并指出这反映了双曲线的形状具有什么特点。 在方程 =1 中, 令 y=0, 得 x=-1 或 x=1, 可知双曲线 C 与 x 轴有两个交点, 且交点坐标分别为 (-1,0), (1,0);令 x=0 ，得 =1 ，这个方程无实数解，可知双曲线 C 与 y 轴没有交点。 如果 (x,y) 满足 =1 ，则可以看出， |x| 增大时， |y| 也是增大的。这就是说，双曲线 C 向四周无限延展。 一般地，如果双曲线 C 的标准方程是 =1 (a>0,b>0) ①，则可以根据方程 ① 来得到双曲线的一些几何性质。 12 顶点: 在方程 ① 中, 令 y=0, 得 x=-a 或 x=a, 可知双曲线 c 与 x 轴有两个交点, 可以记作 (-a,0), (a,0); 令 x=0, 得 - =1, 这个方程无实数解, 可知双曲线 C 与 y 轴没有交点. 双曲线 C 与它的对称轴共有 2 个交点, 即 , , 这两个点都称为双曲线的顶点, 如图所示. 目标四：焦点在x轴上的双曲线的轴 轴有关概念 知识讲解 互动探究 新课引入 习惯上，称线段 为双曲线的实轴. 若记 (0,-b) ， (0,b) ，则称线为双曲线的虚轴. 显然，双曲线的两个焦点在它的实轴所在的直线上，而且双曲线的实轴长为 2a ，虚轴长为 2b . 于是 a ， b 分别是双曲线的半实轴长和半虚轴长. 特别地，实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线. 15 目标五：焦点在x轴上的双曲线的渐近线 渐近线 知识讲解 互动探究 新课引入 由方程 ① 可以看出, 如果 (x,y) 是双曲线上一点, 则 |x| 增大时, |y| 也是增大的. 这就是说, 双曲线向四周无限延展, 如图所示. 那么, 这种无限延展还有什么性质呢? 考虑到双曲线关于坐标轴和原点对称, 因此我们只要了解双曲线在第一象限内的情况即可. 在第一象限内, 双曲线的方程可以改写为 (x>a) 17 渐近线 知识讲解 互动探究 新课引入 因为 时, , 这就说明在第一象限内, 双曲线一定在直线 的下方; 又因为此时如果 越来越大, 则 , 这就说明在第一象限内, 双曲线一定在直线 的下方; 又因为此时如果 越来越大, 则 , 直观上, 这说明随着 的增大, 双曲线会越来越接近直线 . 事实上, 如果 是双曲线在第一象限的点, 则 到直线 (即 因为当 且 无限增大时, 将无限增大, 从而 将无限 减小并接近于 0 （但不等于 0），即在第一象限内，随着 的增大，双曲线会越来越接近直线 但不与这条直线相交。 18 渐近线 知识讲解 互动探究 新课引入 直线 和 都称为双曲线 的渐近线. 由此可知, 作双曲线时, 如果先作出它的渐近线, 将有利于确定双曲线的大致形状. 另外, 如果过双曲线实轴与虚轴的端点分别作 轴与 轴的垂线, 则可以得到一个矩形, 而且矩形的对角线所在的直线正好就是渐近线, 如图所示. 19 目标六：焦点在x轴上的双曲线的离心率 离心率 知识讲解 互动探究 新课引入 同椭圆的情形一样，双曲线的半焦距与半实轴长之比 e= ，称为双曲线的离心率。 思考： (1) 根据双曲线离心率的定义，判断双曲线离心率的取值范围； (2) 猜想双曲线离心率的大小与双曲线的形状有什么联系，并尝试证明。 因为 ，所以可以看出 。另外，注意到 因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄。 双曲线的几何性质 当固定 不变时，双曲线的离心率与双曲线形状的关系可以从图中看出来，其中蓝色、绿色双曲线的离心率分别为 ， 。 说明 越趋近于 1，则 越小，双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄； 21 目标七：焦点在y轴上的双曲线性质 综合研究 知识讲解 互动探究 新课引入 思考：如果双曲线的标准方程=1 (a>0,b>0) ②，那么该双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率中，哪些与焦点在 x 轴上的双曲线是有区别的？ 显然，② 式表示的双曲线，焦点坐标为 (0,-c) ， (0,c) ，双曲线上点的坐标 的取值范围是 y≤-a 或 y≥a ; 实轴的两个端点是 (0,-a) , (0,a) ; 虚轴的两个端点是 (-b,0) , (b,0) ; 渐近线方程是 y=± x , 除这些以外, 对称性、焦距、实轴长、虚轴长、离心率等都与焦点在 x 轴上的双曲线是一致的, 如图所示 23 几何性质比较： 性质 图形 范围 对称性 对称轴：轴、轴；对称中心：原点 对称轴：轴、轴；对称中心：原点 顶点 实轴、虚轴 线段 是双曲线的实轴，线段 是双曲线的虚轴。实轴长 ，虚轴长 线段 是双曲线的实轴，线段 是双曲线的虚轴。实轴长 ，虚轴长 渐近线 直线 直线 离心率 渐近线两种求法 双曲线 的渐近线方程是( )。 A. B. C. D. 解 方法一：由题意得双曲线的标准方程为 ，所以 ，所以渐近线方程为 。故选 。 方法二：由题意得双曲线的标准方程为 。将1换成0，得 ，则 ，即 。故选 。 归纳 由双曲线的标准方程求其渐近线方程时，最简单、实用的方法：把标准方程中的1换成0，即可得两条渐近线的方程。如双曲线 的渐近线方程为 ，即 ；双曲线 的渐近线方程为 ，即 。 求离心率 求适合下列条件的双曲线的离心率： (1)双曲线的渐近线方程为 ； (2)过焦点且垂直于实轴的弦的两个端点与另一焦点的连线的夹角为 。 答 (1)若焦点在 轴上，不妨设双曲线方程为 ，则 ，所以 ；若焦点在 轴上，同理可得 。综上，双曲线的离心率为 或 。 求离心率 求适合下列条件的双曲线的离心率： (1)双曲线的渐近线方程为 ； (2)过焦点且垂直于实轴的弦的两个端点与另一焦点的连线的夹角为 。 (2)当焦点在 轴上时，如图2-6-2-4所示，，所以 。 不妨设双曲线方程为 ，所以 ，即 ，所以 ，即 ，所以 （负值舍去），所以双曲线的离心率为 。同理，当焦点在 轴上时，离心率也为 。综上，双曲线的离心率为 。 求离心率 已知双曲线 的顶点为 ，虚轴的一个端点为 ，且 是一个等边三角形，求双曲线 的离心率. 解：设 为坐标原点，则 的中点为 ，且 ，. 由 是等边三角形可知 ，因此 ，又因为 ，所以 ，从而 . 求双曲线的离心率的方法 由离心率的定义可知，求 e 的值，就是求 a 和 c 的值或 a 与 c 的关系，很多题目由于受到已知条件的限制不能同时解出 a 和 c 的值，只能将条件整理成关于 a 和 c 的关系式，进而求出 。要注意结合定义利用图形中几何量之间的关系（a,b,c,e 的关系）解题。 求离心率范围 双曲线 的右焦点为 ，过 且倾斜角为 的直线与双曲线右支交于 两点，则双曲线 的离心率的取值范围为（ ）。 A. B. C. D. 解 因为过 的直线 的倾斜角为 ，所以直线 的斜率 。作出直线 与双曲线，如图，由图像易知 ，所以 。又 ，所以 。故选A。 求离心率范围 已知双曲线 的焦距为 ，直线 过点 和 ，且点 到直线 的距离与点 到直线 的距离之和 ，求双曲线的离心率 的取值范围。 答 由题意可知直线 的方程为 ，即 。点 到直线 的距离 ，点 到直线 的距离 ，所以 。由 ，得 ，即 ，则 ，即 ，得 。因为 ，所以 的取值范围是 。 求双曲线的离心率范围的方法 求双曲线离心率的取值范围，关键是根据条件得到不等关系，并想办法转化为关于 a,b,c 的不等关系，结合 和 =e 得到关于 e 的不等式，然后求解。在建立不等式求 e 时，经常用到结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为 c-a。 目标八 ：典型例题 题型1 双曲线的综合性质 例1 求下列方程表示的双曲线的实轴长、焦点坐标、离心率以及渐近线方程: （1) =1 ; (2) =-9 . 典例分析 牛刀小试 解: (1) 由标准方程可知双曲线的焦点在 轴上, 且 , 因此实轴长 . 又因为 , 即 . 因此, 双曲线的焦点坐标为 , . 离心率 . 渐近线方程为 . 题型1 双曲线的综合性质 例1 求下列方程表示的双曲线的实轴长、焦点坐标、离心率以及渐近线方程: （1) =1 ; (2) =-9 . 典例分析 牛刀小试 （2）已知双曲线的方程可化为 ，由此可知这个双曲线的焦点在 轴上，且 ，因此实轴长 ，又因为 ，即 。因此，双曲线的焦点坐标为 ， ，离心率 ，渐近线方程为 。 题型1 双曲线的综合性质 例2 双曲线 的虚轴长是实轴长的2倍，则 等于( )。 A. B. C. D. 典例分析 牛刀小试 解：双曲线方程化为标准形式为 ，则有 ，，由题设条件知 ，所以 。 题型1 双曲线的综合性质 例3 对于方程 和 且 所表示的双曲线有如下结论：① 有相同的顶点；② 有相同的焦点；③ 有相同的离心率；④ 有相同的渐近线，其中正确的是( )。 A. ①④ B. ②④ C. ③④ D. ④ 典例分析 牛刀小试 对于方程 对于方程 ，显然 分别是 的 倍，因此两双曲线有相同的离心率和渐近线。 题型1 双曲线的综合性质 例4 求双曲线 =-4 的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程,并画出该双曲线的草图。 典例分析 牛刀小试 答 将双曲线方程化成标准方程为 ，可知半实轴长 ，半虚轴长 。于是有 ，所以焦点坐标为 ，离心率为 ，渐近线方程为 。 题型1 双曲线的综合性质 例4 求双曲线 =-4 的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程,并画出该双曲线的草图。 典例分析 牛刀小试 为画出双曲线的草图,首先在平面直角坐标系中画出渐近线 ，且顶点坐标为 ，然后算内一点的坐标，如取 ，则 。由题意知,点 在双曲线上，画出三点 ，，，并用光滑的曲线连接三点，并让曲线向上、向下无限延展且逐步接近渐近线，画出双曲线位于 轴右侧的一支，最后由对称性可画出双曲线位于 轴左侧的一支，双曲线的草图如图 题型1 双曲线的综合性质 例5 已知双曲线 () 的左焦点为 ，且 是双曲线上的一点，求 的最小值. 典例分析 牛刀小试 解：记双曲线的焦距为 ，则 ，而且 . 设 ， 则 ，又因为 是双曲线上一点，所以 ， 即 ，因此 ，注意到 或 ，而且 ，所 以当 时， 最小，此时 有最小值，且 最小值为 . 说明，双曲线上的所有点中，到给定焦点距离最小的点，是离该焦点最近的实轴的端点. 题型2 双曲线的性质求方程 例6 已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )。 A. B. C. D. 典例分析 牛刀小试 依题意可知 ，可设方程为 ，则有 即 ，又 ，所以 ，所以所求方程为 。故选 B。 题型2 双曲线的性质求方程 例7 求适合下列条件的双曲线的标准方程。 (1)实轴长为16,离心率为; (2)焦点在x轴上,离心率为,且过点 。 典例分析 牛刀小试 答 (1)设双曲线的标准方程为 或,其中。由题意知 ,解得 双曲线的标准方程为或。 题型2 双曲线的性质求方程 例8 求适合下列条件的双曲线的标准方程。 (1)实轴长为16,离心率为; (2)焦点在x轴上,离心率为,且过点 。 典例分析 牛刀小试 (2): , , 。又∵焦点在轴上, 设双曲线的标准 方程为。把点的 坐标代入,解得。双曲线的标准方 程为。 目标八 ：典型例题 举一反三 1.若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 答案: D 解析: 由已知可得双曲线的渐近线方程为，点在渐近线上，所以.因为，所以，所以. 举一反三 2.过点作圆的切线，切点分别为 且直线过双曲线 的右焦点，则双曲线的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 解析： 过点(2,1)作圆 的切线，切点分别为 ，则 两点在以点(2,1)，(0,0)连接线段为直径的圆上，该圆圆心坐标为 ，半径 ，所以该圆的方程为 。从而直线 为此两圆公共弦所在直线，则直线 的方程为 ，即 。显然该直线交 轴于点 ，所以双曲线的右焦点坐标为 ，则 ，即 ，且 ，故双曲线的渐近线方程为 。 举一反三 3.设双曲线 的左、右焦点分别为 ，过点 作 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为 .已知 ，，点 是双曲线 右支上的动点，且 恒成立，则双曲线离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 解析： 易知 ，由 ，得 ，则离心率 .因为 恒成立，所以 .又 ，当 三点共线时取等号，所以 ，所以 .又 ，所以 . 举一反三 “”是“双曲线 () 的离心率为”的( ) A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充分不必要条件 解析： 当时，双曲线方程化为标准方程是，其离心率；当双曲线 ()，即 () 的离心率为时，则，得.故“”是“双曲线 () 的离心率为”的充分不必要条件. 目标九：小结 学海拾贝 知识结构 范围：|x|≥a，y∈R，图象无界（区别于椭圆的有界性）； 2. 对称性：关于 x 轴、y 轴、原点均对称（轴对称为主，中心对称为辅）； 3. 顶点与轴：顶点 A₁(−a,0)、A₂(a,0)；实轴长 2a、虚轴长 2b； 4. 渐近线：y=±x，曲线无限接近但永不相交——双曲线独有性质； 5. 离心率：e=＞1，刻画开口程度（越接近 1 开口越窄）； 6. 关系：c²=a²+b²（勾股关系，c 最大），区别于椭圆的 a²=b²+c²。 学海拾贝 思想方法 类比思想：沿用椭圆”方程 → 性质”的研究路径； - 数形结合：以形助数、以数解形； - 极限思想：用渐近线刻画”无限接近”的趋势。 易错提醒 1. 焦点在 y 轴时渐近线为 y，勿与 x 轴情形混淆； 2. 求性质前先由标准方程判断焦点位置（正项对应焦轴）； 3. e＞1，且 e 越接近 1 开口越窄，e 越大开口越开阔。 【新教材】人教B版·高二选修第一册 感谢聆听! $