16 2.6 2.6.2 双曲线的几何性质-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦双曲线几何性质，系统涵盖范围、对称性、顶点、离心率、渐近线及等轴双曲线等核心知识，通过类比椭圆性质的问题导学导入，以“观察-探究-总结”支架衔接新旧知识，引导学生自主构建知识体系。 其亮点在于素养导向，通过图形分析渐近线关系培养直观想象，借助离心率推导与方程求解发展逻辑推理和数学运算，题型分类清晰且附方法技巧与易错警示。学生能提升探究能力，教师可直接用于分层教学，高效落实课标要求。

2.6.2　双曲线的几何性质 　 第二章　2.6　双曲线及其方程 知识层面 1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚 轴长等)．　 2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程．　 3.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题. 素养层面 通过对双曲线几何性质的学习，培养直观想象素养；借助几何性质的应用，提升逻辑推理、数学运算素养. 新知导学 1 课时测评 3 合作探究 2 内容索引 新知导学 返回 问题导思 (3)顶点：双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点．顶点是A1(－a，0)，A2(a，0)，只有两个． 知识点一　双曲线的几何性质 新知构建 标准方程 ______________ ______________ _____________ ______________ 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 (a>0，b>0) (a>0，b>0) 性质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) ________________________ 焦距 ________________   范围 x≤－a或x≥a ______________ 对称性 ______________________ 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) ________________________ 轴长 ____________________   离心率 ________ 渐近线 y＝ ±x ________ F1(0，－c)，F2(0，c) |F1F2|＝2c y≤－a或y≥a 关于坐标轴、原点对称 A1(0，－a)，A2(0，a) 实轴长2a，虚轴长2b 知识点二　等轴双曲线 实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做____________，它有以下性质： (1)方程形式为____________(λ≠0)； (2)渐近线方程为________，它们互相垂直； (3)离心率e＝______． 等轴双曲线 x2－y2＝λ y＝±x 1．(多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则 √ 自主检测 √ √ √ √ 返回 2 合作探究 返回 题型一　已知双曲线方程求其几何性质 　　 (链教材P153例1)求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程． 例1 思路点拨　 双曲线方程 双曲线的标准方程 双曲线的标准方程 → → a，b，c的值 → 结果 因此顶点坐标为A1(－3，0)，A2(3，0)， 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4， 方法技巧 3．如果要求画出双曲线，首先画出两条渐近线和顶点，然后根据双曲线的变化趋势，便可画出双曲线的近似图形．　　 对点练1．(1)双曲线 －y2＝1的顶点坐标是 A．(4，0)，(0，1)　　　　　　 B．(－4，0)，(4，0) C．(0，1)，(0，－1) D．(－4，0)，(0，－1) 双曲线的焦点在x轴上，令y＝0，得x＝±4，所以双曲线的顶点坐标为(－4，0)，(4，0)． √ 2 题型二　由双曲线的几何性质求标准方程 　　 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)实轴长为8，离心率为 ； 例2 思路点拨　可用待定系数法求出a，b，c后求方程； 所以b2＝c2－a2＝9. (2)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，－ )； 思路点拨　可用待定系数法求出a，b，c后求方程； 解：由2a＝2b得a＝b， 所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)． 因为双曲线过点P(4，－ )， 所以16－10＝λ，即λ＝6. 所以双曲线方程为x2－y2＝6. 思路点拨　可以利用渐近线的方程直接设双曲线的一般形式，或者讨论焦点所在的坐标轴，再根据已知条件求相应的标准方程． 由①②联立，无解． 因为A(2，－3)在双曲线上， 由③④联立，解得a2＝8，b2＝32. 方法技巧 1．由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn>0)． 2．常见双曲线方程的设法 方法技巧 对点练2．(1)已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5，3)，则双曲线方程为 √ 根据已知条件，知||PF1|－|PF2||＝2a， 所以4a2＝b2－3ab，所以b＝4a， √ 例3 思路点拨　对于(1)，根据双曲线的定义得到a，b，c的关系式，再求离 心率； 思路点拨　对于(2)，欲求离心率的取值范围，关键是构造关于e的不等式，可利用|PF1|或|PF2|的范围求解． 因为P为双曲线上一点，|PF1|＝2|PF2|，又因为|PF1|－|PF2|＝2a，所以 |PF2|＝2a.又因为|PF2|≥c－a，即2a≥c－a，所以e＝ ≤3.又e＞1，所以1＜e≤3. 1＜e≤3 方法技巧 (2)依据条件列出含a，c的齐次方程，利用e＝转化为含e或e2的方程，解方程即可，注意依据e>1对所得解进行取舍． 方法技巧 2．求双曲线离心率的取值范围，关键是根据条件得到不等关系，并想办法转化为关于a，b，c的不等关系，结合c2＝a2＋b2和＝e得到关于e的不等式，然后求解．在建立不等式求e时，经常用到结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c－a. 对点练3．(1)已知双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，则其离心率为 __________． 易错精析 典例 √ 错解　本题易出现以下错误： 易误认为焦点在x轴上，而漏掉焦点在y轴上的情况． 易错探因　解题时易误认为焦点在x轴上，而漏掉焦点在y轴上的情况． 返回 课时测评 返回 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P是双曲线C上异于顶点的一点，且 ＝0，则下列结论正确的是 A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1 C．点F1到双曲线的一条渐近线的距离为1 D．△PF1F2的面积为1 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．已知某双曲线的渐近线方程为y＝±x，且该双曲线过点(2， )，则该双曲线的标准方程为______________． 因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以该双曲线的方程可设为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(2， )代入双曲线方程，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x2－y2＝1. x2－y2＝1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒 数，则该双曲线的方程为____________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：若双曲线的焦点在x轴上， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 若双曲线的焦点在y轴上， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：方法一：当焦点在x轴上时， 同理可得，当焦点在y轴上时， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由渐近线方程的推导过程， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意知|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，则△PF2Q为等腰直角三角形． 所以|PF1|＝|F1F2|， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ A．1 B．2 C．4 D．8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 即(1＋k2)(3－k2)＝4(3－4k2)2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又c2＝a2＋b2＝12＋b2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 平 面 解 析 几 何 返回 提示：(1)范围：利用双曲线的方程求出它的范围，由方程－＝1可得＝1＋≥1， 问题1.类比对椭圆几何性质的研究，分析一下双曲线－＝1(a>0，b>0)的范围、对称性、顶点、离心率等？ 于是，双曲线上点的坐标(x，y)都适合不等式≥1，y∈R，即x2≥a2，y∈R，所以x≥a或x≤－a，y∈R. (2)对称性：－＝1(a>0，b>0)关于x轴、y轴和原点都对称．x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心． (4)离心率：①定义：e＝.②e的范围：e＞1.③e的含义：因为c＞a＞0，所以可以看出e＞1，另外，注意到＝＝＝，说明e越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄． 问题2.如图，线段A1A2的长为2a，线段B1B2的长为2b.据此，你能发现双曲线的范围与矩形对角线y＝±x有什么关系？ 提示：双曲线在第一象限内部分的方程为y＝·，它与y＝x的位置关系：在y＝x的下方．它与y＝x的位置的变化趋势：慢慢靠近．其他象限同理． －＝1 －＝1 e＝>1 y＝±x 双曲线的离心率e对双曲线开口大小的影响 双曲线的离心率e＝反映了双曲线开口的大小，e越大，双曲线的开口就越大，这可以从离心率对渐近线斜率的影响上得以理解．(以双曲线－＝1(a>0，b>0)为例，因为＝＝(e>1)，所以e越大，渐近线y＝±x斜率的绝对值越大，即越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔． 由此可见，双曲线的离心率越大，它的开口就越大)． 2．双曲线方程为－y2＝1，则渐近线方程为 A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝x 因为双曲线方程为－y2＝1，则渐近线方程为－y2＝0，即y＝±x.故 选A. 3．已知双曲线过点(－2，2)，且渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的标准方程为 A．－y2＝1 B．x2－＝1 C．－x2＋＝1 D．－＋y2＝1 4．已知点(2，3)在双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________． 1．由双曲线的标准方程求双曲线的有关性质，首先要将双曲线方程化为标准形式－＝1或－＝1，确定a，b的值，进而求出c，再根据双曲线的几何性质得到相应的答案． 2．注意区分双曲线两种标准方程的渐近线．双曲线－＝1的渐近线为y＝±x，双曲线－＝1的渐近线为y＝±x. 若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝ .　① 若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.　③ 所以－＝1.　④ 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 方法二：由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，因为A(2，－3)在双曲线上， (1)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0，m>0，n>0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A>0，B>0)． (2)与双曲线－＝1或－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ或－＝λ(λ≠0)． (3)与双曲线－＝1(a>0，b>0)离心率相等的双曲线系方程可设为－＝λ(λ>0)或－＝λ(λ>0)，这是因为离心率不能确定焦点位置． (4)与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的双曲线方程可设为－＝1(b2<λ<a2)．　　 (2)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线的标准方程 为____________． －＝1 题型三　求双曲线的离心率 　　 (1)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab，则该双曲线的离心率为 A． B． C．4 D． (2)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是______________． 1．求解双曲线的离心率一般有两种方法 (1)由条件寻找a，c所满足的等式，常用的公式变形为e＝＝ ＝，其中a>0，b>0. 当焦点在x轴上时， ＝2，这时离心率e＝ ＝ ＝ .当焦点在y轴上时， ＝2，即 ＝ ，这时离心率e＝ ＝ ＝ . 或 (2)在平面直角坐标系xOy中 ，若双曲线 － ＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c，0)到一条渐近线的距离为 c，求其离心率的值． 误区警示　当题目条件没有明确双曲线的焦点所在轴时，应分两种情况进行讨论．同时注意两种情况下，渐近线方程是有区别的：焦点在x轴上时，渐近线方程为y＝±x；焦点在y轴上时，渐近线方程为y＝±x. 易知双曲线C的标准方程是x2－＝1，其离心率是e＝＝.故 选D. 3．(多选)若双曲线C的一个焦点F(5，0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是 A．C的方程为－＝1 B．C的离心率为 C．焦点到渐近线的距离为3 D．|PF|的最小值为2 4．已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为 A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形．双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，不妨设交点A在第一象限，由y＝x，x2＋y2＝4得xA＝，yA＝，故四边形ABCD的面积为4xAyA＝＝2b，解得b2＝12，故所求的双曲线方程为－＝1.故 选D. · －＝1 8．(2024·山东东营高二质量监测)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作圆x2＋y2＝a2的切线，交双曲线的右支于点M，若∠F1MF2＝45°，则该双曲线的离心率为________． 如图，作OA⊥F1M于点A，F2B⊥F1M于点B.因为F1M与圆x2＋y2＝a2相切，∠F1MF2＝45°，所以＝a，＝＝2a，则＝2a，＝2＝2b.又点M在双曲线上，所以－＝2a＋2b－2a＝2a，整理得b＝a，即b2＝2a2＝c2－a2，得e2＝3，由e>1解得e＝，所以双曲线的离心率为. 设其标准方程为－＝1(a>0，b>0)．同理可求得b2＝－，不符合题意． 10．(10分)已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率． 解：设F1(c，0)，将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，那么y＝±. 11．(5分)设双曲线C： － ＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则实数 a＝ 12．(5分)(一题两空)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2. (1)若F2到渐近线的距离是3，则b为________． (2)若P为双曲线C右支上一点，∠F1PF2＝60°且∠F1PF2的角平分线与x轴的交点为Q，满足＝2，则双曲线C的离心率为________． 由＝2，得|F1Q|＝2|QF2|，故S△PF1Q＝2S△PF2Q.因为S△PF1Q＝|PF1|·|PQ|·sin∠F1PQ，S△PF2Q＝|PF2|·|PQ|·sin∠F2PQ，∠F1PQ＝∠F2PQ，所以|PF1|＝2|PF2|.由双曲线定义知|PF1|－|PF2|＝2a，则|PF2|＝2a，|PF1|＝4a.在△PF1F2中，由余弦定理知|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝2|PF1|·|PF2|cos ∠F1PF2，即4c2＝16a2＋4a2－8a2＝12a2.故e2＝3，即e＝. 13．(10分)已知双曲线C：－＝1，焦点到渐近线的距离为，且离心率为. (1)求双曲线C的方程； (2)直线l：y＝kx＋3与双曲线交于M，N两点，若＝16，求k的值． 14．(5分)(新情境)双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．若双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且cos∠BAC＝－，·＝0，则E的离心率为 15．(15分)设A，B分别为双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标． 所以又点D(x0，y0)在双曲线上，所以－＝1，解得t2＝16，且点D在双曲线的右支上，所以t>0，即t＝4，此时点D(4，3)． $