2.6.2双曲线的几何性质(1)（同步课件）数学人教B版2019选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦双曲线的几何性质，通过复习椭圆性质类比导入，引导学生自主探究范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等核心内容，构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以类比探究激活数学思维，通过表格对比不同焦点位置的性质培养数学语言表达能力，典型例题分层设计提升运算与推理能力。学生能深化知识理解，教师可高效开展教学。

2.6.2 双曲线的几何性质 主讲： 人教B版选择性必修第一册 第2章 平面解析几何 双曲线：在平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线。 ||PF1|-|PF2||=2a < 2c (a>0，b>0，且c2=a2+b2) 双曲线的标准方程： 焦点在x轴： 焦点在y轴： #复习回顾 探究 类比椭圆的简单几何性质，你认为应该研究双曲线的哪些几何性质？ 一、范围 F1 F2 O 由方程 ≥ 1 则 x ≤ -a或x≥ ≤ a y ∈ R 二、对称性 对称轴： 对称中心： x轴，y轴 原点 F1 F2 O 三、顶点与轴长 A1(-a,0) A2(a,0) 顶点： 实轴： 线段A1A2 虚轴： 线段B1B2 实轴长=2a， 实半轴长=a 虚轴长=2b， 虚半轴长=b F1 F2 O A1 A2 B1 B2 b -b -a a 特别地，实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线. 问题探究 双曲线 (a>0,b>0)与直线有什么样的位置关系？ F1 F2 O A1 A2 B1 B2 b -b -a a 四、渐近线 一般地，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，但永不相交.我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线。 五、离心率 离心率： e越接近1，双曲线开口越小； e越大，双曲线开口越大. y B2 A1 A2 B1 x O F2 F1 • • 六、等轴双曲线 若双曲线的实轴与虚轴相等，即a=b，则称为等轴双曲线. 等轴双曲线的方程：x2-y2=m (m≠0) y B2 A1 A2 B1 x O F2 F1 • • y B2 A1 A2 B1 x O F2 F1 • • 等轴双曲线的渐近线：y=±x (两条渐近线相互垂直） 七、焦半径 焦半径：双曲线上的点到焦点的距离 y B2 A1 A2 B1 x O F2 F1 • • P 八、通径 通径：过焦点且垂直实轴的弦 y B2 A1 A2 B1 x O F2 F1 • • M N 椭圆的几何性质 顶点 焦点 轴长与焦距 焦半径 离心率 通径 (-a,0) (a,0) (0,-b) (0,b) (-b,0) (b,0) (0,-a) (0,a) (-c,0) (c,0) (0,-c) (0,c) 长轴长2a，短轴长2b，焦距2c 椭圆上的点到焦点的距离，范围：[a-c,a+c] 【典型例题一】 例1. 求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程. 【典型例题一】 练习1. 已知双曲线方程4x2-y2=-4，求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程. 【典型例题二】 例2 设双曲线(a>0,b>0)的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么该双曲线的离心率为________ 【典型例题二】 练习2 渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是( ) A. B. 1 C. D. 2 【典型例题三】 例3 若双曲线(a>0,b>0)的离心率为，则其渐近线方程为( ) A. y=±x B. y=±x C. y=±x D. y=±x 课堂小结 焦点位置 x轴 y轴 图像 焦点 顶点 轴 离心率 y B2 A1 A2 B1 x O F2 F1 • • y B2 A1 A2 B1 x O F2 F1 • • A1(-a,0) A2(a,0) A1(0,-a) A2(0,a) 实轴长=2a， 虚轴长=2b， F1(-c,0) F2(c,0) F1(0,-c) F2(0,c) 课堂小结 焦点位置 x轴 y轴 图像 a,b,c关系 渐近线 焦半径 通径 y B2 A1 A2 B1 x O F2 F1 • • y B2 A1 A2 B1 x O F2 F1 • • a>0，b>0，且c2=a2+b2 过焦点且垂直长轴的弦 主讲： 人教B版选择性必修第一册 感谢聆听 Lavf58.29.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 解:把方程nx2-my2=mn(m>0, n>0)化为标准方程-=1(m>0, n>0). 由此可知,实半轴长a=,虚半轴长b=,c=. 焦点坐标为(, 0),(-, 0). 离心率e===. 顶点坐标为(-,0),(,0). 渐近线方程为y=± x=±x. 解:将双曲线的方程4x2-y2=-4化为标准方程-x2=1. 由此可知,a=2,b=1,c=.所以实半轴长为2;虚半轴长为1;焦点坐标为(0,-),(0,);离心率e==;顶点坐标为(0,-2),(0,2);渐近线方程为y=±2x. 解析: 设点F(c,0),点B(0,b),则直线FB:bx+cy-bc=0与渐近线y=x垂直,所以-·=-1,即b2=ac,所以c2-a2=ac,即e2-e-1=0,所以e=或e=(舍去). 解析: 由题意,得a=b,所以双曲线为等轴双曲线,所以e=.故选C. 答案:A $