第3章 圆（八大考点+六大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学“圆”单元知识清单系统整合了圆的概念、位置关系、重要定理、三角形外接圆与内切圆、正多边形及扇形计算等核心内容，搭建了从基础概念理解到定理推理应用再到综合计算的递进式学习支架。 清单以“知识点+易错点”双模块构建知识体系，如将垂径定理推论标注为重点，总结“过圆心作垂线连半径”辅助线技巧，培养几何直观与推理意识。针对6类高频易错点设计对点训练，如区分外接圆外心与内切圆内心，配套公式辨析表避免弧长面积公式混淆，助力学生精准突破难点，教师可直接用于课堂专题复习或分层辅导。

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第3章圆 知识脉络 1/49 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 定义：到定点距离等于定长的点集合 确定圆：圆心定位置、半径定大小) 圆的基础概念 要素：弦、直径、弧、圆心角、等弧（同/等圆） dkr:点在圆内 d=r:点在圆上 点与圆位置关系 d>r:点在圆外 定理：垂直弦的直径平分弦及所对弧 推论：平分弦（非直径）一垂直平分弧 垂径定理 辅助线：作垂线+连半径，勾股计算 外心：三边垂直平分线交点 三角形外接圆（外心） 位置：锐角△内部、直角△斜边中点、钝角△外部 圆周角定理：圆周角= 同弧圆心角 2 圆 推论：直径对应90圆周角 圆周角与圆内接四边形 圆内接四边形：对角互补，外角=内对角 位置：相离d>r;相切d=r;相交d<r 切线：判定（过半径外端+垂直）；性质（切线⊥切点半径） 直线与圆 切线长定理：圆外一点引两切线，切线长相等 内切圆（内心：内角平分线交点，到三边距离相等 概念：中心、半径、边心距、中心角360° 正多边形与圆 计算：半径边心距半边长构成直角三角形 nπR 弧长：L= 180 扇形公式 面积：S= nπR2 1 IR 360 2 2/49 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 知识盘点 知识点01圆的有关概念 1.圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆 这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径 2.圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙0，读作圆O 3圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形 确定圆的条件：①圆心；②半径其中，圆心确定圆的位置，半径长度确定圆的大小 4.圆的其他概念： 弦 连结圆上任意两点的线段叫做弦（例如：右图中的AB) 直径 经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD) 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A,B为端点的弧记作 弧 AB,读作圆弧AB或弧AB 0 D 圆心角 定点在圆心的角叫圆心角 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧， 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半 半圆 圆， 优弧 在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧 劣弧 在一个圆中小于半圆的弧叫做劣弧 知识点02点与圆的位置关系 设0 d 半径是’，点P到圆心0的距离为，则有： 3/49 图1 图2 图3 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 d<r=P,⊙O 点在内，如图1： d=r→.P⊙0 点在 上，如图2； >r-点P在o0外，如图3. 注：1.：分读作“等价于”，它表示从符号“兮”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端 2.点在圆上，指的是点在圆周上，而不是点在圆面上 知识点03垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1： ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧： ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧： ③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法： ①过圆心，作垂线，连半径，造直角三角形，用勾股，求长度；②有弧中点，连中点和圆心，得垂直平 分 知识点04三角形的外接圆 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，如图所示： 4/49 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B ⊙0是△ABC的外接圆，△ABC为⊙O的一个内接三角形，点0为△ABC的外心. 1.锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三角形的外心在三角形的 外部，如图所示： 2.一个三角形只有一个外接圆，而一个圆有无数个内接三角形： 知识点05圆周角 1.圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 定理及推论 具体内容 图示 条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 C 圆周角定理 1 ∠ACB=∠AOB (即： 圆周角=2圆心角，如图示中的 2 同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相 推论1 等。 B 如图示中的∠ACB=∠ADB 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是 推论2 直径 5/49 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 证明：在⊙O中，：四边ABCD是内接四边形 .∠C+∠BAD=180°，∠B+∠D=180° ∠DAE=∠C 知识点06直线与圆的位置关系 1.位置关系 位置关系 d与r的比较 交点情况 图示 相离 d>r 无交点 0 相切 d=r 有一个交点 d-/r 相交 d<r 有两个交点 2.切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线： 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：：MN⊥OA且MN过半径OA外端，.MN是⊙O的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心：②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 3.切线长定理 6/49 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的 连线平分两条切线的夹角。 即：，PA、PB是的两条切线，PA=PB,PO平分∠BPA 4.三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算。 (1)三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 a+b-c (2)△ABC中，∠C=90°，AC=b,BC=a,AB=C,则内切圆的半径 2 1 (3)S.MBc=2 r(a+b+C) 其中a,b,c是边长，r是内切圆的半径。 知识点07正多边形与外接圆 1.正多边形与外接圆：一般地，用量角器把一个圆（≥3）等分，依次连接各等分点所得的多边形是这 个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆 2.正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 3.正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 4.正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 5.中心角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 6.正多边形的轴对称性：正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正 n边形的中心。 7.正多边形的中心对称性：边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 8.正多边形的画法：先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形 9.圆内正多边形的计算 正多边形正三角形 正四边形 正六边形 7/49 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 图示 B A 有关计算在Rt△BOD中进 有关计算在Rt△OAE中进 有关计算在Rt△OAB中进 长度比例 行， 行， 行， OD:BD:OB=1:3:2 OE:AE:OA=1:1:2 AB:OB:04=1:3:2 知识点08 扇形的弧长和面积计算 nπR A (1)扇形弧长公式：1=180； (2)扇形面积公式： S=NR2 =R 3602 其中n:圆心角，R:扇形多对应的圆的半径， 注意： 1 (1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的360，即360 2zR=TR 1809 (2)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第 三个量 1 (3)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积 360即 πR2=πR2 360 180 (4)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可 以求出第三个量 8/49 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 易错汇总 易错01一条弦对应多组圆周角，容易漏解 易错提醒 圆的同一条弦的两侧均可以取，点，因此一条弦能够对应无数个圆周角，会出现相等或互补两种角度结果。 很多同学做题时只考虑弦一侧的圆周角，直接默认角度唯一，忽略另外一种互补情况。遇到弦求圆周角的 计算题，一定要分类思考，防止出现漏解，丢掉部分答案。 【对点训练】 1,如图，△ABC内接于O0,AB=BC,AD是O0的直径.设∠DAB=a,∠DBC=B,则a与P的关系 是 B 【答案】B=2a-90 【详解】解：：AD是⊙O的直径， .∠ABD=90°， .∠D=90°-∠DAB=90°-a, ∴.∠C=∠D=90°-a, AB=BC, .∠BAC=∠C=90°-a, :∠D1C=∠D1B-∠B1C=a-(0-a）=2a-90e 又：∠DAC=∠DBC=B, .B=2a-90° 2.点O为半圆的圆心，AB是半圆的直径，C.D为半圆上的两点，点D是弧BC的中点，连接AD, 9/49 函学科网·上好课 www.zxxk.com BD,AC的延长线与BD的延长线相交于点E. 公 C (I)若∠ABD=65°，求∠BAE= (2)求证：AB=AE: 【答案】(1)50° (2) 证明：，点D是弧BC的中点， .∠BAD=∠EAD, ,AB是半圆的直径， ∠ADB=90 .∠ADE=90. 在△ABD和△AED中， :∠BAD=∠EAD,AD=AD,∠ADB=∠ADE=90°， :△ABD≌△AED(ASA), .'AB=AE. 【分析】 【详解】(1)解：：AB是半圆的直径， :.∠ADB=90 ·∠ABD=6S°，∠ADB=90° ∠BAD=90°-6S°=25°， :点D是弧BC的中点， ∠CAD=∠BAD=25°， 10/49 上好每一堂课 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠BAE=25°+25°=50°， 故答案为：50： (2)略 3.如图，在O0中，直径B交CE于点F,连接BE,弦CD过点O且与BE相交于点G,点D平分B E (1)求证：2∠DCE+∠EBA=90°， (2若1G=EB,o 的半径为3，求OC的长。 【答案】(1) 证明：如图，连接EO, B :弦CD过点O ∴.CD是OO的直径， :点D平分EB .ED=BD, .CD⊥EB,∠DOB=∠EOD. ∴.∠DOB+∠EBA=90° 又：∠EOD=2∠DCE 11/49 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .2∠DCE+∠EBA=90° 32 (2)2 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：连接AE, E AE=EB .'AE=EB 又AB是⊙0的直径，则AB=2×3=6, .∠AEB=90°， :46=9a 2×6=3V2 2 2 由(I)可得CD⊥EB,CD是⊙O的直径， .'EG=BG. 又.AO=BO, W2 0G=1AE= 易错02随意套用圆内接四边形对角互补性质 易错提醒 对角互补是四，点共圆（圆内接四边形）特有的性质，普通四边形对角并不互补。做题时如果没有确认四边 形四个顶点都在圆上，不能直接使用对角互补，也不能直接使用外角等于内对角的结论。审题第一步先判 断是否是圆内接四边形，再使用对应性质进行角度运算。 12/49 可学科网·上好课 www.zxxk.com 【对点训练】 4.如图，⊙0中，若∠A0C=150°，那么∠ABC=() ○ B A.150° B.125 C.105° 【答案】C 【详解】解：如图，在优弧AC上取点D,连接AD、CD, D B .·∠AOC=150° ∠D=1∠A0C=750 .∠ABC=180°-75°=105°， 5.如图，四边形ABCD内接于⊙O,连接OB,OD.若∠BCD=115° D B A.65° B.115° C.130° 【答案】C 【详解】解：四边形ABCD内接于⊙O, .∠A=180°-∠BCD=65°， 13/49 上好每一堂课 D.100° 则∠BOD的度数是() D.140° 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由圆周角定理可得：∠BOD=2∠A=130°」 6.如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接CE,若∠BAD=104°，∠DCE= 【答案】 14 【详解】解：：四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∠BAD+∠BCD=180°， 又∠BAD=104°， .∠BCD=76°， :BE是⊙O的直径， .∠BCE=90°， .∠DCE=∠BCE-∠BCD=14°. 易错03圆内两条平行弦，忽略位置分类讨论 易错提醒 已知圆内两条平行弦长，求两弦之间距离，要分两种情况：两条弦在圆心的同侧、两条弦在圆心的异侧。 不少学生只计算其中一种情形，漏掉另一组答案。解题先用垂径定理结合勾股，算出弦心距，再分情况做 加法或减法，完整求出两种距离结果。 【对点训练】 7.已知⊙0半径是13，弦AB‖CD,AB=24,CD=10,则AB与CD之间距离为() A.7 B.17 C.7或17 D.无法计算 【答案】C 14/49 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：当AB,CD在点O的两侧，作OM⊥AB于M,延长MO交CD于N,连接OA,OC, ABIICD AB=24 CD=10 则ON⊥CD, A M B D :.AM-14B-12.CN-CD-5 2 0M=VOA-AM2=V132-122=50N=VOC2-CW2=V132-5=12 .MN=OM+ON=5+12=17, ∴此时弦AB与CD的距离为17； 当AB,CD在点O的同侧，作O0⊥CD于Q,交AB于P,连接OA,OC, C D A 同理， 4P-48=12c0 2CD=5 ∴0P=V0-Ap2=132-122=5,00=V0C2-C02=132-5=12 .P9=O0-0P=12-5=7 ∴.此时弦AB与CD的距离为7， ∴弦AB与CD的距离为17或7. 故选：C 15/49 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 8.已知⊙0的直径为34cm,AB,CD是⊙0的两条弦，AB川CD,AB=30cm,CD=16cm,则AB和 CD之间的距离是() A.7cm或23cm B.14cm或46cm C.7cm D.23cm 【答案】A 【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时， 连接OA,OC,过点O作OE⊥AB于点E并延长交CD于点F.则OF⊥CD,如图， 0 E D AB=30cm CD=16cm ∴.AE=。AB=l5cm.CF=CD=8cm 2 .OA=OC=17cm, ..EO=042-AE2 =8cm OF=OA2-CF2 =15cm ..EF =OF-OE =7cm; ②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图， C D E ⊙ .AB=30cm CD=16cm .AB=7AB=15cm CF-CD=8cm .OA=OC=17cm. ..EO=042-AE2 =8cm OF=VOA-CF2 =15cm ∴.EF=OF+OE=23cm, 16/49 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴AB与CD之间的距离为7cm或23cm 易错04证明切线辅助线思路混乱，步骤缺失 易错提醒 证明切线有固定套路，很多学生分不清什么时候连半径、什么时候作垂线。若已知直线与圆有公共点，就 连半径，证垂直；无公共点，则作垂直，证半径。切线判定需要同时满足两个条件，书写大题不能省略证 明垂直或证明半径相等的关键步骤，否则会被扣步骤分。 【对点训练】 9.如图，在△OAB中，点A在⊙0上，边OB交⊙O于点C,AD⊥OB于点D.AC是∠BAD的平分线. (I)求证：AB是⊙0的切线； (2)若⊙0的半径为6，∠A0B=45°，求CB的长. 【答案】(1)见解析 (②62-6 【分析】 【详解】(1)证明：AD⊥OB, .∴.∠ADC=90° .∠CAD+∠ACD=90°， AC平分∠BAD, ∴.∠BAC=∠CAD 01=0c00半径. ∴，∠OAC=∠ACD」 17/49 函学科网·上好课 www.zxxk.com ∴.∠OAC+∠BAC=∠ACD+∠CAD=90°， 即∠0AB=90°， ∴.OA⊥AB, 又点A在⊙0上， OA是⊙0的半径， AB是OO的切线. (2)解：由(1)知OA⊥AB,即∠OAB=90°， :∠AOB=45°」 ∴△OAB是等腰直角三角形， ∴.OA=AB :⊙0半径0A=0C=6, .AB=OA=6. ..OB=O4+AB2=62+62=62 .CB=OB-OC=6√2-6 10.如图，点C在△OAB的边AB上，OO经过点C,且与OA AD=BE,四边形ODCE是菱形.， (I)求证：△ADC≌△BEC: (2)求证：AB是⊙O的切线， 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】 【详解】(1)证明：四边形ODCE是菱形， 18/49 上好每一堂课 OB分别交于点D,E,连接CD,CE.若 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴.DC=CE,∠ODC=∠OEC .∠ADC=180°-∠ODC=180°-∠OEC=∠BEC. 在△ADC和△BEC中： AD=BE ∠ADC=∠BEC DC=CE .∴△ADC≌ABEC(SAS) (2)证明：连接OC, 由(1)△ADC≌△BEC. :AC=BC, 四边形ODCE是菱形，且OD、OE为⊙O的半径， ∴.OD=OE=DC=CE ..OA=OD+AD=OE+BE=OB, 在aOAB中，OA=OB,AC=BC, :.OC L AB, 点C在⊙0上，OC为半径， AB是⊙O的切线， 11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，在AC上取一点D,以AD为直径作⊙O,与AB相交于点E,作 线段BE的垂直平分线MN交BC于点N,连接EN. A M D 19/49 函学科网·上好课 www.zxxk.com (1)求证：EN是⊙O的切线： (2)若AC=3,BC=4,⊙0的半径为1，求线段EN的长. 【答案】(1)见解析 19 (2)8 【分析】 【详解】(1)证明：连接OE, D 因为OA=OE, 所以∠A=∠OEA, 因为∠C=90°， 所以∠A+∠B=90° 所以∠OEA+∠B=90°」 因为线段BE的垂直平分线MN交BC于点N, 所以NB=NE, 所以∠NEB=∠B, 所以∠OEA+∠NEB=90°， 所以∠OEV=90°， 所以EN是⊙O的切线： (2)解：因为∠C=90°，AC=3,BC=4, 所以1B=VAC2+BC=5 AB=5.cOsB=BC 4 所以0sA=1C、3 AB 5 因为⊙0的半径为1， 20/49 上好每一堂课 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以AD=2, 连接ED, M D 因为以AD为直径作⊙O, 所以∠AED=90°， 所以AE=ADc0sA=2x3_6 55 所以BE=AB-AE=5-6-19 5=5, 因为线段BE的垂直平分线MN交BC于点N, 所以M-BE 19 10 故BN= BM195_19 cosB 10 4 8, 故EN=BN=19 · 12.如图，AB是OO的直径，C是⊙O上一点，弦CD⊥AB于点E,且DC=AD.过点A作OO的切线， 过点C作DA的平行线，两直线相交于点F,直线FC交AB的延长线于G. D E B G (1)求证：FG与⊙0相切： (2)求证：四边形ADCF是平行四边形： 【答案】(1) 21/49 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 证明：如图，连接OC,AC」 是 的直径，弦 于点， G AB⊙O CD⊥AB E ..CE=DE, 即AB是CD的垂直平分线， .AD=AC DC=AD ..DC=AD=AC, ∴△ACD是等边三角形， ∴，∠D=∠DCA=∠DAC=60°， &∠0CD=)∠DCA=30°」 FG‖AD ∴.∠DCG=∠D=60° ∴∠OCG=∠OCD+∠DCG=90°，即OC⊥FG, 又OC是⊙0的半径， FG与⊙O相切： (2) 证明：AF是⊙O的切线， AB⊥AF, 弦CD⊥AB于点E, .CD‖AF, 又FG∥AD, ∴四边形ADCF是平行四边形： 【分析】 【详解】(1)略 22/49 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)略 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，涉及到了平行四边形的判定，等边三角形的判定与性质等知识， 解题关键是构造等边三角形，掌握相应的性质定理以及方法， 易错05混淆三角形外接圆、内切圆相关概念 易错提醒 外心是三角形三边垂直平分线交点，是外接圆圆心，到三角形三个顶点距离相等；内心是三角形三条内角 平分线交点，是内切圆圆心，到三边距离相等。考试中经常混淆两者的交点来源、几何性质，计算半径时 分不清对应的公式，做题要先看清题目问的是外接圆还是内切圆。 【对点训练】 13.如图，△ABC的周长为22cm,AB=6cm,⊙0是它的内切圆，直线DE是位于O0右侧的任意一条切 线，若沿着直线DE剪下△CDE,则剪下的△CDE的周长为() A.16cm B.12cm C.10cm D.随直线DE的变化而变化 【答案】C 【详解】解：设OO与AB、BC、AC、直线DE分别相切于点N、F、M、H, B ,△ABC的周长为22cm,AB=6cm, AC+BC=AM+MC+BF+FC=22-6=16(cm) 23/49 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ..BN=BF,AN=AM. .'AM +BF AN+BN =AB=6cm, CM+CF=AC+BC-(AM+BF)=16-6=10(cm) MD=DH,HE FE, CD+DE+EC=CD+DH+HE+EC=CD+MD+FE+EC=CM+CF=10(cm) :.剪下的△CDE的周长为l0cm, 14.如图，正方形网格中，A,B,C三点均在格点上，那么△ABC的外接圆圆心是点 【答案】G 【详解】解：如图，点G即为所求作的点. 故答案为：G. B 15.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,则△ABC的内切圆半径r= B 【答案】2 24/49 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：在△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8, 4B=VAC2+BC2=10 如图：连接OA,OB,OC, .S.4C=S.40c+S.0c+S.408 4cac=4cr+8cr 1 1 1 1 即x6x8=2x6r+2×8r+2×10r, 1 ”2 解得：r=2. B 16.如图，点O为△ABC的外心，连接OC,作正方形OCDE,其中E点在△ABC的外部，则外心不是点O 的三角形是一（填“△CBE”或“△ACE”或“aACD”或“△ABE”), B 【答案】△ACD 【详解】解：如图，连接OA、OB、OD 25/49 函学科网·上好课 www.zxxk.com :O是△ABC的外心， ..OA=OB=OC ,四边形OCDE是正方形， ..OC=OE ∴.OA=OB=OC=OE, .OB=OE=OC. .O是△CBE的外心： ,四边形OCDE是正方形， .OC=CD,∠OCD=90° .OD=JOC2+CD:=20c ∴.OA=OC≠OD ∴.O不是△ACD的外心： ..OA=OB=OE. ∴.O是△ABE的外心： OA=OE =OC. ∴.O是△ACE的外心. 易错06扇形孤长、面积公式记混，： 交叉误用 易错提醒 孤长公式l=n 180, 扇形面积公式S=0R。不少同学记混分母R 360 审题看清题目求的是弧长还是扇形面积，代入公式注意圆心角、半径对应准确， 用错造成整道题计算错误。 26/49 上好每一堂课 方，求孤长套用面积公式。 做完简单验算，避免公式 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【对点训练】 17.如图，某扫地机器人的设计理念来源于莱洛三角形（分别以等边三角形ABC的三个顶点A,B,C为 圆心，AB长为半径画弧得到的图形)·若AB=5,则此莱洛三角形的周长为() 图1 图2 16π 15元 A.6π B.3 C.5 D.4 【答案】C 【详解】解：，△ABC是等边三角形， .∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°， 六的长为10×rxAB=60 60 180 πx5=5 π， 5 同理，AC与BC的长都为3π， ·此莱洛三角形的周长为x3=5元。 18.如图，点A,B,C,D顺次分布在半径为2的OO上，其中AD是⊙O的直径，点C是弧BD的中点， 顺次连接AB,BC,CD,若∠BCD=100°，则弧CD的长为() B A. 2 10 B.9元 D. 【答案】B 【详解】解：连接BD,OC 27/49 画学科网·上好课 www.zxxk.com B D 点C是弧 的中点， BD .BC=CD ..BC=CD :∠BCD=100° ·.∠CBD=∠CDB= ×180°-100)=40. ∴.∠COD=2∠CBD=80°」 80π×28 ∴弧CD的长=180=g元 =一π 19.如图，用一张半径为30cm的扇形纸板做一个圆锥形帽子 底面半径为10cm,则该扇形纸板的面积为 cm2. 30cm 【答案】 300π 【详解】解：设圆锥底面半径为”，扇形半径为R, 由题意得r=10cm,R=30cm 1=2πr=2π×10=20π(cm) 圆锥底面周长 六扇形面积S-R-×20z×30=30z(em）. 1 2 28/49 上好每一堂课 (接缝忽略不计)，若做成的圆锥形帽子的 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 20.中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分.历来中国有“制扇王国”之称.折扇 是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子：用时须撒开，成半规形，聚头散尾.如 图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条B,AC夹角为150°，MB的长为18cm,BD的长为9cm,则DE 的长为 cm 15 【答案】2π 【详解】解：：AB=18cm,BD=9cm,∠DAE=l50°. .AD =9cm. :DE的长为180 -2 x(cm) 150×π×9_15 21.如图，在△ABC中，AB=AC,点D是BC的中点，以A为圆心的圆过点D. D B C (I)求证：BC与OA相切： (2)若AB=10,∠B=30°，求阴影部分的面积. 【答案】(1)证明：连接AD, :AB=AC,D为BC中点， ,AD⊥BC, 又以A为圆心的圆过点D, .AD为圆的半径， :BC与⊙A相切. (2)25v3-25z 3 29/49 可学科网·上好课 www.zxxk.com 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：在RIADB中，∠B=30°，AD⊥BC, :AD=5AB=10x25,∠BHD=90-∠B=30 2 BD=AB2-AD =V102-52 =55 :点D是BC的中点， .BC=2BD=103 Sm40sc-x5x105=2s5, 又：AB=AC,AD⊥BC, .∠BAD=∠CAD=60°，即∠BAC=120°， 120π×5225π S扇形 3603 影=54c-S形-25V5-25π 3 30/49 上好每一堂课 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 易错训练 1.在⊙0中，弦AB‖CD,AB=16,CD=12,⊙0的直径为20，则弦AB,CD之间的距离为 【答案】2或14 【分析】 【详解】解：①当AB、CD在圆心的同侧，如图（一）所示时，过O作OE⊥CD交AB于R,连接 OA、OC, A F (二) 由垂径定理可知AF=)AB=8,CE=CD=6 2 在Rta40F中，OF=VA02-AF2=V102-8=6 在Rt△C0E中，0E=VC0-CEi02-6=8 所以EF=OE-OF=8-6=2: ②当AB、CD在圆心的异侧，如图（二）所示时，过O作OE⊥CD交AB于F,连接AB, 同（一）可知：OE=8,OF=6. 所以EF=OE+OF=8+6=14, 故答案为：2或14 之如图，00是五边形CD的外接圆，c是BD ⊙0 的中点，若∠C=10°，D=10w,则∠4的度数为 31/49 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B E ●○ D 【答案】115 【分析】 【详解】解：连接BE,CE, B D :四边形BCDE是⊙O的内接四边形， .∠CBE=180°-∠D=80°.∠BED=180°-∠BCD=70°， :C是BD 的中点， .BC=CD ·∠BEC=∠CED=1∠BED=35° .∠BCE=180°-∠CBE-∠BEC=65° :四边形ABCE是⊙O的内接四边形， .∠A=180°-∠BCE=115 故答案为：115°， 3.已知Rt△ABC的两直角边的长分别为5cm和12cm,则它的外接圆的半径与内切圆半径的比为 【答案】13：4 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，两直角边分别为5cm和l2cm, 32/49 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AB=V52+122=13(cm） 直角三角形的外接圈直径等于斜边，因此。BC的外接圆半径R=。 设△ABC的内切圆半径为rCm, 由三角形面积公式可得：S.c-(4C+BC+AB)r=)4C-BC, 2 2 5+12+13)r=5×12 代入得 解得r=2, E外接圆半径与内切圆半径的比为)：2=13：4 4.如图， O0为Ri△1BC 的内切圆，切点分别 M,N,0,已知 ∠ABC=90,CM=2,4M=3,则o0的 半径为 【答案】1 【分析】 【详解】解：如图，连接OW,OQ. M A :BC,AB为⊙0切线， .ON⊥AB,OQ⊥BC. 33/49 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠ONB=∠00B=90°， ,∠B=90° “四边形ONBO为矩形， .0N=00. ∴矩形OWBO为正方形. 设⊙O的半径为T,则BN=BQ=ON=r. :⊙O为Rt△ABC的内切圆， .CM=CO=2,AM=AN=3 “在Rt△1BC中，根据勾殷定理得r+2+(+3=(2+3 1=1,2=-6 解得 (舍去). ⊙0的半径为1· 故答案为：1 5.用半径为3，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 【答案】1 【详解】解：设这个圆锥底面圆的半径为r,已知扇形半径为3，圆心角为120°， 120°×π×3=2元， 根据扇形弧长公式计算弧长得180° ,圆锥侧面展开后，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴.可得方程2πr=2π， 解得r=1. 6.如图，将半径为2cm的圆形纸板，沿着边长分别为l6cm和l2cm的矩形的外侧滚动一周并回到开始的 位置，圆心所经过的路线长度是cm(π≈3.l4). 34/49 学科网·上好课 www.zxxk.com 【答案】68.56 【详解1解，6+12x2+90x314×2×4=56+1256=68,56em） 180 答：圆心所经过的路线长度是68.56cm 7.如图，在⊙O中，弦AD‖BC,DA=DC,∠AOC=160°，则 B D A.20° B.60° C.40° 【答案】B 【分析】 【详解】解：如图所示，连接AC, :∠D=1∠A0C=80 .∠B=180°-∠D=100° .AD=CD.OA=OC. .∠DAC=∠DCA=50°，∠OCA=∠OAC=10°， AD∥BC ∴.∠BCA=∠CAD=50° ∠BC0=10°+50°=60° 35/49 上好每一堂课 BCO的度数为() D.50° 命学科网·上好课 www .zxxk.com B D 故选：B 8.如图，在平行四边形ABCD中，AD=3,AB=6,∠A=30° AB于点E,连接CE,则阴影部分的面积是 D A30° 27-3π 【答案】 4 【详解】解：过C作CF⊥AB交AB的延长线于点F,如图所示， D A30 E B :四边形ABCD是平行四边形，AD=3,∠A=30°， .DA∥CB,AD=BC=3,, ∴∠CBF=∠A=30° .CF=1BC=3 3 2 2 .AE=AD=3.AB=6. .BE=AB-AE=3, ∴阴影部分的面积为 平行四边形ABCD-S扇形DAE一S.BCE =62*8x0 2 360 =27-3玩 4· 36/49 上好每一堂课 以点A为圆心，AD的长为半径画弧交 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 9.如图，四边形1BCD是O0的内接四边形，AB是直径，点E在CMB上，连接EC,EB,若ADC=10, 则∠BEC= D B E 【答案】20 【详解】解：如图所示，连接AC, D E :四边形ABCD是⊙O的内接四边形， .∠ADC+∠ABC=180°， ,∠ADC=110°， ∴.∠ABC=70°： AB是直径， .∠ACB=90° .∠BAC=90°-∠ABC=20°， .BC=BC ∴.∠BEC=∠BAC=20° 10.如图，在⊙0的内接四边形ABCD中，AB=AD,∠C=110°，点E在AB上，则∠E=°. 37/49 函学科网·上好课 www zxxk.com 【答案】125 【详解】解：连接BD, 0 在⊙0的内接四边形ABCD中，∠C=110°， .∠C+∠BAD=180°. .∠BAD=180°-110°=70°， AB=AD. .∠ABD=∠ADB, ∠408-×080-709)=5 ,四边形AEBD为圆的内接四边形， .∠E+∠ADB=180°， .∠E=180°-55°=125° 故答案为：125 11.已知⊙0的直径为20Cm,AB,CD是⊙O的两条弦，AB∥CD CD之间的距离为， cm 【答案】 2或14 38/49 上好每一堂课 AB=16cm,CD=12cm,则AB与 函学科网·上好课 www.zxxk.com 【详解】解：⊙0的直径为20cm, ∴.⊙0的半径为l0cm, ① AB CD 当圆心在弦 和的同侧时， C D A 连接OA,OC,过点O作OE⊥AB于点E,延长OE交CD于点F, ABIICD ∴.OF⊥CD, 由垂径定理得，AE=)AB=8cm,CF=)CD=6Cm, 2 在Ra01E中，由勾股定理得：0E=V0-AE=Vh02-8=6Cm 在Ra0CF中，由勾股定理得：OF=V0C-CF2=V02-6=8cm」 ∴.EF=OF-OE=8-6=2cm: 当圆心在弦1B彩 CD D和的异侧时， A ⊙ ○ D 同理可得OE=6cm,OF=8cm, .EF=OE+OF=6+8=14cm. 综上：AB与CD之间的距离为2cm或14cm 12.如图是一条隧道的横截面，它的“拱顶”部分是以点O为圆心的圆的 39/49 上好每一堂课 部分，如果⊙0的半径为5m, 可学科网·上好课 www.zxxk.com 跨度AB为8m. 刀 (I)求“拱顶”部分表示拱高的线段CD的长度： (2)若要在离隧道中心3m处（即CE=3m)安装一支柱EF(EF 【答案】(1)2m (2)lm 【分析】 【详解】(1)解：，⊙0的半径为5m .∴.OD=OB=OA=5m AD=BD ∴.∠AOC=∠BOC ∴.∠ACO=∠BC0=90, AC=BC=AB 2 AB=8m ..BC=4m :.0C=VB02-BC2=V52-42=3m ∴.CD=OD-OC=5-3=2m (2)解：作FG⊥CD于G,连接OF不妨设EF=x :AB⊥DO,EF⊥AB ∴四边形FGCE是矩形 ∴.GC=EF=x,CE=FG=3m,∠FGO=90 在Rt△FG0中，OG=OC+FC=3+x,OF=5m,FG=3m ∴.0G2+FG2=0F2 40/49 上好每一堂课 垂直于AB),求支柱EF的长度. 可学科网·上好课 www.zxxk.com (3+x)2+32=52 x=1,x=-7(舍) .EF =Im 13.如图，AB是OO的弦，C为过点B的切线上一点，且BC=A AD=BE,AF=BD DE.DE.EF ，连接 O。 (1)求证：AC是O0的切线： (2)若∠C=40°，求∠FDE的度数. 【答案】(1) 证明：连接OA,OB, E .AC=BC. .∠CAB=∠CBA, .OA=OB, .∠OAB=∠OBA, ∴.∠CAO=∠CBO, :BC是⊙O的切线， ∴.∠CB0=90°， .∠CA0=90° 41/49 上好每一堂课 C,D,E,F分别在AB,BC,AC上，且 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :OA是⊙0的半径， .AC是⊙O的切线： (2)70° 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：在△ADF与△BED中， AD=BE ∠CAB=∠CBA AF=BD △ADF≌△BED(SAS) ,∠ADF=∠BED, AC=BC,∠C=40°， 2C18=2C84=×080-409）=70. :·∠ADF+∠FDE+∠BDE=180°，∠BED+∠CBA+∠BDE=180°， ∴.∠EDF=∠CBA=70° 14.如图，⊙0的直径AB的长为10，∠CAB=60°，∠ACB的平分线交⊙0于点D. B D (I)求∠ADC的度数： (2)求弦BD的长. 【答案】(1)30° g5 【分析】 42/49 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：：AB是⊙O的直径， .∠ACB=90° :∠CAB=60°， ∠ABC=90°-60°=30°， 1C-Ac ∠ADC=∠ABC=30°： (2)由(1)知∠ACB=90°，∠ADC=30°， ,CD是∠ACB的平分线， C∠ACD=)∠ACB=45 .∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=180°-45°-30°=105°， :∠CAB=60° ∴.∠DAB=∠CAD-∠CAB=105°-60°=45°， :AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°， ∴，△ABD是等腰直角三角形， AB=10. .2BD2=10, 解得BD=5V5 【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，勾股定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，都 等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键. I5.如图，在RtAABC中，∠ACB=90°，延长CA到点D,以AD为直径作OO,交BA的延长线于点 E,延长BC到点F,使BF=EF. 43/49 函学科网·上好课 www.zxxk.com E (I)求证：EF是⊙O的切线： (2)若OC=9,AC=4,AE=8,求BE的长 【答案】(1) 证明：连接OE, D ..OA=OE .∠OEA=∠OAE, 在Rt△ABC中，∠ACB=90°， .∠BAC+∠B=90°， .BF=EF, ∴.∠B=∠BEF, ,'∠OAE=∠BAC .∠OEA=∠BAC, .∠OEF=∠OEA+∠BEF=∠BAC+∠B=90°， :OE⊥EF, :OE是⊙0的半径， .EF是⊙O的切线： (2)13 44/49 上好每一堂课 可学科网·上好课 www.zxxk.com 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：连接DE, D B OC=9.AC=4 .0A=0C-AC=9-4=5. .AD=20A. .AD=10 :AD是⊙O的直径， .∠AED=90°， 在Rt△ADE中， DE=VAD2-AE2=V102-82=6 cos∠DAE=AE=84 AD105, 在RtsABC中，os∠BAC= 4 ABAB ∠BAC=∠DAE, 44 :AB5' AB=5, .BE=AB+AE=5+8=13, 16.如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上（点D不与AB重合） 点E为BC的中点. 45/49 上好每一堂课 直线AD交过点B的切线于点C, 函学科网·上好课 www.zxxk.com B (I)求证：DE是OO的切线； (2)若DE∥AB,OB=2,求四边形OBED的面积. 【答案】(1) 证明：连接OD,BD, C :AB是⊙O的直径， ∴.∠ADB=∠BDC=90° :点E为BC的中点， BE-CE-1BC 2 ∴.∠EDB=∠EBD, .OD =OB. ∴.∠ODB=∠OBD .∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD. .∠ODE=∠OBE. :BC是⊙O的切线， .∠ABC=90° .∠ODE=90° .OD⊥DE. :OD是⊙0的半径， 46/49 上好每一堂课 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 DE是OO的切线： (2)四边形OBED的面积4. 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：DE∥AB, ∴∠DEB=∠OBE=∠ODE=90° “四边形OBED是矩形， .OD=OB ∴四边形OBED是正方形， ∴四边形OBED的面积=2×2=4. 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，矩 形的判定，正方形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键 17.知图，在△MBC中，以4B为直径的O0交BC于点D,卫是D的中点，E交BD于点R且 ⊙O、BC ∠C=2∠EAB (1)求证：AC与⊙0相切： (2)若AB=2BF=8,求DF的长. 【答案】(1) 证明：连接AD, 47/49 函学科网·上好课 www.zxxk.com 是 的中点， B .E BD .∠EAB=∠EAD,∠BAD=2∠EAB, ∠C=2∠EAB ∠C=∠BAD, AB是直径， ∠ADB=90°， ∴.∠ABC+∠BAD=90°. .∠ABC+∠C=90°， ∠BAC=90°，即AC⊥AB, .AC与⊙O相切. 12 (2)5 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：由(1)知∠CAD+∠BAD=∠BAD+∠B=90°， .∠CAD=∠B :∠CAF=∠CAD+∠EAD,∠CFA=∠B+∠EAB, ∴.∠CAF=∠CFA, ..CF=CA, 设CF=CA=x,则BC=x+4, 六在R△ABC中，t+8=(x+4) 解得：x=6,即CF=CA=6,BC=10, 5wCCD 2 48/49 上好每一堂课 函学科网·上好课 www.zxxk.com AD=6×8_24 105 c0=ac-0-6--5 DF=CF-CD=6-18-12 55· 49/49 上好每一堂课 第3章 圆 知识点01 圆的有关概念 1.圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆.这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径. 2.圆的表示方法：以点为圆心的圆记作，读作圆. 3.圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形. 确定圆的条件：①圆心；②半径.其中，圆心确定圆的位置，半径长度确定圆的大小. 4.圆的其他概念： 弦 连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的). 直径 经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的）. 弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以为端点的弧记作，读作圆弧或弧. 圆心角 定点在圆心的角叫圆心角 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 半圆 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 优弧 在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧. 劣弧 在一个圆中小于半圆的弧叫做劣弧. 知识点02 点与圆的位置关系 设的半径是，点到圆心的距离为，则有： 点在内，如图1； 点在上，如图2； 点在外，如图3。 注：1.“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 2.点在圆上，指的是点在圆周上，而不是点在圆面上. 知识点03 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1： ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法： 1 过圆心，作垂线，连半径，造直角三角形，用勾股，求长度；②有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 知识点04 三角形的外接圆 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，如图所示： 是的外接圆，为的一个内接三角形，点O为△ABC的外心. 1.锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三角形的外心在三角形的外部，如图所示： 2.一个三角形只有一个外接圆，而一个圆有无数个内接三角形； 知识点05 圆周角 1．圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 定理及推论 具体内容 图示 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 （即：圆周角=圆心角，如图示中的） 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 如图示中的 推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径 2．圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 证明：在⊙中，∵四边是内接四边形 ∴， 知识点06 直线与圆的位置关系 1．位置关系 位置关系 与的比较 交点情况 图示 相离 无交点 相切 有一个交点 相交 有两个交点 2．切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端，∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 3．切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的 连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线，∴，平分 4．三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算。 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）中，则内切圆的半径 。 （3），其中是边长，是内切圆的半径。 知识点07 正多边形与外接圆 1．正多边形与外接圆：一般地，用量角器把一个圆等分，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆 2．正多边形的中心:正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 3．正多边形的半径:正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 4．正多边形的边心距:正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 5．中心角:正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 6．正多边形的轴对称性：正多边形都是轴对称图形。一个正边形共有条对称轴，每条对称轴都通过正边形的中心。 7．正多边形的中心对称性：边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 8．正多边形的画法:先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形 9．圆内正多边形的计算 正多边形 正三角形 正四边形 正六边形 图示 长度比例 有关计算在中进行， 有关计算在中进行， 有关计算在中进行， 知识点08 扇形的弧长和面积计算 （1）扇形弧长公式：； （2）扇形面积公式： 其中：圆心角，：扇形多对应的圆的半径， 注意： （1）对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； （2）弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. （3）对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即； （4）在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 易错01一条弦对应多组圆周角，容易漏解 圆的同一条弦的两侧均可以取点，因此一条弦能够对应无数个圆周角，会出现相等或互补两种角度结果。很多同学做题时只考虑弦一侧的圆周角，直接默认角度唯一，忽略另外一种互补情况。遇到弦求圆周角的计算题，一定要分类思考，防止出现漏解，丢掉部分答案。 【对点训练】 1．如图，内接于，，是的直径．设，，则与的关系是 _______． 2．点为半圆的圆心，是半圆的直径，．为半圆上的两点，点是弧的中点，连接．，的延长线与的延长线相交于点． (1)若，求_____ (2)求证：； 3．如图，在中，直径交于点，连接，弦过点且与相交于点G，点D平分． (1)求证：； (2)若的半径为3，求的长． 易错02随意套用圆内接四边形对角互补性质 对角互补是四点共圆（圆内接四边形）特有的性质，普通四边形对角并不互补。做题时如果没有确认四边形四个顶点都在圆上，不能直接使用对角互补，也不能直接使用外角等于内对角的结论。审题第一步先判断是否是圆内接四边形，再使用对应性质进行角度运算。 【对点训练】 4．如图，中，若，那么（     ） A． B． C． D． 5．如图，四边形内接于，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 易错03圆内两条平行弦，忽略位置分类讨论 已知圆内两条平行弦长，求两弦之间距离，要分两种情况：两条弦在圆心的同侧、两条弦在圆心的异侧。不少学生只计算其中一种情形，漏掉另一组答案。解题先用垂径定理结合勾股，算出弦心距，再分情况做加法或减法，完整求出两种距离结果。 【对点训练】 7．已知半径是13，弦，，，则与之间距离为（    ） A．7 B．17 C．7或17 D．无法计算 8．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 易错04证明切线辅助线思路混乱，步骤缺失 证明切线有固定套路，很多学生分不清什么时候连半径、什么时候作垂线。若已知直线与圆有公共点，就连半径，证垂直；无公共点，则作垂直，证半径。切线判定需要同时满足两个条件，书写大题不能省略证明垂直或证明半径相等的关键步骤，否则会被扣步骤分。 【对点训练】 9．如图，在中，点在上，边交于点，于点．是的平分线． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为6，，求的长． 10．如图，点C在的边上，经过点C，且与，分别交于点D，E，连接，．若，四边形是菱形． (1)求证：； (2)求证：是的切线． 11．如图，在中，，在上取一点，以为直径作，与相交于点，作线段的垂直平分线交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为1，求线段的长． 12．如图，是的直径，C是上一点，弦于点，且．过点A作的切线，过点C作的平行线，两直线相交于点，直线交的延长线于G． (1)求证：与相切； (2)求证：四边形是平行四边形； 易错05混淆三角形外接圆、内切圆相关概念 外心是三角形三边垂直平分线交点，是外接圆圆心，到三角形三个顶点距离相等；内心是三角形三条内角平分线交点，是内切圆圆心，到三边距离相等。考试中经常混淆两者的交点来源、几何性质，计算半径时分不清对应的公式，做题要先看清题目问的是外接圆还是内切圆。 【对点训练】 13．如图，的周长为，，是它的内切圆，直线是位于右侧的任意一条切线，若沿着直线剪下，则剪下的的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 14．如图，正方形网格中，三点均在格点上，那么的外接圆圆心是点__________． 15．如图，在中，，，，则的内切圆半径___________． 16．如图，点O为的外心，连接，作正方形，其中E点在的外部，则外心不是点O的三角形是______（填“”或“”或“”或“”）． 易错06扇形弧长、面积公式记混，交叉误用 弧长公式，扇形面积公式。不少同学记混分母与的次方，求弧长套用面积公式。审题看清题目求的是弧长还是扇形面积，代入公式注意圆心角、半径对应准确，做完简单验算，避免公式用错造成整道题计算错误。 【对点训练】 17．如图，某扫地机器人的设计理念来源于莱洛三角形（分别以等边三角形的三个顶点，，为圆心，长为半径画弧得到的图形）．若，则此莱洛三角形的周长为（     ） A． B． C． D． 18．如图，点A，B，C，D顺次分布在半径为2的上，其中是的直径，点C是弧的中点，顺次连接，，，若，则弧的长为（     ） A． B． C． D． 19．如图，用一张半径为的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），若做成的圆锥形帽子的底面半径为，则该扇形纸板的面积为__________． 20．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分．历来中国有“制扇王国”之称．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子；用时须撒开，成半规形，聚头散尾．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，的长为，则的长为______________． 21．如图，在中，，点是的中点，以为圆心的圆过点． (1)求证：与相切； (2)若，，求阴影部分的面积． 1．在中，弦，，的直径为20，则弦之间的距离为 ____________． 2．如图，是五边形的外接圆，C是的中点，若，，则的度数为________ 3．已知的两直角边的长分别为和，则它的外接圆的半径与内切圆半径的比为________． 4．如图，为的内切圆，切点分别为，已知，则的半径为__________． 5．用半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为____________． 6．如图，将半径为的圆形纸板，沿着边长分别为和的矩形的外侧滚动一周并回到开始的位置，圆心所经过的路线长度是______（）． 7．如图，在中，弦，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在平行四边形中，，，，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点E，连接，则阴影部分的面积是______． 9．如图，四边形是的内接四边形，是直径，点E在上，连接，若，则________． 10．如图，在的内接四边形中，，，点E在上，则______． 11．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则与之间的距离为_______． 12．如图是一条隧道的横截面，它的“拱顶”部分是以点O为圆心的圆的一部分，如果的半径为，跨度为． (1)求“拱顶”部分表示拱高的线段的长度； (2)若要在离隧道中心处（即）安装一支柱（垂直于），求支柱的长度． 13．如图，是的弦，为过点的切线上一点，且，分别在上，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的度数． 14．如图，的直径的长为10，，的平分线交于点D． (1)求的度数； (2)求弦的长． 15．如图，在中，，延长到点 ， 以为直径作， 交的延长线于点 ， 延长到点， 使． (1)求证： 是的切线； (2)若， ，，求的长． 16．如图，是的直径，点在上（点不与重合），直线交过点的切线于点，点为的中点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求四边形的面积． 17．如图，在中，以为直径的交于点D，E是的中点，交于点F，且． (1)求证：与相切； (2)若，求的长． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $